| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) О поведении решений нечеткого разностного уравнения И. Ялчинскаяa, Х. Эль-Метваллиb, Д. Т. Толлуa, Х. Ахмадc a Necmettin Erbakan University, Турция b Mansoura University, Египет c Istanbul Ticaret University, Турция
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623010327 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеТеория разностных уравнений активно развивалась математиками и другими учеными в течение последних двух десятилетий. Разностные уравнения имеют множество приложений в таких областях, как физика, экономика, машиностроение и т.д.; см., например, [1]–[4]. В последнее время математики проявляют интерес к изучению качественного поведения решений этих уравнений. Они разрабатывают множество методов для проведения таких исследований. Одним из таких методов является исследование разностных уравнений в нечеткой ситуации. Метод основан на преобразовании нечетких разностных уравнений в систему обыкновенных разностных уравнений. В этом контексте существует несколько научных работ, в которых разностное уравнение изучается с помощью понятия нечеткости. Например, Диба и Корвин [5] исследовали поведение уравнения где $a$, $b$, $c$, $x_{-1}$, $x_{0}$ – нечеткие числа. Папаскинопулос и Пападопулос [6] исследовали поведение уравнения где $A$, $B$, $x_{0}$ – нечеткие числа. Хастан и Алиджани [7] также изучали поведение уравнения (2), используя обобщение деления для нечетких чисел. Далее, Хатир и др. [8] исследовали поведение уравнения где $A$, $B$, $x_{-1}$, $x_{0}$ – нечеткие числа. Дополнительные сведения о нечетких разностных уравнениях см. в работах [9]–[20]. Некоторые основы понятия нечеткости изложены в [21]–[24].В данной работе исследуется поведение положительных решений нечеткого разностного уравнения где $n\in\mathbb{N}_{0}=\mathbb{N}\cup\{0\}$, $A$, $B$ и начальные условия $z_{-j}$ при $j=1,2,\dots,m$ – положительные нечеткие числа, а $m$ – натуральное число. Из (2) и (3) ясно видно, что (4) является естественным обобщением этих уравнений.2. Предварительные сведенияВ этом пункте мы даем некоторые определения и результаты, которые будут использоваться в данном исследовании. Подробнее см. [25], [22], [16]. Определение 1 [25]. Рассмотрим нечеткое подмножество $A\colon \mathbb{R}\to [0,1]$ вещественной прямой. Мы называем $A$ нечетким числом, если оно обладает следующими свойствами: Обозначим через $\mathbb{R}_{F}$ пространство всех нечетких чисел. Для $0<\alpha\leqslant1$ и $A\in\mathbb{R}_{F}$ обозначим $\alpha$-сечения нечеткого числа $A$ через
$$
\begin{equation*}
