| Математические заметки |
|
|
|
|
|
О некоторых свойствах решений систем дифференциальных уравнений с переключением А. О. Игнатьев Институт прикладной математики и механики, г. Донецк
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623070076 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеДискретно управляемые непрерывные системы представляют важный класс гибридных систем, в которых непрерывный процесс регулируется дискретным управлением [1], [2]. Многие системы, встречающиеся в реальной жизни, демонстрируют переключение между несколькими подсистемами [3], [4]. При этом само переключение зависит от различных факторов окружающей среды. Примеры таких систем можно найти в [1], [5]–[7]. Исследование систем с переключением является одной из актуальных проблем теории управления [8]–[10]. Система с переключениями представляет собой гибридную динамическую систему, состоящую из семейства подсистем и закона переключения, определяющего в каждый момент времени, какая из подсистем является активной. Системы такого рода применяются при моделировании механических, энергетических и технологических процессов. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с переключением вида где $t\in \mathbb{R}_+=[0,+\infty)$ – время, $x\in\mathbb{R}^n$, $X_{\sigma}\in\mathbb{R}^n$, а $\sigma$ представляет собой кусочно постоянную функцию из $\mathbb{R}_+$ или из $\mathbb{R}^n$ в $\mathcal{P}=\{1,\dots,N\}$, где $N$ – либо натуральное число, либо $+\infty$. Функция $\sigma$ называется переключающим сигналом: она принимает постоянное значение на любом интервале между двумя последовательными моментами переключения и задает векторное поле, определяющее эволюцию системы в каждый момент времени. В работах [11]–[16] рассматриваются системы вида (1), в которых $\sigma=\sigma(t)$, в статьях [7], [17]–[20], [6] предполагается $\sigma=\sigma(x(t))$, и, наконец, в [21], [22] $\sigma=\sigma(t,x(t))$. Функция $\sigma$ обычно предполагается непрерывной справа. Будем предполагать, что на каждом конечном промежутке времени переключающий сигнал имеет не более конечного числа точек разрыва. Функция $x\colon\mathbb{R}_+\to \mathbb{R}^n$ называется решением системы (1), если она непрерывна и кусочно непрерывно-дифференцируема, и если существует переключающий сигнал $\sigma$, такой, что равенство (1) справедливо для всех $t$ кроме моментов переключения функции $\sigma$.Для $1\leqslant i\leqslant N$ $i$-й подсистемой системы (1) является система дифференциальных уравнений Мы можем рассматривать систему (1) как систему, состоящую из подсистем $\mathcal{P}_i$, переходящих друг в друга в моменты переключений $t_s$. В работах [23]–[26] изучается устойчивость положения равновесия системы вида (1), когда функции $X_i$ не зависят явно от $t$ либо зависят, но система (1) допускает положение равновесия при $x=0$. Работы [23], [2], [27] посвящены изучению периодических решений системы (1).2. Оценка периодов периодических решений систем с переключениемВ настоящем разделе предполагается, что система (1) допускает периодическое решение $x(t)$. Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений с переключеним (1), где $\{t_s\}$ – множество моментов переключения. $i$-й (активной) подсистемой этой системы является система дифференциальных уравнений (2), где $i=\sigma(t_s)$. Здесь $t\in(t_{s},t_{s+1})\subset \mathbb{R}_+=[0,\infty)$ – время, $x=(x_1,\dots,x_n)\in \mathbb{R}^n$, $X_i\colon\mathbb{R}_+\times \Omega_*\to \mathbb{R}^n$, где $\Omega_*$ – некоторая область из $\mathbb{R}^n$, которая может совпадать с $\mathbb{R}^n$. Функция $X_i(t,x)=(X_{i1}(t,x),\dots,X_{in}(t,x))$ предполагается непрерывно дифференцируемой на множестве $(t_{s},t_{s+1})\times\Omega_*$. Предположим, что у этой системы имеется периодическое решение $x(t)$ с периодом $T>0$, лежащее во множестве $\Omega$, где $\Omega\subset\Omega_*$. Обозначим
$$
\begin{equation*}
a_i(t,x)=\bigl(a_{i1}(t,x),\dots,a_{in}(t,x)\bigr), \qquad i=1,\dots,N,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
a_{ik}(t,x)=\frac{\partial X_{ik}}{\partial t}+ \sum_{j=1}^n\frac{\partial X_{ik}}{\partial x_j}X_{ij}(t,x), \qquad i=1,\dots,N, \quad k=1,\dots,n.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть существует
$$
\begin{equation}
\lambda=\sup_{\substack{t\in\mathbb{R}_+\\x\in \Omega\\ 1\leqslant i\leqslant N}}\frac{\|a_i(t,x)\|}{\|X_i(t,x)\|}\,.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Здесь и в дальнейшем $\|\cdot\|$ обозначает евклидову норму вектора. Выясним связь между числами $T$ и $\lambda$. Вначале сформулируем вспомогательный результат, который был получен в статье [28] для случая $n=3$ и в работе [29] для произвольного $n$. Лемма 1. Пусть $u\colon \mathbb{R}_+\to\mathbb{R}^n$ непрерывная кусочно непрерывно-дифференцируемая периодическая функция с периодом $T$, такая что $\|u(t)\|\equiv1$. Тогда Следующая теорема является обобщением результатов работы [30] на системы дифференциальных уравнений с переключением. Теорема 1. Предположим, что $x(t)$ – периодическое решение с периодом $T$ системы обыкновенных дифференциальных уравнений с переключением (1) с активными подсистемами (2), такими что Пусть $\lambda$ – это число, вычисляемое согласно (3). Тогда Доказательство. Пусть $x(t)$ – нетривиальное (т.е. не являющееся положением равновесия) периодическое решение системы (1) с периодом $T$, и этому решению соответствует периодическая функция переключения с периодом $T$, т.е. $x(t)\equiv x(t+T)$, $\sigma(t)\equiv\sigma(t+T)$ при $t\in\mathbb{R}_+$. Отметим, что проверить условие (5) можно, например, в случае, если мы знаем, что решение $x(t)$ содержится во множестве $\Omega$, и при этом $\|X_i(t,x)\|\geqslant\delta>0$, $i=1,\dots,N$ для любого $x\in\Omega$. Обозначим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, y_i(t)=X_i(t,x(t))=(y_{i1}(t),\dots,y_{in}(t)), \qquad z_i(t)=\|y_i(t)\|, \\ u_i(t)=\frac{y_i(t)}{z_i(t)}=\bigl(u_{i1}(t),\dots,u_{in}(t)\bigr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что если $t$ не является моментом переключения системы (1), то $u_i(t)$ представляет собой единичный вектор, касательный к той части периодического решения $x(t)$, которая соответствует $i$-й подсистеме системы (2). Заметим, что $z_i(t)\geqslant\delta>0$ для любых $i$ и $t$. Принимая во внимание, что $\|u_i(t)\|^2\equiv1$, получаем Если $t$ – момент переключения, то под производной здесь и в дальнейшем понимается правая производная.
С другой стороны,
$$
\begin{equation}
\frac{d}{dt}(\|u_i(t)\|)^2= \frac{d}{dt}\bigl[u_{i1}^2(t)+\dots+u_{in}^2(t)\bigr]= 2\bigl[u_{i1}(t)u_{i1}'(t)+\dots+u_{in}(t)u_{in}'(t)\bigr].
