| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Вложение свободных нильпотентных (метабелевых) групп в частично коммутативные нильпотентные (метабелевы) группы В. А. Романьков Омский филиал Института математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623110263 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеСреди классов групп, определение которых связано со структурой простых графов, выделяется класс (свободных) частично коммутативных групп. Они также называются прямоугольными группами Артина и графовыми группами. Эти группы имеют приложения как в математике, так и в компьютерных науках. В них разрешимы проблемы равенства и сопряженности. Каждая частично коммутативная группа действует свободно и кокомпактно на конечномерном CAT(0) кубическом комплексе. Имеется также много других свойств топологического и алгебраического характера, составляющих богатую теорию частично коммутативных групп, см. по этому поводу обзорные статьи [1], [2]. Приведем определения. Пусть $\Gamma=\langle X; E\rangle $ обозначает ненаправленный граф без кратных ребер и петель с множеством вершин $X=\{x_1, \dots, x_n\}$ и множеством ребер $E\subseteq X\times X$. Частично коммутативная группа $F(\Gamma )$ определяется следующим представлением через порождающие элементы и определяющие соотношения:
$$
\begin{equation}
F(\Gamma )=\langle X\colon xy=yx,\, \{x, y\}\in E \rangle .
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
К теории параллельных вычислений частично коммутативные группы имеют следующее отношение. Пусть $X$ – множество операций. Слово в алфавите $X$ кодирует очередность выполнения операций в некотором процессе. Некоторые пары операций перестановочны (коммутируют), другие – нет. Следовательно, $\Gamma$ является графом коммутирования для рассматриваемого процесса. Коммутирующие операции можно выполнять параллельно. Первоначально были введены в обращение частично коммутативные моноиды, определение которых фактически совпадает с (1.1). Группы появились вместе с необходимостью рассматривать обратимые операции. Методы теории групп стали применяться в теории графов и наоборот, методы теории графов проникли в теорию групп в связи с исследованием упомянутых процессов вычислений. По мере развития теории стали рассматриваться частично коммутативные группы многообразий. Пусть $\mathfrak{W}$ – многообразие групп. Частично коммутативная группа многообразия $\mathfrak{W}$ относительно графа $\Gamma=\langle X; E\rangle$ определяется заданием через порождающие элементы и определяющие соотношения в многообразии $\mathfrak{W}$, как
$$
\begin{equation}
F(\Gamma; \mathfrak{W})=\langle X\colon xy=yx,\,\{x, y\} \in E; \mathfrak{W}\rangle .
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Наибольшее внимание уделяется многообразиям $\mathfrak{N}_k$, $k\in \mathbb{N}$, всех нильпотентных групп ступени не больше чем $k$ и многообразию всех метабелевых групп $\mathfrak{A}^2$. Также привлекают внимание многообразия $\mathfrak{A}^l$, $l\in \mathbb{N}$, всех разрешимых групп ступени не больше чем $l$ и многообразия $\mathfrak{N}_k\cap \mathfrak{A}^l$, в частности, многообразия нильпотентных метабелевых групп $\mathfrak{N}_k\cap \mathfrak{A}^2$. Первоначально Дромс в [3] использовал группы вида $F(\Gamma; \mathfrak{N}_2)$ для доказательства того, что изоморфизм групп $F(\Gamma )$ и $F(\Delta )$, где графы имеют общее множество вершин, влечет изоморфизм графов $\Gamma $ и $\Delta$. А именно, вначале он установил это утверждение для групп $F(\Gamma; \mathfrak{N}_2)$ и $F(\Delta; \mathfrak{N}_2)$, а затем перенес на исходные группы – их естественные накрывающие. Впоследствии частично коммутативные группы многообразий стали изучаться как самостоятельный объект. Относительно нормальных форм элементов частично коммутативных нильпотентных метабелевых и нильпотентных групп см. соответственно