| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Смешанная задача для одного класса нелинейных гиперболических систем второго порядка с граничными условиями Дирихле и Пуанкаре О. М. Джохадзеab, С. С. Харибегашвилиbc, Н. Н. Шавлакадзеb a Тбилисский государственный университет им. Ив. Джавахишвили, Грузия b Математический институт им. А. М. Размадзе Тбилисского государственного университета, Грузия c Грузинский технический университет, г. Тбилиси
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S000143462311010X 
Реферативные базы данных:
  1. Постановка задачиВ плоскости независимых переменных $x$ и $t$ в области $D_T\colon 0<x<l$, $0<t<T$ рассмотрим смешанную задачу определения решения $u(x,t)$ нелинейной гиперболической системы второго порядка вида
$$
\begin{equation}
u_{tt}-u_{xx}+Au_x+Bu_t+Cu+f(u)=F(x,t),\qquad (x,t)\in D_T,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
удовлетворяющего следующим начальным
$$
\begin{equation}
u(x,0)=\varphi(x),\quad u_t(x,0)=\psi(x),\qquad 0\leqslant x\leqslant l,
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
и краевым условиям
$$
\begin{equation}
Mu_x(0,t)+Nu_t(0,t)+Su(0,t)=\mu_1(t),\qquad 0\leqslant t\leqslant T,
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
где $A,B,C,M,N$ и $S$ – заданные постоянные квадратные матрицы порядка $n$; $F=(F_1,\dots,F_n)$, $f=(f_1,\dots,f_n)$, $\varphi=(\varphi_1,\dots,\varphi_n)$, $\psi=(\psi_1,\dots,\psi_n)$, $\mu_i=(\mu_{i1},\dots,\mu_{in})$, $i=1,2$, – заданные, а $u=(u_1,\dots,u_n)$ – искомая действительные вектор-функции, $n\geqslant 2$. Пусть выполнены условия гладкости
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, F\in C^1(\overline D_T),\qquad \varphi \in C^2([0,l]),\qquad \psi\in C^1([0,l]),\qquad f\in C^1(\mathbb R^n), \\ \mu_1\in C^1([0,T]),\qquad \mu_2\in C^2([0,T]). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
Предполагается, что в точках $(0,0)$ и $(l,0)$ выполнены условия согласования второго порядка:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, M\varphi'(0)+N\psi(0)+S\varphi(0)=\mu_1(0), \\ \varphi(l)=\mu_2(0),\qquad\psi(l)=\mu_2'(0), \\ \mu_2''(0)-\varphi''(l)+A\varphi'(l)+B\mu_2'(0) +C\varphi (l)+f[\mu_2(0)]=F(l,0). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
Отметим, что смешанные задачи для гиперболических систем с одной пространственной переменной были предметом исследований в работах [1]–[4] методом характеристик, а для гиперболических систем второго порядка в многомерном случае методом энергетических оценок – в [5]–[8] (см. также литературу, цитированную в этих работах). В настоящей работе при исследовании задачи (1.1)–(1.4) предлагается другой подход, использующий представления решения задач Коши, Гурса и Дарбу в разных частях рассматриваемой области. Работа организована следующим образом. Во втором разделе выделены случаи, когда дается представление решения задачи (1.1)–(1.4) в явном виде, а в общем случае – редукция этой задачи к системе нелинейных интегральных уравнений типа Вольтерра. В третьем разделе получена априорная оценка и существование решения задачи (1.1)–(1.4), наконец в четвертом разделе доказана единственность решения. 2. Случаи представления в явном виде решения задачи (1.1)–(1.4) и ее редукция к системе нелинейных интегральных уравнений типа ВольтерраНиже, для простоты изложения рассмотрим случай, когда $T=l$. Покажем, что классическое решение $u\in C^2(\overline D_l)$ задачи (1.1)–(1.4) однозначно и конструктивно определяется в области $D_l$, являющейся квадратом с вершинами в точках $O(0,0)$, $A(0,l)$, $B(l,l)$ и $C(l,0)$. Разобъем область $D_l$ на четыре прямоугольных треугольника $\Delta_1:=\Delta OO_1C$, $\Delta_2:=\Delta OO_1A$, $\Delta_3:=\Delta CO_1B$ и $\Delta_4:=\Delta AO_1B$, где точка $O_1(l/2,l/2)$ – центр квадрата $D_l$. Сначала рассмотрим линейный случай, т.е. когда в системе (1.1) $f=0$ и перейдем к характеристическим переменным Легко видеть, что вектор-функция удовлетворяет системе Здесь
$$
\begin{equation}
2A_1:=B+A,\qquad 2B_1:=B-A,\qquad C_1:=C,\qquad F_1(\xi,\eta):=F(\xi-\eta,\xi+\eta).
