| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Краткие сообщения Полиортогонализация системы функций А. П. Старовойтов Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины, Белоруссия
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623010352 
Реферативные базы данных:
  1. Постановка задачиОдним из обобщений ортогональных многочленов являются полиортогональные многочлены первого и второго типов (см. [1; гл. 4, § 3]). Для полиортогональных многочленов условия ортогональности задаются с помощью нескольких мер $\mu_1,\dots,\mu_k$ и при этом степень участия каждой меры определяется индивидуально весовым коэффициентом. Можно констатировать, что такие многочлены являются результатом полиортогонализации (соответственно первого и второго типов) линейно независимой системы функций $\{1,x,x^2,\dots\}$. Особый интерес вызывают меры, для которых известные утверждения общей теории ортогональных многочленов справедливы и для полиортогональных многочленов. В этом направлении исследований получен ряд содержательных результатов (см., например, [2], [3]). В частности, в [4] и [5] найдены детерминантные представления этих многочленов, обобщающие классическую формулу Грама–Шмидта для представления ортогонального многочлена (см. [6; гл. 3, § 1]). В данной заметке дано обобщение понятия “ортогональная функция”: рассматривается полиортогонализация (первого типа) произвольной линейно независимой системы функций $\{\varphi_0(x),\dots,\varphi_m(x)\}$ в предгильбертовых функциональных пространствах, порожденных мерами $\mu_1,\dots,\mu_k$ и для произвольного мультииндекса $n=(n_1,\dots,n_k)$ устанавливается явный вид $n$-й полиортогональной функции, полученной в результате указанной полиортогонализации. Основная теорема является обобщением теоремы ортогонализации Грама–Шмидта (см., например, [6; гл. 4, § 1]). 2. Полиортогональные функции первого типаБудем придерживаться терминологии монографии [1]. Пусть $\mu_1,\dots,\mu_k$ – положительные борелевские меры на вещественной прямой, носителями которых являются отрезки $\Delta_1,\dots,\Delta_k$ действительной прямой. Рассмотрим систему функций $\varphi=\{\varphi_0(x),\varphi_1(x),\dots\}$, удовлетворяющую следующим естественным условиям. Считаем, что при всех $j=1,\dots,k$ каждая функция измерима на $\Delta_j$ относительно меры $\mu_j$. Предполагаем также, что система $\varphi$ линейно независима на каждом из отрезков $\Delta_j$ и
$$
\begin{equation}
\int_{\Delta_j}|\varphi_p(x)|^2\,d\mu_j(x)<+\infty,\qquad j=1,\dots,k,\quad p=0,1,\dots\,.
\end{equation}
\tag{1}
$$
При выполнении условий (1) будем писать, что $\varphi\in L^2_\mu$, $\mu=\{\mu_1,\dots,\mu_k\}$. Обозначим через скалярное произведение функций $h(x)$ и $g(x)$ в предгильбертовом пространстве, порожденном мерой $\mu_j$. Множество мультииндексов $n=(n_1,\dots,n_k)$, т.