| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Аналог теоремы Шёнберга для В. П. Заставный Донецкий национальный университет
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623070064 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеКлассическая теорема Шёнберга (1938) [1], [2] утверждает, что если $\rho\colon G\times G\to\mathbb{C}$, то функция $\exp(-t\rho)$ является положительно определенным ядром на $G\times G$ при любом $t>0$ тогда и только тогда, когда ядро $\rho$ является эрмитовым и отрицательно определенным на $G\times G$. Аналог этой теоремы для матриц по существу получил Лёвнер (1966) [3; лемма 5]. Недавно Дорр и Шлатер (2021) [4; теорема 3.2] получили аналог теоремы Шёнберга для вещественных матричнозначных функций $\rho(x)$, $x\in \mathbb{R}^d$. Этот аналог связан с условно отрицательно определенными матричнозначными функциями. В разделе 5 данной работы введены и изучены $a$-условно отрицательно определенные матричнозначные ядра, где $a\in \mathbb{C}^m$, установлена связь между этими классами (предложение 3) и установлена связь с положительно определенными матричнозначными ядрами (предложение 4). В разделе 6 рассмотрены матричнозначные функции в смысле Адамара, доказан аналог теоремы Шёнберга для $a$-условно отрицательно определенных матричнозначных ядер (теорема 2), рассмотрена и решена аналогичная задача для ядер вида $f(tg(\rho(x,y)))$, $x,y\in G$, $t>0$ (следствие 1, теорема 3, следствие 2, теорема 5). Разделы 2, 3 и 4 носят вспомогательный характер. В разделе 2 приведены базовые понятия теории матриц. В разделе 3 приведены основные сведения из теории положительно определенных матриц, в частности важная теорема Шура о положительной определенности произведения Адамара двух положительно определенных матриц. В разделе 4 приведены известные общие свойства положительно определенных матричнозначных ядер, критерий таких ядер в терминах положительно определенных матриц (предложение 1) и аналог теоремы Шура для матричнозначных ядер (предложение 2). 2. Матрицы и операции над нимиДля $m,n\in \mathbb{N}$ пусть $M_{m,n}$ – множество всех комплексных матриц порядка $m\times n$ с элементами из $\mathbb{C}$. Пусть $M_{m}:=M_{m,m}$ – множество всех квадратных матриц порядка $m$ с элементами из $\mathbb{C}$, и пусть $\mathbb{C}^m:=M_{m,1}$ – множество всех векторов с $m$ комплексными координатами. Для матрицы $A=[a_{ij}]\in M_{m,n}$ транспонированную $A^T=[a^T_{ij}]\in M_{n,m}$ и сопряженную $A^*=[a^*_{ij}]\in M_{n,m}$ матрицы определим соответственно по формулам $a^T_{ij}=a_{ji}$ и $a^*_{ij}=\overline{a}_{ji}$. Очевидно, $A^*=\overline{A}^{\,T}$, где $\overline{A}=[\overline{a}_{ij}]\in M_{m,n}$. Для $\lambda\in\mathbb{C}$ и для матриц $A,B\in M_{m,n}$, $C\in M_{n,p}$, обычным образом определяется сумма $A+B\in M_{m,n}$, произведение $AC\in M_{m,p}$ и произведение на скаляр $\lambda A=A\lambda\in M_{m,n}$. Легко проверить, что
$$
\begin{equation*}
(A^*)^*=A, \qquad (A+B)^*=A^*+B^*, \qquad (AC)^*=C^*A^*.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $z\in\mathbb{C}$, то $\overline{z}=z^*$. Далее, для каждых $z,g\in\mathbb{C}^m$ имеем
$$
\begin{equation*}
gz^*=[g_i\overline{z}_j]\in M_m, \qquad \overline{g^*z}=(g^*z)^*=z^*g\in\mathbb{C}, \qquad z^*z\geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Скалярное произведение для элементов $g,z\in\mathbb{C}^m$ определяется по формуле $(g,z):=z^*g$.
