| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Краткие сообщения Об усреднении операторов с возмущениями общего вида в младших членах Д. И. Борисовab a Институт математики с вычислительным центром Уфимского федерального исследовательского центра РАН, г. Уфа b Башкирский государственный университет, г. Уфа
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623010145 
Реферативные базы данных:
  В последние 20 лет в теории усреднения активно развивается направление, связанное с исследованием равномерной резольвентной сходимости возмущенных операторов к усредненным; см., например, [1]–[6] и списки литературы в цитированных статьях. Случай операторов с периодически и локально-периодически быстро осциллирующими коэффициентами был очень детально исследован [1]–[5], а непериодические возмущения были рассмотрены в задачах граничного усреднения [6]. Отметим еще статьи [7], [8], где предложены подходы для изучения быстро меняющихся уже в главном члене асимптотических решений гиперболического уравнения с периодически и непериодически часто осциллирующими коэффициентами; во втором случае коэффициенты удовлетворяют заданным оценкам на производные по малому параметру. В настоящей работе мы изучаем усреднения операторов с младшими членами, произвольно зависящими от многомерного малого параметра. Основная цель – получить критерии на эту зависимость, обеспечивающие наличие равномерной резольвентной сходимости. Пусть $\Omega$ – произвольная область в пространстве $\mathbb{R}^d$, ограниченная или неограниченная. Если ее граница непуста, то пусть она имеет гладкость $C^2$ и в слое фиксированной ширины вдоль этой границы определены локальные переменные $(s,\tau)$, где $s$ – переменные на многообразии $\partial\Omega$, а $\tau$ – расстояние вдоль внешней нормали $\nu=(\nu_1,\dots,\nu_d)$. Через $L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)$ обозначаем пространство векторных функций на $\Omega$ со значениями в $\mathbb{C}^n$, каждая компонента которых принадлежит $L_2(\Omega)$. Пусть $\mathbb{M}_n$ – линейное пространство всех квадратных матриц размера $n\times n$. Символом $L_\infty(\Omega;\mathbb{M}_n)$ обозначаем пространство матричных функций на $\Omega$ со значениями в $\mathbb{M}_n$, каждая компонента которых принадлежит $L_\infty(\Omega)$. Помимо $L_\infty(\Omega;\mathbb{M}_n)$ и $L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)$, далее используются аналогичные обозначения для различных пространств векторно- и матричнозначных функций. Пусть $A_{ij}=A_{ij}(x)$, $A_j^\pm=A_j^\pm(x)$, $A_0=A_0(x)$ – матричные функции с комплексными элементами из пространства $L_\infty(\Omega;\mathbb{M}_n)$, причем выполнено условие
$$
\begin{equation}
\operatorname{Re} \sum_{i,j=1}^{d} (A_{ij}(x)z_i,z_j)_{\mathbb{C}^n} \geqslant c_1 \sum_{j=1}^{d} |z_j|^2,
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $c_1>0$ – некоторая фиксированная константа, не зависящая от $x\in\Omega$ и $z_j\in\mathbb{C}^n$. Через $\mathcal{H}$ обозначим оператор с дифференциальным выражением и краевым условием
$$
\begin{equation*}
\mathcal{H}=-\sum_{i,j=1}^{d} \frac{\partial}{\partial x_i}\, A_{ij} \frac{\partial}{\partial x_j} + \sum_{j=1}^{d} A_j^+ \frac{\partial}{\partial x_j} + \sum_{j=1}^{d} \frac{\partial}{\partial x_j}\, A_j^-+ A_0,\qquad \mathcal{B} u=0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathcal{B} u=u$ или $\mathcal{B} u={\partial u}/{\partial\boldsymbol{\nu}} + Ku$,
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial u}{\partial\boldsymbol{\nu}}:=\sum_{i,j=1}^{d} \nu_i A_{ij}\frac{\partial u}{\partial x_j} -\sum_{j=1}^{d} \nu_j A_j^- u, \qquad K\in L_\infty(\partial\Omega;\mathbb{M}_n).
