| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Многомерное произведение Дюамеля в пространстве голоморфных функций и операторы обратного сдвига П. А. Ивановa, С. Н. Мелиховab a Институт математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича, Южный федеральный университет, г. Ростов-на-Дону b Южный математический институт Владикавказского научного центра Российской академии наук, г. Владикавказ
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S000143462305005X 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеВ настоящей работе исследуется система $\mathcal D_0$ операторов частного обратного сдвига, т.е. сдвига по одной переменной при фиксированных остальных, в счетном индуктивном пределе $E$ весовых банаховых пространств целых в $\mathbb C^N$ функций. Относительно весов, задающих $E$, делается два общих предположения. Первое из них стандартное, второе является некоторым субаддитивным свойством, выполняющимся автоматически при $N=1$. Второе условие тесно связано со структурой операторов частного обратного сдвига и дает возможность (конечно, вместе с первым техническим условием) определить в $E$ операторы частного обратного сдвига. Вначале мы описываем коммутант $\mathcal K(\mathcal D_0)$ системы $\mathcal D_0$ в алгебре всех линейных непрерывных в $E$ операторов. Он совпадает с коммутантом системы операторов сдвига, ассоциированных с $\mathcal D_0$. Затем изучаем естественно связанное со сверточным представлением операторов из $\mathcal K(\mathcal D_0)$ умножение $\circledast$ в топологическом сопряженном $E'$ к $E$. В общем случае алгебра $(E',\circledast)$ изоморфна алгебре $\mathcal K(\mathcal D_0)$, умножением в которой является композиция операторов. Основное внимание уделяется реализации алгебры $(E',\circledast)$ в следующем конкретном случае. Зафиксируем область $\Omega$ в $\mathbb C^N$, обладающую свойством полизвездности относительно точки $0$. Класс таких областей содержит все произведения плоских областей, звездных относительно точки $0$, полные области Рейнхарта с центром в точке 0. В случае, когда область $\Omega$ выпуклая, введенное свойство полизвездности равносильно тому, что опорные функции последовательности выпуклых компактов, исчерпывающих $\Omega$ изнутри, удовлетворяют второму предположению о весах. Последний факт подтверждает естественность этого предположения. В пространстве $H(\Omega)$ всех голоморфных в $\Omega$ функций мы, следуя Меррифилду и Уотсону [1] и Тапдигоглу [2], вводим многомерное произведение Дюамеля $\ast$. Для $N=1$ в $H(\Omega)$ оно введено и исследовано Уигли [3]. Отметим, что произведение Дюамеля в различных функциональных пространствах является предметом изучения в значительном числе работ, оно имеет довольно много приложений (см. статьи Караева [4], [5] и библиографию в них). Это приложения не только в операторном исчислении, восходящем к монографии Микусинского [6], но и к проблеме наклонного берега [3], в спектральной теории в обобщенном смысле (в смысле Бисваса, Ламберта и Петровича [7]), к задаче о спектральной кратности линейного оператора. Связь умножений $\circledast$ и $\ast$ проясняет следующее. Если область $\Omega$ дополнительно выпуклая, то опорные функции последовательности выпуклых компактов, исчерпывающих $\Omega$ изнутри, задают пространство $E_\Omega:=E$. Преобразование Лапласа сопряженное пространство $H(\Omega)'$ биективно отображает на $E_\Omega$, а сопряженное к преобразованию Лапласа отображение является изоморфизмом алгебры $(E_\Omega',\circledast)$ на алгебру $(H(\Omega),\ast)$. При $N=1$ результаты, подобные перечисленным, получены в работе [8], в том числе и для одномерного возмущения оператора обратного сдвига. 2. Весовые пространства и операторы в нихЗафиксируем $N\in\mathbb N$. Для неубывающей последовательности непрерывных функций $v_{n}\colon\mathbb C^N\to \mathbb R$, $n\in\mathbb N$, определим весовые банаховы пространства
$$
\begin{equation*}
E_n:=\biggl\{f\in H(\mathbb C^N)\biggm|\|f\|_n:= \sup_{z\in\mathbb C^N}\frac{|f(z)|}{\exp(v_n(z))}<+\infty\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
с нормой $\|{\,\cdot\,}\|_n$. При этом $H(\mathbb C^N)$ – пространство всех целых в $\mathbb C^N$ функций. Отметим, что $E_n$ непрерывно вложено в $E_{n+1}$ для любого $n\in \mathbb N$. Положим $E:=\bigcup_{n\in\mathbb N} E_n$. Введем в $E$ топологию индуктивного предела пространств $E_n$, $n\in\mathbb N$, относительно их вложений в $E$: $E:=\operatorname{ind}_{n \to} E_n$. Для $z\in\mathbb C^N$ положим
$$
\begin{equation*}
|z|:=\biggl(\,\sum_{j=1}^N|z_j|^2\biggr)^{1/2} \qquad\text{и}\qquad |z|_\infty:=\max_{1 \leqslant j\leqslant N}|z_j|.
\end{equation*}
\notag
$$
Символом $P_N$ обозначим множество $\{1,2,\dots,N\}$. Для произвольных $t,z\in\mathbb C^N$, $\sigma\subset P_N$ определим $t_{\sigma,z}\in\mathbb C^N$ так:
$$
\begin{equation*}
(t_{\sigma,z})_j:=\begin{cases} t_j, & j\notin\sigma, \\ z_j,& j\in\sigma. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\sigma=\{j\}$, то будем писать $t_{j,z}$ вместо $t_{\sigma,z}$. Для $\sigma=\varnothing$ полагаем $t_{\sigma,z}:=t$. Как обычно, $\mathbb C[z]$ – множество всех многочленов над полем $\mathbb C$ переменных $z_1,\dots,z_N$. Пусть $\mathbb N_0:=\mathbb N\cup\{0\}$. Ниже будем предполагать, что последовательность $(v_{n})_{n\in\mathbb N}$ удовлетворяет следующим условиям:
$$
\begin{equation}
\nonumber \forall\,n \qquad\exists\, m(n)\geqslant n,\quad \exists\, C(n)\geqslant 0\colon
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\sup_{|t-z|_\infty\leqslant 1}v_{n}(t)+{\rm log}(1+|z|) \leqslant\inf_{|t-z|_\infty \leqslant 1} v_{m(n)}(t)+C(n),\qquad z\in \mathbb C^N,
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \forall\, n\qquad\exists\, k(n)\geqslant n,\quad \exists\, D(n)\geqslant 0\colon
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
v_n(t_{\sigma,z})\leqslant v_{k(n)}(t)+ v_{k(n)}(z)+D(n),\qquad t, z\in\mathbb C^N,\quad \sigma\subset P_N.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Без ограничения общности можно считать, что последовательности $(m(n))_{n\in\mathbb N}$ в (2.1) и $(k(n))_{n\in\mathbb N}$ в (2.2) не убывают. Из условия (2.1) следует, что $\lim_{|z|\to\infty}(v_n(z)-v_{m(n)}(z))=-\infty$ для любого $n\in\mathbb N$. Значит, для каждого $n\in\mathbb N$ пространство $E_n$ компактно вложено в $E_{m(n)}$. Поэтому $E$ является монтелевским пространством (см. [9; § 2.9, свойство (е)]) и, следовательно, рефлексивно. Условие (2.1) обеспечивает также инвариантность пространства $E$ относительно каждого дифференцирования $\partial_j:=\partial/\partial z_j$, $j\in P_N$, обычных сдвигов, операторов умножения $M_j$ на независимую переменную $z_j$, $j\in P_N$. Из условия (2.2) вытекает, что для любых $f\in E$, $z\in\mathbb C^N$, $\sigma\subset P_N$ функция $f(t_{\sigma,z})$ принадлежит (по $t$) пространству $E$. Из (2.2) следует также, что $\inf_{z\in\mathbb C^N}v_{k(1)}(z)>-\infty$, а значит, $\boldsymbol{1}\in E$, где $\boldsymbol{1}$ – функция, тождественно равная 1. Кроме того, условия (2.1) и (2.2) влекут, что $E$ содержит $\mathbb C[z]$. Вследствие условий (2.1) и (2.2) все операторы $D_{j,z}$, $z\in\mathbb C^N$, $j\in P_N$, линейны и непрерывны в $E$. Для фиксированного $z\in\mathbb C^N$ они попарно перестановочны (см. [10; лемма 2.1]). При этом $D_{j,0}$, $j\in P_N$, естественно называть оператором частного обратного сдвига. Полагаем
$$
\begin{equation*}
D_z^\alpha:=D_{1,z}^{\alpha_1} D_{2,z}^{\alpha_2}\cdots D_{N,z}^{\alpha_N}, \quad D_z:=D_{1,z}D_{2,z}\cdots D_{N,z},\qquad z\in\mathbb C^N,\quad \alpha\in\mathbb N_0^N.