3. Положительно определенные матрицыМатрица $A\in M_{m}$ называется положительно определенной1, если неравенство
$$
\begin{equation}
(Az,z)=z^*Az=\sum_{l,k=1}^m \overline{z}_l\, a_{lk}\, z_k\geqslant 0
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
выполняется для любых $z\in\mathbb{C}^m$. Множество всех таких матриц обозначим символом $\Phi M_m$. Матрица $A\in\Phi M_m$ называется строго положительно определенной2, если неравенство (3.1) строгое при условии, что $z\ne 0\in\mathbb{C}^m$. $\Phi M_1$ – это множество всех неотрицательных чисел. По поводу выбора терминологии см., например, монографию [5; гл. 3.1]. Из неравенства
$$
\begin{equation*}
z^*(BB^*)z=(B^*z)^*(B^*z)\geqslant 0, \qquad z\in\mathbb{C}^m, \quad B\in M_{m,r}, \quad r\in\mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
$$
следует, что для любых $B\in M_{m,r}$, $r\in\mathbb{N}$, матрица $BB^*\in \Phi M_m$. Несложно показать, что $A\in\Phi M_{m}$ тогда и только тогда, когда $A=CC^*$ для некоторой матрицы $C\in M_{m}$ (доказательство аналогично доказательству теоремы 7.2.7 из [6]). Хорошо известно, что если матрица $A\in\Phi M_m$ и ее ранг равен $p$, то она представима в виде где $\{g_k\}_{k=1}^{p}$ – ортогональная система ненулевых векторов из $\mathbb{C}^m$ (см., например, [6; теорема 7.5.2]). Из этого представления легко получить теорему Шура: если $A,B\in\Phi M_m$, то их произведение Адамара $A\circ B:=[a_{ij}b_{ij}]\in M_m$ также является положительно определенной матрицей (см., например, [6; теорема 7.5.3]). Главный случай в теореме Шура, когда $A=gg^*$, $B=hh^*$, где $g,h\in\mathbb{C}^m$, получается из соотношений
$$
\begin{equation*}
gg^*\circ hh^*=[g_i\overline{g}_j]\circ [h_i\overline{h}_j]= [g_ih_i\overline{g}_j\overline{h}_j]= (g\circ h)(g\circ h)^*\in\Phi M_m.
\end{equation*}
\notag
$$
4. Положительно определенные матричные ядраПусть $G$ – некоторое множество. Матричная функция $K\colon G\times G\to M_m$ называется положительно определенным матричным ядром на $G\times G$, если неравенство
$$
\begin{equation}
\sum_{l,k=1}^{n}(K(x_l,x_k) z_k,z_l)= \sum_{l,k=1}^{n}z^*_l K(x_l,x_k) z_k= \sum_{l,k=1}^{n}\,\sum_{i,j=1}^{m}\overline{z}_{li} K_{ij}(x_l,x_k) z_{kj}\geqslant 0
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
выполняется для любых $n\in\mathbb{N}$, $z_1,\dots,z_n\in\mathbb{C}^m$ и $x_1,\dots,x_n\in G$. Множество всех положительно определенных матричных ядер $K\colon G\times G\to M_m$ обозначим символом $\Phi(G\times G,M_m)$. Ядро $K\in\Phi( G\times G,M_m)$ называется строго положительно определенным, если неравенство (4.1) строгое при условии, что все точки $\{x_k\}_{k=1}^n$ попарно различны (т.е. $x_k\ne x_p$ при $k\ne p$) и не все $\{z_k\}_{k=1}^n$ равны нулю в $\mathbb{C}^m$. В случае $m=1$ имеем $\Phi(G\times G):=\Phi(G\times G,M_1)$ – множество всех положительно определенных комплекснозначных ядер $K\colon G\times G\to \mathbb{C}$. Пусть $G$ – группа (не обязательно абелева) с групповой операцией $+$. Матричная функция $f\colon G\to M_m$ называется положительно определенной на $G$, если функция $K(x,y):=f(x-y)$ является положительно определенным ядром на $G\times G$. Множество всех таких функций обозначим символом $\Phi(G,M_m)$. В случае $m=1$ имеем $\Phi(G):=\Phi(G,M_1)$. Замечание 1. Если $K\in \Phi(G\times G,M_m)$, то, очевидно, $\overline{K}\in\Phi(G\times G, M_m)$ и, значит, $\operatorname{Re} K:=(1/2)(K+\overline{K})\in\Phi(G\times G,M_m)$. Кроме того, Замечание 2. Если матричная функция $K\colon G\times G\to M_m$ является константой, т.е. $K(x,y)\equiv A$ на $G\times G$, то $K\in\Phi(E,M_m)\iff A\in \Phi M_m$. Если положительно определенное матричное ядро является константой, то оно, очевидно, не является строго положительно определенным ядром. Замечание 3. Если $K\in\Phi(G\times G,M_m)$ и $B\colon G\to M_{m,r}$, $r\in\mathbb{N}$, то матричная функция $F(x,y):=B^*(x)K(x,y)B(y)$ принадлежит классу $\Phi(G\times G,M_r)$ (в (4.1) надо взять $z_l=B(x_l)\xi_l$, $\xi_l\in\mathbb{C}^r$). В частности, $B^*(x)\,A\,B(y)\in\Phi(G\times G,M_r)$ для любой $A\in\Phi M_m$. В следующем утверждении приведен критерий положительной определенности матричных ядер в терминах положительно определенных матриц. Предложение 1. Пусть $K\colon G\times G\to M_m$. Тогда следующие условия эквивалентны: Замечание 4. Из предложения 1 и теоремы Шура следует, что если $K(x,y):=f(x,y)B(x,y)$, $x,y\in G$, где $f\in\Phi(G\times G)$ и $B\in\Phi(G\times G,M_m)$, то $K\in\Phi(G\times G,M_m)$. Следующее утверждение – это аналог теоремы Шура для матричнозначных ядер, а при $m=1$ оно соответствует замкнутости семейства положительно определенных комплекснозначных ядер относительно произведения. Доказательство. Пусть $n\in\mathbb{N}$, $\{x_l\}_{l=1}^n \in G$. Применяя предложение 1 к ядрам $A$ и $B$, получаем, что блочные матрицы $[A(x_l,x_k)],[B(x_l,x_k)]\in\Phi M_{mn}$. По теореме Шура матрица $[A(x_l,x_k)]\circ [B(x_l,x_k)]\in\Phi M_{mn}$. Но
$$
\begin{equation*}
[A(x_l,x_k)]\circ [B(x_l,x_k)]=[A(x_l,x_k)\circ B(x_l,x_k)].
