| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Оценка второго коэффициента голоморфных отображений круга в себя с двумя неподвижными точками О. С. Кудрявцеваabc, А. П. Солодовab a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики c Волгоградский государственный технический университет
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623050085 
Реферативные базы данных:
  1. Введение и формулировка результатаГоломорфные отображения области в себя с заданными неподвижными точками являются важным объектом исследований в геометрической теории функций комплексного переменного. Помимо самостоятельного интереса изучение свойств таких отображений сопряжено с перспективой решения весьма сложных задач, возникающих в тех областях естествознания, где при описании процессов используется голоморфная динамика. Среди приложений отметим задачи теории конформного отображения, теории случайных ветвящихся процессов, некоммутативной вероятности, теории композиционных операторов (см., например, обзор [1] и приведенную там библиографию). Всестороннее исследование влияния угловой производной в граничной неподвижной точке на поведение голоморфного отображения внутри области привело к новым постановкам некоторых классических задач и получению результатов окончательного характера, дополняющих классику. В этой связи отметим недавние статьи [2]–[4], в которых получено развитие теорем Ландау о точных областях однолистности и однолистного покрытия. Данная работа посвящена еще одной классической задаче, приобретающей новое звучание в упомянутом выше контексте. Речь идет об описании областей тейлоровских коэффициентов. Эта тематика имеет длительную и богатую историю. Достаточно сказать, что проблема коэффициентов однолистных в круге функций составляла содержание знаменитой гипотезы Бибербаха, на долгое время определившей развитие геометрической теории функций. В настоящей работе получено неравенство для второго коэффициента голоморфных отображений круга в себя с внутренней и граничной неподвижными точками и ограничением на значение угловой производной в граничной неподвижной точке. Показано, что найденная оценка для второго коэффициента является точной на классе орициклов. Приведем необходимые обозначения и сведения. Пусть $\mathscr B$ – совокупность голоморфных функций $f$, отображающих единичный круг $\mathbb D=\{z\in \mathbb C\colon |z|<1\}$ в себя. Хорошо известно (см., например, [5]), что функция $f\in\mathscr B$, $f(z)\not\equiv z$, может иметь внутри круга $\mathbb D$ не более одной неподвижной точки. Нас будет интересовать случай наличия внутренней неподвижной точки, в качестве которой, не нарушая общности, возьмем $z=0$. Для функции $f(z)=c_1z+c_2z^2+\dotsb$ из класса $\mathscr B[0]=\{f\in\mathscr B\colon f(0)=0\}$ наилучшая оценка для коэффициентов, если их рассматривать независимо друг от друга, имеет вид: $|c_n|\leqslant 1$. Если же значения первых $n-1$ коэффициентов зафиксированы, то, как показал Шур [6], областью изменения коэффициента $c_n$ является круг, центр и радиус которого зависят от предыдущих коэффициентов $c_1,\dots,c_{n-1}$. В частности,
$$
\begin{equation}
|c_1|\leqslant 1, \qquad |c_2|\leqslant 1-|c_1|^2, \qquad \biggl|c_3+\frac{\overline{c}_1c_2^2}{1-|c_1|^2}\biggr|\leqslant 1- |c_1|^2 -\frac{|c_2|^2}{1-|c_1|^2},
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
при этом равенства достигаются на произведениях Бляшке. Интересен вопрос: какое влияние оказывает дополнительная неподвижная точка функции $f\in\mathscr B[0]$, $f(z)\not\equiv z$, на области коэффициентов? Как уже отмечалось, дополнительная неподвижная точка должна располагаться на единичной окружности $\mathbb T=\{z\in \mathbb C\colon |z|=1\}$, при этом ее неподвижность понимается в смысле углового предела. Напомним (см., например, [7]), что в граничной неподвижной точке (для определенности в качестве таковой положим $z=1$) всегда существует угловой предел Если этот предел конечен, то он является положительным числом и $f'(z)$ имеет тот же угловой предел при $z\to 1$. В этом случае предел (1.2) называется угловой производной функции $f$ в граничной неподвижной точке $z=1$ и обозначается $f'(1)$.На классе
$$
\begin{equation*}
\mathscr B\{1\}=\{f\in\mathscr B\colon \angle \lim_{z\to 1}f(z)=1\}
\end{equation*}
\notag
$$
для угловой производной $f'(1)$ имеет место фундаментальное неравенство Жюлиа–Каратеодори
$$
\begin{equation}
f'(1)\geqslant \frac{|1-f(z)|^2}{1-|f(z)|^2}\, \frac{1-|z|^2}{|1-z|^2} \qquad \forall\, z\in\mathbb D.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Знак равенства в (1.3) достигается только в случае, когда
$$
\begin{equation*}
f(z)=\frac{1-\overline{q}}{1-q}\,\frac{z-q}{1-\overline{q}z}, \qquad q\in \mathbb D.
