Математические заметки
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Скоро в журнале
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Лицензионный договор
Загрузить рукопись

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS


Матем. заметки:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти




Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация

Математические заметки, 2023, том 113, выпуск 2, страницы 311–315
DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13887 (Mi mzm13887) 		 
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях)

Краткие сообщения

Интерполяционная теорема Марцинкевича для пространств типа Харди

В. Г. Кротов

Белорусский государственный университет
PDF полного текста (314 kB) Полный текст в HTML Список цитирования (3)
Список литературы:
PDF
HTML
DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13887
Ключевые слова: интерполяция операторов, пространства Лоренца, пространства типа Харди, некасательная максимальная функция.
Поступило: 19.07.2022
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 2, Pages 306–310
DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623010340
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья

Интерполяционная теорема Марцинкевича, история развития которой берет свое начало с работ [1], [2], является важным инструментом во многих разделах современного анализа, использующих шкалу пространств суммируемых функций $L^p$. Здесь мы рассматриваем новую форму этой теоремы, которая адаптирована для применений в теории пространств Харди.

Пусть $X$ – хаусдорфово пространство, топология которого порождена квазиметрикой $d$, т.е. задана функция $d\colon X\times X\to [0,\infty)$, удовлетворяющая всем аксиомам метрики, только неравенство треугольника заменяется более слабым условием: существует такое число $a_d\geqslant 1$, что для всех $x,y,z\in X$ выполнено неравенство

$$ \begin{equation*} d(x,y)\leqslant a_d[d(x,z)+d(z,y)]. \end{equation*} \notag $$
Пусть на $X$ задана также $\sigma$-конечная борелевская мера, причем мера каждого шара
$$ \begin{equation*} B(x,t):=\{y\in X:d(x,y)<t\} \end{equation*} \notag $$
конечна и положительна.

Введем произведение

$$ \begin{equation*} \mathbf{X}:=X\times I,\qquad \text{где}\quad I=(0,t_0),\quad 0<t_0\leqslant+\infty. \end{equation*} \notag $$
и снабдим его стандартной мерой-произведением $\mu\times m_1$ [3; § 3.3] ($m_1$ – одномерная мера Лебега на $I$). В случае, когда $t_0=+\infty$, множество $A\subset\mathbf{X}$ будем называть ограниченным сверху, если $\sup\{t:(x,t)\in A\}<\infty$.

Рассмотрим “некасательные” области

$$ \begin{equation*} D(x):=\{(y,t)\in\mathbf{X}:d(x,y)<t\},\quad x\in X, \end{equation*} \notag $$
подхода к точкам $x\in X$ “границы” $\mathbf{X}$ и соответствующую максимальную функцию
$$ \begin{equation*} \mathcal{N} u(x):=\sup\{|u(y,t)|:(y,t)\in D(x)\},\quad x\in X, \end{equation*} \notag $$
для любой функции $u\colon \mathbf{X}\to \mathbb{C}$.

Введем обозначение $\mathcal{H}^0(\mathbf{X})$ для множества всех измеримых функций (эквивалентные функции не отождествляются) $u\colon\mathbf{X}\to\mathbb{C}$, для которых максимальная функция $\mathcal{N} u$ конечна $\mu$-почти всюду.

Пусть $(Y,\nu)$ – множество с $\sigma$-конечной мерой $\nu$, $L^0(Y)$ – пространство (классов эквивалентности) измеримых функций на $Y$. Для $0<p,r\leqslant\infty$ обозначим $L^{p,r}(Y)$ пространства Лоренца ([4], см. также [5; § 5.3]) с квазинормой

$$ \begin{equation*} \|f\|_{L^{p,r}(Y)}:=\begin{cases} \biggl(\displaystyle\int_0^{\infty}[t^{1/p}f^*(t)]^r\, \dfrac{dt}{t}\biggr)^{1/r},& 0<r<\infty, \\ \displaystyle\sup_{t>0}t^{1/p}f^*(t), & r=\infty, \end{cases} \end{equation*} \notag $$
где $f^*$ – убывающая равноизмеримая перестановка функции $f$ на $Y$ [5; § 5.3].

