| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Конечные разрешимые группы c транзитивным отношением Ч. Ванa, В. Гоa, И. Н. Сафоноваb, А. Н. Скибаc a School of Science, Hainan University, China b Белорусский государственный университет, г. Минск c Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины, Беларусь
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623110330 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеНа протяжении всей статьи все группы являются конечными и $G$ всегда обозначает конечную группу; $\sigma=\{\sigma_{i} \mid i\in I \}$ – некоторое разбиение множества всех простых чисел $\mathbb{P}$; $\mathcal L(G)$ – решетка всех подгрупп группы $G$. Если $n$ – целое число, то символ $\pi (n)$ обозначает множество всех простых чисел, делящих $n$; как обычно, $\pi (G)=\pi (|G|)$ – множество всех простых чисел, делящих порядок $G$; $\sigma (G)=\{ \sigma_{i}\mid \sigma_{i} \cap \pi (G)\ne \varnothing\}$ [1], [2]. Группа $G$ называется [3]: $\sigma$-примарной, если $G$ является $\sigma_{i}$-группой для некоторого $i$; $\sigma$-нильпотентной, если $G$ является прямым произведением $\sigma$-примарных групп. Подгруппа $A$ группы $G$ называется квазинормальной (Оре) или перестановочной (Стоунхьюэр) в $G$, если $A$ перестановочна с каждой подгруппой $H$ группы $G$, т.е. $AH=HA$. Квазинормальные подгруппы обладают многими полезными для приложений свойствами. Например, если $A$ квазинормальна в $G$, то: $A$ субнормальна в $G$ (Оре [4]), $A/A_{G}$ нильпотентна (Ито и Цеп [5]), каждый главный фактор $H/K$ группы $G$ между $A_{G}$ и $A^{G}$ является центральным, т.е. $C_{G}(H/K)=G$ (Майер и Шмид [6]), и, в общем случае, фактор $A/A_{G}$ не обязательно абелев (Томпсон [7]). Квазинормальные подгруппы имеют тесную связь с так называемыми модулярными подгруппами. Напомним, что подгруппа $M$ группы $G$ называется модулярной в $G$, если $M$ – модулярный элемент (в смысле Куроша [8; с. 43]) решетки $\mathcal L(G)$, т.е. (i) $\langle X,M \cap Z \rangle=\langle X, M \rangle \cap Z$ для всех $X \leqslant G, Z \leqslant G$ таких, что $X \leqslant Z$, и (ii) $\langle M, Y \cap Z \rangle=\langle M, Y \rangle \cap Z$ для всех $Y \leqslant G, Z \leqslant G$ таких, что $M \leqslant Z$. Каждая квазинормальная подгруппа, очевидно, модулярна в группе. Кроме того, общеизвестен следующий очень интересный факт. Теорема A (Шмидт [8; теорема 5.1.1]). Подгруппа $A$ группы $G$ квазинормальна в $G$ тогда и только тогда, когда $A$ модулярна и субнормальна в $G$. Этот результат позволил найти аналоги квазинормальных подгрупп в теории $\sigma$-свойств группы. Подгруппа $A$ группы $G$ называется $\sigma$-субнормальной в $G$ [3], если в $G$ имеется цепь подгрупп $A=A_{0} \leqslant A_{1} \leqslant \cdots \leqslant A_{n}=G$ такая, что либо $A_{i-1} \trianglelefteq A_{i}$, либо фактор $A_{i}/(A_{i-1})_{A_{i}}$ является ${\sigma}$-примарным для всех $i=1, \dots, n$; $\sigma$-полунормальной в $G$ (Дж. К. Бейдльман), если $x\in N_{G}(A)$ для всех $x\in G$ таких, что $\sigma (\langle x \rangle )\cap \sigma (A)=\varnothing$. Будем говорить, следуя [9], что подгруппа $A$ группы $G$ $\sigma$-квазинормальна в $G$, если $A$ модулярна и $\sigma$-субнормальна в $G$. В статье [9] построена теория $\sigma$-квазинормальных подгрупп. В частности, доказан следующий