\end{equation*}
\notag
$$
Неравенство Жюлиа–Каратеодори допускает геометрическую интерпретацию. Под орициклом в точке $1$ с параметром $k>0$ понимается круг
$$
\begin{equation*}
\mathbb H_k=\biggl\{z\in\mathbb D\colon \frac{|1-z|^2}{1-|z|^2}< k\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
радиуса $k/(k+1)$ с центром в точке $z_0=1/(k+1)$, касающийся единичной окружности $\mathbb T$ в точке $z=1$. Неравенство (1.3) означает, что при каждом $k>0$ образ орицикла $\mathbb H_k$ содержится в орицикле $\mathbb H_{f'(1)k}$. Отметим, что на классе $\mathscr B[0,1]=\mathscr B[0]\cap \mathscr B\{1\}$ оценка (1.3) принимает вид $f'(1) \mspace{-1mu} \geqslant \mspace{-1mu} 1$, а экстремальной функцией является $f(z)\equiv z$. Имеется широкий круг работ, в которых получены другие важные соотношения, содержащие угловые производные (см., например, [8]–[13]). Вернемся к поставленному выше вопросу об областях тейлоровских коэффициентов с учетом граничной неподвижной точки и значения угловой производной в ней. Если речь идет об описании областей взаимного изменения коэффициентов на классе $\mathscr B_{\alpha}[0,1]=\{f\in\mathscr B[0,1]\colon f'(1)=\alpha\}$, $\alpha>1$, то эта задача полностью решена Горяйновым [14]. Сформулируем его результат для первых трех коэффициентов. Теорема A (Горяйнов). Пусть $f(z)=c_1z+c_2z^2+\dotsb$ принадлежит классу $\mathscr B_{\alpha}[0,1]$, $\alpha>1$. Тогда Неравенства (1.4)–(1.6) точные, равенства в них достигаются на произведениях Бляшке. Заметим, что области (1.4)–(1.6) являются орициклами относительно соответствующих кругов Шура (1.1). При этом параметры орициклов зависят от угловой производной и значений предыдущих коэффициентов. Вывод результатов теоремы A базируется на интегральном представлении класса $\mathscr B_{\alpha}[0,1]$, $\alpha>1$. Наиболее простое, на наш взгляд, доказательство неравенства (1.4), основанное на (1.3), дано в [15]. Вопрос об описании областей коэффициентов, если их рассматривать независимо друг от друга, остается открытым. На пути решения этой задачи получено следующее неравенство для второго коэффициента. Теорема 1. Пусть $f(z)=c_1z+c_2z^2+\dotsb$ принадлежит классу $\mathscr B_{\alpha}[0,1]$, $\alpha>1$. Тогда Скажем несколько слов о точности оценки (1.7). Численные эксперименты показывают, что точная область изменения коэффициента $c_2$ довольна близка к орициклу, описываемому неравенством (1.7), а при $\alpha\geqslant 2$, по-видимому, и совпадает. На настоящий момент заведомо можно утверждать, что среди всех орициклов в теореме 1 получен оптимальный. Действительно, для каждого $\alpha>1$ рассмотрим следующее произведение Бляшке:
$$
\begin{equation*}
f(z)=z\,\frac{(\alpha+1)z^2-(\alpha+1)z+2}{2z^2-(\alpha+1)z+(\alpha+1)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Легко проверить, что $f$ принадлежит классу $\mathscr B_\alpha[0,1]$. Кроме того, и, значит, в (1.7) достигается равенство.
