| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Дифференциальные исчисления на групповых алгебрах и концы групп А. А. Арутюновab a Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, г. Москва b Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет), Московская облаcть, г. Долгопрудный
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623070155 
Реферативные базы данных:
  ВведениеНа групповых алгебрах есть два хорошо известных варианта дифференциального исчисления. Первое – это классическое дифференциальное исчисление, удовлетворяющее правилу Лейбница. А именно, назовем дифференцированиями линейные операторы $d\colon\mathbb C[G]\to\mathbb C[G]$, удовлетворяющие правилу Лейбница
$$
\begin{equation*}
d(g_1g_2)=d(g_1)g_2+g_1d(g_2)\qquad \forall\,g_1,g_2\in G.
\end{equation*}
\notag
$$
Подробнее о таких дифференцированиях и их приложениях см. работы [1]–[4] и обзор [5]. Отметим также приложения изученной конструкции к вычислению когомологий Хохшильда. Второй хорошо известный вариант дифференциального исчисления на групповых алгебрах – это дифференциальное исчисление в смысле Фокса. Понятие дифференцирования Фокса было введено в оригинальной работе [6]. Одним из первых и самых ярких приложений этого исчисления была теория узлов (см. [7]). Конкретно, удается вычислить матрицу Александера и полиномы Александера, являющиеся инвариантами узлов. Также отметим работу [8], в которой с помощью дифференцирований Фокса исследовались пуассновы и квази-пуассоновы структуры на представлениях пространств и поверхностей. Некоторые приложения к исследованию метабелевых алгебр Ли см. в [9], свойства суперпозиций дифференцирований Фокса были получены в [10]. Строгое определение дифференцирований Фокса мы дадим ниже (см. определение 13). Пока отметим, что линейное отображение $\partial\colon\mathbb Z[G]\to\mathbb Z[G]$ в целочисленной групповой алгебре, являющееся дифференцированием Фокса, должно удовлетворять условию
$$
\begin{equation*}
\partial(g_1g_2)=\partial(g_1)+g_1\,\partial(g_2)\qquad \forall\,g_1,g_2\in G.
\end{equation*}
\notag
$$
В настоящей работе будет представлена общая конструкция, которая позволяет связать оба варианта дифференциального исчисления с пространствами характеров на группоидах действия группы: для классических дифференцирований это действие группы на себе сопряжениями, а для дифференцирований Фокса – левыми сдвигами. Конструкция основана на совместных работах с Мищенко и Штерном (см. [1], [3]). Для исследования пространств характеров и определения их свойств нам потребуется конструкция графа $\operatorname{\operatorname{sk}}(G;\lambda)$, который обобщает понятие графа Кэли на случай произвольного действия $\lambda\colon G\times G\to G$ группы на себе. При этом структура пространства характеров оказывается существенно зависящей от числа концов соответствующей компоненты связности графа $\operatorname{sk}(G;\lambda)$. В частности, дифференцирования Фокса оказываются по разному устроены для групп с числом концов равным единице и для групп с большим числом концов. Для полноты изложения отметим, что близким аналогом конструкции является исследованный автором совместно с Алексеевым и Сильвестровым в [11] случай так называемых $(\sigma,\tau)$-дифференцирований. А именно, для пары эндоморфизмов группы $\sigma\colon G\to G$, $\tau\colon G\to G$ назовем $(\sigma,\tau)$-дифференцированием линейный оператор $D\colon\mathbb C[G]\to\mathbb C[G]$, для которого выполнено “скрученное” правило Лейбница
$$
\begin{equation*}
D(g_1g_2)=D(g_1)\tau(g_2)+\sigma(g_1)D(g_2)\qquad \forall\,g_1,g_2\in G.
\end{equation*}
\notag
$$
Было доказано (см. [11; теорема 1]), что такие $(\sigma,\tau)$-дифференцирования могут быть представлены как характеры подходящего группоида (см. [11; раздел 3]), не являющегося, впрочем, группоидом действия. Отметим также, что в работе [11] не были получены результаты, касающиеся связи между структурой алгебры дифференцирований и числом концов соответствующих графов, что является важной задачей настоящей работы. 1. Определения и основные результатыПусть $G$ – конечно порожденная группа. Зафиксируем $\lambda$ – левое действие группы на себе $\lambda\colon G\times G\to G$. При фиксированном действии $\lambda\colon G\times G\to G$ будем писать $g(m):=\lambda(g,m)$. При помощи системы образующих $\mathbf X$ и действия $\lambda$ определим граф $\operatorname{sk}(G;\lambda)$. Определение 1. Для конечно порожденной группы $G=\langle X\rangle$ определим граф $\operatorname{sk}(G;\lambda)$ следующим образом. В качестве вершин возьмем множество элементов группы $G$, для образующей $x\in\mathbf X$ и вершин $a$, $b$ таких, что $x(a)=b$, направим ребро с меткой $x$ из вершины $a$ в $b$. Так определенный граф зависит от выбора системы образующих. Однако, как несложно проверить, для различных конечных систем образующих группы они будут квазиизометричны (см. определение в [12]). В случае, когда $\lambda$ – действие левыми сдвигами, т.е. $\lambda(x,a)=xa$, будем пользоваться обозначением $\lambda=\operatorname{tr}_-$. Соответственно, граф $\operatorname{sk}(G;\operatorname{tr}_-)$ есть граф Кэли группы $G$. Другой важный пример – действие сопряжениями, т.е. $\lambda(x,a)=xax^{-1}$. В таком случае граф $\operatorname{sk}(G;\lambda)$ уместно называть диаграммой сопряженности. Нам потребуются некоторые свойства графов $\operatorname{sk}(G;\lambda)$. Мы вычислим число концов у компонент связности $\operatorname{sk}_u$ графа $\operatorname{sk}(G;\lambda)$, используя размерности пространств характеров на группоиде действия. Под характерами мы подразумеваем (см. определение 2) отображения $\chi\colon\operatorname{Hom}(\Gamma_\lambda)\to\mathbb C$ такие, что для пар компонируемых морфизмов выполнено свойство $\chi(\psi\circ\varphi)=\chi(\psi)+\chi(\varphi)$. Причем на такие характеры мы наложим дополнительное условие локальной финитности (см. определение 3). Для вычисления числа концов нам потребуются локально финитные характеры, обнуляющиеся на всех эндоморфизмах. Будет доказана следующая Теорема. Для конечнопорожденной группы $G$ число $e(\operatorname{sk}_u)$ не зависит от копредставления группы, и справедливо равенство Здесь $X_0(\Gamma_{[u]})$, $X_0^{\mathrm{loc}}(\Gamma_{[u]})$ – пространства характеров, тривиальных на петлях и тривиальных на петлях с локализованными носителями соответственно. См. подробные определения 4 и 5 ниже. При помощи характеров можно порождать семейства операторов по формулам следующего вида:
$$
\begin{equation*}
\alpha_{\mathscr A}(g)=\sum_{h\in G}\chi(h,g)h,\qquad \alpha_{\mathscr B}(g)=\sum_{h\in G}\chi(h,g)gh.
