| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Краткие сообщения Близкие точки поворота и оператор Харпера А. А. Федотов Санкт-Петербургский государственный университет
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623050152 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеМы будем обсуждать спектр оператора Харпера в квазиклассическом приближении. Этoт оператор – разностный оператор Шрёдингера, действующий в $L^2(\mathbb Z)$ по правилу
$$
\begin{equation}
H f(x)=\frac{f(x+h)+f(x-h)}2+\cos(x)f(x), \qquad x\in\mathbb R,
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $0<h<2\pi$ – параметр. Оператор (1) возникает при исследовании электрона в кристалле в постоянном магнитном поле, см., например, [1]. При $\omega={h}/(2\pi)\not\in \mathbb Q$ спектр оператора $2H$ как множество совпадает со спектром оператора почти-Матье с частотой $\omega$, см., например, [2; с. 4, 5]. Исследование спектра последнего привлекает внимание и математиков, и физиков. После почти 30 лет усилий ряда известных ученых было доказано, что при $\omega\not\in\mathbb Q$ он является абстрактным канторовым множеством [3]. В [4] Вилкинсон описал подход, позволивший эвристически изучить спектр $H$ в квазиклассическом приближении. При условии, что $\omega={h}/(2\pi)$ раскладывается в бесконечную цепную дробь с большими натуральными элементами (квазиклассическая частота), он “показал”, что спектр расположен на конечном наборе интервалов – зон первого поколения, на каждой из которых с точностью до растяжения он устроен также, как спектр оператора Харпера с новыми параметрами. На каждом из этих интервалов спектр содержится на конечном наборе подинтервалов – зон второго поколения – и т.д. Подход Вилкинсона, таким образом описывающий спектр, называют перенормировочным. Используя аппарат квазиклассических псевдодифференциальных операторов (ПДО), Элффер и Шостранд развили строгий перенормировочный подход и превратили результаты Вилкинсона в теоремы, см., например, [2]. Оператор $H$ коммутирует с оператором сдвига на $2\pi$, и для его исследования можно попытаться применить идеи теории Блоха–Флоке. Этот путь привел В. Буслаева и А. Федотова к еще одному перенормировочному подходу – методу монодромизации. В [5] описано его применение для изучения геометрии спектра для квазиклассических частот. Спектр исследовался и с помощью компьютера, см., например, [6]. Анализ результатов показывает, что для квазиклассических частот интервалы первого поколения длиннее и ближе друг к другу в особой области у центра отрезка $[-2,2]$, содержащего весь спектр; на каждом из них интервалы второго поколения длиннее и ближе друг к другу в особой области, расположенной в его центральной части и т.д. Устройство спектра в особых областях определяет его глобальные геометрические характеристики (дробные размерности, распределение длин лакун и т.д.). Для доказательства канторовости всего спектра для квазиклассических частот спектр в особых областях частично исследовался в [7], но авторы не описали асимптотическую структуру спектра в них, считая ее сложной. В рамках метода монодромизации устройство спектра в каждой особой области описывается разностным уравнением с близкими точками поворота. Для квазиклассической частоты все эти уравнения содержат квазиклассические параметры. Задача о близких точках поворота – классическая (для случая дифференциальных уравнений см., например, [8] и одну из последних работ [9], для разностных – [10]). В этой заметке мы показываем как квазиклассические эффекты, связанные с близкими точками поворота, определяют структуру спектра в особых зонах. Рекуррентное описание спектра довольно громоздко, и здесь мы ограничимся обсуждением зон первого и второго поколений, что уже даст хорошее представление о рекуррентном описании. 2. Матрица монодромииВместе с $H$ рассмотрим разностное уравнение Шрёдингера
