| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Равномерная сходимость синус-рядов с дробно-монотонными коэффициентами М. И. Дьяченкоab a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S000143462309002X 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеОдним из наиболее изучаемых классов тригонометрических рядов являются ряды с монотонными коэффициентами. В последнее время в этом направлении появился ряд весьма интересных работ. В частности, следует упомянуть [1]–[3]. Одним из хорошо известных результатов для таких рядов является следующая теорема Чанди и Джолиффа [4]: Теорема A. Пусть коэффициенты синус-ряда монотонно убывают. Тогда для его равномерной сходимости на $[-\pi, \pi]$ необходимо и достаточно, чтобы $n a_n \to 0$ при $n \to\infty$. Этот результат позднее неоднократно обобщался. Следует упомянуть работу Тихонова [5], в которой результат теоремы A был распространен на случай обобщенно монотонных коэффициентов. В работе [6] было установлено, что теорема A остается справедливой и в случае, когда последовательность $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ такова, что для некоторых $p>1$, $C>0$ и $\nu>1$ при любом натуральном $n$ имеем
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=n}^{2n-1}|a_k-a_{k+1}| \leqslant C\biggl(\frac{1}{n} \sum_{r=[n/\nu]}^{[n\nu]}|a_r|^p\biggr)^{1/p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Другой путь обобщения понятия монотонности коэффициентов состоит в следующем. Определение 1. Пусть $-\infty < \alpha < \infty$. Числами Чезаро $\{A_n^{\alpha}\}_{n=0}^{\infty}$ называются коэффициенты разложения при $x \in (0,1)$. Известны следующие свойства этих чисел (см. [7; с. 130–131]):
Если задана числовая последовательность ${\mathbf a}=\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$ и действительное $\alpha$, то будем обозначать через
$$
\begin{equation*}
{{\Delta}^{\alpha}({\mathbf a})}_n=\sum_{k=0}^{\infty} A_k^{-\alpha-1} a_{n+k}
\end{equation*}
\notag
$$
при $n=0,1,\dots$ в том случае, когда такая сумма существует, например, если $\alpha >0$ и последовательность ${\mathbf a}$ ограничена. Определение 2. Пусть $\alpha >0$ и ${\mathbf a}$ – последовательность действительных чисел. Тогда скажем, что ${\mathbf a}\in M_{\alpha}$, если $\lim_{n\to \infty}a_n=0$ и ${\Delta}^{\alpha} ({\mathbf a})_n \geqslant 0$ при $n=0,1,\dots$ . Из определения 2 вытекает, что класс $M_0$ совпадает с классом стремящихся к нулю последовательностей неотрицательных чисел, $M_1$ – класс стремящихся к нулю монотонно невозрастающих последовательностей и т.д. Кроме того, в [8; лемма 1, б)] автором было установлено, что при $\alpha > \beta\geqslant 0$ справедливо включение $M_{\alpha} \subset M_{\beta}$. Последовательности из класса $M_{\alpha}$ будем также называть $\alpha$-монотонными. Основной результат данной статье нижеследующий. Теорема 1. Пусть $\alpha \in (0,1)$, коэффициенты ряда (1) принадлежат классу $M_{\alpha}$ и $n a_n \to 0$ при $n \to \infty$. Тогда ряд (1) равномерно сходится. Разумеется, результат верен и при $\alpha >1$, но в этом случае он сразу вытекает из вложения классов $M_{\alpha}$. Мы, также, установим, что при $\alpha=0$ теорема перестает быть верной. В отличие от теоремы A, теорема 1 не является критерием. Справедливо такое утверждение. Утверждение 1. Пусть $\alpha \in (0,1)$, ряд (1) сходится равномерно и его коэффициенты принадлежат классу $M_{\alpha}$. Тогда $ n^{\alpha} a_n \to 0$ при $n \to \infty$. При этом утверждение 1 является окончательным в своих терминах, поскольку имеет место такой результат. Утверждение 2. Пусть $\alpha \in (0,1)$ и положительная функция $g(x) \to 0$ при $x \to \infty$. Тогда найдется равномерно сходящийся ряд (1), коэффициенты которого принадлежат классу $M_{\alpha}$ и для некоторой монотонно возрастающей последовательности натуральных чисел $\{n_k\}_{k=1}^{\infty}$ удовлетворяют условию $a_{n_k} n_k^{\alpha} \geqslant g(n_k)$ при всех $k$. Отметим, что для косинус-рядов с неотрицательными коэффициентами критерий равномерной сходимости очевидно имеет вид Вопрос об интегрируемости суммы косинус-ряда является гораздо более интересным. Колмогоровым [9] был установлен такой результат. Теорема B. Пусть коэффициенты косинус-ряда принадлежат классу $M_2$, т.е. выпуклы и стремятся к нулю. Тогда сумма этого ряда принадлежит $L(0,\pi)$. Ниже будет показано, что утверждение теоремы B остается справедливым и для $\alpha$-монотонных коэффициентов с $\alpha>1$. Пример, показывающий, что для коэффициентов из класса $M_1$ результат перестает быть верным, был построен в статье Балашова и Теляковского [10; следствие 4]. Всюду ниже через $C$ будем обозначать абсолютные постоянные, не обязательно одинаковые в различных случаях, через $C(\alpha)$ – постоянные, зависящие только от $\alpha$ и т.д. 2. Вспомогательные утвержденияНам понадобится ряд вспомогательных результатов. Первый из них принадлежит Андерсену [11]. Лемма A (обобщение леммы Абеля). Если $\{b_k\}_{k=0}^n$ и $\{c_k\}_{k=0}^n$ – два набора чисел, то при любом $\gamma$ справедливо равенство Автором были установлены такие результаты [8; леммы 1 и 2, (2)]. Лемма B. Пусть для чисел $\alpha$, $\gamma$ и последовательности ${\mathbf a}$ выполнено одно из нижеследующих условий: Тогда $0\leqslant {\Delta}^{\gamma}({\Delta}^{\alpha}({\mathbf a}))_n ={\Delta}^{\gamma+\alpha}({\mathbf a})_n$ при $n=0,1,\dots$ . Лемма C. Пусть $\alpha \in (1,2)$ и последовательность ${\mathbf a} \in M_{\alpha}$. Тогда при $x\in (0,\pi)$ имеем при $n \to \infty$, где Алферовой и автором [12] была получена Теорема C. Пусть $0<\alpha <1$ и ${\mathbf a}=\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$ – $\alpha$-монотонная последовательность. Тогда при любом $n \geqslant 1$ при всех $0 \leqslant k \leqslant n-1$ выполняется неравенство $a_k \geqslant a_n \cdot A_{n-k}^{\alpha-1}$, причем данный результат является окончательным. Для дальнейшего будет нужна и такая лемма. Лемма 1. Пусть $\alpha \in (0,1)$, натуральное $m \geqslant 1$ и натуральное $n\geqslant m$. Тогда, если то при $x \in (0,\pi]$ выполняется оценка $|F_{m,n}^{\alpha}(x)|\leqslant C(\alpha) x^{-\alpha}$. Доказательство. Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |F_{m,n}^{\alpha}(x)|&=\biggl|\operatorname{Im}\biggl(\,\sum_{l=m}^n A_{n-l}^{\alpha-1} e^{ilx}\biggr)\biggr| \leqslant \biggl|\sum_{l=m}^n A_{n-l}^{\alpha-1} e^{ilx}\biggr| \\ &=\biggl|\sum_{l=m}^n A_{n-l}^{\alpha-1} e^{i(l-m)x}\biggr|= \biggl|\sum_{\nu=0}^{n-m}A_{n-m-\nu}^{\alpha-1} e^{i\nu x}\biggr|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь утверждение леммы 1 вытекает из оценок, приведенных в книге Зигмунда [7; с. 157–160]. 3. Доказательство основных результатовПри любом натуральном $n$ и при любом $x \in (0,\pi]$ разобьем частичную сумму ряда (1) на две следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, S_n (x) \equiv \sum_{r=1}^n a_r \sin rx&= \sum_{r=1}^{\min(n,[\pi/x])} a_r \sin rx+ \sum_{r=\min (n,[\pi/x])+1}^n a_r \sin rx \nonumber \\ &\equiv S_{n,1} (x) + S_{n,2} (x) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2}
$$
(здесь и далее: если в сумме верхний предел меньше нижнего, то считаем ее равной нулю). Пусть $\varepsilon >0$. Фиксируем $n_0$ так, что $na_n<\varepsilon$ при $n \geqslant n_0$. Тогда при $ m> n \geqslant n_0$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|S_{m,1}(x)-S_{n,1}(x)\|_C &=\max_{x \in [\pi/m,\pi/(n+1)]}\biggl| \sum_{r=n+1}^{[\pi/x]} a_r \sin rx\biggr| \nonumber +\max_{x\in[0,\pi/m]}\biggl|\sum_{r=n+1}^m a_r\sin rx\biggr| \\ &\leqslant \max_{x \in [\pi/m,\pi/(n+1)]} \varepsilon x \biggl[\frac{\pi}{x}\biggr] +\max_{x \in [0,\pi/m]} \varepsilon x m \leqslant 2\pi\varepsilon. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3}
$$
Обозначим через $r(x,n)=\min (n,[\pi/x])+1$. По лемме A при всех $n$ и $x$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, S_{n,2}(x)&=\sum_{r=r(x,n)}^n \biggl(\,\sum_{l=r(x,n)}^r A_{r-l}^{\alpha-1} \sin lx \biggr) \cdot \biggl(\,\sum_{k=r}^n A_{k-r}^{-\alpha-1} a_k\biggr) \nonumber \\ &=\sum_{r=r(x,n)}^n F_{r(x,n),r}^{\alpha}(x) {\Delta}^{\alpha} (a)_r-\sum_{r=r(x,n)}^n F_{r(x,n),r}^{\alpha} (x) \sum_{q=n+1}^{\infty} A_{q-r}^{-\alpha -1} a_q \nonumber \\ &\equiv L(x,n)-\sigma(n;x). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4}
$$
Согласно лемме 1 при любом $n$ и при $x\in [\pi/n,\pi]$ имеем
$$
\begin{equation*}
|F_{r(x,n),r}^{\alpha}(x)| \leqslant \frac{C(\alpha)}{x^{\alpha}}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\sigma (n;x)\|_C&=\max_{x \in [\pi/n,\pi]} \biggl|\sum_{r=r(x,n)}^n F_{r(x,n),r}^{\alpha}(x) \sum_{q=n+1}^{\infty} A_{q-r}^{-\alpha-1} a_q\biggr| \\ &\leqslant \max_{x \in [\pi/n,\pi]}\frac{C(\alpha)}{x^{\alpha}} \sum_{q=n+1}^{\infty} a_q\sum_{r=1}^n(q-r)^{-\alpha-1} \leqslant C(\alpha) n^{\alpha}\sum_{q=n+1}^{\infty} a_q(q-n)^{-\alpha} \\ &\leqslant C(\alpha) n^{\alpha}\varepsilon\biggl(\frac{1}{n} \sum_{q=n+1}^{2n}(q-n)^{-\alpha}+ \sum_{q=2n}^{\infty}(q-n)^{-\alpha-1}\biggr) \\ &\leqslant C(\alpha)n^{\alpha}\varepsilon n^{-\alpha}= C(\alpha)\varepsilon. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation}
\|\sigma(n;x)\|_C \to 0 \qquad \text{при} \qquad n \to \infty.
