| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Краткие сообщения Экстремальные задачи Логана–Эрмита для целых функций экспоненциального типа Д. В. Горбачев, В. И. Иванов Тульский государственный университет
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623010157 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеПусть $\alpha\geqslant{-}1/2$, $J_{\alpha}(t)$ – функция Бесселя, $q_{\alpha,1}<q_{\alpha,2}<\cdots$ – положительные нули $J_{\alpha}(t)$, $j_{\alpha}(t)=\Gamma(\alpha+1)(2/t)^{\alpha}J_{\alpha}(t)$ – нормированная функция Бесселя, $\tau>0$, $\mathcal{E}_{\alpha}^{2\tau}(\mathbb{R}_+)$ – класс действительных четных целых функций экспоненциального типа не выше $2\tau$, представимых в виде
$$
\begin{equation*}
f(\lambda)=\displaystyle\int_{0}^{2\tau} j_{\alpha} (\lambda t)\,d\sigma_{f}(t),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\sigma_f(t)$ – функция ограниченной вариации, $d\nu_{\alpha}(t)=t^{2\alpha+1}\,dt$,
$$
\begin{equation*}
\lambda(f)=\sup\{\lambda\in\mathbb{R}_+\colon f(\lambda)>0\}
\end{equation*}
\notag
$$
($\lambda(f)=0$, если $f\leqslant 0$). При изучении принципа неопределенности для целых функций экспоненциального типа, имеющего отношение к принципу неопределенности Бургейна–Клозеля–Кахана [1], в [2] для целых функций экспоненциального типа, являющихся преобразованиями Ганкеля конечных мер, решена следующая задача типа Логана (см. [3], [4]). Вычислить величину
$$
\begin{equation}
\Lambda(\alpha,\tau,n,m)=\inf\lambda((-1)^mf),\qquad n\in \mathbb{N},\quad m\in \mathbb{Z}_{+},
\end{equation}
\tag{1}
$$
где экстремум берется по всем нетривиальным функциям $f\in\mathcal{E}_{\alpha}^{2\tau}(\mathbb{R}_+)\cap L^{1}(\mathbb{R}_+,\lambda^{2m}\,d\nu_{\alpha})$, удовлетворяющим условиям
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, f^{(2l)}(0)=0,\quad l=0,1,\dots,n-2,\qquad f^{(2(n-1))}(0)\leqslant 0, \\ \int_{0}^{\infty}\lambda^{2k}f(\lambda)\,d\nu_{\alpha}(\lambda) =0,\quad k=0,1,\dots,m-1,\qquad (-1)^m\int_{0}^{\infty}\lambda^{2m}f(\lambda)\, d\nu_{\alpha}(\lambda)\geqslant 0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 1 [2]. Если $\alpha\geqslant-1/2$, $\tau>0$, $n\in\mathbb{N}$, $m\in\mathbb{Z}_+$, то $\Lambda(\alpha,\tau,n,m)=q_{\alpha+n,m+1}/\tau$. Единственная с точностью до постоянного положительного множителя экстремальная функция имеет вид Близкие задачи для многочленов исследованы в [5]. Преобразование Ганкеля связано с задачей Штурма–Лиувилля со степенным весом на полупрямой. Наша цель – поставить и решить задачу, аналогичную (1), для преобразований по собственным функциям общей задачи Штурма–Лиувилля. Мы назовем ее задачей Логана–Эрмита, чтобы подчеркнуть наличие в ограничениях на допустимые функции в задаче (1) интерполяционного условия Эрмита в точке 0. Решение задачи (1) основано на применении квадратурной формулы Маркова–Эрмита для целых функций экспоненциального типа на полупрямой с кратным узлом в точке $0$ и узлами, являющимися нулями функции Бесселя (см. [2]), поэтому мы докажем ее аналог, относящийся к общей задаче Штурма–Лиувилля. Мы будем опираться на наш подход к построению квадратурных формул для целых функций экспоненциального типа на полупрямой, приведенный в [6]. Пусть $w(t)$ – непрерывная весовая функция на полупрямой $\mathbb{R}_+$, которая положительна и непрерывно дифференцируема при $t>0$. Рассмотрим задачу Штурма–Лиувилля