2. Доказательство неравенства для второго коэффициентаВ этом разделе мы покажем справедливость неравенства (1.7). Доказательство теоремы 1. В силу теоремы A значение коэффициента $c_1$ располагается внутри орицикла, задаваемого неравенством (1.4). Иначе говоря, для некоторых $k$, $1\leqslant k\leqslant\alpha$, и $\varphi$, $-\pi<\varphi\leqslant\pi$, имеет место равенство
$$
\begin{equation}
c_1=\frac{1}{k}+\biggl(1-\frac{1}{k}\biggr)e^{i\varphi}.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
При этом значение коэффициента $c_2$ согласно теореме A находится внутри круга (1.5) c границей
$$
\begin{equation}
c_2=\frac{1-c_1}{1-\overline{c}_1}\biggl(\frac{|1-c_1|^2}{\alpha-1} +\biggl(1-|c_1|^2-\frac{|1-c_1|^2}{\alpha-1}\biggr)e^{i\psi}\biggr), \qquad -\pi<\psi\leqslant\pi.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Подставляя (2.1) в (2.2), получаем, что при фиксированных $k$, $1\leqslant k\leqslant\alpha$, и $\varphi$, $-\pi<\varphi\leqslant\pi$, граница области изменения коэффициента $c_2$ имеет вид
$$
\begin{equation}
c_2=\frac{4(k-1)}{k^2(\alpha-1)}\sin^2 \frac{\varphi}{2} \bigl((1-k)e^{i\varphi}+(\alpha-k)e^{i\psi}\bigr), \qquad -\pi<\psi\leqslant\pi.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Для доказательства теоремы достаточно проверить, что при всех $k$, $1\leqslant k\leqslant\alpha$, $\varphi$, $-\pi<\varphi\leqslant\pi$, и $\psi$, $-\pi<\psi\leqslant\pi$, значение $c_2$, определяемое формулой (2.3), находится внутри орицикла (1.7). Иначе говоря, необходимо проверить, что неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag 1-\alpha &+\frac{8 (k-1)^2 \cos \varphi \sin^2(\varphi/2)}{(\alpha-1)\,k^2}+ \frac{16(\alpha+1)\bigl((\alpha-k)^2+(k-1)^2\bigr)(k-1)^2\sin^4 (\varphi/2)}{(\alpha-1)^2k^4} \\ \notag & +\biggl(\frac{8(k-\alpha)(k-1)\sin^2(\varphi/2)}{(\alpha-1)\,k^2}+ \frac{32(\alpha+1)(k-\alpha)(k-1)^3\cos\varphi\sin^4(\varphi/2)}{(\alpha-1)^2k^4} \biggr)\cos \psi \\ & +\frac{32(\alpha+1)(k-\alpha)(k-1)^3\sin\varphi\sin^4(\varphi/2)}{(\alpha-1)^2k^4} \sin\psi\leqslant 0 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
выполняется для любых $k$, $1\leqslant k\leqslant\alpha$, $\varphi$, $-\pi<\varphi\leqslant\pi$, и $\psi$, $-\pi<\psi\leqslant\pi$.
Вычисляя максимум левой части (2.4) по $\psi$ и обозначая $\sin^2(\varphi/2)$ через $t$, сводим проверку неравенства (2.4) к проверке при всех $k$, $1\leqslant k\leqslant\alpha$, и $t$, $0\leqslant t\leqslant 1$, неравенства где
$$
\begin{equation}
\Phi(\alpha,k,t)=16(k-1)^2\bigl((\alpha+1)(\alpha-k)^2+(\alpha+1)(k-1)^2-(\alpha-1)k^2 \bigr)t^2 \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad\qquad +8(\alpha-1)(k-1)^2k^2 t-(\alpha-1)^3k^4,
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
$$
\begin{equation}
\quad\ \times \sqrt{16(k \mspace{-1mu} - \mspace{-1mu} 1)^2\bigl((\alpha \mspace{-1mu} + \mspace{-1mu} 1)^2(1 \mspace{-1mu} - \mspace{-1mu} 2k) \mspace{-1mu} + \mspace{-1mu} 2(\alpha \mspace{-1mu} + \mspace{-1mu} 1)k^2\bigr)t^2 \mspace{-1mu} + \mspace{-1mu} 8(\alpha^2 \mspace{-1mu} - \mspace{-1mu} 1)(k \mspace{-1mu} - \mspace{-1mu} 1)^2k^2 t \mspace{-1mu} + \mspace{-1mu} (\alpha \mspace{-1mu} - \mspace{-1mu} 1)^2k^4}.
