| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Граничное искажение и производная Шварца однолистной функции в круговом кольце В. Н. Дубининab a Институт прикладной математики Дальневосточного отделения Российской академии наук, г. Владивосток b Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, г. Новосибирск
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S000143462305019X 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеПусть $K(R)=\{z\colon 1<|z|<R\}$ – круговое кольцо, $1<R< \infty$. Обозначим через $\mathfrak M(R,M)$, $R<M<\infty$, класс функций $f$, голоморфных и однолистных в кольце $K(R)$, для которых множество $f(K(R))$ значений $f$ в $K(R)$ лежит в области $K(M)$ и которые отображают окружность $|z|=1$ на себя. Каждая функция $f$ класса $\mathfrak M(R,M)$ допускает аналитическое продолжение в кольцо $1/R<|z|< R$ по принципу симметрии Римана–Шварца. Будем обозначать это продолжение той же буквой $f$. Заметим, что для любой голоморфной в круге $|z|< 1$ функции $F$ известного класса $S$ существует последовательность функций вида $f(zR)/R$, $f\in\mathfrak M(R,M)$, равномерно сходящаяся внутри $0<|z|<1$ к функции $F$ при $R\to \infty$. Исследования различных классов голоморфных функций в кольце, проводимые до 1966 г., достаточно полно представлены в “добавлении” к книге Голузина [1]. Развитие применяемых при этом методов отражены также в обзоре Кузьминой [2]. В современной литературе рассматриваются, как правило, функции, заданные в односвязных областях, а более сложный случай кольца изучен в меньшей степени. Отметим значительные результаты Солынина при изучении голоморфных функций в двухсвязной области (см., например, [3]–[5]). Настоящая заметка дополняет исследования, начатые в работе [6], с целью показать эффективность применения емкостного подхода и симметризации [7] к получению теорем искажения в классе $\mathfrak M(R,M)$. В качестве экстремальной функции будет выступать функция
$$
\begin{equation*}
G(z;n,R,M)=\sqrt[n]{G^{-1}(G(z^n;R^n);M^n)},\qquad z\in K(R),\quad \sqrt[n]{1}=1,
\end{equation*}
\notag
$$
где функция Гретша
$$
\begin{equation*}
G(z;R)=\tau\operatorname{sn}^2 \biggl(\biggl(\frac{i}{\pi}\log(zR)+1\biggr)\mathbf K(\tau);\tau\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
$\tau=\tau(R)=1/P(R)$ – решение уравнения
$$
\begin{equation*}
\log R=\frac{\pi}{2}\,\frac{\mathbf K(\sqrt{1-\tau^2})}{\mathbf K(\tau)}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
$\mathbf K(\tau)$ – полный эллиптический интеграл первого рода с модулем $\tau$, $\operatorname{sn}(\,\cdot\,;\tau)$ – эллиптическая функция Якоби. Функция $w=G(z;n,R,M)$ принадлежит классу $\mathfrak M(R,M)$ и отображает кольцо $K(R)$ на кольцо $K(M)$ с разрезами по отрезкам $\arg(w^n)=0$, $G^{-1}(G(R^n;R^n);M^n)\le|w^n|\le M^n$.
2. Граничное поведение конформных отображенийПусть функция $f$ принадлежит классу $\mathfrak M(R,M)$. Будем говорить, что функция $f$ конформна в точке $z_0$, $|z_0|=R$, если существует угловой предел $f(z_0)$ в этой точке, $|f(z_0)|=M$ и $0<|f'(z_0)|<\infty$. Существование угловой производной $f'(z_0)$ вытекает из леммы Жюлиа–Вольфа. Кроме того, в этом случае существует угловой предел функции $f'(z)$ в точке $z_0$, равный $f'(z_0)$ [8]. Теорема 1. Предположим, что функция $f$ класса $\mathfrak M(R,M)$ конформна в некоторых различных точках $z_k$ окружности $|z|=R$, $k=1,\dots,n$. Тогда для любых вещественных $\delta_k$, $k=1,\dots,n$, справедливо неравенство Доказательство. Можно считать, что $\delta_k\ne 0$, $k=1,\dots,n$. Фиксируем число $\rho$, $1/R<\rho<1$, и положим $\zeta_k=\rho z_k$, $w_k=f(\zeta_k)$, $k=1,\dots,n$. Далее приняты обозначения и понятия из книги [7; часть 2.2]. Рассмотрим следующие конденсаторы:
$$
\begin{equation}
\operatorname{cap}C^*_w(r)=2\operatorname{cap}C_w(r) \ge 2\operatorname{cap}\widetilde C_w(r) =2\operatorname{cap}C_z(r)=\operatorname{cap}C^*_z(r).
