| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Преобразование Рисса для одномерного В. И. Иванов Тульский государственный университет
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623030057 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеПоследние 35 лет значительные усилия математиков были направлены на определение весовых функций на евклидовом пространстве $\mathbb{R}^d$, допускающих построение содержательного гармонического анализа, обобщающего классический анализ Фурье на весовой случай. Данклем [1] был предложен вес степенного типа $v_k(x)=\prod_{a\in \Omega}| \langle a,x\rangle|^{k(a)}$, определяемый системой корней $\Omega$, ее группой отражений $G$ и функцией кратности $k\colon \Omega\to \mathbb{R}_+$, инвариантной относительно $G$. В работах Данкля, Реслер, Тримеш, Шу и других математиков (см. [2]) был построен богатый и красивый гармонический анализ Данкля в пространствах Лебега на $\mathbb{R}^d$ с весом Данкля, основанный на преобразовании Данкля, дифференциально-разностных операторах, операторе сплетения, операторах обобщенного сдвига. Лапласиан Данкля $\Delta_k$ позволяет записать гармонический осциллятор $\Delta_k-|x|^2$ и преобразование Данкля в спектральной форме
$$
\begin{equation*}
\mathcal{F}_{k}=\exp\biggl(\frac{i\pi d_k}{4}\biggr) \exp\biggl(\frac{i\pi}{4}\bigl(\Delta_{k}-|x|^{2}\bigr)\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $d_k=d+2\langle k\rangle$ – обобщенная размерность $\mathbb{R}^d$ с весом Данкля, $\langle k\rangle=\frac{1}{2}\sum_{a\in R}k(a)$. Классическое преобразование Фурье получается [3] при $k\equiv 0$:
$$
\begin{equation*}
\mathcal{F}(f)(y)=\exp\biggl(\frac{i\pi d}{4}\biggr) \exp\biggl(\frac{i\pi}{4}\bigl(\Delta-|x|^{2}\bigr)\biggr) f(y)=\frac{1}{(2\pi)^{d/2}}\int_{\mathbb{R}^d}f(x)e^{-i\langle x,y\rangle}\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Спектральная форма записи преобразования Данкля оказалась удобной для дальнейшего расширения преобразований Фурье и Данкля, которое было получено в работе С. Бен Саида, Т. Кобаяши и Б. Орстеда [4]. Они определили $a$-деформированный гармонический осциллятор
$$
\begin{equation*}
\Delta_{\kappa,a}=|x|^{2-a}\Delta_{\kappa}-|x|^{a}, \qquad a>0,
\end{equation*}
\notag
$$
и $(k,a)$-обобщенное преобразование Фурье
$$
\begin{equation*}
\mathcal{F}_{k,a}=\exp\biggl(\frac{i\pi d_{k,a}}{4}\biggr) \exp\biggl(\frac{i\pi}{2a}\,\Delta_{k,a}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
являющееся двупараметрическим семейством унитарных операторов в пространстве $L^{2}(\mathbb{R}^{d},d\mu_{\kappa,a})$ с нормой
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{p,d\mu_{k,a}}=\biggl(\int_{\mathbb{R}^{d}}|f(x)|^{p}\,d\mu_{k,a}(x)\biggr)^{1/p}, \qquad p=2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $d_{k, a}=d+2\langle k\rangle+a-2$ – обобщенная размерность $\mathbb{R}^d$ с весом $v_{k,a}(x)=|x|^{a-2}v_{k}(x)$,
$$
\begin{equation*}
d\mu_{k,a}(x)=c_{k,a}v_{k,a}(x)\,dx, \qquad c^{-1}_{k,a}=\int_{\mathbb{R}^{d}}e^{-|x|^{a}/a}v_{k,a}(x)\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Преобразование Данкля получается при $a=2$. Другой важный случай $a=1$, имеющий приложения в квантовой механике [5]. К настоящему времени гармонический анализ Данкля развит достаточно хорошо. В частности, определены потенциал Рисса и преобразования Рисса [6]. Для них исследованы условия $(L^p,L^q)$-ограниченности с радиальными степенными и кусочно-степенными весами [7]–[11]. Гармонический анализ, связанный с обобщенным преобразованием Фурье, переживает начальный период интенсивного развития. Работа посвящена определению и исследованию $L^p$-ограниченности со степенным и кусочно-степенным весами преобразования Рисса для одномерного $(k,1)$-обобщенного преобразования Фурье. Напомним предшествующие результаты в одномерном случае. Пусть $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ – пространство Шварца бесконечно дифференцируемых и быстро убывающих на бесконечности функций, $C_b(\mathbb{R})$ – пространство непрерывных ограниченных функций. Мы будем писать $A\lesssim B$, если выполнено неравенство $A\leqslant cB$ с константой $c>0$, зависящей только от несущественных параметров. Как обычно, параметры $p$ и $p'$, $p\geqslant 1$, связаны соотношением $1/p+1/p'=1$. Классическое преобразование Рисса на прямой $\mathbb{R}$ или эквивалентно преобразование Гильберта определяется с помощью ограниченного мультипликатора
$$
\begin{equation}
\mathcal{F}(R(f))(y)=-i\frac{y}{|y|}\mathcal{F}(f)(y), \qquad f\in\mathcal{S}(\mathbb{R}),
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
и записывается как сингулярный интегральный оператор
$$
\begin{equation*}
R(f)(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\tau^{-y}f(x)\frac{1}{y}\,dy,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\tau^{y}f(x)=f(x+y)$ – оператор сдвига на прямой, и интеграл понимается в смысле главного значения. М. Рисс [12] доказал $L^p$-ограниченность оператора $R$ при $1<p<\infty$. Г. Харди и Дж. Литлвуд [13] и К. И. Бабенко [14] установили условия $L^p$-ограниченности преобразования Рисса со степенным весом. Если $1<p<\infty$, $-{1}/{p}<\beta<{1}/{p'}$, $|x|^{\beta}f\in L^p(\mathbb{R},dx)$, то
$$
\begin{equation}
\||x|^{\beta}R(f)\|_{p,dx}\lesssim\||x|^{\beta}f\|_{p,dx}.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Р. Хант, Б. Макенхаут и Р. Виден [15] доказали, что необходимым и достаточным условием выполнения неравенства (1.2) с произвольным весом $w(x)$ является выполнение $(A_p)$-условия Макенхаута для функции $w^p$, т.е. справедливость неравенства
$$
\begin{equation*}
\biggl(\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}w^p(x)\,dx\biggr)^{1/p} \biggl(\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}w^{-p'}(x)\,dx\biggr)^{1/p'}\leqslant C<\infty
\end{equation*}
\notag
$$
для любого конечного интервала $(a,b)$. Преобразование Рисса $R_{k}$ для преобразования Данкля определено С. Тангавелу и Ю. Шу [6] как интегральный оператор
$$
\begin{equation*}
R_k(f)(x)=\gamma_k\int_{-\infty}^{\infty}\tau_k^{-y}f(x)\frac{y}{|y|^{d_k+1}}\,d\mu_{k,2}(y),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\tau_k^{y}f(x)$ – оператор обобщенного сдвига на прямой для преобразования Данкля (см. [2; 4.11]), $\gamma_k=\pi^{-1/2}2^{d_k/2}\Gamma((d_k+1)/2)$. Для него аналогично (1.1) справедливо соотношение
$$
\begin{equation*}
\mathcal{F}_k(R_k(f))(y)=-i\frac{y}{|y|}\mathcal{F}_k(f)(y), \qquad f\in\mathcal{S}(\mathbb{R}).