[A]^{\alpha}=\{x\in\mathbb{R},A(x)\geqslant \alpha\}\qquad\text{и}\qquad [A]^{0}=\overline{\{x\in\mathbb{R},A(x)\geqslant0\}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Мы называем сечение $[A]^{0}$ носителем нечеткого числа $A$ и обозначаем его через $\operatorname{supp}(A)$. Нечеткое число $A$ называется положительным, если $\operatorname{supp}(A)\subset(0,\infty)$. Обозначим через $\mathbb{R}_{F}^{+}$ пространство всех положительных нечетких чисел. Определение 2 [26]. (a) Пусть $A,B\in\mathbb{R}_{F}$, причем $[A]^{\alpha}=[A_{l}^{\alpha},A_{r}^{\alpha}]$ и $[B]^{\alpha}=[B_{l}^{\alpha},B_{r}^{\alpha}]$ для всех $\alpha\in(0,1]$. Тогда определим метрику на пространстве нечетких чисел, полагая где $\sup$ берется по всем $\alpha\in(0,1]$. (b) Пусть $(x_{n})$ – последовательность положительных нечетких чисел, а $x$ – нечеткое число. Будем говорить, что Лемма 3 [22]. Пусть $X,Y \in\mathbb{R}_{F}$, и пусть $[X]^{\alpha}=[X_{l}^{\alpha},X_{r}^{\alpha}]$, $[Y]^{\alpha}=[Y_{l}^{\alpha},Y_{r}^{\alpha}]$, $\alpha\in(0,1]$ – $\alpha$-сечения $X$ и $Y$ соответственно. Пусть $Z\in\mathbb{R}_{F}$ и $[Z]^{\alpha}=[Z_{l}^{\alpha},Z_{r}^{\alpha}]$ для всех $\alpha\in(0,1]$. Тогда $\operatorname{MIN}\{X,Y\}=Z$ (соответственно $\operatorname{MAX}\{X,Y\}=Z)$ тогда и только тогда, когда $\min\{ X_{l}^{\alpha},Y_{l}^{\alpha}\}=Z_{l}^{\alpha}$ и $\min\{ X_{r}^{\alpha},Y_{r}^{\alpha}\}=Z_{r}^{\alpha}$ (соответственно $\max\{X_{l}^{\alpha},Y_{l}^{\alpha}\}=Z_{l}^{\alpha}$ и $\max\{X_{r}^{\alpha},Y_{r}^{\alpha}\}=Z_{r}^{\alpha }$). Определение 4 [6]. Говорят, что последовательность положительных нечетких чисел $(x_{n})$ ограничена и настоятельна, если существуют $n_{0}\in\mathbb{N}$ и $C,D\in\mathbb{R}_{F}^{+}$ такие, что $\operatorname{MIN}\{x_{n},C\}=C$ и $\operatorname{MAX}\{x_{n},D\}=D$ при $n\geqslant n_{0}$. Лемма 5 [12]. Пусть $f\colon\mathbb{R}^{+}\times \mathbb{R}^{+} \times\cdots\times\mathbb{R}^{+}\to \mathbb{R}^{+}$ – непрерывная функция, а $B_{1},B_{2},\dots,B_{k}\in \mathbb{R}_{F}$. Тогда для всех $\alpha \in (0,1]$. Следующая теорема, являющаяся модификацией теоремы 1.4.8 из [27], будет полезна для доказательства наших основных результатов об уравнении (4). Теорема 6. Пусть $[a,b]$ – интервал действительных чисел, и предположим, что $f\colon [a,b]^{k}\to [a,b]$ – непрерывная функция со следующими свойствами: 3. Основные результатыВ этом пункте мы докажем наши основные результаты. Сначала мы изучим существование положительных решений уравнения (4). Мы говорим, что $(z_{n})$ является положительным решением уравнения (4), если $(z_{n})$ – последовательность положительных нечетких чисел, которая удовлетворяет уравнению (4). Теорема 7. Пусть $z_{-j}$, $j=0,1,\dots,m$, – положительные нечеткие числа. Тогда нечеткое разностное уравнение (4) имеет единственное положительное решение $(z_{n})$ для каждого набора начальных условий $z_{-j}$, $j=0,1,\dots,m$. Доказательство. Предположим, что существует последовательность нечетких чисел $(z_{n})$, удовлетворяющая уравнению (4) с начальными условиями $z_{-j}$, $j=0,1,\dots,m$. Рассмотрим $\alpha$-сечения Сейчас мы докажем, что для всех $\alpha\in(0,1]$ сечение $[L_{n}^{\alpha},R_{n}^{\alpha}]$, где $(L_{n}^{\alpha},R_{n}^{\alpha})$ – решение системы (7) с начальными условиями $(L_{j}^{\alpha},R_{j}^{\alpha})$, $j=-m,-m+1,\dots,0$, определяет решение $(z_{n})$ уравнения (4) с начальными условиями $z_{-j}$, $j=0,1,\dots,m$, такое, что
