| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 5 научных статьях (всего в 5 статьях) Краткие сообщения Сублоренцева задача на группе Гейзенберга Ю. Л. Сачков, Е. Ф. Сачкова Институт программных систем им. А. К. Айламазяна РАН
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623010182 
Реферативные базы данных:
  Рассматривается левоинвариантная сублоренцева задача на группе Гейзенберга. Построен оптимальный синтез, описаны сублоренцево расстояние и сферы. 1. Постановка задачи оптимального управленияГруппа Гейзенберга есть пространство $M\simeq{\mathbb R}^3_{x,y,z}$ с законом умножения
$$
\begin{equation*}
(x_1,y_1,z_1) \cdot(x_2,y_2,z_2)= \biggr(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2+\frac{(x_1y_2-x_2 y_1)}{2}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Это трехмерная нильпотентная группа Ли с левоинвариантным репером
$$
\begin{equation}
X_1=\frac{\partial}{\partial x}- \frac{y}{2}\,\frac{\partial}{\partial z}\,, \qquad X_2=\frac{\partial}{\partial y}+ \frac{x}{2}\,\frac{\partial}{\partial z}\,, \qquad X_3=\frac{\partial}{\partial z}\,.
\end{equation}
\tag{1}
$$
Левоинвариантную субриманову задачу на группе Гейзенберга можно поставить как задачу быстродействия
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \dot q=u_1 X_1+u_2 X_2, \qquad q \in M, \quad u_1^2+u_2^2=1, \\ q(0)=q_0=\operatorname{Id}=(0,0,0), \quad q(t_1)=q_1, \\ t_1 \to \min. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Эта задача – краеугольный камень субримановой геометрии [1]–[6]. Естественно рассмотреть вариацию этой задачи – левоинвариантную сублоренцеву задачу на группе Гейзенберга
$$
\begin{equation}
u \in U=\{(u_1, u_2) \in {\mathbb R}^2 \mid u_1^2-u_2^2=1, \, u_1 > 0\},
\end{equation}
\tag{3}
$$
$$
\begin{equation}
q(0)=q_0=\operatorname{Id}=(0,0,0), \qquad q(t_1)=q_1,
\end{equation}
\tag{4}
$$
Задача быстродействия $t_1 \to \min$ для системы (2)–(4) не имеет решения. Поэтому рассматривается задача медленнодействия (5). Задачу (2)–(5) в несколько другой терминологии рассматривал М. Гроховский [7], [8]. 2. Множество достижимостиТеорема 1 [8]. Множество достижимости системы (2), (3) из точки $q_0$ за произвольное неотрицательное время есть 3. Экспоненциальное отображениеТеорема 2 [7], [8]. Анормальных траекторий нет. Нормальные экстремальные траектории параметризуются параметрами $(c,\psi) \in {\mathbb R}^2$ следующим образом. Если $c=0$, то Если $c \ne 0$, тоОбозначим $C={\mathbb R}^2_{\psi,c}$, ${\mathbb R}_+=(0,+\infty)$, $N=C \times {\mathbb R}_+$, $\widetilde{\mathcal{A}}= \mathcal{A} \setminus \{q_0\}=\operatorname{int}\mathcal{A}$. Тогда экспоненциальное отображение
$$
\begin{equation}
\operatorname{Exp}\colon N \to \widetilde{\mathcal{A}}, \qquad (\psi, c, t) \mapsto (x, y, z)
\end{equation}
\tag{8}
$$
параметризовано формулами (6), (7). Теорема 3. Экспоненциальное отображение (8) есть вещественно-аналитический диффеоморфизм. Обратное отображение $\operatorname{Exp}^{-1}\colon\widetilde{\mathcal{A}}\to N$ также вещественно-аналитично и задается формулами: 4. Оптимальный синтезТеорема 4. Для любой точки $q_1 \in \widetilde{\mathcal{A}}$ экстремальная траектория $q(t)=\operatorname{Exp}(\psi,c,t)$, $t \in [0,t_1]$, есть единственная оптимальная траектория, соединяющая $q_0$ с $q_1$, $(\psi,c,t_1)=\operatorname{Exp}^{-1}(q_1) \in N$. 5. Сублоренцево расстояниеДля произвольной точки $q_1 \in \widetilde{\mathcal{A}}$ обозначим