результат, перекрывающий, в случае $\sigma=\sigma^{1}=\{\{2\}, \{3\}, \{5\} \dots \}$, вышеупомянутые результаты работ [4]–[6]. Теорема B [9; теорема C]. Пусть $A$ – $\sigma$-квазинормальная подгруппа группы $G$. Тогда выполняются следующие утверждения: В данной статье, обобщая соответствующие результаты работ [10], [11], описываются разрешимые группы, в которых $\sigma$-квазинормальность подгрупп транзитивна. Определение 1.1. Мы говорим, что $G$ является: Символом $\mathfrak N_{\sigma}$ мы обозначаем класс всех $\sigma$-нильпотентных групп, $G^{\mathfrak{N_{\sigma}}}$ – $\sigma$-нильпотентный корадикал $G$, т.е. пересечение всех нормальных подгрупп $N$ группы $G$ с $G/N\in \mathfrak N_{\sigma}$. Теорема C. Если $G$ – разрешимая $M\sigma T$-группа (соответственно разрешимая $\sigma T$-группа) и $D=G^{\mathfrak{N_{\sigma}}}$, то выполняются следующие условия: Обратно, если выполняются условия (i), (ii) и (iii) для некоторых подгрупп $D$ и $M$ группы $G$, то $G$ является разрешимой $M\sigma T$-группой (соответственно разрешимой $\sigma T$-группой). В случае $\sigma=\{\mathbb{P}\}$ из этой теоремы получаем следующий известный результат. Следствие 1.2 (Фриджерио [12], Циммерманн [13]). Разрешимая группа $G$ является $MT$-группой тогда и только тогда, когда $G$ – $M$-группа. Напомним [14; гл. 2], что группа $G$ называется $T$-группой (соответственно $PT$-группой), если нормальность (квазинормальность) является транзитивным отношением на $G$, т.е. если $H$ нормальная (квазинормальная) подгруппа группы $K$ и $K$ нормальная (квазинормальная) подгруппа $G$, то $H$ – нормальная (соответственно квазинормальная) подгруппа $G$. Другими словами, группа $G$ является $T$-группой (соответственно $PT$-группой), если каждая субнормальная (субквазинормальная) подгруппа группы $G$ нормальна (квазинормальна) в $G$. В классическом случае, когда $\sigma=\sigma^{1}=\{\{2\}, \{3\}, \{5\} \dots \}$, ввиду теоремы A классс всех $M\sigma^1T$-групп совпадает с классом всех $PT$-групп. Кроме того, очевидно, группа является $\sigma^1 T$-группой тогда и только тогда, когда она является $T$-группой. Поэтому следствием теоремы C является следующий хорошо известный результат. Следствие 1.3 (Цахер [10], Гашюц [11]). Группа $G$ является разрешимой $PT$-группой (соответственно разрешимой $T$-группой) тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия: 2. Предварительные результатыПервая лемма является следствием общих свойств модулярных подгрупп [8; с. 201] и $\sigma$-субнормальных подгрупп [3; лемма 2.6]. Лемма 2.1. Пусть $A$, $B$ и $N$ – подгруппы группы $G$, где $A$ $\sigma$-квазинормальна, а $N$ нормальна в $G$. Тогда Напомним [8; с. 49], что неабелевой $P$-группой называют группу $G=A\rtimes \langle t \rangle$, где $A$ – элементарная абелева $p$-группа и элемент $t$ простого порядка $q\ne p$ индуцирует нетривиальный степенной автоморфизм на $A$. Лемма 2.2 [8; лемма 5.1.9]. Пусть $M$ – модулярная подгруппа группы $G$ и ее порядок $|M|$ – степень простого числа. Если $M$ не является субнормальной в $G$, то где $M^{G}/M_{G}$ – неабелева $P$-группа порядка взаимно простого с $|K/M_{G}|$. Мы говорим, что подгруппа $A$ группы $G$ называется $\sigma$-субквазинормальной в $G$, если существует цепь подгрупп $A=A_{0} \leqslant A_{1} \leqslant \cdots \leqslant