В. В. Горбацевич, “О некоторых классах базисов в конечномерных алгебрах Ли”, Матем. заметки, 114:2 (2023), 203–211; Math. Notes, 114:2 (2023), 165

В статье рассматриваются алгебры Ли, имеющие базисы специального вида – nice-базисы, а также некоторые более специальные базисы (beautiful-базисы). Термин “nice basis” автор предлагает переводить словом-кентавром nice-базис, так как буквальный перевод представляется ему несколько игривым. Понятие nice-базиса было впервые использовано в [1] при рассмотрении метрик Эйнштейна на алгебрах Ли (хотя само название появилось позже). Затем это понятие было довольно интенсивно изучено (в основном авторами статьи [2] и ими же в их последующих статьях) – рассмотрено строение нильпотентных алгебр Ли, имеющих такие базисы, а также описаны различные геометрические структуры на соответствующих алгебрах Ли. Были перечислены нильпотентные алгебры Ли размерности $\leqslant 9$, имеющие nice-базисы (начиная с размерности 7 имеются бесконечные семейства таких алгебр Ли). Была дана геометрическая интерпретация (в терминах графов определенного вида) и доказано, что в фиксированной нильпотентной алгебре Ли имеется не более счетного числа nice-базисов, если их рассматривать с точностью до весьма естественно вводимого понятия эквивалентности (описанного ниже). При этом в [2] был задан вопрос о том, не будет ли число неэквивалентных nice-базисов в нильпотентных алгебрах Ли на самом деле конечным. В данной заметке дается утвердительный ответ на этот вопрос. Также приведены некоторые другие результаты, касающиеся nice-базисов и beautiful-базисов.

Отметим, что понятие nice- и beautiful-базиса применимо к любым алгебрам Ли, а не только к нильпотентным. Такого рода базисы можно рассматривать как весьма специальный случай более общего понятия – мультипликативных базисов, рассмотрение некоторых свойств которых будет дано автором в другой статье. Отметим также, что понятие nice- и beautiful-базиса можно вводить и не только для алгебр Ли, а и в более общих случаях (например, для любых косокоммутативных или коммутативных алгебр).

Все алгебры Ли в статье предполагаются конечномерными, определенными над полем $k$ характеристики 0. Но основной результат – о конечности числа неэквивалентных базисов – доказан для случая поля $k=\mathbb R$ вещественных чисел (хотя, как будет отмечено ниже, его можно перенести и на случай некоторых других полей характеристики 0). Используемые ниже сведения об алгебрах Ли и об алгебраических группах можно найти в [3] и [4] соответственно.

Рассмотрим произвольную алгебру Ли $L$ и некоторый базис $\mathcal E= \{e_i \}$ в ней. Имеем разложения $[e_i,e_j] = c_{ij}^ke_k$ коммутаторов по базису. Коэффициенты $c_{ij}^k$ этого разложения образуют тензор типа $(2,1)$, однозначно определяющий операцию коммутирования алгебры Ли $L$. Множество всех базисов для фиксированной алгебры Ли будем обозначать через $\mathcal B$.

Базис $\mathcal E$ будем называть nice-базисом, когда для любой (неупорядоченной) пары индексов $i$, $j$ коэффициент $c_{ij}^k$ может быть отличен от 0 только для одного значения индекса $k$ и если некоторый индекс $k$ соответствует двум различным парам индексов, то эти пары дизъюнктны (не имеют общих элементов). Иногда используют и другие формы определения nice-базисов, но они нам не понадобятся.

Имеет смысл рассматривать и частный случай понятия nice-базиса, когда каждый базисный вектор пропорционален не более чем одному коммутатору базисных элементов. Другими словами, требуется, чтобы если некоторый коэффициент $c^k_{ij}$ отличен от 0, то индексы $i$, $j$ однозначно (с точностью до порядка записи) определяются по индексу $k$. Такого рода базисы можно назвать beautiful-базисами (можно было бы перейти и к сокращенным названиям – n-базисы и b-базисы). Далеко не всякая nice-алгебра Ли имеет beautiful-базис – соответствующие примеры небольшой размерности будут приведены ниже.

