| Математические заметки |
|
|
|
|
|
О задаче монополиста и двойственной к ней Т. В. Богачев, А. В. Колесников Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Москва
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623070167 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеПредметом иccледования настоящей работы является функционал типа Дирихле
$$
\begin{equation*}
\Phi(u)=\int_{X}\bigl( \langle x, \nabla u(x) \rangle-u(x)- \varphi(\nabla u(x)) \bigr)\rho(x)\,dx,
\end{equation*}
\notag
$$
где $X=[0,1]^n$, $\varphi$ – выпуклая функция на $X$, $\rho$ – вероятностная плотность на $X$. Целью исследования является максимизация функционала $\Phi$. Данная проблема возникает в экономических приложениях, а именно, в задачах монополиста, многомерного скрининга и аукциона [1]–[4]. Из соображенией экономической целесообразности вытекает выбор класса функций, на котором максимизируется $\Phi$. В отличие от классического случая, где на множество определения $\Phi$ не налагается ограничений геометрического характера, мы будем рассматривать функционал $\Phi$ на множестве $\mathcal{U}_0(X)$ выпуклых и покоординатно возрастающих функций на $X$, равных нулю в начале координат. Такой выбор множества функций делает задачу поиска максимума $\Phi$ существенно отличной от классической. Например, в этом случае точка максимума $\overline{u}$ удовлетворяет соответствующему квазилинейному эллиптическому уравнению в частных производных не во всех точках $X$, а только в некоторой области, где $\overline{u}$ строго выпукла. Исследование таких задач сопряжено с рядом трудностей. В частности, очень редки ситуации, когда возможно найти явное решение (см., впрочем, примеры в [3], [4]), что в первую очередь востребовано в приложениях. Можно получить достаточно точное численное моделирование решений (см. [4]), но и оно в настоящий момент не дает ясные ответы о свойствах решений. Исследования классическими вариационными методами также затруднено из-за неклассической области определения. Естественным методом исследования представляется метод двойственности, т.е. описание двойственного функционала и использование этой техники для описания свойств решения. Изначальная постановка многих задач такого типа была дана в терминах отображений, называемых механизмами и удовлетворяющих некоторым естественным аксиомам, вытекающим из экономической целесообразности. В работе [1] была получена эквивалентная формулировка задачи монополиста в форме поиска максимума функционала $\Phi$ на множестве $\mathcal{U}_0$ (максимизация полной выручки). Также в этой работе был подробно изучен случай квадратичной функции $\varphi$ и исследованы основные свойства решений. Между задачей аукциона (см. классическую работу [5]) и задачей монополиста существует тесная, но неочевидная связь. В работе [3] была изучена задача аукционов для одного покупателя, которая является частным случаем задачи монополиста для функции где $\delta_{[0,1]}(t)=0$, если $t \in [0,1]$ и $\delta_{[0,1]}(t)=+\infty$, если $t>1$. Таким образом, ищется максимум функционала на множестве $\mathcal{U}_0(X) \cap \operatorname{Lip}_1(X)$ всех $1$-липшицевых функций из $\mathcal{U}_0(X)$. Отметим, что липшицевость понимается в смысле $\ell ^{1}$-нормы, т.е. функция тогда считается $1$-липшицевой, если выполнено неравенство для всех $x, x+te_i \in X$ и всех ортов $e_i$, $1 \leqslant i \leqslant n$.В работе [3] было предложено другое представление функционала $\Phi$. В предположении достаточной гладкости $\rho$ проинтегрируем по частям слагаемое с $\langle x, \nabla u \rangle \rho$. Это даст следующее представление на множестве всех липшицевых функций:
$$
\begin{equation*}
\int_{X} ( \langle x, \nabla u \rangle-u )\rho\,dx+u(0)=\int_{X} u\,dm,
\end{equation*}
\notag
$$
где $m$ – мера конечной вариации со свойством $m(X)=0$. Отметим, что $m$ содержит сингулярные компоненты, в том числе дельта-функцию в нуле и нетривиальную меру на $\partial X$. Таким образом, задача аукциона для одного покупателя сводится к задаче поиска на множестве $\mathcal{U}(X) \cap \operatorname{Lip}_1(X)$, где $\mathcal{U}(X)$ есть множество выпуклых и покоординатно возрастающих функций на $X$. Как показано в работе [3], это представление позволяет установить связь исходной задачи с задачей Монжа–Канторовича с функцией стоимости и соответствующим расстоянием $W_1$ (подробнее об этом см. [6], [7]). А именно, задача аукциона оказывается двойственной к транспортной в следующем смысле:
$$
\begin{equation}
\max_{u \in \mathcal{U}(X) \cap \operatorname{Lip}_1(x) } \int_X u\,dm =\min_{m_+\preceq \gamma_1, m_{-} \succeq \gamma_2} W_1(\gamma_1, \gamma_2).
