| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) Спектральные свойства несекториального оператора Штурма–Лиувилля на полуоси Х. К. Ишкин Башкирский государственный университет, г. Уфа
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623050061 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеПусть $q$ – комплекснозначная функция, суммируемая на каждом конечном интервале $(0,b)$, $b>0$, и такая, что Обозначим через ${D}_\theta$ множество функций $y\in L^2(\mathbb{R}_+)$, удовлетворяющих условиям
Здесь $AC_{\mathrm{loc}}[0,+\infty)$ – множество функций, абсолютно непрерывных на каждом отрезке $[0,b]$, $b>0$, $\theta$ – фиксированное вещественное число или символ $\infty$, при котором условию (ii), как обычно, придается смысл $y(0)=0$. Введем оператор ${L}_\theta$, действующий в $L^2(\mathbb{R}_+)$ по правилу $ {L}_\theta y=l(y)$, $D({L}_\theta)={D}_\theta$. Известно [1], что ${L}_\theta$ плотно определен и замкнут. В работе исследуются условия на $q$, при которых оператор $L_\theta$ имеет дискретный спектр и система корневых функций (СКФ) полна или образует базис в каком-либо смысле. В литературе наиболее полно изучен случай, когда функция $\operatorname{Im}q$ в каком-либо смысле подчинена $\operatorname{Re}q$. В этой ситуации оператор $L_\theta$ можно рассматривать как возмущение самосопряженного оператора. Так, если $\operatorname{Re}q(x)\to+\infty$ при $x\to\infty$ и
$$
\begin{equation}
\frac{\operatorname{Im}q(x)}{\operatorname{Re}q(x)}\to0 \qquad\text{при}\quad x\to+\infty,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
то спектр оператора $L_\theta$ дискретен, и в зависимости от скорости сходимости предела (1.1) имеет место базисность или базисность по Риссу (см. [2; § 20], [3], [4] и имеющиеся ссылки). Если
$$
\begin{equation}
\liminf_{x\to+\infty}\frac{\operatorname{Im}q(x)}{\operatorname{Re}q(x)}>0,
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
то оператор $L_\theta$ спектрально неустойчив, потому методы теории возмущений в этой ситуации неприменимы. Так, даже в случае, когда функция $q$ голоморфна в некотором секторе $|\operatorname{arg} z|\leqslant \gamma$, $0<\gamma\leqslant\pi$, спектр может сильно меняться при малых возмущениях. Класс возмущений, сохраняющих хотя бы локализацию спектра, гораздо уже, по сравнению с случаем (1.1) [5]. Для выявления этого класса приходится привлекать специальные методы, использующие индивидуальные свойства каждого из таких операторов [6]–[9]. Причина неустойчивости общеизвестна: резольвентная норма может быть большой, даже если $\lambda$ достаточно далека от спектра. В результате этого нормы проекторов
$$
\begin{equation*}
P_n=-\frac1{2\pi i}\int_{\Gamma_n}(L_\theta-\lambda)^{-1}\,d\lambda
\end{equation*}
\notag
$$
($\Gamma_n$ – окружность с центром в точке $\lambda_n\in \sigma(L_\theta)$, не содержащая внутри себя других точек спектра) экспоненциально растут при $n\to+\infty$ [10]–[12]. Поэтому в контексте рассматриваемой задачи можно вести речь только о базисности СКФ для суммирования методом Абеля–Лидского [13]. Среди потенциалов, удовлетворяющих (1.2), по степени изученности соответствующего оператора $L_\theta$ можно выделить два класса, которые
При выполнении условия а) комплексный скейлинг (см., например, [14; § 8]) и метод ВКБ [15] позволяют не только установить локализацию спектра, но и находить асимптотические разложения для собственных чисел с большой точностью [16], [17]. Если выполнено б), то при некотором дополнительном условии, обеспечивающем случай точки Вейля для уравнения $l(y)=z_0y$, оператор $L_\theta$ будет $m$-секториальным: числовая область $\operatorname{Num}(L_\theta)=\{(L_\theta f,f)\colon f\in D(L_\theta),\ \|f\|=1\}$ лежит в секторе $S(z_0,\beta_1,\beta_2)$ и внешность $S(z_0,\beta_1,\beta_2)$ принадлежит резольвентному множеству оператора $L_\theta$. Тогда [18; гл. V, § 6] вдоль любого луча вне $S(z_0,\beta_1,\beta_2)$ резольвента имеет наилучшую скорость убывания:
$$
\begin{equation}
\|(L_\theta-\lambda)^{-1}\|=O(\lambda^{-1}), \qquad \lambda\to\infty.
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Кроме того (см., например, [19; гл. VI, § 3]),
$$
\begin{equation*}
T:=e^{-i(\beta_2-\beta_1)/2}(L_\theta-z_0)=H^{1/2}(1+iB)H^{1/2},
\end{equation*}
\notag
$$
где $H=\operatorname{Re}T$, $B$ ограничен и самосопряжен. Поэтому оператор $T$ имеет такой же порядок, что и $H$. Этот факт вместе с оценкой (1.4) позволяет при некоторых условиях на $q$ (менее жестких, чем в случае а)) установить полноту СКФ или их базисность для суммирования методом Абеля–Лидского. Приведем два утверждения, которые непосредственно следуют из результатов работы Лидского [20] (теоремы 2, 4, 5, 8):
В работе [21] получено усиление утверждения (B): При нарушении условия (1.3) $\operatorname{Num}(L_\theta)$ в силу своей выпуклости (см., например, [22; гл. I, п. 21]) может заполнять всю плоскость $\mathbb{C}$. В этой ситуации ни существование сектора, свободного от спектра, ни оценка (1.4) не гарантированы. Между тем оценка (1.4) и оценка для порядка оператора играют ключевую роль при доказательстве полноты СКФ или их базисности для суммирования по Абелю (см. [3], [23]). В предлагаемой работе нами выделен достаточно широкий класс потенциалов, которые не удовлетворяют ни одному из условий а) и б), но при этом спектр $L_\theta$ дискретен и СКФ образуют базис для суммирования методом Абеля–Лидского. Этот класс состоит из локально суммируемых функций, удовлетворяющих на бесконечности некоторым условиям типа гладкости и регулярности роста и принимающих значения вне некоторого сектора $\{z\in\mathbb{C}\colon |z|>R,\ |\operatorname{arg}z+\pi|<\varepsilon\}$. Показано, что $\operatorname{Num}(L_\theta)=\mathbb{C}$ и существует сектор $\{|\operatorname{arg}\lambda+\pi|<\tau\}$, свободный от спектра, и любой луч из этого сектора является лучом наилучшего убывания резольвенты. Основываясь на этих фактах, установлена базисность СКФ для суммирования методом Абеля–Лидского. 2. Формулировка основных результатовВсюду далее считаем: $ z^s=|z|^{s}e^{is\operatorname{arg} s}$, $z\in\mathbb{C}$, $s\in \mathbb{R}$, $\sqrt[n]z=s^{1/n}$, $n\in\mathbb{N}$. Теорема 1. Пусть функция $q$ удовлетворяет условиям Пример 1. Условиям 1)–3) удовлетворяет, например, функция $q=re^{is}$, где $r$, $s$ – вещественнозначные функции, такие, что при некотором $a>0$ Если, например, $r=x^\alpha$, $s=(\pi/(1+\delta))\cos x^\beta$, $\alpha>2$, $\beta<\alpha/4+1/2$, то условия a)–c) выполнены. Сформулируем важное для дальнейшего следствие из теоремы 1. Пусть $1/2<\beta<(1+\delta)/2$ и $2\beta-1<\delta'<\delta$. Согласно утверждению 2) теоремы 1, сдвинув при необходимости спектральный параметр, можно считать, что спектр оператора $L_\theta$ лежит внутри угла
