| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Ортогональная аддитивность произведения степеней линейных операторов З. А. Кусраеваa, В. А. Тамаеваb a Владикавказский научный центр Российской академии наук b Региональный научно-образовательный математический центр «Северо-Кавказский центр математических исследований» Владикавказского научного центра Российской академии наук
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623110615 
Реферативные базы данных:
 1. ВведениеИзучение порядковых свойств полиномов, действующих в векторных решетках, началось сравнительно недавно. Впервые значимость решеточной структуры в изучении полиномов в бесконечномерных банаховых пространствах обнаружили Греку и Райан в [1]. Ортогонально аддитивные полиномы были введены Сандерсаном в [2]. К настоящему моменту наибольший прогресс достигнут в изучении именно класса ортогонально аддитивных полиномов в векторных и банаховых решетках, например, см. обзоры Бу и Бускеса [3], а также диссертации Лоуна [4], Линареса [5] и Кусраевой [6]. Недавно Бойд, Райан и Снигирева [7; теорема 1] обнаружили следующее замечательное свойство ортогонально аддитивных полиномов: для положительных целых чисел $N$, $n$, где ${N}<{n}$, и порядково ограниченных попарно независимых линейных функционалов $\varphi_1,\dots,\varphi_N$, определенных на векторной решетке, функция $\sum_{j=1}^{N}\varphi_{j}^{n}$ является ортогонально аддитивным полиномом тогда и только тогда, когда $\varphi_j$ или $-\varphi_j$ является решеточным гомоморфизмом для всех $j=1,\dots,N$. Затем в работе [8; теорема 1] установлено, что этот результат остается в силе, если линейные функционалы заменить на порядково ограниченные линейные операторы со значениями в векторной решетке. При этом в этой же работе была поставлена новая задача: найти условия, обеспечивающие ортогональную аддитивность полинома, представимого в виде произведения степеней линейных операторов, а также линейной комбинации таких мономов, см. [8; замечание 7]. В настоящей заметке дается вариант решения этой задачи для линейных операторов со значениями в $f$-алгебре. Сначала результат устанавливается для случая функционалов (теорема 1); приводится чисто алгебраическое доказательство, основанное на комбинаторных рассуждениях. Для переноса этого результата на операторы (теорема 2) используются метод локализации в области определения операторов и теорема о представлении области значений в виде функциональной $f$-алгебры. Также указаны условия, при которых изучаемая сумма произведений является ортогонально аддитивным полиномом (теорема 3). Используемые ниже обозначения и терминология содержатся в следующих книгах: Алипрантиса и Бёркиншо [9] – из теории векторных решеток и Динина [10] – из теории полиномов. Все рассматриваемые векторные решетки и $f$-алгебры считаются вещественными и архимедовыми. 2. Предварительные сведенияЗафиксируем используемые обозначения, а также напомним несколько нужных определений и фактов, используемых в дальнейшем. Всюду далее $E$ и $F$ – векторные решетки. Определение 1. Вещественное векторное пространство $E$ с отношением порядка $\leqslant$ называется векторной решеткой, если для любых элементов $x,y,u,v\in E$ и $\alpha\in \mathbb{R}_{+}$ выполнены следующие условия: Определение 2. Множество $E_+:=\{x\in E\colon x\geqslant0\}$ называют положительным конусом, а множество $[a,b]:=\{x\in E\colon a\leqslant x\leqslant b\}$ – порядковым интервалом (с концами $a$ и $b)$. Говорят, что элементы $x,y\in E$ дизъюнктны (и пишут $x\perp y$), если $|x|\wedge|y|=0$, где $|x|:=x\vee(-x)$ – модуль элемента $x$. Дизъюнктное дополнение $M^\perp$ непустого множества $M\subset E$ вводится формулой Определение 3. Линейный оператор $T\colon E\to F$ называется: Пространство всех порядково ограниченных операторов из $E$ в $F$ обозначается символом $L^{\mathrm b}(E,F)$. В этом пространстве вводится порядок с помощью конуса положительных операторов, т.е. для $S,T\in L^{\mathrm b}(E,F)$ полагают $S\leqslant T$, если $T-S$ – положительный оператор. Легко понять, что оператор $T$ положителен в том и только том случае, если