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Здесь $m=m_+- m_{-}$ – разложение $m$ на положительную и отрицательную части, $\gamma_i$ – неотрицательные меры со свойством $m_+(X)=m_{-}(X)=\gamma_1(X)=\gamma_2(X)$; $\mu_1 \preceq \mu_2$ означает, что для всех функций $u \in \mathcal{U}$ выполнено неравенство Отметим, что последнее условие означает, что двойственная задача является вариантом транспортной задачи, в которой возникают ограничения типа стохастического доминирования. Такого рода задачи (например, мартингальная транспортная задача или задача о слабом расстоянии) приобрели за последнее время большую популярность в приложениях (см. [8]–[10]). Дальнейшие обобщения на случай многих покупателей были получены в работе [4]. Прежде чем изложить основной результат этой работы, обсудим важное соотношение двойственности для функционала
$$
\begin{equation*}
\Phi(u)=\int_X u\,dm-\int_X \varphi(\nabla u) \rho\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Величину $\sup_{u \in C(X)} \Phi(u)$, где $\sup$ взят по множеству всех непрерывных функций (можно также ограничиться подходящим соболевским классом), естественно понимать как преобразование Лежандра энергетического функционала Оказывается, это преобразование совпадает с функционалом Бекмана
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Beck}_{\rho, \varphi^*}(m)=\inf_{c\colon \operatorname{div} (c \cdot \rho)=-m} \int_X \varphi^*(c) \rho\,dx,
\end{equation*}
\notag
$$
предложенным в работе [11] для моделирования транспортных потоков, т.е. имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sup_{u \in C(X)} \Phi(u) &=\sup_{u \in C(X)} \biggl( \int_X u\,dm-\int_X \varphi(\nabla u) \rho\,dx \biggr) \\ &=\inf_{c\colon\operatorname{div} (c \cdot \rho)=-m} \int_X \varphi^*(c) \rho\,dx=\operatorname{Beck}_{\rho, \varphi^*}(m) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
(см. детали в лемме 6). Здесь $\varphi^*$ – преобразование Лежандра $\varphi$, $c$ – интегрируемое векторное поле на $X$, причем равенство $\operatorname{div} (c \cdot \rho)=-m$ понимается в смысле интегрирования по частям:
$$
\begin{equation*}
\int_X \xi\,dm=\int_X \langle \nabla \xi, c \rangle \rho\,dx,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\xi$ – произвольная гладкая функция на $X$ (обращаем внимание, что $\xi$ не предполагается зануляющейся на $\partial X$ и что $m$ содержит сингулярные компоненты). О связи задачи Бекмана с теорией оптимальной транспортировки см. книгу [12]. В работе [4], а также независимо от нее в работе [13] было доказано следующее важное соотношение, обобщающее (1.1):
$$
\begin{equation}
\sup_{u \in \mathcal{U}(X)} \Phi(u) =\inf_{c \in \mathcal{C}} \int_X \varphi^*(c) \rho\,dx,
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где $\mathcal{C}$ – множество интегрируемых векторных полей со свойством
$$
\begin{equation*}
\mathcal{C}=\biggl\{ c\colon \int_X u\,dm \leqslant \int_X \langle \nabla u, c \rangle \rho\,dx \ \forall\, u \in \mathcal{U}(X)\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для достаточно регулярных полей это соотношение можно переписать в виде поэтому соотношение (1.2) приобретает форму
$$
\begin{equation}
\sup_{u \in \mathcal{U}(X)} \Phi(u)=\inf_{ m \preceq \pi } \operatorname{Beck}_{\rho, \varphi^*} (\pi).
