| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Краткие сообщения Многомерные аналоги теорем о плотности сумм сдвигов одной функции Н. А. Дюжинаab a Московский центр фундаментальной и прикладной математики b Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623050139 
Реферативные базы данных:
  В действительном пространстве $L^{0}_{p}(\mathbb{T})$ функций с нулевым средним, суммируемых в $p$-й степени на окружности $\mathbb{T}$ ($1 \leqslant p <\infty$), существует функция $f$, суммы сдвигов которой плотны в $L^{0}_{p}(\mathbb{T})$ (см. [1], в этой работе выделены целые классы таких функций). Существует функция, определенная на действительной оси $\mathbb{R}$, суммы сдвигов которой плотны во всех действительных пространствах $L_{p}(\mathbb{R})$ при $2 \leqslant p <\infty$ [2]. В действительном пространстве $l_{2}(\mathbb{Z})$ двусторонних последовательностей существует такой элемент, что суммы его сдвигов плотны во всех действительных пространствах $l_{p}(\mathbb{Z})$, $2 \leqslant p <\infty$ [3]. Естественным образом возникает задача о переносе этих результатов на многомерный случай, т.е. на случай тора $\mathbb{T}^{d}$, пространства $\mathbb{R}^{d}$ и решетки $\mathbb{Z}^{d}$, где $d \in \mathbb{N}$. Пусть $l_{p}(\mathbb{Z}^{d})$, $1 \leqslant p < \infty$, обозначает пространство действительных суммируемых в $p$-й степени последовательностей, нумеруемых точками $d$-мерной целочисленной решетки $\mathbb{Z}^{d}$, с нормой
$$
\begin{equation*}
\|x\|_{p} :=\biggl(\sum_{n_{1},n_{2},\dots, n_{d}\in\mathbb{Z}} |x_{n_{1}n_{2}\dotsb n_{d}}|^{p} \biggr)^{1/p} < \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Через $c_{0}(\mathbb{Z}^{d})$ обозначим пространство действительных последовательностей, нумеруемых точками $\mathbb{Z}^{d}$ и стремящихся к 0 при стремлении любого из индексов к бесконечности, с нормой
$$
\begin{equation*}
\|x\|_{\infty}=\sup_{n_{1},n_{2}, \dots , n_{d} \in \mathbb{Z}} |x_{n_{1}n_{2}\dotsb n_{d}}|.
\end{equation*}
\notag
$$
Во всех этих пространствах определены операторы сдвигов по каждому из $d$ направлений, покоординатно определяемые равенствами
$$
\begin{equation*}
(T_{k}x)_{n_{1}\dotsb n_{k}\dotsb n_{d}}=x_{n_{1}\dotsb n_{k-1}(n_{k}-1)n_{k+1}\dotsb n_{d}}, \qquad k=1,\dots ,d, \quad n_{1}, \dots,n_{d} \in \mathbb{Z}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 1. Для всякого $d \in \mathbb{N}$ существует такой элемент $w$ в пространстве $l_{2}(\mathbb{Z}^{d})$, что суммы его сдвигов плотны во всех пространствах $l_{p}(\mathbb{Z}^{d})$, $2 \leqslant p < \infty$, а также в пространстве $c_{0}(\mathbb{Z}^{d})$. Доказательство. Согласно [3] существует такой элемент $v \in l_{2}(\mathbb{Z})$, что суммы его сдвигов
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{n} T^{l_{k}}v, \qquad l_{k} \in \mathbb{Z}, \quad n \in \mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
$$
плотны в $l_{2}(\mathbb{Z})$. Будем представлять $d$-мерные последовательности $(x_{n_{1}\dotsb n_{d}})$ разбитыми на одномерные строки, в каждой из которых индексы $n_{2},\dots ,n_{d}$ фиксированы, а индекс $n_{1}$ пробегает все $\mathbb{Z}$. В качестве $w$ возьмем элемент, одна фиксированная строка которого совпадает с $v$, а остальные – нулевые. Суммами сдвигов элемента $w$ только вдоль этой строки можно сколь угодно точно приблизить элементы с любым вектором из $l_{2}(\mathbb{Z})$ в этой строке и нулями в остальных строках. Суммами сдвигов получившихся элементов по другим направлениям можно сколь угодно точно приблизить произвольный вектор в любой другой строке, а значит, приблизить любой элемент пространства $l_{2}(\mathbb{Z}^{d})$. Следовательно, суммы (1) плотны в пространстве $l_{2}(\mathbb{Z}^{d})$, а значит, и во всех пространствах $l_{p}(\mathbb{Z}^{d})$ с $p \geqslant 2$ и в пространстве $c_{0}(\mathbb{Z}^{d})$.
