| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) Об асимптотике решений двучленных дифференциальных уравнений Н. Н. Конечнаяa, К. А. Мирзоевb, А. А. Шкаликовb a Северный (Арктический) федеральный университет имени М. В. Ломоносова, г. Архангельск b Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623010261 
Реферативные базы данных:
 1. Формулировка результатовЦель настоящей работы – получить асимптотические формулы при $x\to\infty$ для некоторой фундаментальной системы решений дифференциальных уравнений вида
$$
\begin{equation}
l(y): =(-1)^n(p(x)y^{(n)})^{(n)}+q(x)y=\lambda y, \qquad x\in[1,\infty),
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где $\lambda $ – комплексный параметр. Всюду далее предполагается, что комплекснозначная функция $p$ такая, что где $L^1_{\mathrm{loc}}[1,\infty)$ – пространство локально суммируемых функций, $q$ – обобщенная функция, представимая в виде $q=\sigma^{(k)}$, где $k$ – некоторое целое число, $0\leqslant k\leqslant n$, а $\sigma$ – комплекснозначная функция такая, что
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} \sigma&\in L^1_{\mathrm{loc}}[1,\infty),&\qquad &\text{если}\quad k<n,\qquad \\ \frac{\sigma^2}{p}&\in L^1_{\mathrm{loc}}[1,\infty),&\qquad &\text{если}\quad k=n, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
причем производная $k$-го порядка от $\sigma$ понимается в смысле теории распределений. Более точные условия на функции $p$ и $q$ будут указаны в формулировках нижеследующих теорем. Как следствие асимптотических формул для решений рассматриваемых уравнений мы получим результаты об индексах дефекта дифференциальных операторов, порожденных выражениями $l(y)$ на полуоси $(1,\infty)$. Новизна полученных теорем в сравнении с известными классическими результатами состоит в том, что мы допускаем, чтобы функция $q$ была обобщенной. Кроме того, результаты новы и для числовых функций $q$, для которых функция $|q(x)|$ растет на некоторой подпоследовательности интервалов при $x\to\infty$ сколь угодно быстро, но рост гасится быстрой осцилляцией так, что первообразная функции $q$ порядка $\leqslant n$ является суммируемой функцией. В формулировках результатов данной работы используется понятие квазипроизводных заданной “допустимой” функции $y$, связанных с выражением $l(y)$, т.е. с функциями $p$, $\sigma$ и числом $k$. При фиксированном $j$, $j=0,1,\dots,2n-2$, для функции $y$ по приведенной ниже процедуре определяется квазипроизводная $y^{[j+1]}$, если квазипроизводная $y^{[j]}$ уже определена и является локально абсолютно непрерывной функцией ($y^{[j]}\in AC_{\mathrm{loc}}[1,\infty)$). При этом из условий (1.2) и (1.3) будет следовать, что $y^{[j+1]}\in L^1_{\mathrm{loc}}[1,\infty)$. Итак, зафиксируем целое число $k$, $0\leqslant k\leqslant n$, и определим квазипроизводную $y^{[j]}$, $j=0,1,\dots,2n-1$. Эту квазипроизводную при $j=0,1,\dots,n-1$ и при любом $k$ определим равенством а квазипроизводную $y^{[n]}$ – равенством
$$
\begin{equation}
y^{[n]}:=\begin{cases} py^{(n)}, &\text{если }k<n, \\ py^{(n)}+(-1)^n\sigma y, &\text{если }k=n. \end{cases}
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
Далее, при $k<n-1$ определим квазипроизводную $y^{[n+j]}$, $j=1,2,\dots,n-1$, положив
$$
\begin{equation}
y^{[n+j]}:=\begin{cases} (y^{[n]})^{(j)}, &j=1,2,\dots,n-k-1, \\ (y^{[n+j-1]})'+(-1)^{j+k}C_k^{j+k-n}\sigma y^{[j+k-n]}, &j=n-k,\dots,n-1, \end{cases}
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
(здесь и далее $C_k^{j}$ – биномиальные коэффициенты), а при $k=n-1$ или $k=n$ определим эту квазипроизводную, положив
$$
\begin{equation}
y^{[n+j]}:=(y^{[n+j-1]})'+(-1)^{j+k}C_k^{j+k-n}\sigma y^{[j+k-n]},\qquad j=1,2,\dots,n-1.
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
Сформулируем теперь основные результаты. Всюду далее через $o(1)$ обозначается функция, являющаяся бесконечно малой при $x\to\infty$. Теорема 1. Пусть комплекснозначная локально интегрируемая функция $p$ допускает представление $p=(1+r)^{-1}$, где $r\in L^1[1,\infty)$, и $q$ – комплекснозначная обобщенная функция такова, что при некотором целом $k$, $0\leqslant k\leqslant n,$ она представима в виде $q=\sigma^{(k)}$, где $\sigma$ – регулярная обобщенная функция (т.е. принадлежит $L^1_{\mathrm{loc}}[1,\infty)$), а производная понимается в смысле теории распределений. Пусть при этом Тогда уравнение (1.1) при $\lambda\ne 0$ имеет фундаментальную систему решений $\{y_j\}_{j=1}^{2n}$ вида где $z_j$ – различные корни степени $2n$ из $(-1)^n\lambda$.Замечание 1. Полагая $s=1$ в формулах (1.9) и учитывая равенство (1.4), получаем, что уравнение (1.10) имеет фундаментальную систему решений вида и эти равенства допускают дифференцирование в классическом смысле до $(n-1)$-го порядка включительно. Более того, из формул (1.5)–(1.7) следует, что это утверждение остается справедливым, если при $j\geqslant n$ вместо производных рассматриваются квазипроизводные. Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1, но условия (1.8) заменены условиями Отметим, что в случае $k=0$ асимптотические формулы (1.9) для решений уравнения (1.1) хорошо известны и являются частным случаем более общего результата (см., например, [1; гл. VII, § 22, теорема 8] или [2; гл. 1, § 1.9, теорема 1.9.1]). В случае $k=0$ утверждение теоремы 2 также хорошо известно и представляет собой классический результат (см., например, [3; гл. X, § 17, теорема 17.1]). При $k> 1$ утверждения теорем 1 и 2 являются новыми. Утверждения теорем 1 и 2 позволяют получить классическую асимптотику фундаментальной системы решений уравнения (1.1) для потенциалов $q$, которые могут расти сколь угодно быстро на некоторой последовательности интервалов, уходящих в бесконечность, при условии их подходящей осцилляции. Например, утверждения теорем 1 и 2 выполняются для коэффициентов вида $p(x)=1$ и $q=\sigma^{(k)}$, $1\leqslant k\leqslant n$, где Выбором функции $\varphi$ можно обеспечить произвольный рост функции $q$ на любой заданной последовательности непересекающихся отрезков.Приведенные две теоремы дают асимптотику некоторой фундаментальной системы решений уравнений, которые можно рассматривать как возмущения канонического уравнения $y^{(2n)}-\lambda y=0$. Ниже приводим результат, где в качестве канонического уравнения рассматривается уравнение
$$
\begin{equation*}
\alpha(x^{2n+\nu}y^{(n)})^{(n)}+\beta x^\nu y-\lambda y=0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\alpha\ne 0$, $\beta$ – произвольные комплексные числа и $\nu\geqslant 0$. При $\nu=0$ это уравнение Эйлера. Теорема 3. Пусть существуют числа $\nu \geqslant 0$ и целое число $k$, $0\leqslant k\leqslant n$, такие, что функция $p\in L^1_{\mathrm{loc}}[1,\infty)$ и обобщенная функция $q$, фигурирующие в уравнении (1.1), допускают представления Замечание 2. Многочлен $\mathscr F_{2n}(z,\nu,k)$ является характеристическим многочленом некоторой постоянной матрицы размерности $2n$. Структура этой матрицы такова, что геометрическая кратность любого собственного значения этой матрицы равна $1$, причем первая компонента соответствующего собственного вектора отлична от нуля. Числа $c_s$ в формулировке теоремы 3 являются координатами собственного вектора, соответствующего собственному значению $z_1$. Это будет ясно из приведенного ниже доказательства теоремы 3 в п. 5. Как и утверждения теорем 1 и 2, утверждение теоремы 3 также справедливо для некоторых сильно осциллирующих функций $q(x)$. Это, очевидно, можно обеспечить подходящим подбором функций $r(x)$ и $s(x)$. Аналог теоремы 3 для дифференциальных уравнений вида
$$
\begin{equation*}
l_{2n}(y):=\sum^n_{j=0}(p_{j}(x)y^{(j)})^{(j)}=\lambda y
\end{equation*}
\notag
$$
с вещественными аналитическими в некоторой окрестности бесконечности коэффициентами
$$
\begin{equation*}
p_{j}(z):=z^{2j+\nu}\biggl[a_j+\sum_{i=1}^{+\infty}a_i^{(j)}z^{-i}\biggr],\quad j=0,1,\dots,n,\qquad |z|\geqslant x_0>1,
\end{equation*}
\notag
$$
где $a_n\ne 0$, а $\nu\geqslant 0$ – целое число, впервые был получен Орловым в работе [4], и тем самым был найден класс линейных симметрических дифференциальных операторов с вещественными аналитическими коэффициентами, дефектные числа которых определяются как число корней полиномов $\mathscr F_{2n}(z,\nu)$, лежащих в левой полуплоскости (эти корни конструируются явно по числам $a_0,a_1,\dots,a_n$). Позднее Пэрис и Вуд в работе [5] заново открыли теорему Орлова для частного случая $p_j(x)=a_jx^{2j+\nu}$, $j=0,1,\dots,n$, где $\nu$ – неотрицательное целое число, и подробно изучли полином $\mathscr F_{2n}(z,\nu)$. В частности, они установили, что существуют положительные числа $K$ и $\nu$ такие, что индекс дефекта минимального замкнутого положительного симметрического оператора, порожденного выражением равен $(5,5)$, тем самым уточнив результат Кауффмана [6] о том, что для этого оператора индекс дефекта не равен $(3,3)$. Позже результаты работы [5] вошли в книгу [7], в которой также были рассмотрены дифференциальные операторы, порожденные выражениями нечетного порядка частного вида, и исследованы соответствующие им полиномы.В работе Мирзоева [8] исследуется задача об индексе дефекта минимального замкнутого симметрического оператора, порожденного симметрическим дифференциальным выражением произвольного (четного или нечетного) порядка. Изучается также характер спектра соответствующих самосопряженных расширений. Полученные в [8] результаты обобщают результаты работы [4]. Теорема 3 при $k=0$ является частным случаем утверждения из работы [8]. Отметим, что формулировки теорем 1–3 анонсированы ранее в работе авторов [9]. Но их доказательства проведены только в случае $n=1$. Ознакомление с ними в этом частном случае поможет читателю понять сущность дела в общем случае. Работа [9] послужила началом исследований по нахождению асимптотик решений уравнений на полуоси с коэффициентами-распределениями при $x\to\infty$. Основная идея состояла в конструкции различных регуляризаций соответствующих уравнений с помощью приведения этих уравнений к эквивалентным системам первого порядка. Впоследствии в работе [10] была проведена регуляризация уравнения
$$
\begin{equation*}
y^{(n)}+(a_1+p_1(x))y^{(n-1)} +(a_2+p_2'(x))y^{(n-2)}+\dotsb+(a_n+p_n'(x))y=\lambda y,
\end{equation*}
\notag
$$
где $a_1,a_2,\dots,a_n,\lambda$ – комплексные числа,
$$
\begin{equation*}
|p_1|+(1+|p_2-p_1|)\sum_{j=2}^n|p_j|\in L_{\mathrm{loc}}^1[1,\infty ),
\end{equation*}
\notag
$$
а производные функций $p_j$ понимаются в смысле теории распределений. Было установлено, что при некоторых условиях убывания функций $p_j$ на бесконечности главный член асимптотики при $x\to\infty$ фундаментальной системы решений этого уравнения определяется, как и в классическом случае, по корням многочлена В работе [11] анонсированы аналоги теорем 1–3 для дифференциального уравнения нечетного порядка вида
$$
\begin{equation*}
i^{2n+1}\{(qy^{(n+1)})^{(n)}+(qy^{(n)})^{(n+1)}\}+py=\lambda y.