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Закончим введение описанием связи общей задачи аукционов с задачей монополиста, задачей Бекмана и порядком на пространстве мер. В работе [4] с помощью результата [2] о так называемых редуцированных формах механизмов было доказано, что задача аукционов с $B$ покупателями эквивалентна задаче поиска максимума функционала на множестве $u \in \mathcal{U}$ с дополнительными ограничениями в которых $\eta$ – распределение случайной величины $\xi^{B-1}$, где $\xi$ имеет равномерное распределение на $[0,1]$, $\nu_i$ – образ меры $\rho\,dx$ относительно отображения $x \mapsto \partial_{x_i} u(x) $. Несмотря на то, что в заданном функционале отсутствует нелинейная часть $\varphi$, задача оказывается эквивалентной задаче монополиста $\Phi(u) \to \max$ для некоторой экзогенной функции $\varphi$. Более точно, имеет место соотношение двойственности
$$
\begin{equation}
\max_{u \in \mathcal{U}(x), \nu_i \preceq \eta} \int_X u\,dm =\inf_{\varphi_i \in \mathcal{U}([0,1]),\, c \in \mathcal{C}} \biggl( \sum_{i=1}^n \varphi_i^*(c_i) \rho\,dx+\int_{0}^{1} \varphi_i\,d\eta \biggr).
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
То же самое соотношение можно представить в такой форме:
$$
\begin{equation}
\max_{u \in \mathcal{U}(x),\, \nu_i \preceq \eta} \int_X u\,dm =\inf_{\varphi_i \in \mathcal{U}([0,1]), \,m \preceq \pi } \biggl( \operatorname{Beck}_{\rho, \varphi^*} (\pi) + \int_0^1 \varphi_i\,d\eta \biggr).
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
При этом существуют минимизирующие функции $\overline{\varphi}_i$ и точка максимума $\overline{u}$ функционала в левой части также является точкой максимума функционала $\Phi$ для функции $\overline{\varphi}=\sum_{i=1}^n \overline{\varphi}_i$. Приведем список наших обозначений.
2. Основные результатыВ настоящей работе получены следующие результаты:
Отметим, что доказательство (1.3) в [4] использовало классическую форму теоремы о минимаксе, известную как теорема Сиона. В последней предполагается компактность одного из пространств, что во многих приложениях не выполнено. Конкретно в нашем случае это пространство $E$, которое некомпактно. Преодоление этого ограничения делает доказательство более громоздким (хотя по пути в [4] были доказаны разные полезные вспомогательные результаты, например, априорные оценки решения). Доказательство из настоящей работы (см. п. 3.1) проще и основано на применении адаптированной версии теоремы 1.9 из [7]. Существование минимума $\overline{\pi}$ (формула (2.1)) неочевидно и известно только в тех случаях, когда функция $\varphi^*$ имеет суперлинейный рост. Действительно, из условия дополняющей нежесткости вытекает, что решение $\overline{c}$ обладает свойством
$$
\begin{equation*}
\overline{c }\in \partial \varphi(\nabla \overline{u}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\partial \varphi$ – субдифференциал $\varphi$. В частности, если $\varphi$ – дифференцируемая функция, то $\overline{c}=\nabla \varphi (\nabla \overline{u})$. Тогда точка минимума $\operatorname{Beck}_{\rho, \varphi^*}$ ищется в виде $\overline{\pi}=- \operatorname{div}(\overline{c} \cdot \rho)$. Этот подход не работает, если $\varphi$ конечна только на компактном множестве. Именно это имеет место в двойственной задаче аукциона: функции $\varphi_i$ в (1.4) обращаются в $+\infty$ вне отрезка $[0,1]$, поэтому $\varphi_i^*$ имеют