| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Специальное преобразование Вебера с ненулевым ядром А. В. Горшков Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623070192 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеПреобразования Фурье, включая тригонометрическое преобразование, базируются на обобщенных собственных функциях (ОСФ) соответствующего самосопряженного дифференциального оператора $A$, и формулы обращения можно рассматривать как спектральное разложение функции по системе ОСФ. Если система ОСФ оператора $A$ полна и $\ker(A)=\{0\}$, то для соответствующего преобразования Фурье выполняются формулы обращения и равенство Планшереля. Например, тригонометрическое преобразование Фурье
$$
\begin{equation*}
\widehat f(\lambda)=\sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_0^\infty \sin (\lambda x) f(x)\,dx
\end{equation*}
\notag
$$
является обратным к самому себе, и формула обращения имеет вид
$$
\begin{equation*}
f(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_0^\infty \sin (\lambda x) \widehat f(\lambda)\,d\lambda,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\{\sin (\lambda x)\}_{\lambda > 0}$ образуют полную систему ОСФ задачи Штурма–Лиувилля в пространстве $L_2(\mathbb{R}_+)$ Но в случае, когда ядро $A$ нетривиально, система ОСФ должна дополняться функциями из ядра $\{e_k\}$ соответствующими собственному значению $\lambda=0$. И равенство Планшереля перестает выполняться, пока оно не будет дополнено суммой квадратов коэффициентов Фурье, которые превращают его в равенство Планшереля–Парсеваля вида В этом случае $F$ становится дефектным интегральным преобразованием. Например, если для вышеприведенной задачи Штурма–Лиувилля условие Дирихле заменить на условие смешанного типа то в случае $a>0$ помимо обобщенных собственных функций, оператор $\partial_{xx}$ будет содержать еще и обычную собственную функцию $e^{-ax}$ с собственным значением $a^2$. Порождаемое этой задачей преобразование Фурье становится дефектным, т.е. содержащим нетривиальное ядро.Как правило, смешанные краевые задачи в области $\Omega\subset \mathbb{R}^n$ с граничным условием Робина (здесь $n$ – внешняя нормаль к границе области)
$$
\begin{equation*}
\biggl({\frac{\partial f}{\partial\mathbf{n}}}- af\biggr)\bigg|_{\partial \Omega}=0
\end{equation*}
\notag
$$
имеют физический смысл при $a<0$, и поэтому случай $a>0$ в задачах математической физики почти не встречается. Хотя именно этот случай порождает дефектные интегральные преобразования. В данной работе будет исследовано дефектное преобразование Вебера, которое сопряжено с краевой задачей с граничным условием смешанного типа и которое имеет непосредственное приложение к задачам математической физики. Для него будут выведены формулы обращения и равенство Планшереля–Парсеваля вида (1.1). Преобразования Вебера со времени первой публикации [1] в 1873 г. определялись для функций с ограниченной вариацией. Позднее в статье [2], опубликованной в 1923 г., Титчмарш доказал формулу обращения
$$
\begin{equation}
\frac{f(r-0)+f(r+0)}2=W_{k,k}^{-1}[W_{k,k}[f]](r),\qquad r>r_0,
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
с прямым и обратным преобразованием
$$
\begin{equation}
W_{k,k}[f](\lambda) = \int_{r_0}^\infty\frac{J_{k}(\lambda s)Y_{k}(\lambda r_0)- Y_{k}(\lambda s)J_{k}(\lambda r_0)}{\sqrt{J_{k}^2(\lambda r_0)+ Y_{k}^2(\lambda r_0)}}f(s)s\,\mathrm{ds},
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
$$
\begin{equation}
W^{-1}_{k,k}[\widehat f](r) = \int_{0}^\infty\frac{J_{k}(\lambda r)Y_{k}(\lambda r_0)- Y_{k}(\lambda r)J_{k}(\lambda r_0)}{\sqrt{J_{k}^2(\lambda r_0)+ Y_{k}^2(\lambda r_0)}}\widehat f(\lambda) \lambda\,\mathrm{d\lambda},
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
где $r_0>0$ – фиксированный параметр, $k\in \mathbb{R}$, $J_k(r)$, $Y_k(r)$ – функции Бесселя первого и второго рода соответственно. Позднее определение преобразований Вебера было обобщено на случай различных индексов $k,l \in \mathbb{R}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, W_{k,l}[f](\lambda)&=\int_{r_0}^\infty \frac{J_{k}(\lambda s)Y_{l}(\lambda r_0)- Y_{k}(\lambda s)J_{l}(\lambda r_0)}{\sqrt{J_{l}^2(\lambda r_0)+ Y_{l}^2(\lambda r_0)}} f(s) s\,\mathrm{ds}, \\ W^{-1}_{k,l}[\widehat f](r)&=\int_{0}^\infty \frac{J_{k}(\lambda r)Y_{l}(\lambda r_0)- Y_{k}(\lambda r)J_{l}(\lambda r_0)}{\sqrt{J_{l}^2(\lambda r_0)+ Y_{l}^2(\lambda r_0)}} \widehat f(\lambda) \lambda\,\mathrm{d\lambda}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В статье [3] Гриффитс внес исправления в формулу обратимости, приведенную Титчмаршем в [4], и вывел обратное преобразование для $W_{k,k+1}$. Для $l> k$ эти преобразования также изучались в [5], [6]. Некоторые результаты для случая $l<k$ были исследованы в [3], [7]. Тем не менее, эти формулы все еще требуют исправлений, которые становятся более прозрачными, если