| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Интегрирование модифицированного уравнения Кортевега–де Фриза–Лиувилля в классе периодических бесконечнозонных функций А. Б. Хасановa, У. О. Худаёровb a Самаркандский государственный университет им. Ш. Рашидова, Узбекистан b Самаркандский государственный архитектурно-строительный университет, Узбекистан
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623110573 
Реферативные базы данных:
 1. ВведениеВ настоящей работе рассматривается задача Коши для нелинейного уравнения мКдФ-Л вида
$$
\begin{equation}
q_{xt}=a(t)\biggl\{q_{xxxx} -\frac{3}{2} q_{x}^{2} q_{xx} \biggr\}+b(t)e^q, \qquad q=q(x,t), \quad x\in \mathbb R, \quad t>0,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
с начальным условием
$$
\begin{equation}
q(x,t)|_{t=0}=q_{0} (x), \qquad q_{0} (x+\pi)=q_{0} (x)\in C^{6} (\mathbb R),
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
в классе действительных бесконечнозонных $\pi $-периодических по $x$ функций:
$$
\begin{equation}
q(x+\pi,t)=q(x,t), \qquad q(x,t)\in C_{x,t}^{4,1} (t>0)\cap C (t\geqslant 0).
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Здесь $a(t), b(t)\in C [0,\infty)$ – заданные непрерывные ограниченные функции. Нетрудно убедиться, что условия совместности линейных уравнений
$$
\begin{equation*}
y_{x}=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} q_{x} &-\lambda \\ \lambda &-\dfrac{1}{2} q_{x} \end{pmatrix}y, \qquad y_{t}=\biggl\{\frac{1}{2\lambda} \begin{pmatrix} 0&b(t)e^{q} \\ 0&0 \end{pmatrix} +a(t)\begin{pmatrix} A& B \\ C&-A \end{pmatrix} \biggr\}y, \qquad y=\begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
эквивалентны уравнению (1.1) для функции $q=q(x,t)$, $x \in \mathbb R$, $t>0$. Здесь
$$
\begin{equation*}
A=-2{\lambda}^{2} q_{x}-\frac{1}{4} q_{x}^{3}+\frac{1}{2} q_{xxx}, \qquad B=\lambda q_{xx}+4\lambda^{3}+\frac{\lambda}{2}q_{x}^{2}, \qquad C=\lambda q_{xx}-4\lambda^{3}-\frac{\lambda}{2}q_{x}^{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что из уравнения (1.1) для случая $b(t)=0$, $a(t)=1$ мы получаем модифицированное уравнение Кортевега–де Фриза (мКдФ) [1], [2], а для $a(t)=0$, $b(t)=1$ мы имеем уравнения Лиувилля см. [3; с. 14], [4]. Уравнение мКдФ вида было интегрировано в работах [1], [2], (cм. также [5]–[8]) в классе быстроубывающих конечнозонных функций. Кроме того, для конечнозонных решений была выведена явная формула через тета-функции Римана. Таким образом была установлена (см. [5]–[8]) разрешимость задачи Коши для уравнения мКдФ при любых конечнозонных начальных данных. Более подробно эта теория изложена в монографиях [9], [10], а также в работах [11]–[13]. Следует отметить, что в работе [14] доказана разрешимость задачи Коши для уравнения мКдФ в классе пять раз непрерывно дифференцируемых периодических бесконечнозонных функции, т.е. $u(x+\pi,0)=u(x,0) \in C^5(\mathbb R)$.Известно [15], что если $q(x)=2a\cos 2x$, $a\ne 0$, то в спектре оператора Штурма–Лиувилля $Ly\equiv -y''+q(x)y$, $x\in \mathbb R$, открыты все лакуны, иначе говоря, $q(x)$ – периодический бесконечнозонный потенциал. Аналогичные примеры имеются для периодического оператора Дирака [16]. Отметим, что задача Коши в классе периодических и почти периодических бесконечнозонных функций для нелинейных эволюционных уравнений без источника и с источником, а также с дополнительным членом в различных постановках изучались в работах [17]–[29]. В данной работе предлагается алгоритм построения решения $q(x,t)$, $x\in \mathbb R$, $t> 0$, задачи (1.1)–(1.3) путем сведения еe к обратной спектральной задаче для оператора Дирака:
$$
\begin{equation}
L(\tau,t)y\equiv B\frac{dy}{dx}+\Omega (x+\tau,t)y=\lambda y, \qquad x\in \mathbb R, \quad t>0, \quad\tau \in \mathbb R,
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, B=\begin{pmatrix}0&1 \\ -1&0 \end{pmatrix}, \qquad \Omega (x,t)=\begin{pmatrix} P(x,t)&Q(x,t)\\ Q(x,t)&-P(x,t)\end{pmatrix}, \\ P(x,t)=0, \qquad Q(x,t)=\frac{1}{2} q'_{x}(x,t). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
2. Эволюция спектральных данныхОбозначим через
$$
\begin{equation*}
c(x,\lambda,\tau,t)=\bigl(c_{1} (x,\lambda,\tau,t),c_{2} (x,\lambda,\tau,t)\bigr)^{\top}, \qquad s(x,\lambda,\tau,t)=\bigl(s_{1} (x,\lambda,\tau,t),s_{2} (x,\lambda,\tau,t)\bigr)^{\top}
\end{equation*}
\notag
$$
