| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Краткие сообщения Об интегральных операторах с однородными ядрами в весовых пространствах Лебега на группе Гейзенберга О. Г. Авсянкин Южный федеральный университет, факультет математики, механики и компьютерных наук, г. Ростов-на-Дону
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S000143462307012X 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеВ настоящее время имеется весьма развитая теория многомерных интегральных операторов с однородными ядрами (см., например, [1]–[4] и цитированные в них источники). Для таких операторов были получены необходимые и достаточные условия обратимости и нетеровости, исследованы порождаемые этими операторами банаховы алгебры, найдены критерии применимости проекционных методов. Отметим, что во всех упомянутых работах операторы с однородными ядрами рассматривались в пространствах $L_p(\mathbb R^n)$. Однако, в современной математике и в приложениях все большее значение приобретает анализ на некоммутативных группах, в частности, на группе Гейзенберга (см., например, [5]–[7] и библиографию в них). В работах [8] и [9] впервые были исследованы операторы с однородными ядрами на группе Гейзенберга. Данная работа продолжает исследования, начатые в [8]–[9]. В ней рассматриваются многомерные интегральные операторы с однородными ядрами в $L_p$-пространствах со степенным весом на группе Гейзенберга. Получены достаточные условия ограниченности таких операторов, действующих из пространства $L_p$ c одним степенным весом в пространство $L_q$ с другим степенным весом. Кроме того получена формула, связывающая показатели степенных весов со значениями $p$ и $q$. 2. Предварительные сведенияСледуя [5; § 9.8], приведем основные сведения о группе Гейзенберга. Пусть $\mathbb C^n$ – $n$-мерное комплексное арифметическое пространство векторов $z=(z_1,\dots,z_n)$ со скалярным произведением $z\cdot w=z_1\overline w_1+\dotsb+z_n\overline w_n$. Группа Гейзенберга – это множество $\mathbb H_n=\mathbb C^n\times\mathbb R$, наделенное групповой операцией
$$
\begin{equation*}
(z_1,t_1) (z_2,t_2)=\bigl(z_1+z_2,\,t_1+t_2+2\operatorname{Im}(z_1\cdot\overline z_2)\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Определим на группе $\mathbb H_n$ (параболическое) растяжение $\delta_\lambda$, где $\lambda>0$, равенством
$$
\begin{equation*}
\delta_\lambda(x)=\delta_\lambda(z,t) =(\lambda z,\lambda^2 t),\qquad x=(z,t)\in\mathbb H_n.
\end{equation*}
\notag
$$
Норму элемента $x=(z,t)\in\mathbb H_n$ определим формулой Эту норму называют нормой Кораньи. Очевидно, что $\|\delta_\lambda(x)\|=\lambda\|x\|$ для любого $x\in\mathbb H_n$. Введем сферические координаты на группе $\mathbb H_n$. Рассмотрим в $\mathbb H_n$ единичную сферу $\mathbb S_n=\{x\in\mathbb H_n:\|x\|=1\}$. Для любого $x\in\mathbb H_n$, $x\ne 0$, положим $r=\|x\|$ и $\sigma=\delta_{1/r}(x)$. Ясно, что $\sigma\in\mathbb S_n$. Пару $(r,\sigma)$ будем называть сферическими координатами точки $x$. Тогда $x=\delta_r(\sigma)$. Обычная мера Лебега на $\mathbb R^{2n+1}$ индуцирует на группе $\mathbb H_n$ биинвариантную меру Хаара (см. [5; с. 192]). Пусть $1\leqslant p<\infty$ и $\alpha\in\mathbb R$. Обозначим через $L_{p,\alpha}(\mathbb H_n)$ – пространство (классов) измеримых комплекснозначных функций с нормой
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{p,\alpha} =\biggl(\int_{\mathbb H_n}|f(x)|^p\,\|x\|^\alpha\,dx\biggr)^{1/p},\quad 1\leqslant p<\infty, \qquad \|f\|_\infty=\operatorname*{ess\,sup}_{x\in\mathbb H_n}|f(x)|.
\end{equation*}
\notag
$$
В случае $\alpha=0$ будем писать $\|\cdot\|_p$ вместо $\|\cdot\|_{p,0}$. Положим $p'=p/(p-1)$.