В [2] было введено для множества $\mathcal B$ всех базисов в алгебре Ли $L$ естественное отношение эквивалентности: два базиса в $L$ называются эквивалентными, если существует такой автоморфизм алгебры Ли $L$, который элементы одного базиса переводит в векторы, пропорциональные элементам другого базиса. Имеет место такое простое, но полезное, свойство отношения эквивалентности базисов.

Ясно, что при переходе к эквивалентному базису свойство быть nice- и beautiful-базисами сохраняется. Понятно, что при этом векторы обоих базисов можно рассматривать с точностью до пропорциональности. Поэтому естественно вместо векторов базисов рассматривать содержащие их прямые. А потому естественно от рассмотрения алгебры Ли $L$ перейти к ее проективизации $P(L)$, элементами которой и являются прямые векторного пространства $L$. Базисам в $L$ соответствуют при таком переходе упорядоченные множества из $n$ точек общего положения в $P(L)$ (где $n=\dim L$). Такие множества в совокупности образуют то, что естественно рассматривать как проективизацию $P(\mathcal B)$ множества базисов $\mathcal B$. Ясно, что множество проективизаций всех базисов $P(\mathcal B)$ является открытым (в топологии Зарисского) подмножеством в прямом произведении $n$ экземпляров пространства $P(L)$.

На множестве $\mathcal B$ естественным образом действует группа $\operatorname{GL}(L)$ всех линейных преобразований алгебры Ли $L$ (рассматриваемой как векторное пространство). Это действие является просто транзитивным и потому $\mathcal B$ можно отождествить (хотя и многими разными способами) с группой $\operatorname{GL}(L)$ (и потому на $\mathcal B$ можно ввести структуру алгебраического множества, каковым является $\operatorname{GL}(L)$). Действие группы $\operatorname{GL}(L)$ на $L$ порождает естественное действие этой группы и на проективизации $P(L)$. Это действие будет, очевидно, алгебраическим и транзитивным, но уже не просто транзитивным. Стационарные подгруппы этого действия – это максимальные торы в $\operatorname{GL}(L)$. Далее, группа $\operatorname{Aut}(L)$ автоморфизмов алгебры Ли $L$, будучи подгруппой, причем алгебраической, в $\operatorname{GL}(L)$, порождает алгебраическое действие группы $\operatorname{Aut}(L)$ на $P(\mathcal B)$. Очевидно, что орбитам этого действия соответствуют классы эквивалентных (в определенном выше смысле) базисов в $L$. Орбиты алгебраического действия алгебраической группы, как известно, всегда открыты в своих замыканиях.

Перейдем теперь к рассмотрению множества nice-базисов $\mathcal {NB}$ в алгебре Ли $L$. Его проективизация $P(\mathcal {NB})$ – это подмножество в $P(\mathcal B)$. Покажем, что это подмножество алгебраично в $P(\mathcal B)$.

Доказательство. Каждый nice-базис задается набором $T$ некоторых троек индексов $(i,j,k)$, где $i,j,k \in [1,n]$, $n=\dim L$, для которых коммутаторы $[e_i,e_j]$ базисных элементов будут $\ne0 $ и коллинеарны базисным векторам $e_k$, причем индекс $k$ однозначно определяется парой $i$, $j$. Отметим, что индекс $k$ может при этом соответствовать нескольким различным парам индексов $i$, $j$ (которые в силу определения nice-базиса должны быть дизъюнктны). Получаем функцию $k = k(i,j)$, определенную на некотором множестве пар $(i,j)$. Для пар индексов $i$, $j$, не входящих в такие тройки, будет $[e_i,e_j]=0$. Ясно, что такого рода наборов троек конечное число. Выберем и зафиксируем одну тройку $T$ из них и выясним, как записываются условия, определяющие соответствующие nice-базисы.