$$
\begin{equation}
|T(x)|\leqslant T(|x|) \qquad\text{для всех}\quad x\in E.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Определение 4. Говорят, что непустое множество $\mathcal{D} \mspace{-2mu} \subset \mspace{-2mu} L^{\mathrm b}(E,F)$ сохраняет дизъюнктность в $L^{\mathrm b}(E,F)$, если $|T_1x_1|\wedge|T_2x_2|=0$ для любых $T_1,T_2\in\mathcal{D}$ и любой пары дизъюнктных элементов $x_1,x_2\in E$. Если $\mathcal{D}=\{T\}$ сохраняет дизъюнктность, то оператор $T$ называют сохраняющим дизъюнктность. В частности, конечный набор линейных операторов $\{T_i\}_{i=1}^{\nu}$ из $E$ в $F$ сохраняет дизъюнктность, если $T_i(x)\perp T_j(y)=0$ для любых $1\leqslant i,j\leqslant\nu$ и для любых дизъюнктных элементов $x, y\in E$. Определение 5. Полилинейный оператор $B\colon E^n\to F$ называют симметричным, если $B(x_1,\dots,x_n)=B(x_{\sigma(1)},\dots,x_{\sigma(n)})$ для любых $(x_1,\dots,x_n)\in E^n$ и любой $\sigma\in\mathbb{S}_n$, где $\mathbb{S}_n$ – множество всех перестановок множества $\{1,\dots,n\}$. Симметризация $s(B)\colon E^n\to F$ $n$-линейного оператора $B$ определяется формулой Определение 6. Однородный полином степени $n$ (или $n$-однородный полином) представляет собой отображение $P\colon \mspace{-1mu} E \mspace{-1mu} \to \mspace{-1mu} F$ вида $P(x) \mspace{-1mu} = \mspace{-1mu} B(x,\dots,x)$, где $B\colon \mspace{-1mu} E^n \mspace{-1mu} \to \mspace{-1mu} F$ – $n$-линейный оператор, называемый порождающим. Однородный полином $P$ называют ортогонально аддитивным, если $P(x+y)=P(x)+P(y)$ для любых дизъюнктных элементов $x,y \in E$. Различные полилинейные операторы могут порождать один и тот же полином $P$, однако существует лишь один симметричный полилинейный оператор, порождающий $P$; последний называют ассоциированным оператором и обозначают символом $\check{P}$, так что $P(x)=\check{P}(x,\dots,x)$, $x\in E$. Очевидно, что если $B$ – порождающий $n$-линейный оператор полинома $P$, то $\check{P}=s(B)$. Сформулируем три используемых ниже вспомогательных факта. Лемма 1. Пусть $E$ и $F$ – векторные решетки и $T_1,\dots,T_\nu$ – положительные сохраняющие дизъюнктность линейные операторы из $E$ в $F$. Тогда следующие утверждения эквивалентны: Доказательство. Если $T:=T_1+\cdots+T_\nu$ сохраняет дизъюнктность, то для $1\leqslant i,j\leqslant\nu$ и дизъюнктных $x,y\in E$ имеют место оценки следовательно, $\{T_1,\dots,T_\nu\}$ сохраняет дизъюнктность. Если же верно последнее, то и, стало быть, $T$ сохраняет дизъюнктность, что и требовалось. Замечание 1. Булабье [11; лемма 5.2] показал, что при $\nu=2$ лемма 1 имеет место для любых порядково ограниченных операторов между векторными решетками. Лемма 2. Для положительного оператора $T$ из векторной решетки $E$ в порядково полную векторную решетку $F$ следующие утверждения эквивалентны: Доказательство. Это известная характеризация решеточных гомоморфизмов, установленная Кутателадзе, см. [9; теорема 2.50]. Напомним что если $P\colon E\to\mathbb{R}$ – $n$-однородный полином, то $k$-я производная $P$ по направлению вектора $y\in E$ в точке $x\in E$ определяется формулой
$$
\begin{equation}
\widehat{d}^{\,k}P(u)\colon x\mapsto\begin{pmatrix} n \\ k\end{pmatrix} \check{P}(u^{n-k},x^{k}):=\frac{n!}{k!\,(n-k)!} \check{P}(\underbrace{u,\dots,u}_{n-k\text{ раз}}, \underbrace{x,\dots,x}_{k\text{ раз}}).