эти преобразования рассматривать в контексте спектральной задачи Штурма–Лиувилля. В этой статье будет исследовано дефектное преобразование Вебера, включая равенства Планшереля–Парсеваля, и будет доказана справедливость формул обращения для $f$ из пространства $L_1\cap L_2$, которое более типично для преобразований типа Фурье. Также будут представлены приложения этого преобразования. Скажем несколько слов о методе исследования. Для вывода формулы обращения будет рассмотрена начально-краевая задача для уравнения диффузии с граничным условием Робина, которая с помощью преобразования Лапласа будет сведена к эллиптическому уравнению. Преобразование Лапласа будет содержать вычет в нуле, которому соответствует собственная функция из ядра преобразования. Применяя обратное преобразование Лапласа, получим корректную формулу обращения. Преобразование Вебера основано на обобщенных собственных функциях оператора Лапласа
$$
\begin{equation*}
\Delta_k=\frac{1}{r}\,\frac{\partial}{\partial r} \biggl(r\frac{\partial}{\partial r}\biggr)-\frac{k^2}{r^2}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
В неограниченных областях с различными граничными условиями оператор имеет непрерывный спектр $\sigma(\Delta)=\mathbb{R}_-$. Резольвента $R(\tau)=(\Delta_k-\tau I)^{-1}$ является ветвящейся функцией со скачком вдоль спектра в точке ветвления $\tau=0$. В случае нетривиального ядра в дополнение к непрерывной части спектра собственное значение $\tau=0$ будет обуславливать наличие слагаемого $R_{-1}/\tau$ в разложении $R(\tau)$ по $\tau$, где $R_{-1}$ – проектор на собственное подпространство $\ker(\Delta_k)$, приводящее к равенству типа (1.1). В этой статье будет показано, что именно преобразования $W_{k,k\pm 1}$ имеют нетривиальное ядро. Нетривиальное ядро в свою очередь порождает стационарное решение для уравнения диффузии, что в неограниченных областях встречается довольно редко. Из-за особой спектральной структуры, включающей точечный и непрерывный спектр, преобразования $W_{k,k \pm 1}$ представляют самостоятельный интерес. Но также эти преобразования находят применение в математической физике. С их помощью могут быть решены различные краевые задачи с условием Дирихле. Преобразование $W_{k,k+1}$ используется в теории упругости, теории скважинных течений, гидродинамике (см. [5], [8]). Преобразование $W_{k,k-1}$, несмотря на специфичность граничного условия и нетривиальный спектр, является важным прикладным преобразованием. С использованием преобразования $W_{k,k-1}$ автором в [9] была решена классическая нестационарная задача Стокса обтекания бесконечного цилинда. Было доказано, что условие прилипания является условием ортогональности решения ядру $W_{k,k-1}$ и точное решение задачи Стокса нестационарного обтекания круга в терминах коэффициентов Фурье $w_k(t,r)$ функции ротора дается формулой
$$
\begin{equation*}
w_k(t,r)=W^{-1}_{|k|,|k|-1}[e^{-\lambda^2t}W_{|k|,|k|-1}[w_k(0,r)]].
\end{equation*}
\notag
$$
2. Преобразование Вебера $W_{k,k\pm 1}[\,\cdot\,]$Преобразования Вебера $W_{k,k\pm 1}[\,\cdot\,]$ для $k\in \mathbb{R}$, $r_0>0$ определяются как
$$
\begin{equation}
W_{k,k\pm 1}[f](\lambda)=\int_{r_0}^\infty \frac{J_{k}(\lambda s)Y_{k\pm 1}(\lambda r_0)- Y_{k}(\lambda s)J_{k\pm 1}(\lambda r_0)} {\sqrt{J_{k\pm 1}^2(\lambda r_0)+ Y_{k\pm 1}^2(\lambda r_0)}}f(s)s\,\mathrm{ds}.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Определим обратное преобразование Вебера:
$$
\begin{equation}
W^{-1}_{k,k\pm 1}[\widehat f](r)=\int_{0}^\infty \frac{J_{k}(\lambda r)Y_{k\pm 1}(\lambda r_0)- Y_{k}(\lambda s)J_{k\pm 1}(\lambda r_0)} {\sqrt{J_{k\pm 1}^2(\lambda r_0)+Y_{k\pm 1}^2(\lambda r_0)}} \widehat f (\lambda) \lambda\,\mathrm{d\lambda}.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Далее будет показано, что $\ker(W^{-1}_{k,k\pm 1})\ne \{0\}$, и равенство Планшереля дополнится слагаемым из ядра согласно (1.1). Мы выведем формулу обращения для $W_{k,k\pm 1}[\,\cdot\,]$. Преобразование Фурье основывается на обобщенных собственных функциях оператора Лапласа $\Delta$, заданных в неограниченной области. Оператор $\Delta$ является генератором сильно непрерывной полугруппы, которая является решением начально-краевой задачи для некоторого дифференциального уравнения. Например, с помощью преобразования $W_{k,k\pm 1}[\,\cdot\,]$ решается начально-краевая задача для уравнения теплопроводности во внешней части круга радиуса $r_0>0$ с условием Робина на его границе. Для функций из $E\subset \mathbb{R}_+$ вместе с обычным пространством интегрируемых функций $L_1(E)$, $L_2(E)$ будем использовать пространство $L_2(E;r)$, $L_2(E;\lambda)$ квадратично интегрируемых функций с мерой $r\,\mathrm{dr}$, $\lambda\,\mathrm{d\lambda}$, снабженное нормой
$$
\begin{equation*}
\|f\|^2_{L_2(E;r)}=\int_E|f(r)|^2r\,\mathrm{dr},\qquad \|f\|^2_{L_2(E;\lambda)}= \int_E |f(\lambda)|^2\lambda\,\mathrm{d\lambda}.