линейный рост. Также условие $\overline{c }\in \partial \varphi(\nabla \overline{u})$ не задает никаких оценок сверху, потому что $\partial \varphi_i(1)$ – неограниченное множество и определить $\overline{\pi}$ как дивергенцию не представляется возможным. Также открыт вопрос, всегда ли достигается минимум $\int_X \varphi^*(c) \rho\,dx$ на $\mathcal{C}$. В работе [4] доказано (см. теорема 2), что минимум в двойственном функционале достигается, если расширить его область определения до более широкого множества, чем $\mathcal{C}$, а именно, до пространства векторнозначных мер. Ситуация вполне аналогична утверждению о минимуме в задаче Бекмана для функции $c$ линейного роста (см. [12; теорема 4.6]). В работе [4] приведен пример, когда минимум действительно достигается на векторнозначной мере. В то же время во всех известных примерах можно было показать, что минимум также достигается в том числе и на множестве $\mathcal{C}$. Основной результат состоит в следующем утверждении. Теорема 1. Пусть $\varphi$ – выпуклая полунепрерывная снизу функция, конечная на $X=[0,1]^n$ и равная $+\infty$ вне $X$, $m \in \mathcal{M}_0$, где $\mathcal{M}_0$ – множество мер конечной вариации со свойством $m(X)=0$. Тогда выполнено следующее соотношение (часть утверждения состоит в том, что и минимум и максимум достигаются): где 3. Вспомогательные утвержденияРассмотрим более общий вариант функции $\varphi$, а именно, конечной на кубе и растущей на бесконечности быстрее некоторой степени, т.е.
$$
\begin{equation}
\varphi(y)\geqslant C|y|^p \quad\text{при}\ \ |y|\geqslant 1, \qquad\text{где}\quad C>0, \quad p>n.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Рассмотрим два функционала на $E$:
$$
\begin{equation*}
\Theta (u)= \begin{cases} \displaystyle \int_X \varphi(\nabla u) \rho\,dx, & u \in W^{1,1}([0,1]^n), \\ +\infty & \text{в противном случае,} \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation*}
\Xi (u)= \begin{cases} \displaystyle -\int_X u\,dm, & u \in \mathcal{U} \\ +\infty & \text{в противном случае.} \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно видеть, что оба функционала выпуклы, а $E^*$ есть пространство мер конечной вариации. В дальнейших рассуждениях нам потребуется, что функционал где $\mu$ – некоторая мера из $\mathcal{M}$, достигает максимума. Заметим, что $\Phi_m=\Phi$. Первое слагаемое есть линейный непрерывный функционал. Про второе слагаемое докажем следующие утверждения. Для удобства рассмотрим $\psi=-\varphi$.Лемма 2. Пусть $\psi$ – полунепрерывная сверху функция на $[0,1]^n$, $U$ – множество всех выпуклых функций на $[0,1]^n$, для которых $\nabla u(x)\in [0,1]^n$ почти всюду, наделенное $\sup$-метрикой. Тогда функция полунепрерывна сверху. В частности, ее сумма со всякой непрывной функцией достигает максимума на замкнутых подмножествах $U$. Если же функция $\psi$ непрерывна, то и $\Psi$ тоже будет непрерывной. Доказательство. Сначала предположим, что функция $\psi$ непрерывна. Пусть $u_k\to u$ в $U$. Тогда $\nabla u_k(x)\to \nabla u(x)$ почти всюду, а именно, во всех точках, где все функции $u_k$ и $u$ дифференцируемы (т.