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Лемма 3. Пусть $k,n\in\mathbb{N}$, причем $k <n$, и $P\colon E\to F$ – ортогонально аддитивный $n$-однородный полином. Тогда $\widehat{d}^kP(u)(\,\cdot\,)$ – ортогонально аддитивный $k$-однородный полином для любого $u\in E$. Доказательство см. в [7; предложение 2] и [8; лемма 11]. 3. Случай функционаловВ этом пункте рассмотрим сформулированную во введении задачу для случая функционалов. Пусть $E$ – векторная решетка и $\mathbb{N}=\{1,2,\dots\}$. Для фиксированных $n,\nu, k_1,\dots,k_{\nu} \in \mathbb{N}$ таких, что $k_1+\cdots+k_{\nu}=n$, определим функцию $P\colon E\to\mathbb{R}$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
P=\varphi_{1}^{k_1}\times\cdots\times\varphi_{\nu}^{k_\nu}\colon x\mapsto \varphi_{1}(x)^{k_1}\cdots \varphi_{\nu}(x)^{k_\nu},\qquad x \in E.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Легко видеть, что функция $P$ – однородный полином степени $n$. В самом деле, порождающая полилинейная форма $\psi\colon E^n\to\mathbb{R}$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\psi(x_1,\dots,x_n)=\varphi_1(x_1)\cdots\varphi_1(x_{k_1})\cdots \varphi_\nu(x_{n-k_\nu})\cdots\varphi_\nu(x_n).
\end{equation*}
\notag
$$
В то же время $\psi$ не обязательно симметрична, поэтому ассоциированная полилинейная форма определяется формулой $\check{P}=s(\psi)$. Теорема 1. Пусть $k_i\geqslant2$, $i=1,\dots,\nu$, и $k_1+\cdots+k_{\nu}=n$. Для ненулевых положительных линейных функционалов $\varphi_1,\dots,\varphi_\nu\colon E\to\mathbb{R}$ и полинома $P$ степени $n$, заданного формулой (3.1), эквивалентны следующие утверждения: Доказательство. (1) $\Rightarrow$ (2). Ограничимся доказательством случая $\nu=3$, поскольку общий случай $\nu>3$ устанавливается аналогичными рассуждениями. Итак, полином $P$ имеет вид Так как по условию $P$ ортогонально аддитивен, то для любых дизъюнктных элементов $x$, $y$ из $E$ имеем
По условию $\varphi_i\ne0$, поэтому можем подобрать $u_i\in E$ так, чтобы $\varphi_i(u_i)\ne0$ или, что то же самое, $\varphi_i(u_i^+)\ne\varphi_i(u_i^-)$. Таким образом, либо $\varphi_i(u_i^+)>0$, либо $\varphi_i(u_i^-)>0$, и можем считать с самого начала, что $u_i>0$. Итак, для каждого функционала $\varphi_i$ найдется $u_i\in E_+$ такой, что $\varphi_i(u_i)>0$. В дальнейшем зафиксируем $u:=u_1+u_2+u_3$ и отметим, что $\varphi_i(u)\geqslant\varphi_i(u_i)>0$ для всех $i=1,2,3$. Положим $\overline{k}_0:=0$, $\overline{k}_1:=k_1$, $\overline{k}_2:=k_1+k_2$, и $\overline{k}_3:=n$ и обозначим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathbb{S}_i:=\bigl\{\sigma\in\mathbb{S}\colon \overline{k}_{i-1}<\sigma(n-1),\,\sigma(n)\leqslant\overline{k}_i\bigr\}, \qquad i=1,2,3, \\ \mathbb{S}_{i,j}:=\bigl\{\sigma\in\mathbb{S}\colon \overline{k}_{i-1}<\sigma(n-1)\leqslant \overline{k}_i,\, \overline{k}_{j-1}<\sigma(n)\leqslant \overline{k}_j\bigr\}, \qquad i,j=1,2,3, \quad j\ne i, \\ \overline{\mathbb{S}}_1:=\mathbb{S}_{2,3}\cup\mathbb{S}_{3,2}, \qquad \overline{\mathbb{S}}_2:=\mathbb{S}_{1,3}\cup\mathbb{S}_{3,1}, \qquad \overline{\mathbb{S}}_3:=\mathbb{S}_{1,2}\cup\mathbb{S}_{2,1}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что $\mathbb{S}_i$ и $\overline{\mathbb{S}}_j$ попарно не пересекаются и их объединение равно $\mathbb{S}_{n}$. Порождающую полилинейную форму (3.1) представим в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \psi(x_1,\dots,x_n)&=\varphi_1(x_1)\cdots \varphi_1(x_{\overline{k}_1})\varphi_2(x_{\overline{k}_1+1}) \\ &\qquad\cdots\varphi_2(x_{\overline{k}_2})\varphi_3(x_{\overline{k}_2+1}) \cdots\varphi_3(x_{\overline{k}_{3}-2})\varphi_3(x_{n-1})\varphi_3(x_{n}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Как видно из формулы (2.3), для вычисления $\widehat{d}^2P(u)$ необходимо выяснить строение ассоциированной полилинейной формы $\check{P}=s(\psi)$. Для компактной записи последней введем обозначения
$$
\begin{equation*}
c_l=\sum_{\sigma\in\mathbb{S}_l}c_\sigma(u) \quad\text{и}\quad \overline{c}_l= \sum_{\sigma\in\overline{\mathbb{S}}_l}\overline{c}_\sigma(u),\qquad l=1,2,3,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, c_\sigma(u)&=\begin{cases} \varphi_{2}(u)^{k_2}\varphi_{3}(u)^{k_3}\varphi_{1}(u)^{k_1-2}, &\text{если}\ \sigma\in\mathbb{S}_1, \\ \varphi_{3}(u)^{k_3}\varphi_{1}(u)^{k_1}\varphi_{2}(u)^{k_2-2}, &\text{если}\ \sigma\in\mathbb{S}_2, \\ \varphi_{1}(u)^{k_1}\varphi_{2}(u)^{k_2}\varphi_{3}(u)^{k_3-2}, &\text{если}\ \sigma\in\mathbb{S}_3, \end{cases} \\ \overline{c}_\sigma(u)&=\begin{cases} \varphi_{1}(u)^{k_1}\varphi_{3}(u)^{k_3-1}\varphi_{2}(u)^{k_2-1}, &\text{если}\ \sigma\in\overline{\mathbb{S}}_{1}, \\ \varphi_{2}(u)^{k_2}\varphi_{1}(u)^{k_1-1}\varphi_{3}(u)^{k_3-1}, &\text{если}\ \sigma\in\overline{\mathbb{S}}_{2}, \\ \varphi_{3}(u)^{k_3}\varphi_{2}(u)^{k_2-1}\varphi_{1}(u)^{k_1-1}, &\text{если}\ \sigma\in\overline{\mathbb{S}}_{3}. \end{cases} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя эти обозначения и формулу (2.2), можем написать
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 2(n-2)!\,\widehat{d}^{(2)}P(u)x&=\check{P}(u^{n-2},x^2) =c_1(u)\varphi_1^2(x)+c_2(u)\varphi_2^2(x)+c_3(u)\varphi_3^2(x) \nonumber \\ &\qquad+\overline{c}_1(u)\varphi_2(x)\varphi_3(x)+ \overline{c}_2(u)\varphi_3(x)\varphi_1(x)+ \overline{c}_3(u)\varphi_1(x)\varphi_2(x). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Так как полином $\widehat{d}^{(2)}P(u)(\,\cdot\,)$ ортогонально аддитивен по лемме 3, то в соответствии с формулой (3.2) для любых дизъюнктных $x,y\in E_+$ имеем
$$
\begin{equation}
\widehat{d}^{(2)}P(u)(x+y)-\widehat{d}^{(2)}P(u)(x)- \widehat{d}^{(2)}P(u)(y)=0.