| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) Уточнение оценки скорости равномерной сходимости ряда Фурье непрерывной периодической функции ограниченной вариации А. Ю. Поповab, Т. Ю. Семеноваab a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623030240 
Реферативные базы данных:
  1. Введение и формулировка основных результатовБудем использовать следующие стандартные обозначения: $C_{2\pi}$ – пространство непрерывных действительнозначных на $\mathbb{R}$ $2\pi$-периодических функций с нормой
$$
\begin{equation*}
\|f\|=\sup\bigl\{|f(x)|\bigm| x\in {\mathbb {R}}\bigr\}= \max_{-\pi\leqslant x\leqslant \pi}|f(x)|;
\end{equation*}
\notag
$$
модуль непрерывности
$$
\begin{equation}
\omega(f;h)=\max_{0\leqslant|t|\leqslant h}\|\Delta_t f\|, \qquad\text{где}\quad \Delta_t f(x)=f(x+t)-f(x);
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
частичная сумма ряда Фурье функции $f$
$$
\begin{equation*}
S_n(f,x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{n}\bigl(a_k (f)\cos(kx)+ b_k(f)\sin(kx)\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
a_k(f)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\cos(kt)\,dt, \qquad b_k(f)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\sin(kt)\,dt
\end{equation*}
\notag
$$
– коэффициенты Фурье; остаток ряда Фурье функции $f$ Цель нашей работы – уточнение известных оценок сверху норм остатков (1.2) рядов Фурье функций $f\in C_{2\pi}$, имеющих на отрезке $[-\pi,\pi]$ ограниченную вариацию. Множество всех таких функций обозначим $CV_{2\pi}$. Через $V(f,I)$ обозначим вариацию $f$ на отрезке $I$, через $V(f)$ – вариацию $f$ на отрезке $[-\pi,\pi]$. В 1881 году Жордан [1] доказал равномерную сходимость на $\mathbb{R}$ ряда Фурье произвольной функции класса $CV_{2\pi}$. В 1940 году Салем [2] перенес эту теорему на классы функций обобщенной ограниченной вариации, значительно более широкие, чем $CV_{2\pi}$. В 1952 году Стечкин [3] (см. также обзор [4]) вывел следующую оценку скорости стремления к нулю $\|r_n(f)\|$ для произвольной функции $f\in CV_{2\pi}$, $f\not\equiv \mathrm{const}$:
$$
\begin{equation}
\|r_n(f)\|=O\biggl[\omega\biggl(f;\frac{\pi}{n}\biggr) \ln\biggl(\frac{V(f)}{\omega(f;\pi/n)}\biggr)\biggr],\qquad n\in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Заметим, что для любой функции $f\in CV_{2\pi}$, $f\not\equiv \mathrm{const}$, верно неравенство
$$
\begin{equation}
\frac{V(f)}{\omega(f;h)}\geqslant 2\qquad \forall\,h\in(0,\pi],
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
вследствие которого величина $\ln(V(f)/\omega(f;\pi/n))$ отделена от нуля (не меньше $\ln 2$). Заметим также, что $\omega(f;\pi/n)\to 0$ при $n \to\infty$, поэтому
$$
\begin{equation*}
\ln\biggl(\frac{V(f)}{\omega(f;\pi/n)}\biggr)\to +\infty
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно, правая часть равенства (1.3) стремится к нулю по порядку медленнее $\omega(f;\pi/n)$. Из результатов Жука, опубликованных в монографии [5] в 1982 году, выводится уточнение порядковой оценки (1.3), в котором указана постоянная в $O$ (нами доказано, что ее нельзя уменьшить) и добавлен второй член $O(\omega(f;\pi/n))$. Жук получил оценку сверху $\|r_n(f)\|$ для произвольной функции $f\in C_{2\pi}$ через ее модуль непрерывности порядка $r\in \mathbb{N}$ с учетом отношения ее наилучших приближений $E_{n,p}(f)$ тригонометрическими полиномами порядка не выше $n$ по $L^p$-норме к модулю непрерывности того же порядка, взятому в точке $\pi/(n+1)$. Мы приведем результат Жука только для случая $r=1$, поскольку в нашей работе мы имеем дело только с модулем непрерывности (1.1). Под $L^p$-нормой мы, как и в [5], понимаем
$$
\begin{equation*}
\|g\|_p=\biggl(\int_{-\pi}^{\pi}|g(x)|^p\,dx\biggr)^{1/p},\qquad g\in L^p[-\pi,\pi].