решения уравнения (1.4) с начальными условиями $c(0,\lambda,\tau,t)=(1,0)^{\top} $ и $s(0,\lambda,\tau,t)=(0,1)^{\top}$. Функция $\Delta (\lambda,\tau,t)=c_{1} (\pi,\lambda,\tau,t)+s_{2} (\pi,\lambda,\tau,t)$ называется функцией Ляпунова для уравнения (1.4). Кроме того, для решений $c(x,\lambda,\tau,t)$ и $s(x,\lambda,\tau,t)$ при больших $|\lambda |$ имеют место следующие асимптотические формулы:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, c(x,\lambda,\tau,t)= \begin{pmatrix}\cos \lambda x \\ \sin \lambda x\end{pmatrix} +O\biggl(\frac{e^{|\operatorname{Im}\lambda |x}}{\lambda}\biggr), \qquad |\lambda |\to \infty, \\ s(x,\lambda,\tau,t)= \begin{pmatrix} -\sin \lambda x \\\cos \lambda x \end{pmatrix} +O\biggl(\frac{e^{|\operatorname{Im}\lambda |x}}{\lambda}\biggr), \qquad |\lambda |\to \infty. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Из этих асимптотик при действительных $\lambda $ получим
$$
\begin{equation*}
\Delta (\lambda,\tau,t)=2\cos \lambda \pi+O\biggl(\frac{1}{\lambda}\biggr), \qquad |\lambda |\to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Вектор-функции
$$
\begin{equation*}
\psi^{\pm} (x,\lambda,\tau,t)=\bigl(\psi_{1}^{\pm} (x,\lambda,\tau,t),\psi_{2}^{\pm} (x,\lambda,\tau,t)\bigr)^{\top} =c(x,\lambda,\tau,t)+m^{\pm} (\lambda,\tau,t) s(x,\lambda,\tau,t)
\end{equation*}
\notag
$$
называются решениями Флоке для уравнения (1.4). Функции Вейля–Титчмарша определяются следующими формулами [30]:
$$
\begin{equation*}
m^{\pm} (\lambda,\tau,t) =\frac{s_{2} (\pi,\lambda,\tau,t)-c_{1} (\pi,\lambda,\tau,t)\mp \sqrt{\Delta^{2} (\lambda,\tau,t)-4}}{2s_{1} (\pi,\lambda,\tau,t)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Спектр оператора Дирака $L(\tau,t)$ чисто непрерывен и представляет собой множество
$$
\begin{equation*}
\sigma (L)=\bigl\{\lambda \in \mathbb R\colon |\Delta (\lambda)|\leqslant 2\bigr\}=\mathbb R\setminus \biggl(\bigcup_{n=-\infty}^{\infty}(\lambda_{2n-1}, \lambda_{2n})\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Интервалы $(\lambda_{2n-1},\lambda_{2n})$, $n\in \mathbb Z\setminus \{0\}$, называются лакунами, где $\lambda_{n} $ – корни уравнения $\Delta (\lambda)\mp 2=0$. Они совпадают с собственными значениями периодической или антипериодической $(y(0)=\pm y(\pi))$ задачи для уравнения (1.4). Нетрудно доказать, что $\lambda_{-1}=\lambda_{0}=0$, т.е. $\lambda=0$ является двукратным собственным значением периодической задачи для уравнения (1.4). Корни уравнения $s_{1} (\pi,\lambda,\tau,t)=0$ обозначим через $\xi_{n} (\tau,t)$, $n\in \mathbb Z\setminus \{0\}$; при этом $\xi_{n} (\tau,t)\in [\lambda_{2n-1},\lambda_{2n} ]$, $n\in \mathbb Z\setminus \{0\}$. Так как в коэффициенте в уравнении (1.4) $P(x,t)\equiv 0$, $Q(x,t)=(1/2)q'_{x} (x,t)$, то справедливо $\lambda_{-1}=\lambda_{0}=\xi_{0}=0$, т.е. $\xi=0$ является собственным значением задачи Дирихле. Числа $\xi_{n} (\tau,t)$, $n\in \mathbb Z\setminus \{0\}$, и знаки $\sigma_{n} (\tau,t)=\operatorname{sign}\{ s_{2} (\pi,\xi_{n},\tau,t)-c_{1} (\pi,\xi_{n},\tau,t)\}$, $n\in \mathbb Z\setminus \{0\}$, называются спектральными параметрами оператора $L(\tau,t)$. Спектральные параметры $\xi_{n} (\tau,t),\sigma_{n} (\tau,t)=\pm 1$, $n\in \mathbb Z\setminus \{0\}$, и границы спектра $\lambda_{n} (\tau,t)$, $n\in \mathbb Z\setminus \{0\}$, называются спектральными данными оператора Дирака $L(\tau,t)$. Задача восстановления коэффициента $\Omega (x,t)$ оператора $L(\tau,t)$ по спектральным данным называется обратной задачей. Если с помощью начальной функции $q_{0} (x+\tau)$, $\tau \in \mathbb R$, построим оператор Дирака $L(\tau,0)$ вида
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, L(\tau,0)y\equiv B\frac{dy}{dx}+\Omega_{0} (x+\tau)y=\lambda y, \qquad x\in \mathbb R, \quad \tau \in \mathbb R, \\ \Omega_{0} (x+\tau)=\begin{pmatrix} 0 &\dfrac{1}{2}q'_{0}(x+\tau) \\ \dfrac{1}{2}q'_{0}(x+\tau)&0 \end{pmatrix}, \qquad y=\begin{pmatrix}y_{1} \\ y_{2} \end{pmatrix}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
то мы увидим, что границы спектра $\lambda_{n} (\tau)$, $n \in \mathbb Z$, полученной задачи не зависят от параметра $\tau \in \mathbb R$, т.е. $\lambda_{n} (\tau)=\lambda_{n}$, $n \in \mathbb Z$, а спектральные параметры от параметра $\tau $ зависят: $\xi_{n}^0=\xi_{n}^0(\tau)$, $\sigma_{n}^0=\sigma_{n}^0(\tau)=\pm 1$, $n \in \mathbb Z$, и являются периодическими функциями: $\xi_{n}^0(\tau+\pi)=\xi_{n}^0(\tau)$, $\sigma_{n}^0(\tau+\pi)=\sigma_{n}^0(\tau)$, $\tau \in \mathbb R$, $n \in \mathbb Z$. Решая прямую задачу, находим спектральные данные $\lambda_{n}$, $\xi_{n}^{0} (\tau)$, $\sigma_{n}^{0} (\tau)$, $n\in \mathbb Z\setminus \{0\}$, оператора $L(\tau,0)$. Обратные задачиъ для оператора Дирака вида