\end{equation}
\tag{8}
$$
Сравнивая (7) и (8), получаем Дифференцируя функцию $y_i(t)=u_i(t)z_i(t)$ по $t$, получаем
$$
\begin{equation*}
y_i'(t)=u_i'(t)z_i(t)+u_i(t)z_i'(t)=\bigl(u_{i1}'(t)z_i(t)+ u_{i1}(t)z_i'(t),\dots,u_{in}'(t)z_i(t)+u_{in}(t)z_i'(t)\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber \|y_i'(t)\|^2&= \bigl[u_{i1}'(t)z_i(t)+u_{i1}(t)z_i'(t)\bigr]^2+\dots+ \bigl[u_{in}'(t)z_i(t)+u_{in}(t)z_i'(t)\bigr]^2 \\ \nonumber &=z_i^2(t)\bigl[u_{i1}'^2(t)+\dots+u_{in}'^2(t)\bigr]+ z_i'^2(t)\bigl[u_{i1}^2(t)+\dots+u_{in}^2(t)\bigr] \\ &\qquad+2z_i(t)z_i'(t)\bigl[u_{i1}(t)u_{i1}'(t)+\dots+ u_{in}(t)u_{in}'(t)\bigr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10}
$$
Учитывая тождество (7), имеем Оценим $\|y_{ik}'(t)\|$. Наряду с моментом времени $t$ рассмотрим также момент времени $t+\Delta t$, где $\Delta t$ – достаточно малое приращение. Найдем приращение функции $y_{ik}$:
$$
\begin{equation*}
y_{ik}(t+\Delta t)-y_{ik}(t)=X_{ik}\bigl(t+\Delta t,x(t+\Delta t)\bigr)- X_{ik}(t,x(t))=a_{ik}(t,x(t))\Delta t+o(\Delta t),
\end{equation*}
\notag
$$
откуда, разделив обе части на $\Delta t$ и переходя к пределу при $\Delta t\to 0$, получаем $y_{ik}'(t)=a_{ik}(t,x(t))$, $\|y_i'(t)\|=\|a_i(t,x(t))\|$. Из (3) мы имеем $\|y_i'(t)\|\leqslant\lambda\|X_i(t,x(t))\|=\lambda\|y_i(t)\|$. Из (11) следует
$$
\begin{equation}
\|u_i'(t)\|\leqslant\frac{\|y_i'(t)\|}{z_i(t)}\leqslant \lambda\frac{\|y_i(t)\|}{z_i(t)}=\lambda.
\end{equation}
\tag{12}
$$
Решение $x(t)$ системы (1) является непрерывной функцией, а $x'(t)$ кусочно непрерывна. Пусть при изменении $t$ от $0$ до $T$ активными подсистемами последовательно являются подсистемы с номерами $i_1,i_2,\dots,i_m$ из множества систем (2) с моментами переключения $T_1,T_2,\dots,T_m$, где $T_m=T$. Тогда неравенство (4) может быть переписано в виде
$$
\begin{equation*}
2\pi\leqslant\int_0^{T_1}\|u_{i_1}'(t)\|\,dt+ \int_{T_1}^{T_2}\|u_{i_2}'(t)\|\,dt+\dots+ \int_{T_{m-1}}^T\|u_{i_m}'(t)\|\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Из последнего неравенства и (12) вытекает откуда получаем неравенство $T\geqslant 2\pi/\lambda$, завершающее доказательство теоремы. Пример. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с переключением Замечание 1. Соотношение (6) является точным (т.е. оно не может быть улучшено). Для доказательства справедливости этого замечания достаточно указать систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида (1), имеющую периодическое решение с периодом $T$, такое что $T=2\pi/\lambda$. Покажем, что в качестве такой системы может быть выбрана система без переключения
$$
\begin{equation}
x_1'=-\lambda x_2, \quad x_2'=\lambda x_1, \qquad \lambda>0.