Теорема доказана. Теорема 2. Для всякого $d \in \mathbb{N}$ и $2 \leqslant p < \infty$ существует такая функция $h$ в действительном пространстве $L_{p}(\mathbb{R}^d)$, что суммы ее сдвигов плотны в действительном пространстве $L_{p}(\mathbb{R}^{d})$. Доказательство. Согласно [2] при $2 \leqslant p < \infty$ существует функция $f \in L_{p}(\mathbb{R})$, суммы сдвигов
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{n} f(x-a_{k}), \qquad a_{k} \in \mathbb{R}, \quad n \in \mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
$$
которой плотны в $L_{p}(\mathbb{R})$. Положим
$$
\begin{equation*}
h(\bar{x})=h(x_{1},\dots ,x_{d})=f(x_{1})\dotsb f(x_{d}), \qquad \bar{x}=(x_{1},\dots ,x_{d}) \in \mathbb{R}^{d}.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим полугруппу $R$, являющуюся замыканием в $L_{p}(\mathbb{R}^{d})$ множества сумм
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^{n}h(\bar{x}-\bar{a}_{k})=\sum_{k=1}^{n}f(x_{1}-a_{1,k}) \dotsb f(x_{d}-a_{d, k}), \qquad a_{j, k} \in \mathbb{R}, \quad j=1,\dots ,d, \quad n \in \mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Пусть $g_{1}$ – произвольная функция из $L_{p}(\mathbb{R})$. Фиксируя $a_{2, k}=a_{2}$, $\dots $, $a_{d, k}=a_{d}$ и выбирая нужные $a_{1, k}$ в сумме (2), получим, что функция
$$
\begin{equation}
g_{1}(x_{1}) \cdot f(x_{2}-a_{2}) \dotsb f(x_{d}-a_{d})
\end{equation}
\tag{3}
$$
принадлежит $R$. Суммируя функции вида (3) с фиксированными $a_{3},\dots,a_{d}$ и различными $a_{2}$, получим, что любая функция вида $ g_{1}(x_{1}) \cdot g_{2}(x_{2}) \cdot f(x_{3}-a_{3}) \dotsb f(x_{d}-a_{d})$, где $g_{2}$ – произвольная функция из $L_{p}(\mathbb{R})$, тоже принадлежит $R$. Продолжая этот процесс, получим, что всякое произведение $g_{1}(x_{1}) \dotsb g_{d}(x_{d})$, где $g_{k} \in L_{p}(\mathbb{R})$, $k=1,\dots ,d$, принадлежит $R$. Поскольку суммы таких произведений плотны в $L_{p}(\mathbb{R}^{d})$ (среди них есть функции вида $p(x_{1},\dots ,x_{d}) \cdot I_{Q}$, где $p$ – произвольный многочлен, а $Q$ – произвольный координатный параллелепипед в $\mathbb{R}^{d}$), получаем, что $R=L_{p}(\mathbb{R}^{d})$, что и требовалось.
Теорема доказана. Теорема 3. Пусть $d \in \mathbb{N}, 1 \leqslant p < \infty$, $1/p + 1/q=1$, и функция $f$ из действительного пространства $L_{p}(\mathbb{T}^{d})$ имеет ряд Фурье с условиями: a) $c_{\bar{0}}=0$, $c_{\bar{n}} \ne 0$ для всех $\bar{n} \in \mathbb{Z}^{d} \setminus \{ \bar{0} \}$; b) Тогда суммы плотны в действительном пространстве $L^{0}_{p}(\mathbb{T}^{d})$ функций из $L_{p}(\mathbb{T}^{d})$ с нулевым средним.Доказательство проводится по той же схеме, что и доказательство теоремы 1 из [1]. Доказательство. 1. Утверждение теоремы в случае $1 \leqslant p \leqslant 2$ сводится к случаю $p= 2$: если $1 \leqslant p \leqslant 2$, то из соответствующего неравенства в условии b) получаем $f \in L_{2}(\mathbb{T}^{d})$, по утверждению теоремы для $p=2$ суммы (5) плотны в $L_{2}^{0}(\mathbb{T}^{d})$, а значит, и в $L_{p}^{0}(\mathbb{T}^{d})$ (в силу неравенства Гёльдера). Таким образом, достаточно доказать теорему в случае $p \geqslant 2$.
