| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Краткие сообщения Группы Ходжа и Мамфорда–Тэйта абелева многообразия, комплексное умножение и элементы Фробениуса С. Г. Танкеев Владимирский государственный университет им. А. Г. и Н. Г. Столетовых
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623030331 
Реферативные базы данных:
  1. О группах Ходжа и Мамфорда–Тэйта абелева многообразияПусть $J$ – $g$-мерное комплексное абелево многообразие. Разложение Ходжа
$$
\begin{equation*}
H^1(J,\mathbb{Q})\otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{C}= H^{1,0}(J,\mathbb{C})\oplus H^{0,1}(J,\mathbb{C})
\end{equation*}
\notag
$$
дает действие $h_1\colon U^1\to\operatorname{GL}(H^1(J,\mathbb{R}))$ единичной окружности $U^1\overset{\rm def}{=}\{e^{i\theta}\mid \theta\in\mathbb{R}\}$ на вещественном пространстве $H^1(J,\mathbb{R})$, определенное формулой
$$
\begin{equation*}
h_1(e^{i\theta})(v^{p,q})=e^{-i\theta(p-q)}\cdot v^{p,q}
\end{equation*}
\notag
$$
для $v^{p,q}\in H^{p,q}(J,\mathbb{C})$ [1; определение B.42]. Группа Ходжа $\operatorname{Hg}(J)$ является наименьшей алгебраической $\mathbb{Q}$-подгруппой в $\operatorname{GL}(H^1(J,\mathbb{Q}))$, группа $\mathbb{R}$-точек которой содержит группу $h_1(U^1)$ [1; определение B.51]. Она является связной редуктивной $\mathbb{Q}$-группой и естественное действие $\operatorname{Hg}(J)$ на $H^1(J,\mathbb{Q})$ определяет отождествление [1; лемма B.60]
$$
\begin{equation}
\operatorname{End}^0_\mathbb{C}(J)= \operatorname{End}_{\operatorname{Hg}(J)}H^1(J,\mathbb{Q}).
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Пусть
$$
\begin{equation}
\operatorname{MT}(J)= \operatorname{Gm}_{\mathbb{Q}}\cdot\operatorname{Hg}(J)
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
– группа Мамфорда–Тэйта, т.е. почти прямое произведение внутри $\operatorname{GL}(H^1(J,\mathbb{Q}))$ группы гомотетий $\operatorname{Gm}_{\mathbb{Q}}$ $\mathbb{Q}$-пространства $H^1(J,\mathbb{Q})$ (представленной $\mathbb{Q}$-линейными операторами $\lambda\cdot \operatorname{id}_{H^1(J,\mathbb{Q})}$ с коэффициентами $\lambda\in\mathbb{Q}^\times$) и группы Ходжа $\operatorname{Hg}(J)$ (см. [1; определение B.51, лемма B.53], [2; п. (1.11)], [3; замечание к определению 15.2.1]). Поляризация на $J$ дает форму поляризации
$$
\begin{equation*}
\varphi\colon H^1(J,\mathbb{Q}) \bigotimes_{\mathbb{Q}}H^1(J,\mathbb{Q})\to\mathbb{Q}(-1).
\end{equation*}
\notag
$$
По определению мультипликатор $\nu\colon \operatorname{GSp}(H^1(J,\mathbb{Q}),\varphi)\to \operatorname{Gm}_{\mathbb{Q}}$ $\mathbb{Q}$-группы симплектических подобий является характером, определенным равенством $\varphi(hv,hw)=\nu(h)\cdot\varphi(v,w)$ для всех $h\in\operatorname{GSp}(H^1(J,\mathbb{Q}),\varphi)$ и $v,w\in H^1(J,\mathbb{Q})$ [4; п. (5.2)]. Известно (см. [5; п. 3.6], [4; п. (5.8)]), что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Hg}(J)=\operatorname{Ker}\bigl[\operatorname{MT}(J) \hookrightarrow \operatorname{GSp}(H^1(J,\mathbb{Q}),\varphi) \xrightarrow{\nu}\operatorname{Gm}_{\mathbb{Q}}\bigr]= \operatorname{MT}(J)\cap \operatorname{Sp}(H^1(J,\mathbb{Q}),\varphi).