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Теперь непосредственно из (3.3) и (3.4) выводим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &2\bigl(c_1(u)\varphi_1(x)\varphi_1(y)+c_2(u)\varphi_2(x)\varphi_2(y) +c_3(u)\varphi_3(x)\varphi_3(y)\bigr) \\ &\qquad\qquad+\overline{c}_1(u)\bigl(\varphi_2(x)\varphi_3(y)+\varphi_3(x)\varphi_2(y)\bigr) +\overline{c}_2(u)\bigl(\varphi_3(x)\varphi_1(y)+ \varphi_1(x)\varphi_2(y)\bigr) \\ &\qquad\qquad+\overline{c}_3(u)\bigl(\varphi_1(x)\varphi_2(y)+ \varphi_2(x)\varphi_1(y)\bigr)=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как все слагаемые в этой сумме неотрицательны, а коэффициенты $c_i$ и $\overline{c}_i$ строго положительны в силу выбора $u\in E_+$, то $\varphi_i(x)\varphi_j(y)=0$ для всех $i,j=1,2,3$, что и требовалось. (2) $\Rightarrow$ (1). Пусть множество функционалов $\{\varphi_1,\dots,\varphi_\nu\}$ сохраняет дизъюнктность. Тогда согласно лемме 1 сумма $\varphi:=\varphi_1+\cdots+\varphi_\nu$ сохраняет дизъюнктность. А так как функционалы $\varphi_1,\dots,\varphi_\nu$ положительны по условию, то положительный функционал $\varphi$ будет решеточным гомоморфизмом. Далее, поскольку $0\leqslant\varphi_j\leqslant\varphi$ для любого $1\leqslant{j}\leqslant\nu$, то по лемме 2 существует число $\alpha_j\in [0,1]$ такое, что $\varphi_j=\alpha_j\varphi$, $1\leqslant{j}\leqslant\nu$. Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
P(x)=\alpha_1^{k_1}\varphi^{k_1}(x)\cdots\alpha_\nu^{k_\nu}\varphi^{k_\nu}(x) =\alpha\varphi^{n}(x),\qquad\text{где}\quad \alpha:=\alpha_1^{k_1}\cdots\alpha_\nu^{k_\nu}.
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, $P=\alpha\varphi^n$ и для дизъюнктных $x, y \in E$ выводим Очевидно, что выражение под знаком суммы будет равно нулю, так как $\varphi$ – решеточный гомоморфизм. Следовательно, $P$ является ортогонально аддитивным, что и завершает доказательство.Замечание 2. В теореме 1 нельзя отказаться одновременно от положительности функционалов $\varphi_i$ и предположения $k_i\geqslant2$, $i=1,\dots,\nu$. В самом деле, если $\varphi_1, \varphi_2\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ задаются формулами $\varphi_1(x_1, x_2)=x_1+x_2$ и $\varphi_2(x_1, x_2)=x_1-x_2$ для всех $(x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2$, то $(\varphi_1\times\varphi_2)(x_1,x_2)={x_1}^2-{x_2}^2$. Отсюда видно, что полином $\varphi_1\times\varphi_2$ ортогонально аддитивен, но $\varphi_1$ и $\varphi_2$ не являются решеточными гомоморфизмами и, тем более, двухточечное множество $\{\varphi_1,\varphi_2\}$ не является сохраняющим дизъюнктность. При этом функционал $\varphi_1$ положителен, а $\varphi_2$ – нет. 4. Основной результатТеорема 1 допускает обобщение на случай положительных линейных операторов $T_1,\dots,T_\nu$ из векторной решетки $E$ в произвольную $f$-алгебру $A$ с единицей. Для дальнейшего изложения напомним некоторые понятия. Хаусдорфово компактное топологическое пространство $K$ называют экстремально несвязным или, короче, экстремальным, если замыкание любого открытого множества в $K$ является открытым. Экстремальность $K$ равносильна тому, что решетка вещественнозначных непрерывных функций $C(K)$ порядково полна. Символом $C_\infty(K)$ обозначают множество определенных на $K$ вещественных непрерывных функций, которые могут принимать значения $\pm\infty$ на нигде не плотных множествах. Если компакт $K$ экстремален, то множество $C_\infty(K)$ допускает естественную структуру векторной