\end{equation*}
\notag
$$
Условие компонируемости морфизмов порождает соответствующие “индуктивные” тождества (см. формулы (3.3) и (3.7) для $\alpha_{\mathscr A}$ и $\alpha_{\mathscr B}$ соответственно), аналогичные правилу Лейбница, в зависимости от выбора типа действия группы на себе, что будет исследовано в разделе 3. В частности, будет доказана теорема, показывающая, что в зависимости от числа концов графа меняется структура соответствующего пространства операторов. Теорема. Если $\lambda$ – точное транзитивное действие, то для семейств операторов $\mathscr A$, $\mathscr B$ следующие утверждения эквивалентны: Приложения к исследованию классических дифференцирований собраны в п. 4.1 и обобщают более ранние результаты работ [1]–[3], касающиеся изучения идеалов внутренних и квазивнутренних дифференцирований. Вторым важным примером являются дифференцирования Фокса, исследованные в п. 4.1. Предлагаемый комбинаторный подход позволяет дать описание всех дифференцирований Фокса для произвольной конечно порожденной группы (см. теорему 3). Примечательно, что структура дифференцирований Фокса оказывается связанной с числом концов исходной группы. 1.1. Группоид действия и пространство характеровОпределим группоид действия $\Gamma_\lambda$. В качестве объектов группоида возьмем элементы группы $G$, т.е. $\operatorname{Obj}(\Gamma_\lambda):=G$. В качестве морфизмов возьмем пары из множества $G\times G$, т.е. $\operatorname{Hom}(\Gamma_\lambda):=G\times G$. Началом морфизма $\phi=(m,g)$ положим объект $s(\phi):=m$, а в качестве конца возьмем $t(\phi):=g(m)$. Иными словами, все морфизмы с началом в объекте $a$ и концом в объекте $b$ имеют вид Эндоморфизмами назовем морфизмы, у которых совпадает начало и конец. Группа эндоморфизмов вокруг объекта $m$ изоморфна стабилизатору элемента $m$:Для пары морфизмов $\phi=(m,g_1)$, $\psi=(m',g_2)$ таких, что $m'=g_1(m)$, определим композицию $\psi\circ\phi$ по формуле Ассоциативность композиции следует из ассоциативности умножения в группе. Нейтральный морфизм вокруг объекта $m$ имеет вид $(m,e)$, где $e$ – нейтральный элемент в группе $G$. Морфизм обратный к $(m,a)$ имеет вид $(a(m)$, $a^{-1})$. Для элемента $u\in G$ будем обозначать через $[u]$ множество элементов орбиты относительно действия $\lambda$. Множество орбит будем обозначать $G^\lambda$. Определим субгруппоид $\Gamma_{[u]}$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Obj}(\Gamma_{[u]})=[u],\qquad \operatorname{Hom}(\Gamma_{[u]})=\operatorname{Hom}(a,x), \quad a\in[u], \quad x\in G.
\end{equation*}
\notag
$$
Группоид $\Gamma_\lambda$ представим в виде несвязного объединения субгруппоидов $\Gamma_{[u]}$, т.е.
$$
\begin{equation}
\Gamma_\lambda=\coprod_{[u]\in G^\lambda}\Gamma_{[u]}.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Зададим на группоиде $\Gamma_\lambda$ пространство характеров, аналогичное изученному ранее в работах [3], [13], [14]. Определение 2. Будем называть функцию $\chi\colon\operatorname{Hom}(\Gamma_\lambda)\to\mathbb C$ характером, если для любой пары компонируемых морфизмов $\phi$, $\psi$ выполняется равенство Последняя формула эквивалентна следующей: Отметим, что вместо поля комплексных чисел $\mathbb C$ можно взять и любое другое поле нулевой характеристики, дальнейшие рассуждения не изменятся. Ниже при исследовании дифференцирований Фокса мы рассмотрим целочисленные характеры. Существенно отличается ситуация, если брать в качестве значений характеров конечные поля. Такой вариант характеров был рассмотрен в [13]. Определение 3. Будем называть характер $\chi$ локально финитным, если для всех элементов $g\in G$ имеем, что $\chi(m,g)=0$ почти всегда (т.е. для всех кроме конечного числа элементов $m\in G$). Пространство локально финитных характеров будем обозначать $X(\Gamma_\lambda)$. Определение 4. Будем обозначать через $X_0(\Gamma_\lambda)$ пространство локально финитных характеров, тривиальных на эндоморфизмах, т.е. Нам потребуется пространство локально финитных характеров, тривиальных на петлях с локализованным носителем. Определение 5. Обозначим через $X_0^{\mathrm{loc}}(\Gamma_\lambda)$ пространство локально финитных характеров таких, что Отметим, что второе условие не следует из определенной выше локальной финитности. Определение 3 означает, что для фиксированного $g\in G$ есть конечное число объектов $m$ таких, $\chi(m,g)\ne 0$, но множество объектов $m$ таких, что $\chi(m,g)\ne 0$ для некоторого $g$, может быть и бесконечным. Будем называть носителем характера множество морфизмов, на которых он отличен от нуля, т.е.
$$
\begin{equation}
\operatorname{supp}\chi:=\{\phi\in\operatorname{Hom}(\Gamma_\lambda)\mid\chi(\phi)\ne 0\}.