$$
\begin{equation}
\lbrack z_{n}]^{\alpha}=[L_{n}^{\alpha},R_{n}^{\alpha }],\qquad \alpha \in (0,1],\quad n=-m,-m+1,\dots\,.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Так как $A$, $B$, $z_{-j}$, $(j=0,1,\dots,m)\in\mathbb{R}_{F}^{+}$ для любых $\alpha_{1},\alpha_{2}\in(0,1]$ таких, что $\alpha_{1}\leqslant\alpha_{2}$, то
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 0&<A_{l}^{\alpha_{1}}\leqslant A_{l}^{\alpha_{2}}\leqslant A_{r}^{\alpha_{2}}\leqslant A_{r}^{\alpha 1}, \\ 0&<B_{l}^{\alpha_{1}}\leqslant B_{l}^{\alpha_{2}}\leqslant B_{r}^{\alpha_{2}}\leqslant B_{r}^{\alpha 1}, \\ 0&<L_{j}^{\alpha_{1}}\leqslant L_{j}^{\alpha_{2}}\leqslant R_{j}^{\alpha_{2}}\leqslant R_{j}^{\alpha_{1}} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9}
$$
для $j=-m,-m+1,\dots,0$. Докажем по индукции, что
$$
\begin{equation}
L_{n}^{\alpha_{1}}\leqslant L_{n}^{\alpha_{2}}\leqslant R_{n}^{\alpha_{2}}\leqslant R_{n}^{\alpha_{1}},\qquad n\in \mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Из (9) получаем, что (10) выполняется для $n=-m,-m+1,\dots,0$. Предположим, что (10) верно для $n\leqslant k$, $k\in\{1,2,\dots\}$. Из (7), (9) и (10) для $n\leqslant k$ следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, L_{k+1}^{\alpha_{1}} &=A_{l}^{\alpha_{1}}+ \frac{B_{l}^{\alpha_{1}}}{R_{k-m}^{\alpha_{1}}}\leqslant A_{l}^{\alpha_{2}}+\frac{B_{l}^{\alpha_{2}}}{R_{k-m}^{\alpha_{2}}}= L_{k+1}^{\alpha_{2}}, \\ L_{k+1}^{\alpha_{2}} &=A_{l}^{\alpha_{2}}+ \frac{B_{l}^{\alpha_{2}}}{R_{k-m}^{\alpha_{2}}}\leqslant A_{r}^{\alpha_{2}}+\frac{B_{r}^{\alpha_{2}}}{L_{k-m}^{\alpha_{2}}}= R_{k+1}^{\alpha_{2}}, \\ R_{k+1}^{\alpha_{2}} &=A_{r}^{\alpha_{2}}+ \frac{B_{r}^{\alpha_{2}}}{L_{k-m}^{\alpha_{2}}}\leqslant A_{r}^{\alpha_{1}}+\frac{B_{r}^{\alpha_{1}}}{L_{k-m}^{\alpha_{1}}}= R_{k+1}^{\alpha_{1}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, (10) выполняется. Более того, из (7) имеем
$$
\begin{equation}
L_{1}^{\alpha}=A_{l}^{\alpha}+ \frac{B_{l}^{\alpha}}{R_{-m}^{\alpha}}\,,\quad R_{1}^{\alpha}=A_{r}^{\alpha}+\frac{B_{r}^{\alpha}}{L_{-m}^{\alpha}} \qquad\text{для всех}\quad \alpha \in (0,1].
\end{equation}
\tag{11}
$$