\end{equation}
\tag{13}
$$
Находим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|X\|=\sqrt{\lambda^2 x_1^2+\lambda^2 x_2^2}= \lambda\sqrt{x_1^2+x_2^2}, \\ a_1=-\lambda^2x_1, \qquad a_2=-\lambda^2x_2, \qquad \|a\|=\lambda^2\sqrt{x_1^2+x_2^2}, \\ \sup_{\substack{t\in\mathbb{R}_+\\x\in \mathbb{R}^2\setminus 0}} \frac{\|a\|}{\|X\|}=\frac{\lambda^2\sqrt{x_1^2+x_2^2}} {\lambda\sqrt{x_1^2+x_2^2}}=\lambda. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Число является периодом любого ненулевого решения системы (13), т.е. для системы (13) справедливо равенство (14). Замечание 2. Пусть $T$ – значение величины периода периодического решения системы (1). Необходимым условием того, чтобы выполнялось равенство (14) является условие $\|y_i(t)\|=\mathrm{const}$. Для доказательства этого утверждения заметим, что неравенство (11) переходит в равенство $\|y'_i(t)\|=z_i(t)\|u'_i(t)\|$ только в случае $z_i'(t)=0$. 3. Обобщение неравенства Ляпунова на дифференциальные уравнения с переключенимЛяпунов [31] доказал неравенство, позволяющее оценить расстояние между двумя последовательными нулями решения линейного дифференциального уравнения второго порядка где $q(t)$ – непрерывная при $t\in[a,b]$ функция. Если $x(t)$ – нетривиальное решение дифференциального уравнения (15), такое что и $x(t)\ne 0$ при $t\in(a,b)$, то Это неравенство называется неравенством Ляпунова.Винтнер [32] заметил, что в неравенстве (17) функция $|q(t)|$ может быть заменена на Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переключением где, как и прежде, $\sigma\colon \mathbb{R}_+\to\mathcal{P}=\{1,2,\dots,N\}$ – это переключающий сигнал. Пусть $\{t_s\}_{s=1}^{\infty}$ – моменты переключения, такие что $0\leqslant t_0<t_1<t_2<t_3<\dots<+\infty$, $\lim_{s\to+\infty}t_s=+\infty$. Предположим, что функции $p_i(t)$ и $q_i(t)$ в тех интервалах $(t_s,t_{s+1})$, где $\sigma(t_s)=i$, непрерывны и ограничены. Мы приходим к семейству уравнений второго порядка в котором $p_i(t)$ и $q_i(t)$ – функции, которые определены, непрерывны и равномерно ограничены в соответствующих интервалах $(t_s,t_{s+1})$ (каждому такому интервалу соответствует свое значение $i$). Будем полагать, что количество моментов переключения конечно на любом ограниченном отрезке положительной полуоси. Предположим, что у уравнения (18) имеется решение $x(t)$, обращающееся в нуль последовательно в точках $t=a$ и $t=b$. Целью настоящего раздела статьи является получение оценки длины интервала $(a,b)$, такого, в котором решение $x(t)$ дифференциального уравнения второго порядка с переключением (18) отлично от нуля, и эта оценка зависит лишь от свойств функций $p_i(t)$ и $q_i(t)$. Следующая теорема является обобщением результатов работы [33] на дифференциальные уравнения с переключением. Перед тем, как формулировать теорему, определим функцию $\Phi(u,v)$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
\Phi(u,v)\begin{cases} \dfrac{2}{\sqrt{4v-u^2}}\biggl(\dfrac{\pi}{2}- \operatorname{arctg}\dfrac{u}{\sqrt{4v-u^2}}\biggr),&\text{если} \ 4v>u^2, \\ \dfrac{2}{u}\,,&\text{если} \ 4v=u^2, \\ \dfrac{1}{\sqrt{{u^2-4v}}} \ln\biggl(\dfrac{u+\sqrt{u^2-4v}}{u-\sqrt{u^2-4v}}\biggr),& \text{если} \ 4v<u^2. \end{cases}
