| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Краткие сообщения Об одномерных сжимающихся репеллерах В. З. Гринес, Д. И. Минц Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики" в Нижнем Новгороде
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623030318 
Реферативные базы данных:
  Пусть $M^n$ – $n$-мерное, $n\geqslant 1$, замкнутое связное многообразие и $f\colon M^n\to M^n$ – $C^r$-гладкий эндоморфизмом, т.е. $C^r$-гладкое, $r\geqslant 1$, сюръективное отображение. Орбитой точки $x_0\in M^n$ называется множество $\{x_i\}^{+\infty}_{i=-\infty}=O(x_0)$ такое, что $f(x_i)=x_{i+1}$ для любого $i\in\mathbb Z$. Множество $\{x_i\}^{+\infty}_{i=0}=O^+(x_0)\subset O(x_0)$ называется положительной полуорбитой точки $x_0$. Положительная орбита определена однозначно, в то время как орбита, проходящая через фиксированную точку, вообще говоря, однозначно не определена. Для фиксированной орбиты $\{x_i\}^{+\infty}_{i=-\infty}=O(x_0)$ множество $\{x_i\}^0_{i=-\infty}=O^-(x_0)$ называется отрицательной полуорбитой орбиты $O(x_0)$. Определение 1. Замкнутое инвариантное множество $H\subset M^n$, $f(H)=H$, называется гиперболическим, если $H$ не содержит критических точек1 эндоморфизма $f$ и существуют постоянные $c>0$, $0<\mu<1$ такие, что для каждой орбиты $O(x_0)$ эндоморфизма $f$, лежащей в множестве $H$, существует непрерывное разложение касательного подрасслоения $T_{O(x_0)}M^n=\bigcup^\infty_{i=-\infty} T_{x_i}M^n$ в прямую сумму: такую, что выполнены следующие условия: Заметим, что из инвариантности множества $H$ следует, что для любой точки $x\in H$ существует по крайней мере одна отрицательная полуорбита, лежащая в множестве $H$. Также отметим, что неустойчивое подрасслоение $\mathbb E^u_{O(x_0)}$ зависит от отрицательной полуорбиты $\{x_i\}^0_{i=-\infty}$, т.е., вообще говоря, $\mathbb E^u_{O(x_0)}\ne\mathbb E^u_{O(y_0)}$ для $x_0=y_0$ с $O(x_0)\ne O(y_0)$. С другой стороны, для устойчивого подрасслоения имеет место равенство $\mathbb E^s_{O(x_0)}=\mathbb E^s_{O(y_0)}$ для любых $O(x_0)$ и $O(y_0)$ таких, что $x_0=y_0$. Другими словами, $E^s_{x_i}$ зависит только от точки $x_i$ и не зависит от выбора проходящей через нее орбиты. Следуя [1], введем Определение 2. Гиперболическое множество $H$ называется однозначно гиперболическим, или множеством с однозначно определенным неустойчивым подрасслоением, если $E^u_{x_0}$ не зависит от отрицательной полуорбиты $\{x_i\}^0_{i=-\infty}$ для любой точки $x_0\in H$. Определим устойчивое и неустойчивое многообразия точки гиперболического множества. Пусть $H$ – гиперболическое множество эндоморфизма $f$ и $d$ – некоторая метрика на многообразии $M^n$. Устойчивым многообразием точки $x\in H$ называется множество
$$
\begin{equation*}
\widetilde W^s_x=\bigl\{y\in M\colon d(f^i(x),f^i(y))\to 0\text{ при }i\to+\infty\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если эндоморфизм $f$ не является взаимно однозначным отображением, то множество $\widetilde W^s_x$, вообще говоря, не является связным. Компоненту связности множества $\widetilde W^s_x$, содержащую точку $x$, мы будем называть связным устойчивым многообразием и обозначать через $W^s_x$. Для точки $x\in H$ зафиксируем ее орбиту $O(x)\subset H$. Неустойчивым многообразием точки $x$, соответствующим орбите $O(x)$, называется множество
$$
\begin{equation*}
W^u_{x,O(x)}=\bigl\{y\in M\colon \exists\,O(y) \text{ такая, что }d(x_{-i},y_{-i})\to 0\text{ при }i\to+\infty\bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $O(x)=\{x_i\}^{+\infty}_{i=-\infty}$, $O(y)=\{y_i\}^{+\infty}_{i=-\infty}$. Множество $W^u_{x,O(x)}$ является связным. Заметим, что если множество $H$ является однозначно гиперболическим, то множество $W^u_{x,O(x)}$ не зависит от орбиты $O(x)$ точки $x$. В этом случае вместо $W^u_{x,O(x)}$ мы будем писать $W^u_x$.