е. почти всюду, ибо $u$ тоже выпукла). Для этого достаточно проверить сходимость частных производных в таких точках, что сводит все к одномерному случаю. В этом случае сходимость производных следует из оценки верной при всех $h$. Значит, $\psi(\nabla u_k(x))\to \psi(\nabla u(x))$ почти всюду, причем эти функции равномерно ограничены числом $\max_{y} |\psi(y)|$. По теореме Лебега получаем сходимость $\Psi(u_k)\to \Psi(u)$, что будет давать непрерывность $\Psi$. В общем случае (полунепрерывности сверху) найдется последовательность непрерывных функций $\psi_j$, поточечно убывающих к $\psi$. Для них соответствующие функции $\Psi_j$ непрерывны и убывают на $U$ к функции $\Psi$. Следовательно, она полунепрерывна сверху. Остается воспользоваться тем, что полунепрерывная сверху функция достигает максимума на компакте. Лемма 3. Пусть $\psi$ – полунепрерывная сверху вогнутая функция на $[0,1]^n$, $W$ – множество всех липшицевых функций на $[0,1]^n$, для которых $\nabla u(x)\in [0,1]^n$ почти всюду, наделенное $\sup$-метрикой. Тогда функция полунепрерывна сверху. В частности, ее сумма со всякой непрерывной функцией достигает максимума на $W$. Доказательство. Как и в предыдущей лемме, утверждение сводится к случаю непрерывной функции $\psi$. Заметим, что можно перейти к подмножеству $\mathcal{K}\subset W$ функций, равных нулю в нуле. Это подмножество компактно, ибо равномерно липшицево. Функция $\Psi$ ограничена на $W$, поэтому можно взять последовательность функций $w_j\in \mathcal{K}$, для которых значения $\Psi(w_j)$ стремятся к супремуму $S$ функции $\Psi$. Перейдя к подпоследовательности, можно считать, что эти функции равномерно сходятся к функции $w_0\in \mathcal{K}$. В силу равномерной ограниченности отображений $\nabla w_j$ можно воспользоваться теоремой Банаха–Сакса и перейти к дальнейшей подпоследовательности (обозначаемой прежними индексами), для которой средние $v_j=(\nabla w_1+\cdots+\nabla w_j)/j$ сходятся в $L^2(X)$. Ясно, что предел есть $\nabla w_0$. В силу вогнутости $\psi$ имеем $\Psi(v_j)\geqslant [\Psi(w_1)+\cdots+\Psi(w_j)]/j$. Поэтому $\Psi(v_j)\to S$. С другой стороны, $\psi(v_j)\to \psi(w_0)$ по мере на $X$. По теореме Лебега $\Psi(v_j)\to \Psi(w_0)$, откуда $\Psi(w_0)=S$. Замечание 1. В лемме 2 мы показываем достижимость максимума функционала $\Phi_\mu$ на множестве всех выпуклых на кубе функций, градиент которых также окажется в кубе почти всюду. Когда $\varphi$ бесконечна вне куба, это эквивалентно достижимости максимума $\Phi_\mu$ на $\mathcal{U}_0$. При этом выпуклость $\varphi$ не требуется. В то же время лемма 3 требует выпуклость $\varphi$ и констатирует достижимость максимума $\Phi_\mu$ на классе $W$ всех липшицевых функций на кубе, для которых $\nabla u(x)\in [0,1]^n$ почти всюду. Для случая, когда $\varphi$ бесконечна вне куба, это утверждение эквивалентно достижимости максимума функционала $\Phi_\mu$ на $E$. Далее мы докажем утверждения про случай, в котором $\varphi$ конечна и вне куба и удовлетворяет условию (3.1). Лемма 4. Пусть $\varphi\geqslant 0$ – выпуклая конечная функция на $\mathbb{R}^n$, причем $\varphi(y)\geqslant C|y|^p$ при $|y|\geqslant 1$, где $C>0$, $p>n$. Тогда для всякой ограниченной меры $\mu$ на $X$ и всякого числа $M$ множество $W_M$ таких непрерывных функций $u\in E_0\cap W^{p,1}(X)$, что выпукло, ограничено в $W^{p,1}(X)$ и компактно в $E_0$. Доказательство. Выпуклость $W_M$ вытекает из выпуклости $\varphi$. В силу известного неравенства Морри (см. [14; с. 167]) существует такое число $N(n,p)$, что для всех $u\in E_0\cap W^{p,1}(X)$. Чтобы применить эту оценку, надо продолжить $u$ на множество $[-1,1]^n$ несколькими отражениями. Поэтому в силу условия на $\varphi$ имеем При этом $\rho\geqslant c_1$, где $c_1>0$. Поэтому с некоторым числом $N(n,p,C,M, \|\mu\|, c_1)$ получаем Остается воспользоваться компактностью вложения $W^{p,1}(X)$ в $E_0$. Лемма 5. Пусть $\varphi\geqslant 0$ – выпуклая конечная функция на $\mathbb{R}^n$, причем $\varphi(y)\geqslant C|y|^p$ при $|y|\geqslant 1$, где $C>0$, $p>n$. Тогда функция со значениями в $[-\infty,0]$ полунепрерывна сверху на $E_0$. Поэтому для всякой меры $\mu$ на $X$ функция имеет максимум на всяком компакте в $E_0$, на котором она не равна тождественно $-\infty$. Доказательство. Пусть $u_j\to u$ в $E_0$. Покажем, что $\limsup_j F(u_j)\leqslant F(u_0)$. Если $F(u_j)\to -\infty$, то это верно. Поэтому перейдем к случаю, когда $F(u_j)\geqslant -M$ для некоторого $M>0$ и $F(u_j)\to \limsup_j F(u_j)$. Тогда $u_j\in W^{1,1}(X)$; более того, $u_j\in W^{p,1}(X)$ в силу условия $\varphi(y)\geqslant C|y|^p$ при $|y|\geqslant 1$. Согласно лемме 4 последовательность $\{u_j\}$ ограничена в $W^{p,1}(X)$ и содержится в компакте из $E_0$. Поэтому $u_0\in W^{p,1}(X)$. Пользуясь теоремой Банаха–Сакса и перейдя к подпоследовательности, можно считать, что градиенты средних арифметических $w_j=(u_1+\cdots+u_j)/j$ сходятся в $L^p(X)$, тогда их предел есть $\nabla u_0$. Поэтому $\varphi(\nabla w_j)\to \varphi(\nabla u_0)$ по мере на $X$. По теореме Фату получаем $-F(u_0)\leqslant \liminf_j -F(w_j)$, т.е. $\limsup_j F(w_j)\leqslant F(u_0)$. В силу вогнутости $-\varphi$ заключаем, что $F(u_j)\leqslant (F(w_1)+\cdots+F(w_j))/j$, откуда следует нужное неравенство. Далее мы хотим показать, что преобразование Лежандра функционала Дирихле совпадает с функционалом Бекмана. Это соотношение фактически известно специалистам (см. [12], [16]), но в известных нам работах в доказательствах используются другие предположения о функции $\varphi$. Поэтому мы приведем независимое доказательство. Лемма 6. Пусть выпуклая функция $\varphi\geqslant 0$ либо полунепрерывна снизу и конечна на $X$ и равна $+\infty$ вне $X$, либо конечна на всем $\mathbb{R}^n$ и удовлетворяет оценке $\varphi(y)\geqslant C|y|^p$ с некоторыми $C>0$, $p>n$ при $|y|\geqslant 1$. Тогда справедливо равенство Таким образом, если $\mu(X)=0$, то Доказательство. Сначала рассмотрим случай, когда $\varphi=+\infty$ вне $X$. Имеем Вернемся к доказательству соотношения $\Theta^*(\mu)=\operatorname{Beck}_{\rho,\varphi^*}(\mu)$. Предположим сначала, что $\varphi$ – непрерывно дифференцируемая функция. Тогда равенство получается, если в качестве $u$ взять точку максимума $\overline{u}$ функционала $\Phi_\mu$ и положить $c=\nabla \varphi(\nabla \overline{u})$. Действительно, стандартным образом вычисляя вариацию этого функционала в точке максимума, получаем, что для любой непрерывно дифференцируемой функции $v$ верно равенство
$$
\begin{equation*}
\int_X v\,d\mu=\int_X \langle \nabla v, c \rangle \rho\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $\operatorname{div}_{\rho}(c)=- \mu$. Из двойственности Лежандра получаем
$$
\begin{equation*}
\varphi(\nabla \overline{u})+\varphi^*(c)= \varphi(\nabla \overline{u})+\varphi^*(\nabla \varphi(\overline{u}))= \langle c, \nabla \overline{u}\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Интегрируя это соотношение по $\rho dx$, получаем
$$
\begin{equation*}
\Theta(u)+\int_X \varphi^*(c) \rho\,dx=\int_X \langle c, \nabla \overline{u}\rangle\,dx=\int_X \overline{u}\,d\mu.