2. Пусть $p \geqslant 2$. Для сумм
$$
\begin{equation*}
F_{n}(t_{1},\dots ,t_{d})=\sum_{k_{1}=0}^{n-1}\dotsb \sum_{k_{d}=0}^{n-1}f \biggl(t_{1}+ \frac{2\pi k_{1}}{n},\dots ,t_{d}+ \frac{2\pi k_{d}}{n}\biggr) =n^{d} \sum_{\bar{\nu} \in \mathbb{Z}^{d} \setminus \{ \bar{0} \}} c_{n\bar{\nu}}e^{i(n\bar{\nu}, \bar{t})}
\end{equation*}
\notag
$$
из многомерной теоремы Хаусдорфа–Юнга [4; § 3, теорема 3.3, b)] получаем, что
$$
\begin{equation}
\| F_{n} \|_{L_{p}(\mathbb{T}^{d})} \leqslant C(p)\biggl(\sum_{\bar{\nu} \in \mathbb{Z}^{d} \setminus \{ \bar{0} \}} |n^{d} c_{n\bar{\nu}}|^{q}\biggr)^{1/q} \leqslant C(p)\biggl(n^{2d} \sum_{\bar{\nu} \in \mathbb{Z}^{d} \setminus \{ \bar{0} \}} | c_{n\bar{\nu}}|^{q}\biggr)^{1/q}.
\end{equation}
\tag{6}
$$
Нам понадобится следующая лемма, обобщающая лемму Кореваара [5]. Лемма 1. Если $a_{\bar{k}} \geqslant 0$, $\bar{k}=(k_{1},\dots ,k_{d}) \in \mathbb{Z}^{d} \setminus \{ \bar{0} \}$, и то Доказательство. Пусть $\mathbb{P}$ – множество всех простых чисел. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{p \in \mathbb{P}}p^{2d-1}\sum_{\bar{k} \in p \mathbb{Z}^{d} \setminus \{ \bar{0}\}} a_{\bar{k}}=\sum_{\bar{m} \in \mathbb{Z}^{d} \setminus \{ \bar{0}\}} \biggl(\sum_{p \mid \text{НОД}(m_{1},\dots ,m_{d})}p^{2d-1} \biggr) a_{\bar m} \\ &\qquad \leqslant \sum_{\bar{m} \in \mathbb{Z}^{d} \setminus \{ \bar{0}\}} \biggl(\sum_{p \mid \text{НОД}(m_{1},\dots ,m_{d})}p \biggr)^{2d-1} a_{\bar m} \leqslant \sum_{\bar{m} \in \mathbb{Z}^{d} \setminus \{ \bar{0}\}} \bigl(\text{НОД}(m_{1},\dots ,m_{d}) \bigr)^{2d-1} a_{\bar m} \\ &\qquad \leqslant \sum_{\bar{m} \in \mathbb{Z}^{d} \setminus \{ \bar{0}\}} \Bigl(\max_{j=1,\dots ,d} |m_{j}|\Bigr)^{2d-1} a_{\bar m} < \infty , \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и, в то же время, $\sum_{p \in \mathbb{P}} 1/p=\infty$. Следовательно, для бесконечной последовательности $\{ p_{l} \}$ простых чисел выполнено равенство откуда $\liminf_{p \in \mathbb{P},\, p \to \infty} p^{2d} \sum_{\bar{k} \in p \mathbb{Z}^{d} \setminus \{ \bar{0}\} } a_{\bar{k}}=0$.
Лемма доказана. Применим лемму 1 для $a_{\bar{k}}=|c_{\bar{k}}|^{q}$. Тогда условия (7) леммы 1 выполнены в силу (4). Из леммы и оценки (6) получаем, что $\|F_{n}\|_{L_{p}(\mathbb{T}^{d})} \to 0$ по некоторой бесконечной последовательности номеров $n$. Следовательно, функция $-f$ может быть с любой точностью приближена в $L_{p}(\mathbb{T}^{d})$ суммами вида (5), а значит и всякая функция $-f(\bar{t} + \bar{a})$ также может быть с любой точностью приближена суммами (5), так что их замыкание
$$
\begin{equation*}
G=\overline{\biggl\{ \sum_{k=1}^{N}f(\bar{t} + \bar{a}_{k})\colon \bar{a}_{k} \in \mathbb{R}^{d},\, N \in \mathbb{N} \biggr\}}
\end{equation*}
\notag
$$
в норме $L_{p}(\mathbb{T}^{d})$ есть замкнутая аддитивная подгруппа пространства $L_{p}^{0}(\mathbb{T}^{d})$.