Тогда, поскольку $A$, $B$, $z_{-j}$ $(j=0,1,\dots,m)\in\mathbb{R}_{F}^{+}$, мы получаем, что $A_{l}^{\alpha}$, $A_{r}^{\alpha}$, $B_{l}^{\alpha}$, $B_{r}^{\alpha}$, $L_{-j}^{\alpha}$, $R_{-j}^{\alpha}$, $j=0,1,\dots,m$, непрерывны слева. Поэтому из (11) мы получаем, что $L_{1}^{\alpha}$ и $R_{1}^{\alpha}$ также непрерывны слева. По индукции легко доказать, что $L_{n}^{\alpha}$ и $R_{n}^{\alpha}$ непрерывны слева для $n\in\mathbb{N}$. Теперь докажем, что множество $\overline{\bigcup_{\alpha\in(0,1]} [L_{n}^{\alpha},R_{n}^{\alpha}]}$ компактно. Достаточно доказать ограниченность множества $\bigcup_{\alpha\in(0,1]}[L_{n}^{\alpha},R_{n}^{\alpha}]$. Пусть $n=1$. Так как $A, B, z_{-j}\in\mathbb{R}_{F}^{+}$, $j=0,1,\dots,m$, то существуют постоянные $M_{A},N_{A},M_{B},N_{B},M_{-j},N_{-j}>0$, $j=0,1,\dots,m$, такие, что
$$
\begin{equation}
[A_{l}^{\alpha},A_{r}^{\alpha}]\subset [M_{A},N_{A}],\qquad [B_{l}^{\alpha},B_{r}^{\alpha}]\subset [M_{B},N_{B}],\qquad [L_{-j}^{\alpha},R_{-j}^{\alpha}]\subset [M_{-j},N_{-j}],
\end{equation}
\tag{12}
$$
при $j=0,1,\dots,m$. Следовательно, исходя из (11) и (12), легко доказать, что
$$
\begin{equation}
\lbrack L_{1}^{\alpha },R_{1}^{\alpha }]\subset \biggl[ M_{A}+\frac{M_{B}}{N_{-m}}\,,N_{A}+ \frac{N_{B}}{M_{-m}}\biggr],
\end{equation}
\tag{13}
$$
для всех $\alpha\in(0,1]$, откуда видно, что
$$
\begin{equation}
\bigcup_{\alpha \in (0,1]}[L_{1}^{\alpha},R_{1}^{\alpha}]\subset \biggl[M_{A}+\frac{M_{B}}{N_{-m}}\,,N_{A}+ \frac{N_{B}}{M_{-m}}\biggr],
\end{equation}
\tag{14}
$$
для всех $\alpha\in(0,1]$. Кроме того, из (14) следует, что $\overline{\bigcup_{\alpha \in (0,1]} [L_{1}^{\alpha},R_{1}^{\alpha}]}$ компактно и $\overline{\bigcup_{\alpha \in (0,1]}[L_{1}^{\alpha}, R_{1}^{\alpha}]}\subset (0,\infty)$. По индукции легко доказать, что
$$
\begin{equation}
\overline{\bigcup_{\alpha \in (0,1]}[L_{n}^{\alpha}, R_{n}^{\alpha}]}\quad\text{компактно},\quad \overline{\bigcup_{\alpha \in (0,1]}[L_{n}^{\alpha},R_{n}^{\alpha}]} \subset (0,\infty)\qquad\text{при}\quad n\in \mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{15}
$$
Следовательно, используя (10), (15) и тот факт, что $L_{n}^{\alpha},R_{n}^{\alpha}$ непрерывны слева, мы получаем, что сечения $[L_{n}^{\alpha},R_{n}^{\alpha}]$ определяют такую последовательность положительных нечетких чисел $(z_{n})$, что выполняется (8). Докажем теперь, что последовательность $(z_{n})$ является решением уравнения (4) с начальными условиями $z_{-j}$, $j=0,1,\dots,m$. Так как
$$
\begin{equation*}
\lbrack z_{n+1}]^{\alpha }=[L_{n+1}^{\alpha },R_{n+1}^{\alpha }]= \biggl[A_{l}^{\alpha }+\frac{B_{l}^{\alpha }}{R_{n-m}^{\alpha}}\,, A_{r}^{\alpha}+\frac{B_{r}^{\alpha }}{L_{n-m}^{\alpha}}\biggr]= \biggl[ A+\frac{B}{z_{n-m}}\biggr]^{\alpha},
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $\alpha\in(0,1]$, то $(z_{n})$ является решением уравнения (4) с начальными условиями $z_{-j}$, $j=0,1,\dots,m$. Предположим, что существует другое решение $(\widetilde{z}_{n})$ уравнения (4) с начальными условиями $z_{-j}$, $j=0,1,\dots,m$. Тогда легко доказать, что
$$
\begin{equation}
\lbrack \widetilde{z}_{n}]^{\alpha}=[L_{n}^{\alpha},R_{n}^{\alpha}] \qquad\text{при}\quad \alpha \in (0,1],\quad n\in \mathbb{N}_{0}.