\end{equation*}
\notag
$$
Строго оператор $\mathcal{H}$ определяем следующим образом. Через $\mathring{W}_2^1(\Omega;\mathbb{C}^n)$ обозначим подпространство пространства Соболева $W_2^1(\Omega;\mathbb{C}^n)$, состоящее из векторных функций с нулевым следом на границе. В пространстве $L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)$ введем полуторалинейные формы
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathfrak{h}_D(u,v)&:=\sum_{i,j=1}^{d} \biggl(A_{ij}\frac{\partial u}{\partial x_j}, \frac{\partial v}{\partial x_i}\biggr)_{L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)} + \sum_{j=1}^{d}\biggl(A_j^+\frac{\partial u}{\partial x_j}, v \biggr)_{L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)} \\ &\qquad - \sum_{j=1}^{d} \biggl(A_j^-u,\frac{\partial v}{\partial x_j}\biggr)_{L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)} + (A_0 u, v)_{L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
на области определения $\mathring{W}_2^1(\Omega;\mathbb{C}^n)$ и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathfrak{h}_R(u,v)&:=\sum_{i,j=1}^{d} \biggl(A_{ij}\frac{\partial u}{\partial x_j}, \frac{\partial v}{\partial x_i}\biggr)_{L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)} + \sum_{j=1}^{d} \biggl(A_j^+\frac{\partial u}{\partial x_j}, v \biggr)_{L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)} \\ &\qquad - \sum_{j=1}^{d} \biggl(A_j^-u,\frac{\partial v}{\partial x_j}\biggr)_{L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)} + (A_0 u, v)_{L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)}+(Ku,v)_{L_2(\partial\Omega;\mathbb{C}^n)} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
на области определения $W_2^1(\Omega;\mathbb{C}^n)$. Условия (1) и ограниченность $A_{ij}$, $A_j^\pm$, $A_0$ гарантируют замкнутость и секториальность введенных форм. В случае выбора краевого условия Дирихле для оператора $\mathcal{H}$ положим $\mathfrak{h}:=\mathfrak{h}_D$, а в случае третьего краевого условия обозначим $\mathfrak{h}:=\mathfrak{h}_R$. Пусть $\mathfrak{V}$ – область определения формы $\mathfrak{h}$, а $\mathfrak{V}^*$ – сопряженное пространство к $\mathfrak{V}$, а именно, это пространство антилинейных непрерывных функционалов на $\mathfrak{V}$, которое реализуется в смысле спаривания в пространстве $L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)$. В качестве $\mathcal{H}$ берется оператор, заданный на $\mathfrak{V}$ и сопоставляющий каждому элементу $u\in\mathfrak{V}$ функционал из $\mathfrak{V}^*$, действующий по правилу $\langle\mathcal{H} u,v\rangle:=\mathfrak{h}(u,v)$, $v\in\mathfrak{V}$. Легко видеть, что такой оператор является расширением на $\mathfrak{V}$ неограниченного $m$-секториального оператора в $L_2(\Omega)$, соответствующего форме $\mathfrak{h}$ в силу первой теоремы о представлении.