A_{n}=G$ такая, что $A_{i-1}$ $\sigma$-квазинормальна в $A_{i}$ для всех $i=1, \dots, n$. Ясно, что $G$ является $M\sigma T$-группой тогда и только тогда, когда каждая ее $\sigma$-субквазинормальная подгруппа является $\sigma$-квазинормальной в $G$. Мы используем символ $\mathfrak{A}^{*}$ для обозначения класса всех абелевых групп, экспоненты которых свободны от квадратов. Понятно, что $\mathfrak{A}^{*}$ – наследственная формация. Следующая лемма является следствием лемм 1 и 4 работы [13] и леммы 2.6 из [3]. Лемма 2.3. Пусть $A$, $B$ и $N$ – подгруппы группы $G$, где $A$ $\sigma$-субквазинормальна в $G$, а $N$ нормальна в $G$. Тогда: Здесь $A^{\mathfrak{A}^{*}}$ – пересечение всех нормальных подгрупп $N$ группы $G$ с $G/N\in {\mathfrak{A}^{*}}$. Лемма 2.4 [3; следствие 2.4, лемма 2.5]. Класс всех $\sigma$-нильпотентных групп ${\mathfrak{N}}_{\sigma}$ замкнут относительно произведения нормальных подгрупп, гомоморфных образов и подгрупп. Более того, если $E$ – нормальная подгруппа $G$ и $E/E\cap \Phi (G)$ $\sigma$-нильпотентна, то $E$ $\sigma$-нильпотентна. Лемма 2.5 [15; предложение 2.2.8, лемма 2.4]. Если $N$ – нормальная подгруппа $G$, то $(G/N)^{\mathfrak{N}_{\sigma}}=G^{\mathfrak{N}_{\sigma}}N/N$. Лемма 2.6 [3; предложение 2.3]. Группа $G$ $\sigma$-нильпотентна тогда и только тогда, когда каждая подгруппа $G$ $\sigma$-субнормальна в $G$. Лемма 2.7 [8; лемма 5.1.13]. Подгруппа $M$ группы $G$ модулярна в $G$ тогда и только тогда, когда $M$ модулярна в $\langle x, M\rangle$ для каждого элемента $x\in G$, порядок которого является степенью простого числа. Подгруппа $A$ группы $G$ называется субмодулярной в $G$, если существует цепь подгрупп $A=A_{0} \leqslant A_{1} \leqslant \cdots \leqslant A_{n }=G$ такая, что $A_{i-1}$ является модулярной подгруппой в $A_{i}$ для всех $i=1, \dots, n$. Предложение 2.8. Предположим, что $G$ – разрешимая $PT$-группа и пусть $p$ – простое число. Если каждая субмодулярная $p$-подгруппа $G$ модулярна в $G$, то любая $p$-подгруппа группы $G$ модулярна в $G$. В частности, если каждая субмодулярная подгруппа разрешимой $PT$-группы $G$ модулярна в $G$, то $G$ является $M$-группой. Доказательство. Предположим, что это предложение неверно и пусть $G$ – контрпример минимального порядка. Тогда по [14; теорема 2.1.11] выполняются следующие условия: нильпотентный корадикал $D$ группы $G$ является холловой подгруппой, $G$ действует сопряжением на $D$ как группа степенных автоморфизмов и каждая подгруппа $G/D$ квазинормальна в $G/D$. В частности, $G$ сверхразрешима.
Пусть $M$ – дополнение к $D$ в $G$ и $U$ – немодулярная в $G$ $p$-подгруппа минимального порядка. Тогда $U$ несубмодулярна в $G$ и каждая максимальная подгруппа из $U$ модулярна в $G$. Поэтому $U$ является циклической группой по [8; с. 201, свойство (5)]. Без ограничения общности можно считать, что $U\leqslant M$, так как $M$ – холлова подгруппа группы $G$. (1) Если $R$ – нормальная $p$-подгруппа группы $G$, то каждая $p$-подгруппа группы $G$, содержащая $R$, модулярна в $G$. В частности, $U_{G}=1$ и, следовательно, $U\cap D=1.