\end{equation}
\notag
$$
Докажем сначала, что $\Phi(\alpha,k,t)\leqslant 0$. После подстановки в (2.6) $\alpha=1+u$, $k=1+s u$, $t=1/(rs)$ остается проверить справедливость при $u>0$, $s$, $0\leqslant s\leqslant 1$, и $r$, $r\geqslant 1/s$, неравенства
$$
\begin{equation}
-r^2(1+su)^4+8r s(1+su)^2+16\bigl((1-s)^2u^2+2(1-s)(1-2s)u-1\bigr)\leqslant 0.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Левая часть (2.8) представляет собой квадратичную функцию относительно переменной $r$. Рассмотрим два случая в зависимости от расположения точки максимума этой функции. Случай 1. Предположим, что вершина $r_0=4s/(1+su)^2$ левой части (2.8), принадлежит интервалу $(1/s,\infty)$. Сравнивая $r_0$ с $1/s$, получаем, что этот случай реализуется при $s\in(1/2,1]$ и $u\in(0,(2s-1)/s)$. При указанных значениях переменных $u$ и $s$ левая часть (2.8) достигает максимума в точке $r_0$. Тем самым, осталось проверить справедливость неравенства
$$
\begin{equation}
-16(1-s)\bigl(u^2(s-1)+2u(2s-1)+s+1\bigr)\leqslant 0
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
при $s\in(1/2,1]$ и $u\in(0,(2s-1)/s)$. При $s=1$ в (2.9) имеем равенство. При $s\in(1/2,1)$ вершина $u_0=(2s-1)/(1-s)$ параболы $u^2(s-1)+2u(2s-1)+s+1$ лежит правее точки $(2s-1)/s$. Следовательно, на отрезке $[0,(2s-1)/s]$ парабола возрастает и ее наименьшее значение $s+1$, достигаемое в точке $u=0$, положительно. Таким образом, неравенство (2.9) и, как следствие, неравенство (2.8) в исследуемом случае доказаны.
Случай 2. Предположим теперь, что вершина левой части (2.8) не принадлежит интервалу $(1/s,\infty)$. Тогда парабола при $r\in[1/s,\infty)$ убывает и имеет наибольшее значение в точке $r=1/s$. Поэтому достаточно проверить неположительность левой части (2.8) при $r=1/s$, т.е. проверить справедливость следующего неравенства
$$
\begin{equation}
-(1+su)^4+8 s^2(1+su)^2+16s^2\bigl((1-s)^2u^2+2(1-s)(1-2s)u-1\bigr)\leqslant 0
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
при $s\in[0,1/2]$, $u>0$ и при $s\in(1/2,1]$, $u\geqslant (2s-1)/s$. Рассмотрим отдельно обе возможности.
Случай 2, а). Пусть $u>0$, $s\in[0,1/2]$. Подстановка $u=v/s$ сводит проверку неравенства (2.10) для указанных значений переменных $u$ и $s$ к доказательству неравенства
$$
\begin{equation}
-v^4-4v^3+(24s^2-32s+10)v^2+(64s^3-80s^2+32s-4)v-8s^2-1\leqslant 0
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
для всех $v>0$ и $s\in[0,1/2]$.