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя предложение 1 к $K:=A\circ B$, получаем, что $K\in\Phi(G\times G,M_m)$. 5. Классы $a$-условно отрицательно определенных матричнозначных ядерПусть $G$ – некоторое множество. Матричная функция $\rho\colon G\times G\to M_m$ называется (почти) отрицательно определенным ядром на $G\times G$, если неравенство выполняется для любых $n\in\mathbb{N}$, $x_1,\dots,x_n\in G$ и $z_1,\dots,z_n\in\mathbb{C}^m$, $z_1+\dots+ z_n= 0$. Множество всех таких матричных ядер $\rho\colon G\times G\to M_m$ обозначим $N(G\times G,M_m)$. Если $a\in\mathbb{C}^m$ и неравенство (5.1) выполняется для любых $n\in\mathbb{N}$, $x_1,\dots,x_n\in G$ и $z_1,\dots,z_n\in\mathbb{C}^m$ с условием $a^*(z_1+\dots+z_n)=0$, то $\rho$ называется $a$-условно отрицательно определенным ядром на $G\times G$, а множество таких ядер обозначим символом $N_a(G\times G,M_m)$. Матричные ядра, которые постоянны на $G\times G$ порождают соответствующие классы матриц: матрица $A\in M_m$ принадлежит классу $NM_m$ или $N_aM_m$, если постоянная функция $\rho(x,y)\equiv A$ принадлежит классу $N(G\times G,M_m)$ или соответственно классу $N_a(G\times G,M_m)$. Если $G$ – группа и $f\colon G\to M_m$, то мы считаем, что $f\in N(G,M_m)$ ($f\in N_a(G,M_m)$), если ядро $\rho(x,y):=f(x-y)$ принадлежит классу $N(G\times G,M_m)$ ($N_a(G\times G,M_m)$). Если $m=1$, то
$$
\begin{equation*}
N(G\times G):=N(G\times G,M_1), \qquad N_a(G\times G):=N_a(G\times G,M_1).
\end{equation*}
\notag
$$
Если $G$ – группа, то $N(G):=N(G,M_1)$ и $N_a(G):=N_a(G,M_1)$. В следующем утверждении установлена связь между различными классами ядер. Предложение 3. Имеют место следующие утверждения: Доказательство. Утверждения 1)–4) тривиальны. Для доказательства утверждения 5) надо учесть, что при $m\geqslant 2$ для любого $z\in\mathbb{C}^m$ найдется такой вектор $a\in\mathbb{C}^m\setminus\{0\}$, что $a^*z=0$.
Докажем утверждение 6). Возьмем $n\in\mathbb{N}$ и такие $\{z_k\}_{k=1}^{n}\subset\mathbb{C}^m$, что $b^*(z_1+\dots+ z_n)=0$, где $b:=A^*a$. Так как $b^*=a^*A$, то и, значит, для любых $x_1,\dots,x_n\in G$ выполняется неравенство
$$
\begin{equation*}
\sum_{l,k=1}^{n}z^*_l A^*\rho(x_l,x_k)A z_k= \sum_{l,k=1}^{n}(Az_l)^* \rho(x_l,x_k) Az_k \leqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Утверждение 7) вытекает из утверждения 6). Следует учесть, что если $B:=A^{-1}$, то $B^*=(A^{-1})^*=(A^*)^{-1}$, $B^*A^*a=a$, и $B^*A^*\rho AB=\rho$. В следующем утверждении установлена связь между классами условно отрицательно определенных и положительно определенных ядер. Предложение 4. Имеют место следующие утверждения. Замечание 5. В случае $m=1$, $a\ne 0$ утверждения 2) и 3) совпадают и для эрмитовых ядер $\rho$ хорошо известны (см., например, [5; гл. 3, лемма 2.1] или [7; гл. IV.1.4]). Утверждение 2) для матриц из класса $N_eM_m$ и для $\gamma=m^{-1}e$, где $e:=(1,\dots,1)^T\in\mathbb{C}^m$, по существу