| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Краткие сообщения Поперечники по Колмогорову пересечения двух конечномерных шаров в смешанной норме А. А. Васильеваab a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S000143462303029X 
Реферативные базы данных:
  В данной работе получены порядковые оценки колмогоровских поперечников пересечения двух конечномерных шаров в смешанной норме при некоторых ограничениях на параметры. Дадим необходимые определения. Пусть $m,k\in \mathbb{N}$, $1\leqslant p<\infty$, $1\leqslant \theta<\infty$. Через $\ell_{p,\theta}^{m,k}$ (при $k=1$ – через $\ell_p^m$) обозначим пространство $\mathbb{R}^{mk}$ с нормой
$$
\begin{equation*}
\|(x_{i,j})_{1\leqslant i\leqslant m,\, 1\leqslant j\leqslant k}\|_{\ell_{p,\theta}^{m,k}} =\biggl(\sum_{j=1}^k\biggl(\sum_{i=1}^m |x_{i,j}|^p\biggr)^{\theta/p}\biggr)^{1/\theta}
\end{equation*}
\notag
$$
(для $p=\infty$ или $\theta=\infty$ определение модифицируется естественным образом).
Через $B_{p,\theta}^{m,k}$ (при $k=1$ – через $B_p^m$) обозначим единичный шар пространства $\ell_{p,\theta}^{m,k}$. Пусть $X$ – нормированное пространство, $M\subset X$, $n\in \mathbb{Z}_+$, $\mathcal L_n(X)$ – совокупность линейных подпространств в $X$ размерности не выше $n$. Колмогоровским $n$-поперечником множества $M$ в пространстве $X$ называется величина
$$
\begin{equation*}
d_n(M,X)=\inf_{L\in \mathcal L_n(X)} \sup_{x\in M} \inf_{y\in L} \|x-y\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Порядковые оценки поперечников $d_n(B_p^m,l_q^m)$ известны при всех $p$, $q$, кроме случая $q= \infty$, $1\leqslant p <2$ [1]–[6]. Порядковые оценки колмогоровских поперечников $d_n(B^{m,k}_{p,\theta}$, $l^{m,k}_{q,\sigma})$ известны в следующих случаях:
Полученные оценки могут использоваться в задаче о колмогоровских поперечниках классов Бесова с доминирующей смешанной гладкостью или весовых классов Бесова (см., например, [14], [12], [10]). В [7], [14]–[18] изучалась задача о поперечниках пересечения семейства классов Соболева (в [15], [7], [14] рассматривались невесовые периодические классы Соболева, в [16]–[18] – весовые классы на отрезке и области, удовлетворяющей условию Джона). Эту задачу можно свести к оценке поперечников $d_n(\bigcap_{\alpha \in A} \nu_\alpha B^m_{p_\alpha},\, \ell_q^m)$, где $\nu_\alpha>0$. В [15] были получены порядковые оценки этой величины при $n=m/2$, в [19] – при $n \leqslant m/2$. Здесь рассматривается задача о поперечниках пересечения двух шаров $\nu_i B^{m,k}_{p_i,\theta_i}$, $i=1,2$, в $\ell^{m,k}_{q,\sigma}$; при этом предполагается, что $2\leqslant q<\infty$, $2\leqslant \sigma <\infty$, $1\leqslant p_i\leqslant q$, $1\leqslant \theta_i\leqslant \sigma$, $i=1,2$. Полученный результат может использоваться в задаче о поперечниках пересечения двух весовых классов Бесова или двух классов Бесова с доминирующей смешанной гладкостью. Пусть $q\geqslant 2$, $1\leqslant p\leqslant q$. Обозначим
$$
\begin{equation*}
\lambda_{p,q}=\min \biggl\{\frac{1/p-1/q}{1/2-1/q},\, 1\biggr\} \quad\text{для}\ \ q>2, \qquad \lambda_{p,2}=1 \quad\text{для}\ \ q=2.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 1. Пусть $m$, $k\in \mathbb{N}$, $n\in \mathbb{Z}_+$, $n\leqslant {mk}/{2}$, $2\leqslant q<\infty$, $2\leqslant \sigma <\infty$, $1\leqslant p_i\leqslant q$, $1\leqslant \theta_i\leqslant \sigma$, $\nu_i>0$, $i=1,2$. Определим величины Как уже отмечалось выше, порядковые оценки величин $\Phi_j(m,k,n)$ известны [10]. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Vas23} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|