\end{equation*}
\notag
$$
Следуя одномерному случаю [11], с системой $\mathcal D_0:=\{D_{j,0} \mid j\in P_N\}$ ассоциируем операторы сдвига $T_z$, $z\in\mathbb C^N$. Операторы $T_{j,z}$, $T_z$, $z\in\mathbb C^N$, $j\in P_N$, линейно и непрерывно отображают $E$ в $E$; выполняются равенства $T_{j,z}=D_{j,z} M_j$. Кроме того, для фиксированного $z\in\mathbb C^N$ операторы $T_{j,z}$, $j\in P_N$, попарно перестановочны (см. [10; лемма 2.2]); $T_0$ – тождественный оператор. Для множества $\sigma\subset P_N$ символ $|\sigma|$ обозначает количество элементов $\sigma$. Считаем, что $|\varnothing|=0$. (Обозначение $|\cdot|$ здесь используется для различных типов объектов; каждый раз из контекста ясно, что имеется в виду.) Полагаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (t-z)^1:=(t_1-z_1)\cdots(t_N-z_N), \qquad t,z\in\mathbb C^N, \\ f_\alpha(z):=z^\alpha:=z^{\alpha_1}\cdots z_N^{\alpha_N}, \qquad z\in\mathbb C^N, \quad \alpha\in\mathbb N_0^N. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Для $\alpha=(\alpha_j)_{j=1}^N$, $\beta=(\beta_j)_{j=1}^N \in \mathbb N_0^N$ будем писать $\alpha \leqslant \beta$, если $\alpha_j\leqslant \beta_j$, $1\leqslant j\leqslant N$. Отметим, что $D_0^\beta(f_\alpha)=f_{\alpha-\beta}$, если $\beta\leqslant\alpha$, и $D_0^\beta(f_\alpha)=0$ в остальных случаях. Положим
$$
\begin{equation*}
e_z(t):=e^{\langle z,t\rangle}, \qquad \langle z,t\rangle:=\sum_{j=1}^N z_j t_j, \qquad z, t\in\mathbb C^N.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим некоторые свойства операторов $D_z$ и $T_z$. Лемма 1. (i) Для любых $\alpha\in\mathbb N_0^N$, $z\in\mathbb C^N$ В частности, $T_z(\boldsymbol{1})=\boldsymbol{1}$ для любого $z\in\mathbb C^N$. (ii) Для любых многочлена $f$, $z\in\mathbb C^N$
$$
\begin{equation*}
T_z(f)=\sum_{\alpha\in\mathbb N_0^N}z^\alpha D_0^\alpha(f)
\end{equation*}
\notag
$$
(последняя сумма конечна). (iii) Для любых $f\in E$, $t,z\in\mathbb C^N$, для которых $t_j\ne z_j$, $j\in P_N$, выполняются равенства
$$
\begin{equation*}
D_z(f)(t)=\frac{1}{(t-z)^1}\sum_{\sigma\subset P_N} (-1)^{|\sigma|}f(t_{\sigma,z}), \qquad T_z(f)(t)=\frac{1}{(t-z)^1}\sum_{\sigma\subset P_N} (-1)^{|\sigma|}t_{\sigma,z}^1f(t_{\sigma,z}).
\end{equation*}
\notag
$$
(iv) Для любых $f\in E$, $z\in\mathbb C^N$ (v) $D_z(f)(t)=D_t(f)(z)$, $T_z(f)(t)=T_t(f)(z)$ для любых $f\in E$, $t,z\in\mathbb C^N$. (vi) Для любых $\varphi\in E'$, $\alpha\in\mathbb N_0^N$, $z\in\mathbb C^N$ Доказательство. Равенства (i)–(iii) установлены в [10; леммы 2.3, 2.4]. Равенства (iv), (v) следуют из (iii). Соотношение (vi) следует из (i).
3. Описание коммутанта системы операторов частного обратного сдвигаПусть $\mathcal L(E)$ – алгебра всех линейных непрерывных операторов в $E$. Введем коммутанты систем $\mathcal D_0=\{D_{j,0}\mid j\in P_N\}$ и $\mathcal T:=\{T_z \mid z\in\mathbb C^N\}$ в алгебре $\mathcal L(E)$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal K(\mathcal D_0)&:=\bigl\{B\in\mathcal L(E)\mid BD_{j,0}= D_{j,0}B \text{ в } E \text{ для любого } j\in P_N\bigr\}, \\ \mathcal K(\mathcal T)&:=\bigl\{B\in\mathcal L(E)\mid BT_z= T_z B \text{ в } E \text{ для любого } z\in\mathbb C^N\bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Определим функционалы $\delta_\lambda(f):=f(\lambda)$. Ясно, что $\delta_\lambda\in E'$ для любого $\lambda\in\mathbb C^N$. Для $n\in\mathbb N$, $\varphi\in E'$ введем нормы
$$
\begin{equation*}
\|\varphi\|_n^*:=\sup_{\|f\|_n\leqslant 1}|\varphi(f)|.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что счетный индуктивный предел $E$ регулярный, т.е. всякое ограниченное в $E$ множество содержится и ограничено в некотором пространстве $E_s$ (см. [9; § 2.9, свойство (в)]). Поэтому сильное сопряженное к $E$ пространство $E_b'$ является пространством Фреше с фундаментальной последовательностью непрерывных преднорм $\|\cdot\|^*_n$, $n\in\mathbb N$. Теорема 1. Предположим, что выполняются условия (2.1), (2.2) и $\mathbb C[z]$ плотно в $E$. Следующие утверждения равносильны: Для любого оператора $B\in\mathcal K(\mathcal D_0)=\mathcal K(\mathcal T)$ функционал $\varphi\in E'$ такой, как в (iii), единственен. Доказательство. (i) $\Rightarrow$ (ii). Зафиксируем $B\in{\mathcal K}(\mathcal D_0)$. По лемме 1, (ii) для любого $z\in\mathbb C^N$ на множестве $\mathbb C[z]$ выполняется равенство $BT_z=T_z B$. Вследствие плотности $\mathbb C[z]$ в $E$ равенство $BT_z=T_zB$, $z\in\mathbb C^N$, справедливо на всем пространстве $E$.