\end{equation*}
\notag
$$
2.1. Основные свойства преобразования ВебераМы снабдим $\Delta_k$ таким граничным условием третьего типа, что ядро $\Delta_k$ станет ненулевым. Резольвента $R(\tau)=(\Delta_k-\tau I)^{-1}$ представляет собой ветвящуюся функцию с разрывом вдоль непрерывного спектра $\sigma_{\rm c}(\Delta_k)=\mathbb{R}_-$. Собственное значение $\tau=0$ будет генерировать дополнительное слагаемое $R_{-1}/\tau$ в разложении $R (\tau)$, где $R_{-1}$ – проектор на собственное подпространство $\ker(\Delta_k)$. Это подпространство в сочетании с функциями из непрерывной части спектра $\sigma_{\rm c}(\Delta_k)$ составляют полную систему в $L_2(r_0,\infty;r)$. Сначала докажем следующую лемму. Доказательство. Из неравенства Через преобразование $W_{k,k}[\,\cdot\,]$ решается уравнение теплопроводности с нулевым условием Дирихле, а через $W_{k,k \pm 1}[\,\cdot\,]$ – то же уравнение
$$
\begin{equation}
\frac{\partial w(t,r)}{\partial t}-\Delta_k w(t,r)=0,
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
но с условием третьего типа
$$
\begin{equation}
r_0\frac{\partial w(t,r)}{\partial r}\bigg|_{r=r_0} \mp k w(t,r_0)=0,\qquad k \in \mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Снабдим краевую задачу начальным условием Ввиду
$$
\begin{equation*}
\Delta_k J_{k}(\lambda r)=-\lambda^2 J_{k}(\lambda r),\qquad \Delta_k Y_{k}(\lambda r)=-\lambda^2 Y_{k}(\lambda r)
\end{equation*}
\notag
$$
если бы была верна формула обращения (1.2), то решение (2.6)–(2.8) давалось бы формулой
$$
\begin{equation*}
w(t,\cdot)=W^{-1}_{k,k\pm 1}[e^{-\lambda^2 t}W_{k,k\pm 1}[f]].
\end{equation*}
\notag
$$
Но так как
$$
\begin{equation*}
\Delta_k\biggl[\frac{1}{r^k}\biggr]=0,\qquad \Delta_k[r^k]=0,
\end{equation*}
\notag
$$
то для $k>1$ функция $1/r^k$ принадлежит $\ker(\Delta_k)\subset L_2(r_0,\infty;r)$ и для $k<-1$ $r^k \in \ker(\Delta_k) \subset L_2(r_0,\infty;r)$. Обе функции $1/r^k$ и $r^k$ являются стационарными решениями (2.6). Выражение $1/r^k$ удовлетворяет граничному условию со знаком “$+$” в (2.7), в то время как $r^k$ – со знаком “$-$”. Поэтому эти функции должны лежать и в ядре $W_{k,k\pm 1}$, что и доказывается в следующей лемме. Доказательство. Для $k>1$ имеем $1/r^k \in L_2(r_0,\infty;r)$, и для $k<-1$ имеем $r^k \in L_2(r_0,\infty;r)$. Из соотношений (см. [10]) Основным результатом этого раздела является следующая теорема. Она включает в себя формулы обращения и равенство Планшереля–Парсеваля (1.1). Теорема 1. Пусть $f(r)\sqrt r \in L_1(r_0,\infty)\cap L_2(r_0,\infty)$, $r_0>0$, $k \in \mathbb{R}$. Тогда преобразования Вебера (2.1), (2.2) почти всюду удовлетворяют соотношениям Из этой теоремы непосредственно вытекает Следствие 1 (неравенство Бесселя). Для функции $f(r)$, $ f(r)\sqrt r \in L_1(r_0,\infty)\cap L_2(r_0,\infty)$, $r_0>0$, $k \in \mathbb{R}$ выполняется неравенство 2.2. Начально-краевая задачаМы докажем формулы обращения из теоремы 1, решая начально-краевую задачу с начальной функцией $f(r)$. Ввиду симметричности $W_{k,k-1}$, $W_{k,k+1}$ дальнейшие рассуждения будут проводиться для $W_{k,k-1}$ с граничным условием
$$
\begin{equation}
r_0\frac{\partial w(t,r)}{\partial r}\bigg|_{r=r_0}+k w(t,r_0) =0,\qquad k \in \mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Задача (2.6), (2.8), (2.10) будет решаться путем сведения к эллиптическому уравнению с параметром $\tau \in \mathbb{C}$. Преобразование Лапласа
$$
\begin{equation*}
\widehat\omega(\tau,r)=\int_0^\infty e^{-\tau t}w(t,r)\,d\tau
\end{equation*}
\notag
$$
сводит (2.6) к которое запишем как
$$
\begin{equation}
\frac{\partial^2 \widehat\omega}{\partial r^2}+ \frac{1}{r}\, \frac{\partial\widehat\omega}{\partial r}- \biggl(\frac{k^2}{r^2}+\tau\biggr) \widehat\omega=-f(r).
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Частное решение дается формулой
$$
\begin{equation*}
\widehat w_p(\tau,r)=K_k(\sqrt{\tau}\,r)\int_{r_0}^r f(s) I_k(\sqrt{\tau}\,s)s\,ds+I_k(\sqrt{\tau}\,r)\int_r^{\infty} f(s) K_k(\sqrt{\tau}s)s\,ds.
\end{equation*}
\notag
$$
Оно может быть найдено из соотношений для вронскиана
$$
\begin{equation*}
I_k(r)\,\frac{\partial K_k(r)}{\partial r}- K_k(r)\,\frac{\partial I_k(r)}{\partial r}=-r^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial \widehat w_p}{\partial r}(\tau, r_0)= \sqrt\tau\,I_k'(\sqrt\tau\,r_0) \int_{r_0}^\infty f(s)K_k(\sqrt{\tau}s)s\,ds,
\end{equation*}
\notag
$$
то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &r_0{\frac{\partial\widehat w_p}{\partial r}}(\tau,r_0)+ k\widehat w_p(\tau,r_0) \\ &\qquad=\sqrt\tau\,r_0 I_k'(\sqrt\tau\,r_0) \int_{r_0}^\infty f(s) K_k(\sqrt{\tau}\,s) s\,ds +k I_k(\sqrt{\tau}\,r_0)\int_{r_0}^\infty f(s) K_k(\sqrt{\tau}\,s) s\,ds. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из правил дифференцирования функций Бесселя будем иметь
$$
\begin{equation*}
\sqrt\tau\,r_0 I_k'(\sqrt\tau\,r_0)+k I_k(\sqrt{\tau}\,r_0)= \sqrt\tau\,r_0 I_{k-1}(\sqrt\tau\,r_0),
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation*}
r_0{\frac{\partial\widehat w_p}{\partial r}}(\tau,r_0)+ k \widehat w_p(\tau,r_0)=r_0\sqrt\tau\,I_{k-1}(\sqrt\tau\,r_0) \int_{r_0}^\infty f(s) K_k(\sqrt{\tau}\,s) s\,ds.