$$
\begin{equation}
\frac{\psi(x+h)+\psi(x-h)}2+\cos(x)\psi(x)=E\psi(x), \qquad x\in\mathbb R,
\end{equation}
\tag{2}
$$
в котором $E\in\mathbb C$ – спектральный параметр. Множество решений (2) инвариантно относительно оператора сдвига на $2\pi$ – период потенциала (косинуса), и как и для дифференциального уравнения Шрёдингера
$$
\begin{equation}
-\psi''(x)+v(x)\psi(x)=E\psi(x), \qquad x\in \mathbb R,
\end{equation}
\tag{3}
$$
с периодическим потенциалом $v$, матрица монодромии изображает ограничение оператора сдвига на период на множество решений в заданном базисе во множестве решений. Множество решений (3) – двумерное линейное пространство, и матрица монодромии – матрица $2\times2$, не зависящая от $x$. Множество решений (2) – двумерный модуль над кольцом $h$-периодических функций, см., например, [11; § 2.1]. Это означает, что есть таких два решения, что любое другое является их линейной комбинацией с $h$-периодическими коэффициентами. Поэтому для (2) матрица монодромии оказывается матрицей $2\times 2$ с коэффициентами, периодическими по $x$ с периодом $h$. Удобно представить ее в виде $M_1(2\pi x/h)$, где $M_1$ – $2\pi$-периодическая матрица-функция, и называть $M_1$ матрицей монодромии. Чтобы описать одну из матриц монодромии, положим
$$
\begin{equation*}
\mathcal M(x, s, t)= \begin{pmatrix} a -2\cos x & s+te^{- ix} \\ -s-te^{ix} & st \end{pmatrix}, \qquad a=\frac{1-s^2-t^2}{st}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 1. При $E\geqslant -2$ в множестве решений (2) есть такой базис из решений, целых по $x$, что $M_1(x)={\mathcal M}(x, s_1, t_1)$, $s_1$ и $t_1$ не зависят от $x$, Базисные решения и $s_1$ и $t_1$ аналитичны по $E\in [-2,2]$. Больше подробностей имеется в обзоре [5; раздел 2.3.1]. Отметим, что базис состоит из двух минимальных целых решений (решений, растущих наиболее медленно при $|\operatorname{Im} x|\to \infty$). При этом $t_1$ и $s_1$ выражаются через постоянные коэффициенты в асимптотиках одного из них при Im $x\to\pm\infty$, см. [12; раздел 7.1]. 3. Первая перенормировкаВажным объектом теории Блоха–Флоке для (3) являются блоховские решения – решения (3), инвариантные с точностью до постоянного множителя относительно сдвига на период $v$. Их построение сводится к диагонализации матрицы монодромии. Если $v$ – вещественнозначная непрерывная функция, то $E$ принадлежит резольвентному множеству тогда и только тогда, когда существуют два линейно независимых блоховских решения, экспоненциально убывающие в разные стороны. Они существуют тогда и только тогда, когда половина следа матрицы монодромии по модулю больше единицы. Попытка построить блоховские решения (2) ведет к уравнению монодромии [5; раздел 2.1.4] где $M_1$ – матрица монодромии для (2), $h_1=2\pi\{2\pi/h\}$, a $\{\cdot\}$ – дробная часть. Отметим связь между цепными дробями для $h/(2\pi)$ и $h_1/(2\pi)$:
$$
\begin{equation*}
\frac{h}{2\pi}=\cfrac1{n_1+\cfrac1{n_2+\dotsb}} \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{h_1}{2\pi}= \cfrac1{n_2+\cfrac1{n_3+\dotsb}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Переход от (2) к (4) называется перенормировкой. В качестве $M_1$ выберем в (4) матрицу монодромии из теоремы 1. Пусть
