| Математические заметки |
|
|
|
|
|
О почти периодических траекториях управляемых систем с обратной связью в форме sweeping процессов М. И. Каменскийa, В. В. Обуховскийb, Г. Г. Петросянb a Воронежский государственный университет b Воронежский государственный педагогический университет
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623070088 
Реферативные базы данных:
  ВведениеМоделирование процессов в системах управления с обратной связью с помощью дифференциальных включений и вариационных неравенств различных типов в конечномерных и бесконечномерных пространствах является актуальной задачей современной математики. В частности, значительный интерес представляет исследование управляемых систем, динамика которых описывается некоторыми дифференциальными уравнениями или включениями в бесконечномерном банаховом пространстве с управляющими параметрами. Во многих случаях ограничения по обратной связи, накладываемые на выбор управления, рассматриваются как решения так называемых sweeping процессов в гильбертовых пространствах, зависящих от состояния системы. Фундаментальные теоремы о существовании, единственности и непрерывной зависимости решений для систем со sweeping процессами, были получены Moreau [1], Monteiro Marques [2], Valadier [3], Adly и Le [4], Brogliato и Thibault [5], Castaing и Monteiro Marques [6], Paoli [7]. Пусть $H_1,\dots,H_p$ и $W_1,\dots,W_q$ – гильбертовы пространства. Мы рассматриваем следующую управляемую систему с обратной связью:
$$
\begin{equation}
x'_i(t) =A_ix_i(t)+f_i\bigl(t,x_1(t),\dots,x_p(t),u_1(t),\dots,u_q(t)\bigr),\qquad t\in\mathbb R,
\end{equation}
\tag{0.1}
$$
$$
\begin{equation}
-u'_j(t) \in N_{C_j(t)}(u_j(t)) +g_j\bigl(t,x_1(t),\dots,x_p(t),u_1(t),\dots,u_q(t)\bigr)+\gamma_ju_j(t),\qquad t\in\mathbb R,
\end{equation}
\tag{0.2}
$$
где $i=1,\dots,p$, $j=1,\dots,q$, $C_j\colon\mathbb R\multimap W_j$ – многозначные функции с выпуклыми замкнутыми значениями, $A_i\colon D(A_i)\subset H_i\to H_i$ – линейные замкнутые операторы, порождающие $C_0$-полугруппы операторов $\{e^{A_i t},\,t\geqslant 0\}$ в пространствах $H_i$, $\gamma_j>0$ – заданные константы. Через $N_{C_j(t)}(u_j)$ обозначен нормальный конус, определяемый для замкнутого выпуклого множества $C_j(t)\subset W_j$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
N_{C_j(t)}(u_j)=\begin{cases} \bigl\{\xi\in W_j\colon \langle\xi,c-u_j\rangle\leqslant 0\text{ для всех }c\in C_j(t)\bigr\}, &\text{если }u_j \in C_j(t), \\ \varnothing, &\text{если }u_j\notin C_j(t), \end{cases}
\end{equation}
\tag{0.3}
$$
а отображения
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, f_i\colon\mathbb R\times H_1\times\dotsb\times H_p\times W_1 \times\dotsb\times W_q\to H_i, \\ g_j\colon\mathbb R\times H_1\times\dotsb\times H_p\times W_1 \times\dotsb\times W_q\to W_j \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
являются нелинейными и липшицевыми по всем переменным, кроме первой. Мы приводим теорему о существовании и единственности почти периодического решения для системы (0.1), (0.2), а также устанавливаем для нее аналог принципа усреднения.
