| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 5 научных статьях (всего в 5 статьях) О разрешимости нелинейных параболических функционально-дифференциальных уравнений со сдвигами по пространственным переменным О. В. Солонухаab a Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление» Российской академии наук, г. Москва b Российский университет дружбы народов, г. Москва
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623050115 
Реферативные базы данных:
  1. Введение и постановка задачиТеория операторов монотонного (псевдомонотонного) типа появилась в 60-е годы ХХ-го столетия во многом благодаря исследованию нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, см. [1]–[5] и др., а также библиографию. Развитие абстрактной теории операторов псевдомонотонного типа, в свою очередь, способствовала выделению достаточно широких классов нелинейных дифференциальных операторов псевдомонотонного типа на основе определенных алгебраических условий, что способствовало дальнейшему развитию теории нелинейных уравнений в частных производных, см., например, условия в работах [2], [3], [5]. При этом в абстрактной теории многие математики подчеркивали важность теории операторов псевдомонотонного типа для исследования функционально-дифференциальных уравнений и нелокальных задач. В 1966 г. эта методика была применена к абстрактным нелинейным эллиптическим функционально-дифференциальным уравнениям [6], но конкретные задачи не рассматривались, поскольку не существовало какого-либо критерия принадлежности функционально-дифференциального оператора классу операторов псевдомонотонного типа. В этой статье будут сформулированы и доказаны достаточно общие алгебраические условия принадлежности дифференциально-разностных операторов классу операторов псевдомонотонного типа. Заметим, что полученные результаты важны также при исследовании нелокальных краевых задач с нелинейными дифференциальными операторами (некоторые нелокальные задачи с квазилинейными дифференциальными операторами и с $p$-лапласианом изучены в [7], там же показана связь нелокальной задачи с параболическим дифференциально-разностным уравнением, а также доказаны условия, при которых соответствующие дифференциально-разностные операторы являются операторами псевдомонотонного типа). С середины 80-х годов ХХ-го века успешно развивается теория линейных функционально-дифференциальных уравнений, см. эллиптическую теорию в [8]–[11] и параболические задачи в [12]–[14]; см. также библиографию. К сожалению, большинство методов данной теории существенно связаны с линейностью дифференциального оператора. В представленной работе будет использован метод разбиения области и сведения исследования дифференциально-разностных уравнений к изучению некоторых матриц, порожденных разбиением, см. [8] [9]. Однако, в отличие от линейного случая при рассмотрении свойств нелинейного дифференциально-разностного оператора определяющее значение играют не матрицы, соответствующие разностному оператору, а матрицы, соответствующие оператору, являющемуся обратным к разностному оператору. Ранее автором были рассмотрены параболические дифференциально-разностные уравнения с квазилинейными дифференциальными операторами [15], [7] и $p$-лапласианом [7] при $p\in[2,\infty)$. В этих работах исследовались нелинейные параболические дифференциально-разностные операторы, эллиптическая часть которых содержала сдвиги по пространственным переменным, при этом либо младшие члены отсутствовали, либо младшие члены оценивались вместе со старшими. В настоящей работе исследуется достаточно общая постановка, когда оператор содержит слагаемые как старшего, так и младшего порядка, причем $p\in(1,\infty)$. Для данной задачи удобнее рассматривать условие псевдомонотонности только на подпространстве $W$, являющемся областью определения оператора дифференцирования по $t$, см. [2], [4]. В разделе 2 статьи сформулирована начально-краевая задача и построено соответствующее ей операторное уравнение. В разделе 3 приведены основные свойства разбиения области, а также свойства рассматриваемого разностного оператора; более подробно см. [7], [9], [10], [15], [16]. В разделе 4 доказаны достаточные условия ограниченности, деминепрерывности, псевдомонотонности на $W$ и коэрцитивности дифференциально-разностного оператора, а также свойство $(S_+)$ на $W$. Достаточные условия принадлежности дифференциальных операторов этим классам доказаны, например, в [2], [5], [17]. Используя результаты раздела 4 и абстрактную теорию существования решения параболического операторного уравнения с псевдомонотонным на $W$ оператором [2] в разделе 5 доказано существование обобщенного решения параболического дифференциально-разностного уравнения. 2. Постановка задачиВ цилиндре $\Omega_T=Q\times(0,T)$ рассмотрим функционально-дифференциальное уравнение с сдвигами по пространственным переменным
$$
\begin{equation}
\partial_tu(x,t)+ARu(x,t)=f(x,t),\qquad (x,t)\in\Omega_T,
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
с начальным условием и краевым условием
$$
\begin{equation}
u(x,t)=0,\qquad 0<t<T,\quad x\in\mathbb R^n\setminus Q.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Здесь $Q\subset\mathbb R^n$ – ограниченная область с границей $\partial Q$ класса $C^\infty$ или $Q=(0,d)\times G$, $G\subset\mathbb R^{n-1}$ – ограниченная область (с границей $\partial G$ класса $C^\infty$, если $n\geqslant 3$, $G=(0,\widehat d)$ при $n=2$). В случае $n=1$ мы полагаем $Q=(0,d)$. Пусть оператор $A$ задан формулой
$$
\begin{equation}
A u(x,t)=-\sum_{1\leqslant i\leqslant n}\partial_iA_i(x,t,u,\nabla u)+A_0(x,t,u,\nabla u).
