Математические заметки
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Скоро в журнале
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Лицензионный договор
Загрузить рукопись

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS


Матем. заметки:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти




Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация

Математические заметки, 2023, том 113, выпуск 4, страницы 607–612
DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13851 (Mi mzm13851) 		 
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье)

Краткие сообщения

Константа Жордана для группы Кремоны ранга 2 над конечным полем

А. В. Викуловаab

a Лаборатория алгебраической геометрии и ее приложений, Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Москва
b Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
PDF полного текста (401 kB) Полный текст в HTML Список цитирования (1)
Список литературы:
PDF
HTML
DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13851
Ключевые слова: группа Кремоны ранга $2$, жорданова группа, кубические поверхности.
Финансовая поддержка Номер гранта
Российский научный фонд 18-11-00121
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 18-11-00121, https://rscf.ru/project/18-11-00121/.
Поступило: 07.09.2022
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 4, Pages 587–592
DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623030306
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья

1. Введение

Группа Кремоны $\mathrm{Cr}_n(\mathbf F)$ ранга $n$ – это группа бирациональных автоморфизмов проективного пространства $\mathbb P^n$ над полем $\mathbf F$. Несмотря на то, что она возникает очень естественно, ее структура является очень сложной при $n\geqslant 2$. Более того, даже описание конечных подгрупп этой группы является чрезвычайно трудоемким делом. Уже в первом нетривиальном случае ранга $2$ были классифицированы классы сопряженности конечных подгрупп только над $\mathbb C$ (см. [1]). Тем не менее, мы можем понять, какими свойствами могут обладать конечные подгруппы группы Кремоны.

Определение 1 [2; определение 2.1]. Группа $G$ называется жордановой, если существует константа $J$ такая, что любая конечная подгруппа группы $G$ имеет нормальную абелеву подгруппу индекса не больше чем $J$. Минимальная такая константа $J$ называется константой Жордана группы $G$ и обозначается $J(G)$.

Серром в [3; теорема 5.3] было доказано, что группа Кремоны $\mathrm{Cr}_2(\mathbf F)$ ранга $2$ над полем $\mathbf F$ характеристики нуль является жордановой. Однако для алгебраически замкнутого поля $\mathbf F$ характеристики $p>0$ этот факт уже неверен, так как в группе $\mathrm{Cr}_2(\mathbf F)$ имеются простые подгруппы $\mathrm{PSL}_2(\mathbb F_{p^n})$, порядок которых растет с ростом $n$. В статье [4] Прохоровым и Шрамовым было доказано, что группа Кремоны $\mathrm{Cr}_2(\mathbb F_q)$, где $\mathbb F_q$ – поле из $q$ элементов, жорданова. Более того, они получили следующие оценки на константу Жордана.

Теорема 1 [4; теорема 1.2]. Пусть $J(\mathrm{Cr}_2(\mathbb F_q))$ – константа Жордана для группы Кремоны $\mathrm{Cr}_2(\mathbb F_q)$. Тогда

$$ \begin{equation*} \begin{alignedat}{2} J(\mathrm{Cr}_2(\mathbb F_q))&=q^3(q^2-1)(q^3-1), &\qquad &\textit{если}\quad q\notin\{2,4,8\}, \\ J(\mathrm{Cr}_2(\mathbb F_q))&\leqslant 696\,729\,600, &\qquad &\textit{если}\quad q\in\{2,4,8\}. \end{alignedat} \end{equation*} \notag $$