\end{equation*}
\notag
$$
Ограниченность преобразования Данкля–Рисса в пространстве $L^p(\mathbb{R},d\mu_{k,2})$ при $1<p<\infty$ доказана Б. Амри и М. Сифи [9]. Аналог неравенства (1.2) для преобразования Данкля–Рисса установлен в [10]. Пусть $I=[-1,1]$, $I^c=\mathbb{R}\setminus I$, $\beta=(\beta_1,\beta_2)\in\mathbb{R}^2$, $\chi_{I}$ – характеристическая функция $I$, $u_{\beta}(x)=|x|^{\beta_1}\chi_{I}(x)+|x|^{\beta_2}\chi_{I^c}(x)$ – кусочно-степенная весовая функция. В [11] получен следующий результат. Если $1<p<\infty$, $-{d_k}/{p}<\beta_1,\beta_2<{d_k}/{p'}$, $u_{\beta}f\in L^p(\mathbb{R},d\mu_{k,2})$, то
$$
\begin{equation*}
\|u_{\beta}R_k(f)\|_{p,d\mu_{k,2}}\lesssim\|u_{\beta}f\|_{p,d\mu_{k,2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Мы определяем преобразование Рисса $R_{k,1}$ для $(k,1)$-обобщенного преобразования Фурье как интегральный оператор
$$
\begin{equation}
R_{k,1}(f)(x)=\gamma_{k,1}\int_{-\infty}^{\infty}\tau_{k,1}^{y}f(x) \frac{y}{|y|^{d_{k,1}+1}}\,d\mu_{k,1}(y),
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
где $\tau_{k,1}^{y}f(x)$ – оператор обобщенного сдвига на прямой для $(k,1)$-обобщенного преобразования Фурье, $k=\langle k\rangle$, $d_{k,1}=2k$ – обобщенная размерность $\mathbb{R}$ с весом $v_{k,1}(y)=|y|^{2k-1}$, $d\mu_{k,1}(y)=c_{k,1}v_{k,1}(y)$, $c_{k,1}^{-1}=2\Gamma(d_{k,1})$, $\gamma_{k,1}=\Gamma(d_{k,1}+1)$. Для него выполняется равенство
$$
\begin{equation}
\mathcal{F}_{k,1}(R_{k,1}(f))(y)=-\frac{y}{|y|}\mathcal{F}_{k,1}(f)(y), \qquad f\in\mathcal{S}(\mathbb{R}).
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Мы доказываем следующие результаты. Теорема 2. Если $1<p<\infty$, $k\geqslant 1/2$, $-{d_{k,1}}/{p}<\beta<{d_{k,1}}/{p'}$, $|x|^{\beta}f\in L^p(\mathbb{R},d\mu_{k,1})$, то Теорема 3. Если $1<p<\infty$, $k\geqslant 1/2$, $-{d_{k,1}}/{p}<\beta_1,\beta_2<{d_{k,1}}/{p'}$, $u_{\beta}f\in L^p(\mathbb{R},d\mu_{k,1})$, то Как видим, условия ограниченности преобразования Рисса при $a=2$ и $a=1$ выглядят одинаково, меняется только обобщенная размерность. Но исследовать каждый случай пока приходится индивидуально. 2. Элементы гармонического анализа на прямой $\mathbb{R}$ с весом $v_{k,1}$Для $d=1$ система корней $\Omega=\{\pm 1\}$ и вес Данкля $v_k(x)=|x|^{2k}$, $k\geqslant 0$, $\langle k\rangle=k$. Если $a=1$, $\lambda=2k-1$, то
$$
\begin{equation*}
d_{k,1}=\lambda+1, \qquad v_{k,1}(x)=|x|^{\lambda}, \qquad d\mu_{k,1}(x)=\frac{|x|^{\lambda}}{2\Gamma(\lambda+1)}\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Обобщенное преобразование Фурье $\mathcal{F}_{k,1}$ на $L^2(\mathbb{R},d\mu_{k,1})$ может быть записано как интегральный оператор (см. [4; 5.18], [16])
$$
\begin{equation}
\mathcal{F}_{k,1}(f)(x)=\int_{-\infty}^{\infty}B_{k,1}(x,y)f(y)\,d\mu_{k,1}(y)
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
с непрерывным симметричным ядром
$$
\begin{equation}
B_{k,1}(x,y)=j_{\lambda}\bigl(2|xy|^{1/2}\bigr)- \frac{xy}{(\lambda+1)(\lambda+2)} j_{\lambda+2}\bigl(2\,|xy|^{1/2}\bigr), \qquad B_{k,1}(0,y)=1,
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где $j_{\lambda}(x)=2^{\lambda}\Gamma(\lambda+1)x^{-\lambda}J_{\lambda}(x)$ – нормированная функция Бесселя. Обратный оператор $\mathcal{F}_{k,1}^{-1}=\mathcal{F}_{k,1}$. Далее предполагаем $k\geqslant1/2$, $\lambda\geqslant 0$ и $d_{k,1}\geqslant 1$. При $k\geqslant 1/2$, $|B_{k,1}(x,y)|\leqslant 1$ [16], [17]. Если $f\in L^1(\mathbb{R},d\mu_{k,1})$, то $\mathcal{F}_{k,1}(f)\in C_b(\mathbb{R})$. Для преобразования (2.1) справедливо неравенство Хаусдорфа–Юнга
$$
\begin{equation*}
\|\mathcal{F}_{k,1}(f)\|_{p',d\mu_{k,1}}\leqslant \|f\|_{p,d\mu_{k,1}}, \qquad 1\leqslant p\leqslant 2.