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
При преобразовании (2.1) область $D_l$ перейдет в квадрат $D'_l$ плоскости $O_{\xi\eta}$ с вершинами в точках: $O:=(0,0)$, $A':=(l/2,l/2)$, $B':=(l,0)$, $C':=(l/2,-l/2)$. Для получения явного представления классического решения задачи (1.1)–(1.4) в области $D_l$ ниже будем предполагать, что
$$
\begin{equation}
4C=B^2-BA+AB-A^2\quad\Longleftrightarrow\quad C_1=A_1B_1,
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
т.е. когда соответствующий инвариант Лапласа равен нулю (см., например, [9], [10]). При выполнении условия (2.5) система (2.3) перепишется в виде
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{\partial}{\partial\eta}+A_1\biggr) \biggl(\frac{\partial}{\partial\xi}+B_1\biggr)v=F_1.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Легко видеть, что в силу (2.6) вектор-функция удовлетворяет системеСначала получим явное представление классического решения задачи (1.1)–(1.4) в области $\Delta_1$. С этой целью перепишем условия Коши (1.2) в характеристических переменных (2.1):
$$
\begin{equation}
v(\xi,-\xi) =\varphi(2\xi), \qquad 0 \leqslant\xi\leqslant\frac{l}{2}\,,
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
$$
\begin{equation}
v_\xi(\xi,-\xi)+v_\eta(\xi,-\xi) =2\psi(2\xi), \qquad 0 \leqslant\xi\leqslant\frac{l}{2}\,.
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Дифференцируя равенство (2.9) по переменному $\xi$, будем иметь
$$
\begin{equation}
v_\xi(\xi,-\xi)-v_\eta(\xi,-\xi)=2\varphi'(2\xi),\qquad 0\leqslant\xi\leqslant\frac{l}{2}\,.
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
$$
\begin{equation}
v_\xi(\xi,-\xi)=\varphi'(2\xi)+\psi(2\xi),\qquad 0\leqslant\xi\leqslant\frac{l}{2}\,.
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Легко видеть, что в силу (2.9) и (2.12) вектор-функция $w$ из (2.7) удовлетворяет следующему начальному условию Коши:
$$
\begin{equation}
w|_{\eta=-\xi}=\varphi'(2\xi)+\psi(2\xi)+B_1\varphi(2\xi),\qquad 0\leqslant\xi\leqslant\frac{l}{2}\,,
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
где переменную $\xi$ следует рассматривать в качестве параметра. Матрица Коши для системы (2.8) имеет вид (см., например, [11], [12]) и в соответствии с этим единственное решение задачи Коши (2.8), (2.13) дается равенством
$$
\begin{equation}
w(\xi,\eta) =\exp[-A_1(\xi+\eta)][\varphi'(2\xi)+\psi(2\xi)+B_1\varphi(2\xi)] +\int_{-\xi}^\eta\exp[A_1(\zeta-\eta)]F_1(\xi,\zeta)\,d\zeta.
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
С целью нахождения решения системы (2.7) относительно вектор-функции $v$ по условию Коши (2.9) перепишем последнее в виде
$$
\begin{equation}
v|_{\xi=-\eta}=\varphi(-2\eta),\qquad -\frac{l}{2}\leqslant\eta\leqslant 0.
