| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Неравенство Харди в гранд-пространствах Лебега с переменным показателем для невозрастающих функций М. Сингхa, П. Хаинb a University of Delhi, Индия b South Asian University, Индия
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623010315 
Реферативные базы данных:
 1. ВведениеПод весовой функцией или просто весом мы подразумеваем измеримую неотрицательную локально интегрируемую функцию. Вес $w$ принадлежит хорошо известному классу $B_p(\mathbb{R}_+)$, где $0<p<\infty$, если для всех $r>0$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
\int_r^\infty\biggl(\frac{r}{x}\biggr)^p w(x)\,dx\leqslant c \int_0^r w(x)\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Ариньо и Мукенхупт в статье [1] (см. также [2]) показали, что класс весов $B_p(\mathbb{R}_+)$ характеризует неравенство Харди
$$
\begin{equation}
\int_0^\infty(Hf(x))^p w(x)\, dx \leqslant C \int_0^\infty f(x)^p w(x)\,dx
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
для всех неотрицательных невозрастающих функций $f$ на $\mathbb{R}_+$, где $H$ обозначает оператор усреднения Харди Они фактически доказали, что выполнение неравенства (1.1) для всех неотрицательных невозрастающих $f$ равносильно ограниченности максимального оператора между классическими пространствами Лоренца. В настоящей статье мы рассматриваем пространство Лебега с переменным показателем. Для функции $p\colon\mathbb{R}_+\to [1,\infty)$ и веса $w$ через $L^{p(\,\cdot\,)}_w(\mathbb{R}_+)$ мы обозначаем весовое пространство Лебега с переменным показателем, которое состоит из всех измеримых функций $f$ на $\mathbb{R}_+$ с конечной модулярой
$$
\begin{equation*}
\tau_{p(\,\cdot\,),w}(f):=\int_{\mathbb{R}_+}|f(x)|^{p(x)}w(x)\,dx < \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Это банаховы пространства с нормой
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{L^{p(\,\cdot\,)}_w(\mathbb{R}_+)}:= \inf\biggl\{\lambda>0:\tau_{p(\,\cdot\,),w} \biggl(\frac{f}{\lambda}\biggr) \leqslant 1\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пространства Лебега с переменным показателем (не весовые) были определены Ценовым в 1961 г. [3] (см. также [4], [5]), однако они начали привлекать внимание математиков намного позже. Исчерпывающую информацию по этому вопросу можно найти в книге [6]. В статье [7] Нойгебауэр исследовал неравенство (1.1) в контексте пространства Лебега с переменным показателем $L^{p(\,\cdot\,)}_w(\mathbb{R}_+)$. Для этой цели он определил класс весов $B_{p(\,\cdot\,)}(\mathbb{R}_+)$, который соответствует классу $B_p(\mathbb{R}_+)$ в случае постоянного показателя $p(\,\cdot\,)$. В статье [8] Фиоренца, Кокилашвили и Месхи определили весовые пространства Лебега с переменным показателем на ограниченном открытом интервале $\Omega:=(a,b)\subset \mathbb{R}_+$ и исследовали ограниченность максимального оператора со степенными весами. Пусть $p\colon\Omega \to (1,\infty)$. Положим
$$
\begin{equation*}
p_o(\Omega):=\inf_{x \in \Omega}p(x)\qquad\text{и}\qquad p^o(\Omega):=\sup_{x \in \Omega}p(x),
\end{equation*}
\notag
$$
так что
$$
\begin{equation*}
