| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Краткие сообщения Управляемость в покое для уравнения “колебания пластины” на торе в случае локального силового воздействия И. В. Романовa, А. С. Шамаевbc a Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Москва b Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского Российской академии наук, г. Москва c Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S000143462303032X 
Реферативные базы данных:
  Вопросы локальной управляемости для различных систем с распределенными параметрами часто возникают во многих прикладных задачах, поэтому данная тема представляет значительный интерес. Для классических систем механики (мембраны, тонкие пластины) важность представляют вопросы управляемости в случаях, когда управляющее воздействие приложено либо к границе, либо к части области. Это связано с тем, что на практике трудно контролировать целую систему, а можно воздействовать лишь на ее часть. В связи с этим возникает проблема выбора этой части, например, для волнового уравнения такой выбор определяется хорошо известным условием GCC (Geometric control condition). В нашей работе условий на подобласть, на которую воздействует управление, не накладывается. Рассмотрим задачу распределенного управления для уравнения “колебания пластины” на торе:
$$
\begin{equation}
w_{tt}(t,x)+\Delta^2w(t,x)=u(t,x), \qquad (t,x)\in Q_{T}=(0,t_{\ast}]\times T^2,
\end{equation}
\tag{1}
$$
$$
\begin{equation}
w|_{t=0}=w_0(x), \quad w_t|_{t=0}=w_1(x), \qquad x\in T^2.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Здесь $T^2$ – $2$-мерный тор (гладкое, компактное многообразие без края), который удобно понимать как квадрат $[-\pi,\pi]^2$ с отождествленными противоположными сторонами, $u$ – управление с носителем по переменной $x$, не совпадающим с $T^2$, $t_{\ast}>0$, – заданный заранее момент времени.
Ставится задача построить такое управляющее воздействие $u$, что соответствующее решение $w$ и его первая производная по $t$ обращаются в нуль в момент времени $t_{\ast}$, т.е. $w(t_{\ast},x)=0$, $w_t(t_{\ast},x)=0$ для всех $x\in T^2$. Нулевое смещение и нулевую скорость будем называть состоянием покоя рассматриваемой системы. Для начальных данных в задаче (1)–(2) потребуем, чтобы были выполены следующие условия:
$$
\begin{equation}
w_0\in H^4(T^2), \qquad w_1\in H^2(T^2), \qquad w_1-i\Delta w_0\in H^4(T^2).
\end{equation}
\tag{3}
$$
Напомним, что пространство Соболева $H^s(T^2)$, $s\in \mathrm R$, на $T^2$ можно, например, понимать как область определения оператора $A^{s/2}=(1-\Delta)^{s/2}$, которая снабжена нормой Норму (4) удобно записать в терминах коэффициентов Фурье при разложении $w$ в ряд (формальный ряд для $s<0$) по системе экспонент $\{e^{i\alpha x}\}_{\alpha\in \mathbb Z^2}$:
$$
\begin{equation*}
\Bigl(\sum(1+|\alpha|^2)^{s}|c_{\alpha}|^2\Bigr)^{1/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Эта норма эквивалентна обычной норме, которая определяется для пространств Соболева на гладких, компактных многообразиях без края.
Теорема 1. Пусть на торе $T^2$ задана произвольная область $\omega$, для которой $\overline{\omega}\neq T^2$ и выполнены условия (3). Тогда найдется силовое управляющее воздействие $u$, тождественно равное нулю на множестве $T^2\setminus \overline{\omega}$, такое, что система (1), (2) приводима в состояние покоя за время $t_{\ast}$. Похожий результат был получен в работе [1], где была рассмотрена задача локального управления для пластины с некоторыми краевыми условиями. В нашем случае краевые условия отсутствуют (или, по-другому, являются периодическими). Главным отличием данной работы от [1] является возможность построения гладкой функции управления как по времени, так и по пространственным переменным. Возможность регуляризации $u$ описывается в ходе доказательства теоремы. Доказательство теоремы 1. Для доказательства применим метод расщепления задачи (см. [2]) и HUM (Hilbert uniqueness method, см. [3]). Имеем Если подействовать оператором $\partial_t+i\Delta$ слева и справа на уравнение (7), то мы получим уравнение “колебания пластины” (1) с функцией управления, имеющей вид
$$
\begin{equation}
u(t,x)=a(x)h(t,x)-a(x)v_t(t,x)-i\Delta\bigl(a(x)v(t,x)\bigr).