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Обозначим через $X(\Gamma_{[u]})$, $[u]\in G^\lambda$, подпространство в $X(\Gamma_\lambda)$, состоящее из характеров, удовлетворяющих условию $\operatorname{supp}(\chi)\subset\operatorname{Hom}(\Gamma_{[u]})$. Аналогичный смысл имеют и пространства $X_0(\Gamma_{[u]})$, $X_0^{\mathrm{loc}}(\Gamma_{[u]})$. По формуле (1.1) имеем
$$
\begin{equation*}
X(\Gamma_\lambda)=\bigoplus_{[u]\in G^\lambda}X(\Gamma_{[u]}),\qquad X_0(\Gamma_\lambda)=\bigoplus_{[u]\in G^\lambda}X_0(\Gamma_{[u]}),\quad X_0^{\mathrm{loc}}(\Gamma_\lambda) =\bigoplus_{[u]\in G^\lambda}X_0^{\mathrm{loc}}(\Gamma_{[u]}).
\end{equation*}
\notag
$$
1.2. Граф $\operatorname{sk}(G;\lambda)$Напомним определение графа $\operatorname{sk}(G;\lambda)$ (определение 1) для конечно порожденной группы $G=\langle X\rangle$: в качестве вершин возьмем множество элементов группы $G$, для образующей $x\in\mathbf X$ и вершин $a$, $b$ таких, что $x(a)=b$, направим ребро с меткой $x$ из вершины $a$ в $b$. Для элемента $u\in G$ обозначим через $\operatorname{sk}_u$ компоненту связности графа $\operatorname{sk}(G;\lambda)$ содержащую элемент $u$. На графе $\operatorname{sk}(G;\lambda)$ и его компонентах связности $\operatorname{sk}_u$ понятия характера и локальной финитности можно ввести аналогично с группоидом $\Gamma_\lambda$. Определение 6. Функцию на направленном графе $\chi\colon\operatorname{sk}(G;\lambda)\to\mathbb C$ будем называть характером, если сумма значений характера на ребрах по каждому замкнутому циклу (берущаяся с учетом направления ребра) нулевая. Аналогично характер вводится и на графах $\operatorname{sk}_u$. Заметим, что, как и с характерами на группоиде, вместо поля комплексных чисел $\mathbb C$ можно взять и любое другое поле нулевой характеристики, дальнейшие рассуждения не изменятся. Определение 7. Характер на графе будем называть локально финитным, если он равен нулю на почти всех ребрах. Легко понять, что если рассмотреть $\Gamma_\lambda$ как граф с подграфом $\operatorname{sk}(G;\lambda)$, то каждый характер на $\Gamma_\lambda$, будучи ограниченным на $\operatorname{sk}(G;\lambda)$, породит характер на графе. Верно и обратное: каждый характер на графе однозначно продолжается на весь группоид. Лемма 1. Локально финитный характер на графе $\operatorname{sk}_u$ продолжается до локально финитного характера на всем группоиде. Доказательство. Достаточно продолжить характер $\chi_0$ с графа $\operatorname{sk}_u$ до характера $\chi$ с носителем в группоиде $\Gamma_{[u]}$. Положим $\chi(a,x):=\chi_0(a,x)$ для всех $x\in\mathbf X$. Продолжим характер при помощи формулы (1.2) на все морфизмы. Корректность такого продолжения вытекает из того, что характер $\chi_0$ обращается в нуль на каждом замкнутом пути, а на группоиде $\Gamma_{[u]}$ корректно определена композиция. Остается проверить локальную финитность полученного характера. Возьмем произвольный элемент $\omega\in G$, который в данном копредставлении может быть записан как слово длины $n$ от образующих $x_i\in\mathbf X$, т.е. $\omega=\omega(x_1,x_2,\dots)$. Такой морфизм является композицией $n$ морфизмов с метками $x_i$, откуда и получаем, что характер $\chi$ отличен от нуля лишь на конечном числе морфизмов вида $(\ast,\omega)$. Локально финитный характер на группоиде ограничивается до локально финитного характера на графе $\operatorname{sk}(G;\lambda)$. Таким образом, построено взаимнооднозначное соответствие между характерами на графе $\operatorname{sk}_u$ и субгруппоиде $\Gamma_{[u]}$ и в дальнейшем эти два понятия различаться не будут. Пример 1. Если $\lambda$ – тривиальное действие, т.е. $g(m)=m$ для всех $g,m\in G$, то графы $\operatorname{sk}_u$ состоят из одной вершины. Соответствующий группоид действия $\Gamma_{[u]}$ эквивалентен моноиду группы. Другие примеры, в частности, важный случай действия группы на себе сопряжениями, будут рассмотрены ниже в разделе 3. Немного проясним структуру графа $\operatorname{sk}(G;\lambda)$. Рассмотрим отображение $\zeta\colon\operatorname{Cayley}(G)\to\operatorname{sk}_u$, определяемое следующим образом: положим на вершинах $\zeta\colon g\mapsto g(u)$. В частности $\zeta\colon 1\mapsto u$. И продолжим отображение $\zeta$ на ребра при помощи меток. Ребро с меткой $x\in\mathbf X$, соединяющее $a$ и $b$ в графе Кэли, перейдет в ребро с меткой $x$ между $\zeta(a)$ и $\zeta(b)$ в графе $\operatorname{sk}_u$. Введенное отображение $\zeta$ является накрытием и корректно определено, поскольку если путь $\omega$ в графе Кэли является циклом, то он будет циклом и в графе $\operatorname{sk}_u$. Так что граф $\operatorname{sk}(G;\lambda)$ есть образ графа Кэли под действием монотонного накрытия, сохраняющего метки на ребрах. Граф $\operatorname{sk}(G;\lambda)$ зависит от выбора системы образующих $\mathbf X$. Однако легко видеть, что при замене множества образующих $\mathbf X$ все получаемые графы будут грубо эквивалентными (квазиизометричными). Так что число концов является инвариантом группы $G$ относительно выбора системы образующих и грубым инвариантом