Математические заметки
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Скоро в журнале
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Лицензионный договор
Загрузить рукопись

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS


Матем. заметки:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти




Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация

Математические заметки, 2023, том 113, выпуск 2, страницы 236–250
DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13883 (Mi mzm13883) 		 
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях)

Гармоничность наклонных конформно римановых отображений

Р. Кошаль, Р. Кумар, Р. Рани

Panjab University, Индия
PDF полного текста (464 kB) Полный текст в HTML Список цитирования (2)
Список литературы:
PDF
HTML
DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13883
Аннотация: Установлены условия, при которых наклонное конформно риманово отображение является горизонтально гомотетичным. Обсуждается геометрия вполне геодезических наклонных конформно римановых отображений. Кроме того, изучается гармоничность наклонных конформно римановых отображений.
Библиография: 13 названий.
Ключевые слова: конформно риманово отображение, наклонное конформно риманово отображение, горизотально гомотетичное риманово отображение, кэлерово многообразие, гармоническое отображение.
Поступило: 12.04.2022
Исправленный вариант: 30.04.2022
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 2, Pages 243–254
DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623010273
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
УДК: 517

1. Введение

Пусть $f$ – гладкое отображение риманова многообразия $(M^{m}_{1},g_{1})$ в риманово многообразие $(M^{n}_{2},g_{2})$, удовлетворяющее условию

$$ \begin{equation*} 0 < \operatorname{rank} f\leqslant \min\{m,n\}. \end{equation*} \notag $$
Тогда для любого $p\in M_{1}$ имеем
$$ \begin{equation*} T_{p}M_{1}=\ker f_{*p}\oplus (\ker f_{*p})^{\bot}= \mathcal{V}_{p}\oplus\mathcal{H}_{p}. \end{equation*} \notag $$
Из того, что $\operatorname{rank} f\leqslant \min\{m,n\}$, следует, что $(\operatorname{range} f_{*p})^{\bot}\ne \{0\}$, откуда
$$ \begin{equation*} T_{f(p)}M_{2}=\operatorname{range} f_{*p}\oplus (\operatorname{range} f_{*p})^{\bot}. \end{equation*} \notag $$
Если $f_{*p}^{\mathcal{H}}:(\ker f_{*p})^{\bot}\to (\operatorname{range} f_{*p})$ – линейная изометрия, т.е. $g_{2}(f_{*}X, f_{*}Y)=g_{1}(X, Y)$ для любых $X, Y\in\Gamma(\mathcal{H})$, то отображение $f$ называется римановым [1] в точке $p\in M_{1}$. Если существует число $\lambda^{2}(p)\ne 0$ такое, что
$$ \begin{equation} g_{2}(f_{* p}(X),f_{* p}(Y))=\lambda^{2}(p)g_{1}(X,Y) \end{equation} \tag{1.1} $$
для любых $X, Y\in\mathcal{H}(p)$, то $f$ называется конформно римановым отображением [2] в $p\in M_{1}$, а если при этом $\lambda$ имеет вертикальный градиент, т.е. $\mathcal{H}(\operatorname{grad}\lambda)=0$, то конформно риманово отображение называется горизонтальной гомотетией. В случае, когда $\lambda\ne 1$ и $0 < \operatorname{rank} f < \min\{m,n\}$, говорят, что конформно риманово отображение $f$ собственное.

Гарсиа-Рио и Купели [3] ввели обобщенное уравнение эйконала, которое связывает физическую оптику с геометрической. Следует отметить, что риманово отображение, удовлетворяющее обобщенному уравнению эйконала, имеет замечательные применения в математической физике. Полуримановы отображения также могут оказаться полезными (для теорем о расщеплении в полуримановой, римановой и лоренцевой геометрии), поэтому их изучение тоже представляет большой интерес для физиков и геометров. О других приложениях римановых отображений можно прочесть в книгах [3] и [4]; см. также содержащуюся в них обширную библиографию.

В статье [5] Шахин ввел наклонные римановы отображения почти эрмитовых многообразий в качестве обобщения голоморфных, антиинвариантных и наклонных погружений; в той же статье он исследовал гармоничность таких отображений. В статье [6] Шахин и Янан ввели конформно инвариантные, конформно голоморфные и антиинвариантные конформно римановы отображения почти эрмитовых многообразий. Они также получили несколько условий, при которых антиинвариантное конформно риманово отображение является горизонтальной гомотетией. Кошаль и его соавторы изучили светоподобные погружения неопределенных кэлеровых многообразий [7], а Рашми с соавторами – наклонные конформные погружения почти кэлеровых многообразий [8]. Акьол и Шахин [9] ввели наклонные конформно римановы отображения римановых многообразий в почти эрмитовы многообразия. Они ввели понятие гармоничности наклонных конформно римановых отображений и получили необходимые и достаточные условия, при которых наклонные конформно римановы отображения являются вполне геодезическими. Позднее Акьол и Шанин [10] ввели наклонные конформные погружения почти эрмитовых многообразий в римановы многообазия и получили условия, при которых такие отображения являются гармоническими морфизмами. Кроме того, они получили необходимые и достаточные условия, при которых наклонные конформные погружения являются вполне геодезическими.

Цель настоящей статьи состоит в изучении наклонных конформно римановых отображений почти эрмитовых многообразий в римановы многообразия. Мы устанавливаем условия, при которых наклонные конформно римановы отображения являются гармоническими и горизотально гомотетичными. Кроме того, мы изучаем вполне геодезические наклонные конформно римановы отображения.

2. Наклонные конформно римановы отображения

Пусть $f$ – риманово отображение между римановыми многообразиями $(M^{m}_{1},g_{1})$ и $(M^{n}_{2},g_{2})$, и пусть $\mathcal{T}$ и $\mathcal{A}$ – тензорные поля, заданные формулами

$$ \begin{equation} \mathcal{T}_{E}F =\mathcal{H}\nabla_{\mathcal{V}E}\mathcal{V}F+ \mathcal{V}\nabla_{\mathcal{V}E}\mathcal{H}F, \end{equation} \tag{2.1} $$
$$ \begin{equation} \mathcal{A}_{E}F =\mathcal{H}\nabla_{\mathcal{H}E}\mathcal{V}F+ \mathcal{V}\nabla_{\mathcal{H}E}\mathcal{H}F \end{equation} \tag{2.2} $$
для любых $E,F\in\Gamma(TM_{1})$, где $\nabla$ – связность Леви-Чивиты метрики $g_{1}$, а $\mathcal{T}_{E}$ и $\mathcal{A}_{E}$ – кососимметричные операторы на $\Gamma(TM_{1})$. При этом предполагается, что тензорное поле $\mathcal{T}$ удовлетворяет условию
$$ \begin{equation} \mathcal{T}_{U}V=\mathcal{T}_{V}U,\qquad \forall\,U, V\in\Gamma(\ker f_{*}). \end{equation} \tag{2.3} $$
Из (2.2) и (2.1) вытекает, что
$$ \begin{equation} \nabla_{U}V =\mathcal{T}_{U}V+\widetilde{\nabla}_{U}V, \end{equation} \tag{2.4} $$
$$ \begin{equation} \nabla_{U}X =\mathcal{H}\nabla_{U}X+\mathcal{T}_{U}X, \end{equation} \tag{2.5} $$
$$ \begin{equation} \nabla_{X}V =\mathcal{A}_{X}V+\mathcal{V}\nabla_{X}V, \end{equation} \tag{2.6} $$
$$ \begin{equation} \nabla_{X}Y =\mathcal{H}\nabla_{X}Y+\mathcal{A}_{X}Y \end{equation} \tag{2.7} $$
для любых $X, Y\in\Gamma((\ker f_{*})^{\bot})$ и $U, V\in\Gamma(\ker f_{*})$, где $\widetilde{\nabla}_{U}V=\mathcal{V}\nabla_{U}V$.

Определение 1. Пусть $f$ – конформно риманово отображение эрмитова многообразия $(M_{1},g_{1},J)$ на риманово многообразие $(M_{2},g_{2})$. Если для любого ненулевого вектора $U\in\Gamma(\ker f_{*})$ угол наклона $\theta(U)$ между $JU$ и $\ker f_{*}$ постоянен, т.е. не зависит от $x\in M_{1}$ и $U\in\Gamma(\ker f_{*})$, то мы будем называть $f$ наклонным конформно римановым отображением. Скажем, что отображение $f$ собственное, если оно не является погружением, $\theta\ne 0$, $\pi/2$ и $\lambda\ne 1$.

Пример 1. Всякое инвариантное (антиинвариантное) риманово отображение почти эрмитова многообразия в риманово многообразие является наклонным конформно римановым отображением с $\theta=0$ (соответственно $\theta=\pi/2$) и $\lambda=1$.