\end{equation*}
\notag
$$
Из
$$
\begin{equation*}
K_{k-1}(r)=-\frac{k }{r}K_{k}(r)-\frac{dK_{k}}{dr}(r)
\end{equation*}
\notag
$$
следует
$$
\begin{equation*}
r_0{\frac{\partial K_k(\sqrt\tau\,r)}{\partial r}} (\sqrt\tau\,r_0)+k K_k(\sqrt\tau\,r_0)= -r_0\sqrt\tau\,K_{k-1}(\sqrt\tau\,r_0).
\end{equation*}
\notag
$$
И затем после исключения экспоненциально растущей функции $I_k(\sqrt{\tau}\,r)$ общее решение (2.12) находится как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber \widehat\omega(\tau,r)&= \frac{K_{k}(\sqrt{\tau}\,r)I_{k-1}(\sqrt\tau\,r_0)} {K_{k-1}(\sqrt\tau\,r_0)}\int_{r_0}^\infty f(s) K_{k}(\sqrt{\tau}\,s) s\,ds \\ &\qquad+ K_{k}(\sqrt{\tau}\,r)\int_{r_0}^r f(s)I_{k}(\sqrt{\tau}\,s) s\,ds+I_{k}(\sqrt{\tau}\,r)\int_r^{\infty} f(s) K_{k}(\sqrt{\tau}\,s) s\,ds. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Решение $w(t,x)$ уравнения теплопроводности находится из обратного преобразования Лапласа
$$
\begin{equation*}
w(t,r)=\frac1{2\pi i}\int_{\Gamma_\eta} e^{\tau t}\widehat\omega(\tau,r)\,d\tau,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Gamma_\eta=\{\tau\in\mathbb{C},\operatorname{Re}\tau=\eta\}$, $\eta>0$, – произвольное фиксированное число. Поскольку $\sqrt\tau$ в (2.13) является ветвящейся функцией, то заменим контур интегрирования с $\Gamma_\eta$ на $\Gamma_{-\eta,\varepsilon}^-$ с некоторым $\varepsilon>0$, где $\Gamma_{-\eta,\varepsilon}^-$ определяется как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Gamma_{-\eta,\varepsilon}^-&=(-\eta-i\infty,-\eta-i\varepsilon]\cup [-\eta-i\varepsilon,\varepsilon-i\varepsilon]\cup [\varepsilon-i\varepsilon,\varepsilon+i\varepsilon] \\ &\cup [\varepsilon+i\varepsilon,-\eta+i\varepsilon]\cup [-\eta+i\varepsilon,-\eta+i\infty). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из (2.11) функция $\widehat\omega(\tau,r)$ выражается через резольвенту $R(\tau)=(\Delta_k-\tau I)^{-1}$: Из леммы 2, так как $1/r^k \in \ker(W_{k,k-1})$, то $R(\tau)$ имеет ненулевой вычет в $\tau=0$ для $k>1$. Он порождает конечномерный проектор на собственное подпространство согласно общей теории представлений операторов (см. [14]). Переходя к пределу $\varepsilon \to 0$, $\eta \to \infty$ в $\Gamma_{-\eta,\varepsilon}^-$ и интегрируя по контуру как на рис. 1, будем иметь равенство
$$
\begin{equation*}
w(t,r)=\frac1{2\pi i}\int_{-\infty}^0 e^{\tau t} \widehat\omega(\tau-i0,r)\,d\tau+\frac1{2\pi i} \int_0^{-\infty} e^{\tau t}\widehat \omega(\tau+i0,r)\,d\tau+ \operatorname{res}_{\tau=0}[\widehat\omega(\tau,r)],
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\operatorname{res}_{\tau=0}\,[\widehat\omega(\tau,r)]=\begin{cases} 0, & k\leqslant 1, \\ \displaystyle\lim_{\rho \to 0}\dfrac{1}{2\pi i}\int_{|\tau|=\rho} \widehat\omega(\tau,r)\,d\tau, & k>1. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $\tau=-\lambda^2$. Тогда
$$
\begin{equation}
w(t,r)=\frac{1}{\pi i}\int_0^\infty e^{-\lambda^2 t} (w(-\lambda^2-i0,r)-w_k(-\lambda^2+i0,r))\lambda\,\mathrm{d}\lambda+ \operatorname{res}_{\tau=0}[\widehat\omega(\tau,r)].
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
$I_k$, $K_k$, $H_k^{(1)}$, $H_{k}^{(2)}$, $J_{k}$ удовлетворяют известным соотношениям (см. [10], [11]):
$$
\begin{equation}
K_k(-i\lambda r) =\frac{\pi i}2e^{\pi ik/2}H_k^{(1)}(\lambda r),
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
$$
\begin{equation}
K_k(i\lambda r) =\frac{\pi i}{2}e^{\pi ik/2}H_{k}^{(1)}(-\lambda r),
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
$$
\begin{equation}
H_{k}^{(1)}(-\lambda r) =-e^{-\pi i k}H_{k}^{(2)}(\lambda r),
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
Здесь $H_k^{(1)}$, $H_{k}^{(2)}$ – функции Ганкеля
$$
\begin{equation*}
H_k^{(1)}(\lambda r)=J_k(\lambda r)+iY_k(\lambda r), \qquad H_{k}^{(2)}(\lambda r)=J_{k}(\lambda r)-iY_{k}(\lambda r).