3. Основные результатыРассмотрим оператор
$$
\begin{equation}
(K\varphi)(x)=\int_{\mathbb H_n}k(x,y)\varphi(y)\,dy,\qquad x\in\mathbb H_n,
\end{equation}
\tag{1}
$$
где функция $k(x,y)$, заданная на $\mathbb H_n\times\mathbb H_n$, измерима и однородна степени $(-2n-2)$, т.е.
$$
\begin{equation}
k(\delta_\lambda(x),\delta_\lambda(y))=\lambda^{-2n-2}k(x,y)\qquad \forall\,\lambda>0.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Основная цель данной работы – исследовать ограниченность оператора $K$, действующего из пространства $L_{p,\alpha}(\mathbb H_n)$ в $L_{q,\beta}(\mathbb H_n)$. В пространстве $L_{p,\alpha}(\mathbb H_n)$ определим оператор весового мультипликативного сдвига $U_{\lambda,p,\alpha}$, где $\lambda>0$, формулой
$$
\begin{equation*}
(U_{\lambda,p,\alpha}\varphi)(x) =\lambda^{(2n+2+\alpha)/p}\varphi(\delta_\lambda(x)).
\end{equation*}
\notag
$$
Непосредственно проверяется, что
$$
\begin{equation}
\|U_{\lambda,p,\alpha}\varphi\|_{p,\alpha}=\|\varphi\|_{p,\alpha}.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Теорема 1. Пусть $1\leqslant p\leqslant q <\infty$, $K$ – оператор вида (1), ядро которого удовлетворяет условию (2). Тогда Доказательство. 1) Покажем, что справедливо равенство
$$
\begin{equation}
U_{\lambda,q,\beta} K=\lambda^{\nu}KU_{\lambda,p,\alpha},
\end{equation}
\tag{5}
$$
где В самом деле, с помощью замены $y=\delta_\lambda(t)$, $dy=\lambda^{2n+2}\,dt$ получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (U_{\lambda,q,\beta}K\varphi)(x) &=\lambda^{(2n+2+\beta)/q} \int_{\mathbb H_n} k\bigl(\delta_\lambda(x),y\bigr)\varphi(y)\,dy \\ &=\lambda^{(2n+2+\beta)/q+2n+2} \int_{\mathbb H_n}k\bigl(\delta_\lambda(x),\delta_\lambda(t)\bigr) \varphi(\delta_\lambda(t))\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя условие (2), имеем
$$
\begin{equation*}
(U_{\lambda,q,\beta}K \varphi)(x) =\lambda^{(2n+2+\beta)/q} \int_{\mathbb H_n}k(x,t)\varphi(\delta_\lambda(t))\,dt =\lambda^\nu(K U_{\lambda,p,\alpha}\varphi)(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая равенства (3) и (5), получаем
$$
\begin{equation*}
\|K\varphi\|_{q,\beta}=\|U_{\lambda,q,\beta}K\varphi\|_{q,\beta} =\lambda^\nu\|KU_{\lambda,p,\alpha}\varphi\|_{q,\beta} \leqslant\lambda^\nu\|K\|\,\|U_{\lambda,p,\alpha}\varphi\|_{p,\alpha} =\lambda^\nu\|K\|\,\|\varphi\|_{p,\alpha}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $\|K\|\leqslant\lambda^\nu\|K\|$. Так как $\|K\|\ne 0$, то $\lambda^\nu\geqslant 1$. Отсюда при $\lambda>1$ вытекает, что $\nu\geqslant 0$, а при $0<\lambda<1$ получаем, что $\nu\leqslant 0$. Таким образом, $\nu=0$. Тогда формула (4) сразу следует из формулы (6).
2) По аналогии с формулой (5) устанавливается равенство из которого следует, что $\|K\|\leqslant\lambda^\nu\|K\|$, где $\nu=-(2n+2+\alpha)/p$. Отсюда $\nu=0$, т.е. $\alpha=-2n-2$. Теорема 2. Пусть $1\leqslant p\leqslant q<\infty$, $K$ – оператор вида (1), ядро которого удовлетворяет условию (2), а также условиям Доказательство. Рассмотрим два случая.