\end{equation}
\tag{20}
$$
Теорема 2. Предположим, что $p_i(t)$ и $q_i(t)$ таковы, что существуют непрерывная функция $h(t)$, имеющая кусочно непрерывную ограниченную производную $h'(t)$ с точками разрыва первого рода, совпадающими с моментами переключения, и константы $P\geqslant0$ и $Q>0$, такие, что при $t\in(t_{s},t_{s+1})$ справедливы неравенства Доказательство. Обозначим
$$
\begin{equation}
x(t)=r(t)\cos\varphi(t), \qquad x'(t)=r(t)\sin\varphi(t)-h(t)r(t)\cos\varphi(t),
\end{equation}
\tag{22}
$$
где $r(t)>0$. Дифференцируя обе части этих равенств и учитывая (19), получаем при $t\in(t_{s},t_{s+1})$ следующие равенства:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &r'(t)\cos\varphi(t)-r(t)\varphi'(t)\sin\varphi(t)= r(t)\sin\varphi(t)-h(t)r(t)\cos\varphi(t), \\ &r'(t)\sin\varphi(t)+r(t)\varphi'(t)\cos\varphi(t)= -p_i(t)\bigl[r(t)\sin\varphi(t)-h(t)r(t)\cos\varphi(t)\bigr] \\ &\qquad-q_i(t)r(t)\cos\varphi(t)+h'(t)r(t)\cos\varphi(t) +h(t)\bigl[r(t)\sin\varphi(t)-h(t)r(t)\cos\varphi(t)\bigr], \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber r'(t)&=r(t)\bigl\{[-p_i(t)+h(t)]\sin^2\varphi(t) \\ \nonumber &\qquad+\bigl[1+p_i(t)h(t)-q_i(t)+h'(t)-h^2(t)\bigr] \sin\varphi(t)\cos\varphi(t)-h(t)\cos^2\varphi(t)\bigr\}, \\ \nonumber \varphi'(t)&=-\sin^2\varphi(t)+\bigl[2h(t)-p_i(t)\bigr] \sin\varphi(t)\cos\varphi(t) \\ &\qquad+\bigl[p_i(t)h(t)-q_i(t)+h'(t)-h^2(t)\bigr]]\cos^2\varphi(t). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{23}
$$
Пусть $t=a$ и $t=b$ таковы, что $x(a)=x(b)=0$, $x(t)\ne0$ при $t\in(a,b)$. Для определенности будем считать, что $x(t)>0$ при $t\in(a,b)$.
Согласно замене переменных (22), $x(t)$ может обращаться в нуль лишь тогда, когда $\cos\varphi(t)=0$. Учитывая, что в соответствии с (23) имеем $\varphi'(t)|_{\cos\varphi(t)=0}=-1$, следовательно, функция $\varphi(t)$ убывает при $\cos\varphi(t)=0$. Поэтому можно считать, что значение $t=a$ соответствует значению $\varphi=\pi/2$, а значение $t=b$ соответствует значению $\varphi=-\pi/2$. При изменении $t$ от значения $a$ до значения $b$ производная $\varphi'(t)$ ограничена, и величина $\varphi(t)$ непрерывно меняется от $\pi/2$ до $-\pi/2$. Следовательно, на $(a,b)$ существуют значения $t$ такие, что $\varphi(t)=0$. Обозначим $a_*$ и $b_*$ соответственно меньшее и большее из таких значений, т.е. $\varphi(a_*)=\varphi(b_*)=0$, причем $0<\varphi(t)<\pi/2$ при $t\in(a,a_*)$ и $-\pi/2<\varphi(t)<0$ при $t\in(b_*,b)$. Таким образом, при изменении $t$ от $a$ до $a_*$ значение $\varphi$ непрерывно меняется от $\pi/2$ до $0$. На $(a,a_*)$ имеем оценку
$$
\begin{equation*}
\frac{d\varphi}{dt}\geqslant -\sin^2\varphi-P\sin\varphi\cos\varphi-Q\cos^2\varphi,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получаем
$$
\begin{equation*}
\frac{d\varphi}{\sin^2\varphi+P\sin\varphi\cos\varphi+ Q\cos^2\varphi}\geqslant-dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Интегрируя это неравенство, имеем
$$
\begin{equation}
\int_{\pi/2}^0\frac{d\varphi} {\sin^2\varphi+P\sin\varphi\cos\varphi+Q\cos^2\varphi}\geqslant -\int_a^{a_*}dt.