\end{equation*}
\notag
$$
Мы представим $\widehat\omega(\tau,r)$ в (2.13) как
$$
\begin{equation*}
\widehat\omega(\tau,r)=G_{k,1}(\tau,r)+G_{k,2}(\tau,r),
\end{equation*}
\notag
$$
где $G_{k,1}(\tau,r)$, $G_{k,2}(\tau,r)$ определяются как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, G_{k,1}(\tau,r)&=\frac{K_k(\sqrt{\tau}\,r)I_{k-1}(\sqrt\tau\,r_0)} {K_{k-1}(\sqrt\tau\,r_0)}\int_{r_0}^\infty f(s) K_k(\sqrt{\tau}\,s) s\,ds, \\ G_{k,2}(\tau,r)&=K_k(\sqrt{\tau}\,r)\int_{r_0}^r f(s) I_k(\sqrt{\tau}\,s) s\,ds+I_k(\sqrt{\tau}\,r)\int_r^{\infty} f(s) K_k(\sqrt{\tau}\,s) s\,ds. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С помощью (2.15)–(2.20) будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &G_{k,1}(-\lambda^2-i0,r)-G_{k,1}(-\lambda^2+i0,r) \\ &\qquad=\int_{r_0}^\infty\biggl(\frac{K_k(-i\lambda r)I_{k-1} (-i\lambda r_0)K_k(-i\lambda s)}{K_{k-1}(-i\lambda r_0)} -\frac{K_k(i\lambda r)I_{k-1}(i\lambda r_0) K_k(i\lambda s)}{K_{k-1}(i\lambda r_0)}\biggr)f(s)s\,ds \\ &\qquad=-\frac{\pi i}{2}\int_{r_0}^\infty \biggl(\frac{H_k^{(1)}(\lambda r)J_{k-1}(\lambda r_0) H_k^{(1)}(\lambda s)}{H_{k-1}^{(1)}(\lambda r_0)} \\ &\qquad\qquad-\frac{H_k^{(1)}(-\lambda r)J_{k-1}(-\lambda r_0) H_k^{(1)}(-\lambda s)}{H_{k-1}^{(1)}(-\lambda r_0)}\biggr)f(s)s\,ds \\ &\qquad=-\frac{\pi i}{2}\int_{r_0}^\infty \biggl(\frac{H_k^{(1)}(\lambda r) J_{k-1}(\lambda r_0) H_k^{(1)}(\lambda s)}{H_{k-1}^{(1)}(\lambda r_0)} +\frac{H_k^{(2)}(\lambda r)J_{k-1}(\lambda r_0) H_k^{(2)}(\lambda s)}{H_{k-1}^{(2)}(\lambda r_0)}\biggr)f(s)s\,ds \\ &\qquad=-\frac{\pi i}2 \int_{r_0}^\infty \biggl(\frac{(J_k(\lambda r)+iY_k(\lambda r)) J_{k-1}(\lambda r_0)(J_k(\lambda s)+iY_k(\lambda s))} {J_{k-1}(\lambda r_0)+iY_{k-1}(\lambda r_0)} \\ &\qquad\qquad+\frac{(J_k(\lambda r)-iY_k(\lambda r)) J_{k-1}(\lambda r_0)(J_k(\lambda s)-iY_k(\lambda s))} {J_{k-1}(\lambda r_0)-iY_{k-1}(\lambda r_0)}\biggr)f(s)s\,ds. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь мы расширим одну лемму, которая была доказана в [12] для $k \in \mathbb{N}$ на случай произвольного $k \in \mathbb{R}$. Лемма 3. Для любых $k\in \mathbb{R}$, $r,s > 0$ модифицированные функции Бесселя $I_k$, $K_k$ удовлетворяют соотношению Доказательство. Перемножая между собой соотношения для функций Бесселя, приведенные в [11], Из леммы следует
$$
\begin{equation*}
G_{k,2}(-\lambda^2-i0,r)-G_{k,2}(-\lambda^2+i0,r)= \pi i\int_{r_0}^\infty J_k(\lambda r)J_k(\lambda s)f(s) s\,ds,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\widehat \omega(-\lambda^2-i0,r)-\widehat\omega(-\lambda^2+i0,r) =G_{k,1}(-\lambda^2-i0,r)-G_{k,1}(-\lambda^2+i0,r) \\ &\quad\qquad+ G_{k,2}(-\lambda^2-i0,r)-G_{k,2}(-\lambda^2+i0,r) \\ &\quad=-\frac{\pi i}2 \! \int_{r_0}^\infty \! \biggl(\frac{J_{k-1}(\lambda r_0)(J_k(\lambda r) \mspace{-1mu} + \mspace{-1mu} iY_k(\lambda r)) (J_k(\lambda s) \mspace{-1mu} + \mspace{-1mu} iY_k(\lambda s)) (J_{k-1}(\lambda r_0) \mspace{-1mu} - \mspace{-1mu} iY_{k-1}(\lambda r_0))} {J_{k-1}(\lambda r_0)^2+Y_{k-1}(\lambda r_0)^2} \\ &\quad\qquad+\frac{J_{k-1}(\lambda r_0)(J_k(\lambda r)- iY_k(\lambda r)) (J_k(\lambda s)- iY_k(\lambda s))(J_{k-1}(\lambda r_0)+ iY_{k-1}(\lambda r_0))}{J_{k-1}(\lambda r_0)^2+ Y_{k-1}(\lambda r_0)^2} \\ &\quad\qquad-2\frac {J_k(\lambda r)J_k(\lambda s) (J_{k-1}(\lambda r_0)^2+Y_{k-1}(\lambda r_0)^2)} {J_{k-1}(\lambda r_0)^2+Y_{k-1}(\lambda r_0)^2}\biggr)f(s)s\,ds. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Раскрывая скобки в предыдущей формуле, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\widehat\omega(-\lambda^2-i0,r)-\widehat\omega(-\lambda^2+i0,r) \\ &\qquad=\pi i \int_{r_0}^\infty \frac{J_{k-1}(\lambda r_0) Y_k(\lambda r)-Y_{k-1}(\lambda r_0) J_k(\lambda r)} {J_{k-1}(\lambda r_0)^2+Y_{k-1}(\lambda r_0)^2} \\ &\qquad\qquad\times \bigl( J_{k-1}(\lambda r_0) Y_k(\lambda s)-Y_{k-1}(\lambda r_0)J_k(\lambda s)\bigr)f(s)s\,ds. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Подставим полученное выражение для скачка $\widehat\omega(-\lambda^2-i0,r)-\widehat\omega(-\lambda^2+i0,r)$ в (2.14):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, w(t,r)&=\int_0^\infty\frac{J_{k-1}(\lambda r_0) Y_k(\lambda r)- Y_{k-1}(\lambda r_0) J_k(\lambda r)} {\sqrt{J_{k-1}(\lambda r_0)^2+Y_{k-1}(\lambda r_0)^2}} \nonumber \\ &\qquad\times \biggl(\int_{r_0}^\infty\frac{J_{k-1}(\lambda r_0) Y_k(\lambda s)-Y_{k-1}(\lambda r_0)J_k(\lambda s)} {\sqrt{J_{k-1}(\lambda r_0)^2+Y_{k-1}(\lambda r_0)^2}} f(s)s\,ds\biggr)e^{-\lambda^2 t}\lambda\,\mathrm{d}\lambda \nonumber \\ &\qquad+\operatorname{res}_{\tau=0}[\widehat\omega(\tau,r)]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
Теперь мы найдем вычет $\widehat\omega(\tau,r)$ в $\tau=0$. Лемма 4. Вычет функции $\widehat\omega(\tau,r)$, задаваемой формулой (2.13), для $k>1$ в $\tau=0$ определяется формулой Доказательство. Для $k>1$ из определения $I_{k}$, $K_{k}$ следуют соотношения эквивалентности Тогда
$$
\begin{equation*}
G_{k,1}(\tau,r) \sim \frac{2(k-1) r_0^{2k-2}}{\tau r^k} \int_{r_0}^\infty s^{-k+1} f(s)\,\mathrm{ds}
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
\operatorname{res}_{\tau=0}[G_{k,1}(\tau,r)]= \frac{2(k-1) r_0^{2k-2}} {r^k} \int_{r_0}^\infty s^{-k+1} f(s)\,\mathrm{ds}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как то вычет $G_{k,2}(\tau,r)$ равен нулю иВ итоге из леммы (2.21) решение уравнения (2.6), дополненное краевым условием третьего типа (2.10) и начальной функцией $f(r)$, находится следующим образом:
Эти соотношения приводят к следующей теореме: Теорема 2. Пусть $f(r)\sqrt{r} \in L_1(r_0,\infty)$, $r_0>0$, $k \in \mathbb{Z}$. Тогда решение $w(t,r)\in C(\mathbb{R}_+;L_2(r_0,\infty;r))$ задачи (2.6), (2.8), (2.10) задается следующими формулами: Доказательство. Оператор $\Delta_k$ является генератором сильно непрерывной полугруппы в $L_2(r_0,\infty;r)$ для начально-краевой задачи (2.6), (2.8), (2.10). В самом деле, оператор Лапласа $\Delta=\partial^2_{x_1^2}+\partial^2_{x_2^2}$ порождает сильно непрерывную полугруппу в $L_2(\{x\in \mathbb{R}^2,|x|\geqslant r_0\})$ (см. [13]). Тогда из соотношения $\Delta[f(r)e^{ik\varphi}]=e^{ik\varphi}\Delta_k f(r)$ оператор $\Delta_k$ также порождает в $L_2(r_0,\infty;r)$ $C^1$-полугруппу, откуда следует существование решения. Внутренний интеграл в (2.22), (2.23) согласно лемме 1 ограничен величиной $1/\sqrt \lambda$ . Тогда внешний интеграл (2.22), (2.23), включающий $e^{-\lambda^2 t}$, сходится. Теорема доказана. 2.3. Доказательство формулы обращенияДоказательство теоремы 1. Все, что мы должны установить, – это справедливость перехода $t\to 0$ в (2.24), (2.25). Пусть $w(t,r)$ – решение (2.6), (2.10) с начальным условием $f(r)$. Как было отмечено выше, оператор $\Delta_k$ порождает $C^1$-полугруппу в $L_2(r_0,\infty; r)$ и Для $k \leqslant 1$ мы докажем слабую сходимость в $L_2(r_0,\infty;r)$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, w(t,\,\cdot\,) \rightharpoondown W^{-1}_{k,k-1}[W_{k,k-1}[f]],\qquad t\to 0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.26}
$$
Слабую сходимость достаточно доказать для плотного семейства функций из $C_0^\infty(r_0,\infty)$. Из теоремы Фубини для $g(r) \in C_0^\infty(r_0,\infty)$ получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber (W^{-1}_{k,k-1} [ e^{-\lambda^2 t} W_{k,k-1}[f]],g(\,\cdot\,))&= (e^{-\lambda^2 t}W_{k,k-1}[f],W_{k,k-1}[g]) \\ &=(e^{-\lambda^2 t}\widehat f(\lambda),\widehat g(\lambda)), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.27}
$$
где $\widehat f(\lambda)=W_{k,k-1}[f](\lambda)$, $\widehat g(\lambda)=W_{k,k-1}[g] (\lambda)$. А из леммы 1 следует
$$
\begin{equation}
|(e^{-\lambda^2 t}\widehat f(\lambda),\widehat g(\lambda))|= \biggl|\int_0^\infty e^{-\lambda^2 t}\widehat f(\lambda) \widehat g(\lambda)\lambda\,\mathrm{d\lambda}\biggr|\leqslant C\|f\|_{L_1}\int_0^\infty e^{-\lambda^2 t}|\widehat g(\lambda)| \sqrt\lambda\,\mathrm{d\lambda}.
