| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Краткие сообщения К одной гипотезе Бургейна В. А. Зорич Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623010339 
Реферативные базы данных:
 1. ВведениеПро однородное выпуклое тело $K\subset\mathbb R^n$ (плотность которого полагаем равной $1$) говорят, что оно находится в изотропном состоянии или что тело находится в изотропном положении, если его центр инерции расположен в начале декартовых координат $x=(x_1,\dots,x_n)$ пространства $\mathbb R^n$, тело имеет единичный объем в смысле индуцированной метрикой формы объема и при любых $i,j=1,\dots,n$ где $L_K$ – константы, называемые постоянными изотропии тела или изотропными постоянными тела.Ясно, что сдвигом и сжатиями (растяжениями) вдоль главных осей инерции любое тело можно привести в изотропное состояние. В изотропном состоянии тела его тензор инерции не только диагонален, но и все его собственные значения (величины главных моментов инерции) одинаковы (их квадраты равны $(n-1)L^2_K$). По свидетельству В. Мильмана [1] остается открытым следующий вопрос, сформулированный Бургейном. Рассмотрим все множество $\{L_K\}$. Верно ли, что оно ограничено равномерно по размерности $n$ пространства $\mathbb R^n$ и по самим выпуклым телам $K\subset\mathbb R^n$, находящимся в изотропном состоянии? В статье [1] приводится как результат $L_K<Cn^{1/4}\log n$ самого Бургейна, так и его усиление $L_K<Cn^{1/4}$, полученное Клартагом [2]. В статье [3] мы провели подсчет величины $L_K$ для шара и куба в $\mathbb R^n$. Единичный $n$-мерный куб очень не похож на шар: расстояние между его гранями равно единице, а диаметр равен $\sqrt{n}$. Тем не менее, константы изотропии $L_K$ шара единичного объема и единичного куба оказываются соизмеримыми при $n\to\infty$. Для объяснения этого факта и в подтверждение гипотезы Бургейна мы в работе [3] напомнили, что средний радиус выпуклого тела в $\mathbb R^n$ зависит только от его объема (см., например, [4]). Вместе с тем, почти весь объем $n$-мерного шара при $n\to\infty$ концентрируется в непосредственной близости его граничной сферы. Сопоставление этих обстоятельств делает гипотезу Бургейна вполне оправданной. 2. Случай нормального распределения в пространства $\mathbb R^n$Проведем еще один конкретный расчет, основанный на той же идее, (взятой из книги [5]), что и расчеты, которые в работе [3] были проделаны для шара и куба. Мы хотим вычислить главные моменты инерции $I_1=\dotsb=I_n$ пространства $\mathbb R_G^n$, наделенного вероятностной (единичной) мерой, распределенной по нормальному закону с плотностью
$$
\begin{equation}
p(x)=(2\pi\sigma^2)^{-n/2}\exp\biggl(-\frac{|x|^2}{2\sigma^2}\biggr).
\end{equation}
\tag{1}
$$
Это даст возможность найти изотропную константу $L_{\mathbb R_G^n}$, принимая во внимание, что $(n-1)L^2_{\mathbb R_G^n}=I_1$. Отметим, что на сей раз мы имеем дело с телом, в котором масса распределена, хотя и центрально симметрично, но вовсе не однородно. Вместе с тем, известно, что почти вся масса, распределенная в пространстве $\mathbb R^n$ по закону Гаусса (1), сосредоточена в единичной окрестности сферы радиуса $g_n=\sigma\sqrt{n}$. (Заметим, что приведенная ниже формула (5) дает следующую асимптотику радиуса $r_n$ шара единичного объема в пространстве $\mathbb R^n$: $r_n\simeq(2\pi e)^{-1/2}\sqrt{n}$.) Это значит, что мы должны получить результат, близкий к тому, который был бы получен для однородного шара радиуса $\sigma\sqrt{n}$, поскольку при $n\gg 1$ почти весь объем шара концентрируется непосредственно около его граничной сферы. Следуя упомянутому указанию книги [5], заметим, что поскольку
$$
\begin{equation*}
I_k=\int_{\mathbb R_G^n} (x^2_1+\dotsb+\overset{\frown}{x^2_k}+\dotsb+ x^2_n)p(x)\,dv,
\end{equation*}
\notag
$$
где $k=1,\dots,n$ и слагаемое ${x^2_k}$ опущено, то
$$
\begin{equation*}
I_1+\dotsb+ I_n=(n-1)\int_{\mathbb R_G^n}r^2p(x)\,dv,
\end{equation*}
\notag
$$
где $r^2=x^2_1+\dotsb+x^2_k+\dotsb+x^2_n$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
I_1=\dotsb=I_n=\frac{n-1}{n}\int_{\mathbb R_G^n}r^2p(x)\,dv.