\end{equation*}
\notag
$$
Общий подход к регуляризации дифференциальных уравнений высших порядков с коэффициентами-распределениями был предложен в работе Мирзоева и Шкаликова [12]. Но вопросы об асимптотиках решений таких уравнений при $x\to\infty$ в [12] не изучались. Коротко скажем о структуре работы. В п. 2 мы проводим регуляризацию выражения $l(y)$, в частности, обосновываем целесообразность определения квазипроизводных допустимых функций формулами (1.4)–(1.7). В пп. 3, 4 и 5 приведены доказательства теорем 1, 2 и 3 соответственно. Пункт 6 посвящен приложениям этих теорем к исследованию индексов дефекта соответствующих симметрических операторов (с вещественными функциями $p$ и $\sigma$) и изучению спектров самосопряженных расширений этих операторов. 2. Построение матрицы, согласованной с выражением $l(y)$. Квазипроизводные и квазидифференциальное выражениеЗафиксируем целое число $k$, $0\leqslant k\leqslant n$, и определим квадратную матрицу $\mathbf{F}_{2n}^k$ с элементы $f_{ij}^k(=:f_{ij})$, $i,j=1,2,\dots,2n$, размерности $2n$, полагая Все неуказанные в этом списке элементы матрицы $\mathbf{F}_{2n}^k$ равны нулю.Таким образом, матрица $\mathbf{F}_{2n}^k$ при $k<n$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\mathbf{F}_{2n}^k=\begin{pmatrix} 0 &1 & & & & & &0 \\ & &\ddots & & & &\cdot^{\displaystyle{\displaystyle\cdot}^{\displaystyle\cdot}} & \\ & & &1 & &0 & & \\ & & & &p^{-1} & & & \\ & & & & &1 & & \\ & &D_k & & & &\ddots & \\ & & & & & & &1 \\ & & & & & & &0 \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
где элемент $p^{-1}$ находится на пересечении $n$-й строки и $(n+1)$-го столбца, диагональная матрица $D_k=\operatorname{diag}(f_{2n-k,1},f_{2n+1-k,2},\dots,f_{2n,k+1})$ размерности $k+1$ (см. равенство ii) при $k<n$) занимает левый нижний блок, а при $k=n$
$$
\begin{equation*}
\mathbf{F}_{2n}^n=\begin{pmatrix} 0 &1 & & & & & &0 \\ & &\ddots & & & &\cdot^{\displaystyle{\displaystyle\cdot}^{\displaystyle\cdot}} & \\ & & &1 & &0 & & \\ (-1)^{n+1}\sigma p^{-1} & & & &p^{-1} & & \\ & & & & &1 & & \\ & &D_n & & & &\ddots & \\ & & & & & & &1 \\ (-1)^n\sigma^2p^{-1} & & & &-\sigma p^{-1} & & &0 \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
где диагональная матрица $D_n=\operatorname{diag}(f_{n+1,2},f_{n+2,3},\dots,f_{2n-1,n})$ размерности $n-1$ (см. равенства ii) при $k=n$) заполняет блок $\{f_{ij}\}$ с номерами строк $i=n+1,n+2, \dots,2n-1$ и столбцов $j=2,3,\dots,n$ матрицы $\mathbf{F}_{2n}^n$. На всех незаполненных местах матриц $\mathbf{F}_{2n}^k$ находятся нули. Пусть $g\in L^1_{\mathrm{loc}}[1,\infty)$. Символом $\mathbf g$ обозначим вектор-столбец $\mathbf g:=(0,0,\dots,0,g)^T$ ($T$ – знак транспонирования) размерности $2n$, и рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка где $\mathbf y$ – $2n$-компонентная неизвестная вектор-функция. Из условий (1.2) и (1.3) легко извлечь, что все элементы матрицы $\mathbf{F}_{2n}^k$ являются локально интегрируемыми на $[1,\infty)$, а координаты $\mathbf g$ также являются таковыми. Таким образом, выполняются условия, обеспечивающие справедливость теоремы существования и единственности решения задачи Коши для уравнения (2.1), поставленной в произвольной точке полуоси $[1,\infty)$ (см., например, [1; гл. V, § 16, теорема 1]). В частности, компоненты любого решения $\mathbf y$ системы (2.1), которые в дальнейшем мы будем обозначать символами $y^{[0]},y^{[1]},\dots,y^{[2n-1]}$, принадлежат пространству $AC_{\mathrm{loc}}[1,\infty)$. С другой стороны, структура матрицы $\mathbf{F}_{2n}^k$ позволяет последовательно выразить компоненты $y^{[1]},\dots,y^{[2n-1]}$ вектор-столбца $\mathbf y$ через его первую компоненту $y^{[0]}$, а именно, из первых $2n-1$ уравнений системы (2.1) находим, что они удовлетворяют равенствам
$$
\begin{equation}
y^{[j+1]}=f_{j+1,j+2}^{-1}(y^{[j]})',\qquad j=0,1,\dots,2n-2-k,
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
и
$$
\begin{equation}
y^{[2n-k+j]}=f_{2n-k+j,2n-k+j+1}^{-1} \{(y^{[2n-k+j-1]})'-f_{2n-k+j,j+1}y^{[j]}\},\qquad j=0,1,\dots,k-1.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Таким образом, эти формулы позволяют выразить компоненту $y^{[j+1]}$ при фиксированном $j\in\{0,1,\dots,2n-2\}$ через $y^{[s]}$, где $s\leqslant j$. Следовательно, все компоненты $y^{[j]}$ в итоге выражаются через $y^{[0]}:=y$. Функция $y^{[j]}$, $j=0,1,\dots,2n-1$, определяемая рекуррентными формулами (2.2) и (2.3), называется квазипроизводной порядка $j$ допустимой функции $y$, ассоциированной с матрицей $\mathbf{F}_{2n}^k$. Несложные вычисления с учетом равенств i) и ii) показывают, что для них справедливы формулы (1.4)–(1.7). Последнее уравнение системы (2.1) в принятых нами обозначениях записывается в виде
$$
\begin{equation}