Отметим, что для доказательства последнего утверждения достаточно в формуле (4) заменить $\max_{j=1,\dots ,d} |n_{j}|$ на $\min_{j=1,\dots ,d\colon n_{j} \ne 0 } |n_{j}|$, однако с таким условием перейти от подгруппы ко всему пространству уже не удастся. 3. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, f_{\bar{a}}(\bar{t})=f_{a_{1},\dots ,a_{d}}(t_{1},\dots ,t_{d}) =f(t_{1}+a_{1},\dots ,t_{d}+a_{d}), \\ \varphi_{\bar{a}, k}(u)=f_{a_{1},\dots ,a_{k-1},u,a_{k+1},\dots ,a_{d}}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\bar{a}=(a_{1},\dots ,a_{k-1}, a_{k+1},\dots ,a_{d}) \in \mathbb{R}^{d-1}, \qquad k \in \{1,\dots ,d \}, \quad u \in \mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
$$
Подгруппа $G$ содержит образ $\varphi_{\bar{a}, k}(\mathbb{R})$ отображения $\varphi_{\bar{a}, k}\colon \mathbb{R} \to L_{p}^{0}(\mathbb{T}^{d}) $. Оценим модуль непрерывности этого отображения следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\omega(\varphi_{\bar{a}, k}, \delta)=\sup \bigl\{ \| \varphi_{\bar{a}, k}(u+r) -\varphi_{\bar{a}, k}(u) \|_{L_{p}(\mathbb{T}^{d})} \colon |r| \leqslant \delta, u \in \mathbb{R} \bigr\} \\ &\qquad =\sup \bigl\{ \|f_{0,\dots ,0, r, 0,\dots , 0}-f \|_{p}\colon 0 \leqslant r \leqslant \delta \bigr\} =\sup_{0 \leqslant r \leqslant \delta} \biggl\| \sum_{\bar{n} \in \mathbb{Z}^{d}} c_{\bar{n}}(e^{in_{k}r}-1)e^{i(\bar{n}, \bar{t})} \biggr\|_{p} \\ &\qquad \leqslant C(p) \sup_{0 \leqslant r \leqslant \delta} \biggl(\sum_{\bar{n} \in \mathbb{Z}^{d}} |c_{\bar{n}}|^{q} |e^{in_{k}r}-1|^{q} \biggr)^{1/q}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где в последнем неравенстве снова использована многомерная теорема Хаусдорфа–Юнга.
Выражение $e^{in_{k}r}-1=in_{k} \int_{0}^{r}e^{in_{k}y}dy$ по модулю не превосходит $\min \{ |n_{k}|r, 2\}$, поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(\omega(\varphi_{\bar{a}, k}, \delta))^{q} \bigl(C(p) \bigr)^{-q} \leqslant \sum_{n_{1},\dots ,n_{k-1},n_{k+1},\dots ,n_{d} \in \mathbb{Z}} \biggl(\sum_{|n_{k}| \leqslant 1/\delta}|n_{k}|^{q}\delta^{q}|c_{\bar{n}}|^{q} + \sum_{|n_{k}| > 1/\delta}2^{q}|c_{\bar{n}}|^{q} \biggr) \\ &\qquad \leqslant \sum_{n_{1},\dots ,n_{k-1},n_{k+1},\dots ,n_{d} \in \mathbb{Z}} \delta \biggl(\sum_{|n_{k}| \leqslant 1/\delta}|n_{k}|(|n_{k}|\delta)^{q-1}|c_{\bar{n}}|^{q} + 2^{q} \sum_{|n_{k}|> 1/\delta}|n_{k}|\,|c_{\bar{n}}|^{q} \biggr) \\ &\qquad \leqslant \delta \sum_{n_{1},\dots ,n_{k-1},n_{k+1},\dots ,n_{d} \in \mathbb{Z}} \biggl(\delta^{(q-1)/2} \sum_{|n_{k}| \leqslant 1/\sqrt{\delta}}|n_{k}|\,|c_{\bar{n}}|^{q} + \sum_{1/\sqrt{\delta} < |n_{k}| \leqslant 1/\delta}|n_{k}|\,|c_{\bar{n}}|^{q} \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad + 2^{q}\sum_{|n_{k}|> 1/\delta}|n_{k}|\,|c_{\bar{n}}|^{q}\biggr)=o(\delta), \qquad \delta \to 0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
в силу условия b) на коэффициенты $c_{\bar{n}}$. Следовательно, $\omega(\varphi_{\bar{a}, k}, \delta)=o(\delta^{1/q})$, $\delta \to 0$, и для модуля гладкости пространства $L_{p}$ [6; гл. 1, § е] при $p \geqslant 2$ имеем
$$
\begin{equation*}