\end{equation*}
\notag
$$
Оператор обобщенного сдвига определен в [17] для функций из $L^2(\mathbb{R},d\mu_{k,1})$ равенством
$$
\begin{equation}
\tau^{y}f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}B_{k,1}(x,z)B_{k,1}(y,z) \mathcal{F}_{k,1}(f)(z)\,d\mu_{k,1}(z).
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Пусть $\mathcal{A}=\{f\colon f,\mathcal{F}_{k,1}(f)\in L^1(\mathbb{R},d\mu_{k,1})\cap C_b(\mathbb{R})\}$. Если $f\in \mathcal{A}$, то равенство (2.3) справедливо поточечно. Для $f,g\in \mathcal{A}$
$$
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{\infty}\tau^{y}f(x)g(x)\,d\mu_{k,1}(x)= \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\tau^{y}g(x)\,d\mu_{k,1}(x).
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Действительно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{-\infty}^{\infty}\tau^{y}f(x)g(x)\,d\mu_{k,1}(x) \\ &\qquad =\int_{-\infty}^{\infty}B_{k,1}(y,z)\mathcal{F}_{k,1}(f)(z) \int_{-\infty}^{\infty}B_{k,1}(x,z)g(x)\,d\mu_{k,1}(x)\,d\mu_{k,1}(z) \\ &\qquad =\int_{-\infty}^{\infty}B_{k,1}(y,z)\mathcal{F}_{k,1}(f)(z)\mathcal{F}_{k,1}(g)(z)\,d\mu_{k,1}(z) =\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\tau^{y}g(x)\,d\mu_{k,1}(x). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $f\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$, то [16]
$$
\begin{equation}
\mathcal{F}_{k,1}(f)(y)=F(y)=F_1\bigl(|y|^{1/2}\bigr)+yF_2\bigl(|y|^{1/2}\bigr),
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
где $F_1,F_2\in\mathcal{S}(\mathbb{R})$ – четные функции. Следовательно, $\mathcal{F}_{k,1}(f)$ быстро убывает на бесконечности и $\mathcal{S}(\mathbb{R})\subset\mathcal{A}$. Обозначим $W(\mathbb{R})$ множество функций $F(y)$ вида (2.5). Рассмотрим дифференциально-разностные операторы Данкля [2], [4]
$$
\begin{equation*}
Tf(x)=f'(x)+\frac{k}{x}(f(x)-f(-x)), \qquad \Delta_{k}f(x)=T^2f(x), \qquad Df(x)=|x|\Delta_{k}f(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Прямыми вычислениями убеждаемся, что на $W(\mathbb{R})$ оператор $D$ действует инвариантно:
$$
\begin{equation*}
DF(y)=D(F_1(|y|^{1/2})+yF_2(|y|^{1/2}))=F_3(|y|^{1/2})+yF_4(|y|^{1/2})\in W(\mathbb{R}).
\end{equation*}
\notag
$$
Если $F\in W(\mathbb{R})$, то (см. [4; 5.10 b])
$$
\begin{equation*}
\int_{-\infty}^{\infty}B_{k,1}(x,y)DF(y)\,d\mu_{k,1}(y)= -|x|\int_{-\infty}^{\infty}B_{k,1}(x,y)F(y)\,d\mu_{k,1}(y)=-|x|\mathcal{F}_{k,1}(F)(x),
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому для любого $m\in\mathbb{N}$ и $F\in W(\mathbb{R})$,
$$
\begin{equation}
|\mathcal{F}_{k,1}(F)(x)|\leqslant\frac{1}{|x|^m}\int_{-\infty}^{\infty}|D^mF(y)|\,d \mu_{k,1}(y)\lesssim\frac{1}{|x|^m}.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Докажем равенство (1.4) для $f\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$. Известно [4; 5.3], что для $s>0$
$$
\begin{equation}
\mathcal{F}_{k,1}(ye^{-s|y|})(x)=-\frac{x}{s^{\lambda+3}}e^{-|x|/s}.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Нам также понадобится представление
$$
\begin{equation}
\frac{1}{|x|^{\lambda+2-\alpha}}=\frac{1}{\Gamma(\lambda+2-\alpha)} \int_{0}^{\infty}s^{\lambda+1-\alpha}e^{-s|x|}\,ds, \qquad \lambda+2-\alpha>0.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
При фиксированном $x$ положим $\mathcal{F}_{k,1}(\varphi)(y)=\tau^yf(x)$. Применяя (2.3), получим $\varphi(z)=B_{k,1}(x,z)\mathcal{F}_{k,1}(f)(z)$. В силу (2.2) и (2.5) $\varphi\in W(\mathbb{R})$. Отсюда и из (2.6) при $0<\alpha<\lambda+1$ функция
$$
\begin{equation*}
y|y|^{-(\lambda+2-\alpha)}\mathcal{F}_{k,1}(\varphi)(y)\in L^1(\mathbb{R},d\mu_{k,1}),
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому применяя (2.7), (2.8), получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, R_{k,1}^{\alpha}(f)(x) &=\gamma_{k,1}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{y}{|y|^{\lambda+2-\alpha}} \mathcal{F}_{k,1}(\varphi)(y)\,d\mu_{k,1}(y) \notag \\ &=\frac{\gamma_{k,1}}{\Gamma(\lambda+2-\alpha)}\int_{0}^{\infty}s^{\lambda+1-\alpha} \int_{-\infty}^{\infty}\varphi(z)\mathcal{F}_{k,1}((\cdot)e^{-s|\cdot|})(z)\,d\mu_{k,1}(z)\,ds \notag \\ &=-\frac{\gamma_{k,1}}{\Gamma(\lambda+2-\alpha)}\int_{-\infty}^{\infty} \varphi(z)z\int_{0}^{\infty}s^{-2-\alpha}e^{-|z|/s}\,ds\,d\mu_{k,1}(z) \notag \\ &=-\frac{\gamma_{k,1}\Gamma(1+\alpha)}{\Gamma(\lambda+2-\alpha)}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{z}{|z|^{1+\alpha}}\varphi(z)\,d\mu_{k,1}(z). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Отметим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lim_{\alpha\to 0}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{z}{|z|^{1+\alpha}}\varphi(z)\,d\mu_{k,1}(z) &=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{z}{|z|}\varphi(z)\,d\mu_{k,1}(z) \\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{z}{|z|}B_{k,1}(x,z)\mathcal{F}_{k,1}(f)(z)\,d\mu_{k,1}(z). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $|j_{\lambda}(x)-1|\lesssim |x|^2$, согласно (2.3)
$$
\begin{equation*}
|\mathcal{F}_{k,1}(\varphi)(y)-\mathcal{F}_{k,1}(\varphi)(0)|\lesssim |y| \int_{-\infty}^{\infty}|z|\,|\mathcal{F}_{k,1}(f)(z)|\,d\mu_{k,1}(z)\lesssim |y|.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, в силу равенства
$$
\begin{equation*}
\int_{|y|\leqslant 1}\frac{y}{|y|^{\lambda+2-\alpha}}\,d\mu_{k,1}(y)=0
\end{equation*}
\notag
$$
будет
$$
\begin{equation}
\lim_{\alpha\to 0}R_{k,1}^{\alpha}(x)=\gamma_{k,1}\lim_{\varepsilon\to 0} \int_{|y|\geqslant\varepsilon}\frac{y}{|y|^{\lambda+2}}\mathcal{F}_{k,1}(\varphi)(y)\,d\mu_{k,1}(y) =R_{k,1}(x)
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
(см. [6]). Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R_{k,1}(f)(x) &=\gamma_{k,1}\lim_{\varepsilon\to 0}\int_{|y|\geqslant\varepsilon}\tau^yf(x) \frac{y}{|y|^{\lambda+2}}\,d\mu_{k,1}(y) \\ &=-\int_{-\infty}^{\infty}\frac{z}{|z|}B_{k,1}(x,z)\mathcal{F}_{k,1}(f)(z)\,d\mu_{k,1}(z). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Равенство (1.4) доказано.