$$
\begin{equation}
U(\delta')=\biggl\{|\operatorname{arg}\lambda|<\frac{\pi}{1+\delta'}\biggr\}.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Пусть $\Gamma$ – граница угла $U(\delta')$, ориентированная так, что при ее обходе угол $U(\delta')$ остается слева. Рассмотрим оператор
$$
\begin{equation}
I(t)=-\frac1{2\pi i}\int_\Gamma e^{-\lambda^\beta t}(L_\theta-\lambda)^{-1}\,d\lambda, \qquad t>0,
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
где $\lambda^\beta=|\lambda|^\beta e^{i\beta\operatorname{arg}\lambda}$, $|\operatorname{arg}\lambda|<\pi$. Утверждение (2.8) будет играть важную роль при доказательстве базисности СКФ оператора $L_\theta$ в смысле Абеля–Лидского, которая понимается следующим образом: рассмотрим ряд
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, S(t)&=\sum_{k}^\infty S_k(t), \\ \nonumber S_k(t) & =-\frac1{2\pi i}\int_{\Gamma_k}e^{-\lambda^\beta t}(L_\theta-\lambda)^{-1}\,d\lambda, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
где контур $\Gamma_k$ лежит в $U(\delta')$, охватывает одно или несколько собственных значений оператора $L_\theta$ и ориентирован против хода часовой стрелки. Если при любом $t>0$ ряд (2.9) сходится сильно и
$$
\begin{equation}
\lim_{t\to+0} S(t)f= f \qquad \text{для всех}\quad f\in L^2(\mathbb{R}_+),
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
то говорят, что СКФ оператора $L_\theta$ образует базис для суммирования методом Абеля–Лидского порядка $\beta$. Теорема 2. Если дополнительно к условиям 1)–3) то СКФ оператора $L_\theta $ образует базис для суммирования методом Абеля–Лидского порядка $\beta\in((2+\alpha)/2\alpha,(1+\delta)/2)$. Допустимый интервал для порядка суммируемости $\beta$ в теореме 2 и утверждении (C) один и тот же. В этой связи условие $\alpha>2/\delta$ вполне естественно. Условие же $\alpha>2$ несущественно. В следующей работе мы планируем снять ограничение (2.1). В условиях теоремы 2 для СКФ $L_\theta$ имеет место полнота и минимальность. При этом возникает вопрос: насколько условие $\alpha>2/\delta$ необходимо для полноты СКФ? Первый результат в этом направлении получили Савчук и Шкаликов [21]: если $q(x)=e^{i\gamma}x$, то СКФ $L_\theta$ полна при всех $|\gamma|<5\pi/6$. В работе [24] этот результат был обобщен на случай потенциалов при $0<\alpha<2$.Ввиду того, что оператор $L_\theta$ не является секториальным, при доказательстве обеих теорем по существу приходится обходиться только методами теории функций, основанными на свойствах специального решения $\varphi(x,\lambda)$ уравнения которое, с одной стороны, удовлетворяет стандартным ВКБ-оценкам [15; гл. II, § 2], с другой – при каждом фиксированном $x\geqslant0$ является целой функцией $\lambda$.3. Специальное решениеВведем обозначения
$$
\begin{equation}
\Delta_1(x)=\int_x^\infty|(q^{-1/4})''q^{-1/4}|\,dt, \quad \Delta_2(x)=\int_x^\infty |q^{-1/2}(t)|\,dt, \qquad x\geqslant a,
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
и договоримся, что всюду далее $C, C_0, C_1,\dots$ – абсолютные (т.е. не зависящие от каких-либо параметров) положительные постоянные, точное значение которых нас не интересует. Кроме того, если $y(x,\lambda)$ – решение уравнения (2.12), то $y'(x,\lambda)$ будет означать производную $y$ по $x$. Лемма 1. Пусть выполнены условия 1)–3). Тогда Так как
$$
\begin{equation*}
\frac{q'(x)}{q^{3/2}(x)}=\int_x^{+\infty}\biggl(\frac{q''}{q^{3/2}} -\frac32\,\frac{q'^2}{q^{5/2}}\biggr)\,dt,
\end{equation*}
\notag
$$
согласно (2.2) Поэтому $r_1(x,\lambda)$ ( как и $r_0(x,\lambda)$) стремится к 0 при $x\to+\infty$ равномерно по $\lambda$ из любого компакта. Следовательно, оценки (3.2)–(3.5) дают асимптотику $\varphi(x,\lambda)$ и $\varphi'(x,\lambda)$ при больших $x>0$ равномерно по $\lambda$ из любого компакта. Нам понадобятся еще 2 типа асимптотик. В следующей лемме речь пойдет об оценках $\varphi(x,\lambda)$ и $\varphi'(x,\lambda)$ при больших $\lambda$ из некоторого сектора $|\operatorname{arg} \lambda+\pi|<\varepsilon$, равномерных по $x\geqslant0$. Введем функцию $\widetilde{q}$, которая на $[a+1, \infty)$ совпадает с $q$, на $[0,a]$ равна 0, и на $(a,a+1)$ такова, что $\widetilde{q}'$ абсолютно непрерывна на каждом отрезке $[0,b]$, $b>0$. Далее положим
$$
\begin{equation}
I(x,\lambda) = \int_x^\infty\bigl|\bigl((\widetilde{q}(t)+\lambda)^{-1/4}\bigr)'' (\widetilde{q}(t)+ \lambda)^{-1/4}\bigr|\,dt+\frac1{\sqrt{|\lambda|}}\int_x^{a+1}|q-\widetilde{q}|\,dt,
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
$$
\begin{equation}
Q(x,\lambda) =\lambda\int_x^\infty\frac{dt}{\sqrt {\widetilde{q}(t)}+\sqrt{\widetilde{q}(t) +\lambda}}-\int_0^x\sqrt {\widetilde{q}(t)}\,dt.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Лемма 2. Пусть функция $q$ удовлетворяет условиям 1)–3). Тогда решение $\varphi$, определяемое оценкой (3.2)–(3.3), при больших $\lambda$ из сектора $|\operatorname{arg} \lambda+\pi|<\pi\delta/(1+\delta)$ ($\delta$ – постоянная, фигурирующая в условии (2.3)) имеет следующую асимптотику: равномерно по $x\in[0,\infty)$ и $|\operatorname{arg}\lambda|\leqslant {\pi\delta'}/(1+\delta')$, $0<\delta'<\delta$. В лемме 1 утверждается, что порядок функций $\varphi(x,\cdot)$ и $\varphi'(x,\cdot)$ не превосходит 1. Для наших целей этой информации недостаточно. В следующей лемме при дополнительном условии (2.11) мы даем более точную оценку величины
$$
\begin{equation}
\rho(x):=\limsup_{r\to+\infty}\frac{\ln\ln M(x,r)}{\ln r},
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
где $M(x,r)=\max _{0\leqslant\theta\leqslant2\pi}|\varphi(x,re^{i\theta})|$. Лемма 3. Пусть функция $q$ удовлетворяет условиям 1)–3) и (2.11). Тогда 4. Доказательство леммы 14.1. Доказательство п. (i): существование $\varphi$, оценки (3.2)–(3.3)Как показано в [25; гл. VI, §§ 2, 3, теоремы 2.1, 3.1], при выполнении условий 1)–3)1 уравнение (2.12) при $\lambda=0$ имеет решения $u_\pm$, для которых при $x\to+\infty$ справедливы ВКБ-оценки
$$
\begin{equation}
u_-(x) \sim q^{-1/4}(x)\exp\biggl(-\int_a^x\sqrt {q(t)}\,dt\biggr)[1+O(\Delta_1(x))],
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
$$
\begin{equation}
u_+(x) \sim q^{-1/4}(x)\exp\biggl(\int_a^x\sqrt {q(t)}\,dt\biggr)[1+o(1)].