Пример 2. Всякое наклонное риманово отображение из почти эрмитова многообразия в риманово многообразие является наклонным конформно римановым отображением с $\lambda=1$.

Предположим, что $f$ – наклонное конформно риманово отображение из почти эрмитова многообразия $(M_{1},g_{1},J)$ в риманово многообразие $(M_{2},g_{2})$. Тогда для любого $U\in\Gamma(\ker f_{*})$ имеем

$$ \begin{equation} JU=\varphi U+\psi U, \end{equation} \tag{2.8} $$
где $\varphi U$ и $\psi U$ – соответственно вертикальная и горизонтальная компоненты вектора $JU$. Следовательно, $\psi(\ker f_{*})$ – подпространство пространства $(\ker f_{*})^{\bot}$, и $(\ker f_{*})^{\bot}$ содержит инвариантное подпространство $\Omega$, для которого
$$ \begin{equation} T_{p}M=(\ker f_{*p})\bot \psi(\ker f_{*})\bot\Omega_{p}. \end{equation} \tag{2.9} $$
Для любого $X\in\Gamma((\ker f_{*})^{\bot})$ имеем
$$ \begin{equation} JX=\mathcal{B}X+\mathcal{C}X, \end{equation} \tag{2.10} $$
где $\mathcal{B}X$ и $\mathcal{C}X$ – вертикальная и горизонтальная компоненты вектора $JX$ соответственно. Пусть $(M_{1},g_{1},J)$ – кэлерово многообразие. Поскольку $(\nabla_{U}J)V=0$, из равенств (2.4), (2.5), (2.8) и (2.10) вытекает, что для любых $U,V\in\Gamma(\ker f_{*})$
$$ \begin{equation} (\nabla_{U}\psi)V=\mathcal{C}\mathcal{T}_{U}V- \mathcal{T}_{U}\varphi V,\qquad (\nabla_{U}\varphi)V=\mathcal{B}\mathcal{T}_{U}V- \mathcal{T}_{U}\psi V, \end{equation} \tag{2.11} $$
где $(\nabla_{U}\psi)V=\mathcal{H}\nabla_{U}\psi V- \psi\widetilde{\nabla}_{U}V$ и $(\nabla_{U}\varphi)V= \widetilde{\nabla}_{U}\varphi V-\varphi\widetilde{\nabla}_{U}V$.

Теорема 1. Пусть $f$ – конформно риманово отображение из почти эрмитова многообразия $(M_{1},g_{1},J)$ в риманово многообразие $(M_{2},g_{2})$. Тогда $f$ является наклонно конформно римановым отображением в том и только том случае, если существует константа $\gamma\in [-1,0]$ такая, что

$$ \begin{equation} \varphi^{2}U=\gamma U \end{equation} \tag{2.12} $$
для любых $U\in\Gamma(\ker f_{*})$. Если при этом $f$ наклонно, то $\gamma=-\cos^{2}\theta$.

Доказательство аналогично случаю наклонных погружений (см. [11]).

Из теоремы 1 следует, что

$$ \begin{equation} g_{1}(\varphi U,\varphi V) =\cos^{2}\theta g_{1}(U,V), \end{equation} \tag{2.13} $$
$$ \begin{equation} g_{1}(\psi U,\psi V) =\sin^{2}\theta g_{1}(U,V) \end{equation} \tag{2.14} $$
для любых $U, V\in\Gamma(\ker f_{*})$.

Пусть $\mathbb{R}^{2m}$ – евклидово $2m$-мерное пространство со стандартной метрикой. Рассмотрим совместимую почти комплексную структуру $J$ на $\mathbb{R}^{2m}$, определенную формулой

$$ \begin{equation} J(x_{1},\dots,x_{m},x_{m+1},\dots,x_{2m})= (-x_{m+1},\dots,-x_{2m},x_{1},\dots,x_{m}). \end{equation} \tag{2.15} $$

Пример 3. Пусть $f\colon \mathbb{R}^{4}\to \mathbb{R}^{4}$ – риманово отображение, определенное правилом

$$ \begin{equation*} (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\to (0,x_{2}\sin\alpha+x_{3}+ x_{4}\cos\alpha,0,x_{2}\cos\alpha-x_{4}\sin\alpha). \end{equation*} \notag $$
Тогда
$$ \begin{equation*} \ker f_{*}=\biggl\{U_{1}=\frac{\partial}{\partial x_{1}}\,, U_{2}=\sin\alpha\frac{\partial}{\partial x_{2}}- \frac{\partial}{\partial x_{3}}+ \cos\alpha\frac{\partial}{\partial x_{4}}\biggr\} \end{equation*} \notag $$
и, следовательно,
$$ \begin{equation*} (\ker f_{*})^{\bot}=\biggl\{Z_{1}= \sin\alpha\frac{\partial}{\partial x_{2}}+ \frac{\partial}{\partial x_{3}}+ \cos\alpha\frac{\partial}{\partial x_{4}}\,, Z_{2}=\cos\alpha\frac{\partial}{\partial x_{2}}- \sin\alpha\frac{\partial}{\partial x_{4}}\biggr\}. \end{equation*} \notag $$
Ясно, что
$$ \begin{equation*} f_{*}Z_{1}=2\frac{\partial}{\partial x_{2}}\qquad\text{и}\qquad f_{*}Z_{2}=\frac{\partial}{\partial x_{4}}\,. \end{equation*} \notag $$
Значит, $f$ является конформно римановым отображением с $\lambda=(5/3)^{1/4}$ в каждой точке $p\in\mathbb{R}^{4}$. Прямые вычисления с использованием формулы (2.15) показывают, что $JU_{1}=(Z_{1}-U_{2})/2$ и $JU_{2}=U_{1}-Z_{2}$; отсюда следует, что $\varphi U_{1}=-U_{2}/2$ и $\varphi U_{2}=U_{1}$. Нетрудно видеть, что
$$ \begin{equation*} \varphi^{2}U_{i}=-\frac{1}{2}U_{i}= -\cos^{2}\frac{\pi}{4} U_{i},\qquad i=1,2. \end{equation*} \notag $$
Следовательно, по теореме 1 $f$ является наклонным римановым отображением с углом наклона $\pi/4$, а значит, $f$ – наклонное конформно риманово отображение.

Пусть $f\colon (M_{1},g_{1})\to (M_{2},g_{2})$ – гладкое отображение римановых многообразий, и пусть $W$ – векторное расслоение над $M_{2}$. Тогда слои индуцированного расслоения $f^{-1}W$ над $M_{1}$ суть

$$ \begin{equation*} (f^{-1}W)_{x}=W_{f(x)},\qquad x\in M_{1}. \end{equation*} \notag $$
Если $\nabla^{W}$ – связность на $W$, то индуцированная связность $\nabla^{f}$ является единственной линейной связностью на $f^{-1}W$ с тем свойством, что для всякого $\sigma\in\Gamma(W)$ выполнено равенство
$$ \begin{equation*} \nabla^{f}_{X}(f^{*}\sigma)= \nabla^{W}_{f_{*}(X)}\sigma,\qquad\text{где}\quad f^{*}\sigma=\sigma\circ f\in\Gamma(f^{-1}W). \end{equation*} \notag $$

Дифференциал $f_{*}$ отображения $f$ можно рассматривать как сечение векторного расслоения

$$ \begin{equation*} T^{*}M_{1}\otimes f^{-1}TM_{2}= \operatorname{Hom}(TM_{1},f^{-1}TM_{2}) \end{equation*} \notag $$
над многообразием $M_{1}$. На этом расслоении имеется связность $\nabla$, индуцированная связностью Леви-Чивиты $\nabla^{M_{1}}$ на $M_{1}$ и индуцированной связностью $\nabla^{f}$ на $f^{-1}TM_{2}$. Вторая фундаментальная форма отображения $f$ задается формулой
$$ \begin{equation} (\nabla f_{*})(X,Y)=\nabla^{f}_{X}(f_{*}(Y))- f_{*}(\nabla^{M_{1}}_{X}Y) \end{equation} \tag{2.16} $$
для любых $X,Y\in\Gamma(TM_{1})$; заметим, что она симметрична. Для конформно риманова отображения $f$ и любых $X,Y\in\Gamma((\ker f_{*})^{\bot})$ имеет место замечательное равенство [2]
$$ \begin{equation} (\nabla f_{*})(X,Y)|_{{\rm range}f_{*}}= X(\ln\lambda)f_{*}(Y)+Y(\ln\lambda)f_{*}(X)- g_{1}(X, Y)f_{*}(\operatorname{grad}(\ln\lambda)). \end{equation} \tag{2.17} $$

Замечание 1. Всюду ниже запись $f\colon (M_{1},g_{1},J)\to (M_{2},g_{2})$ всегда будет обозначать “наклонное конформно риманово отображение $f$ кэлерова многообразия $(M_{1},g_{1},J)$ в риманово многообразие $(M_{2},g_{2})$”, если не оговорено противное.