получено в процессе доказательства теоремы 2.1 из работы [8]. В работе [4; лемма 3.1] утверждение 2) сформулировано для эрмитовых и вещественных $\rho\in N_e(\mathbb{R}^d,M_m)$, $m\geqslant 2$, и для $\gamma=e_k$, $k=1,\dots,m$, где $e_k$ – стандартные базисные вектора в $\mathbb{C}^m$ (см. также [9; теорема 3.1]). Утверждение 3) при $m\geqslant 2$ связано с ковариационными матрицами Шёнберга–Леви [10; теорема 7] и из него следует, что если $\rho\in N(G\times G,M_m)$ и $A\in\Phi M_m$, то произведение Адамара $A\circ\rho\in N(G\times G,M_m)$ (в частном случае и в других терминах см. [10; теорема 2]). Замечание 6. Последнее слагаемое в (5.3) можно записать в виде произведения числа на матрицу: $\gamma^*\rho(x_0,x_0)\gamma\cdot aa^*$. Условие $a\gamma^* a=a$ в утверждении 2) при $a=0$ выполняется при любом $\gamma\in\mathbb{C}^m$, а при $a\ne 0$ это условие эквивалентно равенству $\gamma^* a=1$. При $a=0$ утверждение 2) эквивалентно равенству Доказательство предложения 4. Докажем утверждение 1). Возьмем произвольные $n\in\mathbb{N}$, $x_1,\dots,x_n\in G$ и $z_1,\dots,z_n\in\mathbb{C}^m$. Пусть $z_0:=-C(z_1+\dots+z_n)$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{l,k=0}^{n}z^*_l \rho(x_l,x_k) z_k &=\sum_{l,k=1}^{n}z^*_l \rho(x_l,x_k) z_k+ \sum_{l=1}^{n}z^*_l \rho(x_l,x_0) z_0 +\sum_{k=1}^{n}z^*_0 \rho(x_0,x_k) z_k \\ &\qquad+z^*_0 \rho(x_0,x_0) z_0 \\ &=\sum_{l,k=1}^{n}z^*_l \rho(x_l,x_k) z_k- \sum_{l,k=1}^{n}z^*_l \rho(x_l,x_0) Cz_k- \sum_{l,k=1}^{n}z^*_l C^* \rho(x_0,x_k) z_k \\ &\qquad+\sum_{l,k=1}^{n}z^*_l C^* \rho(x_0,x_0) Cz_k. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation}
\sum_{l,k=0}^{n}z^*_l \rho(x_l,x_k) z_k= -\sum_{l,k=1}^{n}z^*_l K(x_l,x_k) z_k.
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Так как
$$
\begin{equation*}
a^*(z_0+z_1+\dots+z_n)=(-a^*C+ a^*)(z_1+\dots+z_n)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
левая часть равенства (5.4) не превосходит нуля и, значит, $K\in \Phi(G\times G,M_m)$.
Докажем утверждение 2). Возьмем $C:=\gamma a^*$. Так как $C^*a=a\gamma^*a=a$, необходимость вытекает из утверждения 1). Докажем достаточность. Пусть функция (5.3) принадлежит классу $\Phi(G\times G,M_m)$. Возьмем произвольные $n\in\mathbb{N}$, $x_1,\dots,x_n\in G$ и $z_1,\dots,z_n\in\mathbb{C}^m$: $a^*(z_1+\dots+z_n)=0$. Так как то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{l,k=1}^{n}z^*_l \rho(x_l,x_k) z_k =-\sum_{l,k=1}^{n}z^*_l K(x_l,x_k) z_k+ \sum_{l,k=1}^{n}z^*_l \rho(x_l,x_0) Cz_k +\sum_{l,k=1}^{n}z^*_l C^* \rho(x_0,x_k) z_k \\ &\qquad\qquad-\sum_{l,k=1}^{n}z^*_l C^* \rho(x_0,x_0) Cz_k \\ &\qquad=-\sum_{l,k=1}^{n}z^*_l K(x_l,x_k) z_k +\sum_{l=1}^{n}z^*_l \rho(x_l,x_0) z +\sum_{k=1}^{n}z^* \rho(x_0,x_k) z_k-z^* \rho(x_0,x_0)z \\ &\qquad=-\sum_{l,k=1}^{n}z^*_l K(x_l,x_k) z_k. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Правая часть этого равенства не превосходит нуля. Поэтому $\rho\in N_a(G\times G,M_m)$.