Цель нашей работы – найти точное значение константы Жордана для группы Кремоны $\mathrm{Cr}_2(\mathbb F_q)$ при $q\in\{2,4,8\}$. С этой целью нам достаточно изучить группы бирегулярных автоморфизмов поверхностей дель Пеццо и расслоений на коники над $\mathbb P^1$ над полем $\mathbb F_q$, поскольку любая конечная подгруппа $G$ группы $\mathrm{Cr}_2(\mathbb F_q)$ регуляризуется на $G$-минимальной модели рациональной поверхности. Согласно [4; следствие 5.3] и [4; лемма 6.1] для расслоений на коники над $\mathbb P^1$ и для поверхностей дель Пеццо степени $4\leqslant d\leqslant 9$ и $d=2$ оценка на константу Жордана группы автоморфизмов не больше, чем $q^3(q^2-1)(q^3-1)$, что является порядком группы автоморфизмов $\mathbb P^2$. Поэтому нам нужно изучить группы регулярных действий на поверхности дель Пеццо степени $1$ и $3$, и нормальные абелевы подгруппы в этих группах, чем мы и будем заниматься.

В этой работе мы докажем следующую теорему.

Теорема 2. Константа Жордана $J(\mathrm{Cr}_2(\mathbb F_q))$ для группы Кремоны $\mathrm{Cr}_2(\mathbb F_q)$ равна

$$ \begin{equation*} J(\mathrm{Cr}_2(\mathbb F_q))=\begin{cases} 16\,482\,816 &\textit{при }q=8, \\ 60\,480 &\textit{при }q=4, \\ 720 &\textit{при }q=2. \end{cases} \end{equation*} \notag $$

Следствие 1. Константа Жордана $J(\mathrm{Cr}_2(\mathbb F_q))$ для группы Кремоны $\mathrm{Cr}_2(\mathbb F_q)$ равна

$$ \begin{equation*} J(\mathrm{Cr}_2(\mathbb F_q))=\begin{cases} |\mathrm{PGL}_3(\mathbb F_q)|, &\textit{если }q\ne 2, \\ |\mathrm S_6|>168=|\mathrm{PGL}_3(\mathbb F_2)| &\textit{при }q=2. \end{cases} \end{equation*} \notag $$

В качестве дополнения к доказательству теоремы 2 мы выведем следующий факт об автоморфизмах кубической поверхности над полем $\mathbb F_2$.

Теорема 3. Пусть $S$ – гладкая кубическая поверхность в $\mathbb P^3$ над полем $\mathbb F_2$. Тогда порядок ее группы автоморфизмов удовлетворяет неравенству

$$ \begin{equation*} |\mathrm{Aut}(S)|\leqslant 720. \end{equation*} \notag $$
Если равенство выполнено, то $\mathrm{Aut}(S)\simeq\mathrm S_6$. Более того, кубика с группой автоморфизмов $\mathrm S_6$ единственна с точностью до изоморфизма.

2. Гладкие кубические поверхности

Как известно, группа автоморфизмов гладкой кубической поверхности в $\mathbb P^3$ вкладывается в группу Вейля $W(\mathrm E_6)$ (см., например, [5; следствие 8.2.40]). Напомним, что

$$ \begin{equation*} |W(\mathrm E_6)|=2^7\cdot 3^4\cdot 5=51\,840. \end{equation*} \notag $$
Из классификации групп автоморфизмов гладкой кубической поверхности над алгебраически замкнутым полем (см. [6; таблица 1]) получаем, что группой автоморфизмов кубики максимального порядка над алгебраически замкнутым полем $\overline{\mathbb F}_2$ является группа $\mathrm{PSU}_4(\mathbb F_2)$. Данная группа есть группа автоморфизмов кубики Ферма $S\subset\mathbb P^3$ (см. [6; таблица 8]), которая задана уравнением
$$ \begin{equation*} x^3+y^3+z^3+t^3=0. \end{equation*} \notag $$
Напомним, что $|\mathrm{PSU}_4(\mathbb F_2)|=2^6\cdot 3^4\cdot 5=25\,920$.

Однако для конечного поля $\mathbb F_2$ ситуация сильно меняется. Мы докажем, что для кубических поверхностей над полем $\mathbb F_2$ максимальный порядок группы автоморфизмов равен $720$.