Теорема 2. Пусть $f\colon (M_{1},g_{1},J)\to (M_{2},g_{2})$ – собственное отображение. Тогда $\ker f_{*}$ определяет вполне геодезическое слоение на $M_{1}$, если и только если

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\frac{1}{\lambda^{2}}\{g_{2}((\nabla f_{*}) (U,\psi\varphi V),f_{*}X)+g_{2}(\nabla^{f}_{\psi V}f_{*}\psi U, f_{*}J\mathcal{C}X)\} \\ &\qquad =-g_{1}(\mathcal{T}_{U}\mathcal{B}X,\psi V) +g_{1}(\mathcal{A}_{\psi V}\varphi U, J\mathcal{C} X)+ g_{1}(\psi U,\psi V) g_{1}(\operatorname{grad}\ln\lambda,J\mathcal{C}X) \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
для $U, V\in\Gamma(\ker f_{*})$ и $X\in\Gamma((\ker f_{*})^{\bot})$.

Доказательство. Пусть $U, V\in\Gamma(\ker f_{*})$ и $X\in\Gamma((\ker f_{*})^{\bot})$. Тогда

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, g_{1}(\nabla_{U}V,X)&= g_{1}(\nabla_{U}\varphi V,JX)+g_{1}(\nabla_{U}\psi V,JX) \nonumber \\ &=-g_{1}(\nabla_{U}\varphi^{2}V,X)-g_{1}(\nabla_{U}\psi\varphi V,X)+ g_{1}(\nabla_{U}\psi V,\mathcal{B}X) +g_{1}(\nabla_{U}\psi V, \mathcal{C}X) \nonumber \\ &=\cos^{2}\theta g_{1}(\nabla_{U}V,X)- g_{1}(\nabla_{U}\psi\varphi V,X)+ g_{1}(\mathcal{T}_{U}\psi V,\mathcal{B}X) +g_{1}(\nabla_{U}\psi V,\mathcal{C}X). \end{aligned} \end{equation} \tag{2.18} $$
Известно, что $[V,X]$ вертикально для любых $V\in\Gamma(\ker f_*)$ и $X\in\Gamma((\ker f_{*})^{\bot})$. Поэтому из симметричности второй фундаментальной формы и из (1.1) вытекает, что
$$ \begin{equation} g_{1}(\nabla_{U}\psi\varphi V,X) = \frac{1}{\lambda^{2}}\,g_{2}(f_{*}(\nabla_{U}\psi\varphi V),f_{*}X)= -\frac{1}{\lambda^{2}}\,g_{2}((\nabla f_{*})(U,\psi\varphi V),f_{*}X), \end{equation} \tag{2.19} $$
$$ \begin{equation} g_{1}(\mathcal{T}_{U}\psi V,\mathcal{B}X) = -g_{1}(\mathcal{T}_{U}\mathcal{B}X,\psi V) \end{equation} \tag{2.20} $$
и
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, g_{1}(\nabla_{U}\psi V,\mathcal{C}X)&= g_{1}(\nabla_{\psi V}U,\mathcal{C}X)+g_{1}([U,\psi V],\mathcal{C} X) \\ &=g_{1}(\nabla_{\psi V}\varphi U,J\mathcal{C} X)+ g_{1}(\nabla_{\psi V}\psi U,J\mathcal{C}X) \\ &=g_{1}(\mathcal{A}_{\psi V}\varphi U,J\mathcal{C} X)+ \frac{1}{\lambda^{2}} g_{2}(f_{*}(\nabla_{\psi V}\psi U), f_{*}J\mathcal{C}X). \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Из этого равенства и выражения (2.16) получаем
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, g_{1}(\nabla_{U}\psi V,\mathcal{C}X)&= g_{1}(\mathcal{A}_{\psi V}\varphi U,J\mathcal{C} X)- \frac{1}{\lambda^{2}}\,g_{2}((\nabla f_{*})(\psi U,\psi V), f_{*}J\mathcal{C} X) \nonumber \\ &\qquad+\frac{1}{\lambda^{2}}\,g_{2}(\nabla^{f}_{\psi V}f_{*}\psi U, f_{*}J\mathcal{C} X). \end{aligned} \end{equation} \tag{2.21} $$
Подставляя (1.1), (2.9) и (2.17) в (2.21) и пользуясь инвариантностью $\Omega$, приходим к выражению
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, g_{1}(\nabla_{U}\psi V,\mathcal{C} X)&= g_{1}(\mathcal{A}_{\psi V}\varphi U,J\mathcal{C} X)+ g_{1}(\psi U,\psi V)g_{1} (\operatorname{grad}\ln\lambda,J\mathcal{C}X) \nonumber \\ &\qquad+\frac{1}{\lambda^{2}}\,g_{2}(\nabla^{f}_{\psi V} f_{*}\psi U,f_{*}J\mathcal{C} X). \end{aligned} \end{equation} \tag{2.22} $$
Подставляя (2.19), (2.20) и (2.22) в (2.18), получаем
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \sin^{2}\theta g_{1}(\nabla_{U}V,X)&=\frac{1}{\lambda^{2}} \{g_{2}((\nabla f_{*})(U,\psi\varphi V),f_{*}X)+g_{2}(\nabla^{f}_{\psi V}f_{*}\psi U,f_{*}J\mathcal{C}X)\} \nonumber \\ &\qquad- g_{1}(\mathcal{T}_{U}\mathcal{B}X,\psi V) +g_{1}(\mathcal{A}_{\psi V}\varphi U,J\mathcal{C}X) \nonumber \\ &\qquad+g_{1}(\psi U,\psi V)g_{1}(\operatorname{grad} \ln\lambda,J\mathcal{C}X), \end{aligned} \end{equation} \tag{2.23} $$
откуда немедленно вытекает доказываемое утверждение.

Напомним определение плюригармонического отображения из [12].

Определение 2. Отображение $f$ из комплексного многообразия $(M_{1},g_{1},J)$ в риманово многообразие $(M_{2},g_{2})$ называется плоригармоническим, если оно удовлетворяет условию

$$ \begin{equation*} (\nabla f_{*})(X,Y)+(\nabla f_{*})(JX,JY)=0 \end{equation*} \notag $$
для любых $X,Y\in\Gamma(TM)$.

Очевидно, наклонное конформно риманово отображение $f$ из комплексного многообразия $(M_{1},g_{1},J)$ в риманово многообразие $(M_{2},g_{2})$ является $(\ker f_{*})^{\bot}$-плюригармоническим, если оно удовлетворяет условию

$$ \begin{equation} (\nabla f_{*})(X,Y)+(\nabla f_{*})(JX,JY)=0 \end{equation} \tag{2.24} $$
для любых $X,Y\in\Gamma((\ker f_{*})^{\bot})$.

Теорема 3. Пусть $f$ – наклонное конформно риманово отображение из почти эрмитова многообразия $(M_{1},g_{1},J)$ в риманово многообразие $(M_{2},g_{2})$. Если $f$ является $(\ker f_{*})^{\bot}$-плюригармоническим отображением, то $\ker f_{*}$ определяет вполне геодезическое слоение на $M_{1}$ тогда и только тогда, когда

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, f_{*}(\mathcal{A}_{\mathcal{C}Y}\mathcal{B}X)+ f_{*}(\mathcal{A}_{\mathcal{C}X}\mathcal{B}Y)&= X(\ln\lambda)f_{*}(Y)+Y(\ln\lambda)f_{*}(X)+\mathcal{C}X(\ln\lambda)f_{*}(\mathcal{C}Y) \\ &\qquad+ \mathcal{C}Y(\ln\lambda)f_{*}(\mathcal{C}X) -g_{1}(X, Y)f_{*}(\operatorname{grad}(\ln\lambda)) \\ &\qquad-g_{1}(\mathcal{C}X,\mathcal{C}Y) f_{*}(\operatorname{grad}(\ln\lambda)) \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
для любых $X,Y\in\Gamma((\ker f_{*})^{\bot})$.