\end{equation}
\tag{2.28}
$$
Так как $g(r)$ – гладкая функция с компактным носителем, то для любого $n>0$ и достаточно большого $\lambda$ выполняется
$$
\begin{equation*}
\widehat g(\lambda)=o\biggl(\frac{1}{\lambda^n}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
и остатки интегралов в правой части (2.28) вида
$$
\begin{equation*}
\int_L^\infty \frac{e^{-\lambda^2t}}{\lambda^n}\,\mathrm{d\lambda}
\end{equation*}
\notag
$$
сходятся равномерно по $t$ к нулю при $L\to \infty$ (для фиксированного $n>1$). Подынтегральная функция ${e^{-\lambda^2 t}}/{\lambda^n}$ сходится равномерно на любом компакте из $\mathbb{R}_+$. Следовательно, при переходе к пределу при $t\to 0$ в (2.27) мы получим (2.26). Из единственности слабого предела вместе с $w(t,\,\cdot\,) \to f(\,\cdot\,)$ почти всюду выполнено Для $k>1$ появится дополнительное не зависящее от $t$ слагаемое в (2.25), и переход к пределу при $t\to 0$ также оправдан. Таким образом, мы полностью вывели формулу обращения. Наконец, равенство Планшереля в теореме 1 также следует из формулы обращения и теоремы Фубини. Так, для $k \leqslant 1$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (f(\,\cdot\,),g(\,\cdot\,))&=(W^{-1}_{k,k-1}[W_{k,k-1}[f]], g(\,\cdot\,)) \\ &=(W_{k,k-1}[f](\,\cdot\,),W_{k,k-1}[g](\,\cdot\,))= (\widehat f(\,\cdot\,),\widehat g(\,\cdot\,)), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и для $k>1$ имеем
$$
\begin{equation*}
(f(\,\cdot\,),g(\,\cdot\,))=(\widehat f(\,\cdot\,), \widehat g(\,\cdot\,))+2(k-1)r_0^{2(k-1)}\int_{r_0}^\infty s^{-k+1} f(s)\,\mathrm{ds} \int_{r_0}^\infty s^{-k+1}g(s)\,\mathrm{ds}.
\end{equation*}
\notag
$$
3. Правила дифференцирования для преобразований ВебераВ классическом преобразовании Фурье оператор дифференцирования переходит в оператор умножения на частоту. По аналогии с этим дифференцирование $\partial/\partial r$ интеграла $W ^{-1}_{k,k}$ переходит в умножение на $\lambda$. Действительно, из правил дифференцирования функций Бесселя
$$
\begin{equation*}
\frac{dJ_{k}}{dr}(r)=\frac{J_{k-1}(r)+J_{k+1}(r)}{2}\,,\qquad {\frac{dY_{k}}{dr}}(r)=\frac{Y_{k-1}(r)+Y_{k+1}(r)}{2}
\end{equation*}
\notag
$$
вытекает следующее правило дифференцирования:
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial}{\partial r} W^{-1}_{k,k}[f]= \frac{1}{2}(W^{-1}_{k-1,k}[\lambda f]-W^{-1}_{k+1,k}[\lambda f]).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда из неравенства Бесселя (2.9) следует
$$
\begin{equation}
\biggl\|\frac{\partial}{\partial r} W^{-1}_{k,k}[f]\biggr\|_{L_2(r_0,\infty,r)} \leqslant \|\lambda f(\lambda)\|_{L_2(0,\infty,\lambda)}.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
И наоборот, умножение на $\lambda$ переходит в дифференцирование, но в более общем смысле. А именно, несмотря на то, что функция $f$ зависит только от $r$, дифференцирование включает не только $\partial/\partial r$, но и фиктивную производную по углу. Верна следующая формула умножения:
$$
\begin{equation*}
\lambda W_{k,k}[f]=W_{k-1,k}\biggl[\frac{kf}{r}\biggr]+ W_{k-1,k} [f'(\,\cdot\,)].