Эндоморфизм $f\colon M^n \mspace{-1mu} \to \mspace{-1mu} M^n$ называется эндоморфизмом Аносова, если многообразие $M^n$ является гиперболическим множеством. При этом если $f$ является диффеоморфизмом, то $f$ называется диффеоморфизмом Аносова. Наиболее известными примерами эндоморфизмов (диффеоморфизмов) Аносова являются алгебраические гиперболические эндоморфизмы (автоморфизмы) тора. Под алгебраическим эндоморфизмом $n$-мерного тора $\mathbb T^n$ понимается эндоморфизм, заданный целочисленной квадратной матрицей $A$ порядка $n$ по формуле $\overline X=A X\,(\operatorname{mod}{1})$. Если определитель матрицы $A$ равен по модулю единице, то алгебраический эндоморфизм называется алгебраическим автоморфизмом. Алгебраический эндоморфизм (автоморфизм) называется гиперболическим, если матрица $A$ гиперболична, т.е. не имеет собственных значений, по модулю равных нулю и единице. Хорошо известно, что произвольный диффеоморфизм Аносова $n$-мерного тора $\mathbb T^n$ сопряжен с алгебраическим гиперболическим автоморфизмом (см. [2]). Если эндоморфизм Аносова $f\colon\mathbb T^n\to\mathbb T^n$ является растягивающим (т.е. $\dim\mathbb E^s_{O(x_0)}=0$ для любой орбиты $O(x_0)$ эндоморфизма $f$, см. определение 1), то согласно [3] $f$ топологически сопряжен с алгебраическим растягивающим эндоморфизмом этого тора (все собственные значения матрицы, индуцирующей этот эндоморфизм, по модулю больше единицы). Из [1], [4] следует, что для эндоморфизмов Аносова $n$-мерного тора $\mathbb T^n$, не являющихся диффеоморфизмами и растягивающими эндоморфизмами, аналогичные результаты, вообще говоря, не имеют места. В [5] показано, что в множестве эндоморфизмов Аносова $n$-мерного тора, отличных от диффеоморфизмов и растягивающих эндоморфизмов, эндоморфизмы Аносова, топологически несопряженные с алгебраическими, образуют массивное множество2. Однако для некоторого подкласса эндоморфизмов Аносова результаты, аналогичные приведенным выше, остаются верными. Согласно [6] произвольный однозначно гиперболический эндоморфизм Аносова $n$-мерного тора (т.е. эндоморфизм, который однозначно гиперболичен на всем торе $\mathbb T^n$) сопряжен с алгебраическим гиперболическим эндоморфизмом этого тора. Отметим, что любой алгебраический гиперболический эндоморфизм тора однозначно гиперболичен. Этим свойством также обладают диффеоморфизмы Аносова и растягивающие эндоморфизмы $n$-мерного тора. В [1] Пшитыцкий ввел понятие аксиомы $A$ для эндоморфизмов, которое обобщает аксиому $A$ Смейла для диффеоморфизмов. Эндоморфизм $f\colon M^n\to M^n$ называется $A$-эндоморфизмом (эндоморфизмом, удовлетворяющим аксиоме А), если его неблуждающее множество $NW(f)$ гиперболическое и в $NW(f)$ всюду плотны периодические точки. В [1] доказано обобщение теоремы Смейла о спектральном разложении (см. [7]), в которой утверждается, что неблуждающее множество $A$-эндоморфизма $f\colon M^n\to M^n$ единственным образом (с точностью до нумерации) представляется в виде конечного объединения попарно не пересекающихся множеств
$$
\begin{equation*}
NW(f)=\Lambda_1\cup\dotsb\cup\Lambda_k,\qquad k\geqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
называемых базисными множествами, каждое из которых замкнуто и инвариантно. При этом ограничение эндоморфизма $f$ на каждое такое множество является топологически транзитивным3. Заметим, что из инвариантности базисного множества $\Lambda$ (т.е. $f(\Lambda)=\Lambda$), вообще говоря, не следует, что $f^{-1}(\Lambda)=\Lambda$. Базисное множество $\Lambda$ называется строго инвариантным, если имеет место равенство $f^{-1}(\Lambda)=\Lambda$.