3. Ядро интегрального представления преобразования Рисса
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R_{k,1}^{\alpha}(f)(x) &=\frac{\gamma_{k,1}}{\Gamma(\lambda+2-\alpha)} \int_{0}^{\infty}s^{\lambda+1-\alpha} \int_{-\infty}^{\infty}\tau^xf(y)ye^{-s|y|}\,d\mu_{k,1}(y)\,ds \\ &=\frac{\gamma_{k,1}}{\Gamma(\lambda+2-\alpha)}\int_{0}^{\infty}s^{\lambda+1-\alpha} \int_{-\infty}^{\infty}f(y)\tau^x((\cdot)e^{-s|\cdot|})(y)\,d\mu_{k,1}(y)\,ds \\ &=\frac{\gamma_{k,1}}{\Gamma(\lambda+2-\alpha)} \int_{-\infty}^{\infty}f(y)\int_{0}^{\infty}s^{\lambda+1-\alpha}\tau^x((\cdot) e^{-s|\cdot|})(y)\,ds\,d\mu_{k,1}(y) \\ &=\int_{-\infty}^{\infty}f(y)K_{\alpha}(x,y)\,d\mu_{k,1}(y), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
K_{\alpha}(x,y)=\frac{\gamma_{k,1}}{\Gamma(\lambda+2-\alpha)} \int_{0}^{\infty}s^{\lambda+1-\alpha}\tau^x((\cdot)e^{-s|\cdot|})(y)\,ds.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Следовательно, в силу (2.10)
$$
\begin{equation}
R_{k,1}(f)(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(y)K(x,y)\,d\mu_{k,1}(y), \qquad K(x,y)=\lim_{\alpha\to 0}K_{\alpha}(x,y).
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Вычислим $P=\tau^x((\cdot)e^{-s|\cdot|})(y)$. Пользуясь (2.2) и тождеством
$$
\begin{equation*}
\frac{v^2}{4(\lambda+1)(\lambda+2)}\,j_{\lambda+2}(v)=j_{\lambda+1}(v)-j_{\lambda}(v),
\end{equation*}
\notag
$$
которое вытекает из рекуррентного соотношения для функции Бесселя $J_{\lambda}(v)$ (см. [18; 3.2]), запишем
$$
\begin{equation*}
B_{k,1}(x,z)=(1+\operatorname{sign}(xz))j_{\lambda}\bigl(2|xz|^{1/2}\bigr) -\operatorname{sign}(xz)j_{\lambda+1}\bigl(2|xz|^{1/2}\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя (2.3) и (2.7), получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, P &=-\frac{1}{2\Gamma(\lambda+1)s^{\lambda+3}}\int_{-\infty}^{\infty} B_{k,1}(x,z)B_{k,1}(y,z)ze^{-|z|/s}|z|^{\lambda}\,dz \notag \\ &=-\frac{1}{2\Gamma(\lambda+1)s^{\lambda+3}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-|z|/s}\bigl\{(\operatorname{sign}x+\operatorname{sign}y) j_{\lambda}\bigl(2|xz|^{1/2}\bigr)j_{\lambda}\bigl(2|yz|^{1/2}\bigr) \notag \\ &\qquad -\operatorname{sign}x\,j_{\lambda}\bigl(2|yz|^{1/2}\bigr)j_{\lambda+1} \bigl(2|xz|^{1/2}\bigr)- \operatorname{sign}y\,j_{\lambda}\bigl(2|xz|^{1/2}\bigr)j_{\lambda+1} \bigl(2|yz|^{1/2}\bigr)\bigr\}|z|^{\lambda+1}\,dz. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Для функций Бесселя хорошо известна теорема умножения Гегенбауэра [18; 11.41]. Запишем ее в удобной для нас форме:
$$
\begin{equation}
j_{\lambda}(\sqrt{a})j_{\lambda}(\sqrt{b})=\int_{-1}^{1}j_{\lambda} \Bigl(\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}v}\Bigr)\,d\psi(v),
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
где
$$
\begin{equation*}
d\psi(v)=\frac{\Gamma(\lambda+1)}{\sqrt{\pi}\Gamma(\lambda+1/2)}(1-v^2)^{\lambda-1/2}\,dv.
\end{equation*}
\notag
$$
При $k\geqslant 1/2$, $\lambda-1/2=2k-3/2\geqslant -1/2$ и вес $(1-v^2)^{\lambda-1/2}$ интегрируем на $[-1,1]$. После дифференцирования (3.4) по $a$, придем к равенству
$$
\begin{equation}
j_{\lambda+1}(\sqrt{a})j_{\lambda}(\sqrt{b})=\frac{1}{\sqrt{a}} \int_{-1}^{1}(\sqrt{a}-\sqrt{b}v)j_{\lambda+1} \Bigl(\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}v}\Bigr)\,d\psi(v).