\tau(y):=(y^{[2n-1]})'-f_{2n,k+1}y^{[k]}-f_{2n,1}y=g.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Выражение $\tau(y)$ называется квазидифференциальным выражением, ассоциированным с матрицей $\mathbf{F}_{2n}^k$. В терминах элементов этой матрицы выражение $\tau(y)$ при $k<n$ принимает вид а при $k=n$
$$
\begin{equation}
\tau (y)=(y^{[2n-1]})'+\sigma p^{-1}y^{[n]}+(-1)^{n+1}\sigma^2 p^{-1}y.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Естественная область определения $\mathscr D(\tau)$ выражения $\tau$ – это множество всех комплекснозначных функций $y$ таких, что $y^{[j]}\in AC_{\mathrm{loc}}[1,\,\infty)$, $j=0,1,\dots,2n-1$. Отметим, что если $y\in\mathscr{D}(\tau)$, то $\tau(y)\in L^1_{\mathrm{loc}}[1,\,\infty)$. Квазидифференциальное уравнение (2.4) и система уравнений (2.1) равносильны в том смысле, что если все квазипроизводные функции $y$ до $(2n-1)$-го порядка принадлежат классу $AC_{\mathrm{loc}}[1,\infty)$ и $y$ удовлетворяет уравнению (2.4) почти всюду, то $\mathbf y$ является решением системы (2.1). Наоборот, если вектор-функция $\mathbf y$ является решением системы (2.1), то ее координаты принадлежат классу $AC_{\mathrm{loc}}[1,\infty)$, а первая координата $y=y^{[0]}$ удовлетворяет уравнению (2.4) почти всюду. Таким образом, условия (1.2) и (1.3) обеспечивают справедливость теоремы существования и единственности решения задачи Коши для уравнения (2.4), поставленной в произвольной точке полуоси $[1,\infty)$. Лемма 1. Пусть $y\in\mathscr D(\tau)$. Тогда распределение $l(y)$, определенное в (1.1), является регулярной обобщенной функцией и для него справедливо равенство Доказательство. При $k=0$ лемма 1, очевидно, справедлива. Рассмотрим случай $k=1$, и пусть $y\in\mathscr D(\tau)$. При $n=1$, согласно формулам (1.5) и (2.6), квазипроизводная $y^{[1]}$ и квазидифференциальное выражение $\tau(y)$ имеют вид
$$
\begin{equation*}
y^{[1]}=py'-\sigma y,\qquad \tau(y)=(y^{[1]})'+\sigma p^{-1}y^{[1]}+\sigma^2 p^{-1}y.
\end{equation*}
\notag
$$
Из условий (1.2) и (1.3) следует, что в выражении $\tau(y)$ все скобки можно раскрыть, и в результате получим справедливость леммы 1 (см. работы [12]–[16]). При $n\geqslant 2$ квазипроизводные и квазидифференциальное выражение (см. формулы (1.4)–(1.6) и (2.5)) принимают вид
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, y^{[j]} =y^{(j)},\quad j=0,1,\dots,n-1, \qquad y^{[n+j]} =(py^{(n)})^{(j)},\quad j=0,1,\dots,n-2, \\ y^{[2n-1]} =(py^{(n)})^{(n-1)}+(-1)^n\sigma y, \qquad \tau y =(y^{[2n-1]})'+(-1)^{n+1}\sigma y', \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и справедливость леммы 1 также очевидна. Рассмотрим теперь случай $k\geqslant 2$. Применяя индукцию по $r$, покажем, что при $r=1,2,\dots,k-1$, для любого $n\geqslant 2$ справедлива формула
$$
\begin{equation}
{y^{[2n-k+r]} =(py^{(n)})^{(n-k+r)}+(-1)^n\sigma^{(r)}y +(-1)^n\sum_{m=1}^r (-1)^mC_{k+m-r-1}^m\sigma^{(r-m)}y^{(m)},}
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
где производные всюду понимаются в смысле теории распределений. Покажем справедливость формулы (2.7) при $r=1$. Из формул (1.6) (при $k<n-1$, полагаем $j=n-k+1$) и (1.7) (при $k=n-1$, полагаем $j=2$ и при $k=n$, полагаем $j=1$) получаем, что справедливо равенство
$$
\begin{equation*}
y^{[2n-k+1]}=(y^{[2n-k]})'+(-1)^{n+1}C_k^{1}\sigma y^{[1]}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, при $k=n$ воспользуемся равенством (1.5). При $k=n-1$ положим $j=1$ в равенстве (1.7) и воспользуемся равенством (1.5). При $k<n-1$ положим сначала $j=n-k$, а затем $j=n-k-1$ в равенстве (1.6). Вновь используя (1.5), находим Используя это равенство и равенство $y^{[1]}=y'$ (см. (1.4)), получаем
$$
\begin{equation*}
y^{[2n-k+1]}=(py^{(n)})^{(n-k+1)}+(-1)^n\sigma'y-(-1)^nC_{k-1}^1\sigma y',
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. формула (2.7) справедлива при $r=1$. Предположим теперь, что формула (2.7) справедлива при $r=s$, где все еще $s<k-1$, и докажем, что эта формула справедлива при $r=s+1$. Действительно, используя формулы (1.6) (при $k<n-1$, полагаем $j=n-k+s+1$) и (1.7) (при $k=n-1$ полагаем $j=s+2$, и при $k=n$ полагаем $j=s+1$), а также формулу (2.7) при $r=s$ получаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I &:=(-1)^n\{y^{[2n-k+s+1]}-(py^{(n)})^{(n-k+s+1)} -(-1)^n\sigma^{(s+1)}y\} \\ &\,\,=\sigma^{(s)}y'+\sum_{m=1}^s(-1)^mC_{k+m-s-1}^m [\sigma^{(s+1-m)}y^{(m)}+\sigma^{(s-m)}y^{(m+1)}] \\ &\,\,\qquad +(-1)^{s+1}C_k^{s+1}\sigma y^{[s+1]}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I &=\sum_{m=1}^{s+1}(-1)^m(C_{k+m-s-1}^m-C_{k+m-s-2}^{m-1}) \sigma^{(s+1-m)}y^{(m)} \\ &=\sum_{m=1}^{s+1}(-1)^mC_{k+m-s-2}^m\sigma^{(s+1-m)}y^{(m)}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
так как при $t=k+m-s-1$ справедливо равенство Следовательно, формула (2.7) справедлива при всех значениях $r\leqslant k-1$. В частности, при $r=k-1$ эта формула принимает вид
$$
\begin{equation*}
y^{[2n-1]}=(py^{(n)})^{(n-1)}+(-1)^n\sigma^{(k-1)}y +(-1)^n\sum_{m=1}^{k-1}(-1)^m\sigma^{(k-1-m)} y^{(m)}.