Далее, для $p,r>0$ введем классы $\mathcal{H}^{p,r}(\mathbf{X})$, состоящие из функций $u\in\mathcal{H}^0(\mathbf{X})$, для которых конечна величина

$$ \begin{equation*} \|u\|_{\mathcal{H}^{p,r}(\mathbf{X})}:= \|\mathcal{N}u\|_{L^{p,r}(X)}. \end{equation*} \notag $$
При $r=p$ будем писать $\mathcal{H}^p(\mathbf{X})$ вместо $\mathcal{H}^{p,p}(\mathbf{X})$. В случае $\mathbf{X}=\mathbb{R}^{n+1}_+$ классы $\mathcal{H}^p(\mathbb{R}^{n+1}_+)$ впервые рассматривались в [6] (в указанной работе дополнительно предполагалось, что функции из этих классов непрерывны и имеют почти всюду некасательные пределы).

Условие $\mathcal{N} u\in L^p(X)$ и само понятие максимальной функции восходит к Харди и Литтлвуду [7]. Оно широко используется в теории пространств Харди (см., например, [8] для случая $\mathbf{X}=\mathbb{R}_+^{n+1}$, [9; теорема 5.6.5] для случая $\mathbf{X}$ – единичный шар в $\mathbb{C}^n$) и участвует в формулировках некоторых краевых задач для уравнений в частных производных (см, например, [10], [11]; перечень таких работ можно значительно расширить). Это определяет область возможных приложений наших результатов.

Пусть $T$ – оператор, определенный на некотором векторном подпространстве в $\mathcal{H}^0(\mathbf{X})$, со значениями в $L^0(Y)$. Тогда $T$ называется квазисубаддитивным, если существует такое число $K_1>0$, что справедливо поточечное неравенство

$$ \begin{equation*} |T(u+v)|\leqslant K_1(|Tu|+|Tv|). \end{equation*} \notag $$
Если дополнительно
$$ \begin{equation*} |T(\lambda u)|=|\lambda|\,|Tu|, \end{equation*} \notag $$
то $T$ называется квазилинейным (сублинейным, если $K_1=1$).

Первоначальная форма интерполяционной теоремы Марцинкевича для пространств $L^p$ содержала условия слабого типа вида

$$ \begin{equation} \nu(\{|Tf|>\lambda\})\leqslant \biggl(\frac{M}{\lambda}\|f\|_{L^p(X)}\biggr)^q,\quad \lambda>0, \end{equation} \tag{1} $$
на линейный или положительный субаддитивный оператор $T$ ([1], [2], см. также [12; приложение Б]). Следующее утверждение является аналогом для классов $\mathcal{H}^p(\mathbf{X})$.

Теорема 1. Пусть $0<p_0\ne p_1\leqslant\infty$, $0<q_0\ne q_1\leqslant\infty$, квазилинейныйный оператор $T\colon\mathcal{H}^{p_0}(\mathbf{X})+ \mathcal{H}^{p_1}(\mathbf{X})\to L^ 0(Y)$ удовлетворяет следующим условиям: существуют такие положительные постоянные $M_0$ и $M_1$, что для всех $\lambda>0$ выполнены неравенства

$$ \begin{equation*} \nu\{|Tu|>\lambda\}\leqslant \biggl(\frac{M_i}{\lambda} \|u\|_{\mathcal{H}^{p_i}(\mathbf{X})}\biggr)^{q_i},\qquad u\in \mathcal{H}^{p_i}(\mathbf{X}),\quad i=0,1. \end{equation*} \notag $$

Пусть $\theta\in(0,1)$ и

$$ \begin{equation} \frac{1}{p}=\frac{1-\theta}{p_0}+\frac{\theta}{p_1}\,,\qquad \frac{1}{q}=\frac{1-\theta}{q_0}+\frac{\theta}{q_1}\,, \end{equation} \tag{2} $$
причем $p\leqslant q$. Тогда существует такая постоянная $C=C(K_1,p_0,p_1,q_0,q_1,\theta)$, что для всех функций $u\in \mathcal{H}^p(\mathbf{X})$ выполнено неравенство
$$ \begin{equation*} \|Tu\|_{L^q(Y)}\leqslant CM_0^{1-\theta}M_1^{\theta}\|u\|_{\mathcal{H}^{p}(\mathbf{X})}. \end{equation*} \notag $$

Применение неравенства (1) к характеристическим функциям измеримых множеств $A\subset X$ приводит к неравенствам суженного слабого типа

$$ \begin{equation} \|T\chi_A\|_{L^{q,\infty}(Y)}\leqslant M[\mu(A)]^{1/p}. \end{equation} \tag{3} $$
Такие условия в интерполяционной теореме Марцинкевича впервые вводились для параметров $p_0,p_1,q_0,q_1\geqslant 1$ в работе Стейна и Вейса [13] (см. также [5; § 5.3]). Условия такого вида рассматривались также в [14]–[16] для любых $p_0,p_1,q_0,q_1>0$. Аналоги (3) используются далее в нашей работе.