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Используя (3.4) и (3.5), из (3.3) получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, P &=-\frac{1}{\Gamma(\lambda+1)s^{\lambda+3}}\int_{0}^{\infty} \! \! e^{-z/s}\biggl\{(\operatorname{sign}x+\operatorname{sign}y) \! \int_{-1}^1 \! j_{\lambda}\Bigl(2\sqrt{z}\,\sqrt{|x|+|y|-2\sqrt{|xy|}v}\Bigr)d\psi(v) \\ &\qquad -\operatorname{sign}x\int_{-1}^1(1-|y|^{1/2}|x|^{-1/2}v) j_{\lambda+1}\Bigl(2\sqrt{z}\,\sqrt{|x|+|y|-2\sqrt{|xy|}v}\Bigr)d\psi(v) \\ &\qquad -\operatorname{sign}y\int_{-1}^1(1-|x|^{1/2}|y|^{-1/2}v) j_{\lambda+1}\Bigl(2\sqrt{z}\,\sqrt{|x|+|y|-2\sqrt{|xy|}v}\Bigr) d\psi(v)\biggl\}z^{\lambda+1}\,dz. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
После замены переменной $z=su^2/4$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, P&=-\frac{2^{-(2\lambda+3)}}{s\Gamma(\lambda+1)}\int_{0}^{\infty} \! \! e^{-u^2/4} \biggl\{(\operatorname{sign}x+\operatorname{sign}y) \int_{-1}^1 \! j_{\lambda}\Bigl(\sqrt{s}u\,\sqrt{|x|+|y|-2\sqrt{|xy|}v)}\Bigr)d\psi(v) \\ &\quad -\operatorname{sign}x\int_{-1}^1(1-|y|^{1/2}|x|^{-1/2}v) j_{\lambda+1}\Bigl(\sqrt{s}u\,\sqrt{|x|+|y|-2\sqrt{|xy|}v)}\Bigr)d\psi(v) \\ &\quad -\operatorname{sign}y\int_{-1}^1(1-|x|^{1/2}|y|^{-1/2}v) j_{\lambda+1}\Bigl(\sqrt{s}u\,\sqrt{|x|+|y|-2\sqrt{|xy|}v)}\Bigr)d\psi(v)\biggl\} u^{2\lambda+3}\,du. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как (см. [19; 8.6(13)])
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{0}^{\infty}e^{-u^2/4}u^{2\lambda+3}j_{\lambda}(au)\,du &=\frac{2^{\lambda}\Gamma(\lambda+1)}{a^{\lambda}} \int_{0}^{\infty}e^{-u^2/4}u^{\lambda+3}J_{\lambda}(au)\,du \\ &=2^{2\lambda+3}\Gamma(\lambda+1)(\lambda+1-a^2)e^{-a^2} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и аналогично
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{\infty}e^{-u^2/4}u^{2\lambda+3}j_{\lambda+1}(au)\,du =2^{2\lambda+3}\Gamma(\lambda+2)e^{-a^2},
\end{equation*}
\notag
$$
то
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \tau^x((\cdot)e^{-s|\cdot|})(y) &=\int_{-1}^1 \bigl\{(\operatorname{sign}x+\operatorname{sign}y)(|x|+|y|-2|xy|^{1/2}v) \\ &\qquad\hphantom{\int_{-1}^1 \bigl\{} -(\lambda+1)s^{-1}\bigl(\operatorname{sign}x\,|y|^{1/2}|x|^{-1/2}+ \operatorname{sign}y\,|x|^{1/2}|y|^{-1/2}\bigr)v\bigr\} \notag \\ &\qquad \times e^{-s(|x|+|y|-2|xy|^{1/2}v)}\,d\psi(v). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Подставляя (3.6) в (3.1) и используя (2.8), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, K_{\alpha}(x,y) &=\gamma_{k,1}\int_{-1}^1\biggl(\operatorname{sign}x+\operatorname{sign}y -\frac{\lambda+1}{\lambda+1-\alpha} (\operatorname{sign}x\,|y|^{1/2}|x|^{-1/2} \\ &\qquad+\operatorname{sign}y\,|x|^{1/2}|y|^{-1/2}\bigr)v\biggr) \bigl(|x|+|y|-2|xy|^{1/2}v\bigr)^{-(\lambda+1-\alpha)}\,d\psi(v). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (3.2) получаем ядро потенциала Рисса $R_{k,1}$
$$
\begin{equation}
K(x,y)=\gamma_{k,1}\int_{-1}^1\frac{\operatorname{sign}x (1-|y|^{1/2}|x|^{-1/2}v)+\operatorname{sign}y(1-|x|^{1/2}|y|^{-1/2}v)} {\bigl(|x|+|y|-2|xy|^{1/2}v\bigr)^{\lambda+1}}\,d\psi(v).