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема A [5; с. 241]. Пусть $f\in C_{2\pi}$, $f\not\equiv \mathrm{const}$, $n\in{\mathbb N}$, $p\in(1,+\infty)$. Тогда справедливо неравенство в котором a $R_2$ – оптимальная константа в оценке сверху приближения функции средними Рисса порядка 2 через ее второй модуль непрерывности. Точное значение постоянной $R_2$ нам не известно, но, исходя из изложенного в [5; с. 200, 236–237], а также в [5; гл. 8, § 1–2], заключаем, что Жук фактически вывел численную оценку Остается неясным, почему Жук не рассмотрел значение $p=1$. Нетрудно проверить, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{q\to +\infty}\biggl(\int_{0}^{+\infty} \biggl(\frac{u-\sin u}{u^2}\biggr)^qdu\biggr)^{1/q}
\end{equation*}
\notag
$$
равен максимуму функции $(u-\sin u)/u^2$ на луче $(0,+\infty)$ и что этот максимум достигается в точке $u=\pi$. Осуществив предельный переход при $p\to 1+0$ в неравенстве (1.5) (при этом $q\to +\infty$) и учитывая (1.6) и (1.7), мы получаем следующее утверждение. Следствие A. Пусть $f\in C_{2\pi}$, $f\not\equiv \mathrm{const}$, $n\in{\mathbb N}$. Тогда верно неравенство Следствие A вместе с оценкой наилучшего приближения $E_{n,1}(f)$ [6]
$$
\begin{equation*}
E_{n,1}(f)\leqslant \frac{3}{2}\sup_{|t|\leqslant \pi/(n+1)} \int_{-\pi}^{\pi}|\Delta_t f(x)|\,dx
\end{equation*}
\notag
$$
и неравенством верным при любых $t\in(0,\pi]$ и $f\in CV_{2\pi}$ (см. [5; с. 110]), позволяет получить неравенство и вывести из следствия A. Следствие B. Пусть $f\in CV_{2\pi}$, $f\not\equiv \mathrm{const}$, $n\in{\mathbb N}$. Тогда верно неравенство Именно это утверждение мы и уточняем в нашей работе. Обозначим для краткости
$$
\begin{equation*}
\omega_n(f)=\omega\biggl(f;\frac{\pi}{1.5(n+0.5)}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $n+1<1.5(n+0.5)$ для любого натурального $n$, то
$$
\begin{equation*}
\omega_n(f)\leqslant \omega\biggl(f;\frac{\pi}{n+1}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 1. Пусть $f\in CV_{2\pi}$, $f\not\equiv \mathrm{const}$, $n\in{\mathbb N}$. Тогда верно неравенство Наш результат уточняет следствие B в нескольких направлениях. Величина $\omega(f;\pi/(n+1))$ заменена не большей величиной $\omega_n(f)$, что всегда дает лучший результат в силу монотонного возрастания функции
$$
\begin{equation}
\omega\biggl(\frac{2}{\pi^2} \ln\biggl(\frac{V}{\omega}\biggr)+b\biggr)
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
на промежутке $0<\omega\leqslant{V}/{2}$ (см. неравенство 1.4), каково бы ни было число $b>2\pi^{-2}$ (в нашем случае $b=1.303$). В (1.9) по сравнению с (1.8) в аргументе логарифма уменьшен множитель при отношении $V/\omega$ и убрано слагаемое 1. Наконец, вместо постоянной $9.5$ поставлена “небольшая” константа $1.303$. Может показаться, что уменьшение константы во втором слагаемом более чем на 8.19 не сильно улучшает результат оценки (1.8). Однако при не очень больших значениях $n$ это улучшение превышает величину главного члена. В самом деле, посмотрим, насколько большим должен быть номер $n$, чтобы главный член оценки $2\pi^{-2}\ln(V(f)/\omega_n(f))$ превысил 8.19. Легко видеть, что для этого необходимо выполнение неравенства $V(f)/\omega_n(f)>\exp(40.3)$. Если рассмотреть “не слишком медленно” меняющиеся функции $f$, имеющие “не слишком большую” вариацию, например, такие, у которых $\omega(f;h)\geqslant h$, $V(f)\leqslant 50$, то окажется, что главный член меньше 8.19 заведомо при $n\leqslant 10^{16}$. А ведь суммы с такими номерами вполне достаточны для любых приложений. Величина $\omega_n(f)$ была введена в работе [7] для получения в некотором смысле наилучшей оценки $\|r_n(f)\|$ через модуль непрерывности функции $f$. Обозначим $n$-ю константу Лебега тригонометрической системы
$$
\begin{equation}
L_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|D_n(t)|\,dt, \qquad\text{где}\quad D_n(t)=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n}\cos(kt)= \frac{\sin(n+0.5)t}{2\sin(t/2)}
\end{equation}
\tag{1.11}
$$
– ядро Дирихле. Известно, что
$$
\begin{equation*}
L_1=1.4359\dots\,,\qquad L_2=1.6421\dots\,,\qquad L_n\sim \frac{4}{\pi^2}\ln n \quad\text{при}\ \ n\to +\infty
\end{equation*}
\notag
$$
и выполняется неравенство следующее из результатов Шакирова (см. [8]). В работе [7] Стечкина и Гаврилюк для любой $f\in C_{2\pi}$, $f\not\equiv \mathrm{const}$, и при любом $n\in{\mathbb N}$ было доказано неравенство Там же доказана неулучшаемость (1.13) в следующих терминах. Во-первых, выведено равенство
