|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье)
О поведении решений нечеткого разностного уравнения
$z_{n+1}=A+\dfrac{B}{z_{n-m}}$
И. Ялчинскаяa, Х. Эль-Метваллиb, Д. Т. Толлуa, Х. Ахмадc a Necmettin Erbakan University, Турция
b Mansoura University, Египет
c Istanbul Ticaret University, Турция
Аннотация:
Мы исследуем существование, ограниченность, асимптотику и
колебательное поведение положительных решений
нечеткого разностного уравнения
$$
z_{n+1}=A+\frac{B}{z_{n-m}}\,,
$$
где $n\in\mathbb{N}_{0}=\mathbb{N}\cup\{0\}$, $(z_{n})$ –
последовательность положительных нечетких чисел, $A$, $B$ и
начальные условия $z_{-j}$, $j=1,2,\dots,m$, –
положительные нечеткие числа, а $m$ – целое положительное число.
Библиография: 27 названий.
Ключевые слова:
нечеткое число, $\alpha$-сечения, нечеткие разностные уравнения,
ограниченность, сходимость.
Поступило: 12.04.2021 Исправленный вариант: 24.01.2022
1. Введение Теория разностных уравнений активно развивалась математиками и другими учеными в течение последних двух десятилетий. Разностные уравнения имеют множество приложений в таких областях, как физика, экономика, машиностроение и т.д.; см., например, [1]–[4]. В последнее время математики проявляют интерес к изучению качественного поведения решений этих уравнений. Они разрабатывают множество методов для проведения таких исследований. Одним из таких методов является исследование разностных уравнений в нечеткой ситуации. Метод основан на преобразовании нечетких разностных уравнений в систему обыкновенных разностных уравнений. В этом контексте существует несколько научных работ, в которых разностное уравнение изучается с помощью понятия нечеткости. Например, Диба и Корвин [5] исследовали поведение уравнения
$$
\begin{equation}
x_{n+1}=x_{n}-abx_{n-1}+c,
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $a$, $b$, $c$, $x_{-1}$, $x_{0}$ – нечеткие числа. Папаскинопулос и Пападопулос [6] исследовали поведение уравнения
$$
\begin{equation}
x_{n+1}=A+\frac{B}{x_{n}}\,,
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $A$, $B$, $x_{0}$ – нечеткие числа. Хастан и Алиджани [7] также изучали поведение уравнения (2), используя обобщение деления для нечетких чисел. Далее, Хатир и др. [8] исследовали поведение уравнения
$$
\begin{equation}
x_{n+1}=A+\frac{B}{x_{n-1}}\,,
\end{equation}
\tag{3}
$$
где $A$, $B$, $x_{-1}$, $x_{0}$ – нечеткие числа. Дополнительные сведения о нечетких разностных уравнениях см. в работах [9]–[20]. Некоторые основы понятия нечеткости изложены в [21]–[24]. В данной работе исследуется поведение положительных решений нечеткого разностного уравнения
$$
\begin{equation}
z_{n+1}=A+\frac{B}{z_{n-m}}\,,
\end{equation}
\tag{4}
$$
где $n\in\mathbb{N}_{0}=\mathbb{N}\cup\{0\}$, $A$, $B$ и начальные условия $z_{-j}$ при $j=1,2,\dots,m$ – положительные нечеткие числа, а $m$ – натуральное число. Из (2) и (3) ясно видно, что (4) является естественным обобщением этих уравнений.
2. Предварительные сведения В этом пункте мы даем некоторые определения и результаты, которые будут использоваться в данном исследовании. Подробнее см. [25], [22], [16]. Определение 1 [25]. Рассмотрим нечеткое подмножество $A\colon \mathbb{R}\to [0,1]$ вещественной прямой. Мы называем $A$ нечетким числом, если оно обладает следующими свойствами: Обозначим через $\mathbb{R}_{F}$ пространство всех нечетких чисел. Для $0<\alpha\leqslant1$ и $A\in\mathbb{R}_{F}$ обозначим $\alpha$-сечения нечеткого числа $A$ через
$$
\begin{equation*}
[A]^{\alpha}=\{x\in\mathbb{R},A(x)\geqslant \alpha\}\qquad\text{и}\qquad [A]^{0}=\overline{\{x\in\mathbb{R},A(x)\geqslant0\}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Мы называем сечение $[A]^{0}$ носителем нечеткого числа $A$ и обозначаем его через $\operatorname{supp}(A)$. Нечеткое число $A$ называется положительным, если $\operatorname{supp}(A)\subset(0,\infty)$. Обозначим через $\mathbb{R}_{F}^{+}$ пространство всех положительных нечетких чисел. Определение 2 [26]. (a) Пусть $A,B\in\mathbb{R}_{F}$, причем $[A]^{\alpha}=[A_{l}^{\alpha},A_{r}^{\alpha}]$ и $[B]^{\alpha}=[B_{l}^{\alpha},B_{r}^{\alpha}]$ для всех $\alpha\in(0,1]$. Тогда определим метрику на пространстве нечетких чисел, полагая
$$
\begin{equation*}