Доказательство. Пусть $X,Y\in\Gamma((\ker f_{*})^{\bot})$. Тогда из (2.10) и (2.24) следует, что

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, 0&=(\nabla f_{*})(X,Y)|_{\operatorname{range}f_{*}}+ (\nabla f_{*})(X, Y)|_{(\operatorname{range} f_{*})^{\bot}}+ (\nabla f_{*})(\mathcal{B}X,\mathcal{B}Y) \nonumber \\ &\qquad+(\nabla f_{*})(\mathcal{B}X,\mathcal{C}Y)+ (\nabla f_{*})(\mathcal{C}X,\mathcal{B}Y)+(\nabla f_{*}) (\mathcal{C}X,\mathcal{C}Y)|_{\operatorname{range}f_{*}} \nonumber \\ &\qquad+(\nabla f_{*})(\mathcal{C}X, \mathcal{C}Y)|_{(\operatorname{range} f_{*})^{\bot}}. \end{aligned} \end{equation} \tag{2.25} $$
Используя формулы (2.6) и (2.16) и симметричность второй фундаментальной формы, получаем
$$ \begin{equation*} (\nabla f_{*})(\mathcal{B}X,\mathcal{B}Y)= (\nabla f_{*})(\mathcal{C}Y,\mathcal{B}X)= -f_{*}(\mathcal{A}_{\mathcal{C}Y}\mathcal{B}X); \end{equation*} \notag $$
аналогично, $(\nabla f_{*})(\mathcal{C}X,\mathcal{B}Y)= -f_{*}(\mathcal{A}_{\mathcal{C}X}\mathcal{B}Y)$ и $(\nabla f_{*})(\mathcal{B}X,\mathcal{B}Y)= -f_{*}(\nabla_{\mathcal{B}X}\mathcal{B}Y)$. Подставляя эти выражения и равенство (2.17) в (2.25), мы видим, что
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, 0&=(\nabla f_{*})(X,Y)|_{(\operatorname{range}f_{*})^{\bot}}+ (\nabla f_{*})(\mathcal{C}X,\mathcal{C}Y)|_{(\operatorname{range} f_{*})^{\bot}} \nonumber \\ &\qquad+X(\ln\lambda)f_{*}(Y)+Y(\ln\lambda)f_{*}(X)- g_{1}(X, Y)f_{*}(\operatorname{grad}(\ln\lambda)) \nonumber \\ &\qquad+\mathcal{C}X(\ln\lambda)f_{*}(\mathcal{C}Y)+ \mathcal{C}Y(\ln\lambda)f_{*}(\mathcal{C}X)- g_{1}(\mathcal{C}X,\mathcal{C}Y) f_{*}(\operatorname{grad}(\ln\lambda)) \nonumber \\ &\qquad-f_{*}(\mathcal{A}_{\mathcal{C}Y}\mathcal{B}X)- f_{*}(\mathcal{A}_{\mathcal{C}X}\mathcal{B}Y)- f_{*}(\nabla_{\mathcal{B}X}\mathcal{B}Y). \end{aligned} \end{equation} \tag{2.26} $$
Выбирая слагаемые с $\operatorname{range}f_{*}$ в (2.26), получаем
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, f_{*}(\nabla_{\mathcal{B}X}\mathcal{B}Y)&=X(\ln\lambda)f_{*}(Y)+ Y(\ln\lambda)f_{*}(X)-g_{1}(X, Y)f_{*}(\operatorname{grad}(\ln\lambda)) \nonumber \\ &\qquad+\mathcal{C}X(\ln\lambda)f_{*}(\mathcal{C}Y)+ \mathcal{C}Y(\ln\lambda)f_{*}(\mathcal{C}X) \nonumber \\ &\qquad-g_{1}(\mathcal{C}X,\mathcal{C}Y)f_{*}(\operatorname{grad} (\ln\lambda))-f_{*}(\mathcal{A}_{\mathcal{C}Y}\mathcal{B}X) -f_{*}(\mathcal{A}_{\mathcal{C}X}\mathcal{B}Y), \end{aligned} \end{equation} \tag{2.27} $$
откуда немедленно вытекает доказываемое утверждение.

Следствие 1. Перестановка $X$ и $Y$ в (2.27) и вычитание результирующего уравнения дают

$$ \begin{equation*} f_{*}([\mathcal{B}X,\mathcal{B}Y])=0 \end{equation*} \notag $$
для $X,Y\in\Gamma((\ker f_{*})^{\bot})$. Значит, если $f$ – $(\ker f_{*})^{\bot}$-плюригармоническое наклонное конформно риманово отображение почти эрмитова многообразия $(M_{1},g_{1},J)$ в риманово многообразие $(M_{2},g_{2})$, то $(\ker f_{*})$ интегрируемо.

Теорема 4. $\mspace{-4mu}$ Пусть $f\colon (M_{1},g_{1},J)\to (M_{2},g_{2})$ – собственное отображение с $\lambda\ne 0$. Тогда $(\ker f_{*})^{\bot}$ определяет вполне геодезическое слоение на $M_{1}$, если и только если

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\frac{1}{\lambda^{2}}\{g_{2}(\nabla^{f}_{X}f_{*}(Y), f_{*}\psi\varphi U)-g_{2}(\nabla^{f}_{X}f_{*}(\mathcal{C}Y), f_{*}\psi U)\} \\ &\qquad=g_{1}(Y,\psi\varphi U)g_{1}(\operatorname{grad}\ln\lambda,X) +g_{1}(\operatorname{grad}\ln\lambda,Y)g_{1}(X,\psi\varphi U) \\ &\qquad\qquad-g_{1}(\operatorname{grad}\ln\lambda,\psi\varphi U) g_{1}(X,Y)+g_{1}(\mathcal{A}_{X}\mathcal{B}Y,\psi U) +g_{1}(\operatorname{grad} \ln\lambda,X) g_{1}(\mathcal{C}Y,\psi U) \\ &\qquad\qquad -g_{1}(\operatorname{grad} \ln\lambda,\mathcal{C}Y)g_{1}(X,\psi U) +g_{1}(X,\mathcal{C}Y)g_{1}(\operatorname{grad} \ln\lambda,\psi U) \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
для $X,Y\in\Gamma((\ker f_{*})^{\bot})$ и $U\in\Gamma(\ker f_{*})$.

Теорема 5. Пусть $f\colon (M_{1},g_{1},J)\to (M_{2},g_{2})$ – собственное отображение. Тогда $(\ker f_{*})^{\bot}$ интегрируемо, если и только если

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &\frac{1}{\lambda^{2}}\{g_{2}(\nabla^{f}_{Y}f_{*}(X)- \nabla^{f}_{X}f_{*}(Y),f_{*}\psi\varphi U)- g_{2}(\nabla^{f}_{Y}f_{*}(\mathcal{C}X)-\nabla^{f}_{X}f_{*}(\mathcal{C}Y),f_{*}\psi U)\} \nonumber \\ &\qquad= g_{1}(X,\psi U)g_{1}(\mathcal{H}(\operatorname{grad}\ln\lambda),\mathcal{C}Y) -g_{1}(Y,\psi U)g_{1}(\mathcal{H}(\operatorname{grad}\ln\lambda),\mathcal{C}X) \nonumber \\ &\qquad\qquad+2g_{1}(Y,\mathcal{C}X) g_{1}(\operatorname{grad}\ln\lambda,\psi U) -g_{1}(\mathcal{A}_{X}\mathcal{B}Y- \mathcal{A}_{Y}\mathcal{B}X,\psi U) \end{aligned} \end{equation} \tag{2.28} $$
для $X,Y\in\Gamma((\ker f_{*})^{\bot})$ и $U\in\Gamma(\ker f_{*})$.

Доказательство. Пусть $X,Y\in\Gamma((\ker f_{*})^{\bot})$ и $U\in\Gamma(\ker f_{*})$. Поскольку $M_{1}$ кэлерово, из (2.8) и (2.10) мы выводим