$$
\begin{equation*}
Ly\equiv \begin{pmatrix}0& 1 \\ -1& 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}y'_{1} \\ y'_{2} \end{pmatrix} +\begin{pmatrix}p(x)&q(x) \\ q(x)&-p(x) \end{pmatrix} \begin{pmatrix}y_{1} \\ y_{2} \end{pmatrix}=\lambda y, \qquad x\in \mathbb R,
\end{equation*}
\notag
$$
с периодическими коэффициентами $p(x)=p(x+\pi)$, $q(x)=q(x+\pi)$, в различных постановках изучены в работах [31]–[39]. Следует отметить, что обратная задача в терминах спектральных данных $\{\lambda_{n-1},\xi_{n},\sigma_{n},\, n\geqslant 1 \}$ для оператора Хилла изучена в работах [13], [33] и [40], [41]. Основной результат настоящей работы содержится в следующей теореме. Теорема 1. Пусть $q(x,t)$, $x\in \mathbb R$, $t>0$, – решение задачи Коши (1.1)–(1.3). Тогда границы спектра $\lambda_{n} (\tau,t)$, $n\in \mathbb Z\setminus \{0\}$, $\tau \in \mathbb R$, оператора $L(\tau,t)$ не зависят от параметров $\tau$ и $t $, т.е. $\lambda_{n} (\tau,t)=\lambda_{n}$, $n \in \mathbb Z \setminus \{0\}$, а спектральные параметры $\xi_{n} (\tau,t)$, $\sigma_{n} (\tau,t)=\pm 1$, $n \in \mathbb Z \setminus \{0\}$, удовлетворяют соответственно первому и второму уравнениям системы дифференциальных уравнений Дубровина: Доказательство. Пусть $\pi $-периодическая по $x$ функция $q(x,t)$, $x\in \mathbb R$, $t>0$, удовлеворяет уравнению (1.1). Обозначим через $y_{n}=(y_{n,1} (x,\tau,t),y_{n,2} (x,\tau,t))^{\top}$, $n\in \mathbb Z\setminus \{0\}$, ортонормированные собственные вектор-функции оператора $L(\tau,t)$, рассматриваемого на отрезке $[0,\pi ]$, с граничными условиями Дирихле соответствующие собственным значениям $\xi_{n}=\xi_{n} (\tau,t)$, $n\in \mathbb Z\setminus \{0\}$. Дифференцируя по $t$ тождество
$$
\begin{equation*}
\xi_{n} (\tau,t)=(L(\tau,t)y_{n},y_{n}), \qquad n\in \mathbb Z\setminus \{0\},
\end{equation*}
\notag
$$
и используя симметричность оператора $L(\tau,t)$, имеем
$$
\begin{equation}
\frac{\partial \xi_{n} (\tau,t)}{\partial t}=(\dot{\Omega}(x+\tau,t)y_{n},y_{n}), \qquad n\in \mathbb Z\setminus \{0\}.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Используя явный вид скалярного произведения
$$
\begin{equation*}
(y,z)=\int_{0}^{\pi}[y_{1} (x)\overline{z_{1} (x)}+y_{2} (x)\overline{z_{2} (x)}]\,dx, \qquad y=\begin{pmatrix}y_{1} (x) \\ y_{2} (x) \end{pmatrix}, \quad z=\begin{pmatrix} z_{1} (x) \\ z_{2} (x) \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
равенство (2.6) перепишем в виде
$$
\begin{equation}
\frac{\partial \xi_{n} (\tau,t)}{\partial t}=\int_{0}^{\pi}y_{n,1} y_{n,2} q_{xt} \,dx.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Подставляя выражения (1.1) в (2.7), получаем равенство
$$
\begin{equation}
\frac{\partial \xi_{n} (\tau,t)}{\partial t}=a(t)I_{1} (\tau,t)+b(t)I_{2} (\tau,t),
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
где
$$
\begin{equation}
I_{1} (\tau,t) =\int_{0}^{\pi}\biggl[y_{n,1} y_{n,2} \biggl\{q_{xxxx} (x+\tau,t)-\frac{3}{2} q_{x}^{2} (x+\tau,t)q_{xx} (x+\tau,t)\biggr\}\biggr]\,dx,
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
$$
\begin{equation}
I_{2} (\tau,t) =\int_{0}^{\pi}\bigl[y_{n,1} y_{n,2} e^{q(x+\tau,t)}\bigr]\,dx.
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Применяя тождества
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} y_{n,1} (x,\tau,t)=\dfrac{1}{\xi_{n} (\tau,t)} \biggl(y'_{n,2} (x,\tau,t)+\dfrac{1}{2} q'_{x} (x+\tau,t)y_{n,2} (x,\tau,t) \biggr), \\ y_{n,2} (x,\tau,t)=\dfrac{1}{\xi_{n} (\tau,t)} \biggl(-y'_{n,1} (x,\tau,t)+\dfrac{1}{2} q'_{x} (x+\tau,t)y_{n,1} (x,\tau,t) \biggr), \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
нетрудно вывести равенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &y_{n,1} y_{n,2} \biggl\{q_{xxxx} (x+\tau,t)-\frac{3}{2} q_{x}^{2} (x+\tau,t)q_{xx} (x+\tau,t)\biggr\} \\ &\qquad=\biggl\{\biggl(\frac{1}{2} \xi_{n} q_{x}^{2}+4\xi_{n}^{3} -\xi_{n} q_{xx}\biggr)y_{n,1}^{2} \\ &\qquad\qquad +\biggl(q_{xxx} -\frac{1}{2} q_{x}^{3} -4\xi_{n}^{2} q_{x}\biggr)y_{n,1} y_{n,2}+\biggl(\frac{1}{2} \xi_{n} q_{x}^{2}+4\xi_{n}^{3}+\xi_{n} q_{xx}\biggr)y_{n,2}^{2} \biggr\}'. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пользуясь этой формулой, легко вычислить $I_{1} (\tau,t)$:
$$
\begin{equation}
I_{1} (\tau,t)=\biggl(\frac{1}{2} \xi_{n} q_{\tau}^{2} (\tau,t)+4\xi_{n}^{3} (\tau,t)+\xi_{n} q_{\tau \tau} (\tau,t)\biggr)[y_{n,2}^{2} (\pi,\tau,t)-y_{n,2}^{2} (0,\tau,t)].