D(A,B)=\sup\{\max\{|A_{l}^{\alpha}-B_{l}^{\alpha}|, |A_{r}^{\alpha }-B_{r}^{\alpha}|\}\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\sup$ берется по всем $\alpha\in(0,1]$. (b) Пусть $(x_{n})$ – последовательность положительных нечетких чисел, а $x$ – нечеткое число. Будем говорить, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty}x_{n}=x \quad\text{тогда и только тогда, когда}\quad \lim_{n\to \infty}D(x_{n},x)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 3 [22]. Пусть $X,Y \in\mathbb{R}_{F}$, и пусть $[X]^{\alpha}=[X_{l}^{\alpha},X_{r}^{\alpha}]$, $[Y]^{\alpha}=[Y_{l}^{\alpha},Y_{r}^{\alpha}]$, $\alpha\in(0,1]$ – $\alpha$-сечения $X$ и $Y$ соответственно. Пусть $Z\in\mathbb{R}_{F}$ и $[Z]^{\alpha}=[Z_{l}^{\alpha},Z_{r}^{\alpha}]$ для всех $\alpha\in(0,1]$. Тогда $\operatorname{MIN}\{X,Y\}=Z$ (соответственно $\operatorname{MAX}\{X,Y\}=Z)$ тогда и только тогда, когда $\min\{ X_{l}^{\alpha},Y_{l}^{\alpha}\}=Z_{l}^{\alpha}$ и $\min\{ X_{r}^{\alpha},Y_{r}^{\alpha}\}=Z_{r}^{\alpha}$ (соответственно $\max\{X_{l}^{\alpha},Y_{l}^{\alpha}\}=Z_{l}^{\alpha}$ и $\max\{X_{r}^{\alpha},Y_{r}^{\alpha}\}=Z_{r}^{\alpha }$). Определение 4 [6]. Говорят, что последовательность положительных нечетких чисел $(x_{n})$ ограничена и настоятельна, если существуют $n_{0}\in\mathbb{N}$ и $C,D\in\mathbb{R}_{F}^{+}$ такие, что $\operatorname{MIN}\{x_{n},C\}=C$ и $\operatorname{MAX}\{x_{n},D\}=D$ при $n\geqslant n_{0}$. Лемма 5 [12]. Пусть $f\colon\mathbb{R}^{+}\times \mathbb{R}^{+} \times\cdots\times\mathbb{R}^{+}\to \mathbb{R}^{+}$ – непрерывная функция, а $B_{1},B_{2},\dots,B_{k}\in \mathbb{R}_{F}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\lbrack f(B_{1},B_{2},\dots,B_{k})]^{\alpha}= f([B_{1}]^{\alpha},[B_{2}]^{\alpha},\dots,[B_{k}]^{\alpha})
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $\alpha \in (0,1]$. Следующая теорема, являющаяся модификацией теоремы 1.4.8 из [27], будет полезна для доказательства наших основных результатов об уравнении (4). Теорема 6. Пусть $[a,b]$ – интервал действительных чисел, и предположим, что $f\colon [a,b]^{k}\to [a,b]$ – непрерывная функция со следующими свойствами: Тогда разностное уравнение
$$
\begin{equation}
x_{n+1}=f(x_{n},x_{n-1},\dots,x_{n-k})
\end{equation}
\tag{5}
$$
имеет единственное положение равновесия $\overline{x}\in[a,b]$, и каждое решение уравнения (5) сходится к $\overline{x}$.
3. Основные результаты В этом пункте мы докажем наши основные результаты. Сначала мы изучим существование положительных решений уравнения (4). Мы говорим, что $(z_{n})$ является положительным решением уравнения (4), если $(z_{n})$ – последовательность положительных нечетких чисел, которая удовлетворяет уравнению (4). Теорема 7. Пусть $z_{-j}$, $j=0,1,\dots,m$, – положительные нечеткие числа. Тогда нечеткое разностное уравнение (4) имеет единственное положительное решение $(z_{n})$ для каждого набора начальных условий $z_{-j}$, $j=0,1,\dots,m$. Доказательство. Предположим, что существует последовательность нечетких чисел $(z_{n})$, удовлетворяющая уравнению (4) с начальными условиями $z_{-j}$, $j=0,1,\dots,m$. Рассмотрим $\alpha$-сечения
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \lbrack z_{n}]^{\alpha}=[L_{n}^{\alpha},R_{n}^{\alpha}],\qquad n=-m,-m+1,\dots, \\ \lbrack A]^{\alpha}=[A_{l}^{\alpha },A_{r}^{\alpha}], \qquad \lbrack B]^{\alpha}=[B_{l}^{\alpha },B_{r}^{\alpha}] \end{gathered}
\end{equation}
\tag{6}
$$
для всех $\alpha\in(0,1]$. Тогда из (4), (6) и леммы 5 следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lbrack z_{n+1}]^{\alpha}&= \biggl[A+\frac{B}{z_{n-m}}\biggr]^{\alpha}=[A]^{\alpha}+ \frac{[B]^{\alpha}}{[z_{n-m}]^{\alpha}} =[A_{l}^{\alpha},A_{r}^{\alpha}]+ \frac{[B_{l}^{\alpha},B_{r}^{\alpha}]} {[L_{n-m}^{\alpha},R_{n-m}^{\alpha}]} \\ &=\biggl[ A_{l}^{\alpha}+\frac{B_{l}^{\alpha}}{R_{n-m}^{\alpha}}\,, A_{r}^{\alpha}+\frac{B_{r}^{\alpha}}{L_{n-m}^{\alpha}}\biggr], \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда имеем
$$
\begin{equation}
L_{n+1}^{\alpha}=A_{l}^{\alpha}+ \frac{B_{l}^{\alpha}}{R_{n-m}^{\alpha}}\,,\qquad R_{n+1}^{\alpha}=A_{r}^{\alpha}+ \frac{B_{r}^{\alpha}}{L_{n-m}^{\alpha}}
\end{equation}
\tag{7}
$$
для всех $\alpha\in(0,1]$ и $n\in\mathbb{N}_{0}$. Тогда уравнение (7) имеет единственное положительное решение $(L_{n}^{\alpha},R_{n}^{\alpha})$ для начальных условий $(L_{j}^{\alpha},R_{j}^{\alpha})$, $j=-m,-m+1,\dots,0$ и любого $\alpha\in(0,1]$. Сейчас мы докажем, что для всех $\alpha\in(0,1]$ сечение $[L_{n}^{\alpha},R_{n}^{\alpha}]$, где $(L_{n}^{\alpha},R_{n}^{\alpha})$ – решение системы (7) с начальными условиями $(L_{j}^{\alpha},R_{j}^{\alpha})$, $j=-m,-m+1,\dots,0$, определяет решение $(z_{n})$ уравнения (4) с начальными условиями $z_{-j}$, $j=0,1,\dots,m$, такое, что
$$
\begin{equation}
\lbrack z_{n}]^{\alpha}=[L_{n}^{\alpha},R_{n}^{\alpha }],\qquad \alpha \in (0,1],\quad n=-m,-m+1,\dots\,.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Так как $A$, $B$, $z_{-j}$, $(j=0,1,\dots,m)\in\mathbb{R}_{F}^{+}$ для любых $\alpha_{1},\alpha_{2}\in(0,1]$ таких, что $\alpha_{1}\leqslant\alpha_{2}$, то
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 0&<A_{l}^{\alpha_{1}}\leqslant A_{l}^{\alpha_{2}}\leqslant A_{r}^{\alpha_{2}}\leqslant A_{r}^{\alpha 1}, \\ 0&<B_{l}^{\alpha_{1}}\leqslant B_{l}^{\alpha_{2}}\leqslant B_{r}^{\alpha_{2}}\leqslant B_{r}^{\alpha 1}, \\ 0&<L_{j}^{\alpha_{1}}\leqslant L_{j}^{\alpha_{2}}\leqslant R_{j}^{\alpha_{2}}\leqslant R_{j}^{\alpha_{1}} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9}