Теорема 4. Пусть $S$ – гладкая кубическая поверхность в $\mathbb P^3$ над полем $\mathbb F_2$. Тогда

$$ \begin{equation*} |\mathrm{Aut}(S)|\leqslant 720. \end{equation*} \notag $$
Более того, если порядок группы автоморфизмов равен $720$, то $\mathrm{Aut}(S)\simeq\mathrm S_6$.

Доказательство. Группа $\mathrm{Aut}(S)$ содержится в группе $\mathrm{PGL}_4(\mathbb F_2)$, потому что вложение $S\subset\mathbb P^3$ задается линейной системой $|-K_S|$, которая инвариантна относительно группы автоморфизмов $\mathrm{Aut}(S)$. В то же время она лежит группе Вейля $W(\mathrm E_6)$. Предположим, что существует кубическая поверхность $S$, для которой $720<|\mathrm{Aut}(S)|$.

Максимальная подгруппа в $\mathrm{PGL}_4(\mathbb F_2)$ изоморфна одной из следующих групп (см. список максимальных подгрупп группы $\mathrm{PGL}_4(\mathbb F_2)$ в [7; с. 22]):

$$ \begin{equation*} \mathrm A_7,\qquad (\mathbb Z/2\mathbb Z)^3\rtimes\mathrm{PGL}_3(\mathbb F_2),\qquad \mathrm S_6,\qquad (\mathbb Z/2\mathbb Z)^4\rtimes(\mathrm S_3\times\mathrm S_3),\qquad (\mathrm A_5\times\mathbb Z/3\mathbb Z)\rtimes\mathbb Z/2\mathbb Z. \end{equation*} \notag $$
Используя это описание, по нашему предположению мы получаем, что группа автоморфизмов $\mathrm{Aut}(S)$ должна либо совпадать со всей группой $\mathrm{PGL}_4(\mathbb F_2)$, либо быть подгруппой в $\mathrm A_7$, либо быть подгруппой в $(\mathbb Z/2\mathbb Z)^3\rtimes\mathrm{PGL}_3(\mathbb F_2)$.

Первый вариант невозможен, так как $|\mathrm{PGL}_4(\mathbb F_2)|$ не делит $|W(\mathrm E_6)|$. Пусть выполнен второй вариант, т.е. порядок группы $\mathrm{Aut}(S)$ делит и порядок группы $\mathrm A_7$, и порядок группы $W(\mathrm E_6)$, т.е.

$$ \begin{equation*} |\mathrm{Aut}(S)|\leqslant\text{НОД}(|\mathrm A_7|,|W(\mathrm E_6)|) =2^3\cdot 3^2\cdot 5=360<720. \end{equation*} \notag $$
Значит, этот вариант также невозможен.

Наконец, пусть выполнен третий вариант, иными словами, имеем

$$ \begin{equation*} |\mathrm{Aut}(S)|\leqslant\text{НОД}\bigl(|(\mathbb Z/2\mathbb Z)^3 \rtimes\mathrm{PGL}_3(\mathbb F_2)|,|W(\mathrm E_6)|\bigr)=2^6 \cdot 3=192<720. \end{equation*} \notag $$
Значит, группа автоморфизмов кубики имеет порядок не больше, чем $720$.

Используя таблицу [7; с. 22], получаем, что в $\mathrm{PGL}_4(\mathbb F_2)$ единственной подгруппой порядка $720$ является группа $\mathrm S_6$, так как она максимальная, а другие максимальные подгруппы группы $\mathrm{PGL}_4(\mathbb F_2)$ не содержат группу порядка $720$.

Предъявим явно кубическую поверхность с группой автоморфизмов $\mathrm S_6$.

Пример 1. Рассмотрим кубику $S\subset\mathbb P^3$ над полем $\mathbb F_2$, заданную уравнением

$$ \begin{equation} x^2t+y^2z+z^2y+t^2x=0. \end{equation} \tag{1} $$
Очевидно, что это уравнение задает гладкую кубику. Более того, она проходит через все точки на $\mathbb P^3$. Покажем, что $\mathrm{Aut}(S)\simeq\mathrm S_6$.