е. упорядоченных наборов $k$ целых неотрицательных чисел, обозначим через $\mathbb Z^k_+$. Порядком мультииндекса $n=(n_1,\dots,n_k)$ назовем сумму $|n|:=n_1+\dotsb+n_k$. Определение 1. Пусть $n=(n_1,\dots,n_k)\in\mathbb Z^k_+$ – ненулевой мультииндекс, а $\varphi\in L^2_\mu$. Функции все одновременно тождественно не равные нулю, будем называть $n$-ми полиортогональными функциями первого типа для набора мер $\mu$ и системы $\varphi$, если Предполагается, что при $n_j=0$, $\psi_j(x)\equiv 0$ (в этом случае мера $\mu_j(x)$ не участвует в определении $n$-х полиортогональных функций) и $|n|\ne 1$. Если $|n|=1$, то у индекса $n$ только одна компонента $n_{j_0}=1$, остальные равны нулю. Тогда набор $n$-х полиортогональных функций первого типа $\Psi=\{\psi_1(x),\dots,\psi_k\}$ состоит из $\psi_{j_0}(x)\equiv\varphi_0(x)$ и $\psi_j(x)\equiv 0$ при $j\ne j_0$. Если в этом определении положить $k=1$ либо, что то же самое, взять мультииндекс $n=(n_1,0,\dots,0)$, то отождествляя меру $\mu_1$ с $\mu$, а компоненту $n_1$ с $n\in\mathbb Z^1_+$, придем к классическому определению. В этом случае полиортогональная функция первого типа $\psi_1(x)=\alpha^1_0\varphi_0(x)+\dotsb+\alpha^1_{n-1}\varphi_{n-1}(x)$ является $(n-1)$-й ортогональной функцией и для нее справедлива формула Грама–Шмидта (см. [6; гл. 3, § 1])
$$
\begin{equation}
\psi_1(x)=\begin{vmatrix} (\varphi_0,\varphi_0) &(\varphi_1,\varphi_0) &\dots &(\varphi_{n-1},\varphi_0) \\ (\varphi_0,\varphi_1) &(\varphi_1,\varphi_1) &\dots &(\varphi_{n-1},\varphi_1) \\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ (\varphi_0,\varphi_{n-2}) &(\varphi_1,\varphi_{n-2}) &\dots &(\varphi_{n-1},\varphi_{n-2}) \\ \varphi_0(x) &\varphi_1(x) &\dots &\varphi_{n-1}(x) \end{vmatrix}.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Полиортогональные функции первого типа условиями (2) определяются с точностью до числового множителя: если $\Psi:=\{\psi_1(x),\dots,\psi_k\}$ – набор $n$-х полиортогональных функций первого типа для $\mu$, то при $\lambda\ne 0$ набор $\lambda\Psi:=\{\lambda\psi_1(x),\dots,\lambda\psi_k\}$ также состоит из $n$-х полиортогональных функций первого типа для $\mu$. На самом деле неединственность может носить и более существенный характер. Приведем пример, подтверждающий это. Пример 1. Пусть $\varphi=\{1,x,x^2,\dots\}$, $k=2$, $n=(2,2)$, $d\mu_1(x)=dx$, $d\mu_2(x)=-dx$, где $dx$ – мера Лебега, носитель которой $\Delta=[0,1]$. Тогда где $a$ и $b$ – произвольные действительные числа, не равные нулю одновременно. Определение 2. Будем говорить, что $n$-е полиортогональные функции первого типа $\psi_1(x),\dots,\psi_k(x)$ однозначно определяются условиями (2), если для любых двух наборов таких функций найдется $\lambda\in\mathbb R$ такой, что $\Psi''\equiv\lambda\Psi'$ на всех отрезках $\Delta_j$. Актуальным является вопрос о том, каковы необходимые и достаточные условия на индекс $n\in\mathbb Z^k_+$ и системы $\varphi=\{\varphi_0(x),\varphi_1(x),\dots\}$, $\mu=\{\mu_1,\dots,\mu_k\}$, при которых $n$-е полиортогональные функции определяются условиями (2) однозначно. В случае $k=1$ однозначность вытекает из линейной независимости системы $\varphi$ (см. [6; гл. 3, § 1]). Пример 1 показывает, что уже при $k=2$ это не так. 3. Теорема о полиортогонализацииДалее считаем, что порядок мультииндекса $|n|\geqslant 2$. Рассмотрим ненулевой мультииндекс $n\in \mathbb Z^k_+$. Для каждого $n_j\ne 0$ определим матрицу порядка $(|n|-1)\times n_j$
$$
\begin{equation*}
G^j=\begin{pmatrix} (\varphi_0,\varphi_0)^j &(\varphi_1,\varphi_0)^j &\dots &(\varphi_{n_j-1},\varphi_0)^j \\ (\varphi_0,\varphi_1)^j &(\varphi_1,\varphi_1)^j &\dots &(\varphi_{n_j-1},\varphi_1)^j \\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ (\varphi_0,\varphi_{|n|-2})^j &(\varphi_1,\varphi_{|n|-2})^j &\dots &(\varphi_{n_j-1},\varphi_{|n|-2})^j \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