$$
\begin{equation*}
\sup\biggl\{\frac{\|r_n(f)\|}{\omega_n(f)}\Bigm| f\in C_{2\pi},\, f\not\equiv \mathrm{const}\biggr\}=\frac{L_n+1}{2}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
а, во-вторых, установлено, что нельзя сколь-нибудь существенно уменьшить аргумент модуля непрерывности. Из (1.12) и (1.13) для любых $f\in C_{2\pi}$ и $n\in {\mathbb N}$ следует оценка
$$
\begin{equation}
\|r_n(f)\|<\omega_n(f)\biggl(\frac{2}{\pi^2}\ln(n+0.5)+1.136\biggr),
\end{equation}
\tag{1.14}
$$
в которой постоянная $2\pi^{-2}$ не может быть уменьшена. Заметим, что оценка (1.14) может оказаться сильнее оценки (1.9) теоремы 1, если функция $f$ удовлетворяет условию Липшица первого порядка с “небольшой” константой. Но если
$$
\begin{equation*}
\omega_n(f)=\omega\biggl(f;\frac{\pi}{1.5(n+0.5)}\biggr)> \frac{2.3}{n+0.5}V(f),
\end{equation*}
\notag
$$
то наша оценка (1.9) сильнее (1.14). Из (1.9) и (1.14) видно, что эффект от применения теоремы 1 по сравнению с теоремой Стечкина и Гаврилюк для функций ограниченной вариации тем выше, чем больше значение $\omega_n(f)$. В п. 4 мы показываем, что дает наш результат для функций $f\in CV_{2\pi}$, удовлетворяющих условию Гёльдера. В п. 5 мы демонстрируем, что в неравенстве (1.9) множитель $2\pi^{-2}$ не допускает уменьшения, так же, как и в (1.14).
2. Вспомогательные результатыДалее обозначим для краткости $N=n+0.5$. Положим Функция $\Phi_n(x)$ подробно изучалась в работе [7]. Там доказано, что $\Phi_n(x)$ имеет $n$ простых нулей $0<x_1^{(n)}<\cdots<x_n^{(n)}<\pi$, для которых верны равенства
$$
\begin{equation*}
x_k^{(n)}=\frac{\pi(k-0.5)+\nu_k^{(n)}}{N}\,,\qquad \nu_k^{(n)}\in\biggl(0,\frac{\pi}{6}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим $x_{n+1}^{(n)}=\pi$. Укажем свойства $D_n$ и $x_k^{(n)}$, которыми будем пользоваться:
Доказательство. Воспользуемся свойствами 3), 4) и получим Обозначим Доказательство. При $m=n+1$ согласно (1.11), (1.12) верны соотношения и оценка леммы выполняется. При любом $m\leqslant n$, учитывая свойство 3), имеем
$$
\begin{equation}
L_n(x_m^{(n)})=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{x_m^{(n)}}|D_n(t)|dt < \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi(m-1/3)/N} \frac{|\sin(Nt)|}{2\sin(t/2)}\,dt.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Когда $2\leqslant m\leqslant 10$, последний интеграл запишем в виде
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{\pi N}\int_{0}^{\pi(m-1/3)} \frac{|\sin u|}{\sin(u/(2N))}\,du
\end{equation*}
\notag
$$
и оценим подынтегральную функцию с помощью неравенства
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{N\sin(u/(2N))}\leqslant \frac{1}{(m+0.5)\sin(u/(2m+1))}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
справедливого в силу убывания $(\sin\tau)/\tau$ на $(0,\pi)$. Получим оценку
$$
\begin{equation*}
L_n(x_m^{(n)})<\frac{1}{\pi(m+0.5)} \int_{0}^{\pi(m-1/3)} \frac{|\sin u|}{\sin(u/(2m+1))}\,du=I_m.
\end{equation*}
\notag
$$
Неравенство
$$
\begin{equation*}
I_m<\frac{4}{\pi^2}\ln(m-0.5)+1.28 \qquad\text{при}\quad m\in[2,10]
\end{equation*}
\notag
$$
проверяется непосредственным вычислением. Пусть далее $m\geqslant 11$. Введем функцию она положительна и монотонно возрастает на $(0,\pi)$. Согласно (2.1) получим оценку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, L_n(x_m^{(n)})&<\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi(m-1/3)/N} \frac{|\sin(Nt)|}{t}\,dt+\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi(m-1/3)/N}|\sin(Nt)| \cdot \psi(t)\,dt \\ &=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi(m-1/3)}\frac{|\sin\,u|}{u}\,du+ \frac{2}{\pi N}\int_{0}^{\pi(m-1/3)}|\sin u| \cdot \psi\biggl(\frac{u}{N}\biggr)\,du. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим
$$
\begin{equation*}
\beta_m=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi(m-1/3)} \frac{|\sin\,u|}{u}\,du-\frac{4}{\pi^2}\ln(m-0.5).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
L_n(x_m^{(n)})-\frac{4}{\pi^2}\ln(m-0.5)<\beta_m+\frac{2}{\pi N} \int_{0}^{\pi(m-1/3)}|\sin u| \cdot \psi\biggl(\frac{u}{N}\biggr)\,du.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Докажем монотонное убывание последовательности $\beta_m$, т.е. выполнение неравенства
$$
\begin{equation*}
\beta_{m+1}-\beta_m=\frac{2}{\pi}\int_{\pi(m-1/3)}^{\pi(m+2/3)} \frac{|\sin u|}{u}\,du-\frac{4}{\pi^2}\ln\frac{m+0.5}{m-0.5}<0.