$$
для $j=-m,-m+1,\dots,0$. Докажем по индукции, что
$$
\begin{equation}
L_{n}^{\alpha_{1}}\leqslant L_{n}^{\alpha_{2}}\leqslant R_{n}^{\alpha_{2}}\leqslant R_{n}^{\alpha_{1}},\qquad n\in \mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Из (9) получаем, что (10) выполняется для $n=-m,-m+1,\dots,0$. Предположим, что (10) верно для $n\leqslant k$, $k\in\{1,2,\dots\}$. Из (7), (9) и (10) для $n\leqslant k$ следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, L_{k+1}^{\alpha_{1}} &=A_{l}^{\alpha_{1}}+ \frac{B_{l}^{\alpha_{1}}}{R_{k-m}^{\alpha_{1}}}\leqslant A_{l}^{\alpha_{2}}+\frac{B_{l}^{\alpha_{2}}}{R_{k-m}^{\alpha_{2}}}= L_{k+1}^{\alpha_{2}}, \\ L_{k+1}^{\alpha_{2}} &=A_{l}^{\alpha_{2}}+ \frac{B_{l}^{\alpha_{2}}}{R_{k-m}^{\alpha_{2}}}\leqslant A_{r}^{\alpha_{2}}+\frac{B_{r}^{\alpha_{2}}}{L_{k-m}^{\alpha_{2}}}= R_{k+1}^{\alpha_{2}}, \\ R_{k+1}^{\alpha_{2}} &=A_{r}^{\alpha_{2}}+ \frac{B_{r}^{\alpha_{2}}}{L_{k-m}^{\alpha_{2}}}\leqslant A_{r}^{\alpha_{1}}+\frac{B_{r}^{\alpha_{1}}}{L_{k-m}^{\alpha_{1}}}= R_{k+1}^{\alpha_{1}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, (10) выполняется. Более того, из (7) имеем
$$
\begin{equation}
L_{1}^{\alpha}=A_{l}^{\alpha}+ \frac{B_{l}^{\alpha}}{R_{-m}^{\alpha}}\,,\quad R_{1}^{\alpha}=A_{r}^{\alpha}+\frac{B_{r}^{\alpha}}{L_{-m}^{\alpha}} \qquad\text{для всех}\quad \alpha \in (0,1].
\end{equation}
\tag{11}
$$
Тогда, поскольку $A$, $B$, $z_{-j}$ $(j=0,1,\dots,m)\in\mathbb{R}_{F}^{+}$, мы получаем, что $A_{l}^{\alpha}$, $A_{r}^{\alpha}$, $B_{l}^{\alpha}$, $B_{r}^{\alpha}$, $L_{-j}^{\alpha}$, $R_{-j}^{\alpha}$, $j=0,1,\dots,m$, непрерывны слева. Поэтому из (11) мы получаем, что $L_{1}^{\alpha}$ и $R_{1}^{\alpha}$ также непрерывны слева. По индукции легко доказать, что $L_{n}^{\alpha}$ и $R_{n}^{\alpha}$ непрерывны слева для $n\in\mathbb{N}$. Теперь докажем, что множество $\overline{\bigcup_{\alpha\in(0,1]} [L_{n}^{\alpha},R_{n}^{\alpha}]}$ компактно. Достаточно доказать ограниченность множества $\bigcup_{\alpha\in(0,1]}[L_{n}^{\alpha},R_{n}^{\alpha}]$. Пусть $n=1$. Так как $A, B, z_{-j}\in\mathbb{R}_{F}^{+}$, $j=0,1,\dots,m$, то существуют постоянные $M_{A},N_{A},M_{B},N_{B},M_{-j},N_{-j}>0$, $j=0,1,\dots,m$, такие, что
$$
\begin{equation}
[A_{l}^{\alpha},A_{r}^{\alpha}]\subset [M_{A},N_{A}],\qquad [B_{l}^{\alpha},B_{r}^{\alpha}]\subset [M_{B},N_{B}],\qquad [L_{-j}^{\alpha},R_{-j}^{\alpha}]\subset [M_{-j},N_{-j}],
\end{equation}
\tag{12}
$$
при $j=0,1,\dots,m$. Следовательно, исходя из (11) и (12), легко доказать, что
$$
\begin{equation}
\lbrack L_{1}^{\alpha },R_{1}^{\alpha }]\subset \biggl[ M_{A}+\frac{M_{B}}{N_{-m}}\,,N_{A}+ \frac{N_{B}}{M_{-m}}\biggr],
\end{equation}
\tag{13}
$$
для всех $\alpha\in(0,1]$, откуда видно, что
$$
\begin{equation}
\bigcup_{\alpha \in (0,1]}[L_{1}^{\alpha},R_{1}^{\alpha}]\subset \biggl[M_{A}+\frac{M_{B}}{N_{-m}}\,,N_{A}+ \frac{N_{B}}{M_{-m}}\biggr],
\end{equation}
\tag{14}
$$
для всех $\alpha\in(0,1]$. Кроме того, из (14) следует, что $\overline{\bigcup_{\alpha \in (0,1]} [L_{1}^{\alpha},R_{1}^{\alpha}]}$ компактно и $\overline{\bigcup_{\alpha \in (0,1]}[L_{1}^{\alpha}, R_{1}^{\alpha}]}\subset (0,\infty)$. По индукции легко доказать, что
$$
\begin{equation}
\overline{\bigcup_{\alpha \in (0,1]}[L_{n}^{\alpha}, R_{n}^{\alpha}]}\quad\text{компактно},\quad \overline{\bigcup_{\alpha \in (0,1]}[L_{n}^{\alpha},R_{n}^{\alpha}]} \subset (0,\infty)\qquad\text{при}\quad n\in \mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{15}
$$
Следовательно, используя (10), (15) и тот факт, что $L_{n}^{\alpha},R_{n}^{\alpha}$ непрерывны слева, мы получаем, что сечения $[L_{n}^{\alpha},R_{n}^{\alpha}]$ определяют такую последовательность положительных нечетких чисел $(z_{n})$, что выполняется (8). Докажем теперь, что последовательность $(z_{n})$ является решением уравнения (4) с начальными условиями $z_{-j}$, $j=0,1,\dots,m$. Так как
$$
\begin{equation*}
\lbrack z_{n+1}]^{\alpha }=[L_{n+1}^{\alpha },R_{n+1}^{\alpha }]= \biggl[A_{l}^{\alpha }+\frac{B_{l}^{\alpha }}{R_{n-m}^{\alpha}}\,, A_{r}^{\alpha}+\frac{B_{r}^{\alpha }}{L_{n-m}^{\alpha}}\biggr]= \biggl[ A+\frac{B}{z_{n-m}}\biggr]^{\alpha},
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $\alpha\in(0,1]$, то $(z_{n})$ является решением уравнения (4) с начальными условиями $z_{-j}$, $j=0,1,\dots,m$. Предположим, что существует другое решение $(\widetilde{z}_{n})$ уравнения (4) с начальными условиями $z_{-j}$, $j=0,1,\dots,m$. Тогда легко доказать, что
$$
\begin{equation}
\lbrack \widetilde{z}_{n}]^{\alpha}=[L_{n}^{\alpha},R_{n}^{\alpha}] \qquad\text{при}\quad \alpha \in (0,1],\quad n\in \mathbb{N}_{0}.