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, g_{1}([X,Y],U)&=-g_{1}(\nabla_{X}Y,\varphi^{2}U)- g_{1}(\nabla_{X}Y,\psi\varphi U)+ g_{1}(\nabla_{X}\mathcal{B}Y, \psi U) \\ &\qquad+g_{1}(\nabla_{X}\mathcal{C}Y,\psi U)+ g_{1}(\nabla_{Y}X,\varphi^{2} U)+ g_{1}(\nabla_{Y}X,\psi\varphi U) \\ &\qquad-g_{1}(\nabla_{Y}\mathcal{B}X,\psi U)- g_{1}(\nabla_{Y}\mathcal{C}X,\psi U). \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Подставляя (2.6), (2.12) и (2.16) в это равенство, получаем
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, g_{1}([X,Y],U)&=\cos^{2}\theta g_{1}([X,Y],U)+ \frac{1}{\lambda^{2}}\,g_{2}((\nabla f_{*})(X,Y),f_{*}\psi\varphi U) \\ &\qquad -\frac{1}{\lambda^{2}}\,g_{2}(\nabla^{f}_{X}f_{*}(Y), f_{*}\psi\varphi U)+g_{1}(\mathcal{A}_{X}\mathcal{B}Y,\psi U) \\ &\qquad-\frac{1}{\lambda^{2}}\,g_{2}((\nabla f_{*})(X,\mathcal{C}Y), f_{*}\psi U)+\frac{1}{\lambda^{2}}\,g_{2}(\nabla^{f}_{X} f_{*}(\mathcal{C}Y), f_{*}\psi U) \\ &\qquad-\frac{1}{\lambda^{2}}\,g_{2}((\nabla f_{*})(Y, X), f_{*}\psi\varphi U)+\frac{1}{\lambda^{2}} g_{2}(\nabla^{f}_{Y}f_{*}(X), f_{*}\psi\varphi U) \\ &\qquad-g_{1}(\mathcal{A}_{Y}\mathcal{B}X,\psi U)+ \frac{1}{\lambda^{2}}\,g_{2}((\nabla f_{*}) (Y,\mathcal{C}X),f_{*}\psi U) \\ &\qquad-\frac{1}{\lambda^{2}}\,g_{2}(\nabla^{f}_{Y} f_{*}(\mathcal{C}X),f_{*}\psi U). \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Используя выражение (2.17), а также равенства
$$ \begin{equation*} X(\ln\lambda)=g_{1}(\operatorname{grad}\ln\lambda,X),\qquad (\ker f_{*})^{\bot}=\psi(\ker f_{*})\bot\Omega, \end{equation*} \notag $$
мы приводим последнее выражение в виду
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\sin^{2}\theta g_{1}([X,Y],U) \\ &\qquad= \frac{1}{\lambda^{2}}\{g_{2}(\nabla^{f}_{Y}f_{*}(X)- \nabla^{f}_{X}f_{*}(Y), f_{*}\psi\varphi U) -g_{2}(\nabla^{f}_{Y}f_{*}(\mathcal{C}X)- \nabla^{f}_{X}f_{*}(\mathcal{C}Y),f_{*}\psi U)\} \\ &\qquad\qquad- g_{1}(X,\psi U)g_{1}(\mathcal{H} (\operatorname{grad}\ln\lambda),\mathcal{C}Y) + g_{1}(Y, \psi U)g_{1}(\mathcal{H} (\operatorname{grad} \ln\lambda),\mathcal{C}X) \\ &\qquad\qquad-2g_{1}(Y,\mathcal{C}X)g_{1} (\operatorname{grad} \ln\lambda,\psi U) +g_{1}(\mathcal{A}_{X}\mathcal{B}Y- \mathcal{A}_{Y}\mathcal{B}X,\psi U), \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
откуда немедленно вытекает доказываемое утверждение.

Следствие 2. Пусть $f\colon (M_{1},g_{1},J)\to (M_{2},g_{2})$. Тогда каждое из трех перечисленных ниже условий вытекает из двух других:

Доказательство. Ясно, что в силу (2.8) и (2.10) для любого $U\in\Gamma(\ker f_{*})$ имеем

$$ \begin{equation*} \psi U\in\Gamma(\psi(\ker f_{*})) \subset\Gamma((\ker f_{*})^{\bot}) \end{equation*} \notag $$
и для любого $X\in\Gamma((\ker f_{*})^{\bot})$ имеем
$$ \begin{equation*} \mathcal{C}X\in\Gamma(\Omega)\subset\Gamma((\ker f_{*})^{\bot}); \end{equation*} \notag $$
кроме того,
$$ \begin{equation*} (\ker f_{*})^{\bot}=\psi(\ker f_{*})\bot\Omega. \end{equation*} \notag $$
Следовательно, возможны два случая. Предположим, что выполнены условия (i) и (iii). Сначала допустим, что $Y=\psi U$; тогда, очевидно, $\mathcal{C}Y=0$. Из (2.28) и (2.29) вытекает, что
$$ \begin{equation*} g_{1}(\psi U,\psi U)g_{1}(\mathcal{H}(\operatorname{grad} \ln\lambda),\mathcal{C}X)=0, \end{equation*} \notag $$
а значит, значение $\lambda$ постоянно на $\Omega$. Теперь допустим, что $Y=\mathcal{C}X$ для любого $X\in\Gamma(\Omega)$; тогда из (2.28) и (2.29) вытекает равенство
$$ \begin{equation*} g_{1}(\mathcal{C}X,\mathcal{C}X)g_{1} (\mathcal{H}(\operatorname{grad}\ln\lambda),\psi U)=0, \end{equation*} \notag $$
а значит, значение $\lambda$ постоянно на $\psi(\ker f_{*})$, что и требовалось.

3. Вполне геодезические наклонные конформно римановы отображения

Если дифференциал отображения $f$ переводит любую геодезическую пространства расслоения в геодезическую базы, параметризованную пропорционально длине дуги, то отображение $f$ называется вполне геодезическим. Другими словами, отображение $f$ является вполне геодезическим, если $(\nabla f_{*})(E,F)=0$ для любых $E,F\in\Gamma(TM_{1})$.

Теорема 6. Отображение $f\colon (M_{1},g_{1},J)\to (M_{2},g_{2})$ является вполне геодезическим наклонным конформно римановым отображением тогда и только тогда, когда $\mathcal{A}_{X}V=0$, $\mathcal{T}_{U}V=0$ и $\nabla^{f}_{X}(f_{*}(Y))$ не имеет компонент в $(\operatorname{range} f_{*})^{\bot}$ для $X,Y\in\Gamma((\ker f_{*})^{\bot})$ и $U,V\in\Gamma(\ker f_{*})$.

Доказательство. Очевидно, $f$ является вполне геодезическим отображением тогда и только тогда, когда

$$ \begin{equation*} (\nabla f_{*})(X,Y)=0,\qquad (\nabla f_{*})(X,V)=0,\qquad (\nabla f_{*})(U,V)=0 \end{equation*} \notag $$
для любых $X, Y\in\Gamma((\ker f_{*})^{\bot})$ и $U,V\in\Gamma(\ker f_{*})$. Из (2.16) следует, что $f$ является вполне геодезическим отображением тогда и только тогда, когда
$$ \begin{equation*} g_{2}((\nabla f_{*})(X,V),f_{*}Y)=0,\qquad g_{2}((\nabla f_{*})(U, V),f_{*}Y)=0,\qquad (\nabla f_{*})(X,Y)= 0 \end{equation*} \notag $$
для $X,Y\in\Gamma((\ker f_{*})^{\bot})$ и $U,V\in\Gamma(\ker f_{*})$. Используя (2.6), получаем
$$ \begin{equation*} \frac{1}{\lambda^{2}}\,g_{2}((\nabla f_{*})(X,V),f_{*}Y)= -\frac{1}{\lambda^{2}}\,g_{2}f_{*}(\nabla_{X}V,f_{*}Y)= g_{1}(\nabla_{X}V,Y)=-g_{1}(\mathcal{A}_{X}V,Y). \end{equation*} \notag $$
Из (2.4) вытекает, что
$$ \begin{equation*} \frac{1}{\lambda^{2}}\,g_{2}((\nabla f_{*})(U,V),f_{*}X)= -\frac{1}{\lambda^{2}}\,g_{2}f_{*}(\nabla_{U}V,f_{*}X)= g_{1}(\nabla_{U}V,X)=-g_{1}(\mathcal{T}_{U}V,X). \end{equation*} \notag $$
В силу (2.7) и (2.16) имеем
$$ \begin{equation*} (\nabla f_{*})(X,Y)=\nabla^{f}_{X}(f_{*}(Y))- f_{*}(\mathcal{H}\nabla_{X}Y), \end{equation*} \notag $$
откуда следует доказываемое утверждение.

Теорема 7. Отображение $f\colon (M_{1},g_{1},J)\to (M_{2},g_{2})$ является вполне геодезическим наклонным конформно римановым отображением тогда и только тогда, когда

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, g_{1}(\mathcal{T}_{U}\psi V,\mathcal{B}Y)&= \frac{1}{\lambda^{2}}\{g_{2}((\nabla f_{*})(U,\psi V), f_{*}\mathcal{C}Y)-g_{2}((\nabla f_{*})(U,\psi\varphi V),f_{*}Y)\}, \\ \lambda^{2}g_{1}(\mathcal{A}_{X}\psi U,\mathcal{B}Y)&= g_{2}(\nabla^{f}_{X}f_{*}(\psi\varphi U),f_{*}Y)- g_{2}(\nabla^{f}_{X}f_{*}(\psi U),f_{*}\mathcal{C}Y) \\ &\qquad-g_{2}((\nabla f_{*})(X,\psi\varphi U),f_{*}Y)- g_{2}((\nabla f_{*})(X,\psi U),f_{*}\mathcal{C}Y), \\ \nabla^{f}_{X}(f_{*}(Y))&=-f_{*}\{\mathcal{C}\mathcal{A}_{X} \mathcal{B}Y+\psi\mathcal{V}\nabla_{X}\mathcal{B}Y+ \mathcal{C}\mathcal{H}\nabla_{X}\mathcal{C}Y+ \psi\mathcal{A}_{X}\mathcal{C}Y\}, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
т.е. $\nabla^{f}_{X}(f_{*}(Y))$ не имеет компонент в $(\operatorname{range} f_{*})^{\bot}$ для $X,Y\in\Gamma((\ker f_{*})^{\bot})$ и $U,V\in\Gamma(\ker f_{*})$.

