| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Неустойчивость равновесий в соленоидальном силовом поле В. В. Козловab a Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва b Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S000143462301025X 
Реферативные базы данных:
  1. Гипотеза о неустойчивостиРассматривается динамика механической системы, описываемой системой дифференциальных уравнений в соленоидальном силовом поле: Ее положения равновесия – нули силового поля $F$. Обсуждается следующаяГипотеза. В предположении гладкости (бесконечной дифференцируемости) функций $F_1,\dots,F_n$ все изолированные положения равновесия системы (1.1) неустойчивы. Более точно, имеются фазовые траектории, асимптотически выходящие из изолированных состояний равновесия. Возможно, для полного обоснования этой гипотезы потребуется предположение об аналитичности набора функций $\{F_j\}$. При $n=2$ уравнения (1.1) представляются в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\ddot x_1=\frac{\partial W}{\partial x_2}\,,\qquad \ddot x_2=-\frac{\partial W}{\partial x_1}\,.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Здесь $W$ – гладкая функция от положения системы (аналитическая, если компоненты силового поля аналитичны). Положения равновесия системы (1.3) совпадают с критическими точками функции $W$. По теореме Гельмгольца любое позиционное силовое поле представляется в виде суммы потенциального и соленоидального полей. Уравнения движения в потенциальном поле допускают интеграл энергии, что позволяет сформулировать простое условие устойчивости: для этого достаточно, чтобы потенциальная энергия имела строгий локальный минимум. Согласно гипотезе Ляпунова, если аналитическая потенциальная энергия не имеет в положении равновесия минимума, то это равновесие неустойчиво. Несмотря на значительные усилия, эта гипотеза в полном объеме доказана лишь при $n\leqslant 2$ (см. обзор [1]). Соленоидальное силовое поле в (1.3) будет потенциальным тогда и только тогда, когда функция $W$ (как и потенциальная энергия) будет гармонической функцией. Утверждение о неустойчивости равновесий в поле с гармоническим потенциалом было высказано Ирншоу и полностью доказано в [2], [3]. По-видимому, уравнения (1.3) (как и общие уравнения (1.1)) в общем случае вообще не допускают первых интегралов в виде полиномов по скоростям. Для систем с периодическими граничными условиями (когда функция $W$ периодична по координатам $x_1$ и $x_2$) этот факт установлен в [4]. Имеется естественное обобщение рассматриваемой задачи на системы в искривленном конфигурационном пространстве. Уравнения движения (1.1) заменяются более общими уравнениями Лагранжа
$$
\begin{equation}
\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial\dot x} -\frac{\partial T}{\partial x}=F(x),
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
где $T=(G(x)\dot x,\dot x)/2$ – кинетическая энергия (риманова метрика на пространстве конфигураций $M^n=\{x\}$), а $F$ – заданное силовое поле (ковекторное поле на $M^n$). Уравнение (1.4) можно переписать в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\ddot x+(\Gamma(x)\dot x,\dot x)=f(x)\qquad (=G^{-1}F).
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
Здесь $f$ – уже векторное поле на $M^n$, а $(\Gamma\dot x,\dot x)$ обозначает совокупность слагаемых, квадратичных по скоростям (в качестве коэффициентов фигурируют символы Кристоффеля римановой метрики $T$). Условие соленоидальности силового поля заключается в равенстве нулю ковариантной дивергенции векторного поля $f$:
$$
\begin{equation*}
\nabla f=\frac{1}{\sqrt{g}}\sum\frac{\partial}{\partial x_j} (\sqrt{g}\,f_i)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $g=|G|$ (см., например, [5]). Задачи об устойчивости равновесий и стационарных движений механических систем в непотенциальном силовом поле широко исследовались (см., например, [6], [7] и имеющиеся там ссылки). Однако обычно ограничиваются исследованием линеаризованных уравнений, не выделяя при этом соленоидальную составляющую силового поля. 2. Неустойчивость в типичной ситуацииПусть $x=0$ – положение равновесия системы (1.1): $F(0)=0$. Положим
$$
\begin{equation*}