\end{equation*}
\notag
$$
Разобьем интеграл в выражении для $\beta_{m+1}-\beta_m$ на сумму интегралов по подотрезкам
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \biggl[\pi\biggl(m-\frac{1}{3}\biggr),\pi m\biggr],\qquad \biggl[\pi m,\pi\biggl(m+\frac{1}{3}\biggr)\biggr], \\ \biggl[\pi\biggl(m+\frac{1}{3}\biggr), \pi\biggl(m+\frac{1}{2}\biggr)\biggr],\qquad \biggl[\pi\biggl(m+\frac{1}{2}\biggr), \pi\biggl(m+\frac{2}{3}\biggr)\biggr], \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
на каждом из которых интеграл от $|\sin u|$ равен ${1}/{2}$. Применим теорему о среднем:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{2}{\pi}\int_{\pi(m-1/3)}^{\pi(m+2/3)}\frac{|\sin u|}{u}\,du- \frac{4}{\pi^2}\ln\frac{m+0.5}{m-0.5} \\ &\qquad<\frac{1}{\pi}\biggl(\frac{1}{\pi(m-1/3)}+\frac{1}{\pi m}+ \frac{1}{\pi(m+1/3)}+\frac{1}{\pi(m+1/2)}\biggr)- \frac{4}{\pi^2}\ln\frac{m+0.5}{m-0.5}\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее выражение есть функция от $m$, принимающая отрицательное значение при $m=1$, монотонно возрастающая на промежутке $(1,+\infty)$ и стремящаяся к нулю при $m\to +\infty$, значит, эта функция отрицательна при всех $m\geqslant 1$. Отсюда получаем отрицательность разности $\beta_{m+1}-\beta_m$, а значит, и убывание последовательности $\beta_m$. Оценим второе слагаемое в сумме (2.2).
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{2}{\pi N}\int_{0}^{\pi(m-1/3)} |\sin u|\psi\biggl(\frac{u}{N}\biggr)\,du< \frac{2}{\pi N}\int_{0}^{{\pi m}}|\sin u| \cdot \psi\biggl(\frac{u}{N}\biggr)\,du \\ &\qquad=\frac{2}{\pi N} \biggl(\int_{0}^{\pi/2}+ \int_{\pi/2}^{\pi}\biggr)\sin u\cdot \sum_{p=0}^{m-1}\psi \biggl(\frac{u+\pi p}{N}\biggr)\,du \\ &\qquad<\frac{2}{\pi N} \int_{0}^{\pi/2} \sin u\,du\cdot \sum_{p=0}^{m-1}\biggl(\psi\biggl(\frac{\pi(p+0.5)}{N}\biggr)+ \psi\biggl(\frac{\pi(p+1)}{N}\biggr)\biggr) \\ &\qquad=\frac{4}{\pi^2}\sum_{p=0}^{m-1}\biggl(\frac{\pi}{2N}\cdot \psi\biggl(\frac{\pi (p+0.5)}{N}\biggr)+ \frac{\pi}{2N}\cdot \psi\biggl(\frac{\pi (p+1)}{N}\biggr)\biggr) \\ &\qquad<\frac{4}{\pi^2}\int_{0}^{\pi(m+0.5)/N}\psi(u)\,du\leqslant \frac{4}{\pi^2}\int_{0}^{\pi}\psi(u)\,du= \frac{4}{\pi^2}\ln\frac{4}{\pi}\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь мы воспользовались теоремой о среднем, монотонным возрастанием функции $\psi$ и условием $m+0.5\leqslant n+0.5=N$. Таким образом, при $m\geqslant 11$ Непосредственным вычислением убеждаемся, что $\beta_{11}+(4/\pi^2)\ln(4/\pi)<1.28$, т.е. лемма верна в случае $11\leqslant m\leqslant n$. Лемма доказана. Замечание 1. Обозначим $\beta=1+(4/\pi^2)\ln 2\approx1.2809\dots$ . Поскольку Доказательство. При любом натуральном $m\geqslant 3$ рассмотрим полуинтервал $I_m=[m-1,m)$. Если $A\in I_m$, то $m=m(A)$. Очевидно, что разность Доказательство. Имеем равенство 3. Доказательство основного результата Доказательство теоремы 1. Модуль непрерывности инвариантен относительно сдвига аргумента, а оператор $S_n(f)$ линеен, поэтому без ограничения общности считаем, что $f(0)=0$ и оцениваем сверху $|r_n(f,0)|$. Воспользуемся интегральным представлением остатка (1.2) ряда Фурье функции $f$ (см. [9; с. 103–104]): Оценим каждое из трех слагаемых в выражении (3.2). Для первого и второго слагаемого повторим рассуждения работ Стечкина и Гаврилюк [7] и [10]. В первом слагаемом (3.2) при помощи свойств 1) и 2) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \frac{2}{\pi}\int_{0}^{x_{1}^{(n)}}|\widetilde{f}(t)| D_n(t)\,dt\leqslant \frac{2}{\pi}\omega (\widetilde{f},x_1^{(n)})\int_{0}^{x_{1}^{(n)}}D_n(t)\,dt \leqslant\frac{2}{\pi}\omega_n(\widetilde{f}) \int_{0}^{x_{1}^{(n)}}D_n(t)\,dt \\ &\qquad\leqslant \frac{1}{\pi}\omega_n(f)\biggl(\int_{0}^{\pi}D_n(t)\,dt+ \int_{0}^{x_{1}^{(n)}}D_n(t)\,dt\biggr) \\ &\qquad=\frac{1}{\pi}\omega_n(f)\biggl(\frac{\pi}{2}+ \int_{0}^{x_{1}^{(n)}}D_n(t)\,dt\biggr)= \omega_n(f)\biggl(\frac{1}{2}+ \frac{1}{\pi}\int_{0}^{x_{1}^{(n)}}D_n(t)\,dt\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Во втором слагаемом (3.2), применив равенство
$$
\begin{equation*}
\sup_{g\in C_{2\pi},\,\omega_n(g)\leqslant 1} \biggl|\int_{x_k^{(n)}}^{x_{k+1}^{(n)}}{g}(t)D_n(t)\,dt\biggr|= \frac{1}{2}\int_{x_k^{(n)}}^{x_{k+1}^{(n)}}| D_n(t)|\,dt,
\end{equation*}
\notag
$$
доказанное в работе [7], получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{m-1}\biggl|\int_{x_k^{(n)}}^{x_{k+1}^{(n)}} \widetilde{f}(t) D_n(t)\,dt\biggr|&\leqslant\frac{1}{\pi} \omega_n({\widetilde{f}})\sum_{k=1}^{m-1} \int_{x_k^{(n)}}^{x_{k+1}^{(n)}}|D_n(t)|\,dt \\ &\leqslant\frac{1}{\pi} \omega_n(f)\sum_{k=1}^{m-1} \int_{x_k^{(n)}}^{x_{k+1}^{(n)}}|D_n(t)|\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, сумма двух первых слагаемых выражения (3.2) оценивается сверху величиной
$$
\begin{equation}
\omega_n(f)\biggl(\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\int_{0}^{x_{1}^{(n)}} D_n(t)\,dt+\frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^{m-1} \int_{x_k^{(n)}}^{x_{k+1}^{(n)}}|D_n(t)|\,dt\biggr)= \omega_n(f)\biggl(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}L_n(x_m^{(n)})\biggr).
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Для оценки третьего слагаемого (3.2) суммы
$$
\begin{equation*}
\frac{2}{\pi}\sum_{k=m}^{n}\biggl|\int_{x_k^{(n)}}^{x_{k+1}^{(n)}} \widetilde{f}(t) D_n(t)\,dt\biggr|,
\end{equation*}
\notag
$$
воспользуемся ограниченностью вариации функции $f$. Отрезки $[x_k^{(n)},x_{k+1}^{(n)}]$ разобъем точками $\pi k/N$ на две части, на каждой из которых функция $D_n(t)$ не меняет знак, и применим теорему о среднем:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl|\int_{x_k^{(n)}}^{x_{k+1}^{(n)}} \widetilde{f}(t)D_n(t)\,dt\biggr|&= \biggl|\int_{x_k^{(n)}}^{\pi k/N}\widetilde{f}(t) D_n(t)\,dt+ \int_{\pi k/N}^{x_{k+1}^{(n)}}\widetilde{f}(t)D_n(t)\,dt\biggr| \\ &=\biggl|\widetilde{f}(t_k^*)\int_{x_k^{(n)}}^{\pi k/N}D_n(t)\,dt+ \widetilde{f}(t_k^{**})\int_{\pi k/N}^{x_{k+1}^{(n)}} D_n(t)\,dt\biggr|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $t_k^*\in [x_k^{(n)},\pi k/N]$, $t_k^{**}\in [\pi k/N,x_{k+1}^{(n)}]$. Поскольку два последних интеграла от $D_n(t)$ равны по модулю, но имеют разные знаки, то по лемме 1 получим
$$
\begin{equation*}
\biggl|\int_{x_k^{(n)}}^{x_{k+1}^{(n)}}\widetilde{f}(t) D_n(t)\,dt\biggr|\leqslant \frac{1}{2}|\widetilde{f}(t_k^{*})- \widetilde{f}(t_k^{**})|\int_{x_k^{(n)}}^{x_{k+1}^{(n)}} |D_n(t)|\,dt\leqslant|\widetilde{f}(t_k^{*})- \widetilde{f}(t_k^{**})|\frac{1}{2(k-0.5)}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