Доказательство. Пусть $X,Y\in\Gamma((\ker f_{*})^{\bot})$ и $U,V\in\Gamma(\ker f_{*})$. Из выражений (1.1), (2.16) и (2.18) легко вывести равенство

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\frac{1}{\lambda^{2}}\,g_{2}((\nabla f_{*})(U,V),f_{*}Y)= -g_{1}(\nabla_{U}V,Y) \\ &\quad =\cos^{2}\theta\frac{1}{\lambda^{2}} g_{2}((\nabla f_{*})(U,V), f_{*}Y) -g_{1}(\mathcal{T}_{U}\psi V,\mathcal{B}Y)+ g_{1}(\nabla_{U}\psi\varphi V,Y) -g_{1}(\nabla_{U}\psi V,\mathcal{C}Y). \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Снова применяя (1.1) и (2.16), получаем
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, g_{1}(\mathcal{T}_{U}\psi V,\mathcal{B}Y)= \frac{1}{\lambda^{2}}\{&g_{2}((\nabla f_{*})(U,\psi V), f_{*}\mathcal{C}Y)-g_{2}((\nabla f_{*})(U, \psi\varphi V),f_{*}Y) \nonumber \\ &\qquad-\sin^{2}\theta g_{2}((\nabla f_{*})(U,V),f_{*}Y)\}. \end{aligned} \end{equation} \tag{3.1} $$
Из (1.1), (2.12) и (2.16) вытекает также, что
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\frac{1}{\lambda^{2}}\,g_{2}((\nabla f_{*})(X,U),f_{*}Y)= -g_{1}(\nabla_{X}U,Y)=g_{1}(\nabla_{X}J(JU),Y) \\ &\qquad=-\cos^{2}\theta g_{1}(\nabla_{X}U,Y)+ \frac{1}{\lambda^{2}}\,g_{2}(f_{*}(\nabla_{X}\psi\varphi U),f_{*}Y) \\ &\qquad\qquad-g_{1}(\nabla_{X}\psi U,\mathcal{B}Y)- g_{1}(\nabla_{X}\psi U,\mathcal{C}Y) \\ &\qquad=\frac{1}{\lambda^{2}}\cos^{2}\theta g_{2} ((\nabla f_{*})(X,U),f_{*}Y) +\frac{1}{\lambda^{2}}\,g_{2}(\nabla^{f}_{X} f_{*}(\psi\varphi U),f_{*}Y) \\ &\qquad\qquad-\frac{1}{\lambda^{2}}\,g_{2}((\nabla f_{*}) (X,\psi\varphi U),f_{*}Y)-g_{1}(\mathcal{A}_{X}\psi U,\mathcal{B}Y) \\ &\qquad\qquad+\frac{1}{\lambda^{2}}\,g_{2}((\nabla f_{*})(X,\psi U), f_{*}\mathcal{C}Y) -\frac{1}{\lambda^{2}}\,g_{2}(\nabla^{f}_{X}f_{*}(\psi U), f_{*}\mathcal{C}Y). \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Последнее равенство приводится к виду
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, g_{1}(\mathcal{A}_{X}\psi U, \mathcal{B}Y)&= -\sin^{2}\theta\frac{1}{\lambda^{2}} g_{2}((\nabla f_{*})(X,U),f_{*}Y) \nonumber \\ &\qquad +\frac{1}{\lambda^{2}}\{g_{2}(\nabla^{f}_{X} f_{*}(\psi\varphi U),f_{*}Y)-g_{2}(\nabla^{f}_{X}f_{*}(\psi U), f_{*}\mathcal{C}Y)\} \nonumber \\ &\qquad -\frac{1}{\lambda^{2}} \{g_{2}((\nabla f_{*})(X,\psi\varphi U),f_{*}Y) -g_{2}((\nabla f_{*})(X,\psi U),f_{*}\mathcal{C}Y)\}. \end{aligned} \end{equation} \tag{3.2} $$
Из выражения (2.16) вытекает равенство
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, (\nabla f_{*})(X,Y)&=\nabla^{f}_{X}(f_{*}(Y))+f_{*}(J\nabla_{X}JY) \nonumber \\ &=\nabla^{f}_{X}(f_{*}(Y))+f_{*}\{\mathcal{B}\mathcal{A}_{X} \mathcal{B}Y+\mathcal{C}\mathcal{A}_{X}\mathcal{B}Y+ \varphi\mathcal{V}\nabla_{X}\mathcal{B}Y+\psi\mathcal{V}\nabla_{X}\mathcal{B}Y \nonumber \\ &\qquad\hphantom{=\nabla^{f}_{X}(f_{*}(Y))+f_{*}\{} +\mathcal{B}\mathcal{H}\nabla_{X}\mathcal{C}Y+ \mathcal{C}\mathcal{H}\nabla_{X}\mathcal{C}Y+ \varphi\mathcal{A}_{X}\mathcal{C}Y +\psi\mathcal{A}_{X}\mathcal{C}Y\}. \end{aligned} \end{equation} \tag{3.3} $$
Поскольку
$$ \begin{equation*} (\mathcal{B}\mathcal{A}_{X}\mathcal{B}Y+ \varphi\mathcal{V}\nabla_{X}\mathcal{B}Y+ \mathcal{B}\mathcal{H}\nabla_{X}\mathcal{C}Y+ \varphi\mathcal{A}_{X}\mathcal{C}Y)\in\Gamma(\ker f_{*}), \end{equation*} \notag $$
из (3.3) следует, что
$$ \begin{equation} (\nabla f_{*})(X,Y)=\nabla^{f}_{X}(f_{*}(Y))+ f_{*}\{\mathcal{C}\mathcal{A}_{X}\mathcal{B}Y+ \psi\mathcal{V}\nabla_{X}\mathcal{B}Y+ \mathcal{C}\mathcal{H}\nabla_{X}\mathcal{C}Y+ \psi\mathcal{A}_{X}\mathcal{C}Y\}. \end{equation} \tag{3.4} $$
Применение равенств (3.1), (3.2) и (3.4) завершает доказательство.

Теорема 8. Отображение $f\colon (M_{1},g_{1},J)\to (M_{2},g_{2})$ является вполне геодезическим наклонным конформно римановым отображением тогда и только тогда, когда для любых $U,V\in\Gamma(\ker f_{*})$ и $X,Y\in\Gamma((\ker f_{*})^{\bot})$

  • (i) выполнено равенство
    $$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &g_{1}(\mathcal{A}_{\psi V}\varphi U,J\mathcal{C}X)+ g_{1}(\mathcal{T}_{U}\psi V,\mathcal{B}X) \\ &\qquad =-\frac{1}{\lambda^{2}}\,g_{2}((\nabla f_{*})(U,\psi\varphi V),f_{*}X) -\frac{1}{\lambda^{2}}\,g_{2}(\nabla^{f}_{\psi V}f_{*}(\psi U), f_{*}J\mathcal{C}X) \\ &\qquad\qquad+\sin^{2}g_{1}(V,U)J\mathcal{C}X(\ln\lambda); \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
  • (ii) выполнено равенство
    $$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &g_{1}(\mathcal{T}_{U}\mathcal{C}X,\mathcal{B}Y)- g_{1}(\mathcal{T}_{U}\varphi\mathcal{B}X,Y) \\ &\qquad = \frac{1}{\lambda^{2}}\{g_{2}((\nabla f_{*})(U,\mathcal{C}X), f_{*}\mathcal{C}Y) -g_{2}((\nabla f_{*})(U,\psi\mathcal{B}X),f_{*}Y)\}; \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
  • (iii) $f$ является горизонтальной гомотетией.

