| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Медленные сходимости эргодических средних В. В. Рыжиков Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623050103 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеВ работе рассматриваются эргодические автоморфизмы $T$ стандартного вероятностного пространства $(X,\mu)$, $\mu(X)=1$; такие автоморфизмы мы также называем преобразованиями. Для функции $f\in L_1(X,\mu)$ ее эргодические средние сходятся относительно $L_1$-нормы к константе $\int f$:
$$
\begin{equation*}
f_N:=\frac{1}{N} \sum_1^N T^if \to\int f, \qquad N\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
В статье будем использовать обозначение $f_N(T,x)$ вместо $f_N(x)$. Теорема Биркгофа гласит, что для п.в. $x\in X$
$$
\begin{equation*}
f_N(T,x):=\frac{1}{N} \sum_1^N T^if(x) \to \int_X f(x)\,d\mu.
\end{equation*}
\notag
$$
Кренгелем [1] был обнаружен интересный эффект отсутствия оценок для скорости сходимости в эргодических теоремах. Мы дадим доказательство результата Кренгеля о сходимостях по норме (теорема 1) на основе теоремы Альперна. Отвечая на вопрос Подвигина из [2], покажем, что для последовательности $\psi(N)\to +0$ и всякого $a\in (0,1)$ найдется множество меры $a$ и эргодический автоморфизм $T$ такие, что скорость сходимости временных средних для индикатора этого множества медленнее $\psi(N)$. Теорема Кренгеля [1] универсальна в том смысле, что для всякого эргодического автоморфизма и $\psi(N)\to +0$ она гарантирует существование соответствующего множества меры $1/2$ с эффектом медленной сходимости временных средних. 2. Медленная сходимость по норме. Теорема АльпернаНиже будет дано доказательство, использующее обобщение леммы Рохлина–Халмоша, предложенное Альперном [3] (см. также [4]). Башней высоты $h$ для автоморфизма $T$ называется набор непересекающихся множеств вида $T^iB$, $0\leqslant i<h$, или их объединение $\coprod_{i=0}^{h-1}T^iB$, $\mu(B)>0$. Теорема 2 (Альперн). Пусть натуральные числа $h(j)$, $j=1,2,\dots$, взаимно просты в совокупности и $\sum_ja_j=1$, $a_j>0$. Для апериодического $T$ найдется разбиение фазового пространства $X=\coprod X_j$, где $X_j$ – башня высоты $h(j)$, причем $\mu(X_j)=a_j$. Доказательство теоремы 1. Положим для определенности $a_j=2^{-j}$. Выбираем натуральные числа $h(j)$ так, чтобы при $j\to\infty$ выполнялись условия где Отметим, что последовательность $h(j)$ можно выбирать так, чтобы
Обозначим через $a$ постоянную функцию $a(x)=\mu(X_1)=1/2$, положим $f=\chi_{X_1}$ и
$$
\begin{equation*}
U_j=\coprod_{i\leqslant j} X_i, \qquad C_j=\coprod_{i>j} X_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что функция $f_{h(j)}$ на $C_j$ равна 0, кроме множества меры, не большей, чем $\varepsilon_jh(j)$. Из сказанного вытекает, что Теорема доказана.3. Медленная сходимость почти всюдуСледующее утверждение отвечает на один из вопросов работы [2]. Теорема 3. Для всякой $\psi(N)\to +0$ и числа $a\in (0,1)$ найдется множество $A$, $\mu(A)=a$, и эргодический автоморфизм $T$ такие, что для индикатора $f=\chi_A$ и почти всех $x$ выполнено Доказательство. Пусть $X=\coprod_j A_j$, $\mu(A_j)>0$, $j=0,1,2,\dots$ . Положим ($c_j$ – среднее значение функции $f=\chi_{A_0}$ на множестве $A_0\cup A_1\cup \cdots\cup A_j $).