$$
\begin{equation*}
\mathcal E(t,s)=\frac12\biggl(\frac1t-t\biggr)\biggl(\frac1s-s\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно,
$$
\begin{equation*}
\mathcal E(t_1,s_1)=\frac12\cdot\frac{1}{2\pi}\cdot \int_0^{2\pi}\operatorname{Tr} M_1(x)\,dx,
\end{equation*}
\notag
$$
и $\mathcal E (t_1,s_1)\in \mathbb R$ при $E\in \mathbb R$. Для (4) линейно независимые блоховские решения, экспоненциально убывающие в разные стороны можно построить с помощью теоремы 4.1 из [13]. Используя ее, конструкции из [13; раздел 3.6] и теорему 1 из [11], мы доказали утверждение. 4. Квазиклассические асимптотики $t_1$ и $s_1$Ниже мы считаем, что $0\leqslant E<2$, а элементы $n_1, n_2,\dots$ цепной дроби числа ${h}/(2\pi)$ достаточно велики. Тогда, в частности, $h$ мало. Вычисление асимптотик $t_1$ и $s_1$ при $h\to 0$ сводится к исследованию некоторого минимального целого решения $\psi_0$ уравнения (2). Асимптотики $\psi_0$ получаются с помощью варианта комплексного метода ВКБ для разностных уравнений из [14], [15]. Определим многозначную аналитическую функцию $p$ переменной $x\in\mathbb C$ уравнением $\cos p+\cos x=E$. В ее точках ветвления $E-\cos x\in\{\pm1\}$. Точки, где $E-\cos x\in\{\pm1\}$, называются точками поворота и играют такую же роль, что и точки поворота для (3). Для (2) их множество $2\pi$-периодично и симметрично относительно нуля, $x=\pi$ и $\mathbb R$. При малых $E$ они группируются парами около точек $\pi\mathbb Z$ и их расположение соответствует рис. 1, где они изображены маленькими кружочками. При $h\to 0$ решение $\psi_0$ допускает стандартное квазиклассическое асимптотическое представление вида
$$
\begin{equation*}
\psi_0(x)=\frac1{\sqrt{\sin p(x)}} \exp\biggl(\frac{i}{h}\int_{x_0}^x p\,dx+O(h)\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
в области $K\subset \mathbb C$, изображенной слева на рис. 1. Ее граница изображена непрерывной линией и состоит из линий Стокса. Асимптотики $\psi_0$ в $K$ при $h\to 0$ позволяют вычислить лишь $t_1$. С помощью методов, аналогичных развитым в [16; раздел 5], устанавливается, что решение $\psi_0$ сохраняет стандартное асимптотическое представление в более широкой области $D$, изображенной справа на рис. 1. Это позволяет вычислить $s_1$. При малых $E$ часть “проходов” из $K$ в $D$ закрывается, и для вычисления $s_1$ асимптотики $\psi_0$ за пределами $K$ описываются с помощью [10], где вычислены матрицы перехода между базисами из решений, имеющих стандартное асимптотическое представление в областях, разделенных близкими точками поворота. Опишем результаты. Положим
$$
\begin{equation*}
\Phi_0(E)=\frac1{2\pi }\oint_{\gamma_\Phi} p\,dx, \quad S_0(E)=\frac1{2\pi i}\oint_{\gamma_S} p\,dx, \qquad 0<E<2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\gamma_\Phi$ ($\gamma_S$) – замкнутая кривая, обходящая отрезок прямой, соединяющий точки поворота $-z_\pi$ и $z_\pi$ ($-z_0$ и $z_0$ соответственно). Интегрируются непрерывные ветви $p$, выбранные так, что $\Phi_0(E)>0$ и $S_0(E)>0$. Функции $S_0$ и $2S_0\ln S_0- \pi\Phi_0$ аналитичны в окрестности нуля, $S_0(0)=0$, $S_0'(0)=1$, $\Phi_0(0)=\pi$, а $\Phi_0$ и $-S_0$ монотонно убывают с ростом $E$. Теорема 3. Пусть $C_0$ достаточно мало, а $|E|\leqslant C_0$. При достаточно малом $h$ 5. Информация о спектре после первой перенормировкиБлагодаря инвариантности множества решений уравнения Харпера относительно преобразования $\psi(x,E)\mapsto e^{i\pi x/h}\psi(x+\pi,-E)$, спектр симметричен относительно нуля. Ниже $E\geqslant 0$. Из теоремы 3 следует, что график $E_1=\mathcal E(t_1,s_1)$ как функции $E$ соответствует рис. 2. При удалении от нуля $E_1$ осциллирует с амплитудой