(ii) $\Rightarrow$ (iii). Пусть $B\in \mathcal K(\mathcal T)$. Для любых $z\in\mathbb C^N$, $f\in E$, учитывая лемму 1, (v), получим Значит, для функционала $\varphi:=\delta_0 B\in E'$ для любых $z\in\mathbb C^N$, $f\in E$ выполняется равенство $B(f)(z)=\varphi(T_z(f))$.(iii) $\Rightarrow$ (i). По [10; лемма 2.3, (iv)] для $f\in E$ функция $B(f)(z)=\varphi(T_z(f))$ является целой в $\mathbb C^N$. Ясно, что оператор $B$ линеен из $E$ в $H(\mathbb C^N)$. Покажем, что он непрерывно действует в $E$. Зафиксируем $s\in\mathbb N$. Из условия (2.1) следует, что существуют $A_0\geqslant 0$, $n\in\mathbb N$, для которых
$$
\begin{equation}
\|(M_1\cdots M_N)(f)\|_n\leqslant A_0\|f\|_s,\qquad f\in E_s.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Определим $m(n)\in\mathbb N$, $C(n)$ по условию (2.1) и $k(n)$, $k(m(n))\in\mathbb N$, $D(n)$, $D(m(n))$ по условию (2.2). Возьмем $g\in E_n$. Пусть для точек $t,z\in\mathbb C^N$ для любого $j\in P_N$ выполняется неравенство $|t_j-z_j|\geqslant 1/2$. Тогда по лемме 1, (iii)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber |D_z(g)(t)|&\leqslant 2^N \sum_{\sigma\subset P_N}|g(t_{\sigma,z})| \leqslant 2^N\|g\|_n \sum_{\sigma\subset P_N}e^{v_n(t_{\sigma,z})} \\ &\leqslant 4^N \|g\|_n e^{D(n)}e^{v_{k(n)}(t)}e^{v_{k(n)}(z)} \leqslant 4^N \|g\|_n e^{D(n)}e^{v_{k(m(n))}(t)}e^{v_{k(m(n))}(z)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Пусть теперь множество $\Delta$ всех $j\in P_N$ таких, что $|t_j-z_j|<1/2$, непусто. Найдутся $u_j\in\mathbb C$, $j\in\Delta$, такие, что $|u_j-z_j|=1/2$ и для точки $u\in\mathbb C^N$, для которой $u_j=t_j$, если $j\in P_N\setminus\Delta$, выполняется неравенство $|D_z(g)(t)|\leqslant |D_z(g)(u)|$. Поэтому
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber |D_z(g)(t)|&\leqslant \biggl|\frac{1}{(u-z)^1} \sum_{\sigma\subset P_N}(-1)^{|\sigma|}g(u_{\sigma,z})\biggr| \leqslant 2^N\sum_{\sigma\subset P_N}|g(u_{\sigma,z})| \\ \nonumber &\leqslant 2^N \|g\|_n \sum_{\sigma\subset P_N}e^{v_n(u_{\sigma,z})} \leqslant 2^N \|g\|_n e^{C(n)}\sum_{\sigma\subset P_N} e^{v_{m(n)}(t_{\sigma,z})} \\ &\leqslant 4^N \|g\|_n e^{C(n)+ D(m(n))} e^{v_{k(m(n))}(t)}e^{v_{k(m(n))}(z)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Соотношения (3.1)–(3.3) и равенства $T_z=D_zM_1\cdots M_N$, $z\in\mathbb C^N$ (см. лемму 1, (iv)) влекут, что существует постоянная $L$, для которой
$$
\begin{equation*}
\|T_z(f)\|_{k(m(n))}\leqslant Le^{v_{k(m(n))}(z)}\|f\|_s, \qquad f\in E_s, \quad z\in\mathbb C^N.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation}
\|B(f)\|_{k(m(n))}\leqslant\|\varphi\|_{k(m(n))}^* L\|f\|_s,\qquad f\in E_s.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Значит, оператор $B$ непрерывен из $E_s$ в $E_{k(m(n))}$. Следовательно, он непрерывен в $E$.
Покажем, что оператор $B$ перестановочен с каждым оператором $D_0^\gamma$, $\gamma\in\mathbb N_0^N$. Для этого воспользуемся равенствами (i) в лемме 1 и тем, что для $\gamma,\delta\in\mathbb N_0^N$ выполняются соотношения $D_0^\gamma(f_\delta)=f_{\delta-\gamma}$ при $\gamma\leqslant\delta$ и $D_0^\gamma(f_\delta)=0$ в остальных случаях. Зафиксируем $\alpha\in\mathbb N_0^N$. Пусть $\gamma\leqslant\alpha$. Тогда, учитывая лемму 1, (vi), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, B(D_0^\gamma(f_\alpha))(z)=\varphi(T_z(D_0^\gamma(f_\alpha))) =\varphi(T_z(f_{\alpha-\gamma})) =\sum_{0\leqslant\beta\leqslant\alpha-\gamma} \varphi(f_{\alpha-\gamma-\beta})z^\beta, \qquad z\in\mathbb C^N, \\ D_0^\gamma( B(f_\alpha))=D_0^\gamma \biggl(\,\sum_{0\leqslant\delta\leqslant\alpha} \varphi(f_{\alpha-\delta})f_\delta\biggr) =\sum_{\gamma\leqslant\delta\leqslant\alpha} \varphi(f_{\alpha-\delta})f_{\delta-\gamma}= \sum_{0\leqslant\beta\leqslant\alpha-\gamma} \varphi(f_{\alpha-\beta-\gamma})f_\beta. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть теперь соотношение $\gamma\leqslant\alpha$ не выполняется. Тогда $B(D_0^\gamma(f_\alpha))=0$. Поскольку для любого $\beta\in\mathbb N_0^N$, для которого $\beta\leqslant\alpha$, соотношение $\gamma\leqslant\beta$ также не выполняется, в силу леммы 1, (vi) и $D_0^\gamma(B(f_\alpha))=0$. Таким образом, равенство $B D_0^\gamma=D_0^\gamma B$ выполняется на каждом мономе, а значит, и в $E$. Наконец, для оператора $B\in\mathcal K(\mathcal D_0)=\mathcal K(\mathcal T)$ функционал $\varphi\in E'$, для которого $B(f)(z)=\varphi(T_z(f))$, $z\in\mathbb C^N$, $f\in E$, удовлетворяет равенству $\varphi=\delta_0 B$ и поэтому единственен. Теорема доказана. Из неравенства (3.4) и регулярности $E$ вытекает Следствие 1. Для любого ограниченного в $E$ множества $M$, любого ограниченного в $E'_b$ множества $\Lambda$ множество $\{B_\psi(f)\mid f\in M,\, \psi\in\Lambda\}$ ограничено в $E$. Отметим еще некоторые факты, связанные с теоремой 1. Замечание 1. (i) Множество $\mathbb C[z]$ плотно в $E$, например, если выполнены условия (2.1), (2.2) и все функции $v_n$ выпуклы в $\mathbb C^N$ [12; теорема 2]. (ii) При доказательстве теоремы 1 утверждение о том, что для любого функционала $\varphi\in E'$ линейный оператор $B(f)(z)=\varphi(T_z(f))$ непрерывен в $E$, установлено без предположения о плотности $\mathbb C[z]$ в $E$. (iii) Выделим утверждение, установленное при доказательстве теоремы 1 (оно следует из неравенств (3.2), (3.3)): для любого $n\in\mathbb N$ существуют $p(n)\geqslant n$ и постоянная $K(n)\geqslant 0$ такие, что для любых $g\in E_n$, $t,z\in\mathbb C^N$ выполняется неравенство
$$
\begin{equation*}
|D_z(g)(t)|\leqslant K(n)\|g\|_ne^{v_{p(n)}(t)+v_{p(n)}(z)},\qquad t,z \in\mathbb C^N.