Обозначим $S_0^+(\mathbf{X})$ – множество всех функций на $\mathbf{X}$ вида

$$ \begin{equation*} \sum_{k=m}^{n}2^{-k}\chi_{A_k}, \end{equation*} \notag $$
где $m<n$ – целые, $A_k\subset \mathbf{X}$ – измеримые множества конечной меры, ограниченные сверху, $S^r_0(\mathbf{X})$ – множество всех функций на $\mathbf{X}$ вида $(u-v)$, где $u,v\in S_0^+(\mathbf{X})$. Наконец, $S_0(\mathbf{X})$ означает множество функций вида $u+iv$, где $u,v\in S^r_0(\mathbf{X})$.

Следующее обозначение

$$ \begin{equation*} \widehat{A}:=\{x\in X:D(x)\cap A\ne\varnothing\}, \quad A\subset\mathbf{X}, \end{equation*} \notag $$
является важным, так как участвует в условиях наших результатов, приводимых ниже.

Теорема 2. Пусть $0<p_0\ne p_1\leqslant\infty$, $0<q_0\ne q_1\leqslant\infty$, $0<r<\infty$, $T$ – квазилинейный оператор, определенный на $S_0(\mathbf{X})$, со значениями во множестве $L^0(Y)$, удовлетворяющий следующим условиям:

Пусть $\theta\in(0,1)$, $p$ и $q$ определяются равенствами (2). Тогда существует единственное продолжение для $T$ до ограниченного квазилинейного оператора из $\mathcal{H}^{p,r}(\mathbf{X})$ в $L^{q,r}(Y)$ и существует такая положительная постоянная $C=C(K_1,p_0,p_1,q_0,q_1,r,\theta)$, что для всех функций $u\in\mathcal{H}^{p,r}(\mathbf{X})$ выполнено неравенство

$$ \begin{equation} \|Tu\|_{L^{q,r}(Y)}\leqslant CM_0^{1-\theta}M_1^\theta \|u\|_{\mathcal{H}^{p,r}(\mathbf{X})}. \end{equation} \tag{7} $$

Роль условия (6) состоит в том, что оно обеспечивает существование продолжения оператора $T$ с класса $S_0(\mathbf{X})$ на пространство $\mathcal{H}^{p,r}(\mathbf{X})$. Условие (6) выполнено, например, если оператор $T$ является линейным или положительным сублинейным.

Утверждение теоремы 2 подобно утверждению интерполяционной теоремы Марцинкевича (см., например, [5; § 5.3]). Отличия состоят в присутствии нормы максимальной функции $\mathcal{N}$ в правой части неравенства (7), а также в форме основных условий (4)–(5).

Если в теореме 2 заменить $\mathbf{X}$ на любое множество $X$ с $\sigma$-конечной мерой $\mu$, пространства $\mathcal{H}^{p,r}(\mathbf{X})$ – на пространства Лоренца $L^{p,r}(X)$ и условие $\widehat{A}\subset\mathbf{X}$ заменить на $A\subset X$, то мы получим вариант теоремы Марцинкевича из работы [15]. Этот результат в близкой форме приведен также в [16; теорема 1.4.19]. В обоих случаях доказательства основаны на идеях из [14; теорема 1.4.19], где впервые был рассмотрен случай $0<p_i,q_i<1$, $i=0,1$, для параметров теоремы Марцинкевича.

Однако доказательство в [14; теорема 1.4.19] содержало пробел, устранение которого и послужило поводом для публикации [15]. Для этого понадобилась существенная корректировка как доказательств, так и формулировок. Этим объясняется появление в них класса $S_0(\mathbf{X})$ и дополнительного условия (6).

Доказательство теоремы 2 также следует схеме рассуждений из [14; теорема 1.4.19] и [15] с изменениями, необходимыми в нашей ситуации. Подробному обоснованию будет посвящена отдельная работа. Сейчас отметим только, что доказательство опирается на ряд вспомогательных утверждений, из которых ключевыми являются следующие.

Лемма 1. Множество $S_0(\mathbf{X})$ плотно в $\mathcal{H}^{p,r}(\mathbf{X})$ при любых $0<p,r<\infty$.