1) Пусть $r=1$. Тогда в силу формул (9) и (4) получаем, что $q=p$ и $\beta=\alpha$. Тогда данная теорема совпадает с теоремой 1 работы [8]. 2) Пусть $r>1$. Заметим, что справедливо равенство где $\psi(y)=\varphi(y)\|y\|^{\alpha/p}$, а $K_1$ – оператор вида (1), ядром которого является функция Из равенства (11) следует, что оператор $K$ ограничен из $L_{p,\alpha}(\mathbb H_n)$ в $L_{q,\beta}(\mathbb H_n)$ тогда и только тогда, когда оператор $K_1$ ограничен из $L_p(\mathbb H_n)$ в $L_{q,\gamma}(\mathbb H_n)$, где $\gamma=\beta-\alpha q/p$.Докажем ограниченность оператора $K_1$. Учитывая, что $r/q=1-r/p'$, запишем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |(K_1\psi)(x)| &\leqslant\int_{\mathbb H_n}|k_1(x,y)|\,|\psi(y)|\,dy \\ &=\int_{\mathbb H_n}(|\psi(y)|^{1-p/q}) \bigl(|k_{1}(x,y)|^{r/q}\,|\psi(y)|^{p/q}\,\|y\|^{(2n+2)r/(p'q)}\bigr) \\ &\qquad\times \bigl(|k_{1}(x,y)|^{1-r/q}\,\|y\|^{((2n+2)/p')(r/p'-1)}\bigr)\,dy. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Применим неравенство Гёльдера с показателями $p/(1-p/q)$, $q$ и $p'$ соответственно. Принимая во внимание равенство $(1-r/q)p'=r$, имеем
$$
\begin{equation*}
|(K_1\psi)(x)|\leqslant\|\psi\|_p^{1-p/q}\mathscr I(x) \biggl(\int_{\mathbb H_n}|k_1(x,y)|^r\,\|y\|^{(2n+2)(r/p'-1)}\,dy\biggr)^{1/p'},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\mathscr I(x)=\biggl(\int_{\mathbb H_n}|k_1(x,y)|^r\,|\psi(y)|^p\, \|y\|^{(2n+2)r/p'}\,dy\biggr)^{1/q}.
\end{equation*}
\notag
$$
Сделаем замену $y=\delta_{\|x\|}(t)$, $dy=\|x\|^{2n+2}\,dt$. Тогда, используя условие (2), получим
$$
\begin{equation*}
|(K_1\psi)(x)| \leqslant\|\psi\|_p^{1-p/q}\mathscr I(x)\|x\|^{-(2n+2)r/(pp')} \biggl(\int_{\mathbb H_n}|k_1(\sigma,t)|^r\, \|t\|^{(2n+2)(r/p'-1)}\,dt\biggr)^{1/p'},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\sigma=\delta_{1/\|x\|}(x)$. Теперь, последовательно применив (12) и (7), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |(K_1\psi)(x)| &\leqslant\|\psi\|_p^{1-p/q}\mathscr I(x)\|x\|^{-(2n+2)r/(pp')} \biggl(\int_{\mathbb H_n}|k(\sigma,t)|^r\, \|t\|^{(2n+2)(r/p'-1)-\alpha r/p}\,dt\biggr)^{1/p'} \\ &\leqslant\kappa_1^{1/p'}\|\psi\|_p^{1-p/q}\,\|x\|^{-(2n+2)r/(pp')} \biggl(\int_{\mathbb H_n}|k_1(x,y)|^r\,|\psi(y)|^p\,\|y\|^{(2n+2)r/p'}\,dy\biggr)^{1/q}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\|K_1\psi\|^q_{q,\gamma} \leqslant\kappa_1^{q/p'}\|\psi\|_p^{q-p} \int_{\mathbb H_n}\|x\|^{\gamma-(2n+2)rq/(pp')}\,dx \int_{\mathbb H_n}|k_{1}(x,y)|^r\,|\psi(y)|^p\,\|y\|^{(2n+2)r/p'}\,dy.