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac{\partial}{\partial t} \biggl(w(t)\,\frac{\partial}{\partial t}\,u(t,\lambda)\biggr)+ \lambda^2w(t)u(t,\lambda)=0, \\ u(0,\lambda)=1,\quad \frac{\partial u}{\partial t}\,(0,\lambda)=0,\quad t,\lambda\in \mathbb{R}_+. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2}
$$
Предположим, что задача (2) при $\lambda\geqslant 0$ имеет решение, собственную функцию $u=\varphi(t,\lambda)$ и для нее выполнены следующие свойства. Условие 1. Собственная функция $\varphi(t,\lambda)$ – действительная функция, четная аналитическая в окрестности $\mathbb{R}$ по $t$ и четная целая функция экспоненциального типа $|t|$ при $t\ne 0$ по $\lambda$, Условие 2. Для $t>0$, $\lambda\in \mathbb{C}$ где $0<\lambda_{1}(t)<\dots<\lambda_{k}(t)<\cdots$ – положительные нули $\varphi(t,\lambda)$ по $\lambda$. Нули $\lambda_{k}(t)$ непрерывны и монотонно убывают при $t>0$. При этом $\lambda_{k}(t)=t_{k}^{-1}(t)$, где $t_{k}(\lambda)$ – положительные нули функции $\varphi(t,\lambda)$ по $t>0$. Нули $t_{k}(\lambda)$ также непрерывны и монотонно убывают при $\lambda>0$. Условие 3. Спектральная мера $d\sigma(\lambda)$ задачи (2) определяется непрерывно дифференцируемой на $\mathbb{R}_+$ функцией $\sigma(\lambda)$, для которой $\sigma(0)=0$ и Условие 4. Для $t>0$ равномерно на каждом компакте из $(0,\infty)$ справедлива асимптотика В дальнейшем будем предполагать условия 1–4 всегда выполненными. Пусть $\mathcal{E}_{w}^{2\tau}(\mathbb{R}_+)$ – класс действительных четных целых функций экспоненциального типа не выше $2\tau$, представимых в виде
$$
\begin{equation*}
f(\lambda)= \displaystyle\int_{0}^{2\tau}\varphi(t,\lambda)\,d\sigma_{f}(t),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\sigma_f(t)$ – функция ограниченной вариации. Задача Логана–Эрмита. Вычислить величину где экстремум берется по всем нетривиальным функциям $f\in\mathcal{E}_{w}^{2\tau}(\mathbb{R}_+)\cap L^{1}(\mathbb{R}_+,\lambda^{2m}d\sigma)$, удовлетворяющим условиям Пусть $n\in\mathbb{N}$, $\varphi_n(t,\lambda)$ – собственная функция задачи Штурма–Лиувилля, спектральная мера которой есть $d\sigma_n(\lambda)=\lambda^{2n}\,d\sigma(\lambda)$, $\lambda_{1,n}(t)<\lambda_{2,n}(t)<\cdots$ – положительные нули $\varphi_n(t,\lambda)$ по $\lambda$. Построение $\varphi_n(t,\lambda)$ будет осуществлено позже. Сформулируем основной результат работы. Теорема 2. Если $\tau>0$, $n\in\mathbb{N}$, $m\in\mathbb{Z}_+$, то $\Lambda(w,\tau,n,m)=\lambda_{m+1,n}(\tau)$. Единственная с точностью до постоянного положительного множителя экстремальная функция имеет вид Для нее дополнительно $\int_{0}^{\infty} \lambda^{2m}f_{n,m}^{*}(\lambda)\,d\sigma(\lambda)=0$, $(f_{n,m}^{*})^{(2(n-1))}(0)=0$. 2. Квадратурные формулы Маркова–ЭрмитаВывод квадратурных формул Маркова–Эрмита для четных целых функций экспоненциального типа будет опираться на квадратурную формулу Гаусса, доказанную в [6] при выполнении условий 1–4. Пусть $\alpha\geqslant-1/2$, $E_{\alpha}^{\tau}(\mathbb{R}_{+})$ – класс четных целых функций экспоненциального типа не выше $\tau$, принадлежащих $L^1(\mathbb{R}_+,\lambda^{2\alpha+1}\,d\lambda)$. Нам понадобится квадратурная формула Гаусса для интеграла с мерой $d\sigma_n(\lambda)$ по нулям функции $\varphi_n(t,\lambda)$. Сначала построим собственную функцию $\varphi_n(t,\lambda)$. При $n=1$ это сделано в [6]. Если