Доказательство. Пусть $U,V\in\Gamma(\ker f_{*})$ и $X,Y\in\Gamma((\ker f_{*})^{\bot})$. Из выражений (1.1) и (2.16), а также кэлеровости многообразия $M_{1}$, непосредственно вытекает равенство

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\frac{1}{\lambda^{2}}\,g_{2}((\nabla f_{*})(U,V),f_{*}X) \\ &\qquad = g_{1}(\nabla_{U}\varphi^{2}V,X)+g_{1}(\nabla_{U}\psi\varphi V,X) -g_{1}(\nabla_{U}\psi V,\mathcal{B}X)- g_{1}(\nabla_{\psi V}JU,J\mathcal{C}X). \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Из равенств (2.5), (1.1), (2.12) и (2.16) следует, что
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &\frac{1}{\lambda^{2}}\sin^{2}\theta g_{2}((\nabla f_{*})(U,V), f_{*}X) \nonumber \\ &\qquad =-g_{1}(\mathcal{T}_{U}\psi V,\mathcal{B}X)+ g_{1}(\nabla_{U}\psi\varphi V,X) -g_{1}(\nabla_{\psi V}JU,J\mathcal{C}X). \end{aligned} \end{equation} \tag{3.5} $$
Применяя к (3.5) равенства (2.6), (1.1) и (2.16) и принимая во внимание инвариантность подпространства $\Omega$, получаем
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\frac{1}{\lambda^{2}}\sin^{2}\theta g_{2} ((\nabla f_{*})(U,V),f_{*}X) \\ &\qquad= -g_{1}(\mathcal{T}_{U}\psi V,\mathcal{B}X)- \frac{1}{\lambda^{2}}\,g_{2}((\nabla f_{*})(U,\psi\varphi V),f_{*}X)\} -g_{1}(\mathcal{A}_{\psi V}\varphi U,J\mathcal{C}X) \\ &\qquad\qquad -\frac{1}{\lambda^{2}}\{g_{2}(\nabla^{f}_{\psi V}f_{*}(\psi U), f_{*}J\mathcal{C}X) -g_{2}((\nabla f_{*})(\psi V,\psi U),f_{*}J\mathcal{C}X)\}, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Использование равенств (2.14) и (2.17) приводит к
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, & \frac{1}{\lambda^{2}}\sin^{2}\theta g_{2}((\nabla f_{*})(U,V), f_{*}X) \nonumber \\ &\qquad =-g_{1}(\mathcal{T}_{U}\psi V,\mathcal{B}X)- \frac{1}{\lambda^{2}}\,g_{2}((\nabla f_{*})(U,\psi\varphi V),f_{*}X)\} -g_{1}(\mathcal{A}_{\psi V}\varphi U,J\mathcal{C}X) \nonumber \\ &\qquad- \frac{1}{\lambda^{2}}\,g_{2}(\nabla^{f}_{\psi V}f_{*}(\psi U), f_{*}J\mathcal{C}X) +\sin^{2}g_{1}(V,U)J\mathcal{C}X(\ln\lambda). \end{aligned} \end{equation} \tag{3.6} $$
Для любых $X,Y\in\Gamma((\ker f_{*})^{\bot})$ и $U\in\Gamma(\ker f_{*})$ имеем
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &\frac{1}{\lambda^{2}}\,g_{2}((\nabla f_{*})(U,X),f_{*}Y) =g_{1}(\nabla_{U}J(\mathcal{B}X+\mathcal{C}X),Y) \nonumber \\ &\qquad =g_{1}(\nabla_{U}\varphi \mathcal{B}X,Y)+ g_{1}(\nabla_{U}\psi\mathcal{B}X,Y) -g_{1}(\nabla_{U}\mathcal{C}X,\mathcal{B}Y)- g_{1}(\nabla_{U}\mathcal{C}X,\mathcal{C}Y) \nonumber \\ &=g_{1}(\mathcal{T}_{U}\varphi\mathcal{B}X,Y)- g_{1}(\mathcal{T}_{U}\mathcal{C}X,\mathcal{B}Y) \nonumber \\ &\qquad+\frac{1}{\lambda^{2}}\{g_{2}((\nabla f_{*})(U,\mathcal{C}X), f_{*}\mathcal{C}Y) -g_{2}((\nabla f_{*})(U,\psi\mathcal{B}X),f_{*}Y)\}. \end{aligned} \end{equation} \tag{3.7} $$
Из инвариантности подпространства $\Omega$ в (2.17) вытекает, что
$$ \begin{equation*} (\nabla f_{*})(X,JX)|_{\operatorname{range}f_{*}}= X(\ln\lambda)f_{*}JX+JX(\ln\lambda)f_{*}X \end{equation*} \notag $$
для любого $X\in\Gamma(\Omega)$. Предположим, что $f$ – вполне геодезическое отображение. Скалярно умножая последнее равенство на $f_{*}JX$, мы получаем
$$ \begin{equation*} g_{1}(\operatorname{grad} \ln\lambda,X)g_{2}(f_{*}JX,f_{*}JX)=0. \end{equation*} \notag $$
Следовательно, величина $\lambda$ постоянна на $\Gamma(\Omega)$. Для $U\in\Gamma(\ker f_{*})$ имеем $\psi U\in\Gamma(\psi(\ker f_{*}))$, и аналогичные рассуждения доказывают, что если $f$ – вполне геодезическое отображение, то
$$ \begin{equation*} g_{1}(\operatorname{grad} \ln\lambda,\psi U)g_{2}(f_{*}\psi U,f_{*}\psi U)=0, \end{equation*} \notag $$
откуда следует, что величина $\lambda$ постоянна на $\Gamma(\psi(\ker f_{*}))$. Таким образом, если отображение $f$ вполне геодезическое, то из (3.6) и (3.7) вытекают доказываемые утверждения. Обратная импликация тривиальна.

Плотностью энергии отображения $f$ является гладкая функция $e(\varphi)\colon M_{1}\to [0,\infty)$, определенная правилом

$$ \begin{equation*} e(f)_{x}=\frac{1}{2}|df_{x}|^{2},\qquad x\in M_{1}, \end{equation*} \notag $$
где $|df_{x}|$ обозначает норму Гильберта–Шмидта дифференциала $df_{x}$. Энергия отображения $f$ на компактной области $D$ в $M_{1}$ – это интеграл плотности энергии
$$ \begin{equation*} E(f;D)=\int_{D}e(f)v_{g_{1}}, \end{equation*} \notag $$
где $v_{g_{1}}$ обозначает меру объема на $(M_{1},g_{1})$. Отображение $f\in \mathcal{C}^{\infty}(M_{1},M_{2})$ называется гармоническим, если оно является экстремалью функционала энергии
$$ \begin{equation*} E(\,\cdot\,;D)\colon\mathcal{C}^{\infty}(M_{1},M_{2})\to \mathbb{R} \end{equation*} \notag $$
для любой компактной области $D$. Поле напряжений отображения $f$ определяется как сечение $\tau(f)\in\Gamma(f^{-1}TM_{2})$ и задается формулой
$$ \begin{equation*} \tau(f)=\operatorname{div}\,df=\operatorname{Tr}\nabla\,df= \sum_{i}\nabla\,df(e_{i},e_{i}), \end{equation*} \notag $$
где $\{e_{i}\}$ – ортонормированный репер в $M_{1}$. Согласно [13] отображение $f$ является гармоническим тогда и только тогда, когда
$$ \begin{equation} \tau(f)=0. \end{equation} \tag{3.8} $$

Теорема 9. Отображение $f(M_{1},g_{1},J)\to (M_{2},g_{2})$ является гармоническим тогда и только тогда, когда

где $\{e_{1},\dots,e_{p},\sec\theta\varphi e_{1},\dots, \sec\theta\varphi e_{p}\}$ – ортонормированный репер в $\Gamma(\ker f_{*})$ и $\theta $ – угол наклона.