а после этого определим матрицу порядка $(|n|-1)\times|n|$
$$
\begin{equation*}
G_n=\begin{bmatrix} G^1 &G^2 &\dots &G^k \end{bmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
В том случае, если $n_j=0$, матрица $G_n$ не содержит блок-матрицу $G^j$. Определим также функциональные матрицы порядка $1\times|n|$
$$
\begin{equation*}
U_j(x)=\begin{pmatrix} 0 &0 &\dots &0 &\dots &\varphi_0(x) &\varphi_1(x) &\dots &\varphi_{n_j-1}(x) &\dots \quad0 \quad0 \quad\dots \quad0 \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
и матрицу
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, U(x) &=U_1(x)+\dotsb+U_k(x) \\ &=\begin{pmatrix} \varphi_0(x)\!\!\!\! &\varphi_1(x)\!\!\!\! &\dots\!\!\!\! &\varphi_{n_1-1}(x)\!\!\!\! &\varphi_0(x)\!\!\!\! &\varphi_1(x)\!\!\!\! &\dots\!\!\!\! &\varphi_{n_2-1}(x)\!\!\!\! &\dots\!\!\!\! &\varphi_0(x)\!\!\!\!\quad \varphi_1(x)\!\!\!\! \quad \dots\!\!\!\! \quad \varphi_{n_k-1}(x) \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если в матрице $G_n$ добавить еще одну строку, состоящую из элементов матрицы $U_j(z)$, то получим квадратную матрицу. Определитель полученной квадратной матрицы представим в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\operatorname{det}\begin{bmatrix}G_n\\U_j(x)\end{bmatrix} \\ &\qquad= \begin{vmatrix} \cdot &\cdots &\cdot &(\varphi_0,\varphi_0)^j &(\varphi_1,\varphi_0)^j &\cdots &(\varphi_{n_j-1},\varphi_0)^j &\cdot &\cdots &\cdot \\ \cdot &\cdots &\cdot &(\varphi_0,\varphi_1)^j &(\varphi_1,\varphi_1)^j &\cdots &(\varphi_{n_j-1},\varphi_1)^j &\cdot &\cdots &\cdot \\ \vdots &\cdots &\vdots &\vdots &\vdots &\cdots &\vdots &\vdots &\cdots &\vdots \\ \cdot &\cdots &\cdot &\!(\varphi_0,\varphi_{|n|-2})^j &(\varphi_1,\varphi_{|n|-2})^j &\cdots &(\varphi_{n_j-1},\varphi_{|n|-2})^j &\cdot &\cdots &\cdot \\ 0 &\cdots &0 &\varphi_0(x) &\varphi_1(x) &\cdots &\varphi_{n_j-1}(x) &0 &\cdots &0 \end{vmatrix}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Определение 3. Ненулевой индекс $n\in\mathbb Z^k_+$ будем называть слабо нормальным для $\mu$, если ранг матрицы $G_n$ равен $|n|-1$, т.е. является максимальным. В примере 1 индекс $n=(2,2)$ не является слабо нормальным для рассматриваемых в этом примере мер $\mu_1$, $\mu_2$, поскольку $\operatorname{rank}G_n=2$. Определение 4. Систему мер $\mu=\{\mu_1,\dots,\mu_k\}$ будем называть слабо совершенной, если любой ненулевой индекс $n\in\mathbb Z^k_+$ является слабо нормальным для $\mu$. Основным результатом является следующая теорема. Теорема 1. Для ненулевого индекса $n\in\mathbb Z^k_+$ и системы мер $\mu=\{\mu_1,\dots,\mu_k\}$ $n$-е полиортогональные функции $\psi_1(x),\dots,\psi_k(x)$ определяются условиями (2) однозначно тогда и только тогда, когда индекс $n$ является слабо нормальным для $\mu$, т.е. $\operatorname{rank}G_n=|n|-1$. В том случае, если $\operatorname{rank}G_n=|n|-1$, при соответствующем выборе нормирующего множителя справедливы представления Доказательство. Пусть $n_j\ne 0$ и функции Предположим теперь, что $\operatorname{rank}G_n=|n|-1$. Необходимо доказать, что функции $\psi_j(x)$, определенные равенствами (4), являются искомыми. Разлагая определитель в (4) по элементам последней строки, получим, что функции $\psi_j(x)$ представляются в виде