J=\biggl\|\frac{\partial F_i}{\partial x_j}(0)\biggr\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $|J|\ne 0$, то (по теореме о неявной функции) равновесие $x=0$ заведомо изолировано. Теорема 1. $\mspace{-5mu}$ Пусть функции $F_1,\dots,F_n$ гладкие, и пусть выполнены условия (1.2) и $|J|\ne 0$. Тогда равновесие $x=0$ системы (1.1) неустойчиво. В типичном случае матрица Якоби $J$, конечно, невырождена. Доказательство теоремы 1. Для доказательства теоремы линеаризуем систему дифференциальных уравнений (1.1) в окрестности положения равновесия: Согласно (1.2) $\operatorname{tr}J=0$. Характеристическое уравнение имеет следующий вид: Пусть $\lambda_1^2,\dots,\lambda_n^2$ – его корни. Так как $\operatorname{tr}J=0$, то причем все $\lambda_j$ отличны от нуля (поскольку $|J|\ne 0$). Следовательно, хотя бы одно из $\lambda_j$ не лежит на чисто мнимой оси. В противном случае левая часть (2.2) была бы отрицательной. Значит, одно из характеристических чисел лежит в правой комплексной полуплоскости, что означает неустойчивость равновесия $x=0$ (по классической теореме Ляпунова). Для систем с двумя степенями свободы
$$
\begin{equation*}
\det\biggl\|\frac{\partial F_k}{\partial x_l}\biggr\|= \det\biggl\|\frac{\partial^2 W}{\partial x_k\,\partial x_l}\biggr\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, условие $|J|\ne 0$ означает невырожденность критической точки функции $W$. Теорема 1 справедлива и для систем общего вида (1.4) $\mspace{-1.5mu}$ (или, $\mspace{-1.5mu}$ что то же самое, $\mspace{-1.5mu}$ (1.5)). Условие $|J|\ne 0$ по-прежнему будет гарантировать изолированность равновесия $x=0$. Линеаризованные в окрестности состояния равновесия $x=0$, $\dot x=0$ уравнения (1.5) имеют вид При этом матрица $J'$ невырождена и $\operatorname{tr}J'=0$ ввиду равенства нулю ковариационной дивергенции поля $f$.Отметим в заключение, что при условиях теоремы 1 имеется по крайней мере два различных асимптотических решения уравнений движения, когда
$$
\begin{equation*}
x(t)\to 0,\quad \dot x(t)\to 0\qquad \text{при}\quad t\to\pm\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Следует иметь в виду, что неустойчивость равновесия динамической системы в четномерном фазовом пространстве еще не означает наличие выходящих асимптотических траекторий (как это показано на примерах в [8]).
3. Неустойчивость при типичных вырожденияхНачиная с этого места рассматриваются уравнения (1.3) (системы с двумя степенями свободы). Согласно теореме 1 все невырожденные критические точки функции $W$ являются неустойчивыми равновесиями. Чтобы упростить дальнейшее изложение, воспользуемся инвариантностью уравнений (1.3) относительно ортогональных преобразований. Собственно, нам потребуются только вращения относительно начала координат:
$$
\begin{equation*}
x_1=z_1\cos\varphi+z_2\sin\varphi,\qquad x_2=-z_1\sin\varphi+z_2\cos\varphi.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
\widehat W(z_1,z_2) =W(z_1\cos\varphi+z_2\sin\varphi,-z_1\sin \varphi+z_2\cos\varphi).
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма. В новых координатах $z_1$, $z_2$ уравнения (1.3) имеют тот же вид: Это утверждение легко доказывается прямым вычислением. Итак, пусть $x=0$ – вырожденная критическая точка функции $W$. В ее окрестности где $W_m$ – однородная форма по $x_1$, $x_2$ степени $m$. Ортогональным поворотом вырожденную квадратичную форму $W_2$ можно привести к виду Если $a=0$, то разложение (3.1) начинается с членов третьей степени. При типичных вырождениях $W_2$, конечно, $a\ne 0$. Пусть
$$
\begin{equation}
W_3=\frac{Ax_1^3}{3}+Bx_1^2x_2+Cx_1x_2^2+\frac{Dx_2^3}{3}\,.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Если $aD \ne 0$, то $x=0$ – изолированная критическая точка $W$. Доказательство. В новых координатах (когда $W_2$ и $W_3$ имеют соответственно вид (3.2) и (3.3)) уравнения (1.3) приводятся к следующей форме: Укороченная система дифференциальных уравнений имеет частное асимптотическое решение
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} x_2 &=-\frac{4\cdot 5\cdot 6\cdot 7}{aDt^4}\,, &\qquad y_2 &=\frac{4^2\cdot 5\cdot 6\cdot 7}{aDt^5}\,, \\ x_1 &=\frac{4^2\cdot 5^2\cdot 6\cdot 7}{a^2Dt^6}\,, &\qquad y_1 &=-\frac{4^2\cdot 5^2\cdot 6^2\cdot 7}{a^2Dt^7}\,. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Асимптотическое решение полной системы (3.4) можно представить в виде рядов по обратным степеням времени, $\mspace{-1mu}$ которые начинаются соответственно со слагаемых $\mspace{-1.5mu}$ (3.6). Детали и обоснование этого метода поиска асимптотических решений можно найти в [9; гл. I]. Если $x(t)\to 0$, $y(t)\to 0$ при $t\to +\infty$, то система (1.3) имеет еще одно решение $x(-t)$, $-y(-t)$, асимптотически выходящее из состояния равновесия, что доказывает его неустойчивость. Здесь сделаем два замечания. Замечание 1. Хотя квадратичная форма $W_2$ не вырождается полностью (коэффициент $a$ отличен от нуля), все корни характеристического уравнения линеаризованной системы равны нулю. Для систем в потенциальном силовом поле это не так. Замечание 2. В системе (3.4) реализуется “особенный” случай нулевого корня кратности 4 (по терминологии Ляпунова). Сам Ляпунов подробно исследовал задачу об устойчивости при нулевом корне кратности $\leqslant 2$ [10]. При определенных неравенствах на коэффициенты при нелинейных слагаемых здесь возможна устойчивость равновесия. Однако в нашей задаче нелинейные слагаемые имеют специальную структуру. 4. Случай $a=0$Рассмотрим дальнейшее вырождение критической точки $x= 0$ функции $W$. С учетом теоремы 2 следует изучить случаи, когда $a=0$ и когда $D=0$. Рассмотрим первую возможность; тогда $W_2=0$. В этом случае можно положить Конечно, если $a=0$, то в типичной ситуации разложение $W$ в ряд Маклорена начинается с членов третьего порядка ($m=3$). С другой стороны, если функция $W$ четна по $x_1$ и $x_2$, то разложение (4.1) начинается с однородной формы четвертой степени. Теорема 3. Пусть $x=0$ – единственная критическая точка первой нетривиальной однородной формы $W_m$. Тогда $x=0$ – неустойчивое положение равновесия системы (1.3). Предположение теоремы, очевидно, гарантирует изолированность критической точки гладкой функции $W$. Наметим доказательство теоремы 3. Следует различать следующие два случая:
$$
\begin{equation*}
F_1=\frac{\partial W_m}{\partial x_2}\,,\qquad F_2=-\frac{\partial W_m}{\partial x_1}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
то найдутся $x \ne 0$ такие, что В силу однородности $W_m$ это соотношение на самом деле имеет место для всех точек луча, примыкающего к положению равновесия. При этом коэффициент $\lambda$ будет положительной функцией от точки этого луча. Действительно, пусть $x$ – нетривиальный нуль однородной формы $W_m$. Тогда по теореме Эйлера
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial W_m}{\partial x_1}\,x_1 +\frac{\partial W_m}{\partial x_2}x_2=mW_m=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, в этой точке имеет место равенство (4.2) с некоторым вещественным коэффициентом $\lambda$ (не обязательно положительным). Согласно предположению, $x=0$ – единственная критическая точка функции $W_m$. Значит, $\lambda \ne 0$. Из простых топологических соображений легко выводится существование нетривиального решения (4.2) с положительным $\lambda$ (на самом деле число лучей на плоскости $\mathbb R^2=\{x_1,x_2\}$ с положительными $\lambda$ и отрицательными $\lambda$ одинаково). Соотношение (4.2) означает, что частица будет двигаться по лучу в $\mathbb R^2$, проходящему через точку $x \ne 0$, если ее начальная скорость направлена по тому же лучу. В частности, уравнения движения (1.3), в которых $W=W_m$, имеют частные асимптотические решения
$$
\begin{equation*}
x_1=\frac{c_1}{t^\mu}\,,\quad x_2=\frac{c_2}{t^\mu}\,,\qquad (c_1,c_2)\in\mathbb R^2\setminus\{0\},\quad \mu=\frac{2}{m-2}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Как установлено в [11], тогда “полные” уравнения (1.3) допускают асимптотическое решение
$$
\begin{equation*}
x_1=\frac{c_1}{t^\mu}+o\biggl(\frac{1}{t^\mu}\biggr),\quad x_2=\frac{c_2}{t^\mu}+o\biggl(\frac{1}{t^\mu}\biggr),\qquad |t|\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Ввиду обратимости уравнений (1.3) отсюда вытекает неустойчивость равновесия $x=0$. Для доказательства неустойчивости во втором случае рассмотрим тождество
$$
\begin{equation}
(x_2\dot x_1-x_1\dot x_2)^\cdot= mW_m+(m+1)W_{m+1}+\dotsb\,.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Так как $x=0$ – единственная критическая точка функции $W_m$, то правая часть (4.3) сохраняет знак в некоторой проколотой окрестности этой точки. С другой стороны, линейная форма по скоростям $x_2\dot x_1-x_1\dot{x_2}$ принимает значения разных знаков в окрестности состояния равновесия $x=0$, $\dot x=0$. Эту форму можно принять за функцию Ляпунова из теоремы о неустойчивости. Правда, правая часть (4.3) не есть положительно или отрицательно определенная функция в окрестности состояния равновесия в фазовом пространстве. Однако если она обращается в тождественный нуль на фазовой траектории, то эта траектория совпадает с состоянием равновесия. Поэтому (по теореме Красовского [12]) это состояние равновесия неустойчиво и, более того, имеется асимптотическая траектория, выходящая из состояния равновесия.