1< p_o(\Omega) \leqslant p(x) \leqslant p^o(\Omega) < \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Для $\theta >0$ весовое гранд-пространство Лебега с переменным показателем $L^{p(\,\cdot\,),\theta}_w(\Omega)$ – это множество всех измеримых функций $f \in \bigcap_{0<\varepsilon<p_o(\Omega)-1} L^{p(\,\cdot\,)- \varepsilon}_w(\Omega)$ на $\Omega$, удовлетворяющих условию
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{L^{p(\,\cdot\,),\theta}_w(\Omega)}:= \sup_{0<\varepsilon<p_o(\Omega)-1}\varepsilon^{\theta/(p_o-\varepsilon)} \|f\|_{L^{p(\,\cdot\,)-\varepsilon}_w(\Omega)} < \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Для $p(\,\cdot\,) \equiv p$, где $p$ – константа и $w\equiv 1$ эти пространства определили Грако, Иванец и Сбордоне [9]; затем Иванец и Сбордоне определили их для $\theta=1$ (они использовали обозначение $L^{p)}(\Omega)$) с целью поиска минимальных условий интегрируемости якобиана [10]. Соответствующие весовые пространства $L_w^{p)}(\Omega)$ были определены в статье [11], в которой была исследована ограниченность оператора усреднения Харди и максимальный оператор в этих пространствах. Более подробную информацию о пространствах $L^{p)}(\Omega)$ и $L_w^{p)}(\Omega)$ можно найти в работах [12]–[24]. Особо отметим статьи [16] и [23], в которых доказано, что неравенство (1.1) (рассматриваемое на интервале $I:=(0,1)$) равносильно неравенству
$$
\begin{equation}
\|Hf\|_{L_w^{p)}(I)}\leqslant C\|f\|_{L_w^{p)}(I)} \quad \text{для неотрицательных невозрастающих $f$},
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где $1<p<\infty$; таким образом, оба неравенства (1.1) и (1.2) характеризуются классом $B_p$ весов, определенных на $\mathbb{R}_+$ и $I$ соответственно. Эти исследования вдохновили нас на изучение неравенства (1.2) для гранд-пространства Лебега $L^{p(\,\cdot\,),\theta}_w(\Omega)$ в терминах класса весов $B_{p(\,\cdot\,)}(\Omega)$. С помощью известной поточечной оценки, связывающей оператор усреднения Харди и дробный оператор Харди типа Римана–Лиувилля, мы также получаем аналогичные результаты для последнего оператора. 2. Пространства $L^{p(\,\cdot\,)}_w$ и $L^{p(\,\cdot\,),\theta}_w$ и класс весов $B_{p(\,\cdot\,)}$Всюду ниже через $J$ мы обозначаем интервал $(0,b)$, $0<b<\infty$. Для краткости мы обозначаем пространство Лебега с переменным показателем и гранд-пространство Лебега с переменным показателем на $J$ через $L^{p(\,\cdot\,)}_w$ и $L^{p(\,\cdot\,),\theta}_w$ соответственно. Мы будем указывать аргумент только при рассмотрении областей определения, отличных от $J$. Положим
$$
\begin{equation*}
p_o:=\inf_{x \in J}p(x)\qquad\text{и}\qquad p^o:=\sup_{x \in J}p(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $\mathcal{P}:=\mathcal{P}(J)$ семейство всех вещественнозначных измеримых функций на $J$, для которых $1< p_o\leqslant p(x)\leqslant p^o<\infty$. Пусть $w$ – вес на $J$, удовлетворяющий условию $0< \int_0^r w(x)\,dx$ для всех $r \in J$. Мы будем писать Следующие предложения доказываются по аналогии с предложением 2.21 и его следствиями в книге [6]. Предложение 2.1. Пусть $p(\,\cdot\,) \in \mathcal P$ и $f \in L^{p(\,\cdot\,)}_w$, причем $\|f\|_{L^{p(\,\cdot\,)}_w} \ne 0$. Тогда Предложение 2.2. Пусть $p(\,\cdot\,) \in \mathcal P$ и $f \in L^{p(\,\cdot\,)}_w$, причем $0 < \|f\|_{L^{p(\,\cdot\,)}_w}\leqslant 