Пусть $\varepsilon=(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_m)$, $m\geqslant 1$ – малый многомерный параметр, $V^\varepsilon=V^\varepsilon(x)$, $Q_j^\varepsilon=Q_j^\varepsilon(x)$, $P_j^\varepsilon=P_j^\varepsilon(x)$, $j=1,\dots,d$, – некоторые семейства матричных функций с комплексными элементами из пространства $L_\infty(\Omega;\mathbb{M}_n)$, ограниченные равномерно по $\varepsilon$. В $L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)$ определим полуторалинейную форму
$$
\begin{equation}
\mathfrak{x}^\varepsilon(u,v):=\sum_{j=1}^{d} \biggl(Q_j^\varepsilon \frac{\partial u}{\partial x_j},v\biggr)_{L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)} - \sum_{j=1}^{d} \biggl(P_j^\varepsilon u,\frac{\partial v}{\partial x_j}\biggr)_{L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)} + (V^\varepsilon u,v)_{L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)}
\end{equation}
\tag{2}
$$
на области определения $\mathfrak{D}(\mathfrak{x}^\varepsilon):=\mathfrak{V}$. Через $\mathcal{X}^\varepsilon$ обозначим оператор из $\mathfrak{V}$ в $\mathfrak{V}^*$, сопоставляющий каждому элементу $u\in\mathfrak{V}$ функционал, действующий по правилу $\langle \mathcal{X}^\varepsilon u,v\rangle:=\mathfrak{x}^\varepsilon(u,v)$. Основным объектом нашего исследования является оператор $\mathcal{H}^\varepsilon:=\mathcal{H}+\mathcal{X}^\varepsilon$, имеющий формальное дифференциальное выражение и краевое условие
$$
\begin{equation*}
\mathcal{H}^\varepsilon:=\mathcal{H} + \sum_{j=1}^{d} Q_j^\varepsilon \frac{\partial}{\partial x_j} + \sum_{j=1}^{d} \frac{\partial}{\partial x_j} P_j^\varepsilon + V^\varepsilon,\qquad\mathcal{B}^\varepsilon u=0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathcal{B}^\varepsilon u =u$, если $\mathcal{B} u=u$, и
$$
\begin{equation*}
\mathcal{B}^\varepsilon u =\mathcal{B} - \sum_{j=1}^{d} P_j^\varepsilon \nu_j,\qquad \text{если}\quad \mathcal{B} u=\frac{\partial u}{\partial\boldsymbol{\nu}} + K u.
\end{equation*}
\notag
$$
Для каждого $u\in\mathfrak{V}$ действие функционала $\mathcal{H}^\varepsilon u$ описывается формой
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{h}^\varepsilon(u,v):=\mathfrak{h}(u,v)+\mathfrak{x}^\varepsilon(u,v).
\end{equation*}
\notag
$$
Оператор $\mathcal{H}^\varepsilon$ является расширением на $\mathfrak{V}$ неограниченного $m$-секториального оператора в $L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)$, соответствующего замкнутой полуторалинейной форме $\mathfrak{h}^\varepsilon$.
Целью настоящей работы является выяснение условий на семейства $Q_j^\varepsilon$, $P_j^\varepsilon$ и $V^\varepsilon$, при которых справедлива равномерная резольвентная сходимость оператора $\mathcal{H}^\varepsilon$ к некоторому предельному оператору $\mathcal{H}^0$ с формальным дифференциальным выражением
$$
\begin{equation*}
\mathcal{H}^0=\mathcal{H} + \sum_{j=1}^{d} Q_j^0 \frac{\partial}{\partial x_j} +\sum_{j=1}^{d} \frac{\partial}{\partial x_j} \,P_j^0 + V^0,
\end{equation*}
\notag
$$
и краевым условием $\mathcal{B}^0 u=0$, где оператор $\mathcal{B}^0$ задается также, как и $\mathcal{B}^\varepsilon$, но с заменой индекса “$\varepsilon$” на “$0$”. Этот оператор вновь понимается как действующий из $\mathfrak{V}$ в $\mathfrak{V}^*$ и его действие описывается формой $\mathfrak{h}^0:=\mathfrak{h}+\mathfrak{x}^0$, где форма $\mathfrak{x}^0$ дается выражением, аналогичным равенству (2), необходимо лишь всюду индекс “$\varepsilon$” заменить на “$0$”. Оператор $\mathcal{H}^0$ является расширением $m$-секториального оператора в $L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)$, соответствующего форме $\mathfrak{h}^0$.