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
Аналогично (2.14) матрица Коши для системы имеет вид и, следовательно, единственное решение задачи Коши (2.17), (2.16) с учетом (2.15) представимо формулой
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, v(\xi,\eta) &=\exp[-B_1(\xi+\eta)]\varphi(-2\eta) +\int_{-\eta}^\xi\exp[B_1(\theta-\xi)]w(\theta,\eta)\,d\theta \nonumber \\ &=\frac{1}{2}\bigl\{\exp[-B_1(\xi+\eta)]\varphi(-2\eta) +\exp[-A_1(\xi+\eta)]\varphi(2\xi)\bigr\} \nonumber \\ &\qquad{}+\exp[-(A_1\eta+B_1\xi)] \biggl\{\int_{-\eta}^\xi\exp[(B_1-A_1)\theta] \biggl[\psi(2\theta)+\frac{A_1+B_1}{2}\,\varphi(2\theta)\biggr]\,d\theta \nonumber \\ &\qquad\qquad{}+\int_{-\eta}^\xi\exp(B_1\theta)\,d\theta \int_{-\theta}^\eta\exp(A_1\zeta)F_1(\theta,\zeta)\,d\zeta\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
Окончательно, возвращаясь к исходным переменным $x$ и $t$, с учетом равенств (2.1), (2.2) и (2.4) получаем, что решение задачи Коши (1.1), (1.2) в области $\Delta_1$ имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u(x,t) &=\frac{1}{2}\exp\biggl(-\frac{Bt}{2}\biggr) \biggl\{\exp\biggl(\frac{At}{2}\biggr)\varphi(x-t) +\exp\biggl(-\frac{At}{2}\biggr)\varphi(x+t)\biggr\} \nonumber \\ &\qquad{}+\frac{1}{2}\exp\biggl(\frac{Ax-Bt}{2}\biggr) \biggl\{\int_{x-t}^{x+t}\exp\biggl(-\frac{A\xi}{2}\biggr) \biggl[\psi(\xi)+\frac{B}{2}\,\varphi(\xi)\biggr]\,d\xi \nonumber \\ &\qquad\qquad{}+\int_0^t\,d\eta\int_{x-t+\eta}^{x+t-\eta} \exp\biggl(\frac{B\eta-A\xi}{2}\biggr)F(\xi,\eta)\,d\xi\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
Из приведенных выше рассуждений следует, что классическое решение задачи (1.1)–(1.4) единственным образом определяется в треугольной области $\Delta_1$ и дается формулой (2.20). В силу (2.20) простые выкладки дают, что
$$
\begin{equation}
\chi_1(t) :=u|_{x=t}=\frac{1}{2}\exp\biggl(-\frac{Bt}{2}\biggr) \biggl\{\exp\biggl(\frac{At}{2}\biggr)\varphi(0) +\exp\biggl(-\frac{At}{2}\biggr)\varphi(2t)\biggr\} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad{}+\frac{1}{2}\exp\biggl(\frac{A-B}{2}t\biggr) \biggl\{\int_0^{2t}\exp\biggl(-\frac{A\xi}{2}\biggr) \biggl[\psi(\xi)+\frac{B}{2}\,\varphi(\xi)\biggr]\,d\xi \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad{}+\int_0^t\,d\eta\int_\eta^{2t-\eta} \exp\biggl(\frac{B\eta-A\xi}{2}\biggr)F(\xi,\eta)\,d\xi\biggr\},\qquad 0\leqslant t\leqslant\frac{l}{2}\,,
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
$$
\begin{equation}
\chi_2(t) :=u|_{x=l-t}=\frac{1}{2}\exp\biggl(-\frac{Bt}{2}\biggr) \biggl\{\exp\biggl(\frac{At}{2}\biggr)\varphi(l-2t) +\exp\biggl(-\frac{At}{2}\biggr)\varphi(l)\biggr\} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad{}+\frac{1}{2}\exp\biggl(\frac{-At-Bt+Al}{2}\biggr) \biggl\{\int_{l-2t}^l\exp\biggl(-\frac{A\xi}{2}\biggr) \biggl[\psi(\xi)+\frac{B}{2}\,\varphi(\xi)\biggr]\,d\xi \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad{}+\int_0^t\,d\eta\int_{l-2t+\eta}^{l-\eta} \exp\biggl(\frac{B\eta-A\xi}{2}\biggr)F(\xi,\eta)\,d\xi\biggr\},\qquad 0\leqslant t\leqslant\frac{l}{2}\,.