Доказательство. В силу (2.13) $\{e_{1},\dots,e_{p},\sec\theta\varphi e_{1},\dots, \sec\theta\varphi e_{p}\}$ является ортонормированным репером в $\Gamma(\ker f_{*})$, и в силу (2.14) $\{\csc\theta\psi e_{1},\dots,\csc\theta\psi e_{p}\}$ является ортонормированным репером в $\Gamma(\psi(\ker f_{*}))$. Пусть $\{\overline{e}_{1},\overline{e}_{2},\dots,\overline{e}_{q}\}$ – ортонормированный репер в $\Gamma(\Omega)$. Согласно (3.8) отображение $f$ является гармоническим тогда и только тогда, когда

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, 0&=\sum_{i=1}^{p}\{(\nabla f_{*})(e_{i},e_{i})+ \sec^{2}\theta(\nabla f_{*})(\varphi e_{i},\varphi e_{i})\} \nonumber \\ &\qquad+\csc^{2}\theta\sum_{i=1}^{p}(\nabla f_{*}) (\psi e_{i},\psi e_{i})+\sum_{j=1}^{q}(\nabla f_{*}) (\overline{e}_{j},\overline{e}_{j}). \end{aligned} \end{equation} \tag{3.9} $$
Используя (2.4) и (2.16), получаем
$$ \begin{equation} {\sum_{i=1}^{p}\{(\nabla f_{*})(e_{i},e_{i})+ \sec^{2}\theta(\nabla f_{*})(\varphi e_{i},\varphi e_{i})\} =-\sum_{i=1}^{p}\{f_{*}(\mathcal{T}_{e_{i}}e_{i})+ \sec^{2}\theta f_{*}(\mathcal{T}_{\varphi e_{i}}\varphi e_{i})\}.} \end{equation} \tag{3.10} $$
Пусть $\{Z_{1},\dots,Z_{p+q}\}$ и $\{\widetilde Z_{1},\dots,\widetilde Z_{r}\}$ – ортонормированные базисы в подпространствах $\Gamma(\operatorname{range} f_{*})$ и $\Gamma((\operatorname{range} f_{*})^{\bot})$ соответственно. Из (2.17) нетрудно вывести равенство
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &\csc^{2}\theta\sum_{i=1}^{p}(\nabla f_{*})(\psi e_{i},\psi e_{i}) \nonumber \\ &\quad =\csc^{2}\theta\sum_{i=1}^{p}\,\sum_{\alpha=1}^{p+q} g_{2}((\nabla f_{*})(\psi e_{i},\psi e_{i}),Z_{\alpha})Z_{\alpha} +\csc^{2}\theta\sum_{i=1}^{p}\,\sum_{\beta=1}^{r} g_{2}((\nabla f_{*})(\psi e_{i},\psi e_{i}),\widetilde{Z}_{\beta}) \widetilde{Z}_{\beta} \nonumber \\ &\quad =2\sum_{i=1}^{p}g_{2}\biggl(f_{*}(\operatorname{grad}(\ln\lambda)), f_{*}\frac{\csc\theta}{\lambda}\psi e_{i}\biggr) f_{*}\frac{\csc\theta}{\lambda}\psi e_{i} \nonumber \\ &\quad\qquad+\lambda^{2}\sum_{i=1}^{p}\sum_{\beta=1}^{r}g_{2} \biggl(\nabla^{f}_{f_{*}(\csc\theta/\lambda)\psi e_{i}}f_{*} \frac{\csc\theta}{\lambda}\psi e_{i},\widetilde{Z}_{\beta}\biggr) \widetilde{Z}_{\beta} -pf_{*}(\operatorname{grad}(\ln\lambda)). \end{aligned} \end{equation} \tag{3.11} $$
Аналогично,
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \sum_{j=1}^{q}(\nabla f_{*})(\overline{e}_{j},\overline{e}_{j})&= 2\sum_{j=1}^{q}g_{2}\biggl(f_{*}(\operatorname{grad}(\ln\lambda)), f_{*}\frac{\overline{e}_{j}}{\lambda}\biggr)f_{*} \frac{\overline{e}_{j}}{\lambda}- qf_{*}(\operatorname{grad}(\ln\lambda)) \nonumber \\ &\qquad+\lambda^{2}\sum_{j=1}^{q}\,\sum_{\beta=1}^{r}g_{2} \biggl(\nabla^{f}_{f_{*}\overline{e}_{j}/\lambda}f_{*} \frac{\overline{e}_{j}}{\lambda},\widetilde{Z}_{\beta}\biggr) \widetilde{Z}_{\beta}. \end{aligned} \end{equation} \tag{3.12} $$
В силу соотношений (3.9), (3.10), (3.11) и (3.12) отображение $f$ является гармоническим тогда и только тогда, когда
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, 0&=-\sum_{i=1}^{p}\{f_{*}(\mathcal{T}_{e_{i}}e_{i})+ \sec^{2}\theta f_{*}(\mathcal{T}_{\varphi e_{i}}\varphi e_{i})\} \nonumber \\ &\qquad+(2-(p+q))f_{*}(\operatorname{grad}(\ln\lambda))+ \lambda^{2}(p+q)\mu^{\operatorname{range}f_{*}}, \end{aligned} \end{equation} \tag{3.13} $$
где $\mu^{\operatorname{range} f_{*}}$ – средняя кривизна многообразия $\operatorname{range} f_{*}$. Теперь доказываемое утверждение вытекает из (3.13).

Равенства (2.3) и (2.11) позволяют сделать следующее наблюдение.

Лемма 1. Пусть $f(M_{1},g_{1},J)\to (M_{2},g_{2})$ – отображение, для которого $\psi$ параллельно относительно связности Леви-Чивиты $\nabla$. Тогда

$$ \begin{equation*} \mathcal{T}_{\varphi V}\varphi V= -\cos^{2}\theta\mathcal{T}_{V}V\qquad\textit{для любого}\quad V\in\Gamma(\ker f_{*}). \end{equation*} \notag $$

Следствие 3. Пусть $f(M_{1},g_{1},J)\to (M_{2},g_{2})$ – отображение, для которого $\psi$ параллельно относительно связности Леви-Чивиты $\nabla$, и пусть $p,q>1$. Тогда $f$ является гармоническим, если и только если

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. A. E. Fischer, “Riemannian maps between Riemannian manifolds”, Mathematical Aspects of Classical Field Theory, Contemp. Math., 132, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1992, 331–366  mathscinet
2. B. Şahin, “Conformal Riemannian maps between Riemannian manifolds, their harmonicity and decomposition theorems”, Acta Appl. Math., 109:3 (2010), 829–847  crossref  mathscinet
3. E. Garcia-Rio, D. N. Kupeli, Semi-Riemannian Maps and Their Applications, Kluwer Academic, Dortrecht, 1999  mathscinet
4. B. Şahin, Riemannian Submersions, Riemannian Maps in Hermitian Geometry and Their Applications, Academic Press, London, 2017  mathscinet
5. B. Şahin, “Slant Riemannian maps from almost Hermitian manifolds”, Quaest. Math., 36:3 (2013), 449–461  crossref  mathscinet
6. B. Şahin, S. Yanan, “Conformal Riemannian maps from almost Hermitian manifolds”, Turkish J. Math., 42:5 (2018), 2436–2451  crossref  mathscinet
7. R. Kaushal, R. Kumar, R. K. Nagaich, “Lightlike submersions from totally umbilical semi-transversal lightlike submanifolds”, Miskolc Math. Notes., 19:2 (2018), 953–968  crossref  mathscinet
8. R. Sachdeva, R. Kaushal, G. Gupta, R. Kumar, “Conformal slant submersions from nearly Kaehler manifolds”, Int. J. Geom. Methods Mod. Phys., 18:6 (2021), Article Id. 2150088  mathscinet
9. M. A. Akyol, B. Şahin, “Conformal slant Riemannian maps to Kaehler manifolds”, Tokyo J. Math., 42:1 (2019), 225–237  crossref  mathscinet
10. M. A. Akyol, B. Şahin, “Conformal slant submersions”, Hacet. J. Math. Stat., 48:1 (2019), 28–44  mathscinet
11. B. Y. Chen, Geometry of Slant Submanifolds, Katholieke Universiteit Leuven, Leuven, 1990  mathscinet
12. Y. Ohnita, “On pluriharmonicity of stable harmonic maps”, J. London Math. Soc. (2), 35:3 (1987), 563–568  crossref  mathscinet
13. J. Eells, J. H. Sampson, “Harmonic mappings of Riemannian manifolds”, Amer. J. Math., 86:1 (1964), 109–160  crossref  mathscinet
Образец цитирования: Р. Кошаль, Р. Кумар, Р. Рани, “Гармоничность наклонных конформно римановых отображений”, Матем. заметки, 113:2 (2023), 236–250; Math. Notes, 113:2 (2023), 243–254
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KosKumRan23}
\by Р.~Кошаль, Р.~Кумар, Р.~Рани
\paper Гармоничность наклонных конформно римановых отображений
\jour Матем. заметки
\yr 2023
\vol 113
\issue 2
\pages 236--250
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/mzm13883}
\crossref{https://doi.org/10.4213/mzm13883}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4563365}
\transl
\jour Math. Notes
\yr 2023
\vol 113
\issue 2
\pages 243--254
\crossref{https://doi.org/10.1134/S0001434623010273}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85149932711}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/mzm13883
  • https://doi.org/10.4213/mzm13883
  • https://www.mathnet.ru/rus/mzm/v113/i2/p236
    • Эта публикация цитируется в следующих 2 статьяx:
    Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    		Математические заметки Mathematical Notes
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:124
    PDF полного текста:12
    HTML русской версии:70
    Список литературы:46
    Первая страница:5
     
      Обратная связь:
    		  Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024