\end{equation}
\tag{16}
$$
Из (8) и (16) получаем, что $[z_{n}]^{\alpha}=[\widetilde{z}_{n}]^{\alpha}$ при $\alpha\in(0,1]$ и $n=-m,-m+1,\dots$ , откуда следует, что $z_{n}=\widetilde{z}_{n}$, $n=-m,-m+1,\dots$ . Теорема доказана. Для изучения дальнейшей динамики уравнения (4) воспользуемся результатами о системе уравнений
$$
\begin{equation}
x_{n+1}=a_{1}+\frac{b_{1}}{y_{n-m}}\,,\quad y_{n+1}=a_{2}+\frac{b_{2}}{x_{n-m}}\,,\qquad n\in \mathbb{N}_{0},
\end{equation}
\tag{17}
$$
где параметры $a_{1}$, $b_{1}$, $a_{2}$, $b_{2}$ и начальные условия $x_{-j}$, $y_{-j}$, $j=0,1,\dots,m$, – положительные действительные числа. Точки равновесия системы (17) являются решениями уравнений
$$
\begin{equation}
\overline{x}=a_{1}+\frac{b_{1}}{\overline{y}}\qquad\text{и}\qquad \overline{y}=a_{2}+\frac{b_{2}}{\overline{x}}\,,
\end{equation}
\tag{18}
$$
из которых получаем
$$
\begin{equation*}
\overline{x}=\frac{a_{1}a_{2}+b_{1}-b_{2}\pm \sqrt{\Delta }}{2a_{2}} \qquad\text{и}\qquad \overline{y}= \frac{a_{1}a_{2}+b_{2}-b_{1}\pm \sqrt{\Delta}}{2a_{1}}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Delta=(a_{1}a_{2}+b_{1}-b_{2})^{2}+4a_{1}a_{2}b_{2}$. Следовательно, система (17) имеет единственную положительную точку равновесия, заданную формулой
$$
\begin{equation*}
(\overline{x},\overline{y})= \biggl(\frac{a_{1}a_{2}+b_{1}-b_{2}+\sqrt{\Delta }}{2a_{2}}\,, \frac{a_{1}a_{2}+b_{2}-b_{1}+\sqrt{\Delta }}{2a_{1}}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 8. Точка равновесия $(\overline{x},\overline{y})$ системы (17) локально асимптотически устойчива. Доказательство. Перепишем (17) в виде
$$
\begin{equation}
\begin{cases} x_{n+1}=f(x_{n-m},y_{n-m})=a_{1}+\dfrac{b_{1}}{y_{n-m}}\,, \\ y_{n+1}=g(x_{n-m},y_{n-m})=a_{2}+\dfrac{b_{2}}{x_{n-m}}\,, \end{cases} \qquad n\in \mathbb{N}_{0}.
\end{equation}
\tag{19}
$$
Тогда матрица Якоби (19), вычисленная в точке $(\overline{x},\overline{y})$, определяется выражением
$$
\begin{equation*}
\begin{bmatrix} 0 & -\dfrac{b_{1}}{\overline{y}^{2}} \\ -\dfrac{b_{2}}{\overline{x}^{2}} & 0 \end{bmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
так что ее собственные значения суть $\lambda_{1,2}= \pm\sqrt{b_{1}b_{2}}/(\overline{x}\overline{y})$. Хорошо известно, что точка равновесия $(\overline{x},\overline{y})$ системы (17) локально асимптотически устойчива, если собственные значения $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ лежат в единичном круге $|\lambda|<1$. Теперь из (18) следует, что $\overline{x}\,\overline{y}=a_{1}\overline{y}+b_{1}= a_{2}\overline{x}+b_{2}$ и
$$
\begin{equation*}
|\lambda_{1,2}|<1\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{\sqrt{b_{1}b_{2}}}{\overline{x}\,\overline{y}}<1 \qquad\text{или}\qquad |\lambda_{1,2}|<1\quad\Longleftrightarrow\quad \sqrt{b_{1}b_{2}}<\overline{x}\,\overline{y}=a_{1}\overline{y}+b_{1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, получаем неравенство
$$
\begin{equation}
2\sqrt{b_{1}b_{2}}<a_{1}a_{2}+b_{2}+b_{1}+\sqrt{\Delta}\,.
\end{equation}
\tag{20}
$$
Поскольку $a_{1}$, $a_{2}$, $b_{1}$, $b_{2}$ положительны, а $2\sqrt{b_{1}b_{2}}<b_{1}+b_{2}$, неравенство (20) всегда выполняется. То есть единственная положительная точка равновесия $(\overline{x},\overline{y})$ системы (17) локально асимптотически устойчива. Лемма 9. Каждое положительное решение системы (17) ограничено и настоятельно. Доказательство. Предположим, что $\{(x_{n},y_{n})\}_{n=-m}^{\infty}$ – положительное решение системы (17). Тогда из (17) следует, что
$$
\begin{equation}
x_{n}\geqslant a_{1}>0\quad\text{и}\quad y_{n}\geqslant a_{2}>0\qquad\text{для всех}\quad n\geqslant 1.