Лемма 2. Пусть $0<p<\infty$, $0<q\leqslant\infty$, $T$ – квазилинейный оператор, определенный на $S_0(\mathbf{X})$, со значениями в $L^0(Y)$, удовлетворяющий следующему условию: существует такая положительная постоянная $M$, что для любого измеримого ограниченного сверху множества $A\subset\mathbf{X}$ конечной меры выполнено неравенство

$$ \begin{equation*} \|T(\chi_A)\|_{L^{q,\infty}(Y)}\leqslant M[\mu(\widehat{A})]^{1/p}. \end{equation*} \notag $$

Пусть

$$ \begin{equation} 0<\alpha_0<\min\biggl\{q,\frac{\ln 2}{\ln 2K_1}\biggr\}. \end{equation} \tag{8} $$
Тогда для любого $0<\alpha\leqslant\alpha_0$ существует положительная постоянная $C(K_1,p,q,\alpha)$ такая, что любой функции $u\in S_0(\mathbf{X})$ выполнено неравенство
$$ \begin{equation*} \|Tu\|_{L^{q,\infty}(Y)}\leqslant C(K_1,p,q,\alpha)M \|u\|_{\mathcal{H}^{p,\alpha}(\mathbf{X})}. \end{equation*} \notag $$

Приведем теперь вариант теоремы 2 для операторов, действующих в паре пространств $\mathcal{H}^{p,r}(\mathbf{X})$ и $\mathcal{H}^{q,r}(\mathbf{Y})$: пусть заданы два пространства $\mathbf{X}$ и $\mathbf{Y}$ описанного выше типа, построенные на множествах $X$ и $Y$ с разными, вообще говоря, квазиметриками и мерами $\mu$ и $\nu$ соответственно.

Теорема 3. Пусть $0<p_0\ne p_1\leqslant\infty$, $0<q_0\ne q_1\leqslant\infty$, $0<r<\infty$, $T$ – квазилинейный оператор, определенный на $S_0(\mathbf{X})$, со значениями в $\mathcal{H}^0(\mathbf{Y})$, удовлетворяющий следующим условиям:

Пусть $\theta\in(0,1)$, $p$ и $q$ определяются равенствами (2). Тогда существует единственное продолжение для $T$ до ограниченного квазилинейного оператора из $\mathcal{H}^{p,r}(\mathbf{X})$ в $\mathcal{H}^{q,r}(\mathbf{Y})$ и существует такая положительная постоянная $C=C(K_1,p_0,p_1,q_0,q_1,r,\theta)$, что для всех функций $u\in\mathcal{H}^{p,r}(\mathbf{X})$ выполнено неравенство

$$ \begin{equation*} \|Tu\|_{\mathcal{H}^{q,r}(\mathbf{Y})}\leqslant CM_0^{1-\theta}M_1^\theta\|u\|_{\mathcal{H}^{p,r}(\mathbf{X})}. \end{equation*} \notag $$

Далее сформулируем вариант теоремы 2, соответствующий первоначальной версии теоремы Марцинкевича из [14; теорема 1.4.19]. Отличие следующей теоремы 4 от теоремы 2 состоит в том, что условие (6) заменено на непрерывность оператора $T\colon\mathcal{H}^{p_0}(\mathbf{X})+\mathcal{H}^{p_1}(\mathbf{X}) \to L^0(Y)$. При этом в $\mathcal{H}^{p_0}(\mathbf{X})+ \mathcal{H}^{p_1}(\mathbf{X})$ топология вводится с помощью квазинормы

$$ \begin{equation*} \|u\|_{\mathcal{H}^{p_0}(\mathbf{X})+\mathcal{H}^{p_1}(\mathbf{X})}: =\inf\{\|u_0\|_{\mathcal{H}^{p_0}(\mathbf{X})}+ \|u_1\|_{\mathcal{H}^{p_1}(\mathbf{X})}:u=u_0+u_1\}, \end{equation*} \notag $$
а $L^0(Y)$ снабжается, как обычно, топологией сходимости по мере.

Теорема 4. Пусть $0<p_0\ne p_1\leqslant\infty$, $0<q_0\ne q_1\leqslant\infty$, $0<r<\infty$, $T$ – квазилинейный и непрерывный оператор из $\mathcal{H}^{p_0}(\mathbf{X})+\mathcal{H}^{p_1}(\mathbf{X})$ в $L^0(Y)$, удовлетворяющий следующим условиям: существуют такие положительные постоянные $M_0$ и $M_1$, что для любого измеримого ограниченного сверху множества $A\subset\mathbf{X}$ конечной меры выполнены неравенства (4) и (5).

Пусть $\theta\in(0,1)$, $p$ и $q$ определяются равенствами (2). Тогда существует такая положительная постоянная $C=C(K_1,p_0,p_1,q_0,q_1,r,\theta)$, что для всех функций $u\in\mathcal{H}^{p,r}(\mathbf{X})$ выполнено неравенство (7).