При $v\geqslant 1$ выводим (2.11) из следующей цепочки соотношений:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & -v^4-4v^3+(24s^2-32s+10)v^2+(64s^3-80s^2+32s-4)v-8s^2-1 \\ &\qquad <-v^4-4v^3+(24s^2-32s+10)v^2+(-16s^2+32s-4)v-8s^2-1 \\ &\qquad =-(v-1)^2(v^2+6v+1)+8s^2(v-1)(3v+1)-32 sv(v-1) \\ &\qquad <-(v-1)^2(v^2+6v+1)+8s(v-1)(3v+1)-32 sv(v-1) \\ &\qquad =-(v-1)^2 (v^2+6v+8s+1)\leqslant 0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
При $v\in(0,1)$ выводим неравенство (2.11), разбивая его левую часть в сумму трех неположительных слагаемых:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &-v^4-4v^3+(24s^2-32s+10)v^2+(64s^3-80s^2+32s-4)v-8s^2-1 \\ &\qquad =(1-v)\bigl((1-v)^3-24(1-v)s^2+64s^3\bigr)+32 s^2(2s-1)-8v(2s+v-1)^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что положительность многочлена $p^3-24 p+64$ при $p\geqslant 0$ следует из положительности его минимума на положительной полуоси.
Случай 2, б). Пусть $s \mspace{-1mu} \in \mspace{-1mu} (1/2,1]$ и $u \mspace{-1mu} > \mspace{-1mu} (2s-1)/s$. Подстановка $u \mspace{-1mu} = \mspace{-1mu} (w \mspace{-1mu} + \mspace{-1mu} 2s \mspace{-1mu} - \mspace{-1mu} 1)/s$ сводит проверку неравенства (2.10) для указанных значений переменных $u$ и $s$ к доказательству неравенства
$$
\begin{equation}
-w^4-8sw^3-16(2s-1)w^2-32(1-2s)^2(1-s)w-16(1-s)(13s^3-15s^2+7s-1)\leqslant 0
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
при $s\in (1/2,1]$ и $w>0$. Действительно, все слагаемые левой части (2.12) неположительны. В пояснении нуждается лишь неположительность последнего слагаемого: положительность многочлена $13s^3-15s^2+7s-1$ при $s\in[1/2,1]$ следует из положительности его наименьшего значения на указанном интервале.
Объединяя рассмотренные выше случаи, делаем вывод о справедливости неравенства (2.8) при $u>0$, $s\in[0,1]$ и $r\geqslant 1/s$. Таким образом, при всех $k$, $1\leqslant k\leqslant \alpha$, и $t$, $0\leqslant t\leqslant 1$, верна оценка $\Phi(\alpha,k,t)\leqslant 0$. Возвращаемся к проверке неравенства (2.5). В силу установленной неположительности $\Phi(\alpha,k,t)$ для доказательства неравенства (2.5) достаточно проверить при всех $k$, $1\leqslant k\leqslant \alpha$, и $t$, $0\leqslant t\leqslant 1$, оценку Полагая, как и ранее, $\alpha=1+u$, $k=1+s u$, после преобразований c учетом (2.6) и (2.7) получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\Phi^2(\alpha,k,t)-\Psi^2(\alpha,k,t)= u^6\bigl(s^2u (4t+u)-2s(2t-u+2t u)+1\bigr)^2 \\ &\qquad\qquad \times\bigl(16s^2(su-u-1)^2t^2+8s(su+1)^2(u-su-2s+1)t+(su+1)^4\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
Правая часть (2.14) неотрицательна при всех $u>0$ и $s\in [0,1]$, так как последний множитель в нетривиальном случае ($s\neq 0$) является квадратным трехчленом относительно переменной $t$ с неположительным дискриминантом $256s^3(s-1) \times (u+ 1)(s u+ 1)^4$. Таким образом, неравенство (2.13), а вместе с ним и теорема, доказаны. Численные эксперименты позволяют сделать предположение о том, что на классе $\mathscr B_{\alpha}[0,1]$, $\alpha>1$, точная область изменения коэффициента $c_n$ содержится в орицикле с параметром $\alpha+n-2$. Гипотеза 1. Пусть $f(z)=c_1z+c_2z^2+\dotsb$ принадлежит классу $\mathscr B_{\alpha}[0,1]$, $\alpha>1$. Тогда В завершение отметим, что если угловая производная принимает критическое значение, равное двум (более подробно об этом можно прочитать в [3]), то неравенство (2.15) приобретает лаконичный вид $(|1-c_n|^2)/(1-|c_n|^2)\leqslant n$, схожий с неравенством Бибербаха. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KudSol23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|