В итоге выводим следующую оценку третьего слагаемого выражения (3.2):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\frac{2}{\pi}\sum_{k=m}^{n}\biggl|\int_{x_k^{(n)}}^{x_{k+1}^{(n)}} \widetilde{f}(t) D_n(t)dt\biggr|\leqslant \frac{1}{\pi}\sum_{k=m}^{n}|\widetilde{f}(t_k^{*})- \widetilde{f}(t_k^{**})|\frac{1}{k-0.5} \\ &\qquad\leqslant \frac{V(\widetilde{f},[x_m^{(n)},\pi])}{\pi(m-0.5)}= \frac{V(\widetilde{f},[x_m^{(n)},2\pi-x_m^{(n)}])}{2\pi(m-0.5)} \leqslant \frac{V(f)}{2\pi(m-0.5)}\,. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Объединяя оценки (3.3), (3.4) и результат леммы 2, приходим к неравенству
$$
\begin{equation*}
\|r_n(f)\|\leqslant \omega_n(f)\biggl(\frac{2}{\pi^2} \biggl(\ln(m-0.5)+\frac{\pi V(f)}{4\omega_n(f) \cdot (m-0.5)}\biggr)+1.14\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Подберем оптимальное натуральное значение $m^*\in [2,n+1]$, чтобы минимизировать оценку разности между функцией и ее частичной суммой Фурье. Обозначим $A=\pi V(f)/(4\omega_n(f))\geqslant \pi/2$ и рассмотрим функцию $\varphi(A,t)=\ln t+A/t$. Минимум функции $\varphi$, как функции от $t$, достигается при $t=A$, и равен $\ln A+1$. Если $A<n$, возьмем $m^*=[A]+1\geqslant 2$. Согласно лемме 3 значение $\varphi(m^*-0.5)$ отличается от $\varphi(A)$ на величину, не превосходящую $1/3-\ln(4/3)$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|r_n(f)\|&<\omega_n(f)\biggl(\frac{2}{\pi^2} \biggl(\ln\biggl(\frac{\pi V(f)}{4\omega_n(f)}\biggr)+ \frac{4}{3}-\ln\frac{4}{3}\biggr)+1.14\biggr) \\ &<\omega_n(f)\biggl(\frac{2}{\pi^2} \ln\biggl(\frac{V(f)}{\omega_n(f)}\biggr)+1.303\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $A\geqslant n$, то в качестве $m^*$ нужно взять $m^*=n+1$ и использовать для оценки остатка ряда Фурье неравенство (1.14), доказанное Стечкиным и Гаврилюк. Теорема доказана. 4. Применение теоремы 1 для гёльдеровых функцийДля каждой пары чисел $M>0$, $\alpha\in(0,1)$ через $MH^{\alpha}$ обозначим класс всех функций $f\in C_{2\pi}$, модуль непрерывности которых удовлетворяет неравенству (условию Гёльдера с показателем $\alpha$)
$$
\begin{equation*}
\omega(f;h)\leqslant M h^{\alpha}, \qquad 0<h\leqslant \pi.
\end{equation*}
\notag
$$
Следствие (1.14) из результата Стечкина и Гаврилюк дает оценку
$$
\begin{equation}
\|r_n(f)\|<M\biggl(\frac{\pi}{1.5N}\biggr)^{\alpha} \biggl(\frac{2}{\pi^2}\ln N+1.136\biggr) \qquad \forall\,f\in MH^{\alpha}, \quad f\not\equiv \mathrm{const}.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Покажем, как улучшается эта оценка при больших значениях $n$ на подклассе функций $f\in MH^{\alpha}$, имеющих на $[-\pi,\pi]$ ограниченную вариацию. Поскольку при всех $n$, начиная с некоторого, верно неравенство $M(\pi/(1.5N))^{\alpha}<V(f)/2$, то, учитывая отмеченное выше возрастание функции (1.10) на интервале $(0,V/2)$, в неравенстве (1.9) величину $\omega_n(f)$ можно заменить ее мажорантой $M(\pi/(1.5N))^{\alpha}$. В результате придем к оценке
$$
\begin{equation*}
\|r_n(f)\|<M\biggl(\frac{\pi}{1.5N}\biggr)^{\alpha} \biggl(\frac{2}{\pi^2}\ln\biggl(\frac{V(f)(1.5N)^{\alpha}} {M\pi^{\alpha}}\biggr)+1.303\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым, справедливо Следствие 1. Пусть $\alpha\in(0,1)$, $M>0$. Тогда для нормы $n$-го остатка ряда Фурье произвольной непостоянной функции $f\in MH^{\alpha}$, имеющей ограниченную вариацию $V(f)$ на $[-\pi,\pi]$, при любом $n\in {\mathbb N}$, $n\geqslant (2\pi/3)(2M/V(f))^{1/\alpha}$, верна оценка сверху Неравенство (4.2) дает оценку $\|r_n(f)\|$ с лучшей константой перед главным членом, чем (4.1). Теперь рассмотрим непостоянные функции ограниченной вариации на $[-\pi,\pi]$, модуль непрерывности которых удовлетворяет оценке снизу