s_{p}(\omega(\varphi_{\bar{a}, k}, \delta)) \leqslant A(p)(\omega(\varphi_{\bar{a}, k}, \delta))^{2}= o(\delta^{2/q})=o(\delta), \qquad \delta \to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Нам понадобится следующая теорема. Теорема A [7; теорема 4]. Пусть $G$ – замкнутая аддитивная подгруппа равномерно гладкого пространства $X$ с модулем гладкости $s(\tau)$, и пусть непрерывное отображение $\varphi\colon [0, 1] \to G$ имеет такой модуль непрерывности $\omega_{\varphi}(\delta)$, что $s(\omega_{\varphi}(\delta))=o(\delta) $ при $\delta \to 0$. Тогда $G$ содержит замкнутое $\mathbb{R}$–линейное подпространство $L$, порожденное элементами вида $u-v$, где $u, v \in \varphi([0, 1])$. По теореме A наша подгруппа $G$ содержит замкнутые $\mathbb{R}$-линейные подпространства $L_{\bar{a}, k}$, порожденные функциями $\varphi_{\bar{a}, k}(u) -\varphi_{\bar{a}, k}(0)$ соответственно. Следовательно, подгруппа $G$ содержит замкнутое $\mathbb{R}$-линейное подпространство $L$, порожденное функциями $f_{\bar{a}}-f$, $\bar{a} \in \mathbb{R}^{d}$. 4. Покажем, что $L$ совпадает с $L_{p}^{0}(\mathbb{T}^{d})$. Если это не так, то найдется такая ненулевая функция $h \in L_{q}^{0}(\mathbb{T}^{d})$ с рядом Фурье $\sum_{\bar{n} \in \mathbb{Z}^{d}}h_{\bar{n}}e^{i(\bar{n}, \bar{t})}$ ($h_{\bar{0}}=0$, $h_{-\bar{n}}= \overline{h_{\bar{n}}}$), что
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{T}^{d}}(f_{\bar{a}}(\bar{t})-f(\bar{t}))h(\bar{t})\,d\bar{t}=0 \quad\Longleftrightarrow \quad \sum_{\bar{n} \in \mathbb{Z}^{d}}c_{\bar{n}}\overline{h_{\bar{n}}}e^{i(\bar{n}, \bar{a})}= \sum_{\bar{n} \in \mathbb{Z}^{d}}c_{\bar{n}}\overline{h_{\bar{n}}}, \qquad \bar{a} \in \mathbb{R}^{d}.
\end{equation*}
\notag
$$
Левая часть последнего тождества представляет собой абсолютно сходящийся ряд по переменной $\bar{a}$ (последовательность $(c_{\bar{n}})$ принадлежит $l_{q}(\mathbb{Z}^{d})$ по условию b), последовательность $(h_{\bar{n}})$ принадлежит $l_{p}(\mathbb{Z}^{d})$ по другому утверждению теоремы Хаусдорфа–Юнга для $p \geqslant 2$ [4; § 3, теорема 3.3, a)]). Следовательно, $c_{\bar{n}}\overline{h_{\bar{n}}}=0 $ для всякого $\bar{n} \in \mathbb{Z}^{d} \setminus \{ \bar{0} \}$, что в силу условия а) и равенства $h_{\bar{0}}=0$ влечет $h_{\bar{n}}=0$ для любого $\bar{n} \in \mathbb{Z}^{d}$. Получаем $h \equiv 0$ и противоречие с предположением. Таким образом, подпространство $L$, а вместе с ним и подгруппа $G$ совпадают с $L_{p}^{0}(\mathbb{T}^{d})$. Теорема доказана. Аналогично работе [1] можно привести пример, подпирающий теорему 3: для функции $f(t_{1}, t_{2})=I_{[2\pi-\alpha, 2\pi) \times [2\pi-\alpha, 2\pi)}(t_{1}, t_{2})-I_{[0, \alpha] \times [0, \alpha]}(t_{1}, t_{2})$ при почти всех $\alpha \in (0, \pi)$ выполнены условия а) теоремы 3, но суммы сдвигов (5) принимают только целые значения и не плотны в $L_{p}^{0}(\mathbb{T}^{2})$. Этот пример показывает, что условие b) теоремы 3 нельзя заменить на условие
$$
\begin{equation*}
|c_{n_{1}, n_{2}}|=O \biggl(\frac{1}{(|n_{1}|+1)(|n_{2}|+1)} \biggr), \qquad n_{1}, n_{2} \to \pm \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Dyu23} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|