1$. Тогда Предложение 2.3. Обозначим через $\chi_J$ характеристическую функцию множества $J$. Тогда $\chi_J \in L^{p(\,\cdot\,)}_w$ и Предложение 2.4. Пусть $p(\,\cdot\,),q(\,\cdot\,) \in \mathcal P$ таковы, что $p(x) \leqslant q(x)$ для всех $x \in J$. Тогда $L^{q(\,\cdot\,)}_w \subset L^{p(\,\cdot\,)}_w$ и выполнено неравенство Доказательство. Пусть $p(\,\cdot\,),q(\,\cdot\,) \in \mathcal P$ таковы, что $p(\,\cdot\,) \leqslant q(\,\cdot\,)$. Поскольку норма однородна, достаточно доказать выполнение неравенства (2.1) для функций $f \in L^{q(\,\cdot\,)}_w$ со свойством $\|f\|_{L^{q(\,\cdot\,)}_w} \leqslant 1$. Если $\|f\|_{L^{q(\,\cdot\,)}_w} \leqslant 1$, то по предложению 2.2 имеем $\tau_{q(\,\cdot\,), w}(f) \leqslant 1$. Следовательно,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\int_J|f(x)|^{p(x)}w(x)\,dx \\ \nonumber &\qquad=\int_{\{x \in J:|f(x)| \leqslant 1\}} |f(x)|^{p(x)}w(x)\,dx+\int_{\{x \in J:|f(x)| > 1\}} |f(x)|^{p(x)}w(x)\,dx \\ \nonumber &\qquad \leqslant \int_{\{x\in J:|f(x)| \leqslant 1\}}w(x)\,dx+ \int_{\{x \in J:|f(x)| > 1\}}|f(x)|^{q(x)}w(x)\,dx \\ &\qquad \leqslant \int_J w(x)\,dx+\tau_{q(\,\cdot\,),w}(f) \leqslant W(J)+1=:\lambda. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Отсюда и из выпуклости модуляры получаем Таким образом, $f \in L^{p(\,\cdot\,)}_w$ и $\|f\|_{L^{p(\,\cdot\,)}_w} \leqslant \lambda$, откуда вытекает требуемое утверждение. Скажем, что вес $w$ принадлежит классу $B_{p(\,\cdot\,)}:=B_{p(\,\cdot\,)}(J)$, если для всех $r \in J$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
\int_r^b\biggl(\frac{r}{x}\biggr)^{p(x)}w(x)\,dx \leqslant c\int_0^r w(x)\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $\|w\|_{B_{p(\,\cdot\,)}}$ постоянную, соответствующую классу $B_{p(\,\cdot\,)}$ и определенную формулой
$$
\begin{equation*}
\|w\|_{B_{p(\,\cdot\,)}}:=\inf\biggl\{d>0:\int_0^r w(x)\,dx+ \int_r^b\biggl(\frac{r}{x}\biggr)^{p(x)}w(x)\,dx \leqslant d\int_0^r w(x)\,dx, \ r \in J\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Ниже мы перечисляем некоторые свойства класса весов $B_{p(\,\cdot\,)}$:
Обозначим через $\mathcal{D}(\mathbb{R}_+)$ семейство всех невозрастающих измеримых функций $f\colon\mathbb{R}_+\to \mathbb{R}_+$, удовлетворяющих условию $\lim_{x\to 0^+}f(x) \leqslant 1$. Соответствующее семейство функций на интервале $J$ обозначим через $\mathcal{D}(J)$. Следующую теорему доказал Нойгебауэр [7] с целью характеризации ограниченности оператора усреднения Харди $H$ для неотрицательных невозрастающих функций на $\mathbb{R}_+$ в терминах класса весов $B_{p(\,\cdot\,)}(\mathbb{R}_+)$. Константа $c_*$ была вычислена в [25]. Теорема A. Пусть $p(\,\cdot\,) \in \mathcal P(\mathbb R^+)$ и $p(\,\cdot\,)$ – неубывающие показатели. Тогда для некоторой положительной константы $c_* < \infty$ выполнено неравенство Ниже мы доказываем версию теоремы A для функций, определенных на конечном интервале. Теорема 2.5. Пусть $ p(\,\cdot\,) \in \mathcal P$ – неубывающий показатель. Тогда для некоторой положительной константы $c_* < \infty$ выполнено неравенство при всех $f\in \mathcal{D}(J)$, если и только если Доказательство. Необходимость доказывается подстановкой тестовой функции $f=\chi_{(0,r)}$, $r \in J$, в (2.3). Докажем достаточность. Пусть $w \in B_{p(\,\cdot\,)}$ и $f\in \mathcal{D}(J)$. Рассмотрим