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Теперь вычислим $I_{2} (\tau,t)$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_{2} (\tau,t) &=\int_{0}^{\pi}[y_{n,1} y_{n,2} e^{q(x+\tau,t)} ]\,dx \\ &=\frac{1}{\xi_{n} (\tau,t)} \int_{0}^{\pi}\biggl[y_{n,2} e^{q(x+\tau,t)} \biggl(y'_{n,2} (x,\tau,t)+\frac{1}{2} q'_{x} (x+\tau,t)y_{n,2} (x,\tau,t)\biggr)\biggr]\,dx \\ &=\frac{1}{2\xi_{n} (\tau,t)} \biggl(\int_{0}^{\pi}[y_{n,2}^{2} (x,\tau,t)e^{q(x+\tau,t)} ]' \,dx\biggr) \\ &=\frac{1}{2\xi_{n} (\tau,t)} e^{q(\tau,t)} [y_{n,2}^{2} (\pi,\tau,t)-y_{n,2}^{2} (0,\tau,t)], \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
т.е.
$$
\begin{equation}
I_{2} (\tau,t)=\frac{1}{2\xi_{n} (\tau,t)} e^{q(\tau,t)} [y_{n,2}^{2} (\pi,\tau,t)-y_{n,2}^{2} (0,\tau,t)].
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Подставляя (2.11) и (2.12) в тождество (2.8), получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \frac{\partial \xi_{n} (\tau,t)}{\partial t} &=\biggl[a(t)\biggl\{4\xi_{n}^{3} (\tau,t)+\xi_{n} (\tau,t)\biggl[\frac{1}{2} q_{\tau}^{2}+q_{\tau \tau} \biggr]\biggr\}+\frac{b(t)}{2\xi_{n} (\tau,t)} \exp \{q(\tau,t)\}\biggr] \\ &\qquad \times [y_{n,2}^{2} (\pi,\tau,t)-y_{n,2}^{2} (0,\tau,t)]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Так как собственные значения $\xi_{n} (\tau,t)$ задачи Дирихле для уравнения (1.4) простые, то справедливо равенство
$$
\begin{equation*}
y_{n} (x,\tau,t)=\frac{1}{c_{n} (\tau,t)} s(x,\tau,\xi_{n} (t),t),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
c_{n}^{2} (\tau,t) =\int_{0}^{\pi}\bigl[s_{1}^{2} (x,\tau,\xi_{n},\tau,t)+s_{2}^{2} (x,\tau,\xi_{n} (t),t)\bigr]\,dx =-\frac{\partial s_{1} (\pi,\tau,\xi_{n} (t),t)}{\partial \lambda} s_{2} (\pi,\tau,\xi_{n} (t),t).
\end{equation*}
\notag
$$
Используя эти равенства, имеем
$$
\begin{equation*}
y_{n,2}^{2} (\pi,\tau,t)-y_{n,2}^{2} (0,\tau,t)=-\frac{s_{2} (\pi,\xi_{n},t)-{1}/{s_{2} (\pi,\xi_{n},t)}}{\partial s_{1} (\pi,\xi_{n},t)/\partial \lambda}.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя в это соотношение равенство
$$
\begin{equation*}
s_{2} (\pi,\xi_{n},\tau,t)-\frac{1}{s_{2} (\pi,\xi_{n},\tau,t)}=\sigma_{n} (\tau,t)\sqrt{\Delta^{2} (\xi_{n})-4},
\end{equation*}
\notag
$$
получим
$$
\begin{equation}
y_{n,2}^{2} (\pi,\tau,t)-y_{n,2}^{2} (0,\tau,t)=-\frac{\sigma_{n} (\tau,t)\sqrt{\Delta^{2} (\xi_{n})-4}}{\partial s_{1} (\pi,\xi_{n},t)/\partial \lambda}.
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
Учитывая разложения
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Delta^{2} (\lambda)-4=-4\pi^{2} \prod_{k=-\infty}^{\infty}\frac{(\lambda -\lambda_{2k-1})(\lambda -\lambda_{2k})}{a_{k}^{2}}, \\ s_{1} (\pi,\lambda,t)=\pi \prod_{k=-\infty}^{\infty}\frac{\xi_{k} -\lambda}{a_{k}}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $a_{0}=1$ и $a_{k}=k$ при $k\ne 0$, перепишем равенство (2.14) в виде
$$
\begin{equation*}
y_{n,2}^{2} (\pi,t)-y_{n,2}^{2} (0,t)=2(-1)^{n} \sigma_{n} (\tau,t)h_{n} (\xi).
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя это выражение в тождество (2.13), получим (2.2). Аналогично предыдущему можно доказать (2.1).
Если заменить граничные условия Дирихле периодическими $(y(0,t)=y(\pi,t))$ или антипериодическими $(y(0,t)=-y(\pi,t))$ граничными условиями, то вместо уравнения (2.13), будем иметь т.е. $\lambda_{n} (\tau,t)=\lambda_{n} (\tau,0)$, $n\in \mathbb Z\setminus \{0\}$.Теперь в уравнении $L(\tau,t)\nu_{n}=\lambda_{n} (\tau,t)\nu_{n}$, $n\in \mathbb Z\setminus \{0\}$, положим $t=0$. Так как собственные значения $\lambda_{n} (\tau)=\lambda_{n} (\tau,0)$, $n\in \mathbb Z\setminus \{0\}$, периодической или антипериодической задачи для уравнения $L(\tau,0)\nu_{n}=\lambda_{n} (\tau)\nu_{n}$, $n\in \mathbb Z\setminus \{0\}$, не зависят от параметра $\tau \in \mathbb R$, имеем $\lambda_{n} (\tau,t)=\lambda_{n} (\tau)=\lambda_{n}$, $n\in \mathbb Z\setminus \{0\}$. Теорема доказана. Далее, учитывая формулы следов
$$
\begin{equation}
q'_{\tau} (\tau,t)=2\sum_{k=-\infty,\, k\neq 0}^{\infty}(-1)^{k-1} \sigma_{k} (\tau,t) h_{k} (\xi (\tau,t)),
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
$$
\begin{equation}
q(\tau,t)=C(t)+2\int_{0}^{\tau}\biggl(\sum_{k=-\infty,\, k\ne 0}^{\infty}(-1)^{k-1} \sigma_{k} (s,t) h_{k} (\xi (s,t))\biggr)\,ds,
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{1}{2} q_{\tau} (\tau,t)\biggr)^{2} +\frac{1}{2} q_{\tau \tau} (\tau,t)=\sum_{k=-\infty,\,k\neq 0}^{\infty}\biggl(\frac{\lambda_{2k-1}^{2}+\lambda_{2k}^{2}}{2} -\xi_{k}^{2}, (\tau,t)\biggr),
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
где $C(t)$ – некоторая ограниченная непрерывная функция, систему (2.2) можно переписать в замкнутой форме:
$$
\begin{equation}
\frac{\partial \xi_{n} (\tau,t)}{\partial t}=2(-1)^{n} \sigma_{n} (\tau,t)\sqrt{(\xi_{n} (\tau,t)-\lambda_{2n-1})(\lambda_{2n} -\xi_{n} (t,\tau))} \cdot f_{n} (\xi)\cdot g_{n} (\xi (\tau,t)),
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag {g}_{n} (\xi) &=a(t)\biggl[4\xi_{n}^{3} (\tau,t)+2\xi_{n} (\tau,t)\sum_{k=-\infty,\, k\neq 0}^{\infty}\biggl(\frac{\lambda_{2k-1}^{2}+\lambda_{2k}^{2}}{2} -\xi_{k}^{2} (\tau,t)\biggr) \biggr] \\ &\qquad +\frac{b(t)}{2\xi_{n} (\tau,t)} \exp \biggl\{C(t)+2\int_{0}^{\tau}\biggl(\sum_{k=-\infty,\, k\ne 0}^{\infty}(-1)^{k-1} \sigma_{k} (s,t) h_{k} (\xi (s,t))\biggr)\,ds \biggr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
Формулу следа для $q'_{\tau}(\tau,t)$ можно доказать, применяя теорему Миттаг-Леффлера к функции
$$
\begin{equation*}
\frac{s_{2} (\pi,\lambda,\tau,t)-c_{1} (\pi,\lambda,\tau,t)}{s_{1} (\pi,\lambda,\tau,t)}.