работы Тимошенко [4], [5]. Эти работы имеют существенное значение для данной статьи, так как в них построены мальцевские базы указанных групп, используемые в доказательствах получаемых результатов. Мотивацией данной работы служит возможность перенесения некоторых свойств свободных групп рассматриваемых многообразий на другие группы этих многообразий. Например, таким способом могут переноситься свойства из работ [6] и [7] об алгоритмической (не)разрешимости уравнений и проблемы эндоморфной сводимости. В некоторых случаях для выполнения свойства требуется достаточно большой ранг свободной группы. Например, неразрешимость проблемы вхождения в подмоноид свободной нильпотентной группы ступени $k\geqslant 2$ установлена в [8] для свободной группы достаточно большого ранга. Именно при обсуждении возможности перенесения этого свойства был высказан соответствующий вопрос А. Ю. Ольшанского, на которой дается ответ в данной работе. Далее в работе всюду $\Gamma $ обозначает ненаправленный граф без петель и кратных ребер с множеством вершин $X=\{x_1, \dots, x_n\}$, упорядоченных в соответствии с индексами, и множеством ребер $E \subseteq X \times X$. Коммутатор двух элементов группы понимается как $[g, f]= g^{-1}f^{-1}gf$. Простые коммутаторы определяются индуктивно как $[g_1, g_2, \dots, g_{i+1}]=[[g_1, g_2, \dots, g_{i}], g_{i+1}]$. Через $G'$ обозначается коммутант группы $G$. Нижний центральный ряд $G=\gamma_1(G) \geqslant \gamma_2(G) \geqslant \dots \geqslant \gamma_i(G) \dots $ группы $G$ определяется индуктивно формулой $\gamma_{i+1}=[\gamma_i(G), G]$. 2. Предварительные результатыВ [9] Мальцев доказал, что множество элементов $\{g_{\xi},\,\xi \in \Xi \}$ порождает в свободной нильпотентной группе $N_{r,k}$ ранга $r$ ступени $k$ свободную нильпотентную подгруппу той же ступени $k$, для которой оно является множеством свободных порождающих тогда и только тогда, когда образы этих элементов линейно независимы в абелизации (факторе по коммутанту) $N_{r,k}/N_{r,k}'$. В [10] Баумслаг доказал аналогичное утверждение для произвольной свободной разрешимой группы $S_{r,l}$ ранга $r$ ступени $l$, в частности, для свободной метабелевой группы $M_r$ ранга $r$. Из этих результатов следует справедливость аналогичного утверждения для свободных нильпотентных разрешимых групп $N(\mathfrak{A}^l)_{r,k}$, в частности, свободных нильпотентных метабелевых групп $N(\mathfrak{A}^2)_{r,k}$ ранга $r$ ступени $k$. Мальцевские базы. Пусть $G$ – конечно порожденная нильпотентная группа без кручения. Тогда в ней существует центральный нормальный ряд с бесконечными циклическими факторами Возьмем элементы $a_i\in G_i$ такие, что $G_{i}=$ gp($a_i, G_{i+1}$), $i=1, \dots, s$. Следующее определение содержится, например, в [11].Определение 1. Упорядоченный набор элементов $\overline{a}=(a_1, \dots, a_s)$ называется мальцевской базой группы $G$, соответствующей ряду (2.1). Произвольный элемент $g\in G$ однозначно представляется в виде где множители расположены в указанном порядке. Показатели степеней $\alpha_i$ называются мальцевскими координатами элемента $g$ относительно базы $\overline{a}$. Известно (см., например, [11] или [12]), что факторы верхнего центрального ряда нильпотентной группы без кручения также не имеют кручения. В этом случае центральный ряд с бесконечными циклическими факторами можно выбрать как уплотнение верхнего центрального ряда, взяв в качестве мальцевской базы прообразы базисных элементов факторов как свободных абелевых групп конечного ранга. Обычно в качестве мальцевской базы относительно свободной нильпотентной группы без кручения выбираются простые и сложные коммутаторы от порождающих элементов, называемые базисными коммутаторами. Например, базисные коммутаторы Холла [12] группы $N_{r,k}$ с базой $Y=\{y_1, \dots, y_r\}$ определяются и упорядочиваются следующим образом.