Базисное множество $\Lambda$ эндоморфизма $f$ называется аттрактором, если существует его замкнутая окрестность4 $U_\Lambda$ такая, что
$$
\begin{equation*}
f(U_\Lambda)\subset\operatorname{Int}U_\Lambda, \qquad \Lambda=\bigcap_{k=0}^{+\infty}f^k(U_\Lambda).
\end{equation*}
\notag
$$
Базисное множество $\Lambda$ эндоморфизма $f$ называется репеллером, если существует его замкнутая окрестность $U_\Lambda$ такая, что5
$$
\begin{equation*}
f^{-1}(U_\Lambda)\subset\operatorname{Int}U_\Lambda, \qquad \Lambda=\bigcap_{k=0}^{+\infty} f^{-k}(U_\Lambda).
\end{equation*}
\notag
$$
Аттрактор (репеллер) $\Lambda$ называется растягивающимся (сжимающимся), если его топологическая размерность равна размерности $E^u_{x_0}$ $(E^s_{x_0})$ для любой точки $x_0\in\Lambda$.
Далее будем рассматривать эндоморфизмы замкнутых поверхностей. Для $A$-диффеоморфизмов замкнутых поверхностей существует ряд исчерпывающих результатов, связанных с их топологической классификацией и исследованием топологической структуры базисных множеств. В сериях работ Гринеса, Плыкина, Жирова и Калая (см. книгу [8] и обзоры [9], [10] для информации и ссылок) получена топологическая классификация ограничений таких диффеоморфизмов на одномерные базисные множества. Согласно [11] одномерное базисное множество $A$-диффеоморфизма $f\colon M^2\to M^2$ является либо растягивающимся аттрактором, либо сжимающимся репеллером и имеет локальную структуру прямого произведения интервала и канторова множества. Для $A$-эндоморфизмов, не являющихся диффеоморфизмами, существует небольшое число классов систем, для которых описана структура базисных множеств и получены классификационные результаты. К таким классам относятся эндоморфизмы, возникающие в комплексной динамике на римановой сфере [12], [13], и растягивающие эндоморфизмы [3]. В [14] в каждом гомотопическом классе непрерывных отображений двумерного тора, индуцирующих гиперболическое действие в фундаментальной группе (определение см. ниже) и не содержащих растягивающих отображений, построен $A$-эндоморфизм, неблуждающее множество которого состоит из гиперболической стоковой точки и одномерного сжимающегося однозначно гиперболического репеллера $\Lambda$. Кроме того, в [14] доказано, что репеллер $\Lambda$ является одномерной ориентируемой ламинацией, локально гомеоморфной прямому произведению интервала и канторова множества. Также отметим, что в [15] доказано, что неблуждающее множество $A$-эндоморфизма двумерного тора, не являющегося диффеоморфизмом, не может содержать одномерный аттрактор с аналогичными свойствами. В настоящей работе вводится и исследуется класс $\mathbb F(\mathbb T^2)$ $A$-эндоморфизмов двумерного тора, неблуждающее множество каждого из которых содержит одномерный репеллер, свойства которого обобщают свойства репеллеров эндоморфизмов, построенных в работе [14]. Главным результатом работы является теорема 3, которая дает необходимые и достаточные условия топологической сопряженности ограничений эндоморфизмов из класса $\mathbb F(\mathbb T^2)$ на их одномерные репеллеры посредством гомеоморфизма всего двумерного тора. Напомним, что отображение $f$ называется регулярным, если оно не имеет критических точек. Если $f\colon M^2\to M^2$ является регулярным отображением, то $f$ является локальным гомеоморфизмом и, следовательно, согласно [16] $f$ есть $k$-листное накрытие, где $k>0$. Далее будем предполагать, что эндоморфизм $f$ задан на двумерном торе, является регулярным отображением и не является взаимно однозначным отображением. Представим тор $\mathbb T^2$ как фактор-группу группы $\mathbb R^2$ по целочисленной решетке
$$
\begin{equation*}
\Gamma=\mathbb Z\oplus\mathbb Z\colon \mathbb T^2=\mathbb R^2\setminus\Gamma.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что фундаментальная группа двумерного тора $\pi_1(\mathbb T^2)$ изоморфна группе $\Gamma$. Эндоморфизм $f\colon\mathbb T^2\to\mathbb T^2$ индуцирует гомоморфизм $f_*$ группы $\Gamma$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
f_*(\gamma)=\overline f\circ\gamma\circ\overline f^{\,-1},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\overline f$ – накрывающее отображение для эндоморфизма $f$, $\gamma\in\Gamma$. Отметим, что отображение $\overline f$ определено корректно, так как в силу [17; лемма 2] отображение $\overline f$ является гомеоморфизмом. Гомоморфизм $f_*$ задается единственной целочисленной матрицей $A_f$ и не зависит от накрывающего отображения $\overline f$, так как группа $\Gamma$ абелева. Гомоморфизм $f_*$ называется гиперболическим, если матрица $A_f$ гиперболична. Обозначим через $\widehat A_f\colon\mathbb T^2\to\mathbb T^2$ алгебраический эндоморфизм двумерного тора, заданный формулой
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} \overline x \\ \overline y \end{pmatrix} =A_f\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} \quad(\operatorname{mod} 1).