\end{equation*}
\notag
$$
При $k\leqslant n-1$, используя формулу (2.6) и полученную выше формулу, находим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(-1)^n\tau(y)-(-1)^n(py^{(n)})^{(n)}-\sigma^{(k)}y \\ &\qquad=\sigma^{(k-1)}y'+\sum_{m=1}^{k-1}(-1)^m \{\sigma^{(k-m)}y^{(m)}+\sigma^{(k-m-1)}y^{(m+1)}\} +(-1)^k\sigma y^{(k)}=0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. в случае $k\leqslant n-1$ утверждение леммы 1 также справедливо. При $k=n$, используя формулу (2.6) и опять полученную выше формулу, находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(-1)^n\tau y-(-1)^n(py^{(n)})^{(n)}-\sigma^{(n)}y \\ &\quad=\sigma^{(n-1)}y'+\sum_{m=1}^{n-1}(-1)^m \{\sigma^{(n-m)}y^{(m)}+\sigma^{(n-m-1)}y^{(m+1)}\} +(-1)^n\sigma p^{-1}y^{[n]}-\sigma^2 p^{-1}y \\ &\quad=0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что доказывает справедливость леммы 1 в случае $k=n$. 3. Доказательство теоремы 1Исходя из леммы 1, дифференциальное выражение $l(y)$ отождествим с квазидифференциальным выражением $(-1)^n\tau(y)$ и перепишем дифференциальное уравнение (1.1) в виде Это уравнение совпадает с уравнением (2.4), где $g=(-1)^n\lambda y$, а уравнение (2.4), как отмечено выше, равносильно системе (2.1) с той же матрицей $\mathbf{F}_{2n}^k$ и соответствующим вектором $\mathbf g:=(0,0,\dots,0,(-1)^n\lambda y)^T$. Полученную при этом систему запишем в виде Здесь $\mathbf y$ – вектор-столбец c элементами $\mathbf y:=(y,y^{[1]},\dots,y^{[2n-1]})^T$, элементы $\lambda_{ij}$ квадратной матрицы $\boldsymbol\Lambda $ размерности $2n$ определяются равенствами $\lambda_{2n,1}:=(-1)^n\lambda$, $\lambda_{j,j+1}:=1$ при $j=1,2,\dots,2n-1$ и $\lambda_{ij}:=0$ для всех остальных значений $i$ и $j$, т.е.
$$
\begin{equation*}
\boldsymbol\Lambda=\begin{pmatrix} 0 &1 & & & & & &0 \\ & &\ddots & & & &\cdot^{\displaystyle{\displaystyle\cdot}^{\displaystyle\cdot}} & & \\ & & &1 & &0 & & \\ & & & &1 & & & \\ & & & & &1 & & \\ & & & & & &\ddots & \\ & & & & & & &1 \\ (-1)^n\lambda & & & & & & &0 \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
а элементы $r_{ij}$ матрицы $\mathbf R(x)$ совпадают с соответствующими элементами матрицы $\mathbf{F}_{2n}^k$, за исключением элементов вида $r_{j,j+1}$, $j=1,2,\dots,2n-1$, которые определены равенствами
$$
\begin{equation*}
r_{j,j+1}=0\qquad \text{при}\quad j=1,\dots,n-1,n+1,\dots,2n-1,\quad r_{n,n+1}=r.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, уравнение (3.1), а следовательно, и уравнение (1.1), в указанном выше смысле равносильно системе (3.2). Если $\lambda\ne 0$, то матрица $\mathbf\Lambda$ имеет различные собственные числа где $\alpha$ – фиксированный корень степени $2n$ из числа $(-1)^n\lambda$, а $\omega_1,\omega_2,\dots,\omega_{2n}$ – все корни $2n$-й степени из $1$ (т.е. корни уравнения $\omega^{2n}=1$).Из условий (1.8) теоремы 1 следует, что все элементы матрицы $\mathbf R(x)$ принадлежат пространству $L^1[1,\infty)$. Тогда, применяя утверждение задачи 29 из книги [17; гл. III] (см. также [2; теорема 1.8.1]), получаем, что система (3.2) имеет решения $\mathbf y_j$, представимые в виде
$$
\begin{equation*}
\mathbf y_j=e^{z_jx}\mathbf p_j(1+o(1)),\qquad j=1,2,\dots,2n,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbf p_j=(1,z_j,z_j^2,\dots,z_j^{2n-1})^T$ – собственный вектор матрицы $\mathbf\Lambda$, соответствующий собственному числу $z_j$. Учитывая далее связь между решениями уравнения (3.1) и решениями системы (3.2), получаем, что уравнение (3.1) (а тогда и (1.1)) имеет фундаментальную систему решений $y_j$, $j=1,2,\dots,2n$, для которой при $x\to+\infty$ справедливы асимптотические формулы (1.9). Теорема доказана. 4. Доказательство теоремы 2Мы уже показали, что уравнения (1.1) и (3.1) эквивалентны системе (3.2). При $\lambda=0$ матрица $\mathbf\Lambda$ в (3.2) имеет жорданову форму, содержащую одну жорданову клетку, и ей отвечает $2n$-кратное собственное значение $0$. Заметим, что в рассматриваемом случае система уравнений $\mathbf y'=\boldsymbol\Lambda\mathbf y$ имеет $2n$ линейно независимых решений
$$
\begin{equation*}
\mathbf y_j=\biggl(\frac{x^{j-1}}{(j-1)!}\,, \frac{x^{j-2}}{(j-2)!}\,,\dots,1,0,0\dots,0\biggr)^T,\qquad j =1,2,\dots,2n.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим символом $\mathbf Q$ диагональную матрицу вида
$$
\begin{equation*}
\mathbf Q:=\operatorname{diag}(1,x,x^2,\dots,x^{2n-2},x^{2n-1}),
\end{equation*}
\notag
$$
и положим $\widetilde{\mathbf R}:=\mathbf Q\mathbf R\mathbf Q^{-1}$, где матрица $\mathbf R$ определена выше. Элементы $\widetilde r_{ij}$, $i,j=1,2,\dots,2n$, матрицы $\widetilde{\mathbf R}$ определяются следующим образом: если $k<n$, то
$$
\begin{equation*}
\widetilde r_{2n-1+j-k,j}=(-1)^{n+j}C_k^{j-1}x^{2n-k-1}\sigma,\quad j=1,2,\dots,k+1,\qquad \widetilde r_{n,n+1}=x^{-1}r;
\end{equation*}
\notag
$$
если $k=n$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widetilde r_{n,1}=(-1)^{n+1}x^{n-1}\sigma(1+r),\qquad \widetilde r_{n,n+1}=x^{-1}r,\qquad \widetilde r_{2n,n+1}=-x^{n-1}\sigma(1+r), \\ \widetilde r_{n-1+j,j}=(-1)^{n+j}C_n^{j-1}x^{n-1}\sigma,\quad j=2,\dots,n,\qquad \widetilde r_{2n,1}=(-1)^nx^{2n-1}\sigma^2(1+r). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Все неуказанные элементы матрицы $\widetilde{\mathbf R}$ – нули. Согласно теореме 1.10.1 из главы 1, § 1.10 книги [2] уравнение (3.2) имеет решения $\mathbf y_j$, $j=1,2,\dots,2n$, вида