компоненты связности графа $\operatorname{sk}(G;\lambda)$. Отметим, что данный инвариант для различных вариантов действия $\lambda$ является, вообще говоря, более тонким, чем число концов группы, и позволяет различать группы с одинаковым числом концов (см. пример 2). Исследование концов групп и концов метрических пространств началось в первой половине XX века с работы [15]. Важным результатом был полученный в работах [16], [17] критерий бесконечности числа концов у группы. В дальнейшем теория концов находила новые приложения. Некоторые результаты описаны в [18]. Последние годы теория концов изучается в контексте грубой геометрии. Обзор известных результатов см. в [19]. Также отметим работу [12], в которой предложено обобщение теории концов метрического пространства на общий случай грубой структуры, а также работу [20], в которой установлена связь между числом концов метрического пространства и компактификацией Хигсона. В работе [21] с использованием теории концов была построена грубая классификация польских групп. 1.3. Тривиальные на эндоморфизмах характерыДля работы с характерами, тривиальными на эндоморфизмах, удобно воспользоваться следующим соображением. Если характер $\chi$ равен нулю на всех эндоморфизмах, то для всех морфизмов $\phi,\psi\in\operatorname{Hom}(a,b)$ имеем, что $\chi(\phi)=\chi(\psi)$. Следовательно, для такого характера $\chi$ найдется функция $p\colon\operatorname{Obj}(\Gamma_{[u]})\to\mathbb C$ такая, что справедлива формула
$$
\begin{equation}
\chi(\phi)=p(b)-p(a)\qquad \forall\,\phi\in\operatorname{Hom}(a,b).
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
Введем отношение эквивалентности Определение 8. Две функции на объектах $p_1$, $p_2$ будем называть эквивалентными, если их разность является константой, т.е. В силу формулы (1.5) эквивалентные функции $p$ задают один характер. Для дальнейшего зафиксируем следующее простое соображение. Замечание 1. Легко видеть, что по построению подпространства характеров $X_0^{\mathrm{loc}}(\Gamma_{[u]})$, $X_0(\Gamma_{[u]})$ не зависят от выбора копредставления группы $G$. Определение 9. Пространство функций $p\colon\operatorname{Obj}(\Gamma_{[u]})\to\mathbb C$, профакторизованное введенным выше отношением эквивалентности $\sim$, таких, что для каждого $x\in\mathbf X$ для почти всех $a$ выполнено $p(a)=p(x(b))$, будем обозначать через $\mathbb P(\Gamma_{[u]})$. Через $\mathbb P_0(\Gamma_{[u]})$ будем обозначать подпространство в пространстве $\mathbb P(\Gamma_{[u]})$ из тех элементов $\mathbb P(\Gamma_{[u]})$, которые эквивалентны функциям $p$, обладающим конечным носителем. Из замечания 1 получаем Предложение 1. Имеют место следующие естественные изоморфизмы векторных пространств: Доказательство. Первые две формулы вытекают из определения. Из них следует и изоморфизм соответствующих факторпространств. Уточним описание функций из пространства $\mathbb P(\Gamma_{[u]})$. Лемма 2. Функция $p$ лежит в пространстве $\mathbb P(\Gamma_{[u]})$ тогда и только тогда, когда существует конечный подграф $Q\subset\operatorname{sk}_u$ такой, что для любых двух соседних в графе $\operatorname{sk}_u\setminus Q$ вершин $a$, $b$ имеет место $p(a)=p(b)$. Доказательство. Функция $p$ определяет соответствующий ей характер $\chi$ по формуле (1.5). Согласно лемме 1 локальная финитность характера $\chi\in X_0(\Gamma_{[u]})$ равносильна локальной финитности характера на графе $\operatorname{sk}_u$. Локальная финитность характера на графе равносильна тому, что для всех, кроме конечного числа, соседних вершин $a$, $b$ значение характера на ребре, соединяющем $a$ и $b$, равно нулю. Что и дает доказательство в одну сторону. Обратное следует из конечной порожденности группы $G$ и определения характера. 2. Вычисление числа концовПусть имеем бесконечный граф $\gamma$ с конечными степенями вершин. Определение 10. Через $e(\gamma)$ будем обозначать число концов графа $\gamma$, а именно, максимальное количество бесконечных компонент связности в графах вида $\gamma\setminus Q$. Максимум берется по всевозможным конечным подграфам $Q$. Число концов графа Кэли группы $G$ не зависит от выбора конечной системы образующих (см. [22]), так что через $e(G)$ будем обозначать число концов для графа Кэли группы $G$. Данный инвариант называют числом концов группы $G$. Известная теорема Столлингса (оригинальное доказательство см. в [16], [17], современное в [22], [23]) позволяет вычислить $e(G)$ при помощи свойств копредставления группы $G$. Наша задача – построить формулу для концов графов $\operatorname{sk}(G;\lambda)$, имеющих более общий вид, нежели графы Кэли. Для этого мы воспользуемся размерностями определенных нами выше пространств. Теорема 1. Для конечнопорожденной группы $G$ число $e(\operatorname{sk}_u)$ не зависит от копредставления группы, и справедливо равенство Доказательство. Объединяя предложение 1 и замечание 1, получаем равенство Так что достаточно проверить равенство
$$
\begin{equation*}