решетки; более того, $C_\infty(K)$ при поточечном умножении является порядково полной $f$-алгеброй, в которой постоянная функция $1_K\equiv\mathbf{1}$ служит мультипликативной единицей, см. [12; теоремы V.2.1 и V.2.2]. Отображение, сопоставляющее открыто-замкнутому множеству $K_0\subset K$ оператор умножения $x\mapsto\chi_{K_0}$, $x\in A$, на характеристическую функцию $\chi_{K_0}$ множества $K_0$, осуществляет изоморфизм булевой алгебры $\mathcal{B}(K)$ открыто-замкнутых множеств компакта $K$ на булеву алгебру $\mathbb{P}(A)$ порядковых проекторов $f$-алгебры $A$. Для любой векторной решетки $E$ существует такой экстремальный компакт $K$, что $E$ линейно и порядково изоморфна векторной подрешетке решетки $C_\infty(K)$, см. [12; теорема V.7.1]. Более того, если $A$ – $f$-алгебра с единицей $\mathbf{1}$, то $A$ алгебраически и порядково изоморфна (порядково плотной) $f$-подалгебре $f$-алгебры $C_\infty(K)$, [9; теорема 2.64] Теперь мы можем сформулировать и доказать основной результат заметки. Теорема 2. Рассмотрим $n,\nu,k_1,\dots,k_\nu\in\mathbb{N}$, для которых $n=k_1+\cdots+k_\nu$ и $k_j\geqslant2$, $j=1,\dots,\nu$. Пусть $A$ – некоторая $f$-алгебра с единицей $\mathbf{1}$ и $T_1,\dots,T_\nu$ – линейные положительные операторы из $E$ в $A$, причем $T_1(E)^{\perp}=\dots=T_\nu(E)^{\perp}$. Тогда равносильны следующие утверждения: Доказательство. Справедливость импликации $(2)\Rightarrow(1)$ проверяется так же, как и в доказательстве теоремы 1, с учетом того факта, что в $f$-алгебре с единицей соотношения $xy=0$ и $x\perp y$ равносильны. Докажем справедливость $(1)\Rightarrow(2)$.
Шаг 1. Как было отмечено выше, без ограничения общности можно считать, что $A=C_\infty(K)$, где $K$ – экстремальный компакт с единицей $\mathbf{1}=1_K$. Ясно также, что предположение $T_i(E)^{\perp\perp}=A$ не умаляет общности, так как операторы $T_i$ и полином $Q$ принимают значения из полосы $T_i(E)^{\perp\perp}$. Из неравенства $|T(x)|\leqslant T(|x|)$ вытекает, что $T_i(E)^{\perp\perp}=T_i(E_+)^{\perp\perp}=A$, следовательно, для любого ненулевого открыто-замкнутого множества $K_1\subset K$ существует элемент $u_1\in E_+$ такой, что $v_1:=\chi_{K_1}T_1(u_1)>0$. Обозначим через $K_2$ замыкание множества $\{t\in K\!: v_1(t)> 0\}$. Тогда $K_2$ открыто-замкнуто, $K_2\subset K_1$ и найдется $u_2\in E_+$, для которого $\chi_{K_2}T_2(u_2)> 0$. Повторяя это рассуждение, получим $u_1,\dots,u_\nu\in E_+$, $v_1,\dots,v_\nu\in A_+$ и открыто-замкнутые множества $K\supset K_1\supset\dots\supset K_\nu$ такие, что $0<\chi_{K_i}T_i(u_i)$, $i=1,\dots,\nu$. Если теперь обозначим через $K_0$ непустое открыто-замкнутое множество, содержащееся в $K_\nu$, и $u_0=u_1+\cdots+u_\nu$, то
$$
\begin{equation*}
\chi_{K_0}T_i(u_0)\geqslant\chi_{K_0}T_i(u_i)>0,\qquad i=1,\dots,\nu.
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, для любого ненулевого $K_1\in\mathcal{B}(K)$ можно подобрать такие $\varnothing\ne K_0\in\mathcal{B}(K)$ и $u_0\in E_+$, что $\chi_{K_0}T_i(u_0)(t)>0$ для всех $t\in K_0$, $i=1,\dots,\nu$.