Для группы $N(\mathfrak{A}^2)_{r,k}$ рассматриваются только простые базисные коммутаторы $[y_{i_1}, y_{i_2}, \dots, y_{i_s}]$, $y_{i_2}\leqslant y_{i_3} \leqslant \dots \leqslant y_{i_s}$, $y_{i_1}> y_{i_2}$, до веса $k$ включительно, также составляющие мальцевскую базу. Предположим, что в конечно порожденной нильпотентной группе без кручения $G$ факторы нижнего центрального ряда также не имеют кручения, следовательно, являются свободными абелевыми группами конечного ранга. Зафиксировав в каждом факторе базу свободной абелевой группы, мы собираем мальцевскую базу группы $G$ как объединение прообразов элементов этих баз. В качестве прообразов берем произведения коммутаторов соответствующего веса. Таким образом, элементы мальцевской базы разбиваются на непересекающиеся подмножества в соответствии с их весами. Такие мальцевские базы будем называть соответствующими уплотнению нижнего центрального ряда. В частности, такими являются базы составленные из базисных коммутаторов групп вида $N_{r,k}$ и $N(\mathfrak{A}^2_{r,k})$ описанные выше. Известно, что частично коммутативные группы многообразий $\mathfrak{N}_k\cap \mathfrak{A}^2$ и $\mathfrak{N}_k$ не имеют кручения. Более того, факторы нижних центральных рядов этих групп также не имеют кручения (см. [4], [5] соответственно). В работе [4] дано описание мальцевской базы группы $F(\Gamma, \mathfrak{N}_k\cap \mathfrak{A}^2)$, соответствующей уплотнению ее нижнего центрального ряда. В работе [5] получено описание мальцевской базы произвольной частично коммутативной нильпотентной группы $F(\Gamma, \mathfrak{N}_k)$, также являющейся уплотнением нижнего центрального ряда. Описание этих баз конструктивное, для любого элемента $g$, записанного через порождающие элементы группы, эффективно находится запись вида (2.2), Ввиду сложности и громоздкости данное описание и процесс записи элемента в соответствующей нормальной форме (2.2) здесь не приводятся. 3. Вспомогательные результатыЛемма 1. Пусть $G$ – конечно порожденная нильпотентная группа без кручения, порожденная элементами $y_1, \dots, y_r$, $\overline{a}=(a_1, \dots, a_s)$ – ее мальцевская база. Пусть $H$ – нильпотентная группа с выделенным набором элементов $g_1, \dots, g_r$ такая, что отображение $ y_i \mapsto g_i$, $i=1, \dots, r$, определяет гомоморфизм $\phi$ группы $G$ в группу $H$. Тогда $\phi $ является вложением в том и только том случае, если набор элементов $\phi (\overline{a})=(\phi (a_1), \dots, \phi (a_s))$ составляет мальцевскую базу образа $\phi (G)$. Доказательство. Если $\phi (\overline{a})$ мальцевская база для $\phi (G)$, то образ $\phi (g)$ любого элемента $g\in G$ однозначно записывается в виде
$$
\begin{equation}
\phi (g)=\prod_{i=1}^s\phi (a_i)^{\alpha_i}, \qquad \alpha_i\in \mathbb{Z},
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
что соответствует записи элемента $g$ в форме (2.2). Значит, $\phi$ – вложение. Если данной однозначности нет, то $\operatorname{ker}(\phi) \neq 1$ и $\phi$ не вложение. Следствие 1. Пусть $\mathfrak{N}$ – одно из многообразий $\mathfrak{N}_k$ или $\mathfrak{N}_k\cap \mathfrak{A}^2$, $G$ – свободная группа в этом многообразии ранга $r$ с базой $\overline{y}=\{y_1, \dots, y_r\}$ (т.е. группа $N_{r,k}$ или $N(\mathfrak{A}^2)_{r,k}$), $\overline{a}=(a_1, \dots, a_s)$ – мальцевская база этой группы. Пусть $H$ – группа из рассматриваемого многообразия $\mathfrak{N}$ и $\overline{g}=\{g_1, \dots, g_r\}$ – набор ее порождающих элементов. Тогда $G$ изоморфна группе $H$ относительно гомоморфизма $\phi$, определяемого отображением $ y_i\mapsto g_i$, $i=1, \dots, r$, в том и только том случае, если $\phi (\overline{a})=(\phi (a_1), \dots, \phi (a_s))$ составляет мальцевскую базу образа $\phi (G)$. Доказательство. Утверждение прямо следует из леммы 1. Нужно только заметить, что условие гомоморфности $\phi$ в данном случае выполняется автоматически как следствие свободы группы $G$.