\dim(\mathbb P(\Gamma_{[u]})/\mathbb P_0(\Gamma_{[u]})) =e(\operatorname{sk}_u)-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Функции из пространств $\mathbb P(\Gamma_{[u]})$, $\mathbb P_0(\Gamma_{[u]})$ достаточно рассматривать как функции на вершинах графа $\operatorname{sk}_u$. Пусть сначала у графа $\operatorname{sk}_u$ конечное число концов. Зафиксируем конечный подграф $Q_0\subset\operatorname{sk}_u$ такой, что у графа $\operatorname{sk}_u\setminus Q_0$ столько же бесконечных компонент связности, сколько и концов. Обозначим бесконечные компоненты связности через $E_1,\dots,E_{e(\operatorname{sk}_u)}$. Определим функцию $p_i$, $i=1,\dots,e(\operatorname{sk}_u)$, как индикатор множества $E_i$, т.е. $p_i(a):=1$ для всех $a\in E_i$ и $p_i(a):=0$ для прочих элементов. К таким функциям очевидно применима лемма 2, так что имеем $p_i\in\mathbb P(\Gamma_{[u]})$ и, соответственно, они определяют нетривиальный локально-финитный характер. Причем если $e(\operatorname{sk}_u)>1$, то любые $e(\operatorname{sk}_u)-1$ таких функций линейно независимы. В то же время сумма всех таких функций $p_i$-эквивалентна функции с конечным носителем из $\mathbb P_0$. Теперь покажем, что любая функция $p$, задающая локально финитный характер, представима в виде линейной комбинации $p=\sum\alpha_ip_i+p_Q$, где функция $p_Q$ имеет конечный носитель – множество $Q$. По лемме 2 для функции $p\in\mathbb P(\Gamma_{[u]})$ найдется такой конечный подграф $Q_1$, что $p(s)=p(t)$ для всех пар соседних вершин $s$, $t$ в графе $\operatorname{sk}_u\setminus Q_1$. Положим $Q_2=Q_0\cup Q_1$, и возьмем такой конечный граф $Q\supset Q_2$, что все графы $E_i\setminus Q$ будут связными. Тогда на каждом множестве $E_i\setminus Q$ функция $p$ постоянна, поскольку $E_i\setminus Q$ содержится в множестве $E_i\setminus Q_1$. Положим $a_i:=p(t)$ для $t\in E_i\setminus Q$. Остается заметить, что функция $p_Q:=p(x)-\sum a_ip_i(x)$ обладает конечным носителем, сосредоточенным в подграфе $Q$. В случае, когда число $e(\operatorname{sk}_u)$ конечно, остается заметить, что $e(\operatorname{sk}_u)$ не зависит от копредставления группы. В силу замечания 1 левая часть формулы (2.1) не зависит от копредставления группы $G$. А значит, и число $e(\operatorname{sk}_u)$ не зависит от копредставления группы $G$. В случае, когда число концов графа $\operatorname{sk}_u$ бесконечно, проверим, что и пространство $X_0(\Gamma_{[u]})/X_0^{\mathrm{loc}}(\Gamma_{[u]})$ будет бесконечномерным. Действительно, для каждого $N$ найдется такой конечный подграф $Q_N$, что граф $\operatorname{sk}_u\setminus Q_N$ обладает не менее чем $N+1$ бесконечными компонентами связности, которые мы обозначим $E^N_1,E^N_2,\dots,E^N_k$, $k>N$. В таком случае рассмотрим функции $p_i\in\mathbb P(\Gamma_{[u]})$, которые являются индикаторами множеств $E^N_i$. Любые $N$ из них будут линейно независимы, причем будут порождать $N$-мерное подпространство в $\mathbb P(\Gamma_{[u]})/\mathbb P_0(\Gamma_{[u]})$. Следовательно, интересующее нас пространство $X_0(\Gamma_{[u]})/X_0^{\mathrm{loc}}(\Gamma_{[u]})$ бесконечномерно. Если число концов графа $\operatorname{sk}_u$ равно нулю (например, если группа $G$ конечна или соответствующая орбита конечна), то пространства $X_0$ и $X_0^{\mathrm{loc}}$ совпадают. Тогда правая часть формулы (2.1) равна нулю. Группа $G$ называется $FC$-группой (см. [24]), если в ней все классы сопряженности конечны. Примеры и свойства таких бесконечных групп см. в [24], [25]. Пример 2. Если $\lambda$ – действие сопряжениями, то бесконечная группа $G$ является $FC$-группой, если $e(\operatorname{sk}_u)=0$ для всех $u\in G$. К естественному вопросу о вычислении числа концов комбинаторными методами, отметим известную теорему Хопфа (см. [26]), гласящую, что число концов конечнопорожденной группы устроено следующим образом: $e(G)\in\{0;1;2;\infty\}$. Отметим обобщение этой теоремы в терминах грубой геометрии (см. [12; теорема 6.39]), применимое к случаю графа $\operatorname{sk}(G;\lambda)$. Если группа действует на себе левыми сдвигами, граф $\operatorname{sk}(G;\operatorname{tr}_-)$ совпадает с графом Кэли для соответствующей системы порождающих. Так что, применяя упомянутую теорему Хопфа, получаем следующую реализацию доказанной выше теоремы. Пример 3. Для действия левыми сдвигами $\operatorname{tr}_-$ имеем, что интересующий нас граф $\operatorname{sk}(G;\operatorname{tr}_-)$ совпадает с графом Кэли $\operatorname{Cayley}(G)$ для той же системы образующих. Соответственно, для бесконечной группы $G$ В качестве простейшего конкретного примера действия сдвигами группы на себе, естественно обратить внимание на аддитивную группу целых чисел $\mathbb Z$, у которой граф Кэли имеет два конца. Пример 4. Функция $\operatorname{sgn}\colon\operatorname{Cayley}(\mathbb Z)\to\{\pm 1\}$, которая ставит в соответствие целому числу его знак, задает локально финитный характер на графе, однако не эквивалентна никакой функции из $\mathbb P_0(\mathbb Z)$. Рассуждения из доказательства теоремы 1 легко обобщить. А именно, пусть $\gamma$ – связный граф, в котором все вершины имеют конечную степень. Положим $\mathbb P(\gamma)$, $\mathbb P_0(\gamma)$ – пространства функций на вершинах графа $\gamma$, заданные так же, как и в определении 9. Тогда получаем У графа $r$, разумеется, один конец, так что $e(r)-1=0$. В то же время пространство $\mathbb P$ состоит из таких функций, что $p(k)=p(k+1)$ для всех достаточно больших $k$. Следовательно, с точностью до отношения эквивалентности мы можем считать, что $p(k)=0$ для достаточно больших $k$. Значит, пространства $\mathbb P(r)$ и $\mathbb P_0(r)$ ожидаемо совпадают. 