$$
\begin{equation*}
d(q_1)=\sup\{t_1 \mid \exists \text{ траектория } q(\,\cdot\,): q(0)=q_0, \, q(t_1)=q_1\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 5. Пусть $q=(x,y,z) \in \widetilde{\mathcal{A}}$. Тогда В частности, $d(x,y,0)=\sqrt{x^2-y^2}$ . Функция $d\colon \widetilde{\mathcal{A}}\to {\mathbb R}_+$ вещественно-аналитична. Как показано в работе [8], сублоренцево расстояние $d(q)$ допускает оценку снизу функцией $\sqrt{x^2-y^2-4|z|}$ и не допускает оценки сверху этой функцией, умноженной на какую-либо константу. Теорема 6. Для любого $q=(x,y,z) \in \widetilde{\mathcal{A}}$ справедлива оценка $d(q) \leqslant \sqrt{x^2-y^2}$ . 6. СимметрииТеорема 7. Гиперболические повороты и отражения $(x,y,z) \mapsto (x,-y,z)$, $(x,y,z) \mapsto (x,y,-z)$ сохраняют сублоренцево расстояние $d$, а дилатации растягивают его: $d(e^{sY}(q))=e^s d(q)$. 7. Сублоренцевы сферыСублоренцевы сферы переходят друг в друга при дилатациях $e^{sY}\colon (x,y,z) \mapsto (e^sx,e^sy,e^{2s} z)$, поэтому опишем единичную сферу $S=S(1)$.Теорема 8. (1) Сублоренцева сфера $S$ есть регулярное вещественно-аналитическое многообразие, диффеоморфное ${\mathbb R}^2$. (2) Пусть $q=\operatorname{Exp}(\psi,c,1) \in S$, $(\psi,c) \in C$. Тогда касательное пространство к сфере в точке $q$ есть
$$
\begin{equation*}
T_qS=\biggl\{v=\sum_{i=1}^3 v_i X_i(q) \mid -v_1 \operatorname{ch} (\psi+c)+v_2 \operatorname{sh} (\psi+c)+v_3c=0\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
(3) $S$ есть график функции $x=\sqrt{y^2+f(z)}$, где $f(z)=e \circ k(z)$, $e(w)= \operatorname{sh} ^2 w/w^2$, $k(z)=b(z)/2$, $b=a^{-1}$, $a(c)=( \operatorname{sh} c-c)/2c^2$. (4) Функция $f(z)$ вещественно-аналитична, четна, строго выпукла, неограниченно строго возрастает при $z\geqslant 0$, а при $z \to 0$ имеет разложение $f(z)=1+12z^2+O(z^4)$. (5) Сечение сферы $S$ плоскостью $\{z=\operatorname{const}\}$ есть ветвь гиперболы $x^2-y^2=f(z)$, $x>0$. Сечение сферы $S$ плоскостью $\{x=\operatorname{const}>1 \}$ есть строго выпуклая кривая $y^2+f(z)=x^2$, диффеоморфная $S^1$. (6) Сублоренцево расстояние от точки $q_0$ до точки $q=(x,y,z) \in \widetilde{\mathcal{A}}$ может быть выражено как $d(q)=R$, где $x^2-y^2=R^2 f(z/R^2)$. (7) Сублоренцев шар $B=\{q \in \widetilde{\mathcal{A}} \mid d(q) \geqslant 1\}$ имеет бесконечный объем в координатах $x$, $y$, $z$. 8. ЗаключениеСублоренцева геометрия есть попытка перенести, насколько это возможно, богатую теорию субримановой геометрии на случай лоренцевой метрики (неопределенной метрики индекса 1). Представленные в этой заметке результаты по сублоренцевой задаче на группе Гейзенберга имеют существенные отличия от известной субримановой задачи на этой группе:
Авторы выражают благодарность А. А. Аграчеву и Л. В. Локуциевскому за полезные обсуждения рассматриваемой задачи. Авторы также благодарят рецензента за полезные замечания по изложению в статье. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{SacSac23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|