$$
\begin{equation*}
\widetilde{f}=f \chi_J,\qquad \widetilde{w}=w \chi_J,\qquad \widetilde{p}=p\chi_J+p^o\chi_{\overline J},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\overline J$ обозначает дополнение множества $J$ в $\mathbb R^+$. Ясно, что $\widetilde{f} \in \mathcal{D}(\mathbb R^+)$ и $\widetilde{p}(\,\cdot\,)$ – неубывающий показатель, удовлетворяющий условию
$$
\begin{equation*}
1 < \widetilde{p}_o(\mathbb R^+) \leqslant \widetilde{p}(x) \leqslant \widetilde{p}^o(\mathbb R^+)< \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, что $\widetilde{w} \in B_{\widetilde{p}(\,\cdot\,)}(\mathbb R^+)$. Поскольку $w \in B_{p(\,\cdot\,)}$, для $0<r<b$ имеем
$$
\begin{equation}
\int_r^\infty\biggl(\frac{r}{x}\biggr)^{\widetilde{p}(x)} \widetilde{w}(x)\,dx=\int_r^b \biggl(\frac{r}{x}\biggr)^{\widetilde{p}(x)}\widetilde{w}(x)\,dx+ \int_b^\infty\biggl(\frac{r}{x}\biggr)^{\widetilde{p}(x)} \widetilde{w}(x)\,dx \leqslant c\int_0^r\widetilde{w}(x)\,dx,
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
а для $r \geqslant b$ имеем
$$
\begin{equation*}
\int_r^\infty \biggl(\dfrac{r}{x}\biggr)^{\widetilde{p}(x)}\widetilde{w}(x)\,dx=0\qquad \text{и}\qquad \int_0^r \widetilde{w}(x)\,dx=W(J),
\end{equation*}
\notag
$$
так что
$$
\begin{equation}
\int_r^\infty\biggl(\frac{r}{x}\biggr)^{\widetilde{p}(x)} \widetilde{w}(x)\,dx \leqslant \int_0^r \widetilde{w}(x)\,dx\qquad\text{для всех}\quad r \geqslant b.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Объединяя (2.4) и (2.5), получаем
$$
\begin{equation*}
\int_r^\infty \biggl(\frac{r}{x}\biggr)^{\widetilde{p}(x)} \widetilde{w}(x)\,dx \leqslant c_1\int_0^r \widetilde{w}(x)\,dx\qquad\text{для всех}\quad r > 0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $c_1:=\max\{1,c\}$. Ясно, что $\|w\|_{B_{\widetilde{p}(\,\cdot\,)}(\mathbb R^+)}= \|w\|_{B_{p(\,\cdot\,)}}$. По теореме A существует положительная константа $c_* < \infty$, для которой где Из того, что $\widetilde{w}=w \chi_J$ и $\|w\|_{B_{\widetilde{p}(\,\cdot\,)}(\mathbb R^+)}= \|w\|_{B_{p(\,\cdot\,)}}$, вытекает доказываемое утверждение. Замечание 2.6. Полагая в теореме 2.5 $\lambda_0=\alpha\|w\|_{B_{p(\,\cdot\,)}}$, где $\alpha >1$, получаем $c_*=\alpha^{p^o}\|w\|_{B_{p(\,\cdot\,)}}^{p^o}/(\alpha-1)$. Напомним, что для постоянного показателя $p$ класс $B_p(\mathbb{R}_+)$ удовлетворяет условию $B_p(\mathbb{R}_+)\Rightarrow B_{p-\varepsilon}(\mathbb{R}_+)$. В случае переменного показателя подобное свойство было доказано для класса $B_{p(\,\cdot\,)}(\mathbb{R}_+)$ [25], [26]. Его можно также доказать для класса $B_{p(\,\cdot\,)}$ при помощи теоремы 2.5, следуя схеме доказательства теоремы 2.9 из [25] для $\phi\equiv 1$. Ниже мы приводим точную формулировку этого свойства. Предложение 2.7. Пусть $p(\,\cdot\,) \in \mathcal P$ – неубывающий показатель. Если $w \in B_{p(\,\cdot\,)}$, то $w \in B_{p(\,\cdot\,)-\sigma}$ для некоторого $\sigma>0$. Кроме того, где $0<\sigma<(\alpha-1)/(\alpha^{p^o} \|w\|_{B_{p(\,\cdot\,)}}^{p^o})<1$ и $\alpha>1$ – универсальная константа. В заключение этого пункта мы сформулируем следующую теорему (для интервала $J$), которая доказывается подобно аналогичному утверждению для $\mathbb{R}_+$ [7; лемма 5]. Теорема 2.8. Пусть $p(\,\cdot\,) \in\mathcal{P}$ и $f:J\to \mathbb{R}_+$, $\|f\|_{L^{p(\,\cdot\,)}_w}>0$. Тогда для любого положительного числа $a<\infty$ существует положительное $\kappa<\infty$ такое, что $\|f\|_{L^{p(\,\cdot\,)}_{\kappa w}}=a$. 