$ Пусть $L/R$ – субмодулярная $p$-подгруппа группы $G/R$. Тогда $L$ – субмодулярная $p$-подгруппа в $G$ по лемме 2.1, (3), поэтому $L$ модулярна в $G$ по условию. Следовательно, $L/R$ модулярна в $G/R$ по [8; с. 201, свойство (4)]. Значит, гипотеза верна для $G/R$. Следовательно, любая $p$-подгруппа $S/R$ группы $G/R$ модулярна в $G/R$ по выбору $G$. Поэтому подгруппа $S$ является модулярной в $G$ по [8; с. 201, свойство (4)]. (2) Если $K$ – собственная субмодулярная подгруппа в $G$, то каждая $p$-подгруппа $L$ группы $K$ модулярна в $G$, поэтому любая собственная подгруппа группы $G$, содержащая $U$, не является субмодулярной в $G$. Сначала заметим, что $K$ является $PT$-группой по [14; следствие 2.1.13] и если $S$ – субмодулярная $p$-подгруппа группы $K$, то $S$ субмодулярна в $G$. Поэтому $S$ модулярна в $G$. Следовательно, $S$ модулярна в $K$. Поэтому для $K$ гипотеза верна. Значит, каждая $p$-подгруппа $L$ группы $K$ модулярна в $K$ по выбору $G$. Следовательно, по условию $L$ модулярна в $G$. (3) $DU=G$. Это следует из утверждения (2) и того факта, что каждая подгруппа $G$ содержащая $D$, субнормальна в $G$. Пусть $V$ – максимальная подгруппа в $U$. Тогда $V\ne 1$, так как любая подгруппа простого порядка сверхразрешимой группы субмодулярна по [13; лемма 6]. (4) $V$ не является субнормальной в $G$. Предположим, что $V$ субнормальна в $G$. Тогда $V$ квазинормальна в $G$ по теореме A, так как $V$ модулярна в $G$. Следовательно, $1 < V \leqslant R=O_{p}(Z_{\infty}(G))$ по [14; следствие 1.5.6], так как $V_{G}=1=U_{G}$ по утверждению (1). Но $R\leqslant U$, так как $U$ – силовская $p$-подгруппа группы $G$ по утверждению (3), следовательно, $R=V=1$ и, значит, $|U|=p$, противоречие. Таким образом, имеет место (4). (5) $G=V^{G}\times K$, где $V^{G}$ – неабелева $P$-группа взаимно простого порядка с $|K|$. Поскольку $V_{G}=1$ ввиду утверждения (1), то это следует из утверждения (4) и леммы 2.2. Заключительное противоречие. Из утверждения (5) следует, что $U\leqslant V^{G}$, поэтому $U$ субмодулярна в $G$ по [8; теорема 2.4.4]. Это последнее противоречие завершает доказательство результата. Предложение доказано. 3. Доказательство теоремы CНеобходимость. Пусть $\sigma (G)=\{\sigma_{1}, \dots, \sigma_{t}\}$. Предположим сначала, что $G$ – разрешимая $M\sigma T$-группа. Тогда в $G$ имеется холлова $\sigma_{i}$-подгруппа $H_{i}$ для всех $i=1, \dots, t$ по [1; теорема A]. Покажем, что условия (i), (ii) и (iii) выполняются для $G$. Предположим, что это неверно, и пусть $G$ – контрпример минимального порядка. (1) Если $R$ – неединичная нормальная подгруппа группы $G$, то условия (i), (ii) и (iii) выполняются для $G/R$. Если $H/R$ – $\sigma$-субквазинормальная подгруппа группы $G/R$, то $H$ $\sigma$-субквазинормальна в $G$ по лемме 2.3, (3). Поэтому $H$ $\sigma$-квазинормальна в $G$ по условию теоремы и, значит, $H/R$ является $\sigma$-квазинормальной в $G/R$ по лемме 2.1, (2). Следовательно, $G/R$ является $M\sigma T$-группой. Поэтому имеет место (1) по выбору $G$. (2) Если $E$ – собственная $\sigma$-субквазинормальная подгруппа группы $G$, то $E^{\mathfrak{N_{\sigma}}}\,{\leqslant}\, D$ и условия (i), (ii) и (iii) выполняются для $E$. Каждая $\sigma$-субквазинормальная подгруппа $H$ группы $E$ $\sigma$-субквазинормальна в $G$, поэтому по условию $H$ $\sigma$-квазинормальна в $G$, а значит, $H$ $\sigma$-квазинормальна в $E$ по лемме 2.1, (1). Следовательно, гипотеза верна для $E$, поэтому условия (i), (ii) и (iii) выполняются для $E$ в силу выбора $G$. Кроме