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
Теперь получим явное представление классического решения задачи (1.1)–(1.4) в области $\Delta_2$. При преобразовании (2.1) область $\Delta_2$ перейдет в треугольную область $\Delta'_2:=\Delta OO_1'A'$ плоскости $O_{\xi\eta}$, где $O'_1:=(l/2,0)$, $A':=(l/2,l/2)$. Легко видеть, что вектор-функция $v$ в области $\Delta'_2$ является решением системы (2.3) со следующими краевыми условиями:
$$
\begin{equation}
v|_{\eta=0}=\chi_1(\xi),\qquad 0\leqslant\xi\leqslant\frac{l}{2}\,,
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
$$
\begin{equation}
\bigl[(N+M)v_\xi+(N-M)v_\eta+Sv\bigr]|_{\xi=\eta}=2\mu_1(2\eta),\qquad 0\leqslant\eta\leqslant\frac{l}{2}\,,
\end{equation}
\tag{2.24}
$$
где $\chi_1$ дается формулой (2.21), а $\mu_1$ фигурирует в правой части граничного условия (1.3). Очевидно, что вектор-функция $w$ из (2.7) в силу (2.23) удовлетворяет следующему начальному условию Коши:
$$
\begin{equation}
w|_{\eta=0}=\chi_1'(\xi)+B_1\chi_1(\xi),\qquad 0\leqslant\xi\leqslant\frac{l}{2}\,.
\end{equation}
\tag{2.25}
$$
Единственное решение задачи Коши (2.8), (2.25) в силу (2.14) аналогично (2.15) дается формулой
$$
\begin{equation}
w(\xi,\eta)=\exp(-A_1\eta)[\chi_1'(\xi)+B_1\chi_1(\xi)] +\int_0^\eta\exp[A_1(\zeta-\eta)]F_1(\xi,\zeta)\,d\zeta.
\end{equation}
\tag{2.26}
$$
Вводя обозначение (см., например, [13])
$$
\begin{equation}
\alpha(\eta):=v|_{\xi=\eta},\qquad 0\leqslant\eta\leqslant\frac{l}{2}\,,
\end{equation}
\tag{2.27}
$$
решение $v$ уравнения (2.17) в силу (2.18) аналогично (2.19) можно записать в виде
$$
\begin{equation}
v(\xi,\eta)=\exp[B_1(\eta-\xi)]\alpha (\eta) +\int_\eta^\xi\exp[B_1(\theta-\xi)]w(\theta,\eta)\,d\theta.
\end{equation}
\tag{2.28}
$$
С целью нахождения неизвестной вектор-функции $\alpha$ сначала найдем частные производные вектор-функции $v$ из (2.28) по переменным $\xi$ и $\eta$. В результате получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, v_\xi &=-\exp[B_1(\eta-\xi)]B_1\alpha(\eta)+w(\xi,\eta) -\int_\eta^\xi\exp[B_1(\theta-\xi)]B_1w(\theta,\eta)\,d\theta, \\ v_\eta &=\exp[B_1(\eta-\xi)]B_1\alpha(\eta)+\exp[B_1(\eta-\xi)]\alpha'(\eta) \\ &\qquad{}-\exp[B_1(\eta-\xi)]w(\eta,\eta) +\int_\eta^\xi\exp[B_1(\theta-\xi)]w(\theta,\eta)\,d\theta. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, v_\xi| _{\xi=\eta} &=-B_1\alpha(\eta)+w(\eta,\eta), \\ v_\eta|_{\xi=\eta} &=\alpha'(\eta)+B_1\alpha(\eta)-w(\eta,\eta). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя полученные выражения для $v_\xi$ и $v_\eta$ при $\xi=\eta$ в граничное условие (2.24), получим
$$
\begin{equation}
(N-M)\alpha'(\eta)+(S-2MB_1)\alpha(\eta)=2\mu_1(2\eta)-2Mw(\eta,\eta),\qquad 0\leqslant\eta\leqslant\frac{l}{2}\,.