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Все функции полагаем вещественнозначными. Определим ограниченный разностный оператор $R\colon L_p(\mathbb R^{n+1})\to L_p(\mathbb R^{n+1})$ по формуле где $a_h\in\mathbb R$, $ \mathscr M\subset\mathbb R^n$ – конечное множество векторов с целочисленными или соизмеримыми1 координатами, $x=(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb R^n$. Заметим, что разностный оператор $R$ является нелокальным. Сдвиги на вектора $h\in\mathscr M$ могут отображать точки $x\in Q$ в точки $x+h\in\mathbb R^n\setminus Q$. Поэтому краевые условия должны задавать значения неизвестной функции не только на границе цилиндра $\Gamma_T=\partial Q\times(0,T)$, но и на некотором множестве, лежащем в $(\mathbb R^n\setminus Q)\times(0,T)$. Для простоты в дальнейшем мы можем считать, что это множество совпадает с $(\mathbb R^n\setminus Q)\times(0,T)$. Поэтому краевые условия (2.3) задаются на всем множестве $(\mathbb R^n\setminus Q)\times(0,T)$. Будем искать обобщенные решения данной задачи в соболевских пространствах. Введем определения. Множество всех распределений $y\in\mathscr D'(Q)$, являющихся вместе со всеми своими частными производными $1$-го порядка функциями из $L_p(Q)$, обозначим через $W^1_p(Q)$. При $p\in(1,\infty)$ соболевские пространства $W^1_p(Q)$ рефлексивны и банаховы относительно нормы
$$
\begin{equation*}
\|y\|_{W^1_p(Q)} =\biggl(\sum_{1\leqslant i\leqslant n}\int_Q|\partial_iy|^p\,dx+\int_Q|y|^p\,dx\biggr)^{1/p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Через $\mathring{W^1_p}(Q)$ обозначается замыкание множества финитных бесконечно дифференцируемых в $Q$ функций $\dot C^\infty(Q)$ в пространстве $W^1_p(Q)$. Как известно, эквивалентной нормой в пространстве $\mathring{W^1_p}(Q)$ является норма
$$
\begin{equation*}
\|y\|_{\mathring{W^1_p}(Q)} =\biggl(\sum_{1\leqslant i\leqslant n}\int_Q|\partial_i y|^p\,dx\biggr)^{1/p}
\end{equation*}
\notag
$$
(следствие из неравенства Фридрихса, см. [4; гл. II, § 1]). Линейные пространства
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, L_p(0,T;X):=\biggl\{u\colon [0,T]\to X\colon \int_0^T\|u\|_X^p\,dt<\infty\biggr\}, \\ \|u\|_{L_p(0,T;X)}=\biggl(\int_0^T\|u\|_X^p\,dt\biggr)^{1/p}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
являются рефлексивными банаховыми при $1<p<\infty$, если этими свойствами обладало пространство $X$, см., например, [4]. В данной работе в качестве $X$ рассматриваются пространства $W^1_p(Q)$ и $\mathring{W^1_p}(Q)$, обладающие данными свойствами. Пусть $1/p+1/q=1$ и
$$
\begin{equation*}
\mathscr V:=L_p(0,T;\mathring{W^1_p}(Q))\cap L_2(\Omega_T).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $\mathscr V=L_p(0,T;\mathring{W^1_p}(Q))$ при $p\in[2,\infty)$, а сопряженным к нему является пространство $\mathscr V^*:=L_q(0,T;W^{-1}_q(Q))$. При $p\in(1,2)$ сопряженным к $\mathscr V$ является пространство $\mathscr V^*:=L_q(0,T;W^{-1}_q(Q))+L_2(\Omega_T)$. При этом если $f=f_1+f_2$, где $f_1\in L_q(0,T;W^{-1}_q(Q))$ и $f_2\in L_2(\Omega_T)$, то для любого $\xi\in\mathscr V$ положим
$$
\begin{equation*}
\langle f,\xi\rangle =\int_0^T\langle f_1(t),\xi(t)\rangle_p\,dt+\int_0^T(f_2(t),\xi(t))\,dt,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\langle\,\cdot\,,\,\cdot\,\rangle_p\colon W^{-1}_q(Q) \times\mathring{W^1_p}(Q)\to\mathbb R$ – спаривание, $(\cdot,\cdot)\colon L_2(Q)\times L_2(Q)\to\mathbb R$ – скалярное произведение. Подробнее эти пространства описаны в [4; гл. IV, § 1, п. 5], а также в [2], [3] и др. Также будем рассматривать рефлексивное банахово пространство
$$
\begin{equation}
W=\{u\in\mathscr V\colon \partial_tu\in\mathscr V^*\}
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
с нормой $\|u\|_W=\|u\|_{\mathscr V}+\|\partial_tu\|_{\mathscr V^*}$, где $\partial_t u$ – производная элемента $u\in\mathscr V$ в смысле распределений со значениями в $\mathscr V^*$. Как известно, $W\subset C(0,T;L_2(Q))$ (см. теорему 1.17 в [4; гл. IV]), поэтому $u|_{t=0}$ имеет смысл. Будем предполагать, что правая часть в (2.1) $f\in\mathscr V^*$ и начальные условия в (2.2) $\varphi\in L_2(Q)$. Введем оператор где $I_Q\colon L_p(\Omega_T)\to L_p(\mathbb R^n\times(0,T))$ – оператор продолжения функций из $L_p(\Omega_T)$ нулем в $(\mathbb R^n\setminus Q)\times(0,T)$, $P_Q\colon L_p(\mathbb R^n\times(0,T))\to L_p(\Omega_T)$ – оператор сужения функций из $L_p(\mathbb R^n\times(0,T))$ на $\Omega_T$. Это связанно с тем, что оператор $R$ нелокальный. Функция $u(t,x)$, определенная на $\Omega_T$, отображается в функцию $(I_Qu)(t,x)$, определенную на множестве $\mathbb R^n\times(0,T)$. После действия оператора $R$ на $I_Qu$ мы вновь получаем функцию, определенную на множестве $\mathbb R^n\times(0,T)$. Оператор $P_Q$ вводится для того, чтобы получить сужение функции $(RI_Qu)(t,x)$ на область $\Omega_T$. Поскольку вышесказанное справедливо для всех $p\in(1,\infty)$, то получаем, что оператор $R_Q$ действует из пространства $\mathscr V:=L_p(0,T;\mathring{W^1_p}(Q))\cap L_2(\Omega_T)$ в пространство $L_p(0,T;W^1_p(Q))\cap L_2(\Omega_T)$.Задача (2.1)–(2.3) рассматривается как операторное уравнение в пространстве $W$ c начальным условием (2.2), где $A_R:=AR_Q$. Ниже будут наложены стандартные условия, гарантирующие, что дифференциальный оператор $A$ действует из пространства $L_p(0,T;W^1_p(Q))\cap L_2(\Omega_T)$ в $\mathscr V^*$, см. [4], [20], [21]. Таким образом, $A_R\colon\mathscr V=L_p(0,T;\mathring{W^1_p}(Q))\cap L_2(\Omega_T)\to\mathscr V^*$.Определение 1. Будем называть функцию $u\in W$ обобщенным решением задачи (2.1)–(2.3), если она удовлетворяет операторному уравнению (2.7) и начальному условию (2.2). 3. Разбиение области $Q$ и свойства разностного оператораОтметим, что рассматривается оператор со сдвигами только по пространственным переменным. Поэтому можно воспользоваться результатами эллиптической теории. В [16] проведено исследование оператора $R_Q\colon L_p(Q)\to L_p(Q)$ и его сужения $R_Q\colon\mathring{W_p^1}(Q)\to W^1_p(Q)$. Для $p=2$ эти операторы исследованы в [8]–[10]. В этом разделе будут сформулированы свойства оператора $R_Q\colon L_p(0,T;\mathring{W_p^1}(Q))\to L_p(0,T;W_p^1(Q))$, см. также [7], [15]. Через $M$ обозначим аддитивную группу, порожденную множеством $\mathscr M$, а через $Q_r$ – открытые связные компоненты множества $Q\setminus(\bigcup_{h\in M}(\partial Q+h))$. Определение 2. Множество $Q_r$ называется подобластью. Семейство $\mathscr R$ всех подобластей $Q_r$ ($r=1,2,\dots$) называется разбиением области $Q$. Легко видеть, что множество $\mathscr R$ не более чем счетно, при этом
$$
\begin{equation*}
\bigcup_r\partial Q_r=\biggl(\bigcup_{h\in M}(\partial Q+h)\biggr) \cap\overline Q \qquad \text{и} \qquad \bigcup_r\overline Q_r=\overline Q.