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Из оценок (4.1) и (4.2) следует, что $u_-$ и $u_+$ линейно независимы, так что $w_0:=u_-u_+'-u_-'u_+\neq0$. Рассмотрим интегральное уравнение
$$
\begin{equation}
\varphi(x,\lambda)=u_-+\frac\lambda{w_0}\int_x^\infty(u_+(x)u_-(t)-u_-(x)u_+(t)) \varphi(t,\lambda)\,dt, \qquad x\geqslant 0.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Непосредственным дифференцированием легко проверить, что если уравнение (4.3) имеет решение, удовлетворяющее оценке (3.2)–(3.3), то оно является также решением уравнения (2.12). Покажем, что уравнение (4.3) при каждом $\lambda\in \mathbb{C}$ однозначно разрешимо в $C[0,+\infty)$ и для решения справедлива указанная оценка. Подстановка
$$
\begin{equation}
\widetilde{\varphi}(x,\lambda)) = \varphi(x,\lambda) \sqrt[4]{q(x)} \exp\biggl(\int_a^x\sqrt {q(t)}\,dt\biggr),
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
$$
\begin{equation}
\widetilde{u}_\pm(x) =u_\pm(x) \sqrt[4]{q(x)}\exp \biggl(\mp\int_a^x\sqrt {q(t)}\,dt\biggr)
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
преобразует уравнение (4.3) к виду
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \widetilde{\varphi}(x,\lambda) =\widetilde{u}_-(x)+\lambda\int_x^\infty A(x,t) \widetilde{\varphi}(t,\lambda)\,dt, \qquad x\geqslant a, \\ A(x,t) =\frac1{w_0}\biggl(\exp\biggl(-\int_x^t\sqrt {q(s)}\,ds\biggr)\widetilde{u}_+(x)\widetilde{u}_-(t)-\widetilde{u}_-(x)\widetilde{u}_+(t) \biggr)(q(t))^{-1/2}. \nonumber \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Согласно условию (2.3) $\operatorname{Re}\sqrt {q(x)}>0$ при $x\geqslant a$ и в силу (4.1) и (4.2) функции $\widetilde{u}_\pm$ ограничены на $[a,\infty)$, поэтому
$$
\begin{equation}
| A(x,t)|\leqslant \frac{C_0}{|q(t)|^{1/2}}, \qquad a\leqslant x\leqslant t,
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
где $C_0>0$ – постоянная. Следовательно, интегральный оператор $A$ в правой части (4.6) – вольтерров, его ядро суммируемо на $(a,+\infty)$. Поэтому уравнение имеет в $C[a,+\infty)$ единственное решение, которое представляется в виде ряда
$$
\begin{equation}
\widetilde{\varphi}(x,\lambda)=\sum_{k=0}^\infty\lambda^k[A^k\widetilde{u}_-](x).
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
В силу (4.7)
$$
\begin{equation*}
|[A^k\widetilde{u}_-](x)|\leqslant \frac{C_1(C_0\int_x^\infty|q|^{-1/2}(t)\,dt)^k}{k!}, \qquad x\geqslant a, \quad k=0,1,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
так что при каждом $x\geqslant 0$ функция $\varphi(x,\cdot)$ – целая и
$$
\begin{equation*}
|\widetilde{\varphi}(x,\lambda)|\leqslant C_1 \exp\biggl(C_0|\lambda|\int_x^\infty |q|^{-1/2}(t)\,dt\biggr), \qquad x\geqslant a, \quad \lambda\in \mathbb{C}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $C_1=\sup _{x\geqslant a}|\widetilde{u}_-(x)|$. Отсюда и из (4.4) следует, что порядок функции $\varphi(x,\cdot)$ не превосходит 1. Далее, используя последнюю оценку, из (4.6) имеем
$$
\begin{equation*}
|\widetilde{\varphi}(x,\lambda)-\widetilde{u}_-(x)|\leqslant C_1\biggl(\exp\biggl(C_0|\lambda| \int_x^\infty |q|^{-1/2}(t)\,dt\biggr)-1\biggr), \qquad x\geqslant a, \quad \lambda\in \mathbb{C}.
\end{equation*}
\notag
$$
Возвращаясь к $\varphi$ и $u_-$ по формулам (4.4) и (4.5), учитывая (4.1), получим (3.2)–(3.3). 4.2. Доказательство п. (i): оценки (3.4)–(3.5) для $\varphi'$Если $q$ удовлетворяет условиям 1)–3), то согласно теореме 2.1 из [25; гл. 6, § 2] для остаточного члена $r_0(x,\lambda)$ в (3.2) справедлива оценка:
$$
\begin{equation}
\frac12 q^{-1/2}(x)|r_0'(x,\lambda)|\leqslant \exp\biggl\{\frac12\Delta(x,\lambda)\biggr\}-1,
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
$$
\begin{equation}
\Delta(x,\lambda)=\int_x^\infty \bigl|(q^{-1/4}(t))''q^{-1/4}(t)+{\lambda} {q^{-1/2}(t)}\bigr|\,dt.
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Из представления (3.2) видно, что функция $r_0(x,\lambda)$ дифференцируема на $[a,\infty)$ и
$$
\begin{equation*}
\varphi'(x,\lambda)=-{\sqrt[4]{q(x)}}\exp\biggl(-\int_a^x\sqrt {q(t)}\,dt\biggr)\biggl(1+\frac{q'(x)}{4q^{3/2}(x)}-\frac{r_0'(x,\lambda)}{q^{1/2}(x)}\biggr), \qquad x\geqslant a.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из соотношений (4.9)–(4.10) с учетом (3.6) следуют (3.4)–(3.5). Докажем, что при каждом $x\geqslant a$ $\varphi'(x,\cdot)$ – целая функция порядка не выше 1. Дифференцируя обе части (4.3), получим
$$
\begin{equation}
\varphi'(x,\lambda)=u_-'(x)+\frac\lambda{w_0}\int_x^\infty \bigl(u_+'(x)u_-(t)-u_-'(x)u_+(t)\bigr)\varphi(t,\lambda)\,dt, \qquad x\geqslant a.