\end{equation}
\tag{2.29}
$$
Ниже будем считать, что С учетом (2.30) равенство (2.29) перепишется следующим образом:
$$
\begin{equation}
\alpha'(\eta)+\widetilde\Lambda\alpha(\eta)=w_1(\eta),\qquad 0\leqslant\eta\leqslant\frac{l}{2}\,,
\end{equation}
\tag{2.31}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \widetilde\Lambda :=(N-M)^{-1}(S-2MB_1), \\ w_1(\eta) :=2(N-M)^{-1}[\mu_1(2\eta)-Mw(\eta,\eta)],\qquad 0\leqslant\eta\leqslant\frac{l}{2}\,. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.32}
$$
Отметим, что в силу (1.2), (2.2) и (2.27) вектор-функция $\alpha$, которая является решением системы (2.31), удовлетворяет условию Коши Единственное решение задачи Коши (2.31), (2.33) в силу (2.14) аналогично (2.15) дается формулой
$$
\begin{equation}
\alpha(\eta)=\exp(-\widetilde\Lambda\eta)\varphi(0) +\int_0^\eta\exp[\widetilde\Lambda(\zeta-\eta)]w_1(\zeta)d\zeta,\qquad 0\leqslant\eta\leqslant\frac{l}{2}\,.
\end{equation}
\tag{2.34}
$$
Следовательно, при выполнении условия (2.30), принимая во внимание выражения (2.26), (2.28), (2.32) и (2.34), единственное классическое решение задачи (2.3), (2.23), (2.24) в случае (2.5) в области $\Delta'_2$ представимо в квадратурах формулой
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, v(\xi,\eta) &=\exp[(B_1-\widetilde\Lambda)\eta-B_1\xi] \biggl\{\varphi(0) +2(N-M)^{-1}\int_0^\eta\exp(\widetilde\Lambda\theta)\mu_1(2\theta)\,d\theta \nonumber \\ &\qquad\qquad{}-2(N-M)^{-1}M\int_0^\eta\exp[(\widetilde\Lambda-A_1) \theta][\chi_1'(\theta)+B_1\chi_1(\theta)]\,d\theta \nonumber \\ &\qquad\qquad{}-2(N-M)^{-1}M\int_0^\eta\exp[(\widetilde\Lambda-A_1)\theta]\,d\theta \int_0^\theta\exp(A_1\zeta)F_1(\theta,\zeta)\,d\zeta\biggr\} \nonumber \\ &\qquad{}+\exp[-(B_1\xi+A_1\eta)] \biggl\{\int_\eta^\xi\exp(B_1\theta)[\chi_1'(\theta)+B_1\chi_1(\theta)]\,d\theta \nonumber \\ &\qquad\qquad{}+\int_\eta^\xi\exp(B_1\theta)\,d\theta \int_0^\eta\exp(A_1\zeta)F_1(\theta,\zeta)\,d\zeta\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.35}
$$
Подобными рассуждениями можно получить явное представление классического решения задачи (1.1)–(1.4) в области $\Delta_3$. Действительно, при преобразовании (2.1) область $\Delta_3$ перейдет в треугольную область $\Delta'_3:=C'O'_1B'$ плоскости $O_{\xi\eta}$, где $C':=(l/2,-l/2)$, $B':=(l,0)$. Легко видеть, что вектор-функция $v$ в области $\Delta'_3$ является решением системы (2.3) со следующими краевыми условиями:
$$
\begin{equation}
v|_{\xi=l/2} =\chi_2\biggl(\eta+\frac{l}{2}\biggr), \qquad -\frac{l}{2} \leqslant\eta\leqslant 0,
\end{equation}
\tag{2.36}
$$
$$
\begin{equation}
v|_{\eta=\xi-l} =\mu_2(2\xi-l), \qquad \frac{l}{2} \leqslant\xi\leqslant l,
\end{equation}
\tag{2.37}
$$
где $\chi_2$ дается формулой (2.22), а $\mu_2$ фигурирует в правой части граничного условия (1.4). Вводя обозначение
$$
\begin{equation}
\beta (\xi):=w|_{\eta=\xi-l},\qquad \frac{l}{2}\leqslant\xi\leqslant l,
\end{equation}
\tag{2.38}
$$
решение $w$ системы (2.8) в силу (2.14) аналогично (2.15) можно записать в виде
$$
\begin{equation}
w(\xi,\eta)=\exp[A_1(\xi-\eta-l)]\beta (\xi) +\int_{\xi-l}^\eta\exp[A_1(\zeta-\eta)]F_1(\xi,\zeta)\,d\zeta.