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber \mathbf y_{j}=\biggl(&\frac{x^{j-1}}{(j-1)!}+o(x^{j-1}), \frac{x^{j-2}}{(j-2)!}+o(x^{j-2}),\dots, \\ &\qquad 1+o(1),o(x^{-1}),o(x^{-2}),\dots,o(x^{-2n+j})\biggr)^T \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
при условии, что все элементы матрицы $\widetilde{\mathbf R}$ принадлежат пространству $L^1[1,\infty)$. Но это условие гарантируется условиями теоремы 2. Поэтому из представлений (4.1) получаем утверждение теоремы. Этим заканчивается доказательство.
5. Доказательство теоремы 3Запишем уравнение (3.1) в виде системы
$$
\begin{equation}
\mathbf y'=(\mathbf{F}_{2n}^k+\boldsymbol\Lambda_0)\mathbf y,
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
где матрица $\mathbf{F}_{2n}^k$ определена ранее, а элементы квадратной матрицы $\boldsymbol\Lambda_0=(\lambda_{ij}^0)$ размерности $2n$ определяются равенствами $\lambda_{2n,1}^0:=(-1)^n\lambda$ и $\lambda_{ij}^0:=0$ для всех остальных значений $i$ и $j$. Обозначив символом $\mathbf D$ диагональную матрицу с элементами
$$
\begin{equation*}
d_i(x):=x^{-i+1/2},\quad d_{i+n}(x):=x^{n+\nu-i+1/2},\qquad i=1,\dots,n,
\end{equation*}
\notag
$$
сделаем замену $\mathbf y=\mathbf D\mathbf u$ и перепишем уравнение (6.4) в виде где
$$
\begin{equation*}
\mathbf A(x)=\mathbf D^{-1}(\mathbf{F}_{2n}^k+\mathbf\Lambda_0)\mathbf D -\mathbf D^{-1}\mathbf D'.
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом представлений (1.1) функций $p$ и $\sigma$ находим, что Простые вычисления показывают, что элементы $a_{ij}$ числовой матрицы $\mathbf A_0$ и элементы $b_{ij}(x)$ матрицы-функции $\mathbf B(x)$ определяются следующими равенствами:
Сделав замену $x=e^t$ в системе (5.2), получим систему уравнений
$$
\begin{equation}
\mathbf v'(t)=(\mathbf A_0+\mathbf R(t))\mathbf v(t),
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
где $\mathbf v(t)=\mathbf u(e^t)$, $\mathbf R(t)=\mathbf B(e^t)$. Вычисления показывают, что характеристический многочлен матрицы $\mathbf A_0$ имеет вид (здесь $\mathbf 1$ – единичная матрица)
$$
\begin{equation*}
\det(\mathbf A_0-z\boldsymbol 1) =\frac{1}{\alpha}\,\mathscr F_{2n}(z,\nu,k).
\end{equation*}
\notag
$$
Структура матрицы $\mathbf A_0$ такова, что $a_{j,j+1}\ne 0$ при $1\leqslant j\leqslant 2n-1$ и $a_{jl}=0$ при $2\leqslant j+1<l\leqslant 2n$ (см. формулы для них, приведенные выше). Поэтому собственный вектор матрицы $\mathbf A_0$, соответствующий какому-либо собственному значению, однозначно определяется заданием своей первой координаты, которая должна быть отлична от нуля. Таким образом, каждому собственному значению матрицы $\mathbf A_0$ соответствует только один собственный вектор, т.е. геометрическая кратность любого собственного значения матрицы $\mathbf A_0$ равна единице. Иными словами, каждому собственному значению матрицы $\mathbf A_0$ соответствует только одна жорданова клетка в ее канонической форме. Поэтому максимум размерности жордановых клеток в канонической форме матрицы $\mathbf A_0$ совпадает с наибольшей алгебраической кратностью собственного значения этой матрицы. Если матрица $\mathbf A_0$ имеет простое собственное число $z_1$, то система уравнений $\mathbf v'(t)=\mathbf A_0\mathbf v(t)$ имеет решение $e^{z_1t}\mathbf c$, где $\mathbf c$ – собственный вектор, соответствующий $z_1$. Из приведенных выше равенств для элементов $b_{ij}(x)$ матрицы $\mathbf B(x)$ и условия (1.11) теоремы 3 при $m=1$ следует, что все элементы матрицы $\mathbf R(t)$ принадлежат пространству $L^1[0,\infty)$. Применяя далее утверждение задачи 29 из книги [17; гл. III] (см. также [2; теорема 1.8.1]), получаем, что система (5.3) имеет решение $\mathbf v$, представимое при $t\to\infty$ в виде Остается заметить, что решения $\mathbf y(x)$ и $\mathbf v(t)$ связаны равенством Следовательно, уравнение (3.1) имеет решение $y$, представимое при $x\to\infty$ в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} y^{[s-1]}(x) &=x^{z_1-s+1/2}(c_s+o(1)), &\qquad s &=1,2,\dots,n, \\ y^{[n+s-1]}(x) &=x^{z_1+n+\nu-s +1/2}(c_{n+s}+o(1)), &\qquad s &=1,2,\dots,n, \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
где $c_1,c_2,\dots,c_{2n}$ – координаты собственного вектора $\mathbf c$ матрицы $\mathbf A_0$, причем $c_1\ne 0$. Пусть теперь $z_1$ – собственное число матрицы $\mathbf A_0$ кратности $l_1$, $2\leqslant l_1\leqslant m$. Этому числу, как мы уже отмечали выше, с точностью до постоянного множителя соответствует только один собственный вектор $\mathbf c$. Тогда система уравнений $\mathbf v'(t)=\mathbf A_0\mathbf v(t)$ имеет решения, представимые в виде
$$
\begin{equation*}
e^{z_1t}\mathbf c\qquad \text{и}\qquad e^{z_1t}t^l\mathbf c+O(e^{z_1t}t^{l-1}),\quad l=1,2,\dots,l_1-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Из вышеприведенных таблиц для элементов $b_{ij}(x)$ матрицы $\mathbf B(x)$ и условия (1.11) теперь следует, что все элементы матрицы $t^{m-1}\mathbf R(t)$ принадлежат пространству $L^1[0,\infty)$. Применив далее утверждение задачи 35 из книги [17; гл. III] (см. также [2; теорема 1.10.1]), легко показать, что уравнение (1.1) имеет подсистему фундаментальных решений $\{y_j\}_{j=1}^{l_1}$, представимых при $x\to\infty$ в виде (1.12). Этим завершается доказательство теоремы.