\end{equation}
\tag{5}
$$
Заметим также, что $L(x,n)=0$ при $x \in (0,\pi/n]$ и
$$
\begin{equation*}
L(x,n)=\sum_{r=[\pi/x]+1}^n F_{[\pi/x]+1,r}^{\alpha}(x) {\Delta}^{\alpha}(a)_r
\end{equation*}
\notag
$$
при $x \in (\pi/n,\pi]$. Тогда при $m> n \geqslant n_0$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\|S_{m,1}(x)-S_{n,1}(x)\|_C \leqslant \max_{x \in [\pi/m,\pi/(n+1)]}\biggl|\sum_{r=[\pi/x]+1}^m F_{[\pi/x]+1,r}^{\alpha}(x){{\Delta}^{\alpha}(a)}_r\biggr| \nonumber \\ &\qquad\qquad+\max_{x \in [\pi/(n+1),\pi]}\biggl|\sum_{r=n+1}^m F_{[\pi/x]+1,r}^{\alpha}(x){\Delta}^{\alpha} (a)_r\biggr|+ |\sigma (m;x)|+|\sigma(n;x)| \nonumber \\ &\qquad\equiv J_1+J_2+|\sigma(m;x)|+|\sigma(n;x)|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6}
$$
Затем, по лемме B при $n \leqslant k \leqslant m$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, {(k+1)}^{\alpha} \sum_{r=k+1}^{\infty}{\Delta}^{\alpha}(a)_r&= {(k+1)}^{\alpha}{{\Delta}^{-1}({\Delta}^{\alpha}(a))}_{k+1} = {(k+1)}^{\alpha} {{\Delta}^{\alpha -1} (a)}_{k+1} \\ &= {(k+1)}^{\alpha} \sum_{r=k+1}^{\infty} A^{-\alpha}_{r- k-1}a_r \leqslant {(k+1)}^{\alpha} C(\alpha) \varepsilon \sum_{r=k+1}^{\infty} \frac{{(r-k)}^{-\alpha}}{r} \\ &\leqslant C(\alpha) \varepsilon (k+1)^{\alpha}{(k+1)}^{-\alpha}= C(\alpha)\varepsilon. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Но тогда
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, J_1 &\leqslant \max_{x \in [\pi/m,\pi/(n+1)]} \frac{C(\alpha )}{x^{\alpha}} \sum_{r=[\pi/x]+1}^{\infty}{\Delta}^{\alpha}(a)_r \nonumber \\ &\leqslant Y \equiv C(\alpha){\pi}^{-\alpha} \max_{n \leqslant k \leqslant m}(k+1)^{\alpha} \sum_{r=k+1}^{\infty}{\Delta}^{\alpha}(a)_r \leqslant C(\alpha)\varepsilon. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7}
$$
Аналогично,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, J_2 &\leqslant \max_{x \in [\pi/(n+1),\pi ]} \frac{C(\alpha)}{x^{\alpha}}\sum_{r=n+1}^{\infty} {\Delta}^{\alpha}(a)_r \nonumber \\ &\leqslant C(\alpha){\pi}^{-\alpha}{(n+1)}^{\alpha} \sum_{r=n+1}^{\infty}{\Delta}^{\alpha} (a)_r \leqslant Y \leqslant C(\alpha)\varepsilon . \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8}
$$
Теперь утверждение теоремы 1 следует из формул (2)–(8). Приведем пример, показывающий, что для синус-рядов с коэффициентами из класса $M_0$, т.е. с неотрицательными коэффициентами, результат теоремы 1 перестает быть верным. В самом деле, рассмотрим ряд Ясно, что $na_n \to 0$ при $n\to \infty$. В то же время, частичные суммы ряда (9) в точке $x=\pi/2$
$$
\begin{equation*}
\sum_{n=1}^N \frac{1}{n \ln (n+1)}\sin(4n+1)\frac{\pi}{2}= \sum_{n=1}^N \frac{1}{n \ln (n+1)} \to \infty
\end{equation*}
\notag
$$