\end{equation*}
\notag
$$
Известно, что для любой подобласти $Q_{r_1}$ и произвольного вектора $h\in M$ либо найдется подобласть $Q_{r_2}$ такая, что $Q_{r_2}=Q_{r_1}+h$, либо $Q_{r_1}+h\subset\mathbb R^n\setminus\overline Q$, см. лемму 7.1 из [9; гл. II, § 7]. Таким образом, семейство $\mathscr R$ можно разбить на непересекающиеся классы следующим образом: подобласти $Q_{r_1},Q_{r_2}\in\mathscr R$ принадлежат одному классу, если $Q_{r_2}=Q_{r_1}+h$ для некоторого $h\in M$. Будем обозначать подобласти $Q_r$ через $Q_{sl}$, где $s$ – номер класса, а $l$– номер подобласти в $s$-м классе. Каждый класс состоит из конечного числа $N=N(s)$ подобластей $Q_{sl}$ в силу ограниченности множества $Q$, подробнее см. [9]. Множество классов может быть конечным или счетным, см. примеры в [9; гл. II, § 7]. В соответствии с нумерацией подобластей перенумеруем множество сдвигов $\{h_{sl}\}\subset M$:
$$
\begin{equation*}
h_{s1}=0,\qquad Q_{s1}+h_{sl}=Q_{sl},\quad l=1,\dots,N(s).
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 1. Операторы Обозначим через $L_p(\bigcup_lQ_{sl}\times(0,T))$ подпространство функций из $L_p(\Omega_T)$, обращающихся в нуль при $x\notin\bigcup_lQ_{sl}$ ($l=1,\dots,N(s)$). Введем ограниченный оператор
$$
\begin{equation*}
P_s\colon L_p(\Omega_T)\to L_p\biggl(\bigcup_lQ_{sl}\times(0,T)\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
по формуле
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, P_su(x,t)=u(x,t),\qquad x\in\bigcup_l Q_{sl}, \quad t\in(0,T), \\ P_su(x,t)=0,\qquad x\in Q\setminus\bigcup_l Q_{sl}, \quad t\in(0,T). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что $P_s$ является оператором проектирования на $L_p(\bigcup_lQ_{sl}\times(0,T))$. Так как $\operatorname{mes}_n(\partial Q_{sl})=0$, пространства Лебега $L_p(Q)$ и $L_p(\Omega_T)$ можно рассматривать как прямые суммы соответствующих пространств над классами подобластей:
$$
\begin{equation}
L_p(Q)=\underset{s}{\dotplus}L_p\biggl(\bigcup_lQ_{sl}\biggr), \qquad L_p(\Omega_T)=\underset{s}{\dotplus}L_p\biggl(\bigcup_lQ_{sl}\times(0,T)\biggr).
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Изоморфизм рефлексивных банаховых пространств
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, U_s\colon L_p\biggl(\bigcup_lQ_{sl}\times(0,T)\biggr) &\to L_p^{N(s)}(Q_{s1}\times(0,T)) \\ &\qquad\equiv L_p(Q_{s1}\times(0,T)) \times\dotsb\times L_p(Q_{s1}\times(0,T)) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
определяется по формуле
$$
\begin{equation}
(U_su)_l(x,t)=u(x+h_{sl},t),\qquad x\in Q_{s1},\quad t\in(0,T),\quad l=1,\dots,N(s).
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Введем матрицу $R_s$ порядка $N(s)\times N(s)$ с элементами
$$
\begin{equation}
r_{ij}^s=\begin{cases} a_h, &h=h_{sj}-h_{si}\in\mathscr M, \\ 0, &h_{sj}-h_{si}\notin\mathscr M. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Oператор $R_{Qs}\colon L_p^{N(s)}(Q_{s1}\times(0,T))\to L_p^{N(s)}(Q_{s1}\times(0,T))$, заданный соотношением является оператором умножения на матрицу $R_s$, cр. с [16; лемма 3] и [9; лемма 8.9]. Из ограниченности области $Q$ и формул (3.3) следует, что в случае постоянных коэффициентов $a_h$ число различных матриц $R_s$ конечно. Обозначим это число $n_1$, и пусть $R_{s_\nu}$ обозначают все различные матрицы $R_s$ ($\nu=1,\dots,n_1$). Лемма 2 (cм. [15; леммы 2, 3], а также [16; леммы 5, 6]). Спектр оператора $\sigma(R_Q)=\bigcup_{1\leqslant\nu\leqslant n_1}\sigma(R_{s_\nu})$. Более того, 1) оператор $R_Q$ непрерывно отображает $L_p(0,T;\mathring{W^1_p}(Q))$ в $L_p(0,T;W^1_p(Q))$, причем
$$
\begin{equation}
\partial_i(R_Qu)(x,t)=R_Q\,\partial_iu(x,t),\qquad (x,t)\in\Omega_T;
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
2) для всех $u\in L_p(0,T;W^1_p(Q))$ имеем $R_Qu\in L_p(0,T;W^1_p(Q_{sl}))$ и
$$
\begin{equation}
\|R_Qu\|_{L_p(0,T;W^1_p(Q_{sl}))} \leqslant c_1\sum_{j=1}^{N(s)}\|u\|_{L_p(0,T;W^1_p(Q_{sj}))},\qquad s=1,2,\dots,\quad l=1,\dots,N(s);
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
3) если $\det R_{s_\nu}\ne 0$, $\nu=1,\dots,n_1$, то существует обратный оператор и $R_Q^{-1}w\in L_p(0,T;W^1_p(Q_{sl}))$ для всех $w\in L_p(0,T;W^1_p(Q))$, при этом для всех $s=1,2,\dots$ и $l=1,\dots,N(s)$
$$
\begin{equation}
\partial_i(R_Q^{-1}w)(x,t)=R_Q^{-1}\partial_iw(x,t),\qquad (x,t)\in Q_{sl}\times(0,T),
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
кроме того, обратный оператор определен формулой при этом для всех $s=1,2,\dots$ и $l=1,\dots,N(s)$ справедлива оценка
$$
\begin{equation}
\|R_Q^{-1}w\|_{ L_p(0,T;W^1_p(Q_{sl}))} \leqslant c_2\sum_{j=1}^{N(s)}\|w\|_{ L_p(0,T;W^1_p(Q_{sj}))}.
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Здесь константы $c_1,c_2>0$ не зависят от $u$, $w$, а также от $s$. Заметим, что свойства, указаные в леммах 1 и 2 справедливы для всех $p\in(1,\infty)$. Таким образом лемма 2 оказывается справедливой не только для оператора
$$
\begin{equation*}
R_Q\colon\mathscr V=L_p(0,T;\mathring{W^1_p}(Q))\to L_p(0,T;W^1_p(Q)), \qquad p\in[2,\infty),
\end{equation*}
\notag
$$
но и для
$$
\begin{equation*}
R_Q\colon\mathscr V=L_p(0,T;\mathring{W^1_p}(Q)) \cap L_2(\Omega_T)\to L_p(0,T;W^1_p(Q))\cap L_2(\Omega_T), \qquad p\in(1,2).