Шаг 2. Возьмем пару дизъюнктных элементов $x,y\in E$ и покажем, что $T_i(x)\perp T_j(y)$ для всех $1\leqslant i,j\leqslant\nu$. Доказанное выше позволяет применить принцип исчерпывания для булевых алгебр, см. [13; гл. 2, теорема 2]): существует семейство $(K_\xi)$ попарно непересекающихся открыто-замкнутых множеств с плотным в $K$ объединением $K':=\bigcup_\xi K_\xi$, причем для каждого $\xi$ существует $u_\xi\in E_+$ такой, что $T_i(u_\xi)(t)>0$ для всех $t\in K_\xi$ и $i=1,\dots,\nu$. Если $\chi_{K_\xi}|T_i(x)|\wedge\chi_{K_\xi}|T_j(y)|=0$ для всех $\xi$, то равенство $|T_i(x)|(t)\wedge|T_j(y)|(t)=0$ выполняется для всех $t\in K'$, а тогда и всюду на $K$ ввиду плотности $K'$ в $K$, следовательно, $|T_i(x)|\wedge|T_j(y)|=0$. Тем самым, можно предположить, не умаляя общности, что для некоторого $u\in E_+$ функции $T_1(u)(\,\cdot\,),\dots,T_{\nu}(u)(\,\cdot\,)$ строго положительны на $K$. Шаг 3. Обозначим символом $E_e$ порядковый идеал в $E$, порожденный элементом $e:=|x|+|y|\in E$. Возьмем $f,\gamma\in C_\infty(K)$, где
$$
\begin{equation*}
f:=\mathbf{1}+k_1T_1(e)+\cdots+k_\nu T_\nu(e), \qquad \gamma:=f^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $f\geqslant\mathbf{1}$ и $0\leqslant\gamma\leqslant\mathbf{1}$. Определим положительные операторы $S_1,\dots,S_\nu$ из $E_e$ в $C_\infty(K)$ формулой
$$
\begin{equation*}
S_i(x):=\gamma T_i(x),\qquad x\in E_e,\quad i=1,\dots,\nu.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу классического неравенства между средним геометрическим и среднем арифметическим выводим
$$
\begin{equation*}
\gamma^n T_1(e)^{k_1}\cdots T_\nu(e)^{k_\nu}\leqslant \gamma^n\biggl(\frac{k_1T_1(e)+\cdots+ k_\nu T_\nu(e)}{n}\biggr)^n\leqslant \gamma^nf^n=\mathbf{1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $x\in E_e$, то $|x|\leqslant Ce$ для некоторого $C\in\mathbb{R}_+$, следовательно, с учетом последнего неравенства оцениваем
$$
\begin{equation*}
|S_1(x)^{k_1}\cdots S_\nu(x)^{k_\nu}|\leqslant C^n S_1(e)^{k_1}\cdots S_\nu(e)^{k_\nu} =C^n\gamma^n T_1(e)^{k_1}\cdots T_\nu(e)^{k_\nu}\leqslant C^n\mathbf{1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда видно, что полином $\overline{Q}:=S_1^{k_1}\times\dots\times S_\nu^{k_\nu}$ действует из $E_e$ в $C(K)$. То же самое верно и для оператора $S_i$, так как для $x\in E_e$ выполняется
$$
\begin{equation*}
|S_i(x)|=\gamma|T_i(x)|\leqslant C\gamma T_i(e)\leqslant С\gamma f=C\mathbf{1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Шаг 4. Для произвольных $q\in K$ и $1\leqslant i\leqslant\nu$ рассмотрим линейный положительный функционал $\varphi_{q,i}:=\varepsilon_q\circ S_i$, действующий по правилу
$$
\begin{equation*}
\varphi_{q,i}\colon x\in E_e\mapsto S_i(x)(q)\in\mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как функционал $\varepsilon_q$ мультипликативен, т.е. $\varepsilon_q(uv)=\varepsilon_q(u)\varepsilon_q(v)$ для всех $u,v\in C(K)$, то имеет место представление $\varepsilon_q\circ\overline{Q}= \varphi_{q,1}^{k_1}\times\dots\times\varphi_{q,\nu}^{k_\nu}$. Тем самым, $\varepsilon_q\circ\overline{Q}$ служит вещественнозначным однородным полиномом степени $n$. Полином $\overline{Q}$ ортогонально аддитивен, поскольку таковым является $Q$. Но тогда ортогонально аддитивным является и полином $\varepsilon_q\circ\overline{Q}$.