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
4. Доказательство теорем 1, 2Пусть $d\nu(r)=r^{-1}\,dr$. Нам понадобятся оценки норм операторов, определяемых сверткой Меллина,
$$
\begin{equation*}
A_hg(r)=(g\ast h)(r)=\int_{0}^{\infty}g(r/t)h(t)\,d\nu(t)
\end{equation*}
\notag
$$
(см. [7]). Свертка Меллина коммутативная: Лемма 1. Пусть $L^p=L^p(\mathbb{R}_+,d\nu)$, $1\leqslant p\leqslant\infty$. Если $g\in L^p$, $h\in L^1$, то Доказательство теоремы 1. Рассмотрим два ядра Ограниченность оператора $R_{k,1}^1$ на четных функциях будет вытекать из неравенства
$$
\begin{equation}
\biggl(\int_{0}^{\infty}\biggl(\int_{0}^{\infty}|f(y)|\,|K_1(x,y)|y^{\lambda}\,dy\biggr)^p x^{\lambda}\,dx\biggr)^{1/p} \lesssim\biggl(\int_{0}^{\infty}|f(x)|^px^{\lambda}\,dx\biggr)^{1/p}.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Делая замены $g(x)=f(x)x^{(\lambda+1)/p}$, $x=r$, $x/y=t$, мы можем записать (4.1) в виде неравенства для свертки Меллина
$$
\begin{equation*}
\biggl(\int_{0}^{\infty}\biggl(\int_{0}^{\infty}|g(r/t)|\, |h_1(t)|\,d\nu(t)\biggr)^p\,d\nu(r)\biggr)^{1/p} \lesssim\biggl(\int_{0}^{\infty}|g(r)|^p\,d\nu(r)\biggr)^{1/p},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
h_1(t)=t^{(\lambda+1)/p}\int_{-1}^1\frac{\bigl(1-t^{-1/2}v\bigr)\,d\psi(v)} {\bigl(t+1-2t^{1/2}v\bigr)^{\lambda+1}}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу леммы 1 необходимо проверить, что при $1<p<\infty$, Функция $h(t)=t^{-1}h_1(t)$ имеет особенности в $0$, $1$ и $\infty$. При $t\to\infty$, $h(t)=O(t^{-1-(\lambda+1)/p'})$ и $\infty$ интегрируемая особенность. При $t\to 0$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, h(t)&=\frac{t^{-1+(\lambda+1)/p}}{(1+t)^{\lambda+1}}\int_{-1}^{1} \bigl(1-t^{-1/2}v\bigr)\bigl(1+O\bigl(t^{1/2}\bigr)\bigl)\,d\psi(v) \\ &=t^{-1+(\lambda+1)/p}\int_{-1}^{1}\,d\psi(v)O\bigl(1\bigr)=t^{-1+(\lambda+1)/p}O(1) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и $0$ также интегрируемая особенность. Пусть $t\to 1$ и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I&=\int_{-1}^1\frac{\bigl(1-t^{-1/2}v\bigr)\,d\psi(v)}{\bigl(t+1-2t^{1/2}v\bigr)^{\lambda+1}}= \int_{-1}^1\frac{\bigl(1-t^{-1/2}\bigr)\,d\psi(v)} {\bigl((t^{1/2}-1)^2+2t^{1/2}(1-v)\bigr)^{\lambda+1}} \\ & \qquad+\int_{-1}^1\frac{t^{-1/2}(1-v)\,d\psi(v)} {\bigl((t^{1/2}-1)^2+2t^{1/2}(1-v)\bigr)^{\lambda+1}}=I_1+I_2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем
$$
\begin{equation*}
I_2=O(1)\int_{-1}^{1}(1-v)^{-1/2}(1+v)^{\lambda-1/2}\,dv=O(1).
\end{equation*}
\notag
$$
Далее
$$
\begin{equation*}
I_1=O(|1-t|)\biggl\{\int_{-1}^{1-(1-t)^2}\frac{dv}{(1-v)^{3/2}}+|1-t|^{-2(\lambda+1)} \int_{1-(1-t)^2}^{1}(1-v)^{\lambda-1/2}\,dv\biggr\}=O(1).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $h(t)=O(1)$ при $t\to 1$. Таким образом, (4.2) выполнено; $L^p$-ограниченность оператора $R_{k,1}^1$ при $1<p<\infty$ доказана. Ограниченность оператора $R_{k,1}^2$ в $L^p(\mathbb{R},d\mu_{k,1})$, $1<p<\infty$, на четных функциях доказывается аналогично. Достаточно проверить, что $\int_{0}^{\infty}t^{-1}|h_2(t)|\,dt<\infty$, где
$$
\begin{equation*}
h_2(t)=t^{(\lambda+1)/p}\int_{-1}^1\frac{\bigl(1-t^{1/2}v\bigr)\,d\psi(v)} {\bigl(t+1-2t^{1/2}v\bigr)^{\lambda+1}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Как и в предыдущем случае $h(t)=t^{-1}h_2(t)=O(1)$ при $t\to 1$. При $t\to 0$, $h(t)=O(t^{-1+(\lambda+1)/p})$. При $t\to\infty$
$$
\begin{equation*}
h(t)=\frac{t^{-1+(\lambda+1)/p}}{(t+1)^{\lambda+1}}\int_{-1}^{1}\bigl(1-t^{1/2}v\bigr) \bigl(1+O\bigl(t^{-1/2}\bigr)\bigl)\,d\psi(v) =t^{-1-(\lambda+1)/p'}O(1).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $h_2\in L^1(\mathbb{R}_+,d\nu)$. Теорема 1 доказана. Доказательство теоремы 2. Будем следовать подходу, предложенному в работе Е. Стейна [20]. Если $|x|^{\beta}f\in L^p(\mathbb{R},d\mu_{k,1})$, $1<p<\infty$, то по теореме 1
$$
\begin{equation*}
\|R_{k,1}(|\cdot|^{\beta}f)(x)\|_{p,d\mu_{k,1}}\lesssim\||x|^{\beta}f(x)\|_{p,d\mu_{k,1}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Достаточно доказать неравенство
$$
\begin{equation}