\end{equation}
\tag{21}
$$
Последовательности $\{x_{n}\}_{n=-m}^{\infty}$ и $\{y_{n}\}_{n=-m}^{\infty}$ ограничены снизу и далеки от нуля. Из (17) и (21) снова следует что
$$
\begin{equation*}
x_{n}=a_{1}+\frac{b_{1}}{y_{n-m}}\leqslant a_{1}+ \frac{b_{1}}{a_{2}}<\infty, \quad y_{n}=a_{2}+\frac{b_{2}}{x_{n-m}}\leqslant a_{2}+ \frac{b_{2}}{a_{1}}<\infty \qquad\text{для всех}\quad n\geqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда последовательности $\{x_{n}\}_{n=-m}^{\infty}$ и $\{y_{n}\}_{n=-m}^{\infty}$ ограничены сверху и далеки от бесконечности, что завершает доказательство. Лемма 10. Точка равновесия $(\overline{x},\overline{y})$ системы (17) глобально асимптотически устойчива. Доказательство. В лемме 8 показано, что точка равновесия $(\overline{x},\overline{y})$ системы (17) локально асимптотически устойчива. Поэтому достаточно показать, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty}(x_{n},y_{n})=(\overline{x},\overline{y}).
\end{equation*}
\notag
$$
Преобразуем (17) в скалярное уравнение вида
$$
\begin{equation*}
x_{n+1}=a_{1}+\frac{b_{1}x_{n-2m-1}}{b_{2}+a_{2}x_{n-2m-1}} \quad\text{или}\quad y_{n+1}=a_{2}+\frac{b_{2}y_{n-2m-1}}{b_{1}+a_{1}y_{n-2m-1}} \qquad \text{для всех}\quad n\geqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Докажем, что $\lim_{n\to \infty}x_{n}=\overline{x}$ (доказательство того факта, что $\lim_{n\to \infty}y_{n}=\overline{y}$, аналогично, и мы его опустим). Из леммы 9 следует, что существуют положительные числа $a$ и $b$ такие, что $a\leqslant x_{n}\leqslant b$ для всех $n\geqslant1$. Определим функцию $f$ формулой
$$
\begin{equation}
x_{n+1}=f(x_{n},x_{n-1},\dots,x_{n-2m-1})= a_{1}+\frac{b_{1}x_{n-2m-1}}{b_{2}+a_{2}x_{n-2m-1}} \quad \text{для всех}\quad n\geqslant 1.
\end{equation}
\tag{22}
$$
Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial f}{\partial x_{n-i}}=0\qquad\text{для всех}\quad i=0,1,\dots,2m
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial f}{\partial x_{n-2m-1}}= \frac{b_{1}(b_{2}+a_{2}x_{n-2m-1})-b_{1}x_{n-2m-1}(a_{2})} {(b_{2}+a_{2}x_{n-2m-1})^{2}}= \frac{b_{1}b_{2}}{(b_{2}+a_{2}x_{n-2m-1})^{2}} >0.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $f(x_{1},x_{2},\dots,x_{k})$ не убывает по каждому из аргументов. Теперь из (22) следует, что соотношение $l=f(l,l,\dots,l)$ приводит к уравнению
$$
\begin{equation*}
l=a_{1}+\frac{b_{1}l}{b_{2}+a_{2}l}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
которое имеет единственное положительное решение $l=(b_{1}+a_{1}a_{2}-b_{2}+\sqrt{\Delta}\,)/(2a_{2})$. Тогда из теоремы 6 следует, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty}x_{n}=\overline{x}.
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство завершено. Лемма 11. Система (17) имеет колебательные решения, колеблющиеся вокруг положительной точки равновесия $(\overline{x},\overline{y})$. При этом самый длинный полуцикл решений имеет длину $m+1$. Доказательство. Применяя разложение индексов $n\to (m+1)n+j$, $j= 0,1, \dots,m$, к системе (17) для $m$, получаем системы
$$
\begin{equation}
x_{(m+1)n+j+1}=a_{1}+\frac{b_{1}}{y_{(m+1)(n-1)+j+1}}\,,\quad y_{(m+1)n+j+1}=a_{2}+\frac{b_{2}}{x_{(m+1)(n-1)+j+1}}\,,\quad n\in \mathbb{N}_{0},
\end{equation}
\tag{23}
$$
которые являются независимыми друг от друга $m+1$ системами первого порядка. Пусть $(x_{n},y_{n})$ – решение системы (17) такое, что
$$
\begin{equation}
x_{-j}\geqslant \overline{x},\qquad y_{-j}\geqslant \overline{y}
\end{equation}
\tag{24}
$$
при $j=0,1,\dots,m$. Из (23) и (24) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} x_{j+1} &= a_{1}+\frac{b_{1}}{y_{-m+j}}\leqslant a_{1}+\frac{b_{1}}{\overline{y}}=\overline{x},&\quad y_{j+1} &= a_{2}+\frac{b_{2}}{x_{-m+j}}\leqslant a_{2}+\frac{b_{2}}{\overline{x}}=\overline{y}, \\ x_{m+j+2} &= a_{1}+\frac{b_{1}}{y_{j+1}}\geqslant a_{1}+\frac{b_{1}}{\overline{y}}=\overline{x}, &\quad y_{m+j+2} &= a_{2}+\frac{b_{2}}{x_{j+1}}\geqslant a_{2}+\frac{b_{2}}{\overline{x}}=\overline{y}; \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
рассуждая по индукции, получаем
$$
\begin{equation}
x_{( m+1) 2k+j+1}\geqslant \overline{x},\quad x_{(m+1)(2k+1) +j+1}\leqslant \overline{x},\quad y_{( m+1) 2k+j+1}\geqslant \overline{y},\quad y_{( m+1)(2k+1)+j+1}\leqslant \overline{y}
\end{equation}
\tag{25}
$$
при $k\in\mathbb{N}_{0}$. Выбирая такие начальные условия, что
$$
\begin{equation}
x_{-j}\leqslant \overline{x},\quad y_{-j}\leqslant \overline{y},
\end{equation}
\tag{26}
$$
и рассуждая, как и выше, заключаем, что
$$
\begin{equation}
x_{( m+1) 2k+j+1}\leqslant \overline{x},\quad x_{( m+1) (2k+1) +j+1}\geqslant \overline{x},\quad y_{( m+1) 2k+j+1}\leqslant\overline{y},\quad y_{( m+1) ( 2k+1) +j+1}\geqslant \overline{y}
\end{equation}
\tag{27}
$$
при $k\in\mathbb{N}_{0}$. Формулы (25) и (27) показывают, что система (17) имеет колебательные решения, колеблющиеся вокруг положительной точки равновесия $(\overline{x},\overline{y})$. Так как
$$
\begin{equation*}
[(m+1)(2k+1)+j+1]-[(m+1)2k+j+1]=m+1,
\end{equation*}
\notag
$$
то самый длинный полуцикл решений имеет длину $m+1$. Поскольку системы в (23) независимы друг от друга, более короткие полуциклы могут быть получены различными комбинациями начальных условий $x_{-j}$, $y_{-j}$, $j=0,1,\dots,m$, в соответствии с точкой равновесия $(\overline{x},\overline{y})$. Например, предположим, что
$$
\begin{equation}
x_{-m}\geqslant \overline{x},\quad x_{-i}\leqslant \overline{x},\quad y_{-m}\geqslant \overline{y},\quad y_{-i}\leqslant \overline{y},\qquad i=0,1,\dots,m-1.