\end{equation}
\tag{24}
$$
С помощью замены переменной $u=\operatorname{tg}\varphi$ получаем
$$
\begin{equation}
\int_{\pi/2}^0\frac{d\varphi} {\sin^2\varphi+P\sin\varphi\cos\varphi+Q\cos^2\varphi}= \int_{+\infty}^0\frac{du}{u^2+Pu+Q}=-\Phi(P,Q).
\end{equation}
\tag{25}
$$
Из неравенства (24) и равенства (25) получаем
На интервале времени $t\in(b_*,b)$ функция $\varphi(t)$ меняется от $0$ до $-\pi/2$; следовательно, имеет место следующая оценка:
$$
\begin{equation*}
\frac{d\varphi}{dt}\geqslant -\sin^2\varphi+P\sin\varphi\cos\varphi-Q\cos^2\varphi,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation*}
\frac{d\varphi} {\sin^2\varphi-P\sin\varphi\cos\varphi+Q\cos^2\varphi}\geqslant-dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Интегрируя полученное неравенство, получаем
$$
\begin{equation}
\int_0^{-\pi/2}\frac{d\varphi}{\sin^2\varphi- P\sin\varphi\cos\varphi+Q\cos^2\varphi}\geqslant-\int_{b_*}^b dt.
\end{equation}
\tag{27}
$$
С помощью замены переменной $u=\operatorname{tg}\varphi$ имеем
$$
\begin{equation}
\int_0^{-\pi/2}\frac{d\varphi} {\sin^2\varphi-P\sin\varphi\cos\varphi+Q\cos^2\varphi}= \int_0^{-\infty}\frac{du}{u^2-Pu+Q}= -\int_{-\infty}^0\frac{du}{u^2-Pu+Q}\,.
\end{equation}
\tag{28}
$$
Из соотношений (27) и (28) получаем Учитывая, что и складывая предыдущее неравенство с неравенством (26) получаем что и требовалось доказать. Замечание 3. Отметим, что согласно условиям теоремы неравенства (21) выполняются равномерно относительно $i\in\mathcal{P}$, и длина интервала $(a,b)$ оценивается не функциями $p_i(t)$ и $q_i(t)$, а константами $P$ и $Q$. Замечание 4. Полученная в теореме оценка является точной, т.е. существуют дифференциальные уравнения вида (19), в которых вместо нестрогого неравенства можно написать равенство. В качестве такого уравнения можно рассмотреть $x''(t)+x(t)=0$. В этом дифференциальном уравнении $p_i(t)\equiv0$, $q_i(t)\equiv1$; $h(t)$ выбираем тождественно равной нулю, а в качестве $P$ и $Q$ выбираем $P=0$, $Q=1$. В этом случае $\Phi(0,1)=\pi/2$, и расстояние между двумя последовательными нулями любого решения равно $\pi$. Сформулируем следствия из доказанной теоремы. При $h(t)\equiv 0$ теорема принимает следующий вид. Следствие 1. Предположим, что $p_i(t)$ и $q_i(t)$ таковы, что существуют константы $P\geqslant0$ и $Q>0$ такие, что на интервалах $(t_{s},t_{s+1})$ справедливы неравенства $|p_i(t)|\leqslant P$, $|q_i(t)|\leqslant Q$, $i=1,2,\dots,\infty$. Тогда для любого периодического решения $x(t)$ линейного дифференциального уравнения (18), удовлетворяющего свойствам справедливо неравенство $b-a\geqslant2\Phi(P,Q)$. Следствие 2. Если $p_i(t)=p(t)$, $i=1,\dots,N$, где $p(t)$ – непрерывно-дифференцируемая на $\mathbb{R_+}$ функция, то $b-a\geqslant2\Phi(P,Q)$, где Для доказательства полагаем $h(t)=p(t)$. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ign23} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|