Пусть задано преобразование $T_0$ такое, что $T_0A_j=A_j$ для всех $j$, причем ограничения $T_0$ на множества $A_j$ являются эргодическими. Приступим к поиску $T$. Фиксируем последовательность $\varepsilon_j\to +0$ такую, что $\varepsilon_j$ мало по сравнению с числом $(c_j-c)$. Шаг 1. Рассмотрим автоморфизм $T_1$, который отличается от $T_0$ на множестве $\Delta_1$ маленькой меры, $\Delta_1\subset A_0\cup A_1$ и автоморфизм $T_1$ эргодичен на объединении $U_1=A_0\cup A_1 $. Существование такого $T_1$ для сколь угодно малой меры множества $\Delta_1$ очевидным образом вытекает, например, из теоремы 2. Действительно, изменяя апериодическое преобразование (нас сейчас интересует только апериодическая часть на $U_1$) на самых последних этажах башен, мы можем получить изоморфную копию любого другого апериодического преобразования, в частности, копии всех эргодических на $U_1$. Но нам будет достаточно какого-нибудь $T_1$. Отметим, что малость меры множества, на котором мы меняем преобразование, обеспечивается большой высотой башен. Так как автоморфизм $T_1$ эргодичен на $U_1=A_0\cup A_1 $, для $f=\chi_{A_0}$ в силу теоремы Биркгофа временные средние $f_{N}(T_1,x)$ сходятся к пространственному среднему $c_1$ п.в. на $U_1$, а эта сходимость влечет за собой сходимость по мере. Таким образом, для любого $\varepsilon_1>0$ для всех достаточно больших $N_1$ выполнено
$$
\begin{equation*}
\mu\bigl(x\in U_1\colon |f_{N_1}(T_1,x)-c_1|<\varepsilon_1\bigr)> \mu(U_1)-\varepsilon_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Зафиксируем такое число $N_1$ при условии, что $\psi(N_1)< c_1-c$ (сейчас это неравенство не играет принципиальной роли – мы просто готовимся к описанию дальнейших шагов). Шаг 2. Рассмотрим автоморфизм $T_2$, который отличается от $T_1$ на множестве $\Delta_2$ (очень) маленькой меры, $\Delta_2\subset A_1\cup A_2$, и автоморфизм $T_2$ эргодичен на объединении $U_2=A_0\cup A_1 \cup A_2$. (Изменяя $T_1$, мы можем обеспечить дизъюнктность множеств $\Delta_2$ и $\Delta_1$.) Множество $\Delta_2$ мы выбираем столь малой меры, что при замене $T_1$ на $T_2$ по-прежнему выполняется
$$
\begin{equation*}
\mu\bigl(x\in U_1\colon |f_{N_1}(T_2,x)-c_1|<\varepsilon_1\bigr)> \mu(U_1)-\varepsilon_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Из теоремы Биркгофа имеем: для любого $\varepsilon_2>0$ для всех достаточно больших $N_2$
$$
\begin{equation*}
\mu\bigl(x\in U_2\colon |f_{N_2}(T_2,x)-c_2|<\varepsilon_2\bigr)> \mu(U_2)-\varepsilon_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Зафиксируем такое число $N_2$ при условии, что
Шаг $j+1$. Рассмотрим автоморфизм $T_{j+1}$, который отличается от $T_j$ на множестве $\Delta_{j+1}$. Выполнены условия: $\Delta_{j+1}\subset A_j\cup A_{j+1} $, $\Delta_{j+1}$ не пересекается с $\Delta_i$ при $i\leqslant j$, а автоморфизм $T_{j+1}$ эргодичен на объединении $U_{j+1}=A_0\cup A_1\cup\dots \cup A_{j+1}$. Множество $\Delta_{j+1}$ выбирается настолько малым, что для всех $i\leqslant j$ выполняется
$$
\begin{equation*}
\mu\bigl(x\in U_i\colon |f_{N_i}(T_{j+1},x)-c_i|<\varepsilon_i\bigr)>\mu(U_i)- \varepsilon_i.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу теоремы Биркгофа для любого $\varepsilon_{j+1}>0$ и для всех достаточно больших $N_{j+1}$ имеем
$$
\begin{equation*}
\mu\bigl(x\in U_{j+1}\colon |f_{N_{j+1}}(T_{j+1},x)-c_{j+1}|< \varepsilon_{j+1}\bigr)>\mu(U_{j+1})-\varepsilon_{j+1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Зафиксируем такое число $N_{j+1}$ при условии, что
Автоморфизмы $T_j$ очевидным образом сходятся к автоморфизму $T$, для которого сохраняются все неравенства с той лишь оговоркой, что строгие неравенства формально надо заменить на нестрогие: для всех $i$ имеем
$$
\begin{equation}
\mu\bigl(x\in U_i\colon |f_{N_i}(T,x)-c_i|\leqslant\varepsilon_i\bigr)\geqslant \mu(U_i)-\varepsilon_i.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Принимая во внимание $\mu(U_j)\to 1$, $\varepsilon_j\to 0$, с учетом (1), (2) для автоморфизма $T$, множества $A=A_0$ ($c=\mu(A)$) для почти всех $x$ мы получаем Осталось заметить, что при построении автоморфизма $T$ указанным методом легко обеспечить его эргодичность. Для этого, используя эргодичность автоморфизмов $T_j$ на множествах $U_{j}$, $\mu(U_j)\to 1$, надо дополнительно позаботиться о том, чтобы для плотного в $L_1$ семейства функций $\{g_k\}$ для некоторой последовательности $M_n\to\infty$ выполнялось Это условие эквивалентно свойству эргодичности автоморфизма $T$. Теорема доказана.Автор благодарит рецензента за замечания. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ryz23} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|