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
В силу (3.4)–(3.5) при $\lambda=0$ имеем
$$
\begin{equation*}
u_-'(x)\sim q^{1/4}(x)\exp\biggl(-\int_a^x\sqrt {q(t)}\,dt\biggr), \qquad x\to +\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда согласно равенству $u_-u_+'-u_-'u_+=w_0$ и оценкам (4.1), (4.2) имеем
$$
\begin{equation*}
u_+'(x)\sim (w_0-1)q^{1/4}(x)\exp\biggl(\int_a^x\sqrt {q(t)}\,dt\biggr), \qquad x\to +\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Выразив в соотношении (4.11) $\varphi$ через $\widetilde{\varphi}$ согласно (4.4) и подставив вместо $\widetilde{\varphi}$ его разложение (4.8), получим
$$
\begin{equation*}
\varphi'(x,\lambda)=-q^{1/4}(x)\exp\biggl(-\int_a^x\sqrt {q(t)}\,dt\biggr)\sum_{k=0}^\infty \lambda^k b_k(x),
\end{equation*}
\notag
$$
где коэффициенты $b_k$ согласно полученным выше оценкам для $u_{\pm}'$ удовлетворяют оценкам
$$
\begin{equation*}
|b_k(x)|\leqslant C_1\biggl(C_0\int_x^\infty|q|^{-1/2}(t)\,dt\biggr)^k/k!, \qquad x\geqslant a.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и следует доказываемое утверждение. 4.3. Доказательство п. (ii)Пусть $\lambda\in \mathbb{C}$ и $\varphi(x,\lambda)$ – построенное решение. Согласно оценке (3.3) существует $d(\lambda)>a$, такое, что при всех $x\geqslant d(\lambda)$
$$
\begin{equation}
|r_0(x,\lambda)|\leqslant\frac{1}4\sin\biggl(\frac{\pi\delta}{2(1+\delta)}\biggr),
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
где $\delta$ – постоянная, фигурирующая в условии (2.3). Тогда $\varphi(x,\lambda)$ не имеет нулей на множестве $\{(x,\lambda)\colon x\geqslant d(\lambda),\ \lambda\in \mathbb{C}\}$, так что функция
$$
\begin{equation}
\psi(x,\lambda)=\varphi(x,\lambda)\int_{d(\lambda)}^x\varphi^{-2}(t,\lambda)\,dt, \qquad x>d(\lambda),
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
является решением уравнения (2.12), причем Далее, подставляя (3.2) в подынтегральное выражение, будем иметь
$$
\begin{equation}
\int_{d(\lambda)}^x\varphi^{-2}(t,\lambda)\,dt=\frac12\exp\biggl(2\int_{a}^x \sqrt {q(t)}\,dt\biggr)\biggl[1-\exp\biggl(-2\int_{d(\lambda)}^x\sqrt {q(t)}\,dt\biggr)-R\biggr],
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
где
$$
\begin{equation*}
R=R(x,\lambda)=\int_{d(\lambda)}^x\sqrt {q(t)}\exp\biggl(-2\int_{t}^x\sqrt {q(s)}\,ds\biggr)\frac{r_0(t,\lambda)(2+r_0(t,\lambda))}{(1+r_0(t,\lambda))^2}\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $d(\lambda)>a$, то в силу условия (2.3) при всех $x\geqslant d(\lambda)$
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Re}\sqrt {q(x)}\geqslant \sin\biggl(\frac{\pi\delta}{2(1+\delta)}\biggr)\sqrt{|q(x)|};
\end{equation*}
\notag
$$
следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, |R(x,\lambda)| \leqslant\int_{d(\lambda)}^x\sqrt {|q(t)|}\exp\biggl(-2\sin \biggl(\frac{\pi\delta}{2(1+\delta)}\biggr)\int_{t}^x\sqrt{|q(s)|}\,ds\biggr) r(t,\lambda)\,dt, \\ r(t,\lambda) =\frac{|r_0(t,\lambda)|(2+|r_0(t,\lambda)|)}{(1-|r_0(t,\lambda)|)^2}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда, учитывая условие (4.12), получим Подставляя (4.15) в (4.13), с учетом оценок (4.12) и (4.16) для $\psi$ получим следующее представление:
$$
\begin{equation}
\psi(x,\lambda) =\frac1{2\sqrt[4]{q(x)}}\exp\biggl(\int_{a}^x\sqrt {q(t)}\,dt\biggr)\biggl[1+\varepsilon(x,\lambda)-\exp\biggl(-2\int_{d(\lambda)}^x \sqrt {q(t)}\,dt\biggr)\biggr],
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
$$
\begin{equation}
\sup_{x\geqslant d(\lambda)}|\varepsilon(x,\lambda)|<\frac{43}{48}.
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
Это означает, что уравнение (2.12) имеет единственное (с точностью до постоянного множителя) убывающее решение, которое и есть $\varphi(x,\lambda)$. Лемма доказана. Замечание 1. Так как пользуясь оценками (3.2), (4.12), (3.4) и (4.17), получим равномерно по $\lambda\in \mathbb{C}$. 5. Доказательства лемм 2 и 35.1. Доказательство леммы 2Положим
$$
\begin{equation*}
\widetilde{y}(x,\lambda)=\frac1{\sqrt[4]{\widetilde{q}(x)+\lambda}} \exp\biggl(-\int_0^x\sqrt{\widetilde{q}(t)+\lambda}\,dt\biggr), \qquad x\geqslant 0, \quad |\operatorname{arg}\lambda|< \frac{\pi\delta}{1+\delta}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из условий 1)–3) следует (см. [25; гл. VI, § 2, п. 2.1]), что при каждом $\lambda$ из сектора
$$
\begin{equation}
S(R,\delta) = \biggl\{\lambda=re^{i\beta}\colon r>R,\ |\beta| <\frac{\pi\delta}{1+\delta}\biggr\}
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
уравнение $y''=(q+\lambda)y$ имеет решение $y(x,\lambda)$ такое, что
$$
\begin{equation}
y^{(j)}(x,\lambda)=(-1)^j(\widetilde{q}(x)+\lambda)^{(-1+2j)/4} \widetilde{y}(x,\lambda)[1+O(I(x,\lambda)], \qquad \lambda\to\infty, \quad j=0,1,
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
где оценка остаточного члена равномерна по $x\in[0,\infty)$ и $|\operatorname{arg}\lambda|\leqslant {\pi\delta'}/(1+\delta')$, $0<\delta'<\delta$. Согласно п. (ii) леммы 1 решение $\varphi(x,-\lambda)$ может отличаться от $y(x,\lambda)$ лишь постоянным множителем:
$$
\begin{equation*}
\varphi(x,-\lambda)=C(\lambda)\cdot y(x,\lambda), \qquad x\geqslant0, \quad \lambda\in S(R,\delta).