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 3. Пусть $\det R_{s_\nu} \mspace{-2mu} \ne \mspace{-2mu} 0$, $\nu \mspace{-2mu} = \mspace{-2mu} 1,\dots,n_1$. Тогда существует константа $c_3 \mspace{-2mu} > \mspace{-2mu} 0$ такая, что причем $c_3$ не зависит от $u$, но зависит от $p$. Доказательство следует из равенства $\sigma(R_Q)=\bigcup_{1\leqslant\nu\leqslant n_1}\sigma(R_{s_\nu})$ в лемме 2 и дискретности спектра разностного оператора. 4. Условие псевдомонотонности на $W$ оператора $A_R$Определение 3. Оператор $\mathscr A\colon\mathscr V\to\mathscr V^*$ деминепрерывен, если он непрерывен из сильной топологии $\mathscr V$ в слабую топологию $\mathscr V^*$. Оператор $\mathscr A\colon\mathscr V\to\mathscr V^*$ огpаничен, если обpаз ограниченного множества огpаничен. Определение 4. Пусть $u_n\rightharpoonup u$ слабо в $W$ и Определение 5. Пусть $u_n\rightharpoonup u$ слабо в $W$ и справедлива оценка (4.1). Если при этом $u_n\to u$ в $\mathscr V$, то оператор $\mathscr A\colon\mathscr V\to\mathscr V^*$ обладает свойством $(S_+)$ на $W$. Определение 6. Оператор $\mathscr A\colon\mathscr V\to\mathscr V^*$ коэрцитивен, если существует элемент $u_0\in\mathscr V$ такой, что Определим оператор $A_R\colon\mathscr V\to\mathscr V^*$ по формуле
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, A_Ru(x) &=-\sum_{1\leqslant i\leqslant n}\partial_iA_i(x,t,R_Qu,\partial_1R_Qu,\dots,\partial_nR_Qu) \nonumber \\ &\qquad\phantom{-\sum_{1\leqslant i\leqslant n}}+A_0(x,t,R_Qu,\partial_1R_Qu,\dots,\partial_nR_Qu). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Введем $\zeta\in\mathbb R^{N(s)\times(n+1)}$:
$$
\begin{equation}
\zeta:=\begin{pmatrix} \zeta_{10} &\zeta_{11} &\zeta_{12} &\dots &\zeta_{1n} \\ \zeta_{20} &\zeta_{21} &\zeta_{22} &\dots &\zeta_{2n} \\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ \zeta_{N(s)0} &\zeta_{N(s)1} &\zeta_{N(s)2} &\dots &\zeta_{N(s)n} \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Будем обозначать через $\zeta_{\cdot i}$ $i$-й столбец $\zeta$, а через $\zeta_{l\cdot}$ обозначим $l$-ю строку $\zeta$. Предположим, что для любого класса $s$ функции $A_i$, $i=0,1,\dots,n$, и матрицы $R_s$ удовлетворяют следующим условиям:
Условие интегрируемости (A1) является стандартным (с небольшими вариациями) для построения интегрального представления дифференциального оператора, см. [2], [3], [20] и др. Благодаря этому условию из (4.4) следует, что для любых $u,v\in\mathscr V$
$$
\begin{equation}
\langle A_Ru,v\rangle =\sum_{0\leqslant i\leqslant n}\int_{\Omega_T}A_i(x,t,R_Qu,\partial_1R_Qu,\dots,\partial_nR_Qu)\, \partial_iv\,dx\,dt;
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
здесь и ниже $\partial_0v:=v$. Заметим также, что в случае отсутствия сдвигов (т.е. при $R_Q=\mathbb I$) условие (A2) трансформируется в условие коэрцитивности для дифференциальных операторов (см., например, [3], [17]), а условие (A3) является стандартным при исследовании псевдомонотонных на $W$ дифференциальных операторов, см. [2] и др., a также дифференциальных операторов, обладающих свойством $(S_+)$ на $W$, см. [17] и др. Лемма 4. Пусть выполнено условие (A1). Tогда оператор $A_R\colon\mathscr V\to\mathscr V^*$, заданный формулой (4.4), деминепрерывен и ограничен. Доказательство. Дифференциальный оператор $A$, заданный формулой (2.4) деминепрерывен и ограничен вследствие условия (A1) и предложения о непрерывности оператора Немыцкого, см. [20; гл. 1, § 2] или лемму 2.2 из [4; гл. 2, § 2]. Линейный разностный оператор $R_Q$ ограничен, cм. лемму 2. Следовательно, их композиция будет деминепрерывным, ограниченным оператором. Лемма 5. Пусть выполнены условия (A0)–(A2). Tогда оператор $A_R\colon\mathscr V\to\mathscr V^*$, заданный формулой (4.4), коэрцитивен. Доказательство. Пусть $u\in\mathscr V$, $w=R_Qu$. Вследствии условия (А0) разностный оператор $R_Q$ невырожден, т.е. существует ограниченный обратный оператор $R_Q^{-1}\colon L_p(\Omega_T)\to L_p(\Omega_T)$, см. лемму 2. Следовательно,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \langle A_Ru,u\rangle &=\sum_{0\leqslant i\leqslant n}\int_0^T\int_Q A_i(x,t,R_Qu,\partial_1R_Qu,\dots,\partial_nR_Qu)\,\partial_iu\,dx\,dt \nonumber \\ &=\sum_{0\leqslant i\leqslant n}\int_0^T\int_Q A_i(x,t,w,\partial_1w,\dots,\partial_nw)\,\partial_iR_Q^{-1}w\,dx\,dt \nonumber \\ &=\sum_{0\leqslant i\leqslant n}\sum_s\int_0^T\,\int_{\bigcup_lQ_{sl}} A_i(x,t,P_sw,P_s\nabla w)(U^{-1}_sR_s^{-1}U_sP_s\,\partial_iw)\,dx\,dt \nonumber \\ &=\sum_{0\leqslant i\leqslant n}\sum_s\int_0^T\,\int_{Q_{s1}} (U_sA_i(x,t,P_sw,P_s\nabla w),R_s^{-1}U_sP_s\partial_i w)\,dx\,dt \nonumber \\ &=\sum_{s,l}\sum_{0\leqslant i\leqslant n}\int_0^T\,\int_{Q_{s1}} \mspace{-2mu} A_i\bigl(x+h_{sl},t,(U_sP_sw)_l,\nabla(U_sP_sw)_l\bigr) (R_s^{-1}U_sP_s\,\partial_iw)_l\,dx\,dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Подставив оценку (4.6) в формулу (4.9), в силу утверждений леммы 2 получим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \langle A_Ru,u\rangle &=\sum_{0\leqslant i\leqslant n}\,\int_{\Omega_T} A_i(x,t,R_Qu,\partial_1R_Qu,\dots,\partial_nR_Qu)\,\partial_iu\,dx\,dt \\ &\geqslant c_6 \sum_i\int_{\Omega_T}|\partial_iw|^p\,dx\,dt -c_7\int_{\Omega_T}|w|^{\widehat p}\,dx\,dt-c_8\operatorname{mes}(\Omega_T). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Воспользуемся равенством (3.5), оценкой (3.10) для оператора $R_Q\colon L_p(\Omega_T) \mspace{-2mu} \to \mspace{-2mu} L_p(\Omega_T)$ и оценкой (3.6) для оператора $R_Q\colon L_{\widehat p}(\Omega_T)\to L_{\widehat p}(\Omega_T)$. Тогда
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \langle A_Ru,u\rangle &\geqslant c_6c_3^p\sum_i \int_{\Omega_T}|\partial_iu|^p\,dx\,dt -c_7c_1^{\widehat p}\int_{\Omega_T}|u|^{\widehat p}\,dx-c_8\operatorname{mes}(\Omega_T) \nonumber \\ &\geqslant c_9\|u\|^p_{L_p(0,T;\mathring{W_p^1}(Q))} -c_{10}\|u\|^{\widehat p}_{L_p(\Omega_T)}-c_{11}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Очевидно, $\|u\|_{L_p(\Omega_T)}\leqslant c_{12}\|u\|_{L_p(0,T;\mathring{W_p^1}(Q))}$. Отсюда и из (4.10) получим