\end{equation}
\tag{2}
$$
По [7; теорема 2.1]
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{cap}C^*_w(r) &=-4\pi\sum_{k=1}^n\frac{\delta_k^2}{\log r} -2\pi\biggl\{\sum_{k=1}^n\delta_k^2 \biggl[\log r(K(M^2),w_k)+\log\frac{r(K(M^2),M^2/\overline w_k)}{M^2/|w_k|^2}\biggr] \\ &\qquad{}+\sum_{k=1}^n\sum_{\substack{{l=1}\\ {l\ne k}}}^n \delta_k\delta_l\biggl[g_{K(M^2)}(w_k,w_l)+g_{K(M^2)}\biggl(\frac{M^2}{\overline w_k}, \frac{M^2}{\overline w_l}\biggl)\biggr] \\ &\qquad{}+2\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^n\delta_k\delta_l g_{K(M^2)}\biggl(\frac{M^2}{\overline w_k}, w_l\biggr)\biggr\} \biggl(\frac{1}{\log r}\biggr)^2 + o\biggl(\biggl(\frac{1}{\log r}\biggr)^2\biggr), \qquad r\to 0, \\ \operatorname{cap}C^*_z(r) &=-4\pi\sum_{k=1}^n\frac{\delta_k^2}{\log r} -2\pi\biggl\{\sum_{k=1}^n \delta_k^2\biggl[\log\frac{r(K(R^2),\zeta_k)}{1/|f'(\zeta_k)|} +\log\frac{r(K(R^2),R^2/\overline\zeta_k)}{(R^2/|\zeta_k|^2)/|f'(\zeta_k)|}\biggr] \\ &\qquad{}+\sum_{k=1}^n\sum_{\substack{{l=1}\\ {l\ne k}}}^n \delta_k\delta_l\biggl[g_{K(R^2)}(\zeta_k,\zeta_l) +g_{K(R^2)}\biggl(\frac{R^2}{\overline\zeta_k},\frac{R^2}{\overline\zeta_l}\biggr)\biggr] \\ &\qquad{}+2\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^n \delta_k\delta_lg_{K(R^2)}\biggl(\frac{R^2}{\overline\zeta_k},\zeta_l\biggr)\biggr\} \biggl(\frac{1}{\log r}\biggr)^2 + o\biggl(\biggl(\frac{1}{\log r}\biggr)^2\biggr),\qquad r\to 0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя выписанные асимптотики в (2) и переходя к пределам последовательно $r\to 0$, $\rho\to 1$, после несложных преобразований приходим к неравенству
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &2\sum_{k=1}^n\delta^2_k\log r(K(M^2),f(z_k)) +2\sum_{k=1}^n\sum_{\substack{{l=1}\\ {l\ne k}}}^n \delta_k\delta_lg_{K(M^2)}(f(z_k),f(z_l)) -\sum_{k=1}^n \delta^2_k\log|f'(z_k)| \\ &\qquad\le 2\sum_{k=1}^n\delta^2_k\log r(K(R^2),z_k) +2\sum_{k=1}^n\sum_{\substack{{l=1}\\ {l\ne k}}}^n \delta_k\delta_lg_{K(R^2)}(z_k,z_l) +\sum_{k=1}^n\delta^2_k\log |f'(z_k)|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Это неравенство совпадает с неравенством (1). Если теперь $f(z)=G(z;n,R,M)$, $z_k=R\exp(i(\pi/n+2\pi k/n))$ и $\delta_k=1$, $k=1,\dots,n$, то производная по нормали к части границы $\partial f(K(R))\setminus\{w\colon |w|=1\}$ от потенциальной функции конденсатора $C_w(r)$ обращается в нуль (за исключением конечного числа точек, где она не определена). Это влечет равенство в (2) и, следовательно, в (1). Теорема 1 доказана2. Пусть $F$ – голоморфная и однолистная функция в круге $|z|<1$, удовлетворяющая условиям $F(0)=0$ и $|F(z)|<1$ при $|z|<1$. Предположим, что $F$ имеет $n$ граничных неподвижных точек $z_k$, $k=1,\dots,n$, т.е. угловые пределы $f(z_k)=z_k$, $|z_k|=1$, $k=1,\dots,n$. Рассматривая $F$ как предел функций вида $f(zR)/M$, где $R/M=|F'(0)|$, $f\in \mathfrak M(R,M)$, $R\to\infty$, и применяя к $f$ неравенство (1), после несложных вычислений получаем
$$
\begin{equation}