\end{equation}
\tag{16}
$$
Из (8) и (16) получаем, что $[z_{n}]^{\alpha}=[\widetilde{z}_{n}]^{\alpha}$ при $\alpha\in(0,1]$ и $n=-m,-m+1,\dots$ , откуда следует, что $z_{n}=\widetilde{z}_{n}$, $n=-m,-m+1,\dots$ . Теорема доказана. Для изучения дальнейшей динамики уравнения (4) воспользуемся результатами о системе уравнений
$$
\begin{equation}
x_{n+1}=a_{1}+\frac{b_{1}}{y_{n-m}}\,,\quad y_{n+1}=a_{2}+\frac{b_{2}}{x_{n-m}}\,,\qquad n\in \mathbb{N}_{0},
\end{equation}
\tag{17}
$$
где параметры $a_{1}$, $b_{1}$, $a_{2}$, $b_{2}$ и начальные условия $x_{-j}$, $y_{-j}$, $j=0,1,\dots,m$, – положительные действительные числа. Точки равновесия системы (17) являются решениями уравнений
$$
\begin{equation}
\overline{x}=a_{1}+\frac{b_{1}}{\overline{y}}\qquad\text{и}\qquad \overline{y}=a_{2}+\frac{b_{2}}{\overline{x}}\,,
\end{equation}
\tag{18}
$$
из которых получаем
$$
\begin{equation*}
\overline{x}=\frac{a_{1}a_{2}+b_{1}-b_{2}\pm \sqrt{\Delta }}{2a_{2}} \qquad\text{и}\qquad \overline{y}= \frac{a_{1}a_{2}+b_{2}-b_{1}\pm \sqrt{\Delta}}{2a_{1}}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Delta=(a_{1}a_{2}+b_{1}-b_{2})^{2}+4a_{1}a_{2}b_{2}$. Следовательно, система (17) имеет единственную положительную точку равновесия, заданную формулой
$$
\begin{equation*}
(\overline{x},\overline{y})= \biggl(\frac{a_{1}a_{2}+b_{1}-b_{2}+\sqrt{\Delta }}{2a_{2}}\,, \frac{a_{1}a_{2}+b_{2}-b_{1}+\sqrt{\Delta }}{2a_{1}}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 8. Точка равновесия $(\overline{x},\overline{y})$ системы (17) локально асимптотически устойчива. Доказательство. Перепишем (17) в виде Лемма 9. Каждое положительное решение системы (17) ограничено и настоятельно. Доказательство. Предположим, что $\{(x_{n},y_{n})\}_{n=-m}^{\infty}$ – положительное решение системы (17). Тогда из (17) следует, что Лемма 10. Точка равновесия $(\overline{x},\overline{y})$ системы (17) глобально асимптотически устойчива. Доказательство. В лемме 8 показано, что точка равновесия $(\overline{x},\overline{y})$ системы (17) локально асимптотически устойчива. Поэтому достаточно показать, что Лемма 11. Система (17) имеет колебательные решения, колеблющиеся вокруг положительной точки равновесия $(\overline{x},\overline{y})$. При этом самый длинный полуцикл решений имеет длину $m+1$. Доказательство. Применяя разложение индексов $n\to (m+1)n+j$, $j= 0,1, \dots,m$, к системе (17) для $m$, получаем системы Лемма 12. Пусть имеем $(x_{-j},y_{-j}) \in [\overline{x},a_{1}+b_{1}/a_{2}) \times (a_{2},\overline{y}\,]$ (соответственно $(x_{-j},y_{-j}) \in (a_{1},\overline{x}\,]\times [\overline{y},a_{2}+b_{2}/a_{1})$). Тогда решения системы (17) имеют инвариантное множество $[\overline{x},\infty) \times (0,\overline{y}\,]$ (соответственно $(0,\overline{x}\,] \times [\overline{y},\infty)$). Доказательство. В лемме 11 показано, что каждое решение системы (17) ограничено и настоятельно. Поэтому нет необходимости предъявлять верхний и нижний пределы решения. Пусть $(x_{n},y_{n})$ – такое решение системы (17), что $(x_{-j},y_{-j}) \in [\overline{x},a_{1}+b_{1}/a_{2}) \times (a_{2},\overline{y}\,]$ или Из предложений 2.2 и 2.3 из [6] можно получить следующую теорему. Теорема 13. Рассмотрим уравнение (4), где $A,B\in\mathbb{R}_{F}^{+}$. Тогда верны следующие утверждения: В последней теореме этой статьи мы изучим колебательное поведение положительных решений уравнения (4). Теорема 14. Рассмотрим уравнение (4), где $A,B\in\mathbb{R}_{F}^{+}$. Тогда уравнение (4) имеет колебательные решения, колеблющиеся вокруг положительного равнове- сия $\overline{z}$ такого, что $[\overline{z}]^{\alpha}=[L^{\alpha},R^{\alpha}]$ для $\alpha\in(0,1]$. Доказательство. Предположим, что Для $L_{-j}^{\alpha}\leqslant L^{\alpha}$, $R_{-j}^{\alpha}\leqslant R^{\alpha}$, $\alpha\in(0,1]$, доказательство аналогично, поэтому мы его опускаем. 