Через $\mathfrak{M}_{1,-1}$ обозначим пространство мультипликаторов из $\mathfrak{V}$ в $\mathfrak{V}^*$, состоящее из матричных функций $V$, определенных на $\Omega$ и таких, что $V u\in \mathfrak{V}^*$ для каждого $u\in \mathfrak{V}$. Аналогично вводятся пространства $\mathfrak{M}_{1,0}$ и $\mathfrak{M}_{2,0}$ мультипликаторов из $\mathfrak{V}$ и $\mathfrak{V}\cap W_2^2(\Omega;\mathbb{C}^n)$ в $L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)$. Нормы в этих пространствах определяются равенствами
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|V\|_{\mathfrak{M}_{1,-1}}:=\sup_{\substack{u\in \mathfrak{V}\\ u\ne0}} \frac{\|Vu\|_{\mathfrak{V}^*}}{\|u\|_\mathfrak{V}}, \qquad \|V\|_{\mathfrak{M}_{1,0}}:= \sup_{\substack{u\in \mathfrak{V}\\ u\ne0}} \frac{\|Vu\|_{L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)}}{\|u\|_{\mathfrak{V}}}, \\ \|V\|_{\mathfrak{M}_{2,0}}:= \sup_{\substack{u\in \mathfrak{V}\cap W_2^2(\Omega;\mathbb{C}^n) \\ u\ne0}} \frac{\|Vu\|_{L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)}}{\|u\|_{\mathfrak{V}}}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Через $\|\cdot\|_{Y_1\to Y_2}$ обозначим норму ограниченного оператора, действующего из банахового пространства $Y_1$ в банахово пространство $Y_2$. Верна оценка
$$
\begin{equation}
\|\mathcal{X}^\varepsilon\|_{\mathfrak{V}\to \mathfrak{V}^*} \leqslant \sum_{j=1}^{d} ( \sqrt{n}\,\|Q_j^\varepsilon\|_{\mathfrak{M}_{1,0}}+ \|P_j^\varepsilon\|_{\mathfrak{M}_{1,0}}) + \|V^\varepsilon\|_{\mathfrak{M}_{1,-1}}.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Сформулируем теперь основные результаты. Теорема 1. Пусть семейства $Q_j^\varepsilon$, $P_j^\varepsilon$, $V^\varepsilon$ ограничены в $L_\infty(\Omega;\mathbb{M}_n)$ равномерно по $\varepsilon$, а соответствующие операторы $\mathcal{X}^\varepsilon$, определенные с помощью формы (2), сходятся к некоторому оператору $\mathcal{X}^0$ в норме $\|\cdot\|_{\mathfrak{V}\to\mathfrak{V}^*}$. Тогда существуют $Q_j^0$, $P_j^0$, $V^0\in L_\infty(\Omega;\mathbb{C}^n)$, порождающие оператор $\mathcal{X}^0$ с помощью формы $\mathfrak{x}^0$, аналогичной (2). Существует вещественное число $\lambda_0$, не зависящее от $\varepsilon$, такое, что все точки $\lambda\in\mathbb{C}$, удовлетворяющие условию $\operatorname{Re}\lambda<\lambda_0$, содержатся в резольвентных множествах операторов $\mathcal{H}^0$ и $\mathcal{H}^\varepsilon$. Для каждого $\lambda\in\mathbb{C}$ с условием $\operatorname{Re}\lambda<\lambda_0$ резольвента $(\mathcal{H}^\varepsilon-\lambda)^{-1}$ сходится к $(\mathcal{H}^0-\lambda)^{-1}$ в норме $\|\cdot\|_{\mathfrak{V}^*\to \mathfrak{V}}$ и представляется равномерно сходящимся рядом Теорема 2. Пусть Теорема 3. Пусть семейства $V^\varepsilon$, $Q_j^\varepsilon$ сходятся к $V^0$, $Q_j^0$ в $\mathfrak{M}_{1,-1}$, семейство $P_j^\varepsilon$ сходится к $P_j^0$ в $\mathfrak{M}_{2,0}$, область определения оператора $\mathcal{H}^0$, рассматриваемого в $L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)$, есть подмножество пространства $W_2^2(\Omega;\mathbb{C}^n)$ и резольвента $\mathcal{H}^0$ ограничена как оператор из $L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)$ в $W_2^2(\Omega;\mathbb{C}^n)$. Тогда оператор $\mathcal{H}^\varepsilon$, рассматриваемый в $L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)$, сходится