$$
\begin{equation*}
w_0(t)=w(t),\qquad \varphi_0(t,\lambda)=\varphi(t,\lambda),\qquad d\sigma_0(\lambda)=d\sigma(\lambda),\qquad \alpha_0=\alpha,
\end{equation*}
\notag
$$
то
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, W_1(t)=\int_{0}^{t}w_0(s)\,ds,\qquad w_1(t)=\frac{W_1^2(t)}{w_0(t)}\,,\qquad d\sigma_1(\lambda)=\lambda^2\,d\sigma_0(\lambda),\qquad \alpha_1=\alpha_0+1, \\ \varphi_1(t,\lambda)=\frac{1}{W_1(t)}\int_{0}^{t} \varphi_0(s,\lambda)w_0(s)\,ds=-\frac{w_0(t)}{\lambda^2W_1(t)} \frac{\partial\varphi_0(t,\lambda)}{\partial t}\,. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{8}
$$
Функция $\varphi_1(t,\lambda)$ является решением задачи Штурма–Лиувилля (2) c весом $w_1(t)$ и для нее выполнены условия 1–4. Ее спектральная мера равна $d\sigma_1(\lambda)$ с показателем $\alpha_1$. Далее применяем индукцию. Если $w_{n-1}$, $\varphi_{n-1}$, $d\sigma_{n-1}$, $\alpha_{n-1}$ уже определены, то $W_n$, $w_n$, $d\sigma_{n}$, $\alpha_{n}$, $\varphi_n$ находим по формулам (8). В частности, для собственной функции $\varphi_n(t,\lambda)$ будут выполняться условия 1–4 с $d\sigma_n(\lambda)= \lambda^{2n}\,d\sigma(\lambda)$ и $\alpha_n=\alpha+n$, поэтому мы можем записать нужную квадратурную формулу Гаусса. Лемма 1. Для произвольной функции $f\in E_{\alpha+n}^{2\tau}(\mathbb{R}_{+})$ справедлива квадратурная формула Гаусса с положительными весами Теперь мы в состоянии доказать квадратурную формулу Маркова–Эрмита. Теорема 3. Для произвольной функции $f\in E_{\alpha}^{2\tau}(\mathbb{R}_{+})$ справедлива квадратурная формула Маркова–Эрмита где $\delta_{n-1,n}>0$ и все $\gamma_{i,n}>0$. Доказательство. В силу (4) для $j=0,1,\dots$ Так как в окрестности нуля $f(\lambda)-L_n(\lambda,f)= \sum_{j=n}^{\infty}(f\varphi_n^{-2})^{(2j)}(0)\lambda^{2j}/(2j)!$, то функция
$$
\begin{equation*}
r_n(\lambda)=\frac{f(\lambda)-L_n(\lambda,f)}{\lambda^{2n}}\in E_{\alpha+n}^{2\tau}(\mathbb{R}_{+}).
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя к ней квадратурную формулу Гаусса (9), получим
$$
\begin{equation}
{\int_{0}^{\infty}f(\lambda)\,d\sigma(\lambda)= \int_{0}^{\infty}L_n(\lambda,f)\,d\sigma(\lambda)+ \sum_{i=1}^{\infty}\frac{\widetilde{\gamma}_{i,n}}{ {\lambda_{i,n}^{2n}(\tau)}}\,f({\lambda_{i,n}(\tau)})- \sum_{i=1}^{\infty}\frac{\widetilde{\gamma}_{i,n}} {\lambda_{i,n}^{2n}(\tau)}\,L_n({\lambda_{i,n}(\tau)},f).}
\end{equation}
\tag{11}
$$
Подставляя в (11) разложения по формуле Лейбница
$$
\begin{equation*}
(f\varphi_n^{-2})^{(2j)}(0)=\sum_{s=0}^{j} \begin{pmatrix} 2j \\ 2s\end{pmatrix} f^{(2s)}(0)(\varphi_n^{-2})^{(2j-2s)}(0),\qquad j=0,1,\dots,n-1,
\end{equation*}
\notag
$$
придем к (10). Отметим, что все $\gamma_{i,n}=\widetilde{\gamma}_{i,n}/\lambda_{i,n}^{2n}(\tau)>0$. Подставляя в (10) функцию $f_1(\lambda)= \lambda^{2(n-1)}\varphi_n^{2}(\tau,\lambda)\in E_{\alpha}^{2\tau}(\mathbb{R}_{+})$, получим
$$
\begin{equation*}