Рассмотрим матрицу

$$ \begin{equation*} \Omega=\begin{pmatrix} 0 &0 &0 &1 \\ 0 &0 &1 &0 \\ 0 &1 &0 &0 \\ 1 &0 &0 &0 \end{pmatrix}. \end{equation*} \notag $$
Эта матрица соответствует кососимметрической билинейной форме. Группа, которая сохраняет эту матрицу, т.е. группа таких элементов $g\in\mathrm{PGL}_4(\mathbb F_2)$, что
$$ \begin{equation*} g^T\Omega g=\Omega, \end{equation*} \notag $$
изоморфна группе $\mathrm{PSp}_4(\mathbb F_2)$.

Заметим, что левая часть уравнения (1) равна

$$ \begin{equation*} (x^2,y^2,z^2,t^2)^T\Omega(x,y,z,t). \end{equation*} \notag $$
Значит, группа $\mathrm{PSp}_4(\mathbb F_2)$ содержится в группе автоморфизмов кубики $S$. Как известно (см., например, [8; § 5]), имеется изоморфизм $\mathrm{PSp}_4(\mathbb F_2)\simeq\mathrm S_6$. То есть мы получаем, что $\mathrm S_6\subset\mathrm{Aut}(S)$, а по теореме 4 группа $\mathrm S_6$ является максимальной возможной группой автоморфизмов гладкой кубической поверхности над $\mathbb F_2$. Значит, $\mathrm{Aut}(S)\simeq\mathrm S_6$.

Отметим, что кубика (1) рациональна. В самом деле, на ней есть две непересекающиеся прямые $l_1$ и $l_2$, задающиеся уравнениями $x=y=0$ и $z=t=0$ соответственно, что и дает бирациональный изоморфизм $\mathbb P^1\times\mathbb P^1\dashrightarrow S$.

Замечание 1. В статье [9] с помощью компьютерных вычислений было показано, что группа автоморфизмов кубики (1) имеет порядок $720$. Тем не менее, в указанной статье не была исследована структура ее группы автоморфизмов.

3. Поверхности дель Пеццо степени 1

В этом пункте мы рассмотрим гладкие поверхности дель Пеццо степени $1$.

Предложение 1. Пусть $S$ – гладкая поверхность дель Пеццо степени $1$ над полем $\mathbb F_q$. Тогда порядок группы $\mathrm{Aut}(S)$ удовлетворяет неравенству

$$ \begin{equation*} \mathrm{Aut}(S) \leqslant 2q^4(q-1)^2(q+1) < q^3(q^3-1)(q^2-1). \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Накрытие

$$ \begin{equation} \phi_{|-2K_S|}\colon S\to\mathbb P(1,1,2) \end{equation} \tag{2} $$
степени $2$, заданное дважды антиканонической линейной системой, дает нам точную последовательность
$$ \begin{equation*} 1\to G\to\mathrm{Aut}(S)\to\mathrm{Aut}(\mathbb P(1,1,2)), \end{equation*} \notag $$
где $|G|\leqslant 2$. Найдем группу автоморфизмов $\mathrm{Aut}(\mathbb P(1,1,2))$. Ясно (см. [10; § 8.3]), что автоморфизмы задаются следующим образом:
$$ \begin{equation*} [x:y:z]\mapsto[ax+by:cx+dy:ez+f(x,y)], \end{equation*} \notag $$
где матрица
$$ \begin{equation*} \begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix} \end{equation*} \notag $$
невырождена, $e\in\mathbb F^*_q$, а $f(x,y)$ – однородный квадратичный многочлен. Значит, имеем
$$ \begin{equation*} \mathrm{Aut}(\mathbb P(1,1,2)) \simeq\frac{(\mathrm{GL}_2(\mathbb F_q)\times\mathbb F_q^*)\ltimes(\mathbb F_q)^3}{\mathbb F_q^*}\,. \end{equation*} \notag $$
Следовательно, порядок группы $\mathrm{Aut}(S)$ удовлетворяет неравенству
$$ \begin{equation*} |\mathrm{Aut}(S)|\leqslant 2\cdot|\mathrm{Aut}(\mathbb P(1,1,2))| =2q^4(q-1)^2(q+1)<q^3(q^3-1)(q^2-1). \end{equation*} \notag $$