Доказательство достаточности в утверждении 3) аналогично доказательству достаточности в утверждении 2), а доказательство необходимости повторяет доказательство утверждения 1), когда $C:=\operatorname{diag}(1,\dots,1)$ – диагональная единичная матрица. В этом случае надо взять $z_0:=-(z_1+\dots+z_n)$. Тогда $z_0+z_1+\dots+z_n=0$. Утверждение 4) вытекает из утверждений 2) и 3). 6. Теорема Шёнберга для $a$-условно отрицательно определенных ядерКлассическая теорема Шёнберга [1], [2] утверждает, что если $\rho\colon G\times G\to\mathbb{C}$, то $\exp(-t\rho)\in\Phi(G\times G)$ для всех $t>0$ тогда и только тогда, когда $\overline{\rho(x,y)}=\rho(y,x)$ для всех $x,y\in{G}$ и $\rho\in{N}(G\times G)$. Аналог этой теоремы для матриц из класса $N_eM_m$, где $e:=(1,\dots,1)^T\in\mathbb{C}^m$, по существу получен в работе Лёвнера (1966) [3; лемма 5] (см. также доказательство теоремы 2.1 из работы Хорна (1967) [8], монографию Хорна, Джонсона (1994) [11; теоремы 6.3.6 и 6.3.13]). Дорр и Шлатер (2021) [4; теорема 3.2] получили аналог теоремы Шёнберга для вещественных матричнозначных функций $\rho\in N_e(\mathbb{R}^d,M_m)$ с условием $\rho_{j,i}(-h)=\rho_{i,j}(h)$, $h\in\mathbb{R}^d$, $i,j=1,\dots,m$. В теореме 2 мы докажем аналог теоремы Шёнберга для ядер из класса $N_a(G\times G,M_m)$ с произвольным $a\in\mathbb{C}^m$, $a\ne 0$. Пусть $D$ – некоторое множество в $\mathbb{C}$. Символом $M_{m,r}(D)$ будем обозначать множество матриц $A\in M_{m,r}$, все элементы которой принадлежат $D$. Например, $M_{m,r}(\mathbb{C})=M_{m,r}$, $M_{m,r}(\mathbb{R})$ – множество всех вещественных матриц порядка $m\times r$, $M_{m,r}(\mathbb{R}_{>0})$ – множество всех матриц порядка $m\times r$ с положительными элементами, $M_{m,r}(\mathbb{R}_{+})$ – множество всех матриц порядка $m\times r$ с неотрицательными элементами, $M_{m,r}(\mathbb{C}_{+})$ – множество всех матриц порядка $m\times r$, элементы которых имеют неотрицательную вещественную часть. Произвольная функция $f\colon D\to\mathbb{C}$ порождает матричнозначную функцию в смысле Адамара $f\colon M_{m,r}(D)\to M_{m,r}$, которая каждой матрице $A=[a_{i,j}]\in M_{m,r}(D)$ ставит в соответствие матрицу $f(A):=[f(a_{i,j})]\in M_{m,r}$. Если $f$ – целая функция, то
$$
\begin{equation*}
f(A)=\sum_{p=0}^{\infty}\frac{f^{(p)}(0)}{p!}\, A^{(p)},\qquad A\in M_{m,r},
\end{equation*}
\notag
$$
где $A^{(0)}:=I$ – матрица из $M_{m,r}$, все элементы которой равны $1$, а $A^{(p)}:=[a^p_{i,j}]=A\circ\dots\circ A$ – $p$-я степень Адамара матрицы $A$, $p\in\mathbb{N}$. Очевидно $(A^{(p)})^*=(A^*)^{(p)}$. Поэтому, если целая функция $f$ на вещественной оси принимает вещественные значения, то $(f(A))^*=f(A^*)$. А если дополнительно $f^{(p)}(0)\geqslant 0$ для всех $p\in\mathbb{Z}_+$, то из условия $K\in\Phi(G\times G,M_m)$ и теоремы Шура (см. предложение 2) следует, что ядро $f(K(x,y))$ также принадлежит классу $\Phi(G\times G,M_m)$. В частности, это относится и к матричнозначной функции $\exp(A)$:
$$
\begin{equation}
\exp(A)=I+\sum_{p=1}^{\infty}\frac{1}{p!}\, A^{(p)},\qquad A\in M_{m,r}.
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
Равенство $\exp(A+B)=\exp(A)\circ\exp(B)$, очевидно, справедливо для любых $A,B\in M_{m,r}$. Не сложно проверить, что для любых $h,g\in\mathbb{C}^m$ справедливо равенство
$$
\begin{equation}
\exp(he^*+eg^*)=[e^{h_i}\overline{e^{g_j}}]=\exp(h)(\exp(g))^*,
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
где $e=(1,\dots,1)^*\in\mathbb{C}^m$. Из равенства (6.2) и замечания 3 (при $m=1$ и $r=m$) сразу получается следующее утверждение. Предложение 5. Если $H\colon G\to M_m$, то ядро $K(x,y):=\exp(H(x)e^*+eH^*(y))$ принадлежит классу $\Phi(G\times G,M_m)$. Функция $\rho(x,y):=H(x)e^*+eH^*(y)$ очевидно принадлежит классу ${N_e}(G\times G,M_m)$ и $\rho^*(x,y)\equiv\rho(y,x)$. Предложение 5 это частный, но по существу самый главный случай следующей теоремы 1. Теорема 1. Пусть $\rho\in{N_a}(G\times G,M_m)$, $\rho^*(x,y)=\rho(y,x)$ для всех $x,y\in{G}$ и $A\in M_m$: $A^*a=\lambda e$, где $\lambda\in\mathbb{C}$ и $e=(1,\dots,1)^*\in\mathbb{C}^m$. Тогда для всех $t\geqslant 0$. Доказательство. Из предложения 3, 6) вытекает, что
$$
\begin{equation*}
h:=A^*\rho A\in N_{\lambda e}(G\times G,M_m)\subset N_e(G\times G,M_m).