того, поскольку $G/D\in {\frak{N_{\sigma}}}$ и ${\frak{N_{\sigma}}}$ – наследственный класс по лемме 2.4, то $E/E\cap D \simeq ED/D\in {\frak{N_{\sigma}}}$ и поэтому $E/E\cap D \in {\frak{N_{\sigma}}}$. Следовательно, $E^{\frak{N_{\sigma}}}\leqslant E\cap D\leqslant D$. (3) Подгруппа $D$ нильпотентна, а $G$ сверхразрешима. Предположим, что это неверно. Пусть $R$ – минимальная нормальная подгруппа $G$. Тогда в силу утверждения (1) $G/R$ сверхразрешима и $RD/R=(G/R)^{{\frak{N_{\sigma}}}}$ абелева по лемме 2.5. Следовательно, $R\leqslant D$, $R$ – единственная минимальная нормальная подгруппа $G$ и $R\nleq \Phi (G)$ по лемме 2.4. Таким образом, $R=C_{G}(R)=O_{p}(G)=F(G)$ для некоторого $p\in \sigma_{i}$ по [16; гл. А, 13.8, (b) и 15.2]. Пусть $V$ – максимальная подгруппа в $R$. Тогда $V_{G}=1$ и $V$ $\sigma$-субквазинормальна в $G$. Поэтому $H$ $\sigma$-квазинормальна в $G$. Следовательно, $R=V^{G}$ – группа порядка $p$ по [8; теорема 5.2.3]. Значит, $G/R=C_{G}(R)$ циклическая группа и, следовательно, $ G$ сверхразрешима. Но тогда $D=G^{\frak N_{\sigma}}\leqslant G'\leqslant F(G)$ и поэтому $D$ нильпотентна, противоречие. Отсюда имеем (3). (4) Если фактор $H/K$ $\sigma$-нильпотентен, где $K\leqslant H$ – нормальные подгруппы $G$, то $H/K$ является $M$-группой. Пусть $U/K$ – любая субмодулярная подгруппа в $H/K$; тогда $U/K$ субмодулярна в $G/K$. Поэтому $U$ субмодулярна в $G$. С другой стороны, $U/K$ $\sigma$-субнормальна в $G/D$ по леммам 2.4 и 2.6, значит, $U$ $\sigma$-субнормальна в $G$ по [3; лемма 2.6, (5)]. Поэтому $U$ $\sigma$-субквазинормальна в $G$. Значит, по условию, $U$ $\sigma$-квазинормальна в $G$. Отсюда следует, что $U/K$ $\sigma$-квазинормальна в $G/K$ и поэтому $U/K$ $\sigma$-квазинормальна в $H/K$ по лемме 2.3, (1), (2). Таким образом, каждая субмодулярная подгруппа в $H/K$ модулярна в $H/K$. Поэтому $H/K$ является $M$-группой по предложению 2.8. (5) $D$ – холлова подгруппа группы $G$. Предположим, что это неверно и пусть $P$ – силовская $p$-подгруппа группы $D$ такая, что $1 < P < G_{p}$, где $G_{p}\in \mathrm{Syl}_{p}(G)$. Без ограничения общности можно считать, что $G_{p}\leqslant H_{1}$. (а) $D=P$ – минимальная нормальная подгруппа в $G$. Пусть $R$ – минимальная нормальная подгруппа группы $G$, содержащаяся в $D$. Тогда $R$ является $q$-группой для некоторого простого числа $q$. Более того, $D/R=(G/R)^{\mathfrak{N}_{\sigma}}$ является холловой подгруппой группы $G/R$ по утверждению (1). Предположим, что $PR/R \ne 1$. Тогда $PR/R \in \mathrm{Syl}_{p}(G/R)$. Если $q\ne p$, то $P \in \mathrm{Syl}_{p}(G)$. Это противоречит тому, что $P < G_{p}$. Следовательно, $q=p$, поэтому $R\leqslant P$ и значит, $P/R \in \mathrm{Syl}_{p}(G/R)$ и мы снова получаем, что $P \in \mathrm{Syl}_{p}(G)$. Это противоречие показывает, что $PR/R=1$, откуда следует, что $R=P$ – единственная минимальная нормальная подгруппа группы $G$, содержащаяся в $D$. Поскольку $D$ нильпотентна по утверждению (3), то $p'$-дополнение $E$ к $D$ является характеристической подгруппой в $D$, а значит, нормальной в $G$. Следовательно, $E=1$, откуда следует, что $R=D=P$. (б) $D\nleq \Phi (G)$. Следовательно, для некоторой максимальной подгруппы $M$ группы $G$ имеет место равенство $G=D\rtimes M$. Это следует из утверждения (a) и леммы 2.4, так как $G$ не $\sigma$-нильпотентна. (в) Если в $G$ имеется минимальная нормальная подгруппа $L\ne D$, то $G_{p}=D\times (L\cap G_{p})$. Следовательно, $O_{p'}(G)=1$. Действительно, $DL/L\simeq D$ – холлова подгруппа группы $G/L$ по утверждениям (1) и (а). Следовательно, $G_{p}L/L=RL/L$, поэтому $G_{p}=D\times (L\cap G_{p})$. Таким образом, $O_{p'}(G)=1$, поскольку $D < G_{p}$ по утверждению (а). (г) $V=C_{G}(D)\cap M$ – нормальная подгруппа в $G$ и $C_{G}(D)=D\times V \leqslant H_{1}$. Ввиду утверждений (а) и (б), $C_{G}(D)=D\times V$, где $V=C_{G}(D)\cap M$ – нормальная подгруппа в $G$. Более того, $V\simeq DV/D$ $\sigma $-нильпотентна по лемме 2.4. Пусть $W$ – $\sigma_{1}$-дополнение к $V$. Тогда $W$ характеристична в $V$ и поэтому она нормальна в $G$. Следовательно, имеет место (г) по утверждению (в). (д) $G_{p}\ne H_{1}$. Предположим, что $G_{p}=H_{1}$. Пусть $Z$ – подгруппа порядка $p$ в $Z(G_{p})\cap D$. Тогда $Z$ $\sigma$-субквазинормальна в $G$ по утверждению (3), поэтому $Z$ $\sigma$-квазинормальна в $G$. Следовательно, $ O^{\sigma_{1}}(G)=O^{p}(G)\leqslant N_{G}(Z)$ по теореме B, (v). Поэтому $G=G_{p}O^{p}(G)\leqslant N_{G}(Z)$ и значит, $D=Z < G_{p}$. Отсюда следует, что $D < C_{G}(D)$. Тогда $V=C_{G}(D)\cap M\ne 1$ – нормальная подгруппа в $G$ и $V\leqslant H_{1}=G_{p}$ по п. (г). Пусть $L$ – минимальная нормальная подгруппа группы $G$, содержащаяся в $V$. Тогда $G_{p}=D\times L$ – нормальная элементарная абелева подгруппа группы $G$ порядка $p^{2}$ по утверждениям (3) и (в) и каждая подгруппа $G_{p}$ нормальна в $G$ по теореме B, (v). Пусть $D=\langle a \rangle$, $L=\langle b \rangle$ и $N=\langle ab \rangle$. Тогда $N\nleq D$, поэтому в силу $G$-изоморфизмов мы получаем, что $G/C_{G}(D)=G/C_{G}(N)$ является $p$-группой, поскольку группа $G/D$ $\sigma$-нильпотентна. Но тогда из утверждения (г) следует, что $G$ является $p$-группой. Это противоречие показывает, что имеет место (д).Окончательное противоречие для (5). Ввиду [1; теорема A] группа $G$ имеет $\sigma_{1}$-дополнение $E$ такое, что $EG_{p}=G_{p}E$. Пусть $V=(EG_{p})^{{\mathfrak{N}}_{\sigma}}$. По утверждению (д) имеем $EG_{p}\ne G$. С другой стороны, поскольку $ D\leqslant EG_{p}$ по утверждению (а), то $EG_{p}$ $\sigma$-субквазинормальна в $G$ по утверждению (4) и лемме 2.3, (3). Поэтому из утверждения (2) следует, что $V$ – холлова подгруппа группы $EG_{p}$ и $V\leqslant D$. Тогда для силовской $p$-подгруппы $V_{p}$ группы $V$ имеем $|V_{p}|\leqslant |P| < |G_{p}|$. Откуда $V=1$. Значит, $EG_{p}=E\times G_{p}$ $\sigma$-нильпотентна и поэтому $E\leqslant C_{G}(D)\leqslant H_{1}$. Откуда $E=1$ и, значит, $D=1$, противоречие. Таким образом, $D$ – холлова подгруппа группы $G$. (6) $ H_{i}=O_{\sigma_{i}}(D) \times S $ для каждого $\sigma_{i} \in \sigma (D)$. Поскольку $D$ – нильпотентная холлова подгруппа группы $G$, то, по утверждениям (3) и (5), имеем $D=L\times N$, где $L=O_{\sigma_{i}}(D)$ и $N=O^{\sigma_{i}}(D)$ являются холловыми подгруппами группы $G$. Сначала предположим, что $N\ne 1$. Тогда $ O_{\sigma_ {i}} ((G / N)^{\mathfrak {N}_ {\sigma}}) =O_ {\sigma_ {i}} (D / N)=LN / N $ имеет нормальное дополнение $V/N$ в $H_{i}N/N\simeq H_{i}$ по утверждению (1). С другой стороны, $N$ имеет дополнение $S$ в $V$ по теореме Шура–Цассенхауза. Следовательно, $H_{i}=H_{i} \cap LSN=LS$ и $L\cap S=1$, поскольку