3. Операторы на групповых алгебрахРассмотрим линейный оператор $\alpha\colon\mathbb C[G]\to\mathbb C[G]$. В силу линейности для базисного элемента $g\in G\subset\mathbb C[G]$ имеем Очевидно, что определенность оператора $\alpha$ как действующего в групповой алгебре $\mathbb C[G]$ равносильна условию на коэффициенты $\alpha^g_h$, аналогичному условию локальной финитности.Семейства операторов. Пусть $\lambda\colon G\times G\to G$ – свободное и транзитивное левое действие группы на себе. Когда речь идет о фиксированном действии, мы будем, как и раньше, писать $\lambda(g,h)=:g(h)$. Продолжим действие $\lambda$ по линейности до действия на групповой алгебре $\lambda\colon G\times\mathbb C[G]\to\mathbb C[G]$. А именно, если $x\colon G\to\mathbb C$ – финитная функция, положим
$$
\begin{equation}
g\biggl(\sum_{h\in G}x(h)h\biggr):=\sum_{h\in G}x(h)gh.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Определение 11. Обозначим через $\mathscr A(\mathbb C[G],\lambda)$ пространство операторов, действующих в $\mathbb C[G]$, таких, что для каждого $\alpha\in\mathscr A$ выполнено Для краткости будем писать $\mathscr A$ вместо $\mathscr A(\mathbb C[G])$. Доказательство. Понятно, что оператор $\alpha$ лежит в $\mathscr A$, если (и только если) тождество (3.2) выполнено на всех образующих. Запишем оператор $\alpha$ для $g\in G$ в виде Тождество (3.2) для образующих $g_{1,2}\in G$ дает следующее:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \alpha(g_2 g_1) &=\sum_{h\in G}\chi(h,g_2 g_1)h =\sum_{h\in G}\bigl(\chi(h,g_1)h+\chi(g_1(h),g_2)h\bigr) \\ &=\alpha(g_1)+\sum_{h\in G}\chi(h,g_2)g_1^{-1}(h) =\alpha(g_1)+g_1^{-1}(\alpha(g_2)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь мы применили “перенумерацию” элементов группы, воспользовавшись точностью действия, а именно: если $g_1(h)=m$, то $h=g_1^{-1}(m)$, а также транзитивностью, поставив знак суммирования по всей группе. Поскольку в выкладке все переходы эквивалентны, получаем, что из выполнения тождества (3.2) следует, что для коэффициентов, определенных формулой (3.3), будет выполняться свойство определяющее характер (1.2). Что и требовалось. Приведем два очевидных примера классов операторов, описываемых тождествами типа $\mathscr A$. Пример 6. Если наше действие – это действие левыми сдвигами $\operatorname{tr}_-$, то тождество (3.2) примет вид Если $\lambda$ – действие сопряжениями, то тождество (3.2) примет вид Приведем еще одно аналогичное семейство операторов, которое в вычислительном смысле несколько более громоздкое, однако доставляет нам основные примеры тождеств, встречающихся в других разделах, а именно классические дифференцирования и дифференцирования Фокса. Определение 12. Обозначим через $\mathscr B(\mathbb C[G],\lambda)$ пространство операторов, действующих в $\mathbb C[G]$, таких, что для каждого $\alpha\in\mathscr B$ выполнено Для краткости будем писать $\mathscr B$ вместо $\mathscr B(\mathbb C[G],\lambda)$. Доказательство. Оператор $\alpha\in\mathscr B$, если (и только если) тождество (3.2) выполнено на всех образующих. Запишем оператор $\alpha$ для $g\in G$ в виде Остальное доказательство полностью аналогично доказательству предложения 2. Несмотря на более громоздкий вид, семейства операторов $\mathscr B$ как раз обобщают понятия классического дифференцирования и дифференциальное исчисление Фокса. Пример 7. Если рассматриваем действие левыми сдвигами $\operatorname{tr}_-$, то тождество (3.6) примет вид Если $\lambda$ – действие сопряжениями, то тождество (3.2) определяет дифференцирования, т.е. задает правило Лейбница Поясним, что тождество $\alpha(u)+u\alpha(v)$ соответствует тождеству, которому удовлетворяют так называемые производные Фокса (Fox derivatives). Этот интересный пример мы рассмотрим подробнее ниже. Несложно построить и другие примеры аналогичных семейств операторов, задаваемых различными тождествами. При этом для всякого такого семейства будет действовать обобщение следствия 5. Теорема 2. Если $\lambda$ – точное транзитивное действие, то для семейств операторов $\mathscr A$, $\mathscr B$ следующие утверждения эквивалентны: Доказательство. Из теоремы 1 получаем, что условие $e(\operatorname{sk}_u)>1$ равносильно тому, что существует тривиальный на петлях характер $\chi$ такой, что он не задается характером из $X_0^{\mathrm{loc}}(\Gamma_{[u]})$. По предложению 1 он задается функцией $p$ с бесконечным носителем. Причем, как следует из доказательства теоремы 1, характер $\chi$ можно выбрать таким образом, что носитель функции $p$ – это подмножество $E_1$ (из доказательства теоремы 1). Тогда для базисного элемента $g\in G$ с длиной $|g|$ количество ненулевых слагаемых в соответствующей формуле (3.3), (3.7) будет не меньше, чем $|M_g|$ – количество элементов на расстоянии $|g|$ от $Q$. Поясним это утверждение. Рассмотрим множество Тогда если $q(h)\in Q$ такое, что расстояние от $h$ до $q(h)$ минимально, то для морфизма $\varphi\in\operatorname{Hom}(h,q(h))$ имеем $\chi(\varphi)\ne 0$.