\end{equation}
\tag{11}
$$
Включения (9) делают корректным (11). Первое равенство в (10) требуется для согласования членов в уравнении (7) в момент $t=t_1$, с помощью второго равенства и уравнения (7) получаем, что $w_t(t_{\ast},x)=0$ для всех $x\in T^2$. Тем самым получим требуемое. Осталось доказать, что указанное $v$ найдется. Пусть $s>0$, выберем $t_{\ast}=2t_1$ и на отрезке $[t_1,2t_1]$ рассмотрим вспомогательную задачу
$$
\begin{equation}
q_{t}+i\Delta q=0, \qquad q|_{t=2t_1}=q_1\in H^{-s}(T^2).
\end{equation}
\tag{12}
$$
Предположим, что для решения (12) существует постоянная $C>0$ такая, что для любого $q_1\in H^{-s}(T^2)$ выполнена оценка
$$
\begin{equation}
\|q_1\|_{-s}^2\leqslant C\int_{t_1}^{2t_1} \bigl\|(\tau-t_1)(2t_1-\tau) a(x)q(\tau)\bigr\|^2_{-s} \,d\tau.
\end{equation}
\tag{13}
$$
Тогда, используя HUM, можно доказать, что на отрезке $[t_1,2t_1]$ существует управление $v$, удовлетворяющее (9), (10), которое приводит решение (7) в состояние покоя. Для получения нужной гладкости $v(t,x)$ надо положить $s=4$. Осталось установить истинность (13). Заметим, что решения уравнений $q_{t}+i\Delta q=0$ и $\overline{q}_{t}-i\Delta\overline{q}=0$ комплексно-сопряжены, если, в свою очередь, комплексно-сопряжены их терминальные условия; кроме того, $\|q\|_{-s}=\|\overline{q}\|_{-s}$. Следовательно, используя [4], для решения (12) можно получить оценку
$$
\begin{equation}
\|q_1\|_{-s}^2\leqslant C_1\int_{t_1}^{2t_1}\|a(x)q(\tau)\|^2_{-s} \,d\tau.
\end{equation}
\tag{14}
$$
С помощью (14) выведем (13). Для этого применим неравенство Гёльдера с показателями, для которых выполнено равенство Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|q_1\|_{-s}^2 &\leqslant C_1\int_{t_1}^{2t_1} \frac{(\tau-t_1)^{1/2}(2t_1-\tau)^{1/2}}{(\tau-t_1)^{1/2}(2t_1-\tau)^{1/2}} \|a(x)q(\tau)\|^2_{-s}\,d\tau \\ &\leqslant C_1\biggl(\int_{t_1}^{2t_1} \! \! \frac{1}{(\tau-t_1)^{2/3} (2t_1-\tau)^{2/3}}\,d\tau\biggr)^{3/4} \biggl(\int_{t_1}^{2t_1} \! \! (\tau-t_1)^2(2t_1-\tau)^2 \|a(x)q(\tau)\|^8_{-s}\,d\tau\biggr)^{1/4}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
\|q_1\|_{-s}^8\leqslant C_2 \int_{t_1}^{2t_1}(\tau-t_1)^2(2t_1-\tau)^2\|a(x)q(\tau)\|^8_{-s}\,d\tau.
\end{equation}
\tag{15}
$$
Так как оператор умножения на $a(x)$ ограничен (см. [5; теорема 2.3.6, с. 43]), то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|a(x)q(\tau)\|^8_{-s} &=\|a(x)q(\tau)\|^6_{-s}\|a(x)q(\tau)\|^2_{-s}\leqslant C_3\|q(\tau)\|^6_{-s}\|a(x)q(\tau)\|^2_{-s} \\ &\leqslant C_4\|q_1\|^6_{-s}\|a(x)q(\tau)\|^2_{-s}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из последней оценки и из (15) получаем (13). В заключение отметим, что из метода построения управления для уравнения (7) следует возможность регуляризации управления $u(t,x)$ для исходной задачи. То есть, увеличивая соболевскую гладкость начальных данных, мы можем сделать $u(t,x)$ сколь угодно гладким как по времени, так и по пространственным переменным. Например, если выбрать начальные данные, удовлетворяющие включениям
$$
\begin{equation*}
w_0\in H^6(T^2), \qquad w_1\in H^4(T^2), \qquad w_1-i\Delta w_0\in H^6(T^2),
\end{equation*}
\notag
$$
то, используя методы рассмотренные выше, можно построить управление, для которого будет верно следующее:
$$
\begin{equation*}
u\in C([0,t_{\ast}];H^4(T^2)), \qquad u_t\in C([0,t_{\ast}];H^2(T^2)), \qquad u_{tt}\in C([0,t_{\ast}];L_2(T^2)).
\end{equation*}
\notag
$$
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{RomSha23} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|