\end{equation}
\tag{28}
$$
Из (23) и (28) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} x_{1} &= a_{1}+\frac{b_{1}}{y_{-m}}\leqslant a_{1}+\frac{b_{1}}{\overline{y}} =\overline{x},&\qquad y_{1}&=a_{2}+\frac{b_{2}}{x_{-m}}\leqslant a_{2}+\frac{b_{2}}{\overline{x}}=\overline{y}, \\ x_{2} &= a_{1}+\frac{b_{1}}{y_{-m+1}}\geqslant a_{1}+\frac{b_{1}}{\overline{y}} =\overline{x},&\qquad y_{2}&=a_{2}+\frac{b_{2}}{x_{-m+1}}\geqslant a_{2}+\frac{b_{2}}{\overline{x}}=\overline{y}, \\ \dots&\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots & \dots& \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots \\ x_{m+1} &= a_{1}+\frac{b_{1}}{y_{0}}\geqslant a_{1}+\frac{b_{1}}{\overline{y}}=\overline{x},&\qquad y_{m+1}&=a_{2}+\frac{b_{2}}{x_{0}}\geqslant a_{2}+\frac{b_{2}}{\overline{x}}=\overline{y}, \\ x_{m+2} &= a_{1}+\frac{b_{1}}{y_{1}}\geqslant a_{1}+\frac{b_{1}}{\overline{y}}=\overline{x},&\qquad y_{m+2}&=a_{2}+\frac{b_{2}}{x_{1}}\geqslant a_{2}+\frac{b_{2}}{\overline{x}}=\overline{y}, \\ x_{m+3} &= a_{1}+\frac{b_{1}}{y_{2}}\leqslant a_{1}+\frac{b_{1}}{\overline{y}}=\overline{x},&\qquad y_{m+3}&=a_{2}+\frac{b_{2}}{x_{2}}\leqslant a_{2}+\frac{b_{2}}{\overline{x}}=\overline{y}, \\ \dots\dots&\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots & \dots\dots& \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots \\ x_{2m+3} &= a_{1}+\frac{b_{1}}{y_{m+2}}\leqslant a_{1}+\frac{b_{1}}{\overline{y}}=\overline{x},&\qquad y_{2m+3}&=a_{2}+\frac{b_{2}}{x_{m+2}}\leqslant a_{2}+\frac{b_{2}}{\overline{x}}=\overline{y}, \\ x_{2m+4} &= a_{1}+\frac{b_{1}}{y_{m+3}}\geqslant a_{1}+\frac{b_{1}}{\overline{y}}=\overline{x},&\qquad y_{2m+4}&=a_{2}+\frac{b_{2}}{x_{m+3}}\geqslant a_{2}+\frac{b_{2}}{\overline{x}}=\overline{y}, \\ \dots\dots&\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots & \dots\dots& \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Хорошо видно, что самый длинный полуцикл решений имеет длину $m$. Лемма 12. Пусть имеем $(x_{-j},y_{-j}) \in [\overline{x},a_{1}+b_{1}/a_{2}) \times (a_{2},\overline{y}\,]$ (соответственно $(x_{-j},y_{-j}) \in (a_{1},\overline{x}\,]\times [\overline{y},a_{2}+b_{2}/a_{1})$). Тогда решения системы (17) имеют инвариантное множество $[\overline{x},\infty) \times (0,\overline{y}\,]$ (соответственно $(0,\overline{x}\,] \times [\overline{y},\infty)$). Доказательство. В лемме 11 показано, что каждое решение системы (17) ограничено и настоятельно. Поэтому нет необходимости предъявлять верхний и нижний пределы решения. Пусть $(x_{n},y_{n})$ – такое решение системы (17), что $(x_{-j},y_{-j}) \in [\overline{x},a_{1}+b_{1}/a_{2}) \times (a_{2},\overline{y}\,]$ или
$$
\begin{equation}
a_{1}+\frac{b_{1}}{a_{2}}>x_{-j}\geqslant \overline{x},\quad a_{2}<y_{-j}\leqslant \overline{y}
\end{equation}
\tag{29}
$$
при $j=0,1,\dots,m$. Тогда в силу (23) и (29) мы имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} x_{j+1} &= a_{1}+\frac{b_{1}}{y_{-m+j}}\geqslant a_{1}+\frac{b_{1}}{\overline{y}}=\overline{x},&\qquad y_{j+1}&=a_{2}+\frac{b_{2}}{x_{-m+j}}\leqslant a_{2}+\frac{b_{2}}{\overline{x}}=\overline{y}, \\ x_{j+2} &= a_{1}+\frac{b_{1}}{y_{-m+j+1}}\geqslant a_{1}+\frac{b_{1}}{\overline{y}}=\overline{x},&\qquad y_{j+2}&=a_{2}+\frac{b_{2}}{x_{-m+j+1}}\leqslant a_{2}+\frac{b_{2}}{\overline{x}}=\overline{y}, \\ x_{j+3} &= a_{1}+\frac{b_{1}}{y_{-m+j+2}}\geqslant a_{1}+\frac{b_{1}}{\overline{y}}=\overline{x},&\qquad y_{j+3}&=a_{2}+\frac{b_{2}}{x_{-m+j+2}}\leqslant a_{2}+\frac{b_{2}}{\overline{x}}=\overline{y}, \\ \dots\dots&\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots & \dots\dots& \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
и по индукции
$$
\begin{equation*}
a_{1}+\frac{b_{1}}{a_{2}}>x_{( m+1) n+j+1}\geqslant \overline{x},\quad a_{2}<y_{( m+1) n+j+1}\leqslant \overline{y},
\end{equation*}
\notag
$$
или $(x_{n},y_{n}) \in [\overline{x},\infty) \times (0,\overline{y}\,]$ при $n\in \mathbb{N}_{0}$. Аналогично, если $(x_{-j},y_{-j}) \in (a_{1},\overline{x}\,] \times [\overline{y},a_{2}+b_{2}/a_{1})$ или $a_{1}<x_{-j}\leqslant \overline{x}$, $a_{2}+b_{2}/a_{1}>y_{-j} \geqslant \overline{y}$, то с помощью такого же рассуждения нетрудно доказать, что
$$
\begin{equation*}
a_{1}<x_{(m+1)n+j+1}\leqslant \overline{x},\quad a_{2}+\frac{b_{2}}{a_{1}}>y_{(m+1)n+j+1}\geqslant \overline{y},
\end{equation*}
\notag
$$