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь мы дадим другое описание $\operatorname{Hg}(J)$ в терминах $\operatorname{MT}(J)$. Доказательство. Поскольку $\det(\lambda\cdot\operatorname{id}_{H^1(J,\mathbb{Q})})= \lambda^{2g}$ и $\det\operatorname{Hg}(J)=1$ согласно [1; лемма B.53], то теорема следует из (1.2) и из равенств 2. Комплексное умножение и элементы ФробениусаДалее считаем, что $J$ – простое комплексное абелево многообразие CM типа $(K,\Phi)$, где $K \overset{\rm def}=\operatorname{End}^0_\mathbb{C}(J)$ – чисто мнимое квадратичное расширение вполне вещественного подполя $K_0 \subset K$, $[K:\mathbb{Q}]= 2g$, $\Phi=\{\varphi_1,\dots,\varphi_g\}$ – множество различных попарно несопряженных вложений полей $\varphi_k\colon K \hookrightarrow \mathbb{C}$. Известно, что $J$ изогенно комплексному тору $\mathbb{R}\otimes_{\mathbb{Q}} K/1 \otimes_{\mathbb{Z}} \mathscr O_K$ с умножениями из кольца $\mathscr O_K$ целых алгебраических чисел в поле $K$ [6; § 22, первый пример]. Рассматривая $J$ с точностью до изогении, мы можем (и будем) предполагать согласно [7; гл. 1, теорема 4.1] и [8; теорема 1], что абелево многообразие $J$ главное [9; с. 118]; другими словами, По теореме Мамфорда [10] группа Ходжа $\operatorname{Hg}(J)$ является линейным $\mathbb{Q}$-тором. Следовательно, в силу (1.1), (1.2) и [1; лемма B.60, замечание B.67] мы получаем вложения
$$
\begin{equation}
\operatorname{Hg}(J) \hookrightarrow \operatorname{MT}(J) \hookrightarrow \operatorname{Res}_{K/\mathbb{Q}} \operatorname{Gm}_K(\mathbb{Q})=K^\times.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Мы можем (и будем) предполагать, что $J$ и эндоморфизмы в кольце $\operatorname{End}_\mathbb{C}(J)$ определены над числовым подполем $k \subset \mathbb{C}$ степени $[k:\mathbb{Q}]<\infty$ [11; гл. III, предложение 26]. В силу результатов Серра и Тэйта [12; теорема 6] мы можем также предполагать, что абелево многообразие $J$ над числовым полем $k$ имеет хорошую редукцию $J_v$ в любой неархимедовой точке $v$ поля $k$. Для простого числа $l$ пусть $T_l(J)=\varprojlim_n J(\overline k)_{l^n}$ – модуль Тэйта, ассоциированный с абелевым многообразием $J$, и пусть
$$
\begin{equation*}
\rho_l\colon\operatorname{Gal}(\overline k/k)\to \operatorname{Aut}_{\mathbb{Z}_l}T_l(J) \subset \operatorname{GL}(V_l(J))\overset{\rm def}= \operatorname{GL}(H^1_{\mathrm{\unicode{x00E9}t}} (J\otimes_k\overline k,\mathbb{Q}_l)^\vee)
\end{equation*}
\notag
$$
– естественное $l$-адическое представление. Оно определяет естественное вложение алгебр Ли (см. [13; теорема 4], [14; следствие 3.17])
$$
\begin{equation}
\operatorname{Lie}\operatorname{Im}(\rho_l)\hookrightarrow \operatorname{Lie} \operatorname{MT}(J)(\mathbb{Q}_l).
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Пусть $\overline v$ – любое продолжение $v$ на алгебраическое замыкание $\overline k$ числового поля $k$, $D(\overline v) \subset \operatorname{Gal}(\overline k/k)$ – подгруппа разложения, $I(\overline v) \subset D(\overline v)$ – подгруппа инерции и $F_{\overline v}$ – каноническая топологическая образующая (элемент Фробениуса) в топологии Крулля на факторгруппе (см. [15; гл. I, § 2, п. 2.1], [12; § 1])
$$
\begin{equation*}
D(\overline v)/I(\overline v) \widetilde{\to} \operatorname{Gal}(\overline{\kappa(v)}/\kappa(v)).