\end{equation}
\tag{2.39}
$$
Единственное решение задачи Коши (2.17), (2.36) в силу (2.18) аналогично (2.28) дается формулой
$$
\begin{equation*}
v(\xi,\eta)=\exp\biggl[B_1\biggl(\frac{l}{2}-\xi\biggr)\biggr] \chi_2\biggl(\eta+\frac{l}{2}\biggr) +\int_{l/2}^\xi\exp[B_1(\theta-\xi)]w(\theta,\eta)\,d\theta.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда с учетом (2.39) для функции $v$ получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, v(\xi,\eta) &=\exp(-B_1\xi)\biggl\{\exp\biggl(\frac{B_1l}{2}\biggr) \chi_2\biggl(\eta+\frac{l}{2}\biggr) \nonumber \\ &\qquad{}+\exp[-A_1(\eta+l)] \int_{l/2}^\xi\exp[(A_1+B_1)\theta]\beta(\theta)\,d\theta \nonumber \\ &\qquad{}+\exp(-A_1\eta)\int_{l/2}^\xi\exp(B_1\theta)\,d\theta \int_{\theta-l}^\eta\exp(A_1\zeta)F_1(\theta,\zeta)\,d\zeta\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.40}
$$
Подставляя полученное выражение для функций $v$ из (2.40) в граничное условие (2.37), будем иметь
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{l/2}^\xi\exp[(A_1+B_1)\theta]\beta(\theta)\,d\theta \nonumber \\ &\qquad=\exp[(A_1+B_1)\xi]\mu_2(2\xi-l) -\exp\biggl(A_1\xi+\frac{B_1l}{2}\biggr)\chi_2\biggl(\xi-\frac{l}{2}\biggr) \nonumber \\ &\qquad\qquad{}-\exp(A_1l)\int_{l/2}^\xi\exp(B_1\theta)\,d\theta \int_{\theta-l}^{\xi-l}\exp(A_1\zeta)F_1(\theta,\zeta)\,d\zeta,\qquad \frac{l}{2}\leqslant\xi\leqslant l. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.41}
$$
Окончательно, учитывая (2.40) и (2.41), решение задачи (2.3), (2.36), (2.37) в области $\Delta'_3$ можно представить в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, v(\xi,\eta) &=\exp\biggl[B_1\biggl(\frac{l}{2}-\xi\biggr)\biggr] \chi_2\biggl(\eta+\frac{l}{2}\biggr)+\exp[A_1(\xi-\eta-l)]\mu_2(2\xi-l) \nonumber \\ &\qquad{}-\exp\biggl[B_1\biggl(\frac{l}{2}-\xi\biggr) +A_1(\xi-\eta-l)\biggr]\chi_2\biggl(\xi-\frac{l}{2}\biggr) \nonumber \\ &\qquad{}+\exp(-A_1\eta-B_1\xi)\int_{l/2}^\xi\exp(B_1\theta)\,d\theta \int_{\xi-l}^\eta\exp(A_1\zeta)F_1(\theta,\zeta)\,d\zeta. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.42}
$$
Наконец получим явное представление классического решения задачи (1.1)–(1.4) в области $\Delta_4$. При преобразовании (2.1) область $\Delta_4$ перейдет в треугольную область $\Delta'_4:=A'O'_1B'$ плоскости $O_{\xi\eta}$, где $A':=(l/2,l/2)$, $B':=(l,0)$. Легко видеть, что вектор-функция $v$ в области $\Delta'_4$ является решением системы (2.3) со следующими характеристическими условиями Гурса:
$$
\begin{equation}
v|_{O'_1A'} =\chi_3(\eta):=v|_{\xi=l/2}, \qquad 0 \leqslant\eta\leqslant\frac{l}{2}\,,
\end{equation}
\tag{2.43}
$$
$$
\begin{equation}
v|_{O'_1B'} =\chi_4(\xi):=v|_{\eta=0}, \qquad \frac{l}{2} \leqslant\xi\leqslant l,
\end{equation}
\tag{2.44}
$$
где $v|_{\xi=l/2}$ и $v|_{\eta=0}$ вычисляются по формулам (2.35) и (2.42), соответственно. Очевидно, что вектор-функция $w$ из (2.7) в силу (2.44) удовлетворяет следующему начальному условию Коши:
$$
\begin{equation}
w|_{\eta=0}=\chi_4'(\xi)+B_1\chi_4(\xi),\qquad \frac{l}{2}\leqslant\xi\leqslant l.