\end{equation*}
\notag
$$
Из формул (3.1), (3.7) и оценок (3.2)–(3.3) и (5.2) при $j=0$ видно, что при каждом $\lambda$ из сектора $S(R,\delta)$
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, y(x,\lambda)\sim \frac1{\sqrt[4]{\widetilde{q}(x)+\lambda}} \exp\biggl(-\int_0^x\sqrt{\widetilde{q}(t)+\lambda}\,dt\biggr), \\ \varphi(x,-\lambda)\sim \frac1{\sqrt[4]{q(x)}}\exp\biggl(-\int_a^x\sqrt {q(t)}\,dt\biggr), \\ x\to+\infty. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
C(\lambda)=\lim_{x\to+\infty}\frac{\varphi(x,-\lambda)}{y(x,\lambda)} =\exp\biggl(\lambda \int_0^\infty \frac {dt}{\sqrt {\widetilde{q}(t)} +\sqrt{\widetilde{q}(t)+\lambda}}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует оценка (3.9). Точно так же доказывается оценка (3.10). 5.2. Доказательство леммы 3Положим
$$
\begin{equation*}
y_j(x,\lambda)=\varphi^{(j)}(x,\lambda) (q_a(x))^{(1-2j)/4}\exp \biggl(\int_0^x\sqrt {q_a(t)}\,dt\biggr), \qquad j=0,1,
\end{equation*}
\notag
$$
где функция $q_a$ определена по формуле (3.14). Далее пусть где $\alpha$ – постоянная, фигурирующая в условии (2.11), $M$ – постоянная, не зависящая от $\lambda$. Непосредственно из формулы (3.1) для $\Delta_2$ и условия (2.11) вытекает оценка
$$
\begin{equation*}
\Delta_2(a_\lambda)=O(\lambda^{-1/2+1/\alpha}), \qquad \lambda\to\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
равномерная по $\operatorname{arg}\lambda$. Отсюда согласно оценкам (3.2)–(3.3) и (3.4)–(3.5) будем иметь
$$
\begin{equation}
\sup _{x\geqslant a_\lambda}|y_j(x,\lambda)| \leqslant \exp(C_1|\lambda|^{(2+\alpha)/2\alpha}), \qquad j=0,1, \qquad \lambda\in\mathbb{C},
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
где $C_1$ – положительная постоянная, не зависящая от $\lambda$. Покажем, что
$$
\begin{equation}
\sup _{0\leqslant x< a_\lambda}| y_0(x,\lambda)| \leqslant \exp(C_0|\lambda|^{(2+\alpha)/2\alpha}), \qquad \lambda\in\mathbb{C},
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
с некоторым $C_0>0$. Введем в рассмотрение решения $s(x,\lambda)$ и $c(x,\lambda)$ уравнения (2.12), удовлетворяющие начальным условиям
$$
\begin{equation}
s(0,\lambda)=c'(0,\lambda)=0, \qquad c(0,\lambda)=s'(0,\lambda)=1.
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
Функция $s$ является решением уравнения
$$
\begin{equation}
s(x,\lambda)=\frac{\sin\sqrt\lambda x}{\sqrt\lambda} -\frac1{\sqrt\lambda}\int_0^x\sin\sqrt\lambda(x-t)q(t)s(t,\lambda)\,dt,
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
где $\sqrt\lambda=\sqrt{|\lambda|}e^{i\operatorname{arg}\lambda}$, $-\pi<\operatorname{arg}\lambda\leqslant\pi$. Полагая $\widetilde{s}=\sqrt\lambda e^{i\sqrt\lambda x} s$ и рассуждая так же, как при выводе оценки (3.2)–(3.3), получим
$$
\begin{equation}
|s(x,\lambda)| \leqslant C_2e^{|\operatorname{Im}\sqrt\lambda| x} \exp\biggl(\frac{C_3}{\sqrt{|\lambda|}}\int_0^x|q|\,dt\biggr), \qquad {|\lambda|}\geqslant1,
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
равномерно по $x\in[0,a_\lambda]$. Далее, дифференцируя обе части (5.7) по $x$ и воспользовавшись (5.7), для $s'(x,\lambda)$ получим аналогичную оценку. Ясно, что для $c(x,\lambda)$ и $c'(x,\lambda)$ верны такие же оценки. В силу условия (2.11)
$$
\begin{equation*}
\int_0^{a_\lambda}|q|\,dt= O(\lambda^{1+1/\alpha}), \qquad \lambda\to\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
равномерно по аргументу $\lambda$; следовательно,
$$
\begin{equation}
s^{(j)}(x,\lambda), c^{(j)}(x,\lambda) =O( \exp(C|\lambda|^{(2+\alpha)/2\alpha})), \qquad (\lambda,x)\in \mathbb{C}\times[0,a_\lambda], \quad j=0,1.
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
Далее,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \varphi(x,\lambda)=c_1(\lambda)s(x,\lambda)+c_2(\lambda)c(x,\lambda), \qquad \lambda\in\mathbb{C}, \quad x\in [0,a_\lambda], \\ c_1(\lambda)=W(c,\varphi)(a_\lambda,\lambda), \qquad c_2(\lambda)=W(\varphi,s)(a_\lambda,\lambda), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $W(f,g)$ – вронскиан функций $f$ и $g$. Отсюда и из оценок (5.4), (5.9) получим (5.5). Точно так же доказывается оценка для $y_1$.
6. Доказательства теорем 1 и 2Для сокращения записи мы ограничимся случаем $\theta=\infty$, когда краевое условие (ii) (см. введение) имеет вид $y(0)=0$. Из изложенного ниже будет видно, что в случае произвольного $\theta\in \mathbb{R}$ доказательства теорем 1 и 2 полностью сохраняют силу. 6.1. Резольвента оператора $L_\theta$Положим $\Phi(\lambda):=\varphi(0,\lambda)$. Лемма 4. Если $\Phi(\lambda)\neq0$, то $(L_\theta-\lambda)^{-1}$ – оператор Гильберта–Шмидта с ядром Доказательство. Пусть $\Phi(\lambda)\neq0$. Согласно (3.2) и (3.3) функция $\varphi(t,\lambda)$ экспоненциально убывает на бесконечности. Используя этот факт, непосредственной проверкой легко убедиться, что при каждом $f\in L^2(\mathbb{R}_+)$ функция
$$
\begin{equation*}
y(x,\lambda):=B(\lambda)f=\int_0^{+\infty}B(x,t,\lambda)f(t)\,dt
\end{equation*}
\notag
$$
принадлежит2 $D_\theta$ и $l(y)-\lambda y=f$. Следовательно, $(L_\theta-\lambda)B(\lambda)=I$. Покажем, что $B(\lambda)(L_\theta-\lambda)y=y$ для всех $y\in D_\theta$. Отсюда будет следовать, что $B(\lambda)=(L_\theta-\lambda)^{-1}$. Если $f=(L_\theta-\lambda)y, y\in D_\theta$, то по доказанному, функция $u=y-Bf$ удовлетворяет уравнению $l(u)=\lambda u$. Поскольку $W(\varphi,s)=\Phi(\lambda)\neq0$, то $u=c_1\varphi+c_2s$. Кроме того, $u\in D_\theta$, поэтому $u(0)=0$ и $u\in L^2(\mathbb{R}_+)$. С другой стороны, $\varphi(0,\lambda)\neq0$ и $s\notin L^2(\mathbb{R}_+)$ (согласно п. (ii) леммы 1). Следовательно, $c_1=c_2=0$, откуда $Bf=y$, т.е. $B(L_\theta-\lambda)y=y$. Докажем, что
$$
\begin{equation}
N(B):=\iint_{\mathbb{R}_+\times\mathbb{R}_+} |B(x,t,\lambda)|^2\,dx\,dt<\infty.