Дальнейшие рассуждения очевидны. В качестве одного из приложений теоремы 2 отметим, что характеры, которые задаются функциями $p\in\mathbb P(\Gamma_{[u]})$, задающими локально финитные характеры, определены на групповой алгебре $\mathbb C[G]$. Однако они не будут ограниченными, если на $\mathbb C[G]$ задать норму, в которой $\|g\|=1$ для всех $g\in G$. Более подробно о дифференцированиях со значениями в нормированных бимодулях см. [27]. 4. ПримерыПерейдем к разбору примеров применения теорем 1 и 2. Оба примера относятся к введенному выше семейству операторов $\mathscr B$. 4.1. Действие сопряжениямиПусть $\lambda$ – это действие группы на себе сопряжениями. То есть $g(a)=gag^{-1}$. Рассмотрим дифференцирование $d$, а именно, линейный оператор $d\colon\mathbb C[G]\to\mathbb C[G]$, удовлетворяющий правилу Лейбница Как показано в [3] (см. теоремы 1, 2), пространство (на самом деле, алгебра) дифференцирований изоморфно пространству локально финитных характеров $X(\Gamma_\lambda)$. Более того, для дифференцирования $d$ справедлива формула (после соответствующих переобозначений вытекающая из теоремы 1 в [2]) для базисного элемента $g\in G\subset\mathbb C[G]$ Подпространство характеров $X_0(\Gamma_\lambda)$ задает по формуле (4.1) квазивнутренние дифференцирования (см. [14; раздел 4], где они названы слабыми дифференцированиями), а именно дифференцирования, которые задаются характерами, которые равны нулю на всех эндоморфизмах. Квазивнутренние дифференцирования образуют идеал в алгебре дифференцирований, содержащий в себе внутренние [14; теорема 4.1]. При этом характеры из пространства $X^{\mathrm{loc}}_0$ порождают по формуле (4.1) внутренние дифференцирования (это следует из [14; предложение 4.2]), т.е. задаваемые для фиксированного $a\in\mathbb C[G]$ по формуле По теореме 1, если $e(\operatorname{sk}_u)>1$ для некоторого $[u]\in G^G$, то эти пространства не совпадают. Более того, из теоремы 1 следуетЭто же дает критерий совпадения квазивнутренних и внутренних дифференцирований Следствие 3. Если группа $G$ такова, что $e(\operatorname{sk}_u)=1$ для всех $u\in G$, то все квазивнутренние дифференцирования будут внутренними. Замечание 2. Если группа $G$ такова, что для по меньшей мере одного класса сопряженных элементов $[u]$ соответствующий граф $\operatorname{sk}_u$ имеет более одного конца, то найдутся квазивнутренние дифференцирования, не являющиеся при этом внутренними. Следовательно, существуют разные внешние дифференцирования, совпадающие на эндоморфизмах. Более подробно см. приложение к [3] и работу [4]. Квазивнешними дифференцированиями называется фактор-алгебра всех дифференцирований по квазивнутренним (см. [15]). Теорема 1 позволяет изучить алгебру квазивнешних дифференцирований. Обозначим через $X^*(\Gamma_{[u]})$ факторпространство $X(\Gamma_{[u]})/X_0(\Gamma_{[u]})$. Элементы этого пространства $X^*(\Gamma_{[u]})$ можно понимать как ограничение локально финитного характера на эндоморфизмы вершины $u$. Которые, в свою очередь, удобно интерпретировать как гомоморфизмы $\operatorname{Hom}(u,u)\to\mathbb C$. Следствие 4. Справедливо следующее разложение алгебры квазивнешних дифференцирований Если, кроме того, $e(\operatorname{sk}_u)\leqslant 1$ для каждого $[u]$, то последнее разложение справедливо для алгебры внешних дифференцирований. Разберем вопрос, что происходит, когда $e(\operatorname{sk}_u)>1$ для некоторого класса сопряженности. Наиболее показательным нам представляется случай группы Гейзенберга $\mathbf H$, разобранный более подробно в [2; раздел 3.3]. Для нецентрального элемента $u$ в случае группы Гейзенберга, как несложно убедиться, $e(\operatorname{sk}_u)=2$ и соответствующий граф (для подходящей системы образующих) является графом Кэли циклической группы, т.е. попросту $\mathbb Z$. Применение теорем 1 и 2 дает нам следующий результат. Пример 8. Существует такое дифференцирование $d^+\colon\mathbb C[\mathbf H]\to\mathbb C[\mathbf H]$, что выполнены следующие условия: Примером такого дифференцирования является оператор, заданный формулой (3.10) из [2]. В более общем виде это дает такое следствие из теоремы 2. 