при $n\to \infty$, что исключает равномерную сходимость. Перейдем к доказательству утверждения 1. Если ряд (1) сходится равномерно и $S_n (x)$ – его частичные суммы, то $S_n(\pi/(2n)) \to 0$ при $n \to \infty$. Но (см. теорему C)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_n\biggl(\frac{\pi}{2n}\biggr)&= \sum_{k=1}^n a_k\sin\frac{\pi k}{2n} \geqslant \frac{\sqrt{2}}{2} \sum_{k=[n/2]+1}^n a_k \\ &\geqslant C(\alpha )a_n \sum_{k=[n/2]+1}^n(n-k+1)^{\alpha-1} \geqslant C(\alpha)n^{\alpha} a_n. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и вытекает требуемый результат. Перейдем к доказательству утверждения 2. Не ограничивая общности, можно считать, что функция $g(x)$ монотонно убывает на $[1,\infty)$. Выберем возрастающую последовательность натуральных чисел $\{n_k\}_{k=1}^{\infty}$ так, чтобы $n_{k+1} > 2n_k$ и $g(n_k)< 2^{-k}$ при всех $k$. Положим
$$
\begin{equation*}
b_r=\begin{cases} n_k^{-\alpha} \sqrt{g(n_k)} & \text{при}\ r=n_k, \ k=1,2,\dots; \\ 0 & \text{при остальных} \ r \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
и $a_l={\Delta}^{-\alpha}({\mathbf b})_l$ при $l=0,1,\dots$ . Существование чисел $a_l$ очевидно из определения последовательности $\{b_r\}_{r=0}^{\infty}$. Согласно лемме C, в) имеем ${\Delta}^{\alpha}({\mathbf a})_l=b_l \geqslant 0$ при всех $l$. Отсюда последовательность $\{a_l\}_{l=0}^{\infty} \in M_{\alpha}$. Далее,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{l=1}^{\infty}|a_l|&=\sum_{l=1}^{\infty} a_l= \sum_{l=1}^{\infty}\,\sum_{m=l}^{\infty}A_{m-l}^{\alpha-1}b_m =\sum_{l=1}^{\infty}\,\sum_{k\colon n_k \geqslant l} A_{n_k-l}^{\alpha -1} b_{n_k} \\ &=\sum_{k=1}^{\infty}b_{n_k} \sum_{l=1}^{n_k} A_{n_k -l}^{\alpha-1} \leqslant C(\alpha)\sum_{k=1}^{\infty} b_{n_k} \sum_{l=1}^{n_k} {(n_k -l +1)}^{\alpha -1} \\ &\leqslant C(\alpha)\sum_{k=1}^{\infty} b_{n_k} n_k^{\alpha} =C(\alpha)\sum_{k=1}^{\infty} \sqrt{g(n_k)} < \infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, ряд равномерно сходится и имеет $\alpha$-монотонные коэффициенты. При этом, поскольку $a_{n_k} \geqslant b_{n_k}$ при всех $k$, имеем $a_{n_k}n_k^{\alpha} \geqslant b_{n_k}n_k^{\alpha}= \sqrt{g(n_k)} \geqslant g(n_k)$ при всех $k$. Требуемый пример построен. В заключение установим дополнение к теореме Колмогорова. В книге Зигмунда [7; с. 157] доказаны следующие оценки функций (см. лемму C) ${\mathbf K}_k^{\alpha}(x)$: $|{\mathbf K}_k^{\alpha}(x)| \leqslant C(\alpha) n^{\alpha}$ при всех $x$ и $|{\mathbf K}_k^{\alpha}(x)| \leqslant C(\alpha)x^{-\alpha}$ при $x\in (0,\pi)$. Но тогда (см. лемму B, п. б)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_0^{\pi} \sum_{k=0}^{\infty} |{\mathbf K}_k^{\alpha}(x)| {\Delta}^{\alpha} ({\mathbf a})_k \,dx= \sum_{k=0}^{\infty} \int_0^{\pi}|{\mathbf K}_k^{\alpha}(x)|\, dx {\Delta}^{\alpha} ({\mathbf a})_k \leqslant C(\alpha) \sum_{k=0}^{\infty} k^{\alpha-1} {\Delta}^{\alpha} ({\mathbf a})_k \\ &\qquad\leqslant C(\alpha)\sum_{k=0}^{\infty} A_k^{\alpha-1} {\Delta}^{\alpha}({\mathbf a})_k =C(\alpha){\Delta}^{-\alpha}({\Delta}^{\alpha} ({\mathbf a}))_0=C(\alpha) a_0 < \infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Принимая во внимание результат леммы C, получаем, что сумма ряда интегрируема по Лебегу на $(0,\pi)$.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Dya23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|