Сказанное на шаге 2 гарантирует, что все функционалы $\varphi_{q,1},\dots,\varphi_{q,\nu}$ отличны от нуля для любого $q$ из $K$. Итак, при $q\in K$ функционалы $\varphi_{q,1},\dots,\varphi_{q,\nu}$ удовлетворяют всем условиям теоремы 1, следовательно, множество $\{\varphi_{q,1},\dots,\varphi_{q,\nu}\}$ сохраняет дизъюнктность. Последнее означает, что для дизъюнктных $x,y,\in E$ выполнено $|\varphi_{q,i}(x)|\wedge|\varphi_{q,j}(y)|=0$ для всех $q\in K$ и $1\leqslant i,j\leqslant\nu$, откуда следует, что $|S_i(x)|\wedge|S_j(y)|=0$ в $C(K)$. Учет определения $S_i$ приводит к равенству $\gamma|T_i(x)|\wedge\gamma|T_j(y)|=0$, а умножение на $f=\gamma^{-1}$ дает требуемое $|T_i(x)|\wedge|T_j(y)|=0$. Следствие 1. Если в предположениях теоремы 2 полином $Q:=T_1^{k_1}\times\dots\times T_\nu^{k_\nu}$ ортогонально аддитивен, то существуют решеточный гомоморфизм $T\colon E\to A$ и элемент $\gamma\in F$ такие, что $0\leqslant\gamma\leqslant\mathbf{1}$ и $Q=\gamma T^n$. Теорему 2 можно распространить на случай суммы мономов. Для этого нужно еще одно вспомогательное утверждение. Лемма 4. Если сумма положительных полиномов степени $n$ ортогонально аддитивна, то ортогонально аддитивными будут все слагаемые полиномы. Доказательство. Для любого $n$-однородного полинома $P\colon E\to F$ и произвольных $x,y\in E$ имеет место представление
$$
\begin{equation*}
P(x+y)=\sum_{k=0}^n\begin{pmatrix} n \\ k\end{pmatrix} \check{P}(x^k,y^{n-k}),
\end{equation*}
\notag
$$
см. Динин [10; лемма 1.9]. Если положительные полиномы $P_1,P_2\colon E\to F$ ортогонально аддитивны, то для дизъюнктных элементов $x,y\in E_+$ имеем по определению следовательно, В этой сумме все слагаемые положительны, значит, Отсюда видно, что $P_1$ и $P_2$ ортогонально аддитивны.
Те же рассуждения работают и в случае произвольного конечного числа слагаемых полиномов. Пусть даны линейные операторы $T_{ij}\colon E\to A$ и натуральные числа $k_{ij}\in\mathbb{N}$, где $j=1,\dots,N$ и $i=1,\dots,\nu_j$ такие, что $k_{1j}+\cdots+k_{\nu_jj}=n$ для всех $j\leqslant N$. Определим полином $Q\colon E\to A$ формулой
$$
\begin{equation*}
Q=T_{11}^{k_{11}}\times\cdots\times T_{\nu_11}^{k_{\nu_11}}+ \cdots+T_{1N}^{k_{1N}}\times\cdots\times T_{\nu_NN}^{k_{\nu_NN}}
\end{equation*}
\notag
$$
или, подробнее,
$$
\begin{equation}
Q=P_1+\cdots+P_N, \qquad P_j=T_{1j}^{k_1j}\times\cdots\times T_{\nu_jj}^{k_{\nu_jj}}.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Теорема 3. Для линейных положительных операторов $T_{ij}$, где $1\leqslant j\leqslant N$, $1\leqslant i\leqslant \nu_j$, из архимедовой векторной решетки $E$ в $f$-алгебру $A$, равносильны следующие утверждения: Доказательство. Если положительные $P_1,\dots,P_N$ – $n$-однородные полиномы и полином $Q$ ортогонально аддитивен, то все полиномы $P_1,\dots,P_N$ также ортогонально аддитивны в силу леммы 4. По теореме 2 множество $\{T_{ij}\colon 1\leqslant i\leqslant \nu_j\}$ сохраняет дизъюнктность для всех $j\leqslant N$. Если же выполнено последнее, то вновь по теореме 2 существуют решеточные гомоморфизмы $S_1,\dots,S_N\colon E\to A$ и положительные элементы $\alpha_1,\dots,\alpha_N\in A$ такие, что $P_i=\alpha_iS_i^n$ и, следовательно, $Q=\alpha_1S_1^n+\cdots+\alpha_NS_N^n$. Следствие 2. Если в условиях теоремы 3 полином ортогонально аддитивен, то существуют решеточные гомоморфизмы $S_1,\dots,S_N$ из $E$ в $A$ и положительные элементы $\alpha_1,\dots,\alpha_N \in A$ такие, что Замечание 3. Из условий теорем 2 и 3 желательно исключить требование о положительности операторов $T_i$ и $T_{ij}$. Однако нам неизвестно, при каких дополнительных предположениях можно было бы допустить произвольные порядково ограниченные операторы. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KusTam23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|