6. Индексы дефекта и спектрВ этом пункте, как прежде, мы предполагаем, что $k$ – фиксированное целое число, $0\leqslant k\leqslant n$, а функции $p$ и $\sigma$ удовлетворяют условиям (1.2) и (1.3). Помимо этих условий здесь будем полагать, что эти функции вещественные. Эти условия обеспечивают справедливость формулы Лагранжа для квазидифференциального выражения $\tau(y)$, определенного в (2.5) и (2.6). А именно, для любых функций $f,g\in\mathscr D(\tau)$, где $\mathscr D(\tau)$ – естественная область определения выражения $\tau(y)$ (см. выше п. 2), выполнено равенство
$$
\begin{equation}
\int_\alpha^\beta\overline g\tau(f) -\int_\alpha^\beta f\overline{\tau(g)} =[fg](\beta)-[fg](\alpha),\qquad \alpha,\beta\in[1,\infty),
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
где
$$
\begin{equation*}
[fg](x)=\sum_{j=0}^{2n-1}(-1)^{n+1-j}f^{[j]}(x)\overline{g^{[2n-1-j]}(x)},
\end{equation*}
\notag
$$
а квазипроизводные $y^{[j]}$, $j=0,1,\dots,2n-1$, определяются формулами (1.4)–(1.7). Как мы отмечали выше, при $k=0$ определение квазипроизводных и квазидифференциального выражения в этой статье и в книге [1; глава 5, § 15, п. 2, формула (3)] совпадают и формула (6.1) в этом случае доказана (см. [1; глава 5, § 15, п. 3]). При $k\geqslant 1$ доказательство формулы (6.1) можно провести с помощью тех же рассуждений. Квазидифференциальное выражение $(-1)^n\tau(y)$ и, следовательно, дифференциальное выражение $l(y)$ в представлении (1.1) порождает в пространстве $L^2[1,\infty)$ оператор $L_{\max}$ с областью определения $\mathscr D(L_{\max})$ по формуле
$$
\begin{equation*}
L_{\max}y=(-1)^n\tau(y),\qquad \text{если}\quad y\in\mathscr D(L_{\max}),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\mathscr D(L_{\max})=\{y\in\mathscr D(\tau)\mid y\in L^2[1,\infty)\qquad \text{и}\qquad \tau(y)\in L^2[1,\infty)\},
\end{equation*}
\notag
$$
Оператор $L_{\max}$ называется максимальным оператором, порожденным выражением $(-1)^n\tau(y)$ в пространстве $L^2[1,\infty)$. Рассмотрим сужение этого оператора на область
$$
\begin{equation*}
\mathscr D(L_{\min}^0) =\{y\in\mathscr D(L_{\max})\mid\operatorname{supp}y\subset(1,\infty)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь запись $\operatorname{supp} y\subset(1,\infty)$ означает, что носители функций $y$ являются компактами в $(1,\infty)$, т.е. функции $y\in\mathscr D(L_{\min}^0)$ обращаются в нуль в окрестностях точек $1$ и $\infty$. Замыкание этого оператора в пространстве $L^2[1,\infty)$ и его область определения обозначим $L_{\min}$ и $\mathscr D(L_{\min})$ соответственно. Оператор $L_{\min}$ называется минимальным оператором, порожденным выражением $(-1)^n\tau(y)$ в пространстве $L^2[1,\infty)$. Из (6.1) легко извлечь, что оператор $L_{\min}$ является симметрическим оператором. Заметим также, что если $f,g\in\mathscr D(L_{\max})$, то из формулы (6.1) следует, что пределы
$$
\begin{equation*}
\lim_{\alpha\to 1}[fg](\alpha)(:=[fg](1))\qquad \text{и}\qquad \lim_{\beta\to\infty}[fg](\beta)(:=[fg](\infty))
\end{equation*}
\notag
$$
существуют и справедливо равенство где $(\,\cdot\,,\,\cdot\,)$ – скалярное произведение в пространстве $L^2[1,\infty)$. Отметим, что максимальный и минимальный операторы взаимно сопряжены, а именно, Определим дефектные подпространства $D^\pm$ оператора $L_{\min}$, полагая
$$
\begin{equation*}
D^\pm=\{y\in\mathscr D(L_{\max})\mid L_{\max}y=\pm iy\} =\{y\in\mathscr D(\tau)\cap L^2[1,\infty)\mid(-1)^n\tau(y)=\pm iy\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Числа $n_\pm=\dim D^\pm$ называются дефектными числами этого оператора. Согласно общепринятой терминологии, условия (1.2) и (1.3) позволяют говорить, что левый конец луча $[1,\infty)$ является регулярным концом для рассматриваемого дифференциального выражения, а правый конец сингулярным. В этом случае известно [18; разд. 5.2] (см. также [19; добавление II, п. 126, теорема $4^*$]), что $n\leqslant n_\pm\leqslant 2n$ (в нашем случае с использованием квазипроизводных другого вида, порождаемых матрицами $\mathbf{F}_{2n}^k$, доказательство сохраняется). Кроме того, условие вещественности функций $p$ и $\sigma$, влечет равенство $n_+=n_-$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
n_+=n_-=n+s,\qquad \text{где}\quad 0\leqslant s\leqslant n.