Выберем и зафиксируем базис $\{ e_i \}$. Любой другой базис получается из него некоторым невырожденным линейным преобразованием $F$ алгебры Ли $L$. В исходном базисе это линейное преобразование задается невырожденной матрицей $[f_{ij}]$. При фиксированной тройке $T$ образ исходного базиса при преобразовании $F$ будет nice-базисом тогда и только тогда, когда векторы $[F(e_i), F(e_j)]$ будут коллинеарны векторам $F(e_k)$ (при $k=k(i,j)$) или же равны 0.

Имеем $[e_i, e_j] = c_{ij}^k e_k$, где $\{ c_{ij}^k\}$ – структурный тензор. А потому

$$ \begin{equation*} [F(e_i), F(e_j)] = f_i^p f_j^q c_{pq}^r e_r. \end{equation*} \notag $$

Далее, имеем разложение $F(e_k) = f_k^l e_l$. Условие пропорциональности векторов $[F(e_i), F(e_j)]$ и $F(e_k)$ записывается в виде пропорциональности их координат. В каждой из пропорций, домножая на знаменатели, получим равенство двух однородных кубических одночленов от элементов матрицы $F$. Условия же $[F(e_i),F(e_j)]=0$ записываются в виде однородных квадратичных уравнений. Тем самым, при фиксированной функции $k(i,j)$ мы получаем систему алгебраических уравнений вида, указанного в формулировке нашего предложения. Эта система задает в $\mathcal B$ некоторое алгебраическое подмножество.

Объединим теперь все такого рода алгебраические подмножества, полученные при всевозможных тройках $T$. В результате получим алгебраическое подмножество в $\operatorname{GL}(L)$. Так как все уравнения здесь однородны, то этому подмножеству соответствует алгебраическое подмножество $P(\mathcal {NB})$ в $P(\mathcal B)$, которое будет алгебраическим множеством.

Аналогичное утверждение верно, конечно, и для множества всех beautiful-базисов.

На подмножестве $P(\mathcal {NB})$, как и на всем $P(\mathcal B)$, действует алгебраическая подгруппа $\operatorname{Aut}(L) \subset \operatorname{GL}(L)$. Орбиты этого действия на $P(\mathcal {NB})$ – это в точности классы наборов точек, соответствующих эквивалентным между собой nice-базисам.

До сих пор наши рассмотрения носили весьма общий характер. В частности, они фактически применимы для любых конечномерных алгебр Ли над любыми полями. Но основной результат данной заметки носит более специальный характер.

Из теоремы 1, конечно, вытекает, что в нильпотентных алгебрах Ли число неэквивалентных beautiful-базисов тоже конечно.

Отметим, что на самом деле утверждение о счетности числа неэквивалентных nice-базисов в [2] можно перенести и на случай комплексных нильпотентных алгебр Ли (и также для алгебр Ли над некоторыми другими полями). И тогда утверждение теоремы 1 оказывается справедливым не только для случая алгебр Ли над $\mathbb R$. А вот над счетными полями (например, над полем рациональных чисел) использованный в этой теореме метод не срабатывает.

В связи с утверждением теоремы 1 естественно возникает вопрос о возможном количестве неэквивалентных nice-базисов в алгебрах Ли. Для нильпотентных алгебр Ли размерностей $\leqslant 7$ было установлено, что таких базисов может быть 0, 1 или 2. Причем для размерностей $\leqslant 5$ число таких базисов всегда равно 1, т.е. там nice-базисы для любой алгебры Ли всегда существуют и они между собой эквивалентны. Пример двух неэквивалентных nice-базисов в нильпотентной алгебре Ли размерности 6 приводится чуть ниже. Докажем, что с увеличением размерности алгебр Ли число неэквивалентных nice-базисов может оказаться сколь угодно большим. Поначалу приведем пример (следуя [2]) двух неэквивалентных nice-базисов в шестимерной нильпотентной алгебре Ли $L= n_3(k) \oplus n_3(k)$.