\end{equation*}
\notag
$$
(iv) Схема доказательства предыдущей теоремы близка к схеме доказательства аналогичного результата о представлении линейных непрерывных операторов, перестановочных с оператором обратного сдвига (оператором Поммье) в пространстве функций, голоморфных в односвязной области в $\mathbb C$, в статье Димовского и Христова [13; теорема 1.8]. 4. Умножение в $E'$ и его реализация4.1. Умножение в $E'$ в общей ситуацииДля $\psi\in E'$ оператор $B_\psi$ определим равенством $B_\psi(f)(z):=\psi(T_z(f))$, $z\in\mathbb C^N$, $f\in E$. По теореме 1 $B_\psi\in\mathcal L(E)$. Для $\varphi,\psi\in E'$, $f\in E$ полагаем (нижний индекс у функционала показывает, по каким переменным он действует). Поскольку $\varphi\circledast\psi=\varphi B_\psi$, то $\varphi\circledast\psi\in E'$ для любых $\varphi,\psi\in E'$. При этом отображение $(\varphi,\psi)\mapsto\varphi\circledast\psi$ из $E'\times E'$ в $E'$ билинейно. Значит, $E'$ – алгебра с умножением $\circledast$.Покажем, что произведение $\varphi\circledast\psi$ на мономах является обычной сверткой мультипоследовательностей моментов функционалов $\varphi$ и $\psi$. Теорема 2. Предположим, что выполняются условия (2.1), (2.2) и множество $\mathbb C[z]$ плотно в $E$. Доказательство. (i) Ассоциативность и коммутативность операции $\circledast$ следует из леммы 2 и плотности $\mathbb C[z]$ в $E$. Поскольку $T_0$ – тождественный оператор, то для любых $\varphi\in E'$, $f\in E$ Значит, $\delta_0$ – единица алгебры $(E',\circledast)$.
(ii) Равенство $\varphi\circledast\psi=0$ для функционалов $\varphi,\psi\in E'$ влечет, в силу леммы 2, что одна из мультипоследовательностей $(\varphi(f_\alpha))_{\alpha\in\mathbb N_0^N}$ и $(\psi(f_\alpha))_{\alpha\in\mathbb N_0^N}$ нулевая. Вследствие плотности $\mathbb C[z]$ в $E$ соответствующий функционал тоже нулевой. (iii) По теореме 1 линейное отображение $\kappa\colon E'\to\mathcal K(\mathcal D_0)$ биективно. Зафиксируем функционалы $\varphi,\psi\in E'$. Равенство $B_{\varphi\circledast\psi}=B_\varphi B_\psi$ достаточно показать на мономах. Для $\alpha\in\mathbb N_0^N$, пользуясь леммой 1, (vi) и леммой 2, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{split} B_{\varphi\circledast\psi}(f_\alpha)&= \sum_{0\leqslant\beta\leqslant\alpha}(\varphi\circledast\psi) (f_{\alpha-\beta})f_\beta =\sum_{0\leqslant\beta\leqslant\alpha} \biggl(\,\sum_{0\leqslant\gamma\leqslant\alpha-\beta} \varphi(f_\gamma)\psi(f_{\alpha-\beta-\gamma})\biggr)f_\beta \\ &=\sum_{0\leqslant\beta\leqslant\alpha} \biggl(\,\sum_{\beta\leqslant\mu\leqslant\alpha} \varphi(f_{\mu-\beta})\psi(f_{\alpha-\mu})\biggr)f_\beta =\sum_{0\leqslant\mu\leqslant\alpha}\psi(f_{\alpha-\mu}) \sum_{0\leqslant\beta\leqslant\mu}\varphi(f_{\mu-\beta}))f_\beta, \end{split} \\ (B_\varphi B_\psi)(f_\alpha)= B_\psi\biggl(\,\sum_{0\leqslant\beta\leqslant\alpha} \psi(f_{\alpha-\beta})f_\beta\biggr)= \sum_{0\leqslant\beta\leqslant\alpha}\psi(f_{\alpha-\beta}) \sum_{0\leqslant\gamma\leqslant\beta}\varphi(f_{\beta-\gamma}) f_\gamma. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $B_{\varphi\circledast\psi}(f_\alpha)=(B_\varphi B_\psi)(f_\alpha)$. Утверждение доказано. 4.2. Топологический изоморфизм и плотность многочленов от операторов обратного сдвига в коммутантеВ этом пункте предполагается, что выполняются условия (2.1), (2.2) и множество $\mathbb C[z]$ плотно в $E$. Пусть $\mathcal B(E)$ и $\mathcal B(E'_b)$ – семейства всех ограниченных подмножеств пространств $E$ и $E'_b$ соответственно. Через $\mathcal K(\mathcal D_0)_b$ обозначим пространство $\mathcal K(\mathcal D_0)$ с топологией равномерной сходимости на семействе всех ограниченных подмножеств $E$. Фундаментальной системой непрерывных преднорм в $\mathcal K(\mathcal D_0)_b$ является множество преднорм
$$
\begin{equation*}
p_{M, \Lambda}(B)=\sup_{f\in M, \psi\in\Lambda}|\psi(B(f))|,\qquad B\in \mathcal K(\mathcal D_0),\quad M\in \mathcal B(E), \quad \Lambda\in \mathcal B(E'_b).
\end{equation*}
\notag
$$
Преднормы
$$
\begin{equation*}
q_M(\varphi)=\sup_{f\in M}|\varphi(f)|, \qquad \varphi\in E',\quad M\in\mathcal B(E),
\end{equation*}
\notag
$$
образуют фундаментальную систему непрерывных преднорм в $E'_b$. Предложение 1. Отображение $\kappa(\varphi)=B_\varphi$ является топологическим изоморфизмом $E_b'$ на $\mathcal K(\mathcal D_0)_b$. Доказательство. Отображение $\kappa\colon E'_b\to \mathcal K(\mathcal D_0)_b$ непрерывно, так как для всех $M\in \mathcal B(E)$, $\Lambda\in \mathcal B(E'_b)$, $\varphi\in E'$ вследствие коммутативности умножения $\circledast$ выполняются равенства
$$
\begin{equation*}
p_{M,\Lambda}(B_\varphi)= \sup_{f\in M,\psi\in\Lambda}|\psi(B_\varphi(f))|= \sup_{f\in M, \psi\in\Lambda}|\varphi(B_\psi(f))|=q_R(\varphi),
\end{equation*}
\notag
$$
где $R:=\{B_\psi(f)\mid f\in\tau,\, \psi\in\Lambda\}$ – ограниченное подмножество $E$ по следствию 1.