\end{equation*}
\notag
$$
Поясним смысл фиктивной производной по углу. В полярных координатах с единичными векторами $\mathbf{e_r}$, $\mathbf{e_\varphi}$ двумерный градиент определяется как
$$
\begin{equation*}
\nabla=\frac{\partial}{\partial r} \mathbf{e_r}+ \frac{1}{r}\,\frac{\partial}{\partial\varphi}\mathbf{e_\varphi}
\end{equation*}
\notag
$$
с координатами $\nabla_r$, $\nabla_\varphi$. Слагаемое $(1/r)\,\partial/\partial\varphi$ в терминах коэффициентов Фурье соответствует умножению на $k/r$, и тогда $kf/r$ становится производной по углу от функции $e^{ik\varphi}f(r)$. Предыдущее равенство вытекает из следующих свойств функций Бесселя $J_k$, $Y_k$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lambda J_k(\lambda r)&=\frac{k-1}r J_{k-1}(\lambda r)- \lambda J'_{k-1}(\lambda r), \\ \lambda Y_k(\lambda r)&=\frac{k-1}r Y_{k-1}(\lambda r)- \lambda Y'_{k-1}(\lambda r). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Равенства
$$
\begin{equation*}
\frac{k}{r}J_{k}(\lambda r)=\frac{\lambda}{2}(J_{k+1}+J_{k-1}),\qquad \frac{k}{r}Y_{k}(\lambda r)=\frac{\lambda}{2}(Y_{k+1}+Y_{k-1})
\end{equation*}
\notag
$$
приводят к следующему правилу дифференцирования по углу:
$$
\begin{equation*}
\frac k{r}W^{-1}_{k,k}[f]=\frac{1}{2}(W^{-1}_{k+1,k}[\lambda f]+ W^{-1}_{k-1,k}[\lambda f]).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому это тождество можно интерпретировать как переход угловой производной к умножению на $\lambda$ при преобразовании Вебера. Тогда из неравенства Бесселя (2.9)
$$
\begin{equation}
\biggl\|\frac{k}{r}W^{-1}_{k,k}[f]\biggr\|_{L_2(r_0,\infty,r)} \leqslant\|\lambda f(\lambda)\|_{L_2(0,\infty,\lambda)}.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
4. Применение интегралов Вебера для оценки полугрупп эволюционных уравненийЗдесь мы приведем применение $W_{k,k\pm 1}$ для оценки решений уравнения диффузии. Правила дифференцирования из предыдущего раздела позволяют находить оценки линейных полугрупп уравнения теплопроводности во внешности круга. Это в свою очередь позволяет доказывать локальное существование полулинейного уравнения теплопроводности, используя теорему о неподвижной точке. Пусть $S(t)$ – разрешающая полугруппа уравнения теплопроводности, заданного во внешней области $B_{r_0}=\{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^2,|\mathbf{x}|>r_0\}$, $r_0>0$, с нулевым граничным условием. Через интеграл Вебера $S(t)$ задается как
$$
\begin{equation}
S(t)w_0=\sum_{k=-\infty}^\infty e^{ik\varphi} w_k(t,r),
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
где
$$
\begin{equation*}
w_k(t,r)=W^{-1}_{k,k}[e^{-\lambda^2 t}W_{k,k} [w^0_k(\,\cdot\,)](\lambda)](t,r) \qquad\quad\text{и}\qquad w_0(r)=\sum_{k=-\infty}^\infty e^{ik\varphi}w^0_k(r).
\end{equation*}
\notag
$$
4.1. Оценка полугруппы для уравнения теплопроводностиСледующее предложение не претендует на оригинальность и хорошо известно для более общих областей, но оно хорошо иллюстрирует применимость преобразований Вебера. Предложение 1. Для $t>0$ полугруппа $S(t)$, задаваемая формулой (4.1), удовлетворяет Доказательство. Первая оценка следует из равенства Планшереля (так же как и из энергетической оценки для уравнения теплопроводности): Докажем вторую оценку. Используя неравенство
$$
\begin{equation*}
|\lambda e^{-\lambda^2 t}| \leqslant \frac{1}{\sqrt{2et}}
\end{equation*}
\notag
$$
и неравенство Бесселя (2.9), будем иметь
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\frac{\partial}{\partial r} w_k(t,r)\biggr\|_{L_2(r_0,\infty,r)} \leqslant \|\lambda e^{-\lambda^2t}W_{k,k}[w^0_k(\,\cdot\,)] (\lambda)\|_{L_2(0,\infty,\lambda)}\leqslant \frac{\|w^0_k(r)\|_{L_2(r_0,\infty,r)}}{\sqrt{2et}}
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
\|\nabla_r S(t)w_0\|_{L_2(B_{r_0})} \leqslant \frac{1}{\sqrt{2et}}\|w_0\|_{L_2(B_{r_0})}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из (3.2) в похожем ключе следует
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\frac{k}{r}w_k(t,r)\biggr\|_{L_2(r_0,\infty,r)} \leqslant \frac{\|w^0_k(r)\|_{L_2(r_0,\infty,r)}}{\sqrt{2et}}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда и вторая оценка предложения доказана.4.2. Оценка полугруппы СтоксаВ статье [9] была получена явная формула нестационарного решения системы Стокса, описывающая внешнее вязкое течение вокруг бесконечного кругового цилиндра. Решение было найдено в терминах коэффициентов Фурье для завихренности $w_k(t,r)$ с граничным условием прилипания. Здесь мы получим оценку соответствующей полугруппы. Преобразование $W_{k,k-1}$ имеет нетривиальное ядро. В упомянутой работе было доказано, что из условия прилипания следует ортогональность решения $w_k(t,r)$ ядру преобразования Вебера. Это дает спектральное разложение полугруппы Стокса только по непрерывной части спектра, исключая нулевое собственное значение. Формула для решения имеет вид
$$
\begin{equation*}
w_k(t,r)=W^{-1}_{|k|,|k|-1} [e^{-\lambda^2t}W_{|k|,|k|-1}[w_k(0,r)]].
\end{equation*}
\notag
$$
Она задает полугруппу $S(t)$ для потока Стокса. Мы докажем следующее утверждение. Доказательство. Первая оценка вытекает из неравенства Бесселя. Зафиксируем $k \geqslant 0$. Тогда Вторая оценка может быть доказана аналогичным образом, как в предложении 1, с той лишь разницей, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\partial}{\partial r}W^{-1}_{k,k-1}[f]&= \frac{1}{2}(W^{-1}_{k-1,k-1}[\lambda f]- W^{-1}_{k+1,k-1}[\lambda f]), \\ \frac{k}{r}W^{-1}_{k,k-1}[f]&=\frac{1}{2} (W^{-1}_{k+1,k-1}[\lambda f]+W^{-1}_{k-1,k-1}[\lambda f]). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Эти равенства включают в себя другие типы преобразований Вебера $W^{-1}_{k+1,k-1}$. Эти преобразования были изучены в [7]. Они также имеют нетривиальное ядро и удовлетворяют неравенству Бесселя Из этих оценок помимо системы Стокса можно доказывать глобальную разрешимость линейной системы Озейна, тогда как для системы Навье–Стокса потребуются дополнительные оценки линейной полугруппы в пространстве Соболева $H^1$. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Gor23} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|