\end{equation*}
\notag
$$
В результате замены переменных
$$
\begin{equation}
\xi_{n} (\tau,t)=\lambda_{2n-1}+(\lambda_{2n} -\lambda_{2n-1})\sin^{2} x_{n} (\tau,t), \qquad n\in \mathbb Z\setminus \{0\},
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
систему дифференциальных уравнения Дубровина (2.18) и начальные условия (2.3) можно переписать в виде одного уравнения в банаховом пространстве $K$:
$$
\begin{equation}
\frac{dx(\tau,t)}{dt}=H(x(\tau,t)), \qquad x(\tau,t)|_{t=0}=x^{0} (\tau)\in K,
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, K &=\biggl\{ x(\tau,t)=\bigl(\dots ,x_{-1} (\tau,t),x_{1} (\tau,t),\dots\bigr)\colon \\ &\qquad \| x(\tau,t)\|=\sum_{n=-\infty,\,n\ne 0}^{\infty}(1+|n|)(\lambda_{2n} -\lambda_{2n-1})|x_{n} (\tau,t)| <\infty\biggr\}, \\ H(x) &=\bigl(\dots ,H_{-1} (x), H_{1} (x),\dots \bigr), \\ H_{n} (x) &=(-1)^{n} \sigma_{n} (0)\cdot g_{n} \bigl(\dots ,\lambda_{1}+(\lambda_{2} -\lambda_{1})\sin^{2} x_{1} (\tau,t),\dots \bigr) \\ &\qquad \times f_{n} \bigl(\dots , \lambda_{1}+(\lambda_{2} -\lambda_{1})\sin^{2} x_{1} (\tau,t),\dots \bigr) =(-1)^{n} \sigma_{n} (0) g_{n}(x(\tau,t))f_{n}(x(\tau,t)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Известно, что если $q_{0} (x+\pi)=q_{0} (x)\in C^{6} (\mathbb R)$, то $(q_{0} (x))' \in C^{5} (\mathbb R)$. Поэтому для длины лакуны оператора $L(\tau,0)$ имеет место равенство (см. [31; с. 98]):
$$
\begin{equation*}
\gamma_{k} \equiv \lambda_{2k} -\lambda_{2k-1}=\frac{|q_{2k}^{5} |}{2^{4} |k|^{5}}+\frac{\delta_{k}}{|k|^{6}},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \lambda_{2k},\lambda_{2k-1}=k+\sum_{j=1}^{6}c_{j} k^{-j} \pm 2^{-5} |k|^{-5} |q_{2k}^{5} |+|k|^{-6} \varepsilon_{k}^{\pm}, \\ \notag \sum_{k=-\infty}^{\infty}|q_{2k}^{5} |^{2} <\infty, \qquad \sum_{k=-\infty}^{\infty}(\varepsilon_{k}^{\pm})^{2} <\infty, \qquad \delta_{k}=\varepsilon_{k}^{+} -\varepsilon_{k}^{-}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
Отсюда, учитывая $\xi_{n} (\tau,t)\in [\lambda_{2n-1},\lambda_{2n} ]$, получим
$$
\begin{equation*}
\inf_{k\ne n} |\xi_{n} (\tau,t)-\xi_{k} (\tau,t)|\geqslant a>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь, пользуясь этим неравенством и (2.22), оценим функции
$$
\begin{equation*}
|f_{n} (x(\tau,t))|, \quad \biggl|\frac{\partial f_{n} (x(\tau,t))}{\partial x_{m}} \biggr| \quad\text{и}\quad |{g}_{n} (x (\tau,t))|, \quad \biggl|\frac{\partial {g}_{n} (x(\tau,t))}{\partial x_{m}} \biggr|.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 1. Справедливы следующие оценки: где $C_{j} >0$, $j=1,\dots,5$, не зависят от параметров $m$ и $n$. Доказательство. Неравенства (2.23) доказаны в работе [25]. Поэтому докажем неравенства (2.24). Поскольку функции $a(t)$ и $b(t)$ ограничены, то существуют $M_{j}> 0$, $j=1,2$, такие, что выполняются неравенства $|a(t)|\leqslant M_1$, $|b(t)|\leqslant M_2$. Пользуясь этими неравенствами и (2.20), получим оценки