5. Случай $D=0$Этот случай вырождения более сложный по сравнению со случаем $a=0$: для анализа устойчивости приходится учитывать слагаемые 4-й степени в разложении Маклорена функции $W$. Представим $W$ в следующей полуквазиоднородной форме:
$$
\begin{equation}
W=\frac{ax_1^2}{2}+Cx_1x_2^2+\frac{\gamma x_2^4}{4}+\dotsb\,.
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Совокупность явно выписанных слагаемых представляет квазиоднородную функцию степени 8 с показателями квазиоднородности 4 и 2 по переменным $x_1$ и $x_2$. Каждое из невыписанных явно слагаемых в (5.1) имеет степень больше 8 относительно этой квазиоднородной структуры. Укороченная система дифференциальных уравнений (1.3) имеет следующий явный вид:
$$
\begin{equation}
\dot x_1=y_1,\quad \dot{y}_1=2Cx_1x_2+\gamma x_2^3,\qquad \dot x_2=y_2,\quad \dot{y}_2=-ax_1-Cx_2^2.
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Она инвариантна при подстановке
$$
\begin{equation*}
t\mapsto\frac{t}{\lambda}\,,\qquad x_1\mapsto\lambda^4 x_1,\quad y_1\mapsto\lambda^5 y_1,\qquad x_2\mapsto\lambda^2 x_2,\quad y_2\mapsto\lambda^3 y_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Будем считать $\gamma \ne 0$. Положим Теорема 4. Если $a\gamma\ne 0$ и $\varepsilon$ не принадлежит интервалу $[4/9,15/32]$, то равновесие $x=0$ системы (1.3) заведомо неустойчиво. По-видимому, неустойчивость имеет место при всех значениях параметра $\varepsilon$. Это подтверждают численные расчеты, выполненные по моей просьбе И. Ю. Полехиным. Однако доказательство этого более сильного утверждения требует новых соображений. Теорема 4 доказывается тем же способом, что и теорема 3. Сначала ищем асимптотические решения укороченной системы (5.2) в следующем виде:
$$
\begin{equation}
x_1=\frac{c_1}{t^4}\,,\quad x_2=\frac{c_2}{t^2}\,,\qquad (c_1,c_2)\in\mathbb R^2\setminus\{0\}.
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Постоянные $c_1$ и $c_2$ удовлетворяют следующей системе алгебраических уравнений:
$$
\begin{equation*}
20c_1=2Cc_1c_2+\gamma c_2^3,\qquad 6c_2=-ac_1-Cc_2^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Откуда Это квадратное уравнение имеет вещественное решение при условии Оно заведомо выполнено, если $a\gamma<0$. Если же $a\gamma>0$, то оно принимает следующий вид: При этом условии полная система дифференциальных уравнений (1.3) имеет асимптотические решения, главные части асимптотических разложений которых имеют как раз вид (5.3) (см. [9; гл. I, п. 2]). Следовательно, при условии (5.5) равновесие $x=0$ неустойчиво. Теперь воспользуемся следующим тождеством:
$$
\begin{equation}
(\dot x_1x_2-x_1\dot x_2)=ax_1^2+3Cx_1x_2^2+\gamma x_2^4+\dotsb\,.