$$
\begin{equation}
\langle A_Ru,u\rangle \geqslant c_9\|u\|^p_{L_p(0,T;\mathring{W_p^1}(Q))} -c_{10}c_{12}\|u\|^{\widehat p}_{L_p(0,T;\mathring{W_p^1}(Q))}-c_{11},
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
где константы $c_9,c_{10},c_{11},c_{12}$ не зависят от $u$, $c_9>0$. И поскольку $1<{\widehat p}<p$, а $p>1$, то для достаточно больших $\|u\|_{L_p(0,T;\mathring{W_p^1}(Q))}$ полученное в правой части (4.10) выражение строго положительно и монотонно возрастает при $\|u\|_{L_p(0,T;\mathring{W_p^1}(Q))}\to\infty$, степень роста $p>1$. Коэрцитивность (4.3) доказана3. Построим вспомогательные функции
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag H_s\colon Q_{s1}\times\mathbb R^{N(s)\times(0,T)\times(n+1)} \times\mathbb R^{N(s)\times(n+1)}\to \mathbb R^1, \\ H_s(x,t,\zeta,\eta)=\sum_{1\leqslant l\leqslant N(s)}\sum_{1\leqslant i\leqslant n} \bigl(A_i(x+h_{sl},t,\zeta_{l\cdot}+\eta_{l\cdot}) -A_i(x+h_{sl},t,\zeta_{l\cdot})\bigr)(R_s^{-1}\eta_{\cdot i})_{l\cdot}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
определенные для всех $\zeta,\eta\in\mathbb R^{N(s)\times(n+1)}$ таких, что $\eta_{l0}= 0$, $l=1,\dots,N(s)$. Введем также обозначение
$$
\begin{equation*}
|\zeta_{\cdot 0}|:=\sum_{1\leqslant l\leqslant N(s)}|\zeta_{l0}|,\qquad |\zeta|:=\sum_{1\leqslant l\leqslant N(s),\,0\leqslant i\leqslant n}|\zeta_{li}|.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 6. Для любых $\kappa,C,C_1>0$ существует положительная функция $c_s(x,t)$ такая, что для всех $\zeta\in U(C,C_1)$, где и $\eta\in\mathbb R^{N(s)\times(n+1)}$ таких, что $\eta_{l0}=0$, $l=1,\dots,N(s)$, справедлива оценка Здесь $c_s(x,t)>0$ определена для почти всех $(x,t)\in\overline{Q_{s1}}\times[0,T]$, зависит только от $\kappa$, $C$, $C_1$ и не зависит от $\zeta$ и $\eta$. Доказательство. Пусть $U_\kappa:=\{\eta\in\mathbb R^{N(s)\times(n+1)}\colon |\eta|=\kappa,\,\eta_{l0}=0\}$. При фиксированных $(x,t)\in\overline{Q_{s1}}\times[0,T]$, $\zeta\in U(C,C_1)$ и $\eta\in U_\kappa$ определим функцию одной переменной $h_s(\chi):=H_s(x,t,\zeta,\chi\eta)$, $\chi\in\mathbb R$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, h_s(\chi) &=\sum_{1\leqslant l\leqslant N(s)}\sum_{1\leqslant i\leqslant n} \bigl(A_i(x+h_{sl},t,(\zeta+\chi\eta)_{l\cdot}) -A_i(x+h_{sl},t,\zeta_{l\cdot})\bigr)\chi(R_s^{-1}\eta_{\cdot i})_l \\ &=\sum_{l,i}\bigl(A_i(x+h_{sl},t,(\zeta+\chi\eta)_{l\cdot}) -A_i(x+h_{sl},t,(\zeta+\eta)_{l\cdot})\bigr) \chi(R_s^{-1}\eta_{\cdot i})_l \\ &\qquad\phantom{=\sum_{l,i}}+\chi\sum_{l,i}\bigl(A_i(x+h_{sl},t,(\zeta+\eta)_{l\cdot}) -A_i(x+h_{sl},t,\zeta_{l\cdot})\bigr) (R_s^{-1}\eta_{\cdot i})_l \\ &=\sigma_s(\chi)+\chi h_s(1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно условию эллиптичности (4.7) $h_s(1)>0$. Кроме того, $(\zeta+\chi\eta)-(\zeta+\eta)=(\chi-1)\eta$, т.е. в силу того же условия для любого $\chi>1$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sigma_s(\chi) &=\frac{\chi}{\chi-1}\sum_{l,i} \bigl(A_i(x+h_{sl},t,(\zeta+\chi\eta)_{l\cdot}) -A_i(x+h_{sl},t,\zeta_{l\cdot})\bigr) \\ &\qquad\phantom{\frac{\chi}{\chi-1}\sum_{l,i}}\times(R_s^{-1}((\chi-1)\eta_{\cdot i}))_l>0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $\sigma_s(1)=0$ по построению. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
h_s(\chi)=\sigma_s(\chi)+\chi h_s(1)\geqslant\chi h_s(1)\qquad \text{для любого}\quad \chi\geqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Перепишем этот результат в следующем виде:
$$
\begin{equation*}
H_s(x,t,\zeta,\widehat\eta) =H_s(x,t,\zeta,\chi\eta) =h_s(\chi)\geqslant\chi h_s(1)=\chi H_s(x,t,\zeta,\eta),
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку для произвольного $\widehat\eta\in\mathbb R^{N(s)\times(n+1)}$ ($|\widehat\eta|\geqslant\kappa$ и $\widehat\eta_{l0}=0$) существуют $\eta\in U_\kappa$ и $\chi\geqslant 1$ такие, что $\widehat\eta=\chi\eta$ и $\chi=\kappa^{-1}|\widehat\eta|$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
H_s(x,t,\zeta,\widehat\eta)\geqslant\kappa^{-1}|\widehat\eta|H_s(x,t,\zeta,\eta).
\end{equation*}
\notag
$$
Определим функцию
$$
\begin{equation*}
c_s(x,t)=\kappa^{-1}\min_{\zeta\in U(C,C_1),\,\eta\in U_\kappa}H_s(x,t,\zeta,\eta).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку множествa $U(C,C_1)$ и $U_\kappa$ ограничены и замкнуты, минимум существует. Более того, этот минимум строго положителен, поскольку $|\eta|=k>0$ и справедлива оценка (4.7). Оценка (4.13) доказана. Лемма 7. Пусть справедливы условия (A0)–(A3). Тогда оператор $A\colon\mathscr V\to\mathscr V^*$, заданный формулой (4.4), обладает свойством $(S_+)$ на $W$. Доказательство. Пусть $u_j\rightharpoonup u$ слабо в $W$ и
1. Сначала докажем, что $\lim_{j\to\infty}\langle A_Ru_j,u_j-u\rangle=0$. Так как $u_j\rightharpoonup u$ слабо в $W$, то $u_j\to u$ в пространстве $L_p(\Omega_T)$, см., например, (2.16) из [2; гл. 3, п. 2] и теорему 5.1 из [2; гл. 1, п. 5]. Используя лемму 2, условие (A1) и теорему 2.1 из [20; гл. 1, § 2] о непрерывном отображении получим, что
$$
\begin{equation*}
A_i(x,t,R_{Q}u_j,\nabla R_Qu) \to A_i(x,t,R_Qu,\nabla R_Qu)\qquad \text{в}\quad L_q(\Omega_T),
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. в силу слабой сходимости $\partial_iu_j\rightharpoonup\partial_iu$ в $L_p(\Omega_T)$
$$
\begin{equation*}
\lim_{j\to\infty}\sum_{1\leqslant i\leqslant n} \int_{\Omega_T}A_i(x,t,R_Qu_j,\nabla R_Qu)\,\partial_i(u_j-u)\,dx\,dt=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, в силу условия (A1) и ограниченности слабо сходящейся последовательности $\{u_j\}$ множество $\{A_0(x,t,R_Qu_j,\nabla R_Qu_j)\}$ ограничено в $L_q(\Omega_T)$, т.е.