\end{equation}
\tag{2.45}
$$
Единственное решение задачи Коши (2.8), (2.45) в силу (2.14) аналогично (2.15) дается формулой
$$
\begin{equation}
w(\xi,\eta)=\exp(-A_1\eta)[\chi_4'(\xi)+B_1\chi_4(\xi)] +\int_0^\eta\exp[A_1(\zeta-\eta)]F_1(\xi,\zeta)\,d\zeta.
\end{equation}
\tag{2.46}
$$
Таким же образом единственное решение задачи Коши (2.17), (2.43) в силу (2.18) дается формулой
$$
\begin{equation*}
v(\xi,\eta)=\exp\biggl[B_1\biggl(\frac{l}{2}-\xi\biggr)\biggr]\chi_4(\eta) +\int_{l/2}^\xi\exp[B_1(\theta-\xi)]w(\theta,\eta)\,d\theta.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда с учетом (2.46) для функции $v$ в области $\Delta_4'$ получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, v(\xi,\eta) &=\exp(-B_1\xi)\biggl\{\exp\biggl(\frac{B_1l}{2}\biggr)\chi_3(\eta) +\exp(-A_1\eta)\biggl[\exp(B_1\xi)\chi_4(\xi) \nonumber \\ &\qquad{}-\exp\biggl(\frac{B_1l}{2}\biggr)\chi_4\biggl(\frac{l}{2}\biggr) +\int_{l/2}^\xi\exp(B_1\theta)\,d\theta \int_\theta^\eta\exp(A_1\zeta)F_1(\theta,\zeta)\,d\zeta\biggr]\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.47}
$$
Замечание 2.1. Аналогичным образом можно рассмотреть случай, когда вместо условия (2.5) имеет место равенство Таким образом справедлива Теорема 2.1. Пусть выполнены условия гладкости (1.5), согласования второго порядка (1.6), матричное равенство (2.5) и условие (2.30). Тогда существует единственное классическое решение $u\in C^2(\overline D_l)$ задачи (1.1)–(1.4), которое можно представить в виде Замечание 2.2. Легко видеть, что в случае $(x,t)\in\Delta_1$ согласно (2.20) операторы $K$ и $K_1$ действуют по формулам Из (2.49) следует, что оператор $K$ при $(x,t)\in\Delta_1$ является линейным интегральным оператором типа Волтерра по переменной $t$. Если проследить формулы (2.35), (2.42) и (2.47), то можно убедится, что и в случае $(x,t)\in\Delta_i$, $i=2,3,4,$ оператор $K$ также является линейным интегральным оператором типа Волтерра по переменной $t$. Рассмотрим теперь случай, когда выполнение условия (2.5) не требуется. Перепишем систему (2.3) следующим образом:
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{\partial}{\partial\eta}+A_1\biggr) \biggl(\frac{\partial}{\partial\xi}+B_1\biggr)v =(A_1B_1-C_1)v+F_1,
\end{equation}
\tag{2.50}
$$
которое в переменных $x$, $t$ принимает вид
$$
\begin{equation}
u_{tt}-u_{xx}+Au_x+Bu_t+\widetilde Cu=\widetilde C_1u+F,
\end{equation}
\tag{2.51}
$$
где
$$
\begin{equation*}
4\widetilde C:=B^2-BA+BA-A^2,\qquad \widetilde C_1:=\widetilde C-C.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку для левой части системы (2.51) выполнено условие (2.5), в силу замечания 2.1 и вида системы (2.50) для классического решения $u\in C^2(\overline D_l)$ задачи (1.1)–(1.4) в случае его существования согласно представлению (2.48) имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
u=K(\widetilde C_1u+F)+K_1(\varphi,\psi,\mu_1,\mu_2),
\end{equation*}
\notag
$$
которое в силу линейности оператора $K$ можно переписать в виде
$$
\begin{equation}
u=(K\widetilde C_1)u+KF+K_1(\varphi,\psi,\mu_1,\mu_2).