\prod_{k=1}^n|F'(z_k)|^{\delta^2_k} \ge|F'(0)|^{-(1/2)(\sum_{k=1}^n\delta_k)^2}.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Это неравенство было установлено Андерсоном и Васильевым при дополнительном ограничении: $\delta_k\ge 0$, $k=1,\dots,n$ [9; теорема 5.1]. Доказательство (3) для произвольных $\delta_k$ представлено в [10; теорема 4]. Частный случай (3) встречается также в работах [4], [11] и [12]. В случае $\sum_{k=1}^{n-1}\delta_k=1$, $\delta_n=-1$ и $\delta_k\ge 0$, $k=1,\dots,n-1$, но без требования $F(0)=0$ неравенство (3) получено в [13]. Доказательство (3) без требования $F(0)=0$ и только при условии $\sum_{k=1}^n\delta_k=0$ дано в [14]. Теорема 2. Для функции $f$ клаасса $\mathfrak M(R,M)$ при любом вещественном $\theta$ и $n\ge 1$ справедлива оценка Доказательство теоремы 2 повторяет по существу доказательство теоремы 7.18 из [7] с той лишь разницей, что функцию $G(z;n,R)$ в [7] необходимо заменить на $G(z;n,R,M)$ и воспользоваться результатом [15] вместо теоремы 6.11 в [7]. Интересно отметить, что среднее геометрическое в левой части неравенства (4) нельзя заменить на среднее арифметическое. Действительно, в точках $z$ на окружности $|z|=1$ выполняется
$$
\begin{equation*}
|f'(z)|=\frac{zf'(z)}{f(z)}=\sum_{k=-\infty}^\infty c_kz^k,\qquad \text{где}\quad c_0=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Точная оценка с участием среднего арифметического привела бы стандартным путем к точной оценке $n$-го логарифмического коэффициента функции класса $S$, в которой экстремальная функция обладает $n$-кратной симметрией. Последнее, как известно, не имеет места уже при начальном значении $n=3$. Теорема 3. Если функция $f$ принадлежит классу $\mathfrak M(R,M)$ и если для некоторого вещественного числа $\theta$ и точек $z_k$, $k=1,\dots,n$, расположенных на окружности $|z|=1$, выполняется $f(z_k)=\exp(i(\theta+2\pi k/n))$, $k=1,\dots,n$, то Равенство достигается в случае $f(z)=e^{i\theta}G(z;n,R,M)$ и для точек Доказательство. Можно считать, что $\theta=0$. При достаточно малом $r>0$ рассмотрим следующие конденсаторы с двумя пластинами [7; часть 1.2]:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{cap}C_z^*(r)\ge\operatorname{cap}C_z(r) =\operatorname{cap}C_w(r) \ge\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n\operatorname{cap}\mathscr C_k(r).
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя принцип симметризации [7; теорема 4.1] и результат Маркуса [7; теорема 3.13], имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{cap}\mathscr C_k(r) &\ge\operatorname{cap}\operatorname{St}\mathscr C_k(r),\qquad k=1,\dots,n, \\ \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\operatorname{cap}\operatorname{St}\mathscr C_k(r) &\ge\operatorname{cap}\mathbb R_A\{\operatorname{St}\mathscr C_k(r)\}_{k=1}^n. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Суммируя выписанные неравенства, получаем
$$
\begin{equation}
\operatorname{cap}C^*_z(r) \ge\frac{n}{2}\operatorname{cap}\mathbb R_A\{\operatorname{St}\mathscr C_k(r)\}_{k=1}^n.
\end{equation}
\tag{5}
$$
Заметим, что для функции $f(z)=G(z;n,R,M)$ во всех неравенствах выше, включая (5), имеет место знак равенства. Поэтому из монотонности емкости и (5) вытекает
$$
\begin{equation}
\prod_{k=1}^n\operatorname{Re}\sqrt{f^{-n}((1+r)z_k)} \le\prod_{k=1}^n\operatorname{Re}\sqrt{G^{-n}((1+r)z^*_k;n,R,M)} \qquad (\sqrt{1}=1).