0<\int_{0}^{\infty}f_1(\lambda)\,d\sigma(\lambda)= (2(n-1))!\,\delta_{n-1,n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $\delta_{n-1,n}>0$. Теорема 3 доказана. 3. Доказательство теоремы 2Оценка сверху. Целая функция $f_{n,m}^{*}(\lambda)$ (7) имеет тип $2\tau$ и является допустимой в задаче Логана–Эрмита. Действительно, $f_{n,m}^{*}(\lambda)=O(\lambda^{-(2\alpha+m+3)})$ при $\lambda\to\infty$, поэтому $f_{n,m}^{*}\in L^1(\mathbb{R}_+,\lambda^{2m}\,d\sigma)$. По теореме Пэли–Винера в [7] носитель ее преобразования Фурье
$$
\begin{equation*}
\mathcal{F}(f_{n,m}^{*})(t)= \int_{0}^{\infty}f_{n,m}^{*}(\lambda) \varphi(t,\lambda)\,d\sigma(\lambda)
\end{equation*}
\notag
$$
лежит на отрезке $[0,2\tau]$ и
$$
\begin{equation*}
f_{n,m}^{*}(\lambda)=\int_{0}^{2\tau}\mathcal{F}(f_{n,m}^{*})(t) \varphi(t,\lambda)w(t)\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Все производные $f_{n,m}^{*}(\lambda)$ до порядка $2n-2$, включительно, в точке 0 равны нулю. Замечая, что $\lambda^{2m}f_{n,m}^{*}(\lambda)\in L^1(\mathbb{R}_+,d\sigma)$, и применяя квадратурную формулу Маркова–Эрмита (10), получим
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{\infty}\lambda^{2j} f_{n,m}^{*}(\lambda)\,d\sigma(\lambda)=0,\qquad j=0,1,\dots,m.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\lambda((-1)^mf_{n,m}^{*})=\lambda_{m+1,n}(\tau)$, то $\Lambda(w,\tau,n,m)\leqslant\lambda_{m+1,n}(\tau)$. Оценку снизу будем вести от противного. Обозначим для простоты $\lambda_{j,n}(\tau)=\lambda_j$. Предположим, что для некоторой нетривиальной функции $f\in\mathcal{E}_{w}^{2\tau}(\mathbb{R}_+)\cap L^{1}(\mathbb{R}_+,\lambda^{2m}\,d\sigma)$, для которой выполнены условия (6), будет $\lambda((-1)^mf)<\lambda_{m+1}$. Рассмотрим функцию
$$
\begin{equation*}
g(\lambda)=(-1)^mf(\lambda)\prod_{j=1}^{m}(\lambda^2-\lambda_j^2) \in E_{\alpha}^{2\tau}(\mathbb{R}_{+})
\end{equation*}
\notag
$$
и применим к ней квадратурную формулу Маркова–Эрмита (10)
$$
\begin{equation}
\int_{0}^{\infty}g(\lambda)\,d\sigma(\lambda)= \sum_{i=0}^{n-1}\delta_{i,n}g^{(2i)}(0)+ \sum_{i=1}^{\infty}\gamma_{i,n}g(\lambda_{i}).
\end{equation}
\tag{12}
$$
Так как в силу (6) и предположения $\lambda((-1)^mf)<\lambda_{m+1}$,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \int_{0}^{\infty}g(\lambda)\,d\sigma(\lambda)= (-1)^{m}\int_{0}^{\infty}\lambda^{2m} f(\lambda)\,d\sigma(\lambda)\geqslant 0,\qquad g(\lambda_i)\leqslant 0,\quad i\geqslant m+1, \\ g^{(2l)}(0)=0,\quad l=0,1,\dots,n-2,\quad g^{(2(n-1))}(0)=f^{(2(n-1))}(0) \prod_{j=1}^{m}\lambda_j^2\leqslant 0, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
то
$$
\begin{equation*}
0\leqslant\delta_{n-1,n}f^{(2(n-1))}(0)\prod_{j=1}^{m}\lambda_j^2+ \sum_{i=m+1}^{\infty}\gamma_{i,n}f(\lambda_{i}) \prod_{j=1}^m(\lambda_i^2-\lambda_j^2)\leqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $f(\lambda)$ в точках $\lambda_i$, $i\geqslant m+1$, имеет нули кратности 2, а в точке 0 – нуль кратности $2n$ и $\int_{0}^{\infty}\lambda^{2m} f(\lambda)\,d\sigma(\lambda)=0$. Аналогично, подставляя в (12) функцию
$$
\begin{equation*}
g(\lambda)=f(\lambda)\prod_{j=1,j\ne k}^m (\lambda^2-\lambda_j^2),\qquad k=1,\dots,m,
\end{equation*}
\notag
$$
получим
$$
\begin{equation*}