4. Численные примерыВ этом пункте для проверки полученных результатов мы приводим несколько численных примеров решений уравнения (4) при $m=2$, $\alpha=0.1$, $\alpha=0.5$, $\alpha=0.9$ и при следующих начальных условиях:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, z_{-2}(x)&=\begin{cases} \dfrac{5x-0.5}{2}\,, & 0.1\leqslant x\leqslant 0.5, \\ \dfrac{4.5-5x}{2}\,, & 0.5\leqslant x\leqslant 0.9, \end{cases} \\ z_{-1}(x)&=\begin{cases} 20x-10, & 0.5\leqslant x\leqslant 0.55, \\ 12-20x, & 0.55\leqslant x\leqslant 0.6, \end{cases} \\ z_{0}(x)&=\begin{cases} 20x-4, & 0.2\leqslant x\leqslant 0.25, \\ 6-20x, & 0.25\leqslant x\leqslant 0.3. \end{cases} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{33}
$$
Из (33) получаем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \ [z_{-2}]^{\alpha}=\biggl[\frac{2\alpha+0.5}{5}\,, \frac{4.5-2\alpha}{5}\biggr],\qquad [z_{-1}]^{\alpha}=\biggl[\frac{\alpha+10}{20}\,, \frac{12-\alpha }{20}\biggr], \\ [z_{0}]^{\alpha}=\biggl[\frac{\alpha +4}{20}, \frac{6-\alpha}{20}\biggr] \end{gathered}
\end{equation}
\tag{34}
$$
при $\alpha\in(0,1]$. Тогда мы имеем следующую таблицу для различных значений $\alpha$:
$$
\begin{equation*}
\begin{array}{ccccccc} \alpha & L_{-2}^{\alpha } & L_{-1}^{\alpha } & L_{0}^{\alpha } & R_{-2}^{\alpha } & R_{-1}^{\alpha } & R_{0}^{\alpha } \\ \hline 0.1 & 0.14 & 0.505 & 0.205 & 0.86 & 0.595 & 0.295 \\ 0.5 & 0.3 & 0.525 & 0.225 & 0.7 & 0.575 & 0.275 \\ 0.9 & 0.46 & 0.545 & 0.245 & 0.54 & 0.555 & 0.255 \end{array}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим уравнение (4), где $z_{-2}(x)$, $z_{-2}(x)$, $z_{0}(x)$ удовлетворяют (33) и $A$, $B$ задаются формулами
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, A&=\begin{cases} x-1, & 1\leqslant x\leqslant 2, \\ 3-x, & 2\leqslant x\leqslant 3, \end{cases} \\ B&=\begin{cases} 4x-1, & 0.25\leqslant x\leqslant 0.5, \\ 3-4x, & 0.5\leqslant x\leqslant 0.75. \end{cases} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{35}
$$
Из (35) получаем $[A]^{\alpha}=[\alpha+1,3-\alpha]$ и $[B]^{\alpha}=[(\alpha+1)/4,(3-\alpha)/4]$. Тогда мы имеем следующую таблицу:
$$
\begin{equation*}
\begin{array}{ccccccc} \alpha & A_{l}^{\alpha } & A_{r}^{\alpha } & B_{l}^{\alpha } & B_{r}^{\alpha} & L^{\alpha } & R^{\alpha } \\ \hline 0.1 & 1.1 & 2.9 & 0.275 & 0.725 & 1.178 & 3.516 \\ 0.5 & 1.5 & 2.5 & 0.375 & 0.625 & 1.63 & 2.884 \\ 0.9 & 1.9 & 2.1 & 0.475 & 0.525 & 2.102 & 2.35 \end{array}
\end{equation*}
\notag
$$
По теореме 7 существует единственное решение. По теореме 13 каждое положительное решение нечеткого разностного уравнения (4) ограничено, настоятельно и стремится к положительному равновесию $\overline{z}$ при $n\to \infty$ (см. рис. 1–3). 5. ЗаключениеВ этой работе исследовано поведение положительных решений нечеткого разностного уравнения (4). Показано, что каждое положительное решение уравнения (4) ограничено, настоятельно и стремится к его единственному положительному равновесию. Теоретические результаты подтверждаются численным примером, в котором $m=2$, $\alpha=0.1$, $\alpha=0.5$, $\alpha=0.9$. Данная работа расширяет результаты исследований в [6]–[8]. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{YalEl-Tol23} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|