$$
\begin{equation*}
(L\cap S)N/N\leqslant (LN/N)\cap (V/N)=(LN/N)\cap (SN/N)=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что $V/N$ – холлова подгруппа группы $H_{i}N/N$, поэтому $V/N $ характеристична в $H_{i}N/N$. С другой стороны, $H_{i}N/N$ нормальна в $G/N$ по лемме 2.4, поэтому $D/N\leqslant H_{i}N/N$. Следовательно, $V/N$ нормальна в $G/N$. Таким образом, нормальна в $H_{i}$, поэтому $H_{i}=O_{\sigma_{i}}(D)\times S$. Теперь предположим, что $D=O_{\sigma_{i}}(D)$. Тогда $H_{i}$ нормальна в $G$, поэтому $H_{i}$ является $M$-группой по утверждению (4). Следовательно, каждая подгруппа $U$ группы $H_{i}$ является $\sigma$-квазинормальной и поэтому $\sigma$-полунормальной в $G$ по теореме B, (v). Так как $D$ – нормальная холлова подгруппа группы $H_{i}$, то она имеет дополнение $S$ в $H_{i}$ и $D\leqslant O^{\sigma_{i}}(G)\leqslant N_{G}(S)$, так как $S$ $\sigma$-полунормальна в $G$. Следовательно, $H_{i}=D\times S=O_{\sigma_{i}}(D)\times S$. (7) Каждая подгруппа $H$ из $D$ нормальна в $G$. Следовательно, каждый элемент $G$ индуцирует степенной автоморфизм в $D$. Так как $D$ нильпотентна по утверждению (3), то достаточно рассмотреть случай, когда $H\leqslant O_{\sigma_{i}}(D)=H_{i}\cap D$ для некоторого $\sigma_{i}\in \sigma (D)$. Из утверждения (6) следует, что $H_{i}=O_{\sigma_{i}}(D)\times S$. Ясно, что $H$ $\sigma$-субквазинормальна в $G$, поэтому $H$ $\sigma$-квазинормальна в $G$. Следовательно, $H$ $\sigma$-полунормальна в $G$ по теореме B, (v), поэтому
$$
\begin{equation*}
G=H_{i}O^{\sigma_{i}}(G)=(O_{\sigma_{i}}(D)\times S)O^{\sigma_{i}}(G) =SO^{\sigma_{i}}(G)\leqslant N_{G}(H).
\end{equation*}
\notag
$$
(8) Если $p$ – такое простое число, что $(p-1, |G|)=1$, то $p$ не делит $|D|$. Следовательно, наименьшее простое число в $\pi (G)$ принадлежит $\pi (|G:D|)$. В частности, $|D|$ – нечетное число. Предположим, что это неверно. Тогда по утверждению (7) в $D$ найдется максимальная подгруппа $E$ такая, что $|D:E|=p$ и $E$ нормальна в $G$. Отсюда следует, что $C_{G}(D/E)=G$, поскольку $(p-1,|G|)=1$. Так как $D$ – холлова подгруппа группы $G$ по утверждению (5), то она имеет дополнение, положим $M$, в $G$. Следовательно, $G/E=(D/E)\times (ME/E)$, где $ME/E\simeq M\simeq G/D$ $\sigma$-нильпотентна. Поэтому $G/E$ $\sigma$-нильпотентна по лемме 2.5. Но тогда $D\leqslant E$, противоречие. Отсюда имеем (8). (9) Подгруппа $D$ абелева. Ввиду утверждения (7) $D$ – группа Дедекинда. Следовательно, $D$ абелева, поскольку порядок $|D|$ – нечетное число по утверждению (8). Из утверждений (4)–(9) получаем, что условия (i), (ii) и (iii) выполняются для $G$. Пусть теперь $G$ – разрешимая $\sigma T$-группа. Тогда $G$ является $M\sigma T$-группой, поэтому условия (i), (ii) и (iii) выполняются для $G$ и $M$ является $M$-группой. Теперь если $U/D$ – любая подгруппа в $G/D$, то $U/D$ $\sigma$-субнормальна в $G/D$ по лемме 2.6 и [3; лемма 2.6, (4), (5)]. Поэтому $U/D$ нормальна в $G/D$. Следовательно, $M\simeq G/D$ – группа Дедекинда, поэтому условия (i), (ii) и (iii) выполняются для $G$. Достаточность. Теперь мы покажем, что если условия (i), (ii) и (iii) верны для $G$, то $G$ является $M\sigma T$-группой (соответственно $\sigma T$-группой). Предположим, что это неверно и пусть $G$ – контрпример