\end{equation*}
\notag
$$
Пользуясь равенствами (4) и (9), легко проверить, что $\gamma-(2n+2)rq/(pp')=(2n+2)(r/p-1)$. Тогда, меняя порядок интегрирования, получим
$$
\begin{equation*}
\|K_1\psi\|^q_{q,\gamma} \leqslant\kappa_1^{q/p'}\|\psi\|_p^{q-p} \int_{\mathbb H_n}|\psi(y)|^p\,\|y\|^{(2n+2)r/p'}\,dy \int_{\mathbb H_n}|k_1(x,y)|^r\,\|x\|^{(2n+2)(r/p-1)}\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Во внутреннем интеграле сделаем замену $x=\delta_{\|y\|}(t)$, $dx=\|y\|^{2n+2}\,dt$. Тогда, используя условие однородности (2), а затем формулу (12), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|K_1\psi\|^q_{q,\gamma} &\leqslant\kappa_1^{q/p'}\|\psi\|_p^{q-p} \int_{\mathbb H_n}|\psi(y)|^p\,dy \int_{\mathbb H_n}|k_1(t,\theta)|^r\,\|t\|^{(2n+2)(r/p-1)}\,dt \\ &=\kappa_1^{q/p'}\|\psi\|^{q-p}_p \int_{\mathbb H_n}|\psi(y)|^p\,dy \int_{\mathbb H_n}|k(t,\theta)|^r\,\|t\|^{(2n+2)(r/p-1)+\alpha r/p}\,dt, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\theta=\delta_{1/\|y\|}(y)$. Учитывая (8), окончательно получаем
$$
\begin{equation*}
\|K_1\psi\|^q_{q,\gamma} \leqslant\kappa_1^{q/p'}\|\psi\|_p^{q-p}\kappa_2\|\psi\|^p_p =\kappa_1^{q/p'}\kappa_2\|\psi\|^q_p.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\|K_1\psi\|_{q,\gamma}\leqslant\kappa_1^{1/p'}\kappa_2^{1/q}\|\psi\|_p.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\|\psi\|_p=\|\varphi\|_{p,\alpha}$ и $\|K_1\psi\|_{q,\gamma}=\|K\varphi\|_{q,\beta}$, то получаем неравенство (11). Теорема доказана. Замечание 1. При $p=1$ достаточно одного условия (8). Точнее, если выполнено только условие (8), где $p=1$, то оператор $K$ ограничен из $L_{1,\alpha}(\mathbb H_n)$ в $L_{r,\beta}(\mathbb H_n)$, причем Приведем пример функции $k(x,y)$, удовлетворяющей условиям (2), (7) и (8). Для простоты ограничимся случаем $\alpha=0$. Рассмотрим функцию
$$
\begin{equation}
k(x,y)=\frac{1}{\|x\|^{2n+2}+\|y\|^{2n+2}} \exp(i(\delta_{1/\|x\|}(x)+\delta_{1/\|y\|}(y))),
\end{equation}
\tag{13}
$$
где $i^2=-1$. Ясно, что условие (2) выполнено. Проверим условие (7). Переходя к сферическим координатам $y=\delta_\rho(\theta)$ и учитывая, что $dy=\rho^{2n+1}\,d\rho\,d\theta$ [5; с. 211], получаем
$$
\begin{equation*}
\kappa_1=\int_{\mathbb H_n}\frac{1}{(1+\|y\|^{2n+2})^r} \|y\|^{(2n+2)(r/p'-1)}\,dy =|\mathbb S_n|\int_0^\infty\frac{1}{(1+\rho^{2n+2})^r}\rho^{(2n+2)r/p'-1}\,d\rho,
\end{equation*}
\notag
$$
где $|\mathbb S_n|$ – площадь сферы $\mathbb S_n$. Если $1\leqslant r<\infty$ и $1<p<\infty$, то этот интеграл сходится. Аналогично проверяется, что при указанных значениях $r$ и $p$ выполняется условие (8). Рассмотрим вопрос об ограниченности оператора $K$, действующего из пространства $L_{p,(-2n-2)}(\mathbb H_n)$ в $L_\infty(\mathbb H_n)$. Напомним, что по теореме 1 условие $\alpha=-2n-2$ является необходимым. Достаточные условия ограниченности дает следующая Теорема 3. Пусть $1<p<\infty$, $K$ – оператор вида (1), ядро которого удовлетворяет условию (2), а также условию Тогда оператор $K$ ограничен из $L_{p,(-2n-2)}(\mathbb H_n)$ в $L_\infty(\mathbb H_n)$, причем Доказательство. Используя неравенство Гёльдера, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |(K\varphi)(x)| &\leqslant\int_{\mathbb H_n}(|k(x,y)|\,\|y\|^{(2n+2)/p}) (|\varphi(y)|\,\|y\|^{-(2n+2)/p})\,dy \\ &\leqslant\biggl(\int_{\mathbb H_n}|k(x,y)|^{p'} \|y\|^{(2n+2)p'/p}\,dy\biggr)^{1/p'}\|\varphi\|_{p,(-2n-2)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Сделаем замену $y=\delta_{\|x\|}(t)$. Тогда, пользуясь однородностью функции $k(x,y)$, получим
$$
\begin{equation*}
|(K\varphi)(x)|\leqslant\|\varphi\|_{p,(-2n-2)} \biggl(\int_{\mathbb H_n}|k(\sigma,t)|^{p'}\|t\|^{(2n+2)p'/p}\,dt\biggr)^{1/p'},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\sigma=\delta_{1/\|x\|}(x)$. Отсюда, с учетом условия (14), следует неравенство (15). 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Avs23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|