$$
\begin{equation*}
\lim_{j\to\infty}\int_{\Omega_T}A_0(x,t,R_Qu_j,\nabla R_Qu_j)(u_j-u)\,dx\,dt=0,
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку $u_j\to u$ в $L_p(\Omega_T)$. Следовательно,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\varliminf_{j\to\infty}\langle A_Ru_j,u_j-u\rangle =\varliminf_{j\to\infty}\biggl(\sum_{1\leqslant i\leqslant n} \int_{\Omega_T}A_i(x,t,R_Qu_j,\nabla R_Qu)\,\partial_i(u_j-u)\,dx\,dt \nonumber \\ &\qquad\quad{}+\int_{\Omega_T}A_0(x,t,R_Qu_j,\nabla R_Qu_j)\,(u_j-u)\,dx\,dt \nonumber \\ &\qquad\quad{}+\sum_{1\leqslant i\leqslant n}\int_{\Omega_T}\bigl(A_i(x,t,R_Qu_j,\nabla R_Qu_j) -A_i(x,t,R_Qu_j,\nabla R_Qu)\bigr)\,\partial_i(u_j-u)\,dx\,dt\biggr) \nonumber \\ &\qquad=\varliminf_{j\to\infty}\sum_{1\leqslant i\leqslant n} \int_{\Omega_T}\bigl(A_i(x,t,R_Qu_j,\nabla R_Qu_j) -A_i(x,t,R_Qu_j,\nabla R_Qu)\bigr)\,\partial_i(u_j-u)\,dx\,dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
Для изучения правой части (4.15) введем вспомогательные функции $w=R_{Q}u$ и $w_j=R_{Q}u_j$. Согласно лемме 2 существует ограниченный обратный оператор $R_Q^{-1}$. Воспользуемся формулой (3.8), а также коммутативностью операторов $R_Q^{-1}$ и $\partial_i$ на $Q_{sl}\times(0,T)$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{1\leqslant i\leqslant n}\int_{\Omega_T}\bigl(A_i(x,t,R_Qu_j,\nabla R_Qu_j) -A_i(x,t,R_Qu_j,\nabla R_Qu)\bigr)\,\partial_i(u_j-u)\,dx\,dt \\ &\qquad=\sum_{1\leqslant i\leqslant n}\int_{\Omega_T}\bigl(A_i(x,t,w_j,\nabla w_j) -A_i(x,t,w_j,\nabla w)\bigr)\,\partial_i R_Q^{-1}(w_j-w)\,dx\,dt \\ &\qquad=\sum_s\sum_{1\leqslant i\leqslant n}\int_0^T\int_{\bigcup_lQ_{sl}} P_s\bigl(A_i(x,t,w_j,\nabla w_j)-A_i(x,t,w_j,\nabla w)\bigr) \\ &\qquad\qquad\phantom{sum_s\sum_{1\leqslant i\leqslant n}\int_0^T\int_{\bigcup_lQ_{sl}}} U^{-1}_sR_s^{-1}U_sP_s\,\partial_i(w_j-w)\,dx\,dt \\ &\qquad=\sum_{1\leqslant i\leqslant n}\sum_s\int_0^T\int_{Q_{s1}} \bigl(U_s(A_i(x,t,w_j,\nabla w_j)-A_i(x,t,w_j,\nabla w)), \\ &\qquad\qquad\phantom{\sum_{1\leqslant i\leqslant n}\sum_s\int_0^T\int_{Q_{s1}}} R_s^{-1}U_sP_s\,\partial_i(w_j-w)\bigr)\,dx\,dt \\ &\qquad=\sum_{1\leqslant i\leqslant n}\sum_{s,l}\int_0^T\int_{Q_{s1}} \bigl(A_i(x+h_{sl},t,w_j(x+h_{sl},t),\nabla w_j(x+h_{sl},t)) \\ &\qquad\qquad{}-A_i(x+h_{sl},t,w_j(x+h_{sl},t),\nabla w(x+h_{sl},t))\bigr) (R_s^{-1}U_sP_s\,\partial_i(w_j-w))_l\,dx\,dt \\ &\qquad=\sum_s\int_0^T\int_{Q_{s1}}I_s^j\,dx\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Введем матрицы $\zeta^j=\{\zeta_{li}^j\}$ и $\eta^j=\{\eta_{li}^j\}$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \zeta_{l0}^j=\eta_{l0}^j=w_j(x+h_{sl},t), \qquad l=1,\dots,N(s), \\ \zeta_{li}^j=\partial_iw_j(x+h_{sl},t), \quad \eta_{li}^j=\partial_iw(x+h_{sl},t), \qquad l=1,\dots,N(s), \quad i=1,\dots,n. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что при этом $\zeta^j\ne\eta^j$ для всех $j$. Из условия (A3) следует, что $I_s^j>0$ для всех $j$. Подставим эту оценку в (4.15). Тогда
$$
\begin{equation*}
\varliminf_{j\to\infty}\langle A_Ru_j,u_j-u\rangle =\varliminf_{j\to\infty}\sum_s\int_0^T\int_{Q_{s1}}I_s^j\,dx\,dt\geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Сопоставив это неравенство с неравенством (4.14), получаем, что
$$
\begin{equation}
\lim_{j\to\infty}\langle A_Ru_j,u_j-u\rangle =\lim_{j\to\infty}\int_0^T\int_{Q_{s1}}I_s^j\,dx\,dt=0.