\end{equation*}
\notag
$$
Возьмем $x_0\in G$ и $\gamma\in\mathbb{C}^m$: $\gamma^*e=1$ (например, $\gamma=m^{-1} e$). Тогда (см. предложение 4, 2)) ядро $K(x,y)\in\Phi(G\times G,M_m)$, где
$$
\begin{equation*}
K(x,y):=-h(x,y)+h(x,x_0)\gamma e^*+e\gamma^*h(x_0,y)- e\gamma^*h(x_0,x_0)\gamma e^*.
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее слагаемое равно $ece^*=cee^*=cI$, где $c=\gamma^*h(x_0,x_0)\gamma\in\mathbb{C}$. Так как $h^*(x,y)\equiv h(y,x)$, то $\overline{c}=c^*=c$ и, значит, $c\in\mathbb{R}$. Тогда для $H(x):=-h(x,x_0)\gamma$ при любом $t\geqslant0$ имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \exp(-th(x,y))&=\exp(tK(x,y)+tH(x)e^*+teH^*(y)+tcI) \\ &=\exp(tK(x,y))\circ\exp\bigl(tH(x)e^*+etH^*(y)\bigr)\circ\exp(tcI) \\ &=\exp(tc)\exp(tK(x,y))\circ\exp\bigl(tH(x)e^*+etH^*(y)\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Все множители в этом произведении Адамара принадлежат классу $\Phi(G\times G,M_m)$ и, значит, по теореме Шура (см. предложение 2) их произведение из того же класса. Осталось учесть, что $\exp(tc)>0$. Теорема 2 – это аналог теоремы Шёнберга для ядер из класса $N_a(G\times G,M_m)$, $a\ne 0$, в которой при $\det A\ne 0$ и $\lambda\ne 0$ добавлено утверждение, обратное к теореме 1. Теорема 2. Пусть $\rho\colon G\times G\to M_m$, $A$ – невырожденная матрица из $M_m$, а $\{t_n\}$ – некоторая числовая последовательность с условием $\lim t_n=0$ и $t_n>0$ для всех $n\in\mathbb{N}$. Тогда следующие три условия эквивалентны: Доказательство. Импликация $(1)\Longrightarrow (2)$ очевидна. Докажем импликацию $(2)\Longrightarrow (3)$. Пусть $\exp(-t_nA^*\rho{A})\in\Phi(G\times G,M_m)$ для всех $n\in\mathbb{N}$. Тогда при $n\in\mathbb{N}$ выполняется тождество
$$
\begin{equation*}
(\exp(-t_nA^*\rho(x,y){A}))^*=\exp(-t_nA^*\rho^*(x,y){A})= \exp(-t_nA^*\rho(y,x){A}),\qquad x,y\in G.
\end{equation*}
\notag
$$
В левую и правую часть последнего равенства подставляем их представления в виде ряда (6.1), от обеих частей вычитаем матрицу $I$, сокращаем на $t_n>0$ и переходим к пределу. Получаем, что $A^*\rho^*(x,y){A}=A^*\rho(y,x){A}$, $x,y\in G$. А так как $\det A\ne 0$, то и $\rho^*(x,y)=\rho(y,x)$, $x,y\in G$. Так как и матрица $I=ee^*$ и ядро $-\exp(-tA^*\rho(x,y){A}))$ принадлежат классу $N_e(G\times G,M_m)$, то ядро $t_n^{-1}(I-\exp(-t_nA^*\rho(x,y){A}))$, $n\in\mathbb{N}$, принадлежит классу $N_e(G\times G,M_m)$. Переходя к пределу, получаем, что и $A^*\rho(x,y){A}\in N_e(G\times G,M_m)$. Из предложения 3, 7) вытекает, что $\rho(x,y)\in N_a(G\times G,M_m)$.
Импликация $(3)\Longrightarrow (1)$ вытекает из теоремы 1. Пусть $\ln z:=\ln|z|+i\arg{z}$, $z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$, где $\arg{z}\in(-\pi,\pi]$. Эта функция порождает матричнозначную функцию $\ln A$, $A\in M_{m,r}(\mathbb{C}\setminus\{0\})$. Для $\alpha\in\mathbb{C}$ будем рассматривать следующую ветвь степенной функции $z^{\alpha}:=\exp(\alpha\ln z)$, $z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$. Степенная функция порождает матричнозначную функцию
$$
\begin{equation*}
A^{(\alpha)}:=\exp(\alpha\ln A), \qquad A\in M_{m,r}(\mathbb{C}\setminus\{0\}).