Для первого прямого слагаемого $n_3(k)$ алгебры Ли $L$ выберем такой базис $X$, $Y$, $Z$, что $[X,Y]=Z$. Ясно, что элемент $Z$ порождает одномерный центр алгебры Ли $n_3(k)$. Базис $X$, $Y$, $Z$ является, очевидно, nice-базисом (более того, он является и beautiful-базисом). Аналогично выберем базис $X'$, $Y'$, $Z'$ для второго прямого слагаемого $n_3(k)$. Объединив эти два базиса, получим базис $X$, $X'$, $Y$, $Y'$, $Z$, $Z'$ в $n_3(k) \oplus n_3(k)$, который, очевидно, является nice-базисом.

В качестве второго базиса возьмем векторы $U_1=X +X'$, $U_2=X-X'$, $U_3=Y +Y'$, $U_4=Y-Y'$, $U_5=Z +Z'$, $U_6=Z-Z'$. Здесь имеем такие коммутационные соотношения (мы не указываем тривиально нулевые, связанные с центром):

Ясно, что мы получили nice-базис. Докажем, что этот базис не эквивалентен первому. Для этого используем приведенную выше лемму 1. В рассматриваемом примере у первого базиса ненулевых коммутаторов элементов базиса два, а во втором – четыре и потому они не эквивалентны. Сформулируем теперь более общее утверждение.

Доказательство. При $p=1$ утверждение теоремы 2 уже было рассмотрено выше. В общем случае рассуждение практически такое же.

Через $\mathcal B$ обозначим первый из описанных выше базисов $X$, $Y$, $X'$, $Y'$, $Z$, $Z'$ в $n_3(k) \oplus n_3(k)$, а через $\mathcal B^*$ – второй базис $U_1=X +X'$, $U_2=X-X'$, $U_3=Y +Y'$, $U_4=Y-Y'$, $U_5=Z +Z'$, $U_6=Z-Z'$.

Построим теперь некоторые базисы в $\bigoplus_{k=1}^{k=2p}n_3(k)$. Через $\mathcal B_k$ обозначим базис, который состоит из упорядоченного объединения $k$ экземпляров базиса $\mathcal B$ и $p-k$ экземпляров базиса $\mathcal B^*$ (где $0 \leqslant k \leqslant p$). Получим $p+1$ базисов в $\bigoplus_{k=1}^{k=2p}n_3(k)$, причем очевидно, что все они являются nice-базисами.

Для того, чтобы убедиться, что построенные нами $p+1$ базисов неэквивалентны, снова применим лемму 1: для базиса $\mathcal B_k$ число ненулевых коммутаторов базисных элементов равно $2k+4(p-k) = 2(2p-k)$. В частности, при различных значениях $k$ эти числа различны, а потому построенные нами базисы $\mathcal B_k$ между собой не будут эквивалентны. Теорема доказана.

В частности, из доказанной теоремы 2 вытекает, что с ростом размерности нильпотентной алгебры Ли число неэквивалентных nice-базисов в ней может оказаться сколь угодно большим.

В этой заметке мы уделили особое внимание нильпотентным алгебрам Ли. Но понятие nice-базиса применимо к любым алгебрам Ли. В частности, ко всем разрешимым. Естественно возникает вопрос – а будет ли конечным число неэквивалентных nice-базисов для случая произвольных алгебр Ли или даже только для разрешимых.

Отметим, что во многих разрешимых, но ненильпотентных, алгебрах Ли nice-базисы существуют. Например, рассмотрим алгебру Ли $R=k+_\phi k^n$ – полупрямую сумму одномерной алгебры Ли и $n$-мерного абелева идеала, соответствующую гомоморфизму $\phi\colon k \to gl_n(k)$. Если матрица $\phi(1)$ полупроста, то, очевидно, разрешимая алгебра Ли $R$ имеет nice-базис (состоящий из образующей подалгебры $k$ и корневых векторов в $k^n$).