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
2. Следующим шагом докажем, что при этом $u_j\to u$ в $L_p(0,T;\mathring{W^1_p}(Q))$, т.е. $\partial_iu_j\to\partial_iu$ в $L_p(\Omega_T)$. Для этого достаточно показать сходимость по мере последовательностей $\{\partial_iu_j\}$ и их равностепенную непрерывность в целом в $L_p(\Omega_T)$, см. теорему о сильной сходимости [21; гл. 1, п. 3]. 2.1. Для доказательства сходимости по мере используем функцию $H_s$, определенную в (4.12). Из условия (4.14) и равенства (4.16) получаем, что
$$
\begin{equation*}
0=\lim_{j\to\infty}\sum_s\int_0^T\int_{Q_{s1}}I_s^j\,dx\,dt =\lim_{j\to\infty}\sum_s\int_0^T\int_{Q_{s1}}H_s(x,t,\zeta^j,\zeta^j-\eta^j)\,dx\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Воспользуемся оценкой (4.13). Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0 &=\lim_{j\to\infty}\sum_s\int_0^T\int_{Q_{s1}}H_s(x,t,\zeta^j,\zeta^j-\eta^j)\,dx\,dt \geqslant\varlimsup_{j\to\infty}\sum_s\int_0^T\int_{Q_{s1}}c_s(x,t)|\zeta^j-\eta^j|\,dx\,dt \\ &=\varlimsup_{j\to\infty}\sum_s\sum_{1\leqslant l\leqslant N(s)}\sum_{1\leqslant i\leqslant n} \int_0^T\int_{Q_{s1}}c_s(x,t)|\zeta_{li}^j-\eta_{li}^j|\,dx\,dt \\ &=\varlimsup_{j\to\infty}\sum_s\sum_{1\leqslant i\leqslant n} \int_0^T\int_{\bigcup_lQ_{sl}}c_s(x,t)|\partial_iR_Qu_j-\partial_iR_Qu|\,dx\,dt, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $c_s(x+h_{sl},t)=c_s(x,t)$ для любого $h_{sl}$. Поскольку $c_s(x,t)>0$, а оператор $R_Q$ невырожден, то данное равенство возможно лишь при сходимости $\partial_i u_j\to\partial_i u$ по мере для всех $i=1,\dots,n$. 2.2. Для доказательства равностепенной непрерывности достаточно показать, что
$$
\begin{equation}
\lim_{\operatorname{mes}E\to 0}\int_E\sum_{1\leqslant i\leqslant n}|\partial_iu_j|^p\,dx\,dt=0,\qquad E\subset\Omega_T,
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
и стремление к пределу в (4.17) равномерно относительно $j$. Заметим, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I_s^j &=\sum_l\sum_{1\leqslant i\leqslant n}\bigl(A_i(x+h_{sl},t,\zeta^j_{l\cdot}) -A_i(x+h_{sl},t,\eta^j_{l\cdot})\bigr) (R_s^{-1}(\zeta^j_{\cdot i}-\eta^j_{\cdot i}))_l \nonumber \\ &=\sum_{1\leqslant l\leqslant N(s)}\sum_{0\leqslant i\leqslant n} A_i(x+h_{sl},t,\zeta^j_{l\cdot})(R^{-1}_s\zeta^j_{\cdot i})_l \nonumber \\ &\qquad{}-\sum_{1\leqslant l\leqslant N(s)}A_0(x+h_{sl},t,\zeta^j_{l \cdot}) (R^{-1}_s\zeta^j_{\cdot 0})_l -\sum_{1\leqslant l\leqslant N(s)}\sum_{1\leqslant i\leqslant n} A_i(x+h_{sl},t,\zeta^j_{l\cdot})(R^{-1}_s\eta^j_{\cdot i})_l \nonumber \\ &\qquad{}-\sum_{1\leqslant l\leqslant N(s)}\sum_{1\leqslant i\leqslant n} A_i(x+h_{sl},t,\eta^j_{l\cdot}) (R_s^{-1}(\zeta^j_{\cdot i}-\eta^j_{\cdot i}))_l. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
Первое слагаемое правой части (4.18) оценим, исходя из условия коэрцитивности (4.6), а остальные – применяя условие (A1) и неравенствo Гёльдера:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I_s^j &\geqslant c_6\sum_{1\leqslant l\leqslant N(s)}\sum_{1\leqslant i\leqslant n}|\zeta_{li}^j|^p -c_7\sum_{1\leqslant l\leqslant N(s)}|\zeta^j_{l0}|^{\widehat p}-c_8 \nonumber \\ &\qquad{}-\sum_{1\leqslant l\leqslant N(s)}\sum_{0\leqslant i\leqslant n} \biggl|g_0(x+h_{sl},t)+c_5\sum_{0\leqslant k\leqslant n}|\zeta_{lk}^j|^{p-1}\biggr|\, |(R^{-1}_s\eta^j_{\cdot i})_l| \nonumber \\ &\qquad{}-\sum_{1\leqslant l\leqslant N(s)}\sum_{1\leqslant i\leqslant n} \biggl|g_0(x+h_{sl},t)+c_5\sum_{0\leqslant k\leqslant n}|\eta^j_{lk}|^{p-1}\biggr|\, |(R^{-1}_s\zeta^j_{\cdot i})_l| \nonumber \\ &\qquad{}-\sum_{1\leqslant l\leqslant N(s)}\sum_{1\leqslant i\leqslant n} \biggl|g_0(x+h_{sl},t)+c_5\sum_{0\leqslant k\leqslant n}|\eta^j_{lk}|^{p-1}\biggr|\, |(R^{-1}_s\eta^j_{\cdot i})_l|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
Здесь вторая и третья сумма правой части (4.18) оценена вместе в четвертом слагаемом правой части (4.19) с учетом того, что $\zeta^j_{l0}=\eta^j_{l0}$. Очевидно, что
$$
\begin{equation*}
|(R^{-1}_s\zeta_{\cdot i})_l| \leqslant c_{13}\sum_{1\leqslant m\leqslant N(s)}|\zeta_{m i}|.
\end{equation*}
\notag
$$
Для сокращения записи введем обозначение $g_{sl}^j=g_0(x+h_{sl},t)+c_5\sum_{0\leqslant k\leqslant n}|\eta^j_{lk}|^{p-1}$. Скомпануем слагаемые и оценим с помощью неравенства Юнга:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I_s^j &\geqslant c_6\sum_{1\leqslant l\leqslant N(s)}\sum_{1\leqslant i\leqslant n}|\zeta_{li}^j|^p -c_5\sum_{1\leqslant l\leqslant N(s)}\sum_{1\leqslant k\leqslant n}|\zeta^j_{lk}|^{p-1} \sum_{0\leqslant i\leqslant n}|(R^{-1}_s\eta^j_{\cdot i})_l|-c_8 \nonumber \\ &\qquad{}-c_{13}\sum_{1\leqslant l,m\leqslant N(s)}\sum_{1\leqslant i\leqslant n} |g_{sl}^j|\,|\zeta^j_{m i}| \nonumber \\ &\qquad{}-c_7\sum_{1\leqslant l\leqslant N(s)}|\zeta^j_{l0}|^{\widehat p} -2\sum_{1\leqslant l\leqslant N(s)}\sum_{0\leqslant i\leqslant n}|g_{sl}^j|\,|(R^{-1}_s\eta^j_{\cdot i})_l| \nonumber \\ &\geqslant c_6\sum_{1\leqslant l\leqslant N(s)}\sum_{1\leqslant i\leqslant n}|\zeta_{li}^j|^p -\frac{c_5(n+1)\varepsilon_1^q}{q}\sum_{1\leqslant l\leqslant N(s)} \sum_{1\leqslant i\leqslant n}|\zeta_{li}^j|^p \nonumber \\ &\qquad{}-\frac{c_5n}{\varepsilon_1^p p}\sum_{1\leqslant l\leqslant N(s)}\sum_{0\leqslant i\leqslant n} |(R^{-1}_s\eta^j_{\cdot i})_l|^p -\frac{c_{13}N(s)\varepsilon_2^p}{p}\sum_{1\leqslant l\leqslant N(s)} \sum_{1\leqslant i\leqslant n}|\zeta_{li}^j|^p \nonumber \\ &\qquad{}-\frac{c_{13}nN(s)}{\varepsilon_2^q q}\sum_{1\leqslant l\leqslant N(s)}|g_{sl}^j|^q -c_7\sum_{1\leqslant l\leqslant N(s)}|\zeta^j_{l0}|^{\widehat p}-c_8 \nonumber \\ &\qquad{}-\frac{2(n+1)}{q}\sum_{1\leqslant l\leqslant N(s)}|g_{sl}^j|^q -\frac{2}{p}\sum_{1\leqslant l\leqslant N(s)}\sum_{0\leqslant i\leqslant n} |(R^{-1}_s\eta^j_{\cdot i})_l|^p. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