Отображение $\kappa^{-1}\colon \mathcal K(\mathcal D_0)_b\to E'_b$ также непрерывно, поскольку для всех $M \in \mathcal B(E)$, $\varphi\in E'$ в силу равенства $\varphi=\delta_0 B_\varphi$ справедливы соотношения Утверждение доказано.Введем функционалы $\varphi_\alpha(f):=f^{(\alpha)}(0)/\alpha!$, $f\in E$, $\alpha\in\mathbb N_0^N$, линейные и непрерывные на $E$. Пусть $\mathbb C[\mathcal D_0]$ – множество всех многочленов от операторов $D_{j,0}$, $j\in P_N$, т.е. операторов $\sum_{|\alpha|\leqslant n} b_\alpha D_0^\alpha$, $n\in\mathbb N_0$, $b_\alpha\in\mathbb C$. Следствие 2. Для любого оператора $B\in\mathcal K(\mathcal D_0)$ существует последовательность операторов из $\mathbb C[\mathcal D_0]$, сходящаяся к $B$ равномерно на каждом ограниченном подмножестве $E$. Доказательство. Покажем вначале, что $\kappa(\varphi_\alpha)=D_0^\alpha$ для любого $\alpha\in\mathbb N_0^N$. Для любых $\gamma\in\mathbb N_0^N$, $z\in\mathbb C^N$, учитывая лемму 1, (i), (v), получим:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \kappa(\varphi_\alpha)(f_\gamma)(z)&= (\varphi_\alpha)_t(T_z(f_\gamma)(t))= (\varphi_\alpha)_t(T_t(f_\gamma)(z)) \\ &=(\varphi_\alpha)_t\biggl(\,\sum_{0\leqslant\beta\leqslant\gamma} t^\beta D_0^\beta(f_\gamma)(z)\biggr)=D_0^\alpha(f_\gamma)(z). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Вследствие плотности $\mathbb C[z]$ в $E$ равенство $\kappa(\varphi_\alpha)=D_0^\alpha$ выполняется в $E$.
Поскольку равенства $\varphi_\alpha(f)=0$, $\alpha\in\mathbb N_0^N$, для $f\in E$ влекут, что $f=0$, и $E$ рефлексивно, то множество $\Phi=\{\varphi_\alpha\mid\alpha\in\mathbb N_0^N\}$ полно в $E'_b$. Зафиксируем оператор $B=B_\psi\in \mathcal K(\mathcal D_0)$, где $\psi\in E'$. Так как $E'_b$ является пространством Фреше, то существует последовательность $(\psi_n)_{n\in\mathbb N}$ линейных комбинаций элементов $\Phi$, сходящаяся к $\psi$ в $E'_b$. В силу предложения 1 $\kappa(\psi_n)\to B_\psi$ в $\mathcal K(\mathcal D_0)_b$. 4.3. Полизвездные множестваВведем и исследуем множества, естественно возникающие при определении многомерного произведения Дюамеля. Выпуклая область из этого класса множеств характеризуется тем, что последовательность опорных функций выпуклых компактов, исчерпывающая ее изнутри, обладает свойством (2.2) (см. далее предложение 2). Для $z\in\mathbb C^N$ полагаем Определение 3. Множество $Q$ в $\mathbb C^N$ назовем полизвездным относительно точки $0$, если $\Pi_z\subset Q$ для любого $z\in Q$. Ясно, что всякое множество $Q$ в $\mathbb C^N$, полизвездное относительно точки 0, является звездным относительно точки 0, т.е. для любого $z\in Q$ множество $Q$ содержит отрезок $[0,z]$. Пример 1. (i) Если $\Omega=\Omega_1\times\cdots\times\Omega_N$, где $\Omega_j$, $1\leqslant j\leqslant N$, – области в $\mathbb C$, звездные относительно точки $0$, то область $\Omega$ полизвездная относительно точки $0$ в $\mathbb C^N$. (ii) Всякая полная область Рейнхарта с центром в точке 0 в $\mathbb C^N$ (см. [14; часть 2, гл. 1, § 1]) является полизвездной относительно точки 0. (iii) При $N\geqslant 2$ существуют выпуклые области в $\mathbb C^N$, содержащие точку $0$, не являющиеся полизвездными относительно точки $0$. Такой областью является, например, любое вещественное полупространство $\{z\in\mathbb C^N\mid\operatorname{Re}\langle z,a\rangle<\gamma\}$, $a\in\mathbb C^N$, $a\ne 0$, $\gamma>0$, если не менее двух координат вектора $a$ отличны от нуля. Для множества $Q\subset\mathbb C^N$ через $\operatorname{int}Q$ обозначим внутренность $Q$ в $\mathbb C^N$. Лемма 3. Для любой полизвездной относительно точки $0$ области $\Omega$ в $\mathbb C^N$ существует последовательность полизвездных относительно точки $0$ компактов $(Q_n)_{n\in\mathbb N}$ таких, что $Q_n\subset \operatorname{int} Q_{n+1}$ для любого $n\in\mathbb N$ и $\Omega=\bigcup_{n\in\mathbb N} Q_n$. Если область $\Omega$ выпуклая, то $Q_n$, $n\in\mathbb N$, тоже можно выбрать выпуклыми. Доказательство. Зафиксируем последовательность компактов $U_k$, $k\in\mathbb N$, в $\Omega$ таких, что $U_k\subset \operatorname{int}\,U_{k+1}$ для любого $k\in\mathbb N$ и $\Omega=\bigcup_{k\in\mathbb N} U_k$. Положим $Q_1:=\bigcup_{a\in Q_1}\Pi_a$. Тогда $Q_1\subset\Omega$. Поскольку $\Pi_t\subset\Pi_a$ для любых $a\in\mathbb C^N$, $t\in\Pi_a$, то множество $Q_1$ полизвездно относительно точки $0$. Компактность $U_1$ влечет компактность $Q_1$. Выберем далее $k_2>1$ такое, что $Q_1\subset\operatorname{int}U_{k_2}$, и положим $Q_2:=\bigcup_{a\in U_{k_2}}\Pi_a$. Множество $Q_2$ полизвездно относительно точки 0 и компактно, причем $Q_1\subset\operatorname{int}\,Q_2$. Затем выберем $k_3>k_2$, для которого $Q_2\subset \operatorname{int}U_{k_3}$, и определим $Q_3:=\bigcup_{a\in U_{k_3}}\Pi_a$. Поступая так и далее, построим последовательность полизвездных относительно точки $0$ компактов $Q_n$, $n\in\mathbb N$, с нужными свойствами.