\end{equation*}
\notag
$$
Следуя [18], назовем однозначно гиперболическое базисное множество $\Lambda$ эндоморфизма $f\colon\mathbb T^2\to\mathbb T^2$ просторно расположенным, если не существует гомотопной нулю петли, образованной парой отрезков неустойчивого и связного устойчивого многообразий какой-либо точки $\Lambda$.
Пусть $\mathbb F(\mathbb T^2)$ – класс $A$-эндоморфизмов двумерного тора таких, что неблуждающее множество каждого эндоморфизма $f\in\mathbb F(\mathbb T^2)$ содержит одномерный сжимающийся однозначно гиперболический репеллер $\Lambda_f$, который просторно расположен на двумерном торе. Теорема 1. Пусть $f\in\mathbb F(\mathbb T^2)$. Тогда репеллер $\Lambda_f$ связен, строго инвариантен и имеет локальную структуру прямого произведения интервала и канторова множества. Лемма 1. Пусть $f\in\mathbb F(\mathbb T^2)$. Тогда гомоморфизм $f_*\colon\pi_1(\mathbb T^2)\to\pi_1(\mathbb T^2)$ является гиперболическим. При этом $|\lambda_1|>1$, $0<|\lambda_2|<1$, где $\lambda_1$ и $\lambda_2$ – собственные значения матрицы $A_f$. Теорема 2. Пусть $f\in\mathbb F(\mathbb T^2)$. Тогда среди гомотопных тождественному непрерывных отображений тора $\mathbb T^2$ существует единственное отображение $h_f$, полусопрягающее эндоморфизм $f$ с алгебраическим эндоморфизмом $\widehat A_f$. Следуя [19], назовем периодическую точку репеллера $\Lambda_f$ граничной, если одна из компонент связности множества $W^u_x\setminus x$ не пересекается с множеством $\Lambda_f$. Устанавливается, что множество граничных периодических точек непусто и конечно. Положим6
$$
\begin{equation*}
B_f=\bigl\{x\in\mathbb T^2\colon h_f^{-1}(x)\text{ состоит более чем из одной точки}\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 2. Пусть $f\in\mathbb F(\mathbb T^2)$. Отображение $h_f$ переводит множество $\Lambda_f$ на весь двумерный тор, и множество $B_f$ состоит из конечного числа периодических точек $p_1,\dots,p_k$, $k\geqslant 1$, эндоморфизма $\widehat A_f$ и устойчивых многообразий этих точек. При этом $h_f^{-1}(p_i)\cap\Lambda_f$, $i\in\{1,\dots,k\}$, состоит из двух граничных точек множества $\Lambda_f$. Отображение двумерного тора назовем линейным, если оно представимо в виде суперпозиции алгебраического эндоморфизма и сдвига двумерного тора. Теорема 3. Пусть $\Lambda_f$, $\Lambda_{f'}$ – репеллеры эндоморфизмов $f,f'\in\mathbb F(\mathbb T^2)$ соответственно. Для того, чтобы существовал гомеоморфизм $\varphi\colon\mathbb T^2\to\mathbb T^2$ такой, что необходимо и достаточно, чтобы существовало линейное отображение $\psi\colon\mathbb T^2\to\mathbb T^2$ такое, что 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GriMin23} |
|
||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|