Рассмотрим сейчас один очень специальный случай – некоторые естественные базисы в простых алгебрах Ли. Как известно, в каждой такой алгебре Ли над алгебраически замкнутым полем имеется базис Шевалле, который, как известно, является очень естественным базисом. Но оказывается, что для этих алгебр Ли существование nice-базисов не гарантировано. Мы рассмотрим некоторые “естественные базисы” в комплексных алгебрах Ли и в расщепимых вещественных алгебрах Ли (отметим, что комплексные полупростые алгебры Ли всегда расщепимы). При изучении указанных простых алгебр Ли естественным образом возникают их базисы, состоящие из некоторых векторов $h_\alpha$ в картановской подалгебре и некоторых векторов $e_{\pm \alpha}$, лежащих в (одномерных) корневых подпространствах. Такие базисы будем называть корневыми. Среди таких базисов выделяются базисы Шевалле, для которых коммутаторы базисных векторов имеют особо простой вид. Ясно, что любой корневой базис эквивалентен базису Шевалле.

Отсюда видно, что кроме $A_1$, во всех случаях будет $N>l$ (учитывая указанные в таблице ограничения на значения ранга $l$). Но тогда некоторые коммутаторы базисных элементов не могут быть элементами базиса, так как векторы $[e_{\alpha}, e_{-\alpha}]$ будут линейно зависимы, но не пропорциональны один другому. Тем самым, nice-базис имеет только алгебра Ли $A_1=\operatorname{sl}_2(k)$. Теорема 3 доказана.

Если поле $k$ алгебраически замкнуто, то простая алгебра Ли $L$ расщепима и потому к ней применима теорема 3. Отметим, что и компактная алгебра Ли $su_2$ тоже имеет nice-базис (она в подходящем базисе задается соотношениями $[X,Y]=2Z$, $[Y,Z] = 2X$, $[Z,X] = 2Y$) и что для компактных простых алгебр Ли имеет место утверждение, аналогичное доказанному в теореме 3.

Для полупростых алгебр Ли над полем $k$ из этой теоремы 3 вытекает, что имеющие корневой nice-базис полупростые алгебры Ли (расщепимые) могут быть изоморфны только прямым суммам алгебр Ли $\operatorname{sl}_2(k)$. Так как корневые базисы в полупростых алгебрах Ли – это очень естественные базисы, то трудно предполагать, что какие-то другие базисы здесь окажутся nice-базисами.

Перейдем теперь к рассмотрению базисов комплексификаций и овеществления алгебр Ли.

Пусть $A$ – некоторая nice-алгебра над полем $k$. Через $K$ обозначим алгебраическое замыкание поля $k$. Для конкретности будем считать, что $k=\mathbb R$, тогда $K=\mathbb C$. Предположим, что алгебра $A$ имеет nice-базис $\{ e_k \}$. Тогда очевидно, что этот же базис будет и nice-базисом в комплексификации $A \otimes \mathbb C$. Далее, рассмотрим теперь комплексную nice-алгебру $W$ и ее овеществление $W_{\mathbb R}$ (т.е. алгебру $W$, рассматриваемую уже над полем $\mathbb R$). Если к nice-базису $\{ e_k \}$ алгебры $W$ мы добавим векторы $ie_k$ (где $i$ – мнимая единица), то мы, очевидно, получим nice-базис в $W_{\mathbb R}$. Но вот если мы будет рассматривать beautiful-базисы, то ситуация становится более сложной. Конечно, при комплексификации свойство иметь beautiful-базис алгебра сохраняет. Но вот для овеществления ситуация не столь простая. Дело в том, что при коммутировании, скажем, базисных векторов $ie_k$, $ie_l$ мы получим вектор $-[e_k,e_l]$, только знаком отличающийся от коммутатора $[e_k,e_l]$, что для beautiful-базисов недопустимо. В связи с этим обстоятельством рассмотрим теперь еще некоторые примеры алгебр Ли, которые по структуре близки к имеющим beautiful-базисы, но таковых не имеют. Речь пойдет об алгебрах Ли, которые являются “овеществлением” некоторых маломерных алгебр Ли, имеющих естественные beautiful-базисы.