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
В силу (4.14) функции $\varphi$ и $\psi$ образуют ФСР уравнения (2.12), поэтому
$$
\begin{equation*}
s(x,\lambda)=c_1(\lambda)\psi(x,\lambda)+c_2(\lambda)\varphi(x,\lambda).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, B(x,t,\lambda)=B_1(x,t,\lambda)+B_2(x,t,\lambda), \\ B_1(x,t,\lambda)=\frac{c_1(\lambda)}{\Phi(\lambda)} \begin{cases} \varphi(x,\lambda)\psi(t,\lambda), & 0<t<x, \\ \psi(x,\lambda)\varphi(t,\lambda), & t>x, \end{cases} \qquad B_2(x,t,\lambda)=\frac{c_2(\lambda)}{\Phi(\lambda)}\varphi(x,\lambda)\varphi(t,\lambda). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, $N(B_2)<\infty$. Поэтому для доказательства (6.2) достаточно установить сходимость интеграла $N(B_1)$. Пусть $d(\lambda)$ – постоянная, введенная в начале п. 4.3. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, N(B_1)=I_1(\lambda)+2I_2(\lambda), \\ I_1(\lambda)=\int_{d(\lambda)}^{+\infty}\biggl( \int_{d(\lambda)}^{+\infty} |B_1(x,t,\lambda)|^2\,dt\biggr)\,dx, \\ I_2(\lambda)=\biggl|\frac{c_1(\lambda)}{\Phi(\lambda)}\biggr|^2 \int_0^{d(\lambda)}|\psi(x,\lambda)|^2\,dx\cdot\int_{d(\lambda)}^{+\infty} |\varphi(t,\lambda)|^2\,dt. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\varphi\in L^2(\mathbb{R}_+)$, то $I_2(\lambda)<\infty$. Для оценки интеграла $I_1(\lambda)$ заметим, что согласно оценкам (3.2)–(3.3) и (4.17)–(4.18)
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, B_1(x,t,\lambda) = \frac1{\sqrt[4]{q(x)}\sqrt[4]{q(t)}} \exp\biggl(-\operatorname{sgn}(x-t)\int_{t}^x\sqrt{q(t)}\,dt\biggr)\widetilde{B}(x,t,\lambda), \qquad x,t>d(\lambda), \\ M(\lambda):= \sup_{x,t>d(\lambda)}|\widetilde{B}(x,t,\lambda)|<\infty. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда в силу условий (2.1) и (2.3) следует, что интеграл $I_1(\lambda)$ также конечен. 6.2. Доказательство теоремы 11. Согласно п. (i) леммы 1 при каждом $\lambda\in\mathbb{C}$ уравнение (2.12) имеет решение $\varphi(x,\lambda)$ из $L^2(0,\infty)$. Поэтому каждый нуль функции $\Phi(\lambda):=\varphi(0,\lambda)$ является собственным значением оператора $L_\theta $. По лемме 4 других точек спектра у оператора $L_\theta$ нет. Так как функция $\Phi$ – целая (п. (i) леммы 1), то либо $\Phi$ – тождественный нуль, либо множество ее нулей – дискретное множество. По лемме 2 (оценка (3.9)) возможен только второй случай. Предположим, что спектр конечен. Тогда по лемме 1, (i) где $K=\mathrm{const}$ и $P$ – многочлен. Из формулы (3.8) видно, что Отсюда на основании оценки (3.9) заключаем, что $\operatorname{Re}K\geqslant0$. Следовательно,
$$
\begin{equation}
\Phi(-\lambda)=O(\lambda^m), \qquad \lambda\to+\infty,
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
с некоторым $m\in\mathbb{N}$. С другой стороны, согласно условию (2.3)
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Re}\Bigl(\sqrt{q(t)}+\sqrt{q(t)+\lambda}\Bigr)>0
\end{equation*}
\notag
$$
при всех $t>a$ и $\lambda>0$. Поэтому при достаточно больших $\lambda>0$ Снова применяя оценку (3.9), получим
$$
\begin{equation*}
|\Phi(-\lambda)|\geqslant \exp\Bigl(C_2\sqrt{\lambda}\Bigr), \qquad \lambda\gg1,
\end{equation*}
\notag
$$
что противоречит с (6.3). Значит, спектр $L_\theta $ состоит из счетного числа собственных значений, каждое из которых имеет конечную алгебраическую кратность. 2. Утверждение о конечности спектра вне угла $|\operatorname{arg}\lambda| <\pi/(1+\delta')$, $0<\delta'<\delta$, следует из леммы 2. Докажем (2.4). Пусть $0<\delta'<\delta$. По лемме 2
$$
\begin{equation}
\varphi_1(x,-\lambda):=\frac{\varphi(x,-\lambda)}{\Phi(-\lambda)} \sim\biggl(\frac{\lambda}{\widetilde{q}(x)+\lambda}\biggr)^{1/4} \exp\biggl(-\int_0^x\sqrt{\widetilde{q}(t)+\lambda}\,dt\biggr), \qquad \lambda\to\infty,
\end{equation}
\tag{6.4}
$$
равномерно по $|\operatorname{arg}\lambda|\leqslant \pi\delta'/(1+\delta')$ и $x\geqslant0$. Следовательно, можно подобрать достаточно большое $R>0$, что при всех $\lambda$ из сектора $\in S(R,\delta')$ (см. (5.1)) решение $s$ представимо в виде
$$
\begin{equation*}
s(x,-\lambda)=\varphi_1(x,-\lambda)\int_0^x(\varphi_1(t,-\lambda))^{-2}\,dt, \qquad x\geqslant0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation}
s(x,-\lambda)\sim\frac{1}{2(\lambda(\widetilde{q}(x)+\lambda))^{1/4}} \exp\biggl(\int_0^x\sqrt{\widetilde{q}(t)+\lambda}\,dt\biggr), \qquad \lambda\to\infty,
\end{equation}
\tag{6.5}
$$
равномерно по $|\operatorname{arg}\lambda|\leqslant \pi\delta'/(1+\delta')$ и $x\geqslant0$. Из равенства (6.1) и оценок (6.4), (6.5) имеем
$$
\begin{equation*}
B(x,t,-\lambda)\sim \frac1{(\widetilde{q}(x)+\lambda)^{1/4}(\widetilde{q}(t)+\lambda)^{1/4}} \exp\biggl(-\biggl|\int_t^x\operatorname{Re}\Bigl(\sqrt{\widetilde{q}(\tau)+\lambda}\Bigr) \,d\tau\biggr|\biggr), \qquad \lambda\to\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
равномерно по $|\operatorname{arg}\lambda|\leqslant \pi\delta'/(1+\delta')$ и $x,t\geqslant0$. Отсюда, учитывая, что при всех $\lambda\in S(0,\delta')$ и $x\geqslant0$
$$
\begin{equation*}