\end{equation*}
\notag
$$
Если $l$ отличается от характеристики $p_v$ конечного поля вычетов $\kappa(v)$, то $\rho_l$ неразветвлено в неархимедовой точке $v$ (другими словами, $\rho_l(I(\overline v))=1$) [12; теорема 1]. Согласно теории комплексного умножения, представление $\rho_l$ абелево, соответствующий элемент Фробениуса
$$
\begin{equation*}
F_{v,\rho_l}\overset{\rm def}=\rho_l(F_{\overline v})
\end{equation*}
\notag
$$
принадлежит
$$
\begin{equation*}
K^\times=\operatorname{Res}_{K/\mathbb{Q}} \operatorname{Gm}_K(\mathbb{Q})
\end{equation*}
\notag
$$
(см. [12; теорема 10], [16; с. 364], [11; гл. III, § 13, теорема 1], [15; гл. II, § 2, п. 2.8]). Далее мы предполагаем, что $k/\mathbb{Q}$ – нормальное расширение и поле $k$ содержит все поля, сопряженные полю $K$. Если $p_v$ неразветвлено в поле $K$ (это выполняется, например, если $p_v$ неразветвлено в $k$, потому что по построению мы имеем включение $K \subseteq k$), то согласно (2.1) и современному варианту [17; теорема 8.1] теоремы Шимуры–Таниямы [9; гл. III, § 13, теорема 1] элемент Фробениуса $F_{v,\rho_l}$ принадлежит кольцу $\mathscr O_K$ целых алгебраических чисел в поле $K$ и может быть отождествлен через редукцию с геометрическим Фробениусом $\operatorname{Frob}_{J_v}\colon J_v\to J_v$. Если точка $v$ имеет абсолютную степень $1$ и неразветвлена над $\mathbb{Q}$, то абелево многообразие $J_v$ простое и $\operatorname{End}^0_{\kappa(v)}(J_v)=K$ [11; гл. III, § 13, теорема 2]. Пусть $G_{V_l}$ – алгебраическая оболочка группы $\operatorname{Im}(\rho_l)$ (наименьшая алгебраическая подгруппа в $\operatorname{GL}(V_l(J))$, определенная над $\mathbb{Q}_l$, для которой $\operatorname{Im}(\rho_l)$ содержится в $G_{V_l}(\mathbb{Q}_l)$). Известно, что $\operatorname{Lie}\operatorname{Im}(\rho_l)$ алгебраическая [18] (эквивалентно, $\operatorname{Lie}\operatorname{Im}(\rho_l)= \operatorname{Lie} G_{V_l}$). Для выбранного простого числа $l$ мы можем (и будем) считать, что множество $J(k)$ всех $k$-рациональных точек $J$ содержит группу $J(\overline k)_{l^2}$ всех $\overline k$-точек, аннулируемых числом $l^2$ и, следовательно, алгебраическая $\mathbb{Q}_l$-группа $G_{V_l}$ связная [19; предложение (3.6)]. Принимая во внимание, что $F_{v,\rho_l}\in \operatorname{Res}_{K/\mathbb{Q}}\operatorname{Gm}_K(\mathbb{Q})$, мы можем считать согласно (2.3), (1.2), что
$$
\begin{equation}
\operatorname{Im}(\rho_l) \hookrightarrow G_{V_l} \hookrightarrow \operatorname{MT}(J)(\mathbb{Q}_l),
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
F_{v,\rho_l}\in\operatorname{MT}(J)(\mathbb{Q}_l) \cap \operatorname{Res}_{K/\mathbb{Q}}\operatorname{Gm}_K(\mathbb{Q}) \hookrightarrow \operatorname{MT}(J)(\mathbb{Q}).
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Мы говорим, что $k$ – достаточно большое числовое поле, если все предположения о $(J,k,l)$, сделанные в этом пункте, выполняются. Теорема 2.1. Пусть $J$ – абсолютно простое главное абелево многообразие CM типа $(K,\Phi)$ над достаточно большим числовым полем $k$, $[k:\mathbb{Q}]<\infty$, $v$ – неархимедова точка поля $k$ абсолюной степени $1$ и неразветвленная над полем $\mathbb{Q}$. Тогда если $l\ne p_v$, то Доказательство. Прежде всего, из (1.2) и (2.4) вытекает, что $p_v^{-1}\cdot F_{v,\rho_l}^2\in\operatorname{MT}(J)(\mathbb{Q})$. Следовательно, остается показать согласно теореме 1.1, что $\det(p_v^{-1}\cdot F_{v,\rho_l}^2)=1$. При выполнении предположений, сделанных выше в этом пункте, мы имеем равенство $\operatorname{End}^0_{\kappa(v)}(J_v)=K$, так что характеристический полином линейного оператора $F_{v,\rho_l}$ (совпадающий с характеристическим полиномом эндоморфизма Фробениуса $\operatorname{Frob}_{J_v}\colon J_v\to J_v$) не имеет кратных корней [20; теорема 2], любое собственное число $\lambda\in{\overline{\mathbb{Q}}}$ оператора $F_{v,\rho_l}$ является целым алгебраическим числом и для любого вложения полей $\varphi\colon\overline{\mathbb{Q}} \hookrightarrow \mathbb{C}$ имеем $|\varphi(\lambda)|=p_v^{1/2}$ согласно хорошо известной теореме Вейля [21; § 1], [6; § 21, теорема 4]. Принимая во внимание, что $p_v/\lambda=\overline{\lambda}$ – корень характеристического полинома согласно [6; § 21, теорема 4], мы видим, что $\lambda\ne\overline{\lambda}$ (иначе мы имели бы $\lambda^2=p_v$ и $\operatorname{End}^0_{\kappa(v)}(J_v)$ – кватернионная алгебра с делением над ее центром [21; § 1, примеры], что противоречит коммутативности кольца $\operatorname{End}^0_{\kappa(v)}(J_v)=K$). Следовательно, и поэтому Теорема доказана.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Tan23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|