\|R_{k,1}(|\cdot|^{\beta}f)(x)-|x|^{\beta}R_{k,1}(f)(x)\|_{p,d\mu_{k,1}} \lesssim\||x|^{\beta}f(x)\|_{p,d\mu_{k,1}}.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Положим $F(x)=|x|^{\beta}f(x)$. Неравенство (4.3) запишется следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\int_{-\infty}^{\infty}F(y)(1-|x|^{\beta}|y|^{-\beta})K(x,y)\,d\mu_{k,1}(y) \biggr\|_{p,d\mu_{k,1}}\lesssim\bigl\|F(x)\bigr\|_{p,d\mu_{k,1}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Ядро $K(x,y)$ заменяется на $(1-|x|^{\beta}|y|^{-\beta})K(x,y)$. С учетом леммы 1 и доказательства теоремы 1 остается показать, что при $-(\lambda+1)/{p} <\beta<(\lambda+1)/{p'}$ функции
$$
\begin{equation*}
h_3(t)=(1-t^{\beta})h_1(t), \qquad h_4(t)=(1-t^{\beta})h_2(t)\in L^1(\mathbb{R}_+,d\nu),
\end{equation*}
\notag
$$
где $h_1(t)$, $h_2(t)$ из теоремы 1. Функции $t^{-1}h_3(t)$ и $t^{-1}h_4(t)$ не имеют особенностей при $t=1$. Если $\beta>0$, то $t^{-1}h_3(t)$, $t^{-1}h_4(t)$ имеют интегрируемую особенность $t^{-1+(\lambda+1)/p}$ при $t\to 0$ и особенность $t^{-1-(\lambda+1)/p'+\beta}$ при $t\to\infty$. Если $\beta<0$, то $t^{-1}h_3(t)$, $t^{-1}h_4(t)$ имеют интегрируемую особенность $t^{-1+(\lambda+1)/p+\beta}$ при $t\to 0$ и особенность $t^{-1-(\lambda+1)/p'}$ при $t\to\infty$. Теорема 2 доказана. 5. Доказательство теоремы 3Пусть $\lambda\geqslant 0$. Нам понадобятся оценки положительных интегральных операторов Харди и Беллмана на полупрямой $\mathbb{R}_+$
$$
\begin{equation*}
Hf(x)=\int_{y\leqslant x}f(y)y^{\lambda}\,dy, \qquad Bf(x)=\int_{y\geqslant x}f(y)y^{\lambda}\,dy.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\boldsymbol{\beta}=(\beta_1,\beta_2)\in\mathbb{R}^2$, ${\boldsymbol{\beta}}(x)=x^{\beta_1}\chi_{[0,1]}(x)+x^{\beta_2}\chi_{[1,\infty)}(x)$ – кусочно-постоянная весовая функция на $\mathbb{R}_+$. Отметим, что множество кусочно-постоянных весовых функций образует абелеву группу относительно умножения. Из результатов работы [8] вытекают следующие утверждения. Лемма 2. Пусть $1<p<\infty$, $\lambda\geqslant 0$, $\boldsymbol{\gamma}=(\gamma_1,\gamma_2)$, $\boldsymbol{\beta}=(\beta_1,\beta_2)\in\mathbb{R}^2$. Неравенство справедливо тогда и только тогда, когда Лемма 3. Пусть $1<p<\infty$, $\lambda\geqslant 0$, $\boldsymbol{\gamma}=(\gamma_1,\gamma_2)$, $\boldsymbol{\beta}=(\beta_1,\beta_2)\in\mathbb{R}^2$. Неравенство справедливо тогда и только тогда, когда Нам также понадобятся следующие две леммы из [11]. Лемма 4. Если $1<p<\infty$, $\beta_1,\beta_2\in (-{d_{k,1}}/{p},{d_{k,1}}/{p'})$, то для некоторого $\gamma\in(-{d_{k,1}}/{p},{d_{k,1}}/{p'})$ и всех $0\leqslant r\leqslant 1$, $1\leqslant t\leqslant 2$, Лемма 5. Если $1<p<\infty$, $\beta_1,\beta_2\in (-{d_{k,1}}/{p},{d_{k,1}}/{p'})$, то для некоторого $\gamma\in (-{d_{k,1}}/{p},{d_{k,1}}/{p'})$ и всех $1\leqslant r\leqslant 2$, $0\leqslant t\leqslant 1$, Доказательство теоремы 3. Пусть $k\geqslant 1/2$, $\lambda=2k-1\geqslant 0$, $d_{k,1}=\lambda+1$, $1<p<\infty$, $-(\lambda+1)/{p}<\beta_1,\beta_2<(\lambda+1)/{p'}$, $\boldsymbol{\beta}= (\beta_1,\beta_2)$. Мы будем следовать работе [11]. С учетом доказательства теоремы 2 нам нужно показать, что
$$
\begin{equation}
\biggl\|\int_{-\infty}^{\infty}f(y)\biggl(1-\frac{u_{\boldsymbol{\beta}}(|x|)} {u_{\boldsymbol{\beta}}(|y|)}\biggr) K(x,y)\,d\mu_{k,1}(y)\biggr\|_{p,d\mu_{k,1}}\lesssim\bigl\|f(x)\bigr\|_{p,d\mu_{k,1}},
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
а с учетом доказательства теоремы 1 неравенство (5.1) будет вытекать из двух неравенств
$$
\begin{equation}
\biggl(\int_{0}^{\infty}\biggl(\int_{0}^{\infty}|f(y)|\biggl |1- \frac{u_{\boldsymbol{\beta}}(x)}{u_{\boldsymbol{\beta}}(y)}\biggr| |K_1(x,y)|y^{\lambda}\,dy\biggr)^px^{\lambda}\,dx\biggr)^{1/p} \lesssim\biggl(\int_{0}^{\infty}|f(x)|^px^{\lambda}\,dx\biggr)^{1/p},
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
$$
\begin{equation}
\biggl(\int_{0}^{\infty}\biggl(\int_{0}^{\infty}|f(y)| \biggl|1-\frac{u_{\boldsymbol{\beta}}(x)}{u_{\boldsymbol{\beta}}(y)}\biggr| |K_2(x,y)|y^{\lambda}\,dy\biggr)^px^{\lambda}\,dx\biggr)^{1/p} \lesssim\biggl(\int_{0}^{\infty}|f(x)|^px^{\lambda}\,dx\biggr)^{1/p}.