4. Основные результатыТеорема 1. Пусть $\Gamma=\langle X; E\rangle$ – граф и $F=F(\Gamma; \mathfrak{N})$ – частично коммутативная группа для одного из многообразий вида $\mathfrak{N}_k\cap \mathfrak{A}^2$ или $\mathfrak{N}_k$, $k \geqslant 2$. Пусть $\overline{g}=\{g_1, \dots, g_r\}$ – конечное множество порождающих элементов ее подгруппы $G$. Тогда существует алгоритм, который определяет, является ли $G$ свободной группой данного многообразия $\mathfrak{N}$ с базой $\overline{g}$. Доказательство. Согласно двум приведенным в разделе 2 результатам Тимошенко можно считать, что мальцевская база группы $F$ состоит из совокупности элементов, разбитых на подмножества, соответствующие базам свободных абелевых факторов нижнего центрального ряда группы $F$. Пусть $\overline{a}_i=(a_{i_1}, \dots, a_{i_{s(i)}})$, $i=1, \dots, k-1$, – часть мальцевской базы, соответствующая фактору $\gamma_i(F)/\gamma_{i+1}(F)$. Для того, чтобы выполнялись условия следствия 1, обеспечивающие свободу подгруппы $G$ с базой $\overline{g}$, необходимо и достаточно, чтобы для любого $i$ множество образов базисных коммутаторов от $\overline{g}$ веса $i$ были в этом факторе линейно независимыми. Данное условие сводится к стандартной проверке на линейную независимость набора элементов свободной абелевой группы. В данном случае – группы $\gamma_i(F)/\gamma_{i+1}(F)$, порождающие которой известны. Предварительно образы рассматриваемых базисных коммутаторов в факторе $\gamma_i(F)/\gamma_{i+1}(F)$ переписываются через образы базы $\overline{a}_i $. Такая переписка также стандартна. Теорема 2. Пусть $\mathfrak{N}$ – одно из многообразий вида $\mathfrak{N}_k$ или $\mathfrak{N}_k\cap \mathfrak{A}^2$. Пусть $F=F(\Gamma; \mathfrak{N})$ – частично коммутативная группа для $\mathfrak{N}$. Тогда существует алгоритм, определяющий возможность вложения любой свободной группы $G$ многообразия $\mathfrak{N}$ в группу $F$. Доказательство. Допустим, нужно определить возможность вложения свободной группы $G$ ранга $r$ с базой $\overline{y}=\{y_1, \dots, y_r\}$ в группу $F$. Как замечено в разделе 2, набор $\overline{g}=\{g_1, \dots, g_r\}$, $g_i=\phi (y_i)$, $i=1, \dots, r$, порождающих образа такого вложения $\phi$ должен быть линейно независимым по модулю коммутанта $F'$. Значит, при $r\geqslant n+1$ такое вложение невозможно. Итак считаем, что $r \leqslant n$.