Пусть область $\Omega$ выпуклая. Тогда компакты $U_k$, как выше, тоже можно выбрать выпуклыми. Из равенств следует, что все компакты $Q_n$, $n\in\mathbb N$, построенные выше, тоже выпуклые. Лемма доказана.Далее для ограниченного множества $Q\subset\mathbb C^N$ через $H_Q$ будем обозначать опорную функцию $Q$: $H_Q(z):=\sup_{t\in Q}\operatorname{Re}\langle t, z\rangle$, $z\in\mathbb C^N$. Охарактеризуем выпуклые области в $\mathbb C^N$, полизвездные относительно точки 0, посредством условия (2.2) для опорных функций их компактных подмножеств. Предложение 2. (I) Пусть $Q$ – выпуклый компакт в $\mathbb C^N$, полизвездный относительно точки 0. Тогда для любых $a,b\in\mathbb C^N$, $\sigma\subset P_N$ выполняется неравенство (II) Пусть $\Omega$ – выпуклая область в $\mathbb C^N$, содержащая точку 0; ($Q_n)_{n\in\mathbb N}$ – последовательность выпуклых компактов в $\Omega$ таких, что $Q_n\subset\operatorname{int}\,Q_{n+1}$ для любого $n\in\mathbb N$ и $\Omega=\bigcup_{n\in \mathbb N}Q_n$. Следующие утверждения равносильны: Доказательство. (I). Возьмем $a, b\in\mathbb C^N$, $\sigma\subset P_N$. Найдется $t\in Q$, для которого $H_Q(a_{\sigma, b})= \operatorname{Re}\langle t, a_{\sigma,b}\rangle$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H_Q(a_{\sigma, b})&=\operatorname{Re}\langle t_{\sigma,0}+ t_{P_N\setminus\sigma,0}, a_{\sigma,b}\rangle =\operatorname{Re}\langle t_{\sigma,0}, a_{\sigma,b}\rangle+ \operatorname{Re}\langle t_{P_N\setminus\sigma,0},a_{\sigma,b}\rangle \\ &=\operatorname{Re}\langle t_{\sigma,0},a\rangle+ \operatorname{Re}\langle t_{P_N\setminus\sigma,0},b\rangle \leqslant H_Q(a)+H_Q(b). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
(i) $\Rightarrow$ (ii). Зафиксируем $z\in\Omega$ и $n$, для которого $z\in Q_n$. Отметим, что
$$
\begin{equation*}
\Pi_z=\operatorname{conv}\{z_{\sigma,0}\mid\sigma\subset P_N\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Возьмем точку $u\in\Pi_z$. Найдутся $\beta_\sigma\geqslant 0$, $\sigma\subset P_N$, для которых $\sum_{\sigma\subset P_N}\beta_\sigma=1$ и $u=\sum_{\sigma\subset P_N}\beta_\sigma z_{\sigma,0}$. Для любого $a\in\mathbb C^N$, для $k:=k(n)$, $D:=D(n)$, где $k(n)$ и $D(n)$ выбраны по условию (2.2),
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{Re}\langle u,a\rangle&=\sum_{\sigma\subset P_N}\beta_\sigma\operatorname{Re}\langle z_{\sigma,0},a\rangle= \sum_{\sigma\subset P_N}\beta_\sigma\operatorname{Re} \langle z,a_{\sigma,0}\rangle\leqslant \sum_{\sigma\subset P_N} \beta_\sigma v_n(a_{\sigma,0}) \\ &\leqslant\sum_{\sigma\subset P_N}\beta_\sigma(v_{k}(a)+D)=v_k(a)+D. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, для любых $a\in\mathbb C^N$, $r>0$
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Re}\langle u,ra\rangle\leqslant v_k(ra)+D=rv_k(a)+D.
\end{equation*}
\notag
$$
Поделив последнее неравенство на $r$ и перейдя к пределу при $r\to+\infty$, получим, что $\operatorname{Re}\langle u, a\rangle\leqslant v_k(a)$ для любого $a\in\mathbb C^N$. Поэтому $u\in Q_k\subset\Omega$.
(ii) $\Rightarrow$ (i). Пусть область $\Omega$ полизвездна относительно точки 0. Зафиксируем $n\in\mathbb N$. Найдется полизвездный относительно точки 0 выпуклый компакт $Q$ в $\Omega$, содержащий $Q_n$. Выберем $k\geqslant n$ такое, что $Q\subset Q_k$. Зафиксируем $a, b\in\mathbb C^N$, $\sigma\subset P_N$. Учитывая утверждение (I), получим Предложение доказано.4.4. Произведение Дюамеля и оператор ДюамеляВ этом пункте пойдет речь о произведении Дюамеля в‘пространствах голоморфных функций. Уигли [3] определил и исследовал произведение Дюамеля в пространстве всех функций, голоморфных в области в $\mathbb C$, звездной относительно точки 0. Меррифилдом и Уотсоном [1] оно было изучено в пространстве Харди в открытом единичном полидиске в $\mathbb C^N$ для $N\geqslant 1$. Тапдигоглу [2] исследовал его в банаховом пространстве $C^{(n)}(\mathbb D\times\mathbb D)$, где $\mathbb D$ – открытый единичный диск в $\mathbb C$. В дальнейшем $\Omega$ – область в $\mathbb C^N$, полизвездная относительно точки $0$. Следуя [1], [2], определим произведение Дюамеля в $H(\Omega)$: для $g,h\in H(\Omega)$
$$
\begin{equation*}
(g\ast h)(t):=\frac{\partial^N}{\partial t_1\dots\partial t_N} \int_{\Pi_t} g(t-\xi)h(\xi)\,d\xi,\qquad t\in\Omega.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом интеграл справа определяется как повторный:
$$
\begin{equation*}
\int_{\Pi_t} f(\xi)\,d\xi:=\int_0^{t_N}\cdots \int_0^{t_1}f(\xi)\,d\xi_1\dots d\xi_N,\qquad f\in H(\Omega).