$$
\begin{equation*}
\psi_j(x)=\alpha^j_0\varphi_0(x)+\dotsb+\alpha^j_{n_j-1}\varphi_{n_j-1}(x),
\end{equation*}
\notag
$$
и поскольку $\operatorname{rank}G_n=|n|-1$, то, по крайней мере, одна из этих функций тождественно не равна нулю. Остается проверить, что функции $\psi_1(x),\dots,\psi_k(x)$, определенные равенствами (5), удовлетворяют условиям (2). Считая, что $n_j\ne 0$, при каждом $j$ применим оператор интегрирования $J_jf:=\int_{\Delta_j}f(x)\,d\mu_j(x)$ к последней строке определителя (4), предварительно умножив эту строку на функцию $\varphi_\nu(x)$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{j=1}^k\int_{\Delta_j}\psi_j(x)\varphi_\nu(x)\,d\mu_j(x) \\ &\qquad=\begin{vmatrix} (\varphi_0,\varphi_0)^1 &\dots &(\varphi_{n_1-1},\varphi_0)^1 &\dots &(\varphi_0,\varphi_0)^k &\dots &(\varphi_{n_k-1},\varphi_0)^k \\ (\varphi_0,\varphi_1)^1 &\dots &(\varphi_{n_1-1},\varphi_1)^1 &\dots &(\varphi_0,\varphi_1)^k &\dots &(\varphi_{n_k-1},\varphi_1)^k \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\ (\varphi_0,\varphi_{|n|-2})^1 &\dots &(\varphi_{n_1-1},\varphi_{|n|-2})^1 &\dots &(\varphi_0,\varphi_{|n|-2})^k &\dots &(\varphi_{n_k-1},\varphi_{|n|-2})^k \\ (\varphi_0,\varphi_\nu)^1 &\dots &(\varphi_{n_1-1},\varphi_\nu)^1 &\dots &(\varphi_0,\varphi_\nu)^k &\dots &(\varphi_{n_k-1},\varphi_\nu)^k \end{vmatrix}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Определитель в правой части последнего равенства при $\nu=0,1,\dots,|n|-2$ имеет две одинаковые строки, поэтому равен нулю. Следовательно, условия (2) выполняются. Теорема 1 доказана. Следствие 1. Полиортогональные функции $\psi_1(x),\dots,\psi_k(x)$ определяются условия- ми (2) однозначно для всех ненулевых мультииндексов $n\in\mathbb Z^k_+$ тогда и только тогда, когда система $\mu$ является слабо совершенной. Замечание 1. Компонента $n_j$ мультииндекса $n=(n_1,\dots,n_k)$ определяет, насколько значима мера $\mu_j$ в определении полиортогональных функций: чем больше $n_j$, тем больше условий в (2) с участием меры $\mu_j$. Таким образом, число $n_j$ количественно характеризует вклад меры $\mu_j$ в построение $n$-х полиортогональных функций $\psi_1(x),\dots,\psi_k(x)$. Замечание 2. Если положить $k=1$ либо взять мультииндекс $n=(n_1,0,\dots,0)$, то полиортогональная функция $\psi_1(x)$ является $(n-1)$-й ортогональной функцией для меры $\mu_1$, а представление (4) c учетом принятых обозначений в точности совпадает с формулой Грама–Шмидта (3). Замечание 3. Если $k=1$, то $G_n$ является матрицей Грама (см. [6; гл. 3, § 1]). Поэтому при $k>1 $ матрица $G_n$ является кратным аналогом матрицы Грама. В заключение обратим внимание на то, что в случае полиортогонализации второго типа произвольной линейно независимой системы функций аналогичные результаты получены в [7]. Отметим также, что важные и полезные обобщения теоремы ортогонализации (например, с помощью продолжения на более широкие множества) приведены в монографии [8]. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Sta23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|