$$
\begin{equation}
\omega_n(f)>M_0\biggl(\frac{\pi}{1.5N}\biggr)^{\alpha}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
при некоторых $n\in {\mathbb N}$, $M_0>0$, $\alpha>0$. Теорема 1 сразу же влечет за собой неравенство, аналогичное (4.2), в котором первый множитель – не мажоранта модуля непрерывности, а сам модуль непрерывности. Следствие 2. Пусть $\alpha\in(0,1)$, $M_0>0$. Если для некоторого $n\in {\mathbb N}$ выполнено условие (4.3), то при этом значении $n$ верно неравенство 5. Неулучшаемость главного члена оценки сверхуРассмотрим вопрос о неулучшаемости оценки сверху $\|r_n(f)\|$ (1.9) на подклассах $CV_{2\pi}$, определяемых скоростью стремления к нулю модуля непрерывности. Выяснилось, что главный член оценки нельзя улучшить, какую бы мы заранее ни выбрали скорость стремления к нулю модуля непрерывности. Что же касается константы $1.303$, прибавляемой к главному члену, то ее нельзя уменьшить на 1. Теорема 2. Для любого натурального числа $n\geqslant 2$ и для любого $\omega_n\in[1/n,1/2]$ существует функция $\varphi=\varphi_{n}\in CV_{2\pi}$ такая, что $\omega_n(\varphi)=\omega_n$, $1\leqslant V(\varphi)\leqslant 2$, и Доказательство. Положим $m=[\omega_n^{-1}]$. Из ограничений на $\omega_n$ следует неравенство $2\leqslant m\leqslant n$. Зафиксируем $\delta\in(0,1/(6N)]$. Поскольку $n\geqslant 2$, $N\geqslant 5/2$, то $\delta\leqslant 1/15$. Обозначим $y_k=\pi k/N=ky_1$, $k=0,\dots,m$, и определим функцию $\varphi$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\varphi(t)=\begin{cases} (-1)^k\dfrac{(t-y_k)\omega_n}{2\delta y_1}\,, & t\in[y_k,y_k+\delta y_1], \\ (-1)^k\dfrac{\omega_n}{2}\,, & t\in[y_k+\delta y_1,\,y_{k+1}-\delta y_1], \\ (-1)^k\dfrac{(y_{k+1}-t)\omega_n}{2\delta y_1}\,, & t\in[y_{k+1}-\delta y_1,y_{k+1}], \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $0\leqslant k\leqslant m-1$. Пусть также $\varphi(t)=0$ при $t\in[y_{m},\pi]$ и $\varphi(t)=\varphi(-t)$ при $t\in[-\pi,0]$. По построению $\varphi$ – непрерывная функция. Вариация функции $\varphi$ на каждом отрезке $[y_k,y_{k+1}]$, $0\leqslant k\leqslant m-1$, равна $\omega_n$. Следовательно, учитывая четность функции $\varphi$, имеем
$$
\begin{equation*}
V(\varphi)=2m\omega_n=2[\omega_n^{-1}]\omega_n\leqslant 2,\qquad V(\varphi)\geqslant 2(\omega_n^{-1}-1)\omega_n= 2-2\omega_n\geqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку колебание функции $\varphi$ на отрезке $[-\pi,\pi]$ равно $\omega_n$ и совпадает с колебанием $\varphi$ на отрезках $[y_k-\delta y_1,y_{k}+\delta y_1]$, $1\leqslant k\leqslant m-1$, длина которых равна $2\delta y_1=2\delta\pi/N$, то верно тождество $\omega(\varphi,h)=\omega_n$, если $h\in[2\delta\pi/N,\pi]$. Если же $h\in(0,2\delta\pi/N]$, то, как нетрудно убедиться, наибольшее изменение на отрезках длины $h$ функция $\varphi$ претерпевает, если эти отрезки содержатся внутри отрезков $[y_k-\delta y_1,y_k+\delta y_1]$, а само изменение равно $\omega_n h/(2\delta y_1)$. В частности, поскольку $\delta\leqslant 1/15$, то $\pi/(1.5N)>2\pi\delta/N$ и, следовательно, $\omega_n(\varphi)=\omega_n$. Перейдем к доказательству оценки снизу $r_n(\varphi,0)$. Учитывая представление (3.1), условие $\varphi(0)=0$ и четность функции, имеем
$$
\begin{equation}
r_n(\varphi,0)=-\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\varphi(t)D_n(t)\,dt.