1. Sweeping процессы в гильбертовом пространствеПусть $W$ – гильбертово пространство. В дальнейшем будем использовать следующие обозначения:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, C(W) &=\{A\subset W\colon A-\text{непусто и замкнуто}\}; \\ Cb(W) &=\{A\in C(W)\colon A-\text{ограничено}\}; \\ Cv(W) &= \{A\in C(W)\colon A-\text{выпукло}\}; \\ K(W) &=\{A\in C(W)\colon A-\text{компактно}\}; \\ Kv(W) &= \{A\in K(W)\colon A-\text{выпукло}\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $M_1, M_2\in K(W)$; тогда хаусдорфово расстояние между ними будем обозначать как $d_W(M_1,M_2)$. Пусть мультифункция $C\colon\mathbb R\to K(W)$ такова, что
Для мультифункции $C\colon\mathbb R\to Kv(W)$ рассмотрим следующий sweeping процесс с возмущением: где $h\colon\mathbb R\to W$ – ограниченная измеримая функция и $\gamma>0$.Используя результаты работы [8], можно показать, что при выполнении условия (W2) для каждого начального условия $u(t_0)\in C(t_0)$ sweeping процесс (1.2) допускает единственное абсолютно непрерывное решение $\widehat u$, удовлетворяющее (1.2) почти для всех $t\geqslant t_0$. Более того, справедливо следующее утверждение. Теорема 1. Пусть $h\colon\mathbb R\to W$ – ограниченная измеримая функция. Предположим, что мультифункция $C\colon\mathbb R\to Kv(W)$ удовлетворяет условиям (W1), (W2), (W3). Тогда sweeping процесс (1.2) допускает абсолютно непрерывное ограниченное решение $\widehat u$, определенное на $\mathbb R$. Замечание 1. Если $u$ является решением (1.2), определенным для $t\geqslant t_0$, то $u(t)\in C(t)$, для всех $t\geqslant t_0$, поскольку $N_{C(t)}(u(t))$ в противном случае не определено. В частности, если $\sup\{\|c\|\colon c\in C(t),\,t\in\mathbb R\}\leqslant K$ для некоторого $K>0$, то $\|u(t)\|\leqslant K $ для любого решения $u$ уравнения (1.2) с начальным условием $u(t_0)\in C(t_0)$ и $t\geqslant t_0$. Мы будем рассматривать $Cb(W)$ как метрическое пространство, снабженное хаусдорфовой метрикой $d_W$. Определение 1 [9]. Непрерывная мультифункция $\Phi\colon\mathbb R\to Cb(W)$ называется почти периодической, если для любого $\varepsilon>0$ существует число $p(\varepsilon)>0$, обладающее тем свойством, что каждый отрезок длины $p(\varepsilon)>0$ вещественной прямой содержит хотя бы одну точку $s$ такую, что Понятие однозначной почти периодической функции $\phi\colon\mathbb R\to W$ см., например, в [10]. Отметим работы [11]–[14], посвященные исследованию многозначных почти периодических отображений и задаче существования почти периодических решений для различных классов дифференциальных уравнений. Справедливо следующее утверждение. Теорема 2. Пусть выполняются условия теоремы 1 и пусть $\widehat u$ – абсолютно непрерывное ограниченное решение включения (1.2). Если обе функции $h(t)$ и $C(t)$ почти периодические, то $\widehat u$ является единственным почти периодическим решением и удовлетворяет следующей оценке: 2. Существование почти периодического решения системы, описываемой дифференциальными уравнениями и sweeping процессамиРассмотрим в гильбертовом пространстве $H$ следующее дифференциальное уравнение: где $A$ удовлетворяет условию а $\varphi$ – почти периодическая функция. Известно (см. [15]), что дифференциальное уравнение (2.1) имеет единственное почти периодическое решение и при этом
$$
\begin{equation*}
\|y\|_{C(\mathbb R,H)}\leqslant\frac{1}{\alpha}\|\varphi\|_{C(\mathbb R,H)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пространство почти периодических функций на $\mathbb R$ со значениями в гильбертовом пространстве $H$ будем обозначать через $AP(\mathbb R;H)$. Определение 2. Отображение $p\colon\mathbb R\times H\to H$ называется равномерно почти периодическим, если для любого $\varepsilon>0$ и $r>0$ найдется $l(\varepsilon,r)>0$ такое, что в каждом интервале $[t_0,t_0+l(\varepsilon,r)]$ существует $\tau$, для которого Известно (см., например, [16]), что если отображение $p\colon\mathbb R\times H\to H$ равномерно почти периодично и функция $k\colon\mathbb R\to H $ является почти периодической, то функция суперпозиции $\widehat p\colon\mathbb R\to H$ также почти периодическая.Будем считать, что выполняются следующие условия для системы (0.1), (0.2):