Доказательство теоремы 4 использует идею из [15; замечание (iv)] и следующую модификацию леммы 2.

Лемма 3. Пусть $0<p<\infty$, $0<q\leqslant\infty$, $T$ – квазилинейный и непрерывный оператор $\mathcal{H}^{p}(\mathbf{X})\to L^0(Y)$, удовлетворяющий следующему условию: существует такая положительная постоянная $M$, что для любого измеримого ограниченного сверху множества $A\subset\mathbf{X}$ конечной меры выполнено неравенство

$$ \begin{equation*} \|T(\chi_A)\|_{L^{q,\infty}(Y)}\leqslant M[\mu(\widehat{A})]^{1/p}. \end{equation*} \notag $$

Пусть $\alpha_0$ удовлетворяет неравенствам (8).

Тогда для любого $0<\alpha\leqslant\alpha_0$ существует положительная постоянная $C(K_1,p,q,\alpha)$ такая, что любой функции $\mathcal{H}^{p,\alpha}(\mathbf{X})$, принадлежащей области определения $T$, выполнено неравенство

$$ \begin{equation*} \|Tu\|_{L^{q,\infty}(Y)}\leqslant C(K_1,p,q,\alpha)M\|u\|_{\mathcal{H}^{p,\alpha}(\mathbf{X})}. \end{equation*} \notag $$

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. J. Marcinkiewicz, C. R. Acad. Sci. Paris, 208 (1939), 1272–1273
2. A. Zygmund, J. Math. Pures Appl. (9), 35 (1956), 223–248  mathscinet
3. В. И. Богачев, Основы теории меры, Т. 1, РХД, М.–Ижевск, 2003
4. G. Lorentz, Ann. of Math. (2), 51:1 (1950), 33–55  crossref  mathscinet
5. И. Стейн, Г. Вейс, Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах, Мир, М., 1974  zmath
6. R. R. Coifman, Y. Meyer, E. M. Stein, J. Funct. Anal., 62:2 (1985), 304–335  crossref  mathscinet
7. G. H. Hardy, J. E. Littlewood, Acta Math., 129:1-2 (1930), 81–116  crossref  mathscinet
8. C. Fefferman, E. M. Stein, Acta Math., 129:3-4 (1972), 137–193  crossref  mathscinet
9. У. Рудин, Теория функций в единичном шаре в ${\mathbb{C}}^n$, Мир, М., 1984  mathscinet
10. G. Verhota, Indiana Univ. Math. J., 39:3 (1990), 671–702  crossref  mathscinet
11. J. Pipher, G. Verhota, Ann. of Math. (2), 142:1 (1995), 1–36  crossref  mathscinet
12. И. М. Стейн, Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций, Мир, М., 1973  mathscinet  zmath
13. E. M. Stein, G. Weiss, J. Math. Mech., 8:2 (1959), 263–284  mathscinet
14. L. Grafakos, Classical Fourier Analysis, Second Edition, Grad. Texts in Math., 249, Springer, New York, 2008  mathscinet
15. Y. Y. Liang, L. G. Liu, D. C. Yang, Acta Math. Sinica, 27:8 (2011), 1477–1488  crossref  mathscinet
16. L. Grafakos, Classical Fourier Analysis, Third Edition, Grad. Texts in Math., 249, Springer, New York, 2014  mathscinet
Образец цитирования: В. Г. Кротов, “Интерполяционная теорема Марцинкевича для пространств типа Харди”, Матем. заметки, 113:2 (2023), 311–315; Math. Notes, 113:2 (2023), 306–310
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kro23}
\by В.~Г.~Кротов
\paper Интерполяционная теорема Марцинкевича
для пространств типа Харди
\jour Матем. заметки
\yr 2023
\vol 113
\issue 2
\pages 311--315
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/mzm13887}
\crossref{https://doi.org/10.4213/mzm13887}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4563372}
\transl
\jour Math. Notes
\yr 2023
\vol 113
\issue 2
\pages 306--310
\crossref{https://doi.org/10.1134/S0001434623010340}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85149955443}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/mzm13887
  • https://doi.org/10.4213/mzm13887
  • https://www.mathnet.ru/rus/mzm/v113/i2/p311
    • Эта публикация цитируется в следующих 3 статьяx:
    Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    		Математические заметки Mathematical Notes
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:230
    PDF полного текста:33
    HTML русской версии:164
    Список литературы:43
    Первая страница:27
     
      Обратная связь:
    		  Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024