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\alpha\in\mathbb{R}$, то $|z^{\alpha}|=|z|^{\alpha}$ и $z^0=1$ при $z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$. Поэтому при $\alpha\geqslant 0$ степенную функцию $z^{\alpha}$ можно определить и в нуле по непрерывности: $0^{\alpha}:=0$ при $\alpha>0$ и $0^{0}:=1$. Следовательно, при $\alpha\geqslant 0$ матричнозначная функция $A^{(\alpha)}$ естественным образом определяется для всех матриц $A\in M_{m,r}$. В частности, для любой $A\in M_{m,r}$ все элементы матрицы $A^{(0)}$ равны 1. Если $z,w\in\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]$, то $\arg\overline{z}=-\arg{z}$, $\overline{\ln z}=\ln\overline{z}$ и $\ln z=\ln w\iff z=w$. Поэтому, если $A,B\in M_{m,r}(\mathbb{C}\setminus(-\infty,0])$, то $(\ln A)^*=\ln A^*$ и $\ln A=\ln B\iff A=B$. Из теоремы 2 сразу получается следующее следствие. Следствие 1. Пусть $K\colon G\times G\to M_m(\mathbb{C}\setminus(-\infty,0])$ и $\{t_n\}$ – некоторая числовая последовательность с условием $\lim t_n=0$ и $t_n>0$ для всех $n\in\mathbb{N}$. Тогда следующие три условия эквивалентны: Доказательство. Надо в теореме 2 вместо $A$ взять диагональную единичную матрицу $E=\text{diag}(1,\dots,1)$, $\rho(x,y):=-\ln K(x,y)$, $x,y\in G$, и учесть, что в нашем случае условие $\rho^*(x,y)=\rho(y,x)$ эквивалентно условию $K^*(x,y)=K(y,x)$. Замечание 7. Следствие 1 для случая $K(x,y)\equiv A\in M_m(\mathbb{R}_{>0})$ доказано в [11; 6.3.13]. Более общее утверждение, чем импликация $(1)\Longrightarrow (3)$ из теоремы 2, доказано в следующей теореме. Теорема 3. Пусть $D:=\mathbb{C}$ или $D:=\mathbb{C}_+$, а для функций $f\colon D\to\mathbb{C}$ и $\rho\colon G\times G\to M_m(D)$ выполняются условия: Доказательство. Из условия теоремы следует, что $f(tz)\to f(0)$ при $t\to+0$, $z\in D$. Поэтому $f(0)I\in\Phi M_m$ и, значит $f(0)\geqslant 0$.
Если $f(0)=0$, то $t^{-\mu}\beta^{-1}f(t\rho(x,y))\in\Phi(G\times G,M_m)$ для всех $t>0$. Переходя к пределу при $t\to+0$, получаем, что $-\rho^{(\mu)}\in\Phi(G\times G,M_m)$. Пусть $f(0)>0$. Определим числовую последовательность и последовательность функций:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, t_n:=\biggl(\frac{f(0)}{n\beta}\biggr)^{1/\mu}>0,\qquad n\in\mathbb{N}, \\ f_n(z):=\biggl(\frac{f(t_n z)}{f(0)}\biggr)^{n}= (1-\alpha_n(z))^n,\qquad \alpha_n(z):=\frac{f(0)-f(t_n z)}{f(0)},\quad z\in D,\quad n\in\mathbb{N}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $t_n\to+0$ при $n\to\infty$, то $n\alpha_n(z)\to z^\mu$. Поэтому $f_n(z)\to\exp(-z^\mu)$, $z\in D$. Из теоремы Шура для матричнозначных ядер (см. предложение 2) следует, что $f_n(t^{1/\mu}\rho(x,y))\in\Phi(G\times G,M_m)$ для всех $t>0$. Переходя к пределу при $n\to\infty$, получаем, что $\exp(-t\rho^{(\mu)}(x,y))\in\Phi(G\times G,M_m)$ для всех $t>0$. Осталось применить теорему 2. Замечание 8. Если в теореме 3 условие (2) оставить без изменения, а условие $(1)$ заменить на условие $-f(t\rho(x,y))\in N_e(G\times G,M_m)$ для всех $t>0$, то $\rho^{(\mu)}\in{N_e}(G\times G,M_m)$. Отметим, что случай $f(0)=0$ в теореме 3 реализуется, например, для функции $f(z)=-z^\mu$, $\mu>0$. Следует учесть, что при любых $t>0$ и $z\in\mathbb{C}$ выполняется равенство $(tz)^\mu=t^\mu z^\mu$. Из теоремы 1 получается следующее следствие. Следствие 2. Предположим, что $(U,\mathfrak{S},\mu)$ измеримое пространство с неотрицательной мерой, а функции $\rho\in N_a(G\times G,M_m)$, $A\colon U\to M_m$ и $g\colon U\to[0,+\infty)$ удовлетворяют следующим условиям: Тогда $K\in\Phi(G\times G,M_m)$, где Одним из простых случаев следствия 2 является случай, когда $U=[0,+\infty)$, $\mu$ – неотрицательная конечная борелевская мера на $[0,+\infty)$, $g(u)=tu$, $t>0$, $a=e$, $A(u)\equiv E$ – диагональная единичная матрица, а функция $\rho\colon G\times G\to M_m(\mathbb{C}_+)$. Этот