Рассмотрим набор элементов $\overline{g}=\{g_1, \dots, g_r\}$ группы $F$, записанных в виде $g_i=\prod_{j=1}^nx_j^{\alpha_{i,j}}u_i$, $u_i\in G'$, с неопределенными показателями степеней из алгебры многочленов $ \Lambda= \mathbb{Z}[\alpha_{1,1}, \dots,\alpha_{r,n}]$, которые могут принимать целые значения, и произвольными $u_i$. Мальцевская база $\overline{a}=(a_1, \dots, a_s)$ группы $F$, которую мы считаем приуроченной к нижнему центральному ряду, позволяет однозначно представить любой элемент $g\in F$ в виде (2.2) с показателями степеней из $\Lambda$, не зависящими от $u_i$, $i=1, \dots, r$. Выберем подбазу $\overline{a}_i$, соответствующую фактору $\gamma_i(F)/\gamma_{i+1}(F)$, для каждого $i=1, \dots, k$. Представим каждый базисный коммутатор веса $i$ от $\overline{g}$ в виде линейной комбинации элементов $\overline{a}_i$ с коэффициентами (показателями степеней) из $\Lambda$ по модулю $\gamma_{i+1}(F)$. Такое представление единственно. Показатели степеней при этом (коэффициенты представления) не зависят от элементов $u_i$, $i=1, \dots, r$. Из коэффициентов представлений составим матрицу $M_i$. Заметим, что в ней количество строк не больше чем столбцов. Вычислим все максимальные миноры матрицы $M_i$. Если хотя бы один из них не равен $0$, данные векторы линейно независимы. Если для любого $i$ существует так полученный ненулевой минор $m_i$, то существует специализация $\Lambda \to \mathbb{Z}$, для которой образы этих миноров также ненулевые. Значит, по следствию 1 подгруппа $\operatorname{gp}(g_1, \dots, g_r)$ изоморфна свободной группе многообразия $\mathfrak{N}$ с базой $\overline{g}$, а группа $G$ вложима в $F$. Если хотя бы для одного $i$ все максимальные миноры нулевые, то любой максимальный минор для этого $i$, полученный гомоморфизмом специализации $\Lambda \to \mathbb{Z}$ будет нулевым, следовательно, полученные специализацией векторы линейно зависимы над $\mathbb{Z}$. По следствию 1 группа $G$ не вложима в $F$. Теорема доказана. Пример 1. Пусть $\Gamma$ – граф с множеством вершин $X=\{x_1, x_2, x_3, x_4\}$ и множеством ребер $E=\{\{x_1, x_2\}, \{x_2, x_3\}, \{x_3,x_4\}\}$, $F=F(\Gamma; \mathfrak{N}_2)$ – частично коммутативная нильпотентная группа ступени $2$. Мальцевскую базу в ней составляют элементы $x_1, x_2, x_3, x_4, [x_3, x_1], [x_4, x_1], [x_4, x_2]$ (это было замечено еще в работе [3]). В группе $N_{4,2}$ имеется $6$ базисных коммутаторов веса $2$, поэтому она не вложима в $F$. В группе $N_{3,2}$ множество базисных коммутаторов веса $2$ состоит из $3$ элементов. Используем алгоритм теоремы 2 для нахождения образа ее базы в $F$. Вычисляем матрицы $M_1$ и $M_2$ находим в них ненулевые максимальные миноры и соответствующую специализацию. Мы пропускаем элементарные вычисления, указывая только конечный результат – элементы $g_1=x_1$, $g_2=x_2x_3$, $g_3= x_4$, порождающие свободную нильпотентную группу $N_{3,2}$. Эти элементы очевидно независимы по модулю $F'$, а коммутаторы от них $[g_2,g_1]=[x_3, x_1]$, $[g_3, x_1]=[x_4, x_1]$, $[g_3, g_2]=[x_4, x_2]$ линейно независимы в $F'$. Так как группа $F$ метабелева, указанное вложение верно также для многообразия $\mathfrak{N}_2\cap \mathfrak{A}^2$. Заметим, что если взять группу $\widetilde{F}=F(\Gamma, \mathfrak{N}_3\cap \mathfrak{A}^2)$, то группа $N_{3,3}$ в нее не вложима, так как в ней $6$ базисных коммутаторов веса $3$, а в группе $\widetilde{F}$ их всего $2$: $[4, 1, 2]$ и $[4,1,3]$ (см. [4]). 5. Открытые вопросыПроблема 1. a) Существует ли алгоритм, определяющий по двум заданиям конечно порожденных частично коммутативных групп многообразия $\mathfrak{N}_k$, вложима ли одна в другую? b) Тот же вопрос для групп многообразия $\mathfrak{N}_k\cap \mathfrak{A}^2$. Проблема 2. a) Существует ли алгоритм, определяющий по двум заданиям конечно порожденных нильпотентных групп одной ступени, вложима ли одна в другую? b) Тот же вопрос без ограничения на ступени. Благодарности. Автор признателен Е. И. Тимошенко за полезные консультации. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Rom23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|