Доказательство. Начнем с рассмотрения алгебры Ли $L=r_2(\mathbb C)$. Она в подходящем базисе $X$, $Y$ задается соотношением $[X,Y]=Y$ и потому этот базис $X$, $Y$ является beautiful-базисом. Докажем теперь, что эта алгебра Ли (имеющая вещественную размерность 4), рассматриваемая над полем $\mathbb R$, beautiful-базисов не имеет.

Предположим обратное, и пусть $X_1$, $X_2$, $X_3$, $X_4$ – некоторый beautiful-базис для алгебры Ли $r_2(\mathbb C)|_{\mathbb R}$. Проанализируем коммутаторы (их фактически имеется 6 штук) этих четырех базисных элементов. Так как, очевидно, коммутант вещественной алгебры Ли $r_2(\mathbb C)|_{\mathbb R}$ двумерен (его комплексная размерность равна 1), то если рассматриваемый базис является nice-базисом, то ровно два коммутатора четырех базисных элементов отличны от 0 и неколлинеарны. А потому оставшиеся четыре коммутатора должны равняться 0.

Перенумерацией базисных элементов можно добиться, чтобы отличными от 0 были бы коммутаторы $[X_1,X_2]$, $[X_3,X_4]$ или же $[X_1,X_2]$, $[X_2,X_3]$. Рассмотрим эти оба варианта.

Если коммутаторы $[X_1,X_2]$, $[X_3,X_4]$ отличны от 0, то коммутаторы $[X_1,X_3]$, $[X_1,X_4]$, $[X_2,X_3]$, $[X_2, X_4]$ должны быть равны 0. В частности, это означает, что централизатор элемента $X_1$ имеет вещественную размерность $\geqslant 3$ (ибо он содержит $X_1$, $X_3$, $X_4$). Отметим, что сам централизатор элемента алгебры Ли не зависит от того, над каким полем эта алгебра Ли рассматривается (хотя, конечно, размерность этого централизатора зависит от поля очевидным образом). Комплексная же размерность этого централизатора, как легко понять, равна 1 (а вещественная равна 2). Получаем противоречие.

Если же $[X_1,X_2]$, $[X_2,X_3]$ отличны от 0, то и здесь централизатор элемента $X_1$ порожден как векторное пространство самим этим $X_1$ и еще элементами $X_3$, $X_4$. Опять получаем, что размерность этого централизатора равна 3 (размерности 4 он по очевидной причине быть не может), что невозможно (по причине, уже указанной выше). Тем самым доказано, что вещественная алгебра Ли $r_2(\mathbb C)|_{\mathbb R}$ не имеет nice-базиса (хотя как комплексная алгебра Ли она его имеет).

Переходим к рассмотрению алгебры Ли $n_3(\mathbb C)|_{\mathbb R}$ – это вещественная нильпотентная алгебра Ли размерности 6. Ясно, что размерность (вещественная) ее коммутанта равна 2. Поэтому сейчас мы применим примерно то же рассуждение, что выше для алгебры Ли $r_2|_{\mathbb R}$.

Предположим, что алгебра Ли $n_3(\mathbb C)|_{\mathbb R}$ (нильпотентная, с двумерным коммутантом, совпадающим с центром) имеет beautiul-базис $X_1$, $X_2$, $X_3$, $X_4$, $X_5$, $X_6$.