\end{equation}
\tag{6}
$$
В условиях теоремы 3 справедливы разложения
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Re}\sqrt{f^{-n}((1+r)z_k)} =\operatorname{Re}\biggl[\sqrt{f^{-n}(z_k)} \biggl(1-\frac{n}{2}\,\frac{z_kf'(z_k)}{f(z_k)}r+o(r)\biggr)\biggr],\qquad r\to 0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $z_kf'(z_k)/f(z_k)=|f'(z_k)|$, $k=1,\dots,n$. Подставляя эти разложения в неравенство (6) и учитывая симметрию функции $G(z;n,R,M)$, приходим к неравенству теоремы. Теорема 3 доказана. 3. Производная Шварца на границеДругой взгляд на знаменитую теорему Бёрнса–Кранца о жесткости голоморфного отображения [16] привел к серии граничных оценок производной Шварца $S_f$ голоморфной функции $f$, отображающей единичный круг в себя [17]–[19];
$$
\begin{equation*}
S_f(z)=\biggl(\frac{f''(z)}{f'(z)}\biggr)' -\frac{1}{2}\biggl(\frac{f''(z)}{f'(z)}\biggr)^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Мы продолжаем здесь эту тематику для голоморфных ограниченных в кольце функций, но только в случае однолистного отображения. Заметим, что полученная нами ранее точная оценка с участием шварциана [6; теорема 6] вырождается при $|z|\to 1$. Пример содержательной оценки в точках окружности $|z|=1$ дает следующий результат. Теорема 4. Пусть функция $f$ принадлежит классу $\mathfrak M(R,M)$ и $f(-1)=-1$. Тогда Равенство достигается в случае $f(z)=G(z;1,R,M)$. Доказательство. Нам понадобятся конденсаторы с двумя и тремя пластинами [7; часть 1.3]. При фиксированном $\theta$, $\pi/2<\theta<\pi$, и достаточно малом $r>0$ рассмотрим конденсаторы
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, C_1(r) &=\bigl(\overline{\mathbb C}_\zeta,\,\{E^+(r),E^-(r)\},\,\{1,-1\}\bigr), \\ C_2(r) &=\biggl(\overline{\mathbb C}_\zeta,\,\biggl\{E^+(r),E^-(r), \biggl[0,\frac{1}{G(R;R)}\biggr] \cup[G(R;R),+\infty]\biggr\},\,\{1,-1,0\}\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
E^+(r)=\{\zeta\colon |\zeta-e^{i \theta}|\le r\},\qquad E^-(r)=\{\zeta\colon |\zeta-e^{-i\theta}|\le r\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Ввиду симметрии конденсатора $C_1$ относительно вещественной оси Пусть $C_3(r)$ – “образ” конденсатора $C_2(r)$ при отображении $g:=f\circ G^{-1}(\,\cdot\,;R)$ (функция $f$ рассматривается в кольце $1/R<|z|<R$). Монотонность емкости дает
$$
\begin{equation*}
\operatorname{cap}C_2(r)=\operatorname{cap}C_3(r)\ge\operatorname{cap}C_4(r),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, C_4(r)&=\biggl(\biggl\{w\colon \frac{1}{M}<|w|<M\biggr\},\, \\ &\phantom{=\biggl(}\qquad \biggl\{g(E^+(r)),g(E^-(r)),\biggl\{\zeta\colon |\zeta|=\frac{1}{M}\text{ или }|\zeta|=M\biggr\}\biggr\},\{1,-1,0\}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец рассмотрим конденсатор
$$
\begin{equation*}
C_5(r)=\bigl(\overline{\mathbb C}_\eta,\bigl\{G(g(E^+(r));M),G(g(E^-(r));M)\bigr\},\,\{1,-1\}\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Из конформной инвариантности и монотонности емкости следует Окончательно получаем при любом достаточно малом $r>0$. Применяя асимптотическую формулу для емкости конденсатора [7; теорема 2.5], приходим к выводу, что
$$
\begin{equation}
-2\log|e^{i\theta}-e^{-i \theta}| \ge\log|F'(e^{i\theta})F'(e^{-i\theta})| -2\log|F(e^{i\theta})-F(e^{-i\theta})|,
\end{equation}
\tag{7}
$$
где Отсюда
$$
\begin{equation*}
-\operatorname{Re}\frac{F'(e^{i\theta})F'(e^{-i\theta})}{(F(e^{i \theta})-F(e^{-i\theta}))^2} +\frac{1}{(e^{i\theta}-e^{-i\theta})^2}\le 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Устремляя $\theta\to\pi$, получаем неравенство (см., например, [20; формулы П2.46 и П2.47]). Для вычисления производной Шварца от суперпозиции применяем известную формулу
$$
\begin{equation*}
S_{\varphi\circ\psi}=(S_{\varphi}\circ\psi)(\psi')^2+S_\psi.