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|{g}_{n} (x(\tau,t)| \leqslant 4M |{\lambda_{2n-1}+\gamma_{n} \sin^{2} x_{n} (\tau,t)}|^{3}+M|\lambda_{2n-1}+\gamma_{n}\sin^{2} x_{n} (\tau,t)| \\ &\qquad\qquad\qquad \times\biggl| \sum_{k=-\infty,\, k\neq 0}^{\infty}\bigl\{[\lambda_{2k}+\lambda_{2k-1}+\gamma_{k}\sin^{2} x_{k} (\tau,t)] \gamma_{k}\cos^{2} x_{k} (\tau,t) \bigr\}\biggr| \\ &\qquad\qquad +M|\lambda_{2n-1}+\gamma_{n}\sin^{2} x_{n} (\tau,t)| \\ &\qquad\qquad\qquad \times\biggl| \sum_{k=-\infty,\, k\neq 0}^{\infty}\bigl\{[2\lambda_{2k-1}+\gamma_{k}\sin^{2} x_{k} (\tau,t)] \gamma_{k}\sin^{2} x_{k} (\tau,t) \bigr\}\biggr| \\ &\qquad\qquad +\frac{M}{2{|\lambda_{2n-1}+\gamma_{n}\sin^{2} x_{n} (\tau,t)|}} \\ &\qquad\qquad\qquad \times \exp \biggl\{|C(t)|+\int_{0}^{\tau}\biggl|\sum_{k=-\infty,\, k\ne 0}^{\infty}\!\!(-1)^{k-1}\gamma_{k} \sigma^{0}_{k}(s)\sin (2x_{k}(s,t)) f_{k} (x (s,t))\biggr|\,ds \biggr\} \\ &\qquad \leqslant 4M (A_{1}|n|)^{3}+MA_{1}|n| \sum_{k=-\infty,\, k\neq 0}^{\infty}\{A_{2}|n| \gamma_{k} \}+MA_{1}|n|\sum_{k=-\infty,\, k\neq 0}^{\infty}\{A_{3}|n| \gamma_{k} \} \\ &\qquad\qquad +\frac{M}{2A_{4}|n|} \exp \biggl\{M_{1}+\int_{0}^{\tau}\sum_{k=-\infty,\, k\ne 0}^{\infty}C_{2}\gamma_{k}\,ds \biggr\}\leqslant C_{4}|n|^3, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $M=\max\{ M_1, M_2, M_3 \}$.
Теперь оценим функцию $|{\partial {g}_{n} (x(\tau,t))}/{\partial x_{m}} |$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl|\frac{\partial {g}_{n} (x(\tau,t))}{\partial x_{m}} \biggr| \leqslant |a(t)|\,\bigl|-2 [\lambda_{2n-1}+\gamma_{n}\sin^{2} x_{n} (\tau,t)](\lambda_{2m-1}+\gamma_{m}\sin^{2} x_{m} (\tau,t)) \bigr| \\ &\qquad\quad \times\gamma_{m}\sin^{2} x_{m} (\tau,t)+\frac{|b(t)|}{2{|\lambda_{2n-1}+\gamma_{n}\sin^{2} x_{n} (\tau,t)|}} \\ &\qquad\quad \times\exp \biggl\{|C(t)|+\int_{0}^{\tau}\biggl|\sum_{k=-\infty,\, k\ne 0}^{\infty}(-1)^{k-1}\gamma_{k}\sigma^{0}_{k}(s)\sin (2x_{k}(s,t)) f_{k} (x (s,t))\biggr|\,ds \biggr\} \\ &\qquad\quad \times\biggl[\biggl| \int_{0}^{\tau}\!\!(-1)^{m-1}\gamma_{m} \sigma^{0}_{m}(s)\biggl[ 2\cos (2x_{m}(s,t))f_{m} (x(s,t))+\sin (2x_{m}(s,t))\frac{\partial f_{m} (x)}{\partial x_{m}} \biggr]\,ds \biggr| \\ &\qquad +\int_{0}^{\tau}\biggl|\sum_{k=-\infty,\, k\ne m}^{\infty}(-1)^{k-1}\gamma_{k} \sigma^{0}_{k}(s)\sin (2x_{k}(s,t)) \frac{\partial f_{k} (x (s,t))}{\partial x_{m}(s,t)}\biggr|\,ds \biggr] \\ &\quad \leqslant MB_{1}|n|\,|m|\gamma_{m}+\frac{M}{2A_{4}|n|} \exp \biggl\{M_{1}+\int_{0}^{\tau}\sum_{k=-\infty,\, k\ne 0}^{\infty}C_{2}\gamma_{k}\,ds \biggr\} \\ &\qquad\quad \times \biggl\{ B_{2}\gamma_{m}|\tau|+B_{3}\gamma^2_{m}|\tau| +\gamma_{m}\int_{0}^{\tau}\sum_{k=-\infty,\, k\ne m}^{\infty}C_{3}\gamma_{k}\,ds\biggr\} \leqslant C_{5}\gamma_{m}|n||m|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 1 доказана. Лемма 2. Если $q_{0} (x+\pi)=q_{0} (x)\in C^{6} (\mathbb R)$, то вектор-функция $H(x(\tau,t))$ удовлетворяет условию Липщица в банаховом пространстве $K$, т.е. существует константа $L>0$ такая, что для произвольных элементов $x(\tau,t)$, $y(\tau,t)\in K$ выполняется следующее неравенство: где Доказательство. Сначала, используя лемму 1, оценим производную по $x_m(\tau,t)$ функции $F_{n} (x)=\overline {g}_{n} (x)f_{n} (x)$, $n \in \mathbb Z\setminus \{0\}$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl|\frac{\partial F_{n} (x)}{\partial x_{m}}\biggr | &=\biggl|\frac{\partial \overline{g}_{n} (x)}{\partial x_{m}} f_{n} (x)+\frac{\partial f_{n} (x)}{\partial x_{m}} \overline{g}_{n} (x)\biggr| \leqslant \biggl|\frac{\partial f_{n} (x)}{\partial x_{m}} \biggr|\,|\overline{g}_{n} (x)|+\biggl|\frac{\partial \overline{g}_{n} (x)}{\partial x_{m}} \biggr|\,|f_{n} (x)| \\ &\leqslant C_{3} C_{4} |n|^{3}\gamma_{m}+C_{2} C_{5} |m|\,|n|\gamma_{m}\leqslant C|n|^{3} (|m|+1)\gamma_{m} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $C=\mathrm{const}>0$ не зависит от $m$ и $n$.