к $\mathcal{H}^0$ в смысле равномерной резольвентной сходимости и для всех $\lambda$ с условием $\operatorname{Re} \lambda<\lambda_0$ верна оценка: Ввиду оценки (3), сходимость оператора $\mathcal{X}^\varepsilon$ в норме $\|\cdot\|_{\mathfrak{V}\to\mathfrak{V}^*}$ гарантируется сходимостью семейств $Q_j^\varepsilon$, $P_j^\varepsilon$ и $V^\varepsilon$ в пространствах мультипликаторов $\mathfrak{M}_{1,0}$ и $\mathfrak{M}_{1,-1}$. Вторая часть наших результатов описывает сходимость в этих пространствах. Пусть $\Gamma$ – некоторая периодическая решетка в $\mathbb{R}^d$ с ячейкой периодичности $\square$. Для $\eta>0$ и $\gamma\in\Gamma$ обозначим:
$$
\begin{equation*}
\square_\gamma^\eta:=\eta\square+\eta\gamma=\{x\in\mathbb{R}^d:\eta^{-1} x-\gamma \in\square\}, \qquad \Gamma_\eta:=\{\gamma\in\Gamma:\square_\gamma^\eta\subset\Omega\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 4. Пусть семейство $V^\varepsilon\in L_\infty(\Omega;\mathbb{M}_n)$ ограничено равномерно по $\varepsilon$ и существуют матричная функция $V^0\in L_\infty(\Omega;\mathbb{M}_n)$ и положительная скалярная функция $\eta=\eta(\varepsilon)$, такие что Теорема 5. Пусть семейство $V^\varepsilon\in L_\infty(\Omega;\mathbb{M}_n)$ ограничено равномерно по $\varepsilon$ и для каждого $x\in\Omega$ существует конечный предел Теорема 6. Пусть семейство $Q^\varepsilon\in L_\infty(\Omega;\mathbb{M}_n)$ ограничено равномерно по $\varepsilon$ и существуют матричная функция $Q^0\in L_\infty(\Omega;\mathbb{M}_n)$ и положительная скалярная функция $\eta=\eta(\varepsilon)$ такие, что Очень кратко обсудим основные результаты. Первые две теоремы говорят, что вопрос о наличии равномерной резольвентной сходимости для оператора $\mathcal{H}^\varepsilon$ сводится к вопросу малости нормы оператора $\mathcal{X}^\varepsilon\colon\mathfrak{V}\to \mathfrak{V}^*$. А именно, в рамках нашего подхода расширения операторов на $\mathfrak{V}$ вопрос усреднения возмущения $\mathcal{X}^\varepsilon$ эквивалентен вопросу о регулярности этого возмущения в подходящей норме. В случае положительного ответа работает регулярная теория возмущений, что и объясняет полное разложение в теореме 1. Ввиду оценки (3), а также последнего утверждения в теореме 2 о случае $P_j^\varepsilon=Q_j^\varepsilon=0$, малость нормы $\mathcal{X}^\varepsilon$ (почти) эквивалентна сходимости семейств $P_j^\varepsilon$, $Q_j^\varepsilon$ и $V^\varepsilon$ в пространствах мультипликаторов $\mathfrak{M}_{1,0}$ и $\mathfrak{M}_{1,-1}$. Наша вторая серия теорем устанавливает явные критерии такой сходимости и показывает возможность вычисления предела в случае пространства $\mathfrak{M}_{1,-1}$. Фактически наши результаты точно описывают класс возмущений, для которых возможно усреднение в смысле равномерной резольвентной сходимости. Еще отметим, что наши результаты применимы для всех известных на сегодняшний день примеров возмущений: классические регулярные возмущения, периодические, локально периодические и почти периодические быстро осциллирующие коэффициенты, случайные коэффициенты, а также для ряда новых примеров, например, возмущений вида $V(x/\varepsilon)$ с непериодической функцией $V$. Автор благодарен Т. А. Суслиной за обсуждение работы и полезные замечания. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Bor23} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|