Замечание 2. Можно показать, что морфизм (2) сепарабельный (см., например, [11; предложение 1.2]). Поэтому группа $G$ в доказательстве утверждения 1 изоморфна $\mathbb Z/2\mathbb Z$.

4. Доказательство теоремы 2

В этом пункте мы докажем теорему 2. Сначала напомним следующий результат из статьи [4].

Предложение 2 [4; следствие 5.3]. Пусть $S$ – гладкая поверхность дель Пеццо степени не равной $1$ и $3$ над полем $\mathbb F_q$. Тогда $\mathrm{Aut}(S)$ содержит нормальную абелеву подгруппу индекса не больше чем $q^3(q^2-1)(q^3-1)$.

Теперь докажем нашу основную теорему.

Доказательство теоремы 2. Как уже было замечено ранее, любая конечная подгруппа $G$ группы Кремоны $\mathrm{Cr}_2(\mathbb F_q)$ регуляризуется на $G$-минимальной модели рациональной поверхности. Поэтому нам достаточно найти минимальный индекс нормальной абелевой подгруппы для каждой группы автоморфизмов поверхностей дель Пеццо и для расслоений на коники. Максимальное такое число и будет нам давать константу Жордана.

Согласно утверждению 2 индекс нормальной абелевой подгруппы группы автоморфизмов поверхности дель Пеццо степени не равной $1$ и $3$ над полем $\mathbb F_q$ не превосходит

$$ \begin{equation*} q^3(q^2-1)(q^3-1). \end{equation*} \notag $$
А согласно [4; лемма 6.1] индекс нормальной абелевой подгруппы группы автоморфизмов расслоения на коники над полем $\mathbb F_q$ тоже не превосходит $q^3(q^2-1)(q^3-1)$. Для поверхностей дель Пеццо степени $1$ над полем $\mathbb F_q$ согласно утверждению 1 получаем, что группа автоморфизмов всегда имеет порядок меньше, чем $q^3(q^2-1)(q^3-1)$.

Осталось найти наибольшее значение среди всех минимальных индексов нормальных абелевых подгрупп групп автоморфизмов кубических поверхностей. Если $q=4$ или $8$, то

$$ \begin{equation*} |W(\mathrm E_6)|=51\,840<60\,480=|\mathrm{PGL}_3(\mathbb F_4)| \leqslant|\mathrm{PGL}_3(\mathbb F_q)| \end{equation*} \notag $$
и, значит, порядок группы автоморфизмов кубики меньше $q^3(q^2-1)(q^3-1)$. А при $q=2$ согласно теореме 4 порядок группы автоморфизмов кубической поверхности не превосходит
$$ \begin{equation*} 720>168=q^3(q^2-1)(q^3-1). \end{equation*} \notag $$
Все перечисленные значения, а именно, $720$ для $\mathbb F_2$ и $q^3(q^2-1)(q^3-1)$ для $\mathbb F_4$ и $\mathbb F_8$, реализуются как порядки групп автоморфизмов некоторых рациональных поверхностей. Действительно, для $q=4$ и $8$ эти значения достигаются на группе автоморфизмов $\mathbb P^2$, которая изоморфна $\mathrm{PGL}_3(\mathbb F_q)$ и не имеет нетривиальных нормальных абелевых подгрупп, см. [1; лемма 2.4]. Для $q=2$ значение константы Жордана достигается на рациональной кубике с группой автоморфизмов $\mathrm S_6$ (см. пример 1), которая тоже не имеет нетривиальных нормальных абелевых подгрупп.