$$
\begin{equation*}
2 \operatorname{ch} \biggl(\frac{\pi}h (S_0+hg_S)\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
возрастающей с ростом $E$ от двух до экспоненциально большой по $h$ величины. На этом же рисунке мы изобразили графики функции $\rho$, равной правой части неравенства (5), и функции $-\rho$. Интервалы, где $|E_1|>\rho$, содержатся в лакунах. На рисунке мы изобразили один такой интервал. Теоремы 2 и 3 позволяют детально описать асимптотики центров и длин серии интервалов, содержащихся в лакунах. Мы обсудим два случая. Начнем со случая, когда влияние близких точек поворота пропадает. Фиксируем $C_1\in (0, C_0)$, где $C_0$ – константа из теоремы 3. Пусть $C_1\leqslant E\leqslant C_0$. Для таких $E$ $S_0(E)\geqslant S_0(C_1)>0$, Г-функция в определении $U$ заменяется асимптотикой, и оказывается, что
$$
\begin{equation*}
E_1=\exp\biggl(\frac{\pi}h S_0+O(h)\biggr) \cos\biggl(\frac{\pi}h \Phi_0+O(h\ln h)\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где поправки вещественно аналитичны. Теорема 4. Пусть $\{E_k\}\subset [C_1,C_0]$ – последовательность точек, удовлетворяющих условиям $(1/h)\Phi_0(E)=1/2+k$, $k\in \mathbb Z$. Расстояние между ними имеет порядок $h$, а спектр на отрезке $[C_1,C_0]$ содержится на таких интервалах $I_k$, что $I_k$ находится в $o(h)$ окрестности точки $E_k$, а длина $I_k$ в старшем порядке равна Этот результат согласуется с хорошо известными [2; теорема 1] (см. также [17]). Вычисляя приращение интегрированной плотности состояний на интервалах $I_k$ как в [18; раздел 4.3.3], мы доказываем, что на каждом из них есть спектр (см. также [19]). Обсудим область, где влияние близких точек поворота особенно сильно. Фиксируем $c_0>1$. Пусть $\epsilon=E/h \in [0, c_0]$. Из теоремы 3 вытекает, что
$$
\begin{equation*}
t_1=ie^{-\pi\epsilon+O(\epsilon h)}, \qquad E_1=2 \operatorname{ch} (\pi\epsilon+O(\epsilon h))\cdot\cos\biggl(\frac{\pi^2}{h}-2\epsilon\biggl(\ln \frac1h+g\biggr)\biggr), \qquad g=O(1),
\end{equation*}
\notag
$$
с аналитическими по $\epsilon$ поправками. Заметим, что при нашем условии на цепную дробь для $h/(2\pi)$, число $h_1$ мало. Справедлива Теорема 5. Рассмотрим множество таких точек $\epsilon$ на интервале $[0,c_0]$, что В старшем порядке расстояние между ними равно $\pi/(2\ln(1/h))$. Пронумеруем эти точки слева направо номером $k\geqslant 1$, если $[2\pi/h]$ – нечетное число, и $k\geqslant 0$, если оно четное. Если произведение $h_1|\ln h|^3$ мало, то каждая из точек $h\epsilon_k$ с $k\geqslant 1$ находится лакуне длины как минимум порядка $hk/(\ln h)^2$. Если мало лишь $h_1$, то это верно для таких $k$, что $\epsilon_k\geqslant 1$. 