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Можем считать $f(x)\geqslant 0$. Докажем неравенство (5.2). В теореме 2 неравенство (5.2) установлено для $\beta_1=\beta_2$. Пусть $E_1=[0,1]$, $E_2=(1,2]$, $E_3=(2,\infty)$. Если $x,y\in E_1$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \biggl|1-\frac{u_{\boldsymbol{\beta}}(x)}{u_{\boldsymbol{\beta}}(y)}\biggr| =\biggl|1-\frac{x^{\beta_1}}{y^{\beta_1}}\biggr|, \\ \begin{split} &\biggl(\int_{E_1}\biggl(\int_{E_1}f(y)\biggl |1-\frac{u_{\boldsymbol{\beta}}(x)} {u_{\boldsymbol{\beta}}(y)}\biggr| |K_1(x,y)|y^{\lambda}\,dy\biggr)^px^{\lambda}\,dx\biggr)^{1/p} \\ &\qquad\leqslant\biggl(\int_{0}^{\infty}\biggl(\int_{0}^{\infty}f(y)\biggl|1- \frac{x^{\beta_1}}{y^{\beta_1}}\biggr| |K_1(x,y)|y^{\lambda}\,dy\biggr)^px^{\lambda}\,dx\biggr)^{1/p} \lesssim\biggl(\int_{0}^{\infty}(f(x))^px^{\lambda}\,dx\biggr)^{1/p}. \end{split} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично разбирается случай $x,y\in E_2\cup E_3$. Если $x\in E_1$, $y\in E_2$, то по лемме 4
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \biggl|1-\frac{u_{\boldsymbol{\beta}}(x)}{u_{\boldsymbol{\beta}}(y)} \biggr|\lesssim\biggl|1-\frac{x^{\gamma}}{y^{\gamma}}\biggr|, \qquad \gamma\in \biggl(-\frac{\lambda+1}{p},\frac{\lambda+1}{p'}\biggr), \\ \begin{split} &\biggl(\int_{E_1}\biggl(\int_{E_2}f(y)\biggl |1-\frac{u_{\boldsymbol{\beta}}(x)} {u_{\boldsymbol{\beta}}(y)}\biggr| |K_1(x,y)|y^{\lambda}\,dy\biggr)^px^{\lambda}\,dx\biggr)^{1/p} \\ &\qquad \lesssim\biggl(\int_{0}^{\infty}\biggl(\int_{0}^{\infty}f(y) \biggl|1-\frac{x^{\gamma}}{y^{\gamma}}\biggr| |K_1(x,y)|y^{\lambda}\,dy\biggr)^px^{\lambda}\,dx\biggr)^{1/p} \lesssim\biggl(\int_{0}^{\infty}|f(x)|^px^{\lambda}\,dx\biggr)^{1/p}. \end{split} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично с помощью леммы 5 разбирается случай $x\in E_2$, $y\in E_1$. Если $x\in E_1$, $y\in E_3$, $\boldsymbol{\alpha}=(\lambda+1,\lambda+1)$, то $t=y/x\geqslant 2$,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, K_1(x,y)&=\frac{1}{(x+y)^{\lambda+1}}\int_{-1}^1\frac{1-t^{1/2}v} {\bigl(1-(2t^{1/2}/(t+1))v\bigr)^{\lambda+1}}\,d\psi(v) \\ &=\frac{1}{(x+y)^{\lambda+1}}\int_{-1}^1(1-t^{1/2}v)(1+O(t^{-1/2})) \,d\psi(v)= O\bigl(y^{-(\lambda+1)}\bigr) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl(\int_{E_1}\biggl(\int_{E_3}f(y)\biggl |1-\frac{u_{\boldsymbol{\beta}}(x)} {u_{\boldsymbol{\beta}}(y)}\biggr| |K_1(x,y)|y^{\lambda}\,dy\biggr)^px^{\lambda}\,dx\biggr)^{1/p} \\ &\qquad \lesssim\biggl(\int_{0}^{\infty}\biggl(\int_{y\geqslant x}\frac{f(y)}{u_{\boldsymbol{\alpha}} (y)}y^{\lambda}\,dy\biggr)^px^{\lambda}\,dx\biggr)^{1/p} \\ &\qquad\qquad + \biggl(\int_{0}^{\infty}(u_{\boldsymbol{\beta}}(x))^p\biggl(\int_{y\geqslant x} \frac{f(y)}{u_{\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}}(y)}y^{\lambda}\,dy\biggr)^p x^{\lambda}\,dx\biggr)^{1/p} \lesssim\biggl(\int_{0}^{\infty}(f(x))^px^{\lambda}\,dx\biggr)^{1/p}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее неравенство есть следствие двух неравенств для оператора Беллмана
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \biggl(\int_{0}^{\infty}(Bf(x))^px^{\lambda}\,dx\biggr)^{1/p}\lesssim \biggl(\int_{0}^{\infty}\bigl(u_{\boldsymbol{\alpha}}(x)f(x)\bigr)^px^{\lambda} \,dx\biggr)^{1/p}, \\ \biggl(\int_{0}^{\infty}\bigl(u_{\boldsymbol{\beta}}(x)Bf(x)\bigr)^px^{\lambda} \,dx\biggr)^{1/p}\lesssim \biggl(\int_{0}^{\infty}\bigl(u_{\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}}(x)f(x) \bigr)^px^{\lambda}\,dx\biggr)^{1/p}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
справедливость которых вытекает из леммы 3. Если $x\in E_3$, $y\in E_1$, $\boldsymbol{\alpha}=(\lambda+1,\lambda+1)$, то $t=y/x\leqslant 1/2$,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, K_1(x,y)=\frac{1}{(x+y)^{\lambda+1}}\int_{-1}^1\frac{1-t^{1/2}v} {\bigl(1-(2t^{1/2}/(t+1))v\bigr)^{\lambda+1}}\,d\psi(v)=O\bigl(x^{-(\lambda+1)}\bigr), \\ \begin{split} &\biggl(\int_{E_3}\biggl(\int_{E_1}f(y)\biggl |1-\frac{u_{\boldsymbol{\beta}}(x)} {u_{\boldsymbol{\beta}}(y)}\biggr| |K_1(x,y)|y^{\lambda}\,dy\biggr)^px^{\lambda}\,dx\biggr)^{1/p} \\ &\qquad \lesssim\biggl(\int_{0}^{\infty}(u_{\boldsymbol{-\alpha}}(x))^p \biggl(\int_{y\leqslant x}f(y)y^{\lambda}\,dy\biggr)^px^{\lambda}\,dx\biggr)^{1/p} \\ &\qquad\qquad +\biggl(\int_{0}^{\infty}(u_{\boldsymbol{\beta}-\boldsymbol{\alpha}}(x))^p \biggl(\int_{y\leqslant x}\frac{f(y)}{u_{\boldsymbol{\beta}}(y)}y^{\lambda}\,dy\biggr)^p x^{\lambda}\,dx\biggr)^{1/p} \lesssim\biggl(\int_{0}^{\infty}(f(x))^px^{\lambda}\,dx\biggr)^{1/p}. \end{split} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее неравенство есть следствие двух неравенств для оператора Харди
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \biggl(\int_{0}^{\infty}\bigl(u_{\boldsymbol{-\alpha}}(x)Hf(x)\bigr)^p x^{\lambda}\,dx\biggr)^{1/p}\lesssim \biggl(\int_{0}^{\infty}(f(x))^px^{\lambda}\,dx\biggr)^{1/p}, \\ \biggl(\int_{0}^{\infty}\bigl(u_{\boldsymbol{\beta}-\boldsymbol{\alpha}}(x)Hf(x)\bigr)^p x^{\lambda}\,dx\biggr)^{1/p}\lesssim \biggl(\int_{0}^{\infty}(u_{\boldsymbol{\beta}}(x)f(x))^px^{\lambda}\,dx\biggr)^{1/p}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
справедливость которых вытекает из леммы 2. Неравенство (5.2) доказано. Неравенство (5.3) получается аналогично. Теорема 3 доказана.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Iva23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|