Далее, используя выражение
$$
\begin{equation*}
H_{n} (x(\tau,t))=(-1)^{n} \sigma_{n}^{0} (\tau)F_{n} (x(\tau,t)), \qquad n \in \mathbb Z\setminus \{0\},
\end{equation*}
\notag
$$
получим равенство
$$
\begin{equation*}
|H_{n} (x(\tau,t))-H_{n} (y(\tau,t))|=|F_{n} (x(\tau,t))-F_{n} (y(\tau,t))|.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь применим теорему Лагранжа о конечном приращении к функции на отрезке $t\in [0,1]$. Тогда получим равенство т.е.
$$
\begin{equation*}
F_{n} (x)-F_{n} (y)=\sum_{m=-\infty,\, m\neq 0}^{\infty}\frac{\partial F_{n} (\theta)}{\partial x_{m}} (x_{m} -y_{m}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\theta=x+t^{*} (y-x)$. Отсюда следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|H_{n} (x(\tau,t))-H_{n} (y(\tau,t))|=|F_{n} (x (\tau,t))-F_{n} (x (\tau,t))| \\ &\qquad \leqslant \sum_{m=-\infty,\, m\neq 0}^{\infty}\biggl|\frac{\partial F_{n} (\theta)}{\partial x_{m}}\biggr |\, |x_{m} (\tau,t)-y_{m} (\tau,t)| \\ &\qquad \leqslant C|n|^{3} \sum_{m=-\infty,\, m\neq 0}^{\infty}(|m|+1)|\lambda_{2m} -\lambda_{2m-1} | \, |x_{m} (\tau,t)-y_{m} (\tau,t)|=C|n|^{3} \| x-y\|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь оценим норму $\| H(x(\tau,t))-H(y(\tau,t))\| $. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \| H(x)-H(y)\| &=\sum_{n=-\infty,\, n\neq 0}^{\infty}(|n|+1)(\lambda_{2n} -\lambda_{2n-1})|H_{n} (x)-H_{n} (y)| \\ & \leqslant \sum_{n=-\infty,\, n\neq 0}^{\infty}C|n|^{3} (|n|+1)(\lambda_{2n} -\lambda_{2n-1})\cdot \| x-y\|=L\| x-y\|, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
L=\sum_{n=-\infty,\, n\ne 0}^{\infty}C|n|^{3} (|n|+1)(\lambda_{2n} -\lambda_{2n-1})=C\sum_{n=-\infty,\,n\ne 0}^{\infty}|n|^{3} (|n|+1)\gamma_{n} <\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, условие Липшица выполняется. Поэтому решение задачи Коши (2.2), (2.3) для всех $t>0$ и $\tau \in \mathbb R$ существует и единственно. Лемма 2 доказана. Действительно, для нахождения решения задачи (1.1)–(1.3) сначала найдем спектральные данные $\lambda_{n}$, $\xi_{n}^{0} (\tau)$, $ \sigma_{n}^{0} (\tau)=\pm 1$, $n\in \mathbb Z\setminus \{0\}$, оператора Дирака $L(\tau,0)$. Обозначим спектральные данные оператора $L(\tau,t)$ через $\lambda_{n}$, $\xi_{n} (\tau,t)$, $\sigma_{n} (\tau,t)=\pm 1$, $n\in \mathbb Z\setminus \{0\}$. Теперь, решая задачу Коши (2.18), (2.3) при произвольном значении $\tau $, находим $\xi_{n} (\tau,t)$, $\sigma_{n} (\tau,t)$, $ n\in \mathbb Z\setminus \{0\}$. Из формулы следов (2.15) определим функцию $q_{\tau} (\tau,t)$, т.е. решение задачи (1.1)–(1.3). До сих пор мы предполагали, что задача Коши (1.1)–(1.3) имеет решение. От этого предположения нетрудно освободиться, непосредственно убедившись, что полученная таким способом функция $q_{\tau} (\tau,t)$, $\tau \in \mathbb R$, $t>0$, действительно удовлетворяет уравнению (1.1). Замечание 2. Функция $q_{\tau} (\tau,t)$, построенная с помощью системы уравнений Дубровина (2.2), (2.3) и формулы следов (2.15), действительно удовлетворяет уравнению (1.1). Доказательство. Будем использовать вторую формулу следов
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{1}{2} q_{\tau} (\tau,t)\biggr)^{2}+\frac{1}{2} q_{\tau \tau} (\tau,t)=\sum_{k=-\infty,\, k\neq 0}^{\infty}\biggl(\frac{\lambda_{2k-1}^{2}+\lambda_{2k}^{2}}{2} -\xi_{k}^{2} (\tau,t)\biggr).
\end{equation}
\tag{2.26}
$$
Дифференцируя формулу (2.26) по $t$, имеем
$$
\begin{equation}
\frac{1}{2} q_{\tau} (\tau,t)q_{\tau t} (\tau,t)+\frac{1}{2} (q_{\tau t} (\tau,t))_{\tau}=-\sum_{k=-\infty,\, k\neq 0}^{\infty}2\xi_{k} (\tau,t)\frac{\partial \xi_{k} (\tau,t)}{\partial t}.