минимального порядка. Пусть $M$ – $M$-группа. Тогда $D\ne 1$ и по лемме 2.7 для некоторой $\sigma$-субквазинормальной подгруппы $A$ группы $G$ и для некоторого элемента $x\in G$ порядка простой степени $p^{a}$ подгруппа $A$ не является модулярной в $\langle A, x \rangle $. Более того, мы можем предположить, что каждая собственная $\sigma$-субквазинормальная подгруппа группы $A$ является $\sigma$-квазинормальной в $G$. (*) Если $N$ – минимальная нормальная подгруппа в $G$, то $G/N$ является $M\sigma T$-группой. Поскольку теорема верна для $G/N$, то это следует из выбора $G$. (**) Если $N$ – минимальная нормальная подгруппа в $G$, то $AN$ $\sigma$-квазинормальна в $G$. В частности, $A_{G}=1$. Из утверждения (*) следует, что $G/N$ является $M\sigma T$-группой. С другой стороны, по лемме 2.3, (2) $AN/N$ является $\sigma$-субквазинормальной подгруппой группы $G/N$, поэтому $AN/N$ – $\sigma$-квазинормальна в $G/N$. Поэтому и в силу леммы 2.3, (3) выполняется (**). (***) $A$ является $\sigma_{i}$-группой для некоторого $i$. Из условия (i) и утверждения (**) следует, что $A\cap D=1$, поэтому $AD/D\simeq A$ $\sigma$-нильпотентна. Тогда для $\sigma_{i}\in \sigma (A)$ имеем $ A=O_ {\sigma_ {i}} (A) \times O_ {\sigma_ {i} '} (A) $. Предположим, что $O_{\sigma_{i}'}(A)\ne 1$. Тогда $O_{\sigma_{i}}(A)$ и $O_{\sigma_{i}'}(A)$ $\sigma$-квазинормальны в $G$, поэтому $A$ $\sigma$-квазинормальна в $G$ по [3; лемма 2.6, (3)] и [8; с. 201, свойство (5)]. Это противоречие показывает, что $A=O_{\sigma_{i}}(A)$ является $\sigma_{i}$-группой. Окончательное противоречие относительно достаточности. Поскольку $A$ $\sigma$-субнормальна в $G$, то из утверждения (***) следует, что $A\leqslant H_{i}^{y}$ для всех $y\in G$ по [3; лемма 2.6, (5)]. Из условий (i) и (ii) следует, что $H_{i}=(H_{i}\cap D)\times S$ для некоторой холловой подгруппы $S$ группы $H_{i}$. Тогда из $A\leqslant H_{i}^{y}=(H_{i}^{y}\cap D)\times S^{y}$ следует, что $A\leqslant S^{y}$ для всех $y\in G$. Кроме того, $S\simeq SD/D$, по утверждению (**), и $H_{i}\cap D $ являются $M$-группами по условию (i). Следовательно, $H_{i}$ является $M$-группой по [8; теорема 2.4.4]. Значит, $x\not \in H_{i}^{y}$ для всех $y\in G$, поэтому $p\in \sigma_{j}$ для некоторого $j\ne i$. Пусть $U=\langle x\rangle$. Сначала предположим, что $x\in D$, тогда $U\trianglelefteq G$. С другой стороны, $A$ $\sigma$-субнормальна в $UA$, поэтому $UA=U\times A$ по [3; лемма 2.6, (5)]. Следовательно, $A$ модулярна в $\langle x, A\rangle=UA$, противоречие. Таким образом, $x\not \in D$. Так как $D$ – холлова подгруппа группы $G$ и $x\not \in D$, то $x\in M^{z}$ для некоторого $z\in G$. Также ясно, что $ A\leqslant S^{y} \leqslant M^{z}$ для некоторого $y\in G$, где $M^{z}$ является $M$-группой по условию (i), и тогда $A$ модулярна в $\langle A, x \rangle $. Это последнее противоречие завершает доказательство того, что $G$ является $M\sigma T$-группой. Пусть теперь $M$ – группа Дедекинда. Рассуждая аналогично, как в случае, когда $M$ – $M$-группа, нетрудно показать, что $G$ является $\sigma T$-группой. Теорема доказана. Авторы выражают глубокую благодарность рецензенту за полезные замечания и предложения. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{WanGuoSaf23} |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|