|\widetilde{q}(x)+\lambda|\geqslant (|\widetilde{q}(x)|+|\lambda|) \sin\biggl(\frac{\pi(\delta-\delta')}{(1+\delta)(1+\delta')}\biggr), \qquad 0\leqslant \operatorname{arg}\sqrt{\widetilde{q}(x)+\lambda}\leqslant \frac{\pi}{2(1+\delta)},
\end{equation*}
\notag
$$
заключаем
$$
\begin{equation}
|B(x,t,-\lambda|\leqslant C B_0(x,t,r), \qquad x,t\geqslant0,
\end{equation}
\tag{6.6}
$$
где
$$
\begin{equation}
B_0(x,t,r)=(p(x)+r)^{-1/4}(p(t)+r)^{-1/4} \exp\biggl(-\biggl|\int_t^x\sqrt{p(\tau)+r}\,d\tau\biggr|\biggr),
\end{equation}
\tag{6.7}
$$
$p(x)=k|q(x)|$, $r=k|\lambda|$, $C$, $k$ – положительные постоянные, зависящие только от $\delta$ и $\delta'$. Введем самосопряженный оператор $T$, действующий в $L^2(\mathbb{R}_+)$ по правилу
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, Ty =t(y):=-y''+py, \\ D(T)=\bigl\{y\in L^2(\mathbb{R}_+)\colon y,y'\in AC_{\mathrm{loc}}[0,+\infty),\ t(y)\in L^2(\mathbb{R}_+),\ y'(0)=0\bigr\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $p\geqslant0$ на $[0,+\infty)$, то оператор $T$ положителен, поэтому Ядро оператора $(T+r)^{-1}$ имеет вид
$$
\begin{equation}
T(x,t,r)=\begin{cases} \varphi_0(x,-r)c_0(t,-r), & 0<t<x, \\ c_0(x,-r)\varphi_0(t,-r), & t>x, \end{cases}
\end{equation}
\tag{6.9}
$$
где функции $\varphi_0(x,r), c_0(x,r)$ – решения уравнения удовлетворяющие условиям $c_0'(0,r)=0$, $c_0(0,r)=-\varphi_0'(0,r)=1$, $\varphi_0\in L^2(\mathbb{R}_+)$. Чтобы получить оценку для $T(x,t,r)$, введем еще одно решение $\psi_0(x,r)$, определяемое условиями $\psi_0(0,r)=1$, $\psi_0'(0,r)=\sqrt r$. Имеем
$$
\begin{equation}
c_0(x,r)=\frac{\psi_0'(0,r)\varphi_0(x,r)-\varphi_0'(0,r)\psi_0(x,r)}{W(\varphi_0,\psi_0)}.
\end{equation}
\tag{6.11}
$$
Выделяя вещественную и мнимую части в подынтегральном выражении в условии (2.2), легко убедиться, что функция $p$ также удовлетворяет этому условию:
$$
\begin{equation*}
\int_a^\infty\biggl(\frac{{p'}^2}{p^{5/2}}+\frac{|p''|}{p^{3/2}}\biggr)\,dt<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому (см. [25; гл. VI, §§ 2, 3, теоремы 2.1, 3.1] для функций $\varphi_0(x,-r), \psi_0(x,-r)$ справедливы ВКБ-оценки (напоминаем, $p=0$ на $[0,a]$):
$$
\begin{equation}
\frac{\partial^j\varphi_0}{\partial x^j} (x,-r)=(-1)^{j} r^{-1/4}({p(x)+r})^{(-1+2j)/4} \exp\biggl(-\int_0^x\sqrt{p(t)+r}\,dt\biggr)[1+\alpha_j(x,r)],
\end{equation}
\tag{6.12}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{\partial^j \psi_0}{\partial x^j}(x,-r)= r^{1/4}({p(x)+r})^{(-1+2j)/4} \exp\biggl(\int_0^x\sqrt{p(t)+r}\,dt\biggr)[1+\beta_j(x,r)],
\end{equation}
\tag{6.13}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\sup_{x\geqslant0}\biggl(\sum_{j=0,1}\bigl(|\alpha_j(x,r)| +|\beta_j(x,r)|\bigr)\biggr)\to 0, \qquad r\to+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя (6.11) в (6.9) и учитывая оценки (6.12), (6.13), получим
$$
\begin{equation}
T(x,t,r)\geqslant \frac12B_0(x,t,r), \qquad x,t\geqslant0, \quad r\gg1.
\end{equation}
\tag{6.14}
$$
По лемме 4
$$
\begin{equation*}
(L_\theta+\lambda)^{-1}f=\int_0^{+\infty}B(x,t,-\lambda)f(t)\,dt,
\end{equation*}
\notag
$$
потому согласно оценкам (6.6) и (6.14)
$$
\begin{equation*}
\|(L_\theta-re^{i\beta})^{-1}f\|\leqslant 2C\bigl\|(T+r)^{-1}|f|\bigr\|\leqslant 2C \|(T+r)^{-1}\|\,\|f\|, \qquad f\in L^2(\mathbb{R}_+),
\end{equation*}
\notag
$$
при всех достаточно больших $r$ и $|\beta+\pi|\leqslant \pi\delta'/(1+\delta')$. Отсюда и из (6.8) вытекает оценка (2.4). 3. Обозначим $\beta_1=\liminf _{x\to+\infty}\operatorname{arg}q(x)$ и $\beta_2=\limsup _{x\to+\infty}\operatorname{arg}q(x)$. Построим три нормированные последовательности функций, на которых квадратичная форма $(L_\theta y,y)$ будет принимать значения, сколь угодно близкие к лучам $\operatorname{arg} z=\beta_{1,2}$ и $\operatorname{arg} z =0$. Отсюда в силу (2.5) будет следовать, что $\operatorname{Num}(L_\theta)=\mathbb{C}$. Выберем последовательность $\{x_n\}$, такую, что $x_n\to+\infty$ и $\operatorname{arg}q(x_n)\to\beta_2$ при $n\to\infty$. Без ограничения общности можно считать, что $x_n>x_{n-1}+1$ при всех $n$. В силу (3.6) последовательность
$$
\begin{equation*}
a_n=\sup_{x\geqslant x_{n-1}}\frac{|q'(x)|}{|q(x)|^{3/2}}, \qquad n=2,3,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
положительна и $a_n\searrow0$ при $n\to\infty$. Положим
$$
\begin{equation}
\delta_n=|q(x_n)|^{-1/2}b_n, \qquad\text{где}\quad b_n=\min\{a_n^{-1/2},|q(x_n)|^{1/2} \}, \quad n=2,3,\dotsc\,.
\end{equation}
\tag{6.15}
$$
Далее, при всех $x\in[x_n-\delta_n,x_n+\delta_n]$ имеем
$$
\begin{equation*}
|q^{-1/2}(x)-q^{-1/2}(x_n)|\leqslant\frac12\biggl|\int_{x_n}^x \frac{|q'(x)|}{|q(x)|^{3/2}}\,dx\biggr| \leqslant\frac12|q(x_n)|^{-1/2}a_n^{1/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда равномерно по $x\in[x_n-\delta_n,x_n+\delta_n]$. Пусть $\omega$ – вещественная, дважды непрерывно дифференцируемая на $\mathbb{R}$ функция, такая, что $\operatorname{supp}\omega=[-1,1]$ и Положим
$$
\begin{equation}
f_n=\delta_n^{-1/2}\omega\biggl(\frac{x-x_n}{\delta_n}\biggr) \qquad n=2,3,\dotsc\,.