\end{equation}
\tag{2.27}
$$
Здесь мы использовали равенство $(q_{\tau} (\tau,t))_{t\tau}=(q_{\tau} (\tau,t))_{\tau t}$. Далее, учитывая систему уравнений Дубровина (2.2), из (2.27) получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &q_{\tau} (\tau,t)z(\tau,t)+z_{\tau} (\tau,t)=-8\sum_{k=-\infty,\, k\neq 0}^{\infty}(-1)^{k} \sigma_{k} (\tau,t)h_{k} (\xi)\xi_{k} (\tau,t) \\ &\qquad\qquad \times \biggl[a(t)\biggl\{4\xi_{k}^{3} (\tau,t)+\xi_{k} (\tau,t)\biggl[\frac{1}{2} q_{\tau}^{2}+q_{\tau \tau} \biggr]\biggr\}+\frac{b(t)}{2\xi_{k} (\tau,t)} \exp \{q(\tau,t)\}\biggr], \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.28}
$$
где Теперь мы будем использовать систему дифференциальных уравнений Дубровина, соответствующую уравнению (1.4):
$$
\begin{equation}
\frac{\partial \xi_{n} (\tau,t)}{\partial \tau}=2(-1)^{n-1} \sigma_{n} (\tau,t)h_{n} (\xi (\tau,t))\xi_{n} (\tau,t),
\end{equation}
\tag{2.30}
$$
а также формулу следов (2.15). Тогда из (2.28) получим равенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &q_{\tau} (\tau,t)z(\tau,t)+z_{\tau} (\tau,t)=4a(t)\sum_{k=-\infty,\,k\neq 0}^{\infty}\frac{\partial \xi_{k}^{4}}{\partial \tau} \\ &\qquad +2a(t)\biggl[\frac{1}{2} q_{\tau}^{2}+q_{\tau \tau} \biggr]\sum_{k=-\infty,\, k\neq 0}^{\infty}\frac{\partial \xi_{k}^{2}}{\partial \tau}+2b(t)e^{q(\tau,t)} q_{\tau} (\tau,t). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.31}
$$
Далее вычислим суммы следующих функциональных рядов:
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=-\infty,\,k\neq 0}^{\infty}\frac{\partial \xi_{k}^{4}}{\partial \tau}, \qquad \sum_{k=-\infty,\,k\neq 0}^{\infty}\frac{\partial \xi_{k}^{2}}{\partial \tau}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для этого дифференцируем по $\tau $ формулы следов (2.26) и используем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &-q_{\tau \tau \tau \tau} (\tau,t)-q_{\tau} (\tau,t)q_{\tau \tau \tau} (\tau,t)+q_{\tau \tau} (\tau,t)q_{\tau}^{2} (\tau,t)+\frac{1}{4} q_{\tau}^{4} (\tau,t) \\ &\qquad =4\sum_{k=-\infty,\,k\neq 0}^{\infty}\biggl(\frac{\lambda_{2k}^{4}+\lambda_{2k-1}^{4}}{2} -\xi_{k}^{4} (\tau,t)\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.32}
$$
Получим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, q_{\tau \tau \tau \tau \tau}+q_{\tau \tau} q_{\tau \tau \tau}+q_{\tau} q_{\tau \tau \tau \tau} -q_{\tau \tau \tau} q_{\tau}^{2} -2q_{\tau \tau}^{2} q_{\tau} -q_{\tau}^{3} q_{\tau \tau}=4\sum_{k=-\infty,\,k\neq 0}^{\infty}\frac{\partial \xi_{k}^{4}}{\partial \tau}, \\ q_{\tau} (\tau,t)q_{\tau \tau} (\tau,t)+q_{\tau \tau \tau} (\tau,t)=-2\sum_{k=-\infty,\,k\neq 0}^{\infty}\frac{\partial \xi_{k}^{2} (\tau,t)}{\partial \tau}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя эти формулы, из (2.31) находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &q_{\tau} (\tau,t)z(\tau,t)+z_{\tau} (\tau,t)=a(t)(q_{\tau \tau \tau \tau \tau}+q_{\tau \tau} q_{\tau \tau \tau}+q_{\tau} q_{\tau \tau \tau \tau} -q_{\tau \tau \tau} q_{\tau}^{2} -2q_{\tau \tau}^{2} q_{\tau}) \\ &\qquad\qquad -a(t)q_{\tau}^{3} q_{\tau \tau}-a(t)\biggl[\frac{1}{2} q_{\tau}^{2}+q_{\tau \tau} \biggr](q_{\tau} q_{\tau \tau}+q_{\tau \tau \tau})+2b(t)e^{q(\tau,t)} q_{\tau} (\tau,t), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
т.е.
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &q_{\tau} (\tau,t)z(\tau,t)+z_{\tau} (\tau,t)=a(t)\biggl[q_{\tau \tau \tau \tau \tau}+q_{\tau} q_{\tau \tau \tau \tau} -\frac{3}{2} q_{\tau \tau \tau} q_{\tau}^{2} -3q_{\tau \tau}^{2} q_{\tau} -\frac{3}{2} q_{\tau}^{3} q_{\tau \tau} \biggr] \\ &\qquad\qquad +2b(t)e^{q(\tau,t)} q_{\tau} (\tau,t). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.33}
$$
Нетрудно проверить, что функция
$$
\begin{equation*}
z(\tau,t)=a(t)\biggl(q_{\tau \tau \tau \tau} -\frac{3}{2} q_{\tau}^{2} q_{\tau \tau}\biggr)+b(t)e^{q(\tau,t)}+C_{1} (t)e^{-q(\tau,t)}
\end{equation*}
\notag
$$
является решением линейного уравнения (2.33). Выбирая $C_{1} (t)=0$, имеем
$$
\begin{equation*}
z(\tau,t)=a(t)\biggl(q_{\tau \tau \tau \tau} -\frac{3}{2} q_{\tau}^{2} q_{\tau \tau}\biggr)+b(t)e^q.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из обозначения (2.29) получим уравнения (1.1): Замечание 3. Равномерная сходимость рядов в формулах (2.15)–(2.17) и (2.25), а также (2.32) следует из асимптотики (2.22) и оценки (2.23). Таким образом, нами доказана следующая теорема. Теорема 2. Если начальная функция $q_{0} (x)$ удовлетворяет условию то существует однозначно определяемое решение $q'_{x} (x,t)$, $x\in \mathbb R$, $t>0$, задачи (1.1)–(1.3), которое задается по формуле (2.15). Используя результаты работ [32] и [33], выводим Следствие 1. Если начальная функция $q_{0} (x)$ является действительной аналитической $\pi$-периодической функцией, то решение $q(x,t)$ задачи (1.1)–(1.3) является действительной аналитической функцией по переменной $x$. Следствие 2. Если число ${\pi}/{2} $ является периодом (антипериодом) для начальной функции $q_{0} (x)$, то все корни уравнения $\Delta (\lambda)+2=0$ ($\Delta (\lambda)-2=0$) являются двукратными. Так как функция Ляпунова, соответствующая коэффициенту $q(x,t)$, совпадает с $\Delta (\lambda)$, то согласно результатам работ [34] и [35] число ${\pi}/{2} $ является также периодом (антипериодом) для решения $q(x,t)$ по переменной $x$. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KhaHud23} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|