\end{equation*}
\notag
$$
Число $s$ определяется поведением функции $q$ на бесконечности. Вопрос о том, какие значения являются недопустимыми для этого числа даже в случае регулярной функции $q$ при $2n\geqslant 6$ является открытым. Известно, что при $2n\leqslant 4$ число $s$ может принимать все возможные значения. Равенство дефектных чисел позволяет утверждать, что в рассматриваемом случае оператор $L_{\min}$ допускает самосопряженные расширения и эти расширения описываются следующей теоремой. Теорема 4. Пусть функции $p$ и $\sigma$ вещественны, выполнены условия (1.2), (1.3), а индексы соответствующего минимального оператора $L_{\min}$ равны $(n+s,n+s)$. Тогда область определения $\mathscr D(L)$ произвольного самосопряженного расширения оператора $L_{\min}$ есть совокупность всех функций $y\in\mathscr D(L_{\max})$, подчиненных условиям где $w_1,w_2,\dots,w_{n+s}$ – некоторые функции из $\mathscr D(L_{\max})$, линейно независимые по модулю $\mathscr D(L_{\min})$, такие, что Если помимо указанных условий выполнены условия (1.8), то индексы дефекта оператора $L_{\min}$ равны $(n,n)$, а условия (3.2) принимают упрощенную форму где числа $a_{j,s}$ таковы, что При этом непрерывный спектр произвольного самосопряженного расширения $L$ совпадает с положительной полуосью $\mathbb R^+=[0,\infty)$, а на отрицательной полуоси могут находиться только конечное число собственных значений конечной кратности.В случае $k=0$ доказательство первой части теоремы 4 имеется в книге [1; § 18, пп. 1–3], а также в несколько ином виде в [19; добавление 2, пп. 125, 127]. В случае $k\geqslant 1$ доказательство принципиально не меняется, аналогичные рассуждения проходят, если квазипроизводные вводить согласно нашим определениям. Доказательство второй части теоремы 4 при выполнении дополнительных условий (1.8) имеется в работе авторов [9]. В случае вещественных функций $p$ и $\sigma$, починенных условиям теоремы 3, определение максимального и минимального операторов сохраняется. В этом случае мы имеем следующий результат. Теорема 5. Пусть выполнены условия теоремы 3, причем функции $p$ и $\sigma$ вещественны. Обозначим через $\kappa=\kappa(\nu)$ число корней полинома $\mathscr F_{2n}(z,\nu,k)$, лежащих в открытой левой полуплоскости $\operatorname{Re}z<0$. Тогда максимальное число линейно-независимых решений уравнения (1.1), принадлежащих пространству $L^2[1,+\infty)$, при $\nu>0$ равно $\kappa\geqslant n$ (в частности, индексы дефекта оператора $L_{\min}$ равны $(\kappa,\kappa)$. При этом спектр произвольного самосопряженного расширения $L_{\min}$ дискретен. При $\nu=0$ число $\kappa(0)$ невещественных значений $\lambda$ равно $n$. Доказательство. Пусть $\nu>0$. Из формул (1.12) следует, что фундаментальная система решений уравнения (1.1) состоит из функций вида где $s\geqslant 0$ – целое число, $c\ne 0$, а $z$ – корень уравнения $\mathscr F_{2n}(z,\nu,k)=0$. Функции такого вида принадлежат пространству $L^2[1,\infty)$ тогда и только тогда, когда $\operatorname{Re}z<0$. Следовательно, индексы дефекта оператора $L_{\min}$ равны $(\kappa,\kappa)$. В случае $k=0$ в книге [18; разд. 5.2] доказано, что $\kappa\geqslant n$, а в книге [5] доказана дискретность спектра произвольного самосопряженного расширения минимального оператора. Более того, показано, что резольвента таких расширений является мероморфной функцией от $\lambda$ с ядром Гильберта–Шмидта, если $\lambda$ не совпадает с собственным значением. При $k\geqslant 1$ аргументы доказательств сохраняются. Пусть $\nu=0$. Так же, как в случае $\nu>0$, получаем, что индексы дефекта $n_\pm$ минимального оператора $L_{\min}$ совпадают с числом корней в открытой левой полуплоскости $\operatorname{Re}z<0$ полинома от $z$
$$
\begin{equation*}
\mathscr F_{2n}(z,0,k,\lambda) =\alpha\prod_{j=0}^{n-1}\biggl[z^2-\biggl(\frac{1}{2}+j\biggr)^2\biggr] +(-1)^nk!\beta-(-1)^n\lambda
\end{equation*}
\notag
$$
при $\lambda=\pm i$, т.е. числом к корней в полуплоскости $\operatorname{Re}z<0$ уравнений Воспользуемся равенством
$$
\begin{equation*}
\mathscr F_{2n}(-\overline z,0,k,\lambda) =\mathscr F_{2n}(z,0,k,\overline\lambda\,).
\end{equation*}
\notag
$$
Число корней уравнений (6.5) в открытой правой полуплоскости $\leqslant 2n- n_\pm$, поэтому из последних равенств получаем $n_++n_-\leqslant 2n$. С другой стороны известно [18], что для дефектных чисел $n_+$ и $n_-$ выполняются неравенства $n\leqslant n_+$, $n_-\leqslant 2n$. Следовательно, что $n_+=n_-=n$. Этим заканчивается доказательство теоремы 5. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KonMirShk23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|