Из этих предположений ясно, что соответствующие функции суперпозиции
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &f_i\bigl(t,x_1(t),\dots,x_p(t),u_1(t),\dots,u_q(t)\bigr), \\ &g_j\bigl(t,x_1(t),\dots,x_p(t),u_1(t),\dots,u_q(t)\bigr) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
почти периодические, если $x_i$ и $u_j$ почти периодические для всех $i=1,\dots,p$, $j=1,\dots,q$. Будем также полагать, что операторы $A_i\colon D(A_i)\subset H_i\to H_i$ удовлетворяют условию (A) с константами $\alpha_i$. Определение 3. Набор функций Теперь рассмотрим следующее понятие (см. [17]). Множество $\mathbb X$ называется обобщенным метрическим пространством, если каждой паре элементов $(\mathbf x,\mathbf y)$ из этого пространства сопоставлен вектор
$$
\begin{equation*}
\overline{\mathbf\rho}(\mathbf x,\mathbf y) =\bigl(\rho_1(\mathbf x,\mathbf y),\rho_2(\mathbf x,\mathbf y), \dots,\rho_n(\mathbf x,\mathbf y)\bigr)^{\top}
\end{equation*}
\notag
$$
из вещественного $n$-мерного пространства $\mathbb R^n$ таким образом, что все обычные свойства метрики выполняются в векторном смысле. Функция $\overline{\boldsymbol\rho}\colon\mathbb X\times\mathbb X\to\mathbb R^n$ называется векторной метрикой. Основные определения и факты из теории обычных метрических пространств естественным образом переносятся на обобщенные метрические пространства. Определение 4. Оператор $F\colon\mathbb X\to\mathbb X$ называется обобщенным отображением сжатия, если для любых $\mathbf x,\mathbf y\in\mathbb X$ он удовлетворяет следующему условию: где $\mathbf Q$ – вещественная квадратная неотрицательная $n\times n$-матрица, спектральный радиус которой $\operatorname{spr}\mathbf Q<1$. Теорема 3 [17]. Пусть оператор $F\colon\mathbb X\to\mathbb X$ является обобщенным отображением сжатия. Тогда он имеет единственную неподвижную точку. Теорема 4 [18]. Предположим, что $\Gamma=\operatorname{diag}(\lambda_i)$, $\lambda_i>0$, $i=1,\dots,n$, – диагональная матрица и $M=(m_{i,j})^n_{i,j=1}$ – матрица с неотрицательными элементами. Спектральный радиус $\operatorname{spr}(\Gamma^{-1}M)<1$ тогда и только тогда, когда матрица $-\Gamma+M$ экспоненциально устойчива. Отметим, что $AP(\mathbb R;H_1)\times\dotsb\times AP(\mathbb R;H_p) \times AP(\mathbb R;W_1)\times\dotsb\times AP(\mathbb R;W_q)$, в дальнейшем обозначаемое как $\prod^p_{i=1}AP(\mathbb R;H_i)\times\prod^q_{j=1}AP(\mathbb R;W_j)$, можно рассматривать как обобщенное метрическое пространство с векторной метрикой
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\overline{\boldsymbol\rho}_{\mathbf{AP}}((x^1_1,\dots,x^1_p,u^1_1,\dots,u^1_q); (x^2_1,\dots,x^2_p,u^2_1,\dots,u^2_q)) \\ &\qquad=\bigl(\|x^1_1-x^2_1\|_{AP(\mathbb R;H_1)};\dots; \|x^1_p-x^2_p\|_{AP(\mathbb R;H_p)}; \\ &\qquad\qquad \|u^1_1-u^2_1\|_{AP(\mathbb R;W_1)}; \dots;\|u^1_q-u^2_q\|_{AP(\mathbb R;W_q)}\bigr)^{\top}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Построим разрешающий оператор задачи (0.1), (0.2)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Lambda\colon\prod^p_{i=1}AP(\mathbb R;H_i) \times\prod^q_{j=1}AP(\mathbb R;W_j) &\to\prod^p_{i=1}AP(\mathbb R;H_i)\times\prod^q_{j=1}AP(\mathbb R;W_j), \\ \Lambda(x_1,\dots,x_p,u_1,\dots,u_q) &=(y_1,\dots,y_p,v_1,\dots,v_q). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $y_i$ – решения дифференциальных уравнений
$$
\begin{equation}
y'_i(t)=A_iy_i(t)+\varphi_i(t),\qquad t\in\mathbb R,