или $(x_{n},y_{n}) \in (a_{1},\overline{x}\,] \times [\overline{y},a_{2}+b_{2}/a_{1})$ при $n\in \mathbb{N}_{0}$. Ясно, что в этих случаях решения не колеблются около $(\overline{x},\overline{y})$. Из предложений 2.2 и 2.3 из [6] можно получить следующую теорему. Теорема 13. Рассмотрим уравнение (4), где $A,B\in\mathbb{R}_{F}^{+}$. Тогда верны следующие утверждения: В последней теореме этой статьи мы изучим колебательное поведение положительных решений уравнения (4). Теорема 14. Рассмотрим уравнение (4), где $A,B\in\mathbb{R}_{F}^{+}$. Тогда уравнение (4) имеет колебательные решения, колеблющиеся вокруг положительного равнове- сия $\overline{z}$ такого, что $[\overline{z}]^{\alpha}=[L^{\alpha},R^{\alpha}]$ для $\alpha\in(0,1]$. Доказательство. Предположим, что
$$
\begin{equation}
L_{-j}^{\alpha}\geqslant L^{\alpha},\qquad R_{-j}^{\alpha}\geqslant R^{\alpha}
\end{equation}
\tag{30}
$$
для $\alpha\in(0,1]$ и $j=0,1,\dots,m$. Из (6) и леммы 11 имеем
$$
\begin{equation}
L_{M}^{\alpha }\geqslant L^{\alpha},\qquad L_{S}^{\alpha }\leqslant L^{\alpha},\qquad R_{M}^{\alpha }\geqslant R^{\alpha},\qquad R_{S}^{\alpha }\leqslant R^{\alpha},
\end{equation}
\tag{31}
$$
где $M=(m+1)2k+j+1$ и $S=(m+1)(2k+1)+j+1$ для $k\in\mathbb{N}_{0}$. Из (31) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \ [\min\{L_{M}^{\alpha},L^{\alpha}\}, \min\{R_{M}^{\alpha},R^{\alpha}\}] &=[L^{\alpha},R^{\alpha}], \\ [\min\{L_{S}^{\alpha},L^{\alpha}\},\min\{R_{S}^{\alpha}, R^{\alpha}\}] &= [L_{S}^{\alpha},R_{S}^{\alpha}]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{32}
$$
Тогда решение колеблется около положительного равновесия $\overline{z}$. Для $L_{-j}^{\alpha}\leqslant L^{\alpha}$, $R_{-j}^{\alpha}\leqslant R^{\alpha}$, $\alpha\in(0,1]$, доказательство аналогично, поэтому мы его опускаем.
4. Численные примеры В этом пункте для проверки полученных результатов мы приводим несколько численных примеров решений уравнения (4) при $m=2$, $\alpha=0.1$, $\alpha=0.5$, $\alpha=0.9$ и при следующих начальных условиях:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, z_{-2}(x)&=\begin{cases} \dfrac{5x-0.5}{2}\,, & 0.1\leqslant x\leqslant 0.5, \\ \dfrac{4.5-5x}{2}\,, & 0.5\leqslant x\leqslant 0.9, \end{cases} \\ z_{-1}(x)&=\begin{cases} 20x-10, & 0.5\leqslant x\leqslant 0.55, \\ 12-20x, & 0.55\leqslant x\leqslant 0.6, \end{cases} \\ z_{0}(x)&=\begin{cases} 20x-4, & 0.2\leqslant x\leqslant 0.25, \\ 6-20x, & 0.25\leqslant x\leqslant 0.3. \end{cases} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{33}
$$
Из (33) получаем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \ [z_{-2}]^{\alpha}=\biggl[\frac{2\alpha+0.5}{5}\,, \frac{4.5-2\alpha}{5}\biggr],\qquad [z_{-1}]^{\alpha}=\biggl[\frac{\alpha+10}{20}\,, \frac{12-\alpha }{20}\biggr], \\ [z_{0}]^{\alpha}=\biggl[\frac{\alpha +4}{20}, \frac{6-\alpha}{20}\biggr] \end{gathered}
\end{equation}
\tag{34}
$$
при $\alpha\in(0,1]$. Тогда мы имеем следующую таблицу для различных значений $\alpha$:
$$
\begin{equation*}
\begin{array}{ccccccc} \alpha & L_{-2}^{\alpha } & L_{-1}^{\alpha } & L_{0}^{\alpha } & R_{-2}^{\alpha } & R_{-1}^{\alpha } & R_{0}^{\alpha } \\ \hline 0.1 & 0.14 & 0.505 & 0.205 & 0.86 & 0.595 & 0.295 \\ 0.5 & 0.3 & 0.525 & 0.225 & 0.7 & 0.575 & 0.275 \\ 0.9 & 0.46 & 0.545 & 0.245 & 0.54 & 0.555 & 0.255 \end{array}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим уравнение (4), где $z_{-2}(x)$, $z_{-2}(x)$, $z_{0}(x)$ удовлетворяют (33) и $A$, $B$ задаются формулами
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, A&=\begin{cases} x-1, & 1\leqslant x\leqslant 2, \\ 3-x, & 2\leqslant x\leqslant 3, \end{cases} \\ B&=\begin{cases} 4x-1, & 0.25\leqslant x\leqslant 0.5, \\ 3-4x, & 0.5\leqslant x\leqslant 0.75. \end{cases} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{35}
$$
Из (35) получаем $[A]^{\alpha}=[\alpha+1,3-\alpha]$ и $[B]^{\alpha}=[(\alpha+1)/4,(3-\alpha)/4]$. Тогда мы имеем следующую таблицу:
$$
\begin{equation*}
\begin{array}{ccccccc} \alpha & A_{l}^{\alpha } & A_{r}^{\alpha } & B_{l}^{\alpha } & B_{r}^{\alpha} & L^{\alpha } & R^{\alpha } \\ \hline 0.1 & 1.1 & 2.9 & 0.275 & 0.725 & 1.178 & 3.516 \\ 0.5 & 1.5 & 2.5 & 0.375 & 0.625 & 1.63 & 2.884 \\ 0.9 & 1.9 & 2.1 & 0.475 & 0.525 & 2.102 & 2.35 \end{array}
\end{equation*}
\notag
$$
По теореме 7 существует единственное решение. По теореме 13 каждое положительное решение нечеткого разностного уравнения (4) ограничено, настоятельно и стремится к положительному равновесию $\overline{z}$ при $n\to \infty$ (см. рис. 1–3).