\end{equation*}
\notag
$$
Переходя к полярным координатам, имеем
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb R_G^n}r^2p(x)\,dv =(2\pi\sigma^2)^{-n/2}\sigma_{n-1} \int_0^\infty r^{n+1}\exp\biggl(-\frac{r^2}{2\sigma^2}\biggr)\,dr,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\sigma_{n-1}$ – площадь ($(n-1)$-мера) единичной сферы в $\mathbb R^n$. Вычисление последнего интеграла дает
$$
\begin{equation*}
\int_0^\infty r^{n+1}\exp\biggl(-\frac{r^2}{2\sigma^2}\biggr)\,dr =\frac{1}{2}(2\sigma^2)^{(n+2)/2}\Gamma\biggl(\frac{n+2}{2}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Значит,
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb R_G^n}r^2p(x)\,dv=\frac{1}{2}(\pi)^{-n/2}\sigma_{n-1} (2\sigma^2)\Gamma\biggl(\frac{n+2}{2}\biggr) =\sigma^2\sigma_{n-1}v_n^{-1}=n \sigma^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $v_n$ – объем единичного шара в евклидовом пространстве $\mathbb R^n$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
I_1=\dotsb=I_n=\frac{n-1}{n}\int_{\mathbb R_G^n}r^2p(x)\,dv =\frac{n-1}{n}\,n\sigma^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Принимая во внимание, что $(n-1)L^2_{\mathbb R_G^n}=I_1$, находим В частности, при $\sigma=1$ имеем $L_{\mathbb R_G^n}=1$. 3. О случаях шара и куба в $\mathbb R^n$В работе [3] было показано, что для однородного шара $b^n\subset\mathbb R^n$ единичного объема и единичной плотности меры где $r_n$ – радиус шара $b^n$ в $\mathbb R^n$.Это означает, что в рассматриваемом случае $L^2_{b^n}=(1/(n+2))r^2_n$ и Напомним, что объем $v_n$ единичного $n$-мерного шара $B^n$ (шара единичного радиуса) в $n$-мерном евклидовом пространстве $\mathbb R^n$ выражается формулой
$$
\begin{equation}
v_n=\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2+1)} =\frac{\pi^{n/2}}{(n/2)\Gamma(n/2)}\,.
\end{equation}
\tag{4}
$$
Из этой формулы следует, что при $n\gg 1$ имеется асимптотика
$$
\begin{equation*}
v_n\simeq\frac{1}{\sqrt{\pi n}}\biggl(\sqrt{\frac{2\pi e}{n}}\,\biggr)^n.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, поскольку шар $b^n$ единичного объема в $\mathbb R^n$ имеет радиус $r_n=v_n^{-1/n}$, то
$$
\begin{equation}
r_n\simeq\sqrt{\frac{n}{2\pi e}}=(2\pi e)^{-1/2}\sqrt{n}.
\end{equation}
\tag{5}
$$
Значит, при $n\to\infty$. В работе [3] было также показано, что для $n$-мерного куба $I^n\subset\mathbb R^n$ единичного объема и единичной плотности меры 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Zor23} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|