3. Неравенство Харди на $L^{p(\,\cdot\,),\theta}_w$ для невозрастающих функцийС помощью теоремы 2.5 можно распространить теорему 4 из [7], доказанную в [7] для функций на $\mathbb{R}_+$, на функции, определенные на конечных интервалах. Соответствующий результат формулируется следующим образом. Теорема 3.1. Пусть $p(\,\cdot\,) \in \mathcal P$ и $w$ – вес. Предположим, что для некоторой константы $1 \leqslant c_* < \infty$ для всех $f\in \mathcal D(J)$ выполнено неравенство Тогда для всех $f \in \mathcal D(J)$, удовлетворяющих условию $\|f\|_{L^{p(\,\cdot\,)}_w} \geqslant 1/c_*$. Следующую теорему доказал Нойгебауэр в [7]. Теорема B. Пусть $p(\,\cdot\,) \in \mathcal P(\mathbb{R}_+)$ – неубывающий показатель и $w$ – вес, определенный на $\mathbb R^+$. Тогда для каждого $0< \gamma \leqslant 1$ существует константа $1 \leqslant C(\gamma) < \infty$ такая, что для всех $f \in \mathcal D(\mathbb R^+)$ и $0< \sigma < \infty$, удовлетворяющих условию В этом пункте мы получим результаты, частично распространяющие теорему B на гранд-пространства Лебега с переменным показателем. В направлении достаточности получается следующая теорема. Теорема 3.2. Пусть $p(\,\cdot\,)\in \mathcal P$ – неубывающий показатель и $w \in B_{p(\,\cdot\,)}$. Тогда для любых положительных чисел $\gamma \leqslant 1$ и $\delta <p_o-1$ выполнено неравенство при любых $0<\kappa\leqslant 1$ и $f \in \mathcal D(J)$, удовлетворяющих условию $\|f\|_{L^{p(\,\cdot\,)-\delta}_{\kappa w}}\geqslant\gamma$, где и $\alpha >1$ – универсальная константа. Доказательство. Пусть $0< \gamma \leqslant 1$, $0< \delta <1$ и $w \in B_{p(\,\cdot\,)}$. Сначала рассмотрим случай, когда $\kappa=1$. Предположим, что функция $f \in \mathcal D(J)$ такова, что $\|f\|_{L^{p(\,\cdot\,)-\delta}_{w}}\geqslant \gamma$. Поскольку $w \in B_{p(\,\cdot\,)}$, в силу предложения 2.7 существует положительное число $\sigma <1$, для которого $w \in B_{p(\,\cdot\,)-\sigma}$. Положим $\eta:=\min\{\sigma,\delta,p_o-1\}$. Из монотонности свойства (P2) класса весов $B_{p(\,\cdot\,)}$ вытекает, что $w \in B_{p(\,\cdot\,)-\varepsilon}$ для всех $\varepsilon$, $0< \varepsilon \leqslant \eta$. По теореме 2.5 выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
\int_J(Hf(x))^{p(x)-\varepsilon}w(x)\,dx \leqslant c(p(\,\cdot\,)-\varepsilon,\alpha,w)\int_J f(x)^{p(x)-\varepsilon} w(x)\,dx,
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
где $c(p(\,\cdot\,)-\varepsilon,\alpha,w)=\alpha^{p^o-\varepsilon} \|w\|^{p^o-\varepsilon}_{B_{p(\,\cdot\,)-\varepsilon}}/(\alpha-1)$ и $\alpha>1$ – универсальная константа. Для $0< \varepsilon \leqslant \eta$ в силу свойств (P1) и (P2) класса весов $B_{p(\,\cdot\,)}$ имеем
$$
\begin{equation*}
\|w\|^{p^o-\varepsilon}_{B_{p(\,\cdot\,)-\varepsilon}} \leqslant \|w\|^{p^o}_{B_{p(\,\cdot\,)}},
\end{equation*}
\notag
$$
так что
$$
\begin{equation}