4.2. Дифференцирования ФоксаПонятие дифференцирования Фокса было введено в оригинальной работе [6]. В дальнейшем дифференциальное исчисление Фокса применялось к различным задачам, в частности, к теории узлов (см. [7]). При помощи таких производных может быть вычислена матрица Александера и полиномы Александера, являющиеся инвариантами узлов. Напомним определение дифференцирования Фокса, следуя работе [7]. Определение 13 [7; с. 96]. Для группы $G$ назовем дифференцированием Фокса линейное отображение $\partial\colon G\to\mathbb Z[G]$ такое, что Такие операторы продолжаются по линейности до оператора $\partial\colon\mathbb Z[G]\to\mathbb Z[G]$, действующего на всем $\mathbb Z[G]$. Отметим, что для дифференциального исчисления Фокса рассматривается групповая алгебра не с комплексными коэффициентами, как у нас, а с целочисленными. Однако это не влияет на саму конструкцию отождествления. Учитывая определение 12 и формулу (3.8) для случая, когда $\lambda=\operatorname{tr}_-$ – действие группы на себе левыми сдвигами, получаем, что дифференцирования Фокса – это не что иное как $\mathscr B(\mathbb Z[G],\operatorname{tr}_-)$. Так что задача описания всех дифференцирований Фокса соответствует задаче исследования характеров на группоиде $\Gamma_{\operatorname{tr}_-}$. Предложение 4. Все локально финитные характеры на $\Gamma_{\operatorname{tr}_-}$ тривиальны на эндоморфизмах, т.е. Доказательство. Легко видеть, что для эндоморфизма $(a,g)\in\operatorname{End}(a)$ имеем, что $ag=a$, следовательно, $g$ есть нейтральный элемент в группе. Значит, все эндоморфизмы имеют вид $(\ast,e)$. Обозначим пространство всех производных Фокса через $\mathscr F(G)$. Обозначим через $X_{\mathbb Z}(\Gamma_{\operatorname{tr}_-})$ пространство локально финитных характеров с целочисленными значениями (аналогично определению 2, но заменяя поле комплексных чисел $\mathbb C$ на кольцо целых чисел $\mathbb Z$). Конечно, пространство $X_{\mathbb Z}(\Gamma_{\operatorname{tr}_-})$ является подпространством в пространстве всех локально финитных характеров $X(\Gamma_{\operatorname{tr}_-})$. Соответсвенно, через $X_{\mathbb Z}^{\mathrm{loc}}(\Gamma_{\operatorname{tr}_-})$ мы обозначим целочисленные характеры, удовлетворяющие одновременно определению 5. Предложение 5. Для конечнопорожденной группы $G$ производные Фокса канонически изоморфны пространству $X_{\mathbb Z}(\Gamma_{\operatorname{tr}_-})$ локально финитных целочисленных характеров. Доказательство. Граф $\operatorname{sk}(G;\operatorname{tr}_-)$ – это граф Кэли группы $G$ для той же системы образующих. Отождествление дифференцирований и характеров строится как в предложении 3. Ну а каноничность имеем из теоремы 1. Имея такое отождествление, мы можем описать все дифференцирования Фокса. Начнем с аналога “внутренних” дифференцирований, т.е. отвечающих характерам из пространства $X_{\mathbb Z}^{\mathrm{loc}}(\Gamma_{\operatorname{tr}_-})$. Предложение 6. Дифференцирования $\partial\in\mathscr F(G)$ с характерами из пространства $X_{\mathbb Z}^{\mathrm{loc}}(\Gamma_{\operatorname{tr}_-})$ имеют вид на базисных элементах где $u\in\mathbb C[G]$. Доказательство. Мы воспользуемся отождествлением из предложения 1, поскольку по доказанному выше предложению 4 все характеры тривиальны на петлях. Зафиксируем базисный элемент групповой алгебры $a\in G$. Рассмотрим функцию $P_a\in\mathbb P_0$ такую, что $P_a(a)=1$, и равную нулю для всех других аргументов. Порождаемый элементом $a$ характер обозначим $\chi_a$. В силу предложения 3 имеем, что соответствующее дифференцирование $\partial_a$ может быть вычислено на базисе следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\partial_a(g)=\sum_{h\in G}gh\chi_a(h,g) =\sum_{h\in G}(P_a(gh)-P(h))gh=a-ga.
\end{equation*}
\notag
$$
Соответственно, для $u=\sum_{a\in G}\lambda_aa$ в силу линейности имеем Откуда и получаем искомое. По теореме 2 имеем, что если $e(G)\in\{0;1\}$, то $X_{\mathbb Z}^{\mathrm{loc}}(\Gamma_{\operatorname{tr}_-}) \equiv X_{\mathbb Z}(\Gamma_{\operatorname{tr}_-})$ и никаких других дифференцирований, кроме тех, что описаны в последнем предложении, нет. Однако для групп, у которых более одного конца, есть и другие дифференцирования Фокса. То есть дифференцирования $\partial_u$, которые задаются элементом $u$, не лежащим в групповой алгебре. Пример 9. Для целочисленной групповой алгебры над $\mathbb Z$ дифференцированием Фокса будет оператор $\partial_+$ вида где $\mathbf k$ – базисный элемент групповой алгебры $\mathbb Z[\mathbb Z]$. Доказательство. Мы берем в качестве функции $p\in\mathbb P_0$ индикатор множества натуральных (включая 0) чисел. Обобщим этот пример, пользуясь доказательством теоремы 1, чтобы получить явную конструкцию для описания таких дифференцирований. Для группы $G$ с числом концов более одного, $e(G)>1$, возьмем конечный подграф $Q$ в графе Кэли $\operatorname{Cayley}(G)$. Зафиксируем $E$ – бесконечную компоненту связности графа $\operatorname{Cayley}(G)\setminus Q$. Обозначим через $P_E$ функцию-индикатор множества $E$. Тогда соответствующий ей характер $\chi_E$ будет локально финитным, а соответствующее ему дифференцирование Фокса $\partial_E$ будет задаваться формулой По теореме 2 в правой части последней формулы для каждого $g$ лишь конечное число ненулевых слагаемых. Объединяя вышесказанное, получаем следующую теорему, описывающую пространство дифференцирований Фокса $\mathscr F(G)$. Теорема 3. Дифференцирования Фокса $\mathscr F(G)$ имеют следующие порождающие: Автор благодарен профессору А. С. Мищенко за внимание к работе.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Aru23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|