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что $g\ast h\in H(\Omega)$ для любых $g,h\in H(\Omega)$ и $H(\Omega)$ является алгеброй с умножением $\ast$. Далее покажем, что если область $\Omega$ дополнительно выпуклая, произведение Дюамеля в $H(\Omega)$ реализует умножение $\circledast$. Выберем последовательность выпуклых полизвездных относительно точки $0$ компактов $Q_n$, $n\in\mathbb N$, таких, что $Q_n\subset\operatorname{int}Q_{n+1}$ для любого $n\in\mathbb N$ и $\Omega=\bigcup_{n\in\mathbb N}Q_n$. Без ограничения общности можно считать, что $0\in\operatorname{int}Q_1$. Пространство $E$ зададим весовыми функциями $v_n=H_{Q_n}$, $n\in\mathbb N$. Последовательность $(v_n)_{n\in\mathbb N}$ удовлетворяет условию (2.1) и (по предложению 2) условию (2.2); все функции $v_n$, $n\in\mathbb N$, выпуклые и положительно однородные степени 1. Обозначим пространство $E$ символом $E_\Omega$. Оно содержит все многочлены, и $\mathbb C[z]$ плотно в $E_\Omega$. Последнее следует, например, из общего результата Тейлора [12], упомянутого в замечании 1, или из реализации $H_\Omega'$ в виде $H(\Omega)$ как ниже. Замечание 2. (i) Будем использовать следующее свойство разделенности последовательности $(H_{Q_n})_{n\in\mathbb N}$: для любого $n\in\mathbb N$ существует $\delta_n>0$, для которого (ii) В данном случае для любого $n\in\mathbb N$
$$
\begin{equation*}
\sup_{|t-z|_\infty\leqslant 1}H_{Q_n}(t)\leqslant \inf_{|t-z|_\infty\leqslant 1}H_{Q_n}(t)+S(n), \qquad z\in\mathbb C^N,
\end{equation*}
\notag
$$
где $S(n):=\sup_{|t|_\infty\leqslant 2}H_{Q_n}(t)<+\infty$. Это позволяет в данном конкретном случае уточнить некоторые оценки, установленные выше. Например, неравенству в замечании 1, (iii) удовлетворяет $p(n)=n$. Ниже нам достаточно использовать оценки, полученные для общего случая. Согласно [15; теорема 4.5.3] преобразование Лапласа
$$
\begin{equation*}
\mathcal F(\varphi)(z):=\varphi(e_z), \qquad \varphi\in H(\Omega)',\quad z\in\mathbb C^N,
\end{equation*}
\notag
$$
является топологическим изоморфизмом сильного сопряженного к $H(\Omega)$ на $E_\Omega$. Билинейная форма
$$
\begin{equation*}
\langle f,h\rangle:={\mathcal F}^{-1}(f)(h),\qquad f\in E_\Omega, \quad h\in H(\Omega),
\end{equation*}
\notag
$$
устанавливает двойственность между пространствами $E_\Omega$ и $H(\Omega)$. При этом для любых $f\in E_\Omega$, $h\in H(\Omega)$, $\lambda\in\Omega$, $\mu\in\mathbb C^N$ выполняются равенства
$$
\begin{equation*}
f(\mu)=\langle f, e_\mu\rangle, \qquad h(\lambda)=\langle e_\lambda,h\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Через $\mathcal F'$ обозначим отображение из $E_\Omega'$ в $H(\Omega)$, сопряженное к преобразованию Лапласа $\mathcal F\colon H(\Omega)'\to E_\Omega$ относительно дуальных пар $(H(\Omega)', H(\Omega))$ и $(E_\Omega, E_\Omega')$. (Мы используем терминологию из [16].) Поскольку пространства $H(\Omega)$ и $E_\Omega$ рефлексивны, то $\mathcal F'$ – топологический изоморфизм сильного сопряженного к $E_\Omega$ на $H(\Omega)$. Лемма 4. Для любого $z\in\mathbb C^N$ сопряженным к оператору $D_z\colon E_\Omega\to E_\Omega$ относительно дуальной пары $(E_\Omega,H(\Omega))$ является оператор Доказательство. Зафиксируем $z\in\mathbb C^N$. Для $\lambda\in\Omega$, $g\in H(\Omega)$
$$
\begin{equation*}
D_z'(g)(\lambda)=\langle e_\lambda,D_z'(g)\rangle= \langle D_z(e_\lambda),g\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\lambda\in\Omega$, $\mu\in\mathbb C^N$, $\mu_j\ne z_j$, $j\in P_N$, то
$$
\begin{equation*}
\langle D_z(e_\lambda),e_\mu\rangle=D_z(e_\lambda)(\mu)= \prod_{j=1}^N \frac{e^{\lambda_j\mu_j}-e^{\lambda_j z_j}}{\mu_j-z_j}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Для линейного непрерывного в $H(\Omega)$ оператора $L(g)(t):= \int_{\Pi_t}e^{\langle t-\xi,z\rangle}g(\xi)\,d\xi$ вычислим значения $L(e_\mu)(\lambda)$ для $\lambda\in\Omega$, $\mu\in\mathbb C^N$, $\mu_j\ne z_j$, $j\in P_N$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, L(e_\mu)(\lambda)&=\int_{\Pi_\lambda}e^{\langle\lambda-\xi,z\rangle} e^{\langle\mu,\xi\rangle}\,d\xi=e^{\langle\lambda,z\rangle} \prod_{j=1}^N\frac{e^{(\mu_j-z_j)\lambda_j}-1}{\mu_j-z_j} \\ &=\prod_{j=1}^N \frac{e^{\lambda_j\mu_j}-e^{\lambda_j z_j}}{\mu_j-z_j}= D_z'(e_\mu)(\lambda). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку множество $\{e_\mu\mid\mu\in\mathbb C^N, \, \mu_j\ne z_j, j\in P_N \}$ полно в $H(\Omega)$, то $D_z'=L$. Лемма доказана. Для $\varphi\in E_\Omega'$ полагаем $\widehat\varphi(\lambda):= \mathcal F'(\varphi)(\lambda)$, $\lambda\in\Omega$. Отметим, что для любых $\psi\in E_\Omega'$, $f\in E_\Omega$ выполняется равенство Действительно,
$$
\begin{equation*}
\langle f,\widehat\psi\rangle=\mathcal F^{-1}(f)(\mathcal F'(\psi))= \psi(\mathcal F(\mathcal F^{-1}(f)))=\psi(f).
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, $\widehat\psi(\lambda)= \langle e_\lambda,\widehat\psi\rangle=\psi(e_\lambda)$, $\psi\in E_\Omega'$, $\lambda\in\Omega$. Лемма 5. (i) Для любых $n\in\mathbb N$, $\lambda\in Q_n$, $k\in P_N$ в $E_{n+1}$ существует предел $\lim_{\xi\to 0}(e_{\lambda+\xi u^{(k)}}-e_\lambda)/\xi$, равный $M_k(e_\lambda)$. (ii) Для любого функционала $\varphi\in E'_\Omega$, любых $h\in H(\Omega)$, $\lambda\in\Omega$ функция (по $z$) принадлежит $E_\Omega$ и Доказательство. (i): Для любого $\xi\in\mathbb C$ такого, что $|\xi|\in(0,\delta_n)$, точка $\lambda+\xi u^{(k)}$ принадлежит $Q_{n+1}$ (см. замечание 2). Для таких $\xi$ получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl\|\frac{1}{\xi}(e_{\lambda+\xi u^{(k)}}- e_\lambda)- M_k(e_\lambda)\biggr\|_{n+1}= \sup_{t\in\mathbb C^N}\frac{|(1/\xi) (e^{\langle\lambda+\xi u^{(k)},t\rangle}- e^{\langle\lambda, t\rangle})-t_k e^{\langle\lambda,t\rangle}|} {\exp(H_{Q_{n+1}}(t))} \\ &\qquad\leqslant \sup_{t\in\mathbb C^N} \frac{|e^{\langle\lambda,t\rangle}|}{\exp(H_{Q_{n}}(t))} \sup_{t\in\mathbb C^N}\frac{|(1/\xi)(e^{\xi t_k}-1)-t_k|} {\exp(\delta_n|t|)}\leqslant |\xi|\sup_{x\geqslant 0} \frac{\sum_{s=2}^\infty\delta_n^{s-2}x^s/s!} {\exp(\delta_n x)}\leqslant \frac{|\xi|}{\delta_n^2}\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Это доказывает утверждение (i).