c(p(\,\cdot\,)-\varepsilon,\alpha,w) \leqslant \frac{\alpha^{p^o}\|w\|^{p^o}_{B_{p(\,\cdot\,)}}}{\alpha-1}\,.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
c(p(\,\cdot\,),\alpha,w,\gamma):= \max\biggl\{\frac{\alpha^{p^o}\|w\|^{p^o}_{B_{p(\,\cdot\,)}}} {\alpha-1}\,,\frac{1+W(J)}{\gamma}\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что $c(p(\,\cdot\,),\alpha,w,\gamma)>1$. Значит, из формулы (3.3) в (3.2) следует неравенство
$$
\begin{equation}
\int_J(Hf(x))^{p(x)-\varepsilon}w(x)\,dx \leqslant c(p(\,\cdot\,),\alpha,w,\gamma)\int_J f(x)^{p(x)- \varepsilon} w(x)\,dx\quad \text{для всех}\quad 0 <\varepsilon\leqslant \eta.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Для $0 <\varepsilon\leqslant \eta<\delta$ имеем $p(x)-\delta<p(x)-\varepsilon$. Следовательно, по предложению 2.4
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{L^{p(\,\cdot\,)-\delta}_w} \leqslant (1+W(J)) \|f\|_{L^{p(\,\cdot\,)-\varepsilon}_w}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, для любых $0 <\varepsilon\leqslant \eta$ справедлива оценка
$$
\begin{equation}
\frac{1}{c(p(\,\cdot\,),\alpha,w,\gamma)} \leqslant \frac{\gamma}{1+W(J)} \leqslant \|f\|_{L^{p(\,\cdot\,)-\varepsilon}_w}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
при всех $f \in \mathcal D(J)$ со свойством $\|f\|_{L^{p(\,\cdot\,)-\delta}_w} \geqslant \gamma$. Используя неравенства (3.4) и (3.5) и теорему 3.1, получаем
$$
\begin{equation}
\|Hf\|_{L^{p(\,\cdot\,)-\varepsilon}_{w}} \leqslant c(p(\,\cdot\,),\alpha,w,\gamma) \|f\|_{L^{p(\,\cdot\,)-\varepsilon}_{w}}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
для всех $0 <\varepsilon\leqslant \eta$ и $f \in \mathcal D(J)$, удовлетворяющих условию $\|f\|_{L^{p(\,\cdot\,)-\delta}_w} \geqslant \gamma$. Если $\eta <\varepsilon < p_o-1$, то $p(x)-\varepsilon<p(x)-\eta$, так что в силу предложения 2.4 имеем
$$
\begin{equation}
\|Hf\|_{L^{p(\,\cdot\,)-\varepsilon}_w} \leqslant (1+W(J))\|Hf\|_{L^{p(\,\cdot\,)-\eta}_w}.
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Используя оценки (3.6) и (3.7), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|Hf\|_{L^{p(\,\cdot\,),\theta}_{w}} \\ &\quad\leqslant \max\biggl\{\,\sup_{0<\varepsilon \leqslant \eta} \varepsilon^{\theta/(p_o-\varepsilon)}\|Hf\|_{L^{p(\,\cdot\,)- \varepsilon}_w},\sup_{\eta<\varepsilon<p_o-1} \varepsilon^{\theta/(p_o-\varepsilon)} \|Hf\|_{L^{p(\,\cdot\,)-\varepsilon}_w}\biggr\} \\ &\quad \leqslant \max\biggl\{\,\sup_{0<\varepsilon \leqslant \eta} \varepsilon^{\theta/(p_o-\varepsilon)}\|Hf\|_{L^{p(\,\cdot\,)- \varepsilon}_w}, \sup_{\eta<\varepsilon<p_o-1} \varepsilon^{\theta/(p_o-\varepsilon)}(1+W(J)) \|Hf\|_{L^{p(\,\cdot\,)-\eta}_w}\biggr\} \\ &\quad \leqslant \max\biggl\{1,\biggl(\,\sup_{\eta<\varepsilon<p_o-1} \varepsilon^{\theta/(p_o-\varepsilon)}\biggr) \frac{1+W(J)}{\eta^{\theta/(p_o-1)}}\biggr\} \sup_{0<\varepsilon \leqslant \eta} \varepsilon^{\theta/(p_o-\varepsilon)} \|Hf\|_{L^{p(\,\cdot\,)-\varepsilon}_w} \\ &\quad \leqslant \max\biggl\{1,\biggl(\,\sup_{\eta<\varepsilon<p_o-1} \varepsilon^{\theta/(p_o-\varepsilon)}\biggr) \frac{1+W(J)}{\eta^{\theta/(p_o-1)}} \biggr\}c(p(\,\cdot\,),\alpha,w,\gamma) \sup_{0<\varepsilon \leqslant \eta} \varepsilon^{\theta/(p_o-\varepsilon)} \|f\|_{L^{p(\,\cdot\,)-\varepsilon}_w} \\ &\quad\leqslant \max\biggl\{1,\biggl(\,\sup_{\eta<\varepsilon<p_o-1} \varepsilon^{\theta/(p_o-\varepsilon)}\biggr) \frac{1+W(J)}{\eta^{\theta/(p_o-1)}}\biggr\} \\ &\quad\qquad\times c(p(\,\cdot\,),\alpha,w,\gamma) \sup_{0<\varepsilon < p_o-1} \varepsilon^{\theta/(p_o-\varepsilon)} \|f\|_{L^{p(\,\cdot\,)-\varepsilon}_w} \\ &\quad \leqslant k(p(\,\cdot\,),\alpha,w,\gamma) \|f\|_{L^{p(\,\cdot\,),\theta}_{w}}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
k( p(\,\cdot\,),\alpha,w,\gamma):=\inf_{0<\eta<1} p_o \max\biggl\{\frac{\alpha^{p^o}}{\alpha-1} \|w\|^{p^o}_{B_{p(\,\cdot\,)}},\frac {1+W(J)}{\gamma}\biggr\} \biggl(\frac{1+W(J)}{\eta^{\theta/(p_o-1)}}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
В случае, когда $0<\kappa<1$, ввиду свойства (P3) класса весов $B_{p(\,\cdot\,)}$ мы имеем $\kappa w \in B_{p(\,\cdot\,)}$ и $\|w\|_{B_{p(\,\cdot\,)}}=\|\kappa w\|_{B_{p(\,\cdot\,)}}$. Отсюда вытекает (3.1) с той же константой $k( p(\,\cdot\,),\alpha,w,\gamma)$ для всех $f \in \mathcal D(J)$, удовлетворяющих условию $\|f\|_{L^{p(\,\cdot\,)-\delta}_{\kappa w}} \geqslant \gamma$. В направлении обращения теоремы 3.2 мы получили следующий результат. Теорема 3.3. Пусть $p(\,\cdot\,)\in \mathcal P$ – неубывающий показатель и $w$ – вес. Предположим, что для любых положительных чисел $\gamma \leqslant 1$ и $\delta <p_o-1$ существует константа $1 \leqslant c(\gamma, \delta) <\infty$, для которой выполнено неравенство при всех $0<\kappa< \infty$ и $f \in \mathcal D(J)$, удовлетворяющих условию $\|f\|_{L^{p(\,\cdot\,)-\delta}_{\kappa w}}\geqslant \gamma$. Тогда $w \in B_{p(\,\cdot\,)}$. Доказательство. Для произвольного $r \in J$ рассмотрим функцию $f\equiv \chi_{(0,r)}$. Ясно, что $f \in \mathcal D(J)$ и $\|f\|_{L^{p(\,\cdot\,)-\varepsilon}_w}>0$ для всех $0<\varepsilon< p_o-1$. Из предложения 2.3 получаем оценку Теперь предположим, что $0< \gamma \leqslant 1$. Выберем $\lambda >0$ со свойством $0< \gamma \leqslant \lambda \leqslant 1$. По теореме 2.8 существует $\kappa \in (0,\infty)$, для которого
$$
\begin{equation*}
\gamma \leqslant \|f\|_{L^{p(\,\cdot\,)-\eta}_{\kappa w}}=\lambda.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя это равенство и равенства (3.9) к (3.8), мы получаем
$$
\begin{equation*}
\|Hf\|_{L^{p(\,\cdot\,),\theta}_{\kappa w}} \leqslant c(\gamma,\eta)\|f\|_{L^{p(\,\cdot\,),\theta}_{\kappa w}}= c(\gamma,\eta)\eta^{\theta/(p_o-\eta)}\|f\|_{L^{p(\,\cdot\,)- \eta}_{\kappa w}}=c(\gamma,\eta)\eta^{\theta/(p_o-\eta)}\lambda.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\|Hf\|_{L^{p(\,\cdot\,)-\eta}_{\kappa w}} \leqslant c(\gamma,\eta)\lambda.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь положим $c=\max\{c(\gamma,\eta),1/\gamma\}$. Имеем $\|Hf/(c\lambda)\|_{L^{p(\,\cdot\,)-\eta}_{\kappa w}} \leqslant 1$. Поскольку $c \lambda \geqslant 1$, по предложению 2.2 имеем
$$
\begin{equation*}
\biggl(\frac{1}{c\lambda}\biggr)^{p^o-\eta}\int_J Hf(x)^{p(x)-\eta} \kappa w(x)\,dx\leqslant \int_J\biggl(\frac{Hf(x)}{c\lambda}\biggr)^{p(x)-\eta} \kappa w(x)\,dx\leqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation}
\int_r^b\biggl(\frac{r}{x}\biggr)^{p(x)-\eta} \kappa w(x) \,dx\leqslant (c\lambda)^{p^o-\eta}.