\end{equation*}
\notag
$$
После простых преобразований имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_F(-1) &=S_{G(\,\cdot\,;M)}(-1)\biggl(\frac{f'(-1)}{G'(-1;R)}\biggr)^2 \\ &\qquad +S_f(-1)\biggl(\frac{1}{G'(-1;R)}\biggr)^2 -S_{G(\,\cdot\,;R)}(-1)\biggl(\frac{1}{G'(-1;R)}\biggr)^2, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что вместе с (8) дает неравенство теоремы 4. Случай равенства проверяется непосредственным вычислением производной Шварца. Теорема 4 доказана. Теорема 5. Пусть функция $f$ принадлежит классу $\mathfrak M(R,M)$, и пусть, дополнительно, $f$ определена на некоторой открытой дуге окружности $|z|=R$, содержащей точку $z=-R$, трижды дифференцируемая в этой точке и отображает указанную дугу на дугу окружности $|w|=M$ так, что $f(-R)=-M$. Тогда имеет место оценка Равенство достигается в случае $f(z)=G(z;1,R,M).$ Доказательство. Фиксируем $\theta$, $0<\theta<\pi$, достаточно близкое к $\pi$, и достаточно малое $r>0$. Пусть $C_1(r)$ – конденсатор из доказательства предыдущей теоремы, и пусть на этот раз
$$
\begin{equation*}
C_2(r)=\biggl(\overline{\mathbb C}_\zeta,\,\biggl\{E^+(r),E^-(r),\biggl[0,\frac{1}{G(M;M)}\biggr] \cup[G(M;M),+\infty]\biggr\},\,\{1,-1,0\}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Как и выше, Обозначим через $C_3(r)$ “образ” конденсатора $C_2(r)$ при отображении функцией Монотонность емкости дает
$$
\begin{equation*}
\operatorname{cap}C_2(r) =\operatorname{cap}C_3(r)\ge\operatorname{cap}C_4(r),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, C_4(r) &=\biggl(f(K(R))\cup\biggl\{w\colon \frac{M^2}{\overline w}\in f(K(R))\biggr\}\cup\gamma, \\ &\phantom{=\biggl(}\qquad\bigl\{g(E^+(r)),g(E^-(r)),\{w\colon |w|=1\text{ или }|w|=M^2\}\bigr\},\,\{1,-1,0\}\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
$\gamma$ – открытая дуга окружности $|w|=M$, принадлежащая границе $\partial f(K(R))$ и содержащая точки $-M$, $g(e^{i\theta})$, $g(e^{-i\theta})$. Наконец, рассмотрим “образ” $C_5(r)$ конденсатора $C_4(r)$ при отображении Вновь из конформной инвариантности и монотонности следует
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \operatorname{cap}C_4(r) =\operatorname{cap}\,C_5(r)\ge\operatorname{cap}C_6(r), \\ C_6(r) :=\bigl(\overline{\mathbb C}_\eta,\,\{h(g(E^+(r))),h(g(E^-(r)))\},\,\{1,-1\}\bigr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Окончательно, при любом достаточно малом $r>0$. Применение асимптотической формулы [7; теорема 2.5], как и при доказательстве теоремы 4, дает неравенство вида (7), где на этот раз Предельный переход при $\theta\to\pi$ приводит к неравенству (8). Остается посчитать производную Шварца от суперпозиции функций и заметить, что для функции $f(z)=G(z;1,R,M)$ во всех приведенных выше неравенствах для емкостей конденсаторов и, следовательно, для шварциана имеет место знак равенства. Теорема 5 доказана. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Dub23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|