5. Заключение В этой работе исследовано поведение положительных решений нечеткого разностного уравнения (4). Показано, что каждое положительное решение уравнения (4) ограничено, настоятельно и стремится к его единственному положительному равновесию. Теоретические результаты подтверждаются численным примером, в котором $m=2$, $\alpha=0.1$, $\alpha=0.5$, $\alpha=0.9$. Данная работа расширяет результаты исследований в [6]–[8].
|
|
|
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
|
|
|
1. |
R. P. Agarwal, Difference Equations and Inequalities, Marcel Dekker, New York, 1992 |
2. |
S. Elaydi, An Introduction to Difference Equations, Springer, New York, 1999 |
3. |
E. C. Pielou, Population and Community Ecology: Principles and Methods, CRC Press, London, 1974 |
4. |
В. А. Бесерский, Е. П. Попов, Теория систем автоматического регулирования, Наука, М., 1966 |
5. |
E. Deeba, A. De Korvin, “Analysis by fuzzy difference equations of a model of CO$_{2}$ level in blood”, Appl. Math. Lett., 12 (1999), 33–40 |
6. |
G. Papaschinopoulos, B. K. Papadopoulos, “On the fuzzy difference equation $x_{n+1}=A+B/x_{n}$”, Soft Computing, 6 (2002), 456–461 |
7. |
A. Khastan, Z. Alijani, “On the new solutions to the fuzzy difference equation $x_{n+1}=A+B/x_{n}$”, Fuzzy Sets and Systems, 358 (2019), 64–83 |
8. |
E. Hatir, T. Mansour, I. Yalcinkaya, “On a fuzzy difference equation”, Util. Math., 93 (2014), 135–151 |
9. |
K. A. Chrysafis, B. K. Papadopoulos, G. Papaschinopoulos, “On the fuzzy difference equations of finance”, Fuzzy Sets and Systems, 159 (2008), 3259–3270 |
10. |
E. Deeba, A. De Korvin, E. L. Koh, “A fuzzy difference equation with an application”, J. Differ. Equations Appl., 2 (1996), 365–374 |
11. |
G. Papaschinopoulos, B. K. Papadopoulos, “On the fuzzy difference equation $x_{n+1}=A+x_{n}/x_{n-m}$”, Fuzzy Sets and Systems, 129 (2002), 73–81 |
12. |
G. Papaschinopoulos, G. Stefanidou, “Boundedness and asymptotic behavior of the solutions of a fuzzy difference equation”, Fuzzy Sets and Systems, 140 (2003), 523–539 |
13. |
G. Stefanidou, G. Papaschinopoulos, “A fuzzy difference equation of a rational form”, J. Nonlinear Math. Phys., 12 (2005), 300–315 |
14. |
M. Puri, D. Ralescu, “Differentials of fuzzy functions”, J. Math. Anal. Appl., 91:2 (1983), 552–558 |
15. |
G. Rahman, Q. Din, F. Faizullah, F. M. Khan, “Qualitative behavior of a second-order fuzzy difference equation”, J. Intelligent & Fuzzy Systems, 34 (2018), 745–753 |
16. |
C. Wu, B. Zhang, “Embedding problem of noncompact fuzzy number space $E^{\sim}$ (I)”, Fuzzy Sets and Systems, 105 (1999), 165–169 |
17. |
İ. Yalçınkaya, N. Atak, D. T. Tollu, “On a third-order fuzzy difference equation”, J. Prime Res. Math., 17:1 (2021), 59–69 |
18. |
İ. Yalçınkaya, V. Çalışkan, D. T. Tollu, “On a nonlinear fuzzy difference equation”, Commun. Fac. Sci. Univ. Ank. Ser. A1. Math. Stat., 71:1 (2022), 68–78 |
19. |
Q. Zhang, L. Yang, D. Liao, “Behavior of solutions to a fuzzy nonlinear difference equation”, Iran. J. Fuzzy Syst., 9 (2012), 1–12 |
20. |
Q. Zhang, L. Yang, D. Liao, “On first order fuzzy Riccati difference equation”, Inform. Sci., 270 (2014), 226–236 |
21. |
S. Heilpern, “Fuzzy mappings and fixed point theorem”, J. Math. Anal. Appl., 83 (1981), 566–569 |
22. |
G. Klir, B. Yuan, Fuzzy Sets and Fuzzy Logic: Theory and Applications, Prentice Hall PTR, Upper Saddle River, NJ, 1995 |
23. |
C. V. Negoita, D. Ralescu, Applications of Fuzzy Sets to Systems Analysis, Birkhauser, Besel, 1975 |
24. |
H. T. Nguyen, “A note on extension principle for fuzzy sets”, J. Math. Anal. Appl., 64:2 (1978), 369–380 |
25. |
B. Bede, Mathematics of Fuzzy Sets and Fuzzy Logic, Springer, New York, 2013 |
26. |
P. Diamond, P. Kloeden, Metric Spaces of Fuzzy Sets, World Sci., Singapore, 1994 |
27. |
M. R. S. Kulenović, G. Ladas, Dynamics of Second Order Rational Difference Equations. With Open Problems and Conjectures, CRC Press, Boca Raton, FL, 2001 |
Образец цитирования:
И. Ялчинская, Х. Эль-Метвалли, Д. Т. Толлу, Х. Ахмад, “О поведении решений нечеткого разностного уравнения
$z_{n+1}=A+\dfrac{B}{z_{n-m}}$”, Матем. заметки, 113:2 (2023), 295–307; Math. Notes, 113:2 (2023), 292–302
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/mzm13886https://doi.org/10.4213/mzm13886 https://www.mathnet.ru/rus/mzm/v113/i2/p295
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 161 | PDF полного текста: | 5 | HTML русской версии: | 94 | Список литературы: | 32 | Первая страница: | 6 |
|