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Так как функция $\varphi$ обращается в нуль на отрезке $[y_m,\pi]$, а на интервалах $(y_k,y_{k+1})$, $0\leqslant k\leqslant m-1$, знаки $\varphi$ и ядра Дирихле $D_n$ одинаковы, то выражение (5.1) можно оценить следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber |r_n(\varphi,0)|&=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{y_m}|\varphi(t)|\, |D_n(t)|\,dt \\ \nonumber &=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi m/N}|\varphi(t)| \frac{|\sin(Nt)|}{2\sin(t/2)}\,dt>\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi m/N}|\varphi(t)|\frac{|\sin(Nt)|}{t}\,dt \\ &=\frac{2}{\pi}\biggl(\frac{\omega_n}{2}\int_{0}^{\pi m/N} \frac{|\sin(Nt)|}{t}\,dt-\int_{E}\biggl(\frac{\omega_n}{2}- |\varphi(t)|\biggr)\frac{|\sin(Nt)|}{t}\,dt\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
где
$$
\begin{equation*}
E=[0,\delta y_1]\cup\biggl(\bigcup_{k=1}^{m-1}[y_k-\delta y_1,y_k+ \delta y_1]\biggr)\cup[y_m-\delta y_1,y_m].
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим
$$
\begin{equation*}
\mu_0=\sup\biggl\{\frac{|\sin(Nt)|}{t}\Bigm| t\in(0,\delta y_1)\biggr\},\qquad \mu_k=\max\biggl\{\frac{|\sin(Nt)|}{t}\Bigm| t\in [y_k-\delta y_1,y_k+\delta y_1]\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
$1\leqslant k\leqslant m$. Нетрудно убедиться в том, что
$$
\begin{equation}
\mu_0=N, \qquad \mu_k=\frac{|\sin(N(y_k-\delta y_1))|}{y_k-\delta y_1}= \frac{\sin(\pi\delta)}{\pi(k-\delta)}N<\frac{\delta N}{k-\delta} \leqslant \frac{1/6}{1-\delta}\leqslant \frac{1/6}{14/15}<\frac{1}{5}\,.
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
В силу определения функции $\varphi$ выполнено неравенство ${\omega_n}/{2}-|\varphi(t)|\geqslant 0$, а все интегралы
$$
\begin{equation*}
\int_{y_k-\delta y_1}^{y_k}\biggl(\frac{\omega_n}{2}- |\varphi(t)|\biggr)\,dt,\quad 1\leqslant k\leqslant m,\qquad \int_{y_k}^{y_k+\delta y_1}\biggl(\frac{\omega_n}{2}- |\varphi(t)|\biggr)\,dt,\quad 0\leqslant k\leqslant m-1,
\end{equation*}
\notag
$$
совпадают между собой и равны $\pi\delta\omega_n/(4N)$. Поэтому, учитывая (5.3), имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber \int_{E}\biggl(\frac{\omega_n}{2}-|\varphi(t)|\biggr) \frac{|\sin(Nt)|}{t}\,dt&\leqslant \frac{\pi\delta\omega_n}{4N} \biggl(\mu_0+2\sum_{k=1}^{m-1}\mu_k+\mu_m\biggr) \\ &<\frac{\pi\delta\omega_n}{4N} \biggl(N+\frac{1}{5}(2m-1)\biggr)< \frac{\pi\delta\omega_n}{4N}\,\frac{7N}{5}\leqslant \frac{7\pi}{300}\omega_n. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Лемма 4 дает неравенство
$$
\begin{equation}
\int_0^{\pi m/N}\frac{|\sin(Nt)|}{t}\,dt= \int_0^{\pi m}\frac{|\sin(\tau)|}{\tau}\,d\tau> 0.589\pi+\frac{2}{\pi}\biggl(\ln(m+1)+\frac{2}{3}-\ln 3\biggr).
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
Из (5.2), (5.4) и (5.5) следует оценка
$$
\begin{equation*}
|r_n(\varphi,0)|>\omega_n(\varphi) \biggl(0.589+\frac{2}{\pi^2} \biggl(\ln(m+1)+\frac{2}{3}-\ln 3\biggr)-\frac{7}{150}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку
$$
\begin{equation*}
\ln(m+1)>\ln\biggl(\frac{1}{\omega_n(\varphi)}\biggr)= \ln\biggl(\frac{V(\varphi)}{\omega_n(\varphi)}\biggr)- \ln V(\varphi)\geqslant \ln\biggl(\frac{V(\varphi)}{\omega_n(\varphi)}\biggr)-\ln 2,
\end{equation*}
\notag
$$
то окончательно получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |r_n(\varphi,0)|&>\omega_n (\varphi)\biggl(\frac{2}{\pi^2} \ln\biggl(\frac{V(\varphi)}{\omega_n(\varphi)}\biggr)+ \frac{2}{\pi^2}\biggl(\frac{2}{3}-\ln 6\biggr)- \frac{7}{150}+0.589\biggr) \\ &>\omega_n(\varphi)\biggl(\frac{2}{\pi^2} \ln\biggl(\frac{V(\varphi)}{\omega_n(\varphi)}\biggr)+0.31\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема доказана. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{PopSem23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|