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
Многоточие обозначает совокупность слагаемых, имеющих квазиоднородную степень $>8$. Квазиоднородные слагаемые в правой части (5.6) представляют квадратичную форму относительно $x_1$ и $x_2^2$. Следовательно, правая часть (5.6) будет положительно или отрицательно определенной функцией в окрестности положения равновесия $x=0$ при выполнении условия $9C^2-4a\gamma<0$. В частности, произведение $a\gamma$ должно быть положительным. Поэтому это условие можно переписать в виде Как и в п. 4, при выполнении этого условия (с учетом неравенства $a\gamma>0$) выводится неустойчивость равновесия $x=0$. В итоге, равновесие неустойчиво, если значения параметра $\varepsilon$ не лежат в интервале $[4/9,15/32]$. Что и требовалось. 6. Заключительные замечанияЗамечание 3. При $\varepsilon=1/2$ укороченная система имеет целое семейство равновесий и все они неустойчивы. Дело в том, что при $\varepsilon=1/2$ квадратное уравнение (5.4) вырождается в линейное и оно имеет вещественное решение. В этом случае полная система (1.3) допускает асимптотическое решение вида (5.3), выходящее из положения равновесия, что доказывает его неустойчивость. Если $\varepsilon>15/32$ и $\varepsilon \ne 1/2$, то полная система допускает по меньшей мере два различных асимптотических решения, выходящих из равновесия $x=0$. Замечание 4. Если $C=0$ и $a\gamma<0$, то существование асимптотических решений укороченной системы (5.2) можно вывести из одного нетривиального результата Брунеллы [13]. При $C=0$ укороченные уравнения имеют квадратичный по скоростям первый интеграл Если $C\ne 0$, то эти уравнения вообще не допускают первых интегралов, которые были бы квадратичны по $\dot x_1$ и $\dot x_2$. Пусть $M=\{\Phi=0\}$. Это есть алгебраическое подмногообразие размерности 3, содержащее точку $x=0$, $\dot x=0$, гладкое вне этой точки и инвариантное относительно фазового потока укороченной системы. Если $a\gamma<0$, то эйлерова характеристика линка $M$ в состоянии равновесия отлична от нуля. Поэтому согласно [13] укороченная система имеет хотя бы одну траекторию, асимптотическую к состоянию равновесия. Ввиду обратимости укороченной системы имеется асимптотическая траектория, выходящая из состояния равновесия. Линк $M$ в точке $x=0$, $\dot x=0$ – это пересечение $M$ с малой сферой $|x|^2+|\dot x|^2=\varepsilon^2$. Если $a\gamma<0$, то функция $\widehat{W}$ будет положительно или отрицательно определенной, а квадратичная форма $\dot x_1\dot x_2$ имеет сигнатуру $+-$. Поэтому линк $M$ является несвязным объединением двумерных сфер. С деталями этой конструкции можно познакомиться по работе [14]. Отметим, что при $C=0$ и $a\gamma<0$ корни квадратного уравнения (5.4) вещественны. Согласно [9] асимптотические решения Брунеллы можно найти в виде рядов по обратным степеням времени, коэффициенты которых – многочлены от логарифмов времени. Замечание 5. Предположим, что гладкая функция $W$ (или $-W$) выпукла в окрестности своей критической точки $x=0$. Тогда равновесие $x=0$ неустойчиво. Доказательство основано на тождестве
$$
\begin{equation}
\ddot W=\frac{\partial^2 W}{\partial x_1^2}\,\dot x_1^2 +\frac{\partial^2 W}{\partial x_1\,\partial x_2}\,\dot x_1\dot x_2 +\frac{\partial^2 W}{\partial x_2^2}\,\dot x_2^2,
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
которое вытекает из уравнений (1.3). Если функция $W$ выпукла, то правая часть (6.1) неотрицательна для всех значений скоростей $\dot x_1$, $\dot x_2$ и координат $x_1$, $x_2$ из малой окрестности точки $x=0$. Следовательно, функция $t\mapsto\dot W(x(t))$ не убывает. Рассмотрим движение $t\mapsto x(t)$ такое, что $\dot W(x(0))>0$. Тогда $W(x(t))\to +\infty$ при $t\to +\infty$, что доказывает неустойчивость равновесия. В частности, функция $-ax_1^2/2+\gamma x_2^4/4$ (из предыдущего замечания) выпукла (вогнута) при $a\gamma<0$. Следовательно, в этом случае равновесие неустойчиво. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Koz23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|