Для этих шести векторов имеется 15 коммутантов, причем только два из них – дающие базис двумерного коммутанта алгебры Ли $n_3(\mathbb C)|_{\mathbb R}$ – отличны от 0. Поэтому остальные 13 коммутантов – нулевые. Перенумеровав при необходимости базисные элементы, мы можем, как и выше, считать что отличны от 0 только $[X_1,X_2]$, $[X_3,X_4]$ или же $[X_1,X_2]$, $[X_2,X_3]$. Рассмотрим обе эти возможности.

Пусть вначале $[X_1,X_2]$, $[X_3,X_4]$ отличны от 0. Но тогда централизатор элемента $X_1$ содержит векторы $X_1$, $X_3$, $X_4$, $X_5$, $X_6$ и потому его размерность $\geqslant 5$. Однако централизатор любого элемента алгебры Ли $n_3(\mathbb C)$ имеет, как нетрудно понять, комплексную размерность 2 или 3 (последнее – если берется централизатор центрального элемента, каковым $X_1$ не является). Поэтому вещественную размерность 5 такой централизатор иметь не может.

Пусть теперь $[X_1,X_2]$, $[X_2,X_3]$ отличны от 0, в все остальные коммутаторы – нулевые. Но тогда центр алгебры Ли $n_3(\mathbb C)|_{\mathbb R}$ содержит векторы $X_4$, $X_5$, $X_6$ и потому не менее чем трехмерен, что, очевидно, неверно. Полученное противоречие показывает, что и для второй из рассматриваемых в данном предложении алгебр Ли beautiful-базисов не существует.

Рассмотрим теперь алгебру Ли $\operatorname{sl}_2(\mathbb C)$ и ее овеществление $\operatorname{sl}_2(\mathbb C)|_{\mathbb R}$. Алгебра Ли $\operatorname{sl}_2(\mathbb C)$ имеет nice-базис (и даже beautiful-базис), ее овеществление – тоже. Покажем, что это овеществление beautiful-базиса не имеет. Предположим обратное и рассмотрим некоторый beautiful-базис $X_1$, $X_2$, $X_3$, $X_4$, $X_5$, $X_6$. Так как алгебра Ли $\operatorname{sl}_2(\mathbb C)$ совпадает со своим коммутантом, то и ее овеществление – тоже. Но тогда равно шесть коммутаторов базисных элементов должны быть отличны от 0, а потому из общего числа пятнадцати коммутаторов (из каждой пары базисных векторов мы берем только одну) равных 0 будет девять. Но это означает, что хотя бы один из шести базисных векторов перестановочен не менее чем с двумя другими базисными векторами. Другими словами, централизатор этого базисного вектора имеет размерность $\geqslant 3$ (один исходный и еще два других из числа девяти). А так как на самом деле рассматриваемая нами простая алгебра Ли имеет комплексную структуру, то это размерность $\geqslant 4$. С другой стороны, в алгебре Ли $\operatorname{sl}_2(\mathbb C)$ централизатор любого элемента одномерен: если это не так, то в $\operatorname{sl}_2(\mathbb C)$ существовала бы двумерная абелева подалгебра Ли, что, как известно, неверно. Полученное противоречие доказывает, что наше предположение о существовании в $\operatorname{sl}_2(\mathbb C)|_{\mathbb R}$ beautiful-базиса неверно. Это завершает доказательство теоремы 4.

На самом деле можно доказать, что не только для простой алгебры Ли $\operatorname{sl}_2(\mathbb C)$ ее овеществление не имеет beautiful-базисов, но это верно и для любых комплексных полупростых алгебр Ли. Но это требует применения более тонких методов и здесь поэтому не рассматривается.

Следующий возможный шаг в данной тематике – это рассмотрение эквивалентных nice- и beautiful-базисов в других классах конечномерных алгебр. Конечность числа неэквивалентных nice-базисов во многих случаях представляется имеющей место, но это требует специального изучения.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