\gamma_{k,n}f(\lambda_{k})\prod_{j=1,j\ne k}^m (\lambda_k^2-\lambda_j^2)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $f(\lambda)$ в точках $\lambda_i$, $i=1,\dots,m$, имеет, по крайней мере, простые нули. Четная целая функция $f(\lambda)$ экспоненциального типа не выше $2\tau$, имеющая в точках $\lambda_i$ при $i=1,\dots,m$, простые нули, а при $i\geqslant m+1$ двойные нули и в точке 0 – нуль кратности $2n$, допускает следующую факторизацию:
$$
\begin{equation*}
f(\lambda)=\frac{\lambda^{2n}\varphi_n^2(\tau,\lambda) \sum_{i=0}^mc_i\lambda^{2i}}{(1-\lambda^2/\lambda_{1,n}^2(\tau)) \cdots (1-t^2/\lambda_{m,n}^2(\tau))}
\end{equation*}
\notag
$$
(см. [2]). Любая такая нетривиальная функция $f\notin L^1(\mathbb{R}_+,\lambda^{2m}\,d\sigma)$. Мы получили противоречие и $\Lambda(w,\tau,n,m)\geqslant\lambda_{m+1,n}(\tau)$. Единственность экстремальной функции. Рассуждая, как и ранее, получим, что любая экстремальная функция имеет в точках $\lambda_i$ при $i=1,\dots,m+1$, простые нули, а при $i\geqslant m+2$ двойные нули и в точке 0 – нуль кратности $2n$. Она допускает факторизацию
$$
\begin{equation*}
f(\lambda)=\frac{\lambda^{2n}\varphi_n^2(\tau,\lambda) \sum_{i=0}^{m+1}c_i\lambda^{2i}}{(1-\lambda^2/\lambda_{1,n}^2(\tau)) \cdots(1-t^2/\lambda_{m+1,n}^2(\tau))}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Такая нетривиальная функция $f\in L^1(\mathbb{R}_+,\lambda^{2m}\,d\sigma)$, если только многочлен $\sum_{i=0}^{m+1}c_i\lambda^{2i}$ является положительной константой. Теорема 2 доказана. Случай гиперболического веса. Пусть
$$
\begin{equation*}
\alpha\geqslant\beta\geqslant-1/2,\quad \rho=\alpha+\beta+1,\quad \Delta(t)=2^{2\rho}( \operatorname{ch} t)^{2\alpha+1}( \operatorname{ch} t)^{2\beta+1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Задача Штурма–Лиувилля для гиперболического веса имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \frac{\partial}{\partial t}\biggl(w(t)\, \frac{\partial}{\partial t}\,u(t,\lambda)\biggr)+ (\lambda^2+\rho^2)w(t)u(t,\lambda)=0, \\ u(0,\lambda)=1,\quad \frac{\partial u}{\partial t}(0,\lambda)=0,\quad t,\lambda\in \mathbb{R}_+. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Она отличается от задачи (2) и в разложении собственной функции Якоби появляется дополнительный множитель
$$
\begin{equation*}
\varphi(t,\lambda)=\varphi_0(t)\prod_{k=1}^{\infty} \biggl(1-\frac{\lambda^2}{\lambda_{k}^2(t)}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\varphi_0(t)=\varphi(t,0)>0$, $\varphi_0(t)\ne 1$. Но функция $u(t,\lambda)=\varphi(t,\lambda)/\varphi_0(t)$ уже является решением задачи (2) с весовой функцией $\varphi_0^2(t)\Delta(t)$ и той же самой спектральной мерой $d\sigma(\lambda)$, $\sigma'(\lambda)\asymp\lambda^{2\alpha+1}$, $\lambda\to\infty$. Для функции $u(t,\lambda)$ выполнены условия 1–4 (см. [6]). Поэтому в алгоритме построения собственной функции $\varphi_n(t,\lambda)$ нужно изменить только нулевой шаг
$$
\begin{equation*}
w_0(t)=\varphi_0^2(t)\Delta(t),\quad \varphi_0(t,\lambda)=\frac{\varphi(t,\lambda)}{\varphi_0(t)}\,,\quad d\sigma_0(\lambda)=d\sigma(\lambda),\quad \alpha_0=\alpha,
\end{equation*}
\notag
$$
оставляя все дальнейшими шаги неизменными. Таким образом, и в этом случае справедливы квадратурная формула Маркова–Эрмита (10) и теорема 2 для функций, являющихся преобразованиями Якоби конечных мер.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GorIva23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|