Выберем $\varepsilon_1,\varepsilon_2>0$ такими, что
$$
\begin{equation*}
\frac{c_5(n+1)\varepsilon_1^q}{q} +\frac{c_{13}N(s)\varepsilon_2^p}{p}\leqslant\frac{c_6}{2}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
I_s^j\geqslant\frac{c_6}{2}\sum_{1\leqslant l\leqslant N(s)} \sum_{1\leqslant i\leqslant n}|\zeta_{li}^j|^p -\widehat g_s^j,
\end{equation}
\tag{4.21}
$$
где $\widehat g_s^j\in L_1(Q_{s1}\times(0,T))$ – функция, равная сумме третьего и последних пяти слагаемых правой части (4.20):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widehat g_s^j &=\frac{c_5n}{\varepsilon_1^pp}\sum_{1\leqslant l\leqslant N(s)}\sum_{0\leqslant i\leqslant n} |(R^{-1}_s\eta^j_{\cdot i})_l|^p +\frac{c_{13}nN(s)}{\varepsilon_2^qq}\sum_{1\leqslant l\leqslant N(s)}|g_{sl}^j|^q +c_7\sum_{1\leqslant l\leqslant N(s)}|\zeta^j_{l0}|^{\widehat p}+c_8 \\ &\qquad{}+\frac{2(n+1)}{q}\sum_{1\leqslant l\leqslant N(s)}|g_{sl}^j|^q +\frac{2}{p}\sum_{1\leqslant l\leqslant N(s)}\sum_{0\leqslant i\leqslant n} |(R^{-1}_s\eta^j_{\cdot i})_l|^p. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, для любого $s$ и любого $E\subset Q_{s1}\times(0,T)$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{c_6}{2}\lim_{\operatorname{mes}E\to 0}\int_E\sum_{1\leqslant i\leqslant n} \sum_{1\leqslant l\leqslant N(s)}|\partial_iw_j(x+h_{sl},t)|^p\,dx\,dt \nonumber \\ &\qquad\leqslant\lim_{\operatorname{mes}E\to 0}\int_EI_s^j\,dx\,dt +\lim_{\operatorname{mes}E\to 0}\int_E\widehat g_s^j\,dx\,dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.22}
$$
Сходимость первого интеграла в правой части (4.22) к нулю при $j\to\infty$ на любом множестве $E\subset Q_{s1}\times(0,T)$ доказана выше, см. (4.16). Сходимость второго интеграла в правой части (4.22) к нулю следует из абсолютной непрерывности интеграла и того, что множество $\{\widehat g_s^j\}\subset L_1(Q_{s1}\times(0,T))$ компактно, поскольку при формировании функций $\widehat g_s^j$ участвовали фиксированные функции и функции из компактных множеств $\{w_j\}\subset L_p(\Omega_T)$ и $\{u_j\}\subset L_p(\Omega_T)$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widehat g_s^j &=\biggl(\frac{c_5n}{\varepsilon_1^pp}+\frac{2}{p}\biggr) \sum_{1\leqslant l\leqslant N(s)}\biggl(|u_j(x+h_{sl},t)|^p +\sum_{1\leqslant i\leqslant n}|\partial_iu(x+h_{sl},t)|^p\biggr) \\ &\qquad{}+\biggl(\frac{c_{13}nN(s)}{\varepsilon_2^qq} +\frac{2(n+1)}{q}\biggr)\sum_{1\leqslant l\leqslant N(s)} \biggl|g_0(x+h_{sl},t)+c_5|w_j(x+h_{sl},t)|^{p-1} \\ &\qquad\qquad\qquad{}+c_5\sum_{1\leqslant i\leqslant n}|\partial_iw(x+h_{sl},t)|^{p-1}\biggr|^q +c_7\sum_{1\leqslant l\leqslant N(s)}|w_j(x+h_{sl},t)|^{\widehat p}+c_8. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, сходимость в (4.22) равномерна по $j$ для всех $s$, множества $\{\partial_iw_j\}$ компактны в $L_p(\bigcup_{sl}Q_{sl}\times(0,T))$. В силу непрерывности оператора $R_Q$ это возможно тогда и только тогда, когда множества $\{\partial_iu_j\}$ компактны в $L_p(\bigcup_{sl}Q_{sl}\times(0,T))$. Так как $\operatorname{mes}(\Omega_T\setminus(\bigcup_{sl}Q_{sl}\times(0,T)))=0$, то равенство (4.17) доказано. Слабо сходящаяся в $\mathscr V$ последовательность $\{u_j\}$ принадлежит компактному множеству. Поскольку двух пределов существовать не может, то данная последовательность сходится к $u$ в $\mathscr V$. Свойство $(S_+)$ на $W$ доказано. Лемма 8. Пусть справедливы условия (A0)–(A3). Тогда оператор $A\colon\mathscr V\to\mathscr V^*$, заданный формулой (4.4), псевдомонотонен на4 $W$. Доказательство. Деминепрерывный оператор, обладающий свойством $(S_+)$ на $W$ является псевдомонотонным на $W$, доказательство аналогично доказательству в эллиптическом случае, см. [5; гл. 1, § 1]. Для удобства читателей приведем это доказательство полностью.
Пусть $u_j\rightharpoonup u$ слабо в $W$ и справедлива оценка (4.14). Выше доказано, что оператор $A_R\colon\mathscr V\to\mathscr V^*$ обладает свойством $(S_+)$ на $W$. Таким образом, если $u_j\rightharpoonup u$ в $W$ и справедлива оценка (4.14), то $u_j\to u$ в $\mathscr V$. В силу условия (A1) в лемме 4 доказано, что оператор $A_R\colon\mathscr V\to\mathscr V^*$ деминепрерывен, т.е. $A_Ru_j\rightharpoonup A_Ru$ слабо в $\mathscr V^*$. Следовательно, 5. Существование решенияТеорема 1. Пусть справедливы условия (A0)– (A3). Тогда для любых $f\in\mathscr V^*$ и $\varphi\in L_2(Q)$ существует обобщенное решение задачи (2.1)–(2.3) $u\in W$. Доказательство. В силу условий (A0)–(A3) оператор $A_R$ ограничен, деминепрерывен, псевдомонотонен на $W$ и коэрцитивен, см. леммы 4, 5 и 8. Согласно теореме 1.2 из [2; гл. 3, п. 1.4] решение операторного уравнения (2.7) существует. Замечание 1. Аналогично условиям (A0)–(A3) можно построить условия для операторов $2m$-го порядка. Условия для дифференциально-разностных операторов $2m$-го порядка, рассматриваемых в эллиптических задачах, сформулированы в [22]. Я благодарю рецензентов за полезные замечания, способствовавшие улучшению статьи. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Sol23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|