5. Единственность кубики с группой автоморфизмов $\mathrm S_6$ над полем $\mathbb F_2$

В этом пункте мы докажем теорему 3.

Лемма 1. Пусть $S$ – гладкая кубическая поверхность в проективном пространстве $\mathbb P^3$ над полем $\mathbb F_2$, проходящая через все $15$ точек в $\mathbb P^3$. Тогда $S$ изоморфна кубике вида (1) и ее группой автоморфизмов является группа $\mathrm S_6$.

Доказательство. Заметим, что кубические поверхности, проходящие все точки $\mathbb P^3$ над полем $\mathbb F_2$, имеют вид

$$ \begin{equation*} a_1xy(x+y)+a_2xz(x+z)+a_3xt(x+t)+a_4yz(y+z)+a_5yt(y+t)+a_6zt(z+t)=0, \end{equation*} \notag $$
где $a_i\in\mathbb F_2$. Значит, всего таких кубик $63$.

Рассмотрим действие группы $\mathrm{PGL}_4(\mathbb F_2)$ на гладкие кубики в $\mathbb P^3$ над полем $\mathbb F_2$, проходящие через $15$ точек. Пусть $\mathrm{Orb}(S)$ – орбита $S$ действия группы $\mathrm S_6$. Имеем

$$ \begin{equation*} \frac{|\mathrm{PGL}_4(\mathbb F_2)|}{|\mathrm{Aut}(S)|}=|\mathrm{Orb}(S)|. \end{equation*} \notag $$
Оценим количество элементов в орбите $S$. Рассмотрим особую кубическую поверхность, которая является объединением трех плоскостей в $\mathbb P^3$, пересекающихся одновременно в одной прямой. Ясно, что на такой приводимой кубической поверхности будет $15$ точек. Несложно проверить, что в $\mathbb P^3$ над полем $\mathbb F_2$ имеется ровно $35$ прямых. Значит, таких особых кубик по крайней мере $35$. То есть гладких кубик, проходящих через $15$ точек, не более $28$. Значит, получаем, что $|\mathrm{Orb}(S)|\leqslant 28$. И поэтому имеем неравенство
$$ \begin{equation*} |\mathrm{Aut}(S)|\geqslant 720. \end{equation*} \notag $$
Но согласно теореме 4 это неравенство верно тогда и только тогда, когда $\mathrm{Aut}(S)=\mathrm S_6$ и $|\mathrm{Orb}(S)|=28$. Другими словами, все гладкие кубики, проходящие через $15$ точек, изоморфны друг другу. Так как кубика вида (1) проходит через $15$ точек, получаем, что $S$ ей изоморфна.

Лемма 2. Пусть группа $\mathrm S_6$ является группой автоморфизмов гладкой кубической поверхности $S$ над полем $\mathbb F_2$. Тогда $S$ изоморфна кубике вида (1).

Доказательство. Заметим, что согласно теореме Шевалле–Варнинга на кубике $S$ есть точка. Обозначим одну из таких точек через $p$. Действие группы $\mathrm S_6$ на $S$ определяет ее действие на $\mathbb P^3$. Предположим, что орбита точки $p$ имеет длину $l\ne 5,10,15$. Тогда стабилизатор каждой точки в орбите является подгруппой $\mathrm S_6$ индекса $l$. Более того, в стабилизаторе лежит подгруппа $\mathbb Z/5\mathbb Z$, так как $l$ взаимно просто с $5$. Тогда группа $\mathbb Z/5\mathbb Z$ действует нетривиально на касательном пространстве к $\mathbb P^3$ в точке $p$ (см., например, [12; теорема 3.7]). То есть $\mathbb Z/5\mathbb Z\subset\mathrm{GL}_3(\mathbb F_2)$. Но это невозможно, так как $|\mathrm{GL}_3(\mathbb F_2)|=168$.

Случай $l=5$ невозможен, так как в группе $\mathrm S_6$ нет подгруппы индекса $5$. Если же $l=10$, то на $\mathbb P^3$ есть еще орбиты действия $\mathrm S_6$ длины не больше $5$. Но, как мы только что показали, таких нет.