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Поскольку $\|f\|_{L^{p(\,\cdot\,)-\eta}_{\kappa w}}=\lambda<1$, по предложению 2.1 имеем
$$
\begin{equation*}
1=\int_0^r \frac{\kappa w(x)}{\lambda^{p(x)-\eta}} \,dx \leqslant \frac{1}{\lambda^{p^o-\eta}} \int_0^r \kappa w(x) \,dx,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е.
$$
\begin{equation}
\lambda^{p^o-\eta}\leqslant \int_0^r \kappa w(x)\,dx.
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Объединяя (3.10) и (3.11), получаем это означает, что $w \in B_{p(\,\cdot\,)-\eta}$, и требуемое утверждение вытекает из свойства (P2). Пусть $0< \xi \leqslant 1$. Дробный оператор Харди типа Римана–Лиувилля определяется формулой
$$
\begin{equation*}
R_\xi f(x):=\frac{1}{x^\xi}\int_0^x\frac{f(t)}{(x-t)^{1-\xi}}\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что при $\xi=1$ имеем $R_\xi f(x)=Hf(x)$ для всех $x \in J$. Вообще, операторы $R_\xi$ и $H$ связывает поточечная оценка
$$
\begin{equation}
cR_\xi f(x) \leqslant Hf(x) \leqslant R_\xi f(x),\qquad x \in J,
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
где $c$ зависит только от $\xi$. Из (3.12) вытекают следующие аналоги теорем 3.2 и 3.3 для оператора $R_\xi$. Теорема 3.4. Пусть $p(\,\cdot\,)\in \mathcal P$ – неубывающий показатель и $w \in B_{p(\,\cdot\,)}$. Тогда для любых положительных чисел $\gamma \leqslant 1$ и $\delta <1$ выполнено неравенство при любых $0<\kappa\leqslant 1$ и $f \in \mathcal D(J)$, удовлетворяющих условию $\|f\|_{L^{p(\,\cdot\,)-\delta}_{\kappa w}}\geqslant \gamma$, где Теорема 3.5. Пусть $p(\,\cdot\,)\in \mathcal P$ – неубывающий показатель и $w$ – вес на $J$. Предположим, что для любых положительных $\gamma \leqslant 1$ и $\delta <p_o-1$ существует константа $1 \leqslant c(\gamma,\delta) <\infty$ такая, что при всех $0<\kappa< \infty$ и $f \in \mathcal D(J)$, удовлетворяющих условию $\|f\|_{L^{p(\,\cdot\,)-\delta}_{\kappa w}}\geqslant \gamma$. Тогда $w \in B_{p(\,\cdot\,)}$. В заключение мы сделаем следующее Замечание 3.6. В статье [7] при доказательстве ограниченности оператора $H$ для невозрастающих функций в пространствах Лебега с переменным показателем $L_w^{p(\,\cdot\,)}(\mathbb{R}_+)$ Нойгебауэр отметил необходимость предположений, что $p(\,\cdot\,)$ не убывает и $\lim_{x\to 0^+} f(x)\leqslant 1$, и в качестве обоснования привел примеры. В случае гранд-пространств Лебега $L_w^{p(\,\cdot\,),\theta}$, рассмотренном в настоящей статье, эти предположения тоже необходимы. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{SinJai23} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|