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
с $\varphi_i(t)=f_i(t,x_1(t),\dots,x_p(t),u_1(t),\dots,u_q(t))$, а $v_j$ – решения sweeping процессов
$$
\begin{equation}
-v'_j(t)\in N_{C_j(t)}(v_j(t))+h_j(t)+\gamma_jv_j(t),
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
с $h_j(t)=g_j(t,x_1(t),\dots,x_p(t),u_1(t),\dots,u_q(t))$. Решением задачи (0.1), (0.2) является неподвижная точка оператора $\Lambda$, поэтому в дальнейшем необходимо показать ее существование. Лемма 1. Пусть $y^1_i$, $y^2_i$ – решения дифференциальных уравнений (2.2) и $v^1_j$, $v^2_j$ – решения sweeping процессов (2.3). При выполнении условий (A), (W1)–(W3), (f1), (f2), (g1), (g2) для всех функций $x^1_i,x^2_i\in AP(\mathbb R;H_i)$ и $u^1_j,u^2_j\in AP(\mathbb R;W_j)$ имеет место соотношение Из теорем 3, 4 и последней леммы получаем следующий основной результат данного раздела. Теорема 5. При выполнении условий (A), (W1)–(W3), (f1), (f2), (g1), (g2), если матрица 3. Принцип усредненияПерейдем к рассмотрению следующей системы:
$$
\begin{equation}
x'_i(t) =A_ix_i(t)+f_i\biggl(\frac{t}{\varepsilon}\,,t,x_1(t),\dots, x_p(t),u_1(t),\dots,u_q(t)\biggr),\qquad t\in\mathbb R,\quad i=1,\dots,p,
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, -u'_j(t) \in N_{C_j(t)}(u_j(t))+g_j(t,x_1(t),\dots,x_p(t),u_1(t),\dots,u_q(t)) +\gamma_ju_j(t), \\ t\in\mathbb R,\qquad j=1,\dots,q, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
считая выполненными вышеперечисленные условия (A), (W1)–(W3), (g1), (g2), кроме (f1), (f2), которые заменим на следующие:
Для решения задачи (3.1), (3.2) вводится оператор
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Lambda_\varepsilon\colon\prod^{p}_{i=1}AP(\mathbb{R};H_i) \times\prod^q_{j=1}AP(\mathbb R;W_j) &\to\prod^p_{i=1}AP(\mathbb R;H_i)\times\prod^q_{j=1}AP(\mathbb R;W_j), \\ \Lambda_\varepsilon(x_1,\dots,x_p,u_1,\dots,u_q) &=(y^\varepsilon_1,\dots,y^\varepsilon_p,v_1,\dots,v_q), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $y^\varepsilon_i$ – решения дифференциальных уравнений
$$
\begin{equation}
y'_i(t)= A_iy_i(t)+\varphi^\varepsilon_i(t),\qquad t\in\mathbb R,
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
с $\varphi^\varepsilon_i(t)=f_i(t/\varepsilon,t,x_1(t),\dots,x_p(t),u_1(t),\dots,u_q(t))$, а $v_j$ – решения sweeping процессов
$$
\begin{equation*}
-v'_j(t)\in N_{C_j(t)}(v_j(t))+h_j(t)+\gamma_jv_j(t),
\end{equation*}
\notag
$$
с $h_j(t)=g_j(t,x_1(t),\dots,x_p(t),u_1(t),\dots,u_q(t))$. Из теоремы 5 следует, что при каждом $\varepsilon>0$ система (3.1), (3.2) имеет единственное решение $(x^\varepsilon_1,\dots,x^\varepsilon_p,u^\varepsilon_1,\dots,u^\varepsilon_q)$. Совместно с (3.1) рассмотрим уравнения
$$
\begin{equation}
x'_i(t)=A_i x_i(t)+f^0_i(t,x_1(t),\dots,x_p(t),u_1(t),\dots,u_q(t)),\qquad t\in\mathbb R,\quad i=1,\dots,p,
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
где
$$
\begin{equation*}
f^0_i(t,x_1, \dots,x_p,u_1,\dots,u_q) =\lim_{T\to+\infty}\frac{1}{2T} \int^T_{-T}f_i(s,t,x_1,\dots,x_p,u_1,\dots,u_q)\,ds,
\end{equation*}
\notag
$$
причем предел равномерен относительно $x_1,\dots,x_p,u_1,\dots,u_q$ из ограниченного множества. Легко видеть, что каждое отображение $f^0_i$ удовлетворяет условиям $(\mathrm f'1)$, $(\mathrm f'2)$, поэтому система (3.4), (3.2) имеет единственное решение $x^0_1,\dots,x^0_p,u^0_1,\dots,u^0_q)$. Более того, имеет место следующее утверждение. Теорема 6. При выполнении условий (A), (W1)–(W3), $(\mathrm f'1)$, $(\mathrm f'2)$, (g1), (g2), решения $(x^\varepsilon_1,\dots,x^\varepsilon_p,u^\varepsilon_1,\dots,u^\varepsilon_q)$ при $\varepsilon\to 0$ равномерно сходятся в пространстве к функциям $(x^0_1,\dots,x^0_p,u^0_1,\dots,u^0_q)$. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KamObuPet23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|