Поэтому возможен только случай $l=15$. Значит, на кубике $S$ с действием группы $\mathrm S_6$ ровно $15$ точек. А по лемме 1 такие кубики изоморфны кубике (1).

Теперь перейдем к доказательству теоремы 3.

Доказательство теоремы 3. Первая часть теоремы следует из теоремы 4. Существование и единственность следуют из лемм 1 и 2.

Также из лемм 1 и 2 мы получаем следствие.

Следствие 2. Группа $\mathrm S_6$ тогда и только тогда действует на гладкой кубической поверхности $S$ над полем $\mathbb F_2$, когда $S$ проходит через все $15$ точек в $\mathbb P^3$.

Автор считает приятным долгом выразить искреннюю благодарность К. А. Шрамову за постановку задачи, за постоянное внимание к этой работе и интересные беседы. Автор также благодарит А. С. Трепалина за разговоры о кубических поверхностях и Ю. Г. Прохорова за важные замечания.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. I. V. Dolgachev, V. A. Iskovskikh, Finite Subgroups of the Plane Cremona Group, Algebra, Arithmetic, and Geometry: in Honor of Yu. I. Manin, Progr. Math., 269, Birkhauser, Boston, MA, 2009  mathscinet  zmath
2. V. L. Popov, Affine Algebraic Geometry, CRM Proc. Lecture Notes, 54, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2011, 289–311  mathscinet  zmath
3. J.-P. Serre, Mosc. Math. J., 9:1 (2009), 183–198  mathnet  crossref  mathscinet  zmath
4. Yu. Prokhorov, C. Shramov, Jordan Property for Cremona Group over a Finite Field, 2021, arXiv: 2111.13367
5. I. Dolgachev, Classical Algebraic Geometry, Cambridge University Press, Cambridge, 2012  mathscinet
6. I. Dolgachev, A. Duncan, Изв. РАН. Сер. матем., 83:3 (2019), 15–92  mathnet  crossref  mathscinet
7. J. H. Conway, R. T. Curtis, S. P. Norton, R. A. Parker, R. A. Wilson, ATLAS of Finite Groups, Oxford University Press, Eynsham, 1985  mathscinet
8. J. Dieudonné, Canad. J. Math., 6 (1954), 305–315  mathscinet
9. F. Karaoǧlu, Turkish J. Math., 45:6 (2021), 2492–2510  crossref  mathscinet
10. A. Al Amrani, K-Theory, 2:5 (1989), 559–578  crossref  mathscinet
11. I. Dolgachev, G. Martin, Automorphisms of del Pezzo Surfaces of Degree 2 in Characteristic 2, 2022, arXiv: 2206.08913
12. Y. Chen, C. Shramov, Automorphisms of Surfaces over Fields of Positive Characteristic, 2021, arXiv: 2106.15906
Образец цитирования: А. В. Викулова, “Константа Жордана для группы Кремоны ранга 2 над конечным полем”, Матем. заметки, 113:4 (2023), 607–612; Math. Notes, 113:4 (2023), 587–592
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Vik23}
\by А.~В.~Викулова
\paper Константа Жордана для группы Кремоны ранга~2 над конечным полем
\jour Матем. заметки
\yr 2023
\vol 113
\issue 4
\pages 607--612
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/mzm13851}
\crossref{https://doi.org/10.4213/mzm13851}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4582581}
\transl
\jour Math. Notes
\yr 2023
\vol 113
\issue 4
\pages 587--592
\crossref{https://doi.org/10.1134/S0001434623030306}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85160277487}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/mzm13851
  • https://doi.org/10.4213/mzm13851
  • https://www.mathnet.ru/rus/mzm/v113/i4/p607
    • Эта публикация цитируется в следующих 1 статьяx:
    Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    		Математические заметки Mathematical Notes
     
      Обратная связь:
    		  Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024