(ii) Принадлежность функции $z\mapsto\int_{\Pi_\lambda} e^{\langle\xi,z\rangle} h(\xi)\,d\xi$ пространству $E_\Omega$ очевидна. Справедливость перемены порядка действия функционала $\varphi$ и интегрирования устанавливается стандартным образом, например, с помощью последовательности интегральных сумм, сходящейся в $E_\Omega$ по $z$ к $\int_{\Pi_\lambda}e^{\langle\xi,z\rangle} h(\xi)\,d\xi$. Для удобства (чтобы явно следить за переменными) будем использовать обозначение $w(\lambda,z,t):= D_z(e_\lambda)(t)$, $\lambda\in\Omega$, $z,t\in\mathbb C^N$. Отметим, что функция $w$ голоморфна в $\Omega\times \mathbb C^N\times \mathbb C^N$. Лемма 6. Для любых функционалов $\varphi,\psi\in E_\Omega'$, $\gamma\in\mathbb N_0^N$ в $\Omega$ существует производная $\partial^{|\gamma|}(\varphi_z(\psi(D_z(e_\lambda))))/ \partial\lambda_1^{\gamma_1}\dots\partial\lambda_N^{\gamma_N}$, равная $\varphi_z(\psi_t(\partial^{|\gamma|}w(\lambda,z,t)/ \partial\lambda_1^{\gamma_1}\dots\partial\lambda_N^{\gamma_N}))$ в точке $\lambda\in\Omega$. Доказательство. Это утверждение достаточно доказать для производных $\partial/\partial\lambda_k$, $k\in P_N$. Зафиксируем $k\in P_N$, $\lambda\in\Omega$ и возьмем $n\in\mathbb N$ такое, что $\lambda\in\Omega_n$. Для $\xi\in\mathbb C$, для которого $|\xi|\in(0,\delta_n)$ (см. замечание 2), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Delta(\xi)&:=\frac{1}{\xi}\bigl(\varphi_z(\psi(D_z (e_{\lambda+\xi u^{(k)}})))-\varphi_z(\psi(D_z(e_\lambda)))\bigr)- \varphi_z\biggl(\psi_t\biggl(\frac{\partial w}{\partial\lambda_k} (\lambda,z,t)\biggr)\biggr) \\ &=\varphi_z\biggl(\psi_t\biggl(D_z\biggl(\frac{1}{\xi} (e_{\lambda+\xi u^{(k)}}-e_\lambda)\biggr)(t)- \frac{\partial w}{\partial\lambda_k}(\lambda,z,t)\biggr)\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial w}{\partial\lambda_k}(\lambda,z,t)= D_z(M_k(e_\lambda))(t), \qquad \lambda\in\Omega, \quad z, t\in\mathbb C^N.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу неравенства в замечании 1, (iii), в котором можно брать $p(n)=n+1$, для любого $\xi\in\mathbb C$, для которого $|\xi|\in(0,\delta_n)$, выполняются соотношения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |\Delta(\xi)|&\leqslant \|\varphi\|_{n+1}^*\|\psi\|_{n+1}^* \sup_{z\in\mathbb C^N}\,\sup_{t\in\mathbb C^N} \frac{|D_z((1/\xi)(e_{\lambda+\xi u^{(k)}}-e_\lambda)- M_k(e_\lambda))(t)|}{\exp(H_{Q_{}}(z)+H_{Q_{n+1}}(t))} \\ &\leqslant K(n+1)\|\varphi\|_{n+1}^*\|\psi\|_{n+1}^* \biggl\|\frac{1}{\xi}(e_{\lambda+\xi u^{(k)}}-e_\lambda)- M_k(e_\lambda)\biggr\|_{n+1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из леммы 5 следует, что $\Delta(\xi)\to 0$ при $\xi\to 0$. Лемма доказана. Теорема 3. Пусть $\Omega$ – выпуклая полизвездная относительно точки 0 область в $\mathbb C^N$. Тогда $\mathcal F'$ – изоморфизм алгебры $(E_\Omega',\circledast)$ на алгебру $(H(\Omega),\ast)$. Доказательство. Возьмем $\varphi,\psi\in E_\Omega'$. Покажем, что $\widehat{\varphi\circledast\psi}=\widehat\varphi\ast\widehat\psi$. Из леммы 1, (iii) следует, что
$$
\begin{equation*}
T_z(e_\lambda)(t)=\frac{\partial^N w} {\partial\lambda_1\dots\partial\lambda_N}(\lambda,z,t), \qquad \lambda\in\Omega,\quad z,t\in\mathbb C^N.
\end{equation*}
\notag
$$
Вследствие леммы 6 и (4.1) для $\lambda\in\Omega$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber \widehat{\varphi\circledast\psi}(\lambda)&= (\varphi\circledast\psi)(e_\lambda)= \varphi_z\biggl(\psi_t\biggl(\frac{\partial^Nw} {\partial\lambda_1\dots\partial\lambda_N}(\lambda,z,t)\biggr)\biggr) \\ &=\frac{\partial^N}{\partial\lambda_1\dots\partial\lambda_N} (\varphi_z(\psi(D_z(e_\lambda)))). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Учитывая (4.1), получим, что
$$
\begin{equation*}
\psi(D_z(e_\lambda))=\langle D_z(e_\lambda),\widehat\psi\rangle= \langle e_\lambda,D_z'(\widehat\psi)\rangle= D_z'(\widehat\psi)(\lambda).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому в силу равенства (4.2) и лемм 4, 5
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widehat{\varphi\circledast\psi}(\lambda)&= \frac{\partial^N}{\partial\lambda_1\dots\partial\lambda_N} (\varphi_z(D_z'(\widehat\psi)(\lambda))) =\frac{\partial^N}{\partial\lambda_1\dots\partial\lambda_N} \biggl(\varphi_z\biggl(\int_{\Pi_\lambda} e^{\langle\xi, z\rangle} \widehat\psi(\lambda-\xi)\,d\xi\biggr)\biggr) \\ &=\frac{\partial^N}{\partial\lambda_1\dots\partial\lambda_N} \biggl(\int_{\Pi_\lambda} \widehat\varphi(\xi)\widehat\psi (\lambda-\xi)\,d\xi\biggr)= (\widehat\varphi\ast\widehat\psi)(\lambda). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема доказана. Из теорем 2, (ii) и 3 вытекает Для $g\in H(\Omega)$ определим оператор Дюамеля $S_g(h):=g\ast h$, $h\in H(\Omega)$. Ясно, что он линеен и непрерывен в $H(\Omega)$. Покажем, что оператор $B_\varphi'$, сопряженный к $B_\varphi$ относительно дуальной пары $(E_\Omega,H(\Omega))$, совпадает c $S_{\widehat\varphi}$. Следствие 4. Для любого $\varphi\in E_\Omega'$ выполняется равенство $B_\varphi'=S_{\widehat\varphi}$. Доказательство. Для любых $\psi\in E_\Omega'$, $\lambda\in\Omega$, учитывая теорему 3 и равенство (4.1), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, B_\varphi'(\widehat\psi)(\lambda)&= \langle e_\lambda,B_\varphi'(\widehat\psi)\rangle= \langle B_\varphi(e_\lambda),\widehat\psi\rangle= \psi(B_\varphi(e_\lambda)) \\ &=(\psi\circledast\varphi)(e_\lambda)= (\varphi\circledast\psi)(e_\lambda)= \widehat{\varphi\circledast\psi}(\lambda) =(\widehat\varphi\ast\widehat\psi)(\lambda)= S_{\widehat\varphi}(\widehat\psi)(\lambda). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Утверждение доказано. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{IvaMel23} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|