6. Коротко о спектре после второй перенормировкиПусть $I$ – интервал значений, которые принимает $E_1$ между двумя своими соседними экстремумами или на зонах первого поколения, найденными после первой перенормировки. Для исследования спектра на $I$ выполняют перенормировку уравнения (4). Так как матрица $M_1$ является $2\pi$-периодической, для (4) тоже можно ввести матрицу монодромии. Вместо теоремы 2 используется следующая теорема [5; теорема 2.6] Теорема 6. Рассмотрим уравнение (4) c $M_1(x)=\mathcal M(x,s,t)$, где $s,t\in \mathbb C$, $|s|=1$, $t\in i\mathbb R\setminus\{0\}$. Фиксируем $C>0$ и предположим, что $|t|\leqslant C$ и $0\leqslant \mathcal E(t,s)\leqslant C$. При достаточно малом $h$ во множестве решений (4) есть такой базис из решений, целых по $x$, что соответствующая матрица монодромии имеет вид $\mathcal M(x, \mathbb S, \mathbb T)$, где $\mathbb S$, $\mathbb T$ не зависят от $x$, $\mathbb T\in i\mathbb R$ и $|\mathbb S|=1$. Базисные решения, $\mathbb S$ и $\mathbb T$ аналитичны по $s$ и $t$. Далее рассматривается уравнение (4) c заменой $h_1$ на $h_2=\{1/h_1\}$ и $M_1$ на ${\mathcal M}(x, s_2, t_2)$, где $s_2=\mathbb S(s_1,t_1)$ и $t_2=\mathbb T(s_1,t_1)$, и доказывается теорема 2 с заменой индекса $1$ на $2$. Вернемся к первому уравнению монодромии. Так как параметр $h_1$ мал, можно получить квазиклассические асимптотики для $s_2$ и $t_2$. Существенной разницей оказывается вхождение в асимптотические формулы фазы Берри, аналога хорошо известной для дифференциальных уравнений, см. [20]. Описание спектра после второй перенормировки в целом следует тому же пути, что и после первой. Мы обнаруживаем новую коллекцию лакун на интервале $I$ (лакуны второго поколения). Ниже мы остановимся на описании спектра расположенного около точки, где $E_1=2$, а $E$ удовлетворяет условию $E/h\in[0, c_0]$. Это позволит нам обсудить концы лакун из теоремы 5. Для уравнения (4) комплексный импульс определяется соотношением $\operatorname{Tr}M_1(x)=2\cos p$ или, эквивалентно, $\cos p+\cos x=E_1$. При $E_1$ близком к $2$ около $x=0$ возникают две близкие точки поворота. Получаются асимптотические формулы
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, s_2&=i\exp\biggl(\frac{i\pi \Phi}{h_1}\biggr), \qquad t_2=\frac{\sqrt{2\pi} i} {\Gamma({\Phi}/{h_1}+1/2)} \\ &\qquad\qquad\times \exp\biggl(\frac{\Phi}{h_1}\ln\frac1{h_1} + \frac1{h_1}\bigl(\Phi_0(\ln\Phi_0-1)-\pi S_0\bigr) +(\Phi_1\ln \Phi_0-\pi S_1)+O(h_1\ln h_1)\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6}
$$
где $\Phi=\Phi_0(E_1)+h_1\Phi_1(s_1,t_1)+O(h_1^2)$, a $\Phi_1=\Phi_1(s_1,t_1)$ и $S_1=S_1(s_1,t_1)$ – фазы Берри “подправляющие” $\Phi_0=\Phi_0(E_1)$ и $S_0=S_0(E_1)$ и равные контурным интегралам от некоторого мероморфного дифференциала по $\gamma_\Phi$ и $\gamma_S$. Функции $\Phi_0$ и $\Phi_0\ln\Phi_0-\pi S_0$ аналитичны по $E_1$, а $\Phi_1$ и $\Phi_1\ln \Phi_0-\pi S_1$ аналитичны по $t_1$ и $s_1$. Обсудим лакуны “спрятанные” у точек $E=h\epsilon_k$ c $\epsilon_k<1$, когда произведение $h_1|\ln h|^3$ не мало, см. теорему 5. Около каждой такой точки есть две точки, где $E_1$ принимает одинаковые значения, равные либо $2$, либо $-2$, см. рис. 2. Рассмотрим первый случай. Для того, чтобы понять, есть ли около $E=h\epsilon_k$ лакуна, мы вычисляем значения $E_2$ в этих двух точках. Для этого нужны значения $\Phi$ из (6) в этих точках. Так как $\Phi_0(2)=0$, то они определяются значениями $\Phi_1$. Последние вычисляются явно, и оказывается, что всегда в одной из двух обсуждаемых точек величина $E_2$ экспоненциально велика. Отсюда и вытекает, что около $E=h\epsilon_k$ действительно есть “спрятанная” лакуна. Это отражает свойство перенормировочной процедуры “раскрывать” (т.е. делать возможным обнаружить) новые лакуны при новых перенормировках. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Fed23} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|