\end{equation*}
\notag
$$
Для непрерывно дифференцируемых $\varphi$ лемма доказана. В общем случае приблизим $\varphi$ монотонно возрастающей последовательностью гладких выпуклых функций, равномерно сходящейся на $X$. Пусть ${u}_j$ – точка максимума функционала
$$
\begin{equation*}
\Phi_j(u)=\int_X u\,d\mu-\int_X \varphi_j(\nabla u) \rho\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Получили последовательность полунепрерывных сверху функций $\Phi_j$ на компакте $\mathcal{K}$, равномерно сходящейся к функции $\Phi_\mu$. Функция $\Phi_\mu$ тоже полунепрерывна, причем максимумы функций $\Phi_j$ убывают к максимуму функции $\Phi_\mu$. Как было показано выше, $\Phi_j(u_j)=\int_X \varphi_j^*(c_j) \rho\,dx$, $c_j=\nabla\varphi_j(\nabla u_j)$, причем $\operatorname{div}_{\rho}(c_j)=-\mu$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\lim_j \int_X \varphi_j^*(c_j) \rho\,dx=\Phi(\overline{u}).
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая, что $\varphi^*_j \geqslant \varphi^*$ и $c_j \in V_{\rho}(\mu)$, получаем
$$
\begin{equation*}
\Phi(\overline{u}) \geqslant \overline\lim_j \int_X \varphi^*(c_j) \rho\,dx \geqslant \inf_{c \in V_{\rho}(\mu)} \int_X \varphi^*(c) \rho\,dx=\operatorname{Beck}_{\rho,\varphi^*}(\mu).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\sup_{u \in E} \Phi(u) \leqslant \operatorname{Beck}_{\rho,\varphi^*}(\mu)$, то получаем, что $\overline{u}$ – точка максимума $\Phi(u) $, причем верно равенство $\Phi(u)=\lim_j \int_X \varphi^*(c_j) \rho\,dx$, что и требовалось доказать. Теперь укажем необходимую модификацию доказательства во втором случае, когда функция $\varphi$ конечна. Здесь вместо компакта $\mathcal{K}$ надо брать подходящие компакты $W_M$ из леммы 4, заданные условием (3.2). Гладкие выпуклые функции $\varphi_j$, возрастающие к $\varphi$, можно взять даже равномерно сходящимися на всем пространстве; см. [15], где показано, что для всякой выпуклой функции $f$ при каждом $\varepsilon>0$ найдется такая бесконечно дифференцируемая выпуклая функция $g$, что $f-\varepsilon< g <f$. Возрастающую последовательность можно получить, применяя этот результат к функциям $f-\delta$. Для соответствующих функций $\Phi_j$ при всех достаточно больших $j$ максимумы будут достигаться на компакте $W_M$ с $M=\Phi(\overline{u})-1$. Замечание 2. Отметим, что в лемме не утверждается, что функционал $\Theta^*$ достигает минимума на $V_{\rho}(\mu)$. Результат о достижении минимума требует расширения множества $V_{\rho}(\mu)$ до пространства векторнозначных мер (см. [12], [4]). Лемма 7. Пусть $E$ – сепарабельное нормированное пространство, $A$, $B$ – выпуклые непересекающиеся множества. Предположим, что $A$ замкнуто, а $B$ имеет вид где $K_n \subset K_{n+1}$ – компактные выпуклые множества. Тогда существует такой линейный функционал $l \in E^*$, что Доказательство. В силу известной версии теоремы об отделимости для любого $n$ существует такой функционал $l_n \in E^*$, что $l_n(x) > l_n(y)$ для всех $x \in A, y \in K_n$. Можно считать, что $\|l_n\|=1$. Пользуясь теоремой Банаха–Алаоглу, извлекаем слабо сходящую подпоследовательность $l_{n_m} \to l$. Это и есть нужный функционал. Действительно, пользуясь тем, что произвольный вектор $y \in B$ принадлежит всем $K_n$ для достаточно больших $n$, из неравенства $l_{n_m}(x) > l_{n_m}(y)$ предельным переходом получаем искомое неравенство $l(x) \geqslant l(y)$ для всех $x \in A, y \in B$. 3.1. Принцип минимаксаСледующее утверждение также верно как для случая бесконечной вне куба функции $\varphi$, так и для конечной с условием (3.1). Доказательство. Применим рассуждение из [7; теорема 1.9]. Соотношение (3.4) эквивалентно следующему: Таким образом, достаточно доказать существование $\mu \in \mathcal{M}_0$ со свойством