случай связан с классом вполне монотонных функций. Функция $f$ называется вполне монотонной на интервале $(0,\infty)$ ($f\in \mathcal{CM}$), если $f\in C^{\infty}{(0,\infty)}$ и для всех $k\in \mathbb{Z}_+$, $x\in(0,\infty)$, выполняется неравенство $(-1)^kf^{(k)}(x)\geqslant 0$. Отметим, что класс $\mathcal{CM}$ замкнут относительно произведения и поточечной сходимости и любая функция из $\mathcal{CM}$ аналитически продолжается в правую полуплоскость $\{z\in\mathbb{C}\colon \operatorname{Re}z>0\}$. Вполне монотонными, очевидно, являются функции $\exp(-x)$ и $(a+x)^{-\delta}$, $\delta>0$, $a\geqslant 0$. Если $\beta>0$, то $1-x/(1+x^\beta)^{1/\beta}\in\mathcal{CM} \iff 0<\beta\leqslant 1$ (см., например, [12; теорема 9, (ii)]). Функция $g$ называется функцией Бернштейна на интервале $(0,\infty)$ ($g\in \mathcal{BF}$), если $g\in C^{\infty}{(0,\infty)}$, $g(x)\geqslant 0$ для всех $x\in(0,\infty)$ и $g'\in\mathcal{CM}$. Если $g\in \mathcal{BF}$, то, очевидно, существует конечный предел справа в точке $0$ и всегда можно считать, что $g\in C[0,\infty)$, если положить $g(0):=g(+0)$. Если $g_1,g_2\in \mathcal{BF}$, то $g_1\circ g_2\in \mathcal{BF}$ (см., например, [13; следствие 3.8], [14; следствие 2.5.3]). Функцией Бернштейна, очевидно, является функция $g(x)=x^\mu$, $0<\mu\leqslant 1$. Используя результат работы [15], можно доказать, что функция $ g(x):=(1-x)/(1-x^\mu)$, $0<\mu<1$, является функцией Бернштейна (доказательство этого факта приведено в работе [16]). Хорошо известен следующий простой факт (см., например, [13; теорема 3.7], [14; следствие 2.5.3]): если $g\in \mathcal{BF}$ и $g(x)>0$ при $x>0$, то $f\circ g\in{\mathcal{CM}}$ для любой функции $f\in{\mathcal{CM}}$. Отсюда следует, что
$$
\begin{equation*}
\exp(-x^\mu),\frac{1}{(1+x^\mu)^{\delta}}\,, \biggl(\frac{1-x^\mu}{1-x}\biggr)^\delta \in C[0,+\infty)\cap\mathcal{CM},\qquad 0<\mu\leqslant 1,\quad \delta>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство следующей теоремы можно найти, например, в [13], [17]–[19]. Теорема 4 (Хаусдорф–Бернштейн–Уиддер). Функция $f\in{\mathcal{CM}}$ тогда и только тогда, когда Из теоремы 4 следует, что любая функция $f\in C[0,+\infty)\cap{\mathcal{CM}}$ допускает аналитическое продолжение в открытую правую полуплоскость и это продолжение непрерывно в $\mathbb{C}_+$, а равенство (6.3) будет выполняться для всех $x\in\mathbb{C}_+$ и $\overline{f(z)}=f(\overline{z})$ для всех $z\in\mathbb{C}_+$. Отсюда следует (см., например, [13; предложение 3.6]), что любая функция $g\in \mathcal{BF}$ допускает аналитическое продолжение в открытую правую полуплоскость и это продолжение непрерывно в $\mathbb{C}_+$, $\overline{g(z)}=g(\overline{z})$ для всех $z\in\mathbb{C}_+$ и $g(\mathbb{C}_+)\subset\mathbb{C}_+$. Таким образом, для любых $f\in C[0,+\infty)\cap{\mathcal{CM}}$ и $g\in \mathcal{BF}$ функция $f(g(z))$ корректно определена при $z\in\mathbb{C}_+$ и $f\circ g\in C[0,+\infty)\cap{\mathcal{CM}}$. Отсюда и из следствия 2 и теоремы 3 получается теорема 5, которая при $m=1$ хорошо известна. Теорема 5. Пусть $f\in C[0,+\infty)\cap\mathcal{CM}$, $g\in \mathcal{BF}$ и $\rho\colon G\times G\to\ M_m(C_+)$. Тогда Другие примеры положительно определенных матричнозначных ядер можно найти в работах [9], [20]. В заключении отметим, что множество всех корреляционных матричных функций случайных векторов $\zeta(x)\in \mathbb{C}^m$, $x\in G$, совпадает с классом $\Phi(G\times G,M_m)$ (см., например, [21; гл. IV.1, теорема 1]), а классы $N(G\times G,M_m)$ и $N_e(\mathbb{R}^d,M_m)$ связаны соответственно с классами вариограмм [10; теорема 9] и псевдо-вариограмм [4; теорема 2.2] случайных векторов $\zeta(x)\in \mathbb{C}^m$, заданных соответсвенно на $G$ и $\mathbb{R}^d$.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Zas23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|