\end{equation}
\tag{6.18}
$$
Тогда $\|f_n\|=1$ и
$$
\begin{equation*}
(L_\theta f_n,f_n)=\|w'\|^2\delta_n^{-2}+ \int_{x_n-\delta_n}^{x_n+\delta_n}q(x)f_n^2(x)\,dx,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда, учитывая (6.15)–(6.18), получим
$$
\begin{equation*}
(L_\theta f_n,f_n)=q(x_n)\bigl[1+O(a_n^{1/2})+O(b_n^{-2})\bigr], \qquad n\to\infty;
\end{equation*}
\notag
$$
следовательно, $\operatorname{arg}(L_\theta f_n,f_n)\to \beta_2$, $n\to\infty$. Точно так же строится последовательность $\{g_n\}$, обладающая аналогичным свойством относительно $\beta_1$. В качестве третьей последовательности можно взять функции
$$
\begin{equation*}
h_n(x)= \begin{cases} \sqrt{\dfrac8{3\pi}}\sin^2(nx) & \text{на }[0,\pi], \\ 0 & \text{на }[\pi,+\infty). \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Действительно,
$$
\begin{equation*}
\|h_n\|=1 \quad\text{и}\quad (L_\theta h_n,h_n)=\frac{4 n^2}3+O(1), \qquad n\to\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $\operatorname{arg}(L_\theta h_n,h_n)\to0$, $n\to\infty$. 6.3. Доказательство следствия 1Так как $L_\theta$ плотно определен, для доказательства (2.8) достаточно установить, что
6.4. Доказательство теоремы 2Снова ограничимся случаем $\theta=\infty$. Выберем произвольное $\beta\in((2+\alpha)/2\alpha,(1+\delta)/2)$ и $\delta'\in(2\beta-1,\delta)$, где $\delta$ и $\alpha$ – постоянные, фигурирующие в условиях (2.3) и (2.11). Считая, что все собственные числа оператора $L_\theta$ лежат в угле $U(\delta')$, определенном формулой (2.6), и вне единичного круга, рассмотрим оператор (2.7). По лемме 4
$$
\begin{equation*}
(L_\theta-\lambda)^{-1}=\frac{1}{\Phi(\lambda)}A(\lambda),
\end{equation*}
\notag
$$
где $A(\lambda)$ – интегральный оператор с ядром
$$
\begin{equation}
A(x,t,\lambda)= \begin{cases} \varphi(x,\lambda)s(t,\lambda), & 0<t<x, \\ s(x,\lambda)\varphi(t,\lambda), & t>x, \end{cases}
\end{equation}
\tag{6.19}
$$
Согласно лемме 3 функция $\Phi$ имеет порядок не выше $1/2+1/\alpha$ и конечный тип при этом порядке. Отсюда в силу известных оценок снизу модуля целой функции (см., например, [26; гл. I, § 1]) следует, что найдется последовательность чисел $r_k$, таких, что $r_k\to+\infty$ и на окружностях $|\lambda|=r_k$ Покажем, что
$$
\begin{equation}
\|A(\lambda)\|=O(e^{C\lambda^{1/2+1/\alpha}}), \qquad \lambda\in U(\delta'),
\end{equation}
\tag{6.21}
$$
с некоторой константой $C>0$. Для функции $s$ и ее производной справедлива оценка (5.9). Из определения функции $d(\lambda)$ (см. (4.12)) с учетом условий (2.11) следует, что постоянную $M$ в (5.3) можно выбрать так, что $a_\lambda\geqslant d(\lambda)$ при всех $|\lambda|>1$. В силу (4.14) на $[d(\lambda),\infty)$ функции $\varphi$ и $\psi$ образуют ФСР уравнения (2.12). Поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, s(x,\lambda)=k_1(\lambda)\varphi(x,\lambda)+k_2(\lambda)\psi(x,\lambda), \qquad x\in [d(\lambda),\infty), \quad \lambda\in\mathbb{C}, \\ k_1(\lambda)=W(s,\psi)(d(\lambda),\lambda), \qquad k_2(\lambda) =-W(s,\varphi)(d(\lambda),\lambda). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, используя оценки (5.9), (3.12), (3.13), (4.17), (4.19), получим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, s(x,\lambda)= (q_a(x))^{-1/4}\exp\biggl(\int_0^x\sqrt{q_a(t)}\,dt\biggr)z(x,\lambda), \\ \nonumber \sup_{x\geqslant 0}|z(x,\lambda)| \leqslant \exp(\tau|\lambda|^{1/2+1/\alpha}), \qquad \lambda\in\mathbb{C}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{6.22}
$$
$\tau$ – положительная постоянная, а функция $q_a$ определена по (3.14). Теперь из формулы (6.19) на основе оценок (3.12) при $j=0$ и (6.22) заключаем: при всех $x,t>0$ и $\lambda\in U(\delta')$
$$
\begin{equation*}
| A(x,t,\lambda)|\leqslant \frac{C_1}{({q_a}(x))^{1/4}({q_a}(t))^{1/4}} \exp\biggl(-\biggl|\int_t^x\operatorname{Re}\Bigl(\sqrt{{q_a}(\tau)}\Bigr)\,d\tau\biggr|\biggr) e^{C_2\lambda^{(2+\alpha)/\alpha}},
\end{equation*}
\notag
$$
где $C_1$, $C_2$ – не зависящие от $\lambda$ положительные постоянные. Отсюда следует (6.21). Пусть $\gamma_k=\{\lambda\colon |\lambda|=r_k,\ |\operatorname{arg}\lambda|\leqslant \pi/(1+\delta')\}$. В силу выбора $\beta$ из оценок (6.20), (6.21) следует, что при каждом $t>0$
$$
\begin{equation}
\sup_{\lambda\in \gamma_k}\|e^{-t\lambda^\beta}(L_\theta-\lambda)^{-1}\| =O\bigl(\exp(-C(t)r_k^\beta)\bigr), \qquad k\to\infty,
\end{equation}
\tag{6.23}
$$
c некоторым $C(t)>0$. Следовательно, интеграл (2.7) можно записать в виде
$$
\begin{equation}
I(t)=-\frac1{2\pi i}\sum_{k}^\infty \int_{\Gamma_k}e^{-t\lambda^\beta}(L_\theta-\lambda)^{-1}\,d\lambda,
\end{equation}
\tag{6.24}
$$
где $\Gamma_k$ – ориентированная граница части $U(\delta')$, заключенной между дугами $\gamma_k$ и $\gamma_{k+1}$. В силу (2.4) оценка вида (6.23) верна и на двух прямолинейных участках $\Gamma_k$. Поэтому ряд (6.24) сходится по операторной норме. Утверждение (2.10) следует из равенства (6.24) и утверждения (2.8). Теорема доказана. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ish23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|