$$
\begin{equation*}
\Theta(u)+\Xi(v)+\int_X (u-v)\,d\mu \geqslant \min=\inf_{ u \in E_0} ( \Theta(u)+\Xi(u)) \qquad \forall\,u,v \in E_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
C_1=\bigl\{ (u,t) \in E_0 \times \mathbb{R};\, t > \Theta(u) \bigr\}, \qquad C_2=\bigl\{ (v,s) \in E_0 \times \mathbb{R};\, s \leqslant \min-\Xi(v) \bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Множества $C_1$ и $C_2$ не пересекаются. Они выпуклы, так как выпуклы $\Theta$, $\Xi$. Заметим, что $C_2$ – замкнутое множество. Далее, любое множество вида
$$
\begin{equation*}
A_r=\bigl\{ u \in E_0,\, \Theta(u) \leqslant r\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
компактно в топологии $E$. В случае функции $\varphi$, бесконечной вне $X$, оно равномерно липшицево. Во втором случае применима лемма 4. Дальнейшее рассуждение необходимо, если $\varphi$ не бесконечна вне куба (если бесконечна, то $C_{1}$ само явлется компактом). Заметим, что $C_{1}$ является счетным объединением возрастающих выпуклых компактов, например,
$$
\begin{equation*}
C_{1}=\bigcup_{n=1}^{\infty} \biggl\{ (u,t) \in E_0 \times \mathbb{R};\,t \geqslant \frac{1}{n}+\Theta(u),\,t \in [-n,n] \biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, по лемме 7 существует ненулевой непрерывный линейный функционал $(\omega, \alpha)$, $\omega \in E^*_0=\mathcal{M}_0$, $\alpha \in \mathbb{R}$, разделяющий $C_{i}$, т.е. если $ t > \Theta(u)$, $s \leqslant \min-\Xi(v)$, $u,v \in E_0$. Это возможно только при $\alpha>0$. Положим $\mu=\omega/\alpha$. Поделив неравенство на $\alpha$, получим что и требовалось. 4. Доказательство основной теоремыНапомним, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Theta (u)= \begin{cases} \displaystyle \int_X \varphi(\nabla u) \rho\,dx, & u \in W^{1,1}([0,1]^n), \\ \Theta (u)=+\infty & \text{в противном случае,} \end{cases} \\ \Xi (u)= \begin{cases} \displaystyle -\int_X u\,dm, & u \in \mathcal{U} \\ +\infty & \text{в противном случае.} \end{cases} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Во-первых, вследствие леммы 2 функционал $\Phi$ достигает максимума на $\mathcal{U}_0$. Заметим, что
$$
\begin{equation*}
- \max_{u \in \mathcal{U}_0} \biggl( \int_X u\,dm-\int_X \varphi(\nabla u)\rho\,dx \biggr) =\min_{ u \in E} ( \Theta(u)+\Xi(u)).
\end{equation*}
\notag
$$
В леммах 1 и 6 был показан вид преобразований Лежандра функционалов $\Theta$ и $\Xi$. Затем воспользуемся принципом минимакса (3.4), который был приведен и доказан в лемме 8. Получим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \max_{u \in \mathcal{U}_0} \biggl( \int_X u\,dm-\int_X \varphi(\nabla u)\rho\,dx \biggr) =\min_{\mu \in \mathcal{M}(X)} ( \Theta^*(-\mu)+ \Xi^*(\mu))) \\ &\qquad=\min_{\mu \in \mathcal{M}_0, \mu \preceq-m} \Theta^*(-\mu) =\min_{\nu \in \mathcal{M}_0, m \preceq \nu} \Theta^*(\nu) =\min_{\nu \in \mathcal{M}_0, m \preceq \nu} \operatorname{Beck}_{\rho,\varphi^*}(\nu), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что завершает доказательство теоремы 1.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BogKol23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|