\end{equation}
\tag{2.52}
$$
Так как (2.52) является системой линейных интегральных уравнений типа Вольтерра по переменной $t$ относительно вектор-функции $u$, согласно известной схеме существует единственное непрерывное в $\overline D_l$ решение этой системы, которое можно получить методом последовательных приближений Пикара. Замечание 2.3. То, что непрерывное решение $u=u(x,t)$ системы (2.52) принадлежит классу $C^2$ легко видеть например в случае $(x,t)\in\overline\Delta_1$. Действительно, в силу (2.49) оператор $K\widetilde C_1$ из (2.52) переводит пространство $C^k(\overline\Delta_1)$ в пространство $C^{k+1}(\overline\Delta_1)$, $k\geqslant0$, причем оператор Замечание 2.4. Рассуждения, приведенные в замечании 2.3, при выполнении условий гладкости (1.5) и согласования второго порядка (1.6) показывают, что оператор Таким образом справедлива Теорема 2.2. Пусть выполнены условия (1.5), (1.6) и (2.30). Тогда существует единственное классическое решение $u\in C^2(\overline D_l)$ задачи (1.1)–(1.4), которое можно получить из системы (2.52) методом последовательных приближений Пикара. Замечание 2.5. Принимая во внимание (2.30) и (2.52) из приведенных выше рассуждений следует, что классическое решение $u\in C^2(\overline D_l)$ задачи (1.1)–(1.4) удовлетворяет системе нелинейных интегральных уравнений типа Вольтерра 3. Априорная оценка и разрешимость задачи (1.1)–(1.4)В этом пункте для простоты изложения получаемых результатов и избежания технических затруднений будем предполагать, что
$$
\begin{equation}
\mu_i(t)=0,\qquad i=1,2,\quad 0\leqslant t\leqslant T.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Пусть
$$
\begin{equation}
M_0:=\max_{1\leqslant i,j\leqslant n}\{|A_{ij}|,|B_{ij}|,|C_{ij}|\},
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
вектор-функция $f$ и матрицы $M$, $N$, $S$ удовлетворяют следующим условиям:
$$
\begin{equation}
|f_i(\theta)|\leqslant M_1+M_2\|\theta\|_{\mathbb R^n},\qquad i=1,\dots,n,
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
$$
\begin{equation}
\det M\ne 0,\qquad (M^{-1}N\theta,\theta)\leqslant 0,\quad (M^{-1}S\theta,\theta)\leqslant 0,\quad \theta\in\mathbb R^n,\qquad M^{-1}S=(M^{-1}S)^\top,
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
где верхний индекс $\top$ у матрицы означает ее транспонирование,
$$
\begin{equation*}
M_i=\mathrm{const}\geqslant 0,\quad i=1,2,\qquad \|\theta\|_{\mathbb R^n}:=\sum_{i=1}^n|\theta_i|,
\end{equation*}
\notag
$$
а через $(\,\cdot\,,\,\cdot\,)$ обозначено стандартное скалярное произведение в евклидовом пространстве $\mathbb R^n$. Лемма 3.1. Пусть $F\in C(\overline D_T)$, $f\in C(\mathbb R^n)$, $\varphi\in C^1([0,l])$, $\psi\in C([0,l])$ и справедливы условия (3.1), (3.3), (3.4). Тогда для классического решения $u\in C^2(\overline D_T)$ задачи (1.1)–(1.4) справедлива априорная оценка Доказательство. Умножая скалярно обе части системы (1.1) на $2u_t$ и интегрируя по области $D_\tau:=\{(x,t)\colon 0<x<l,\,0<t<\tau\}$, где $0<\tau\leqslant T$, будем иметь
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{D_\tau}(u_t,u_t)_t\,dx\,dt -2\int_{D_\tau}(u_{xx},u_t)\,dx\,dt +2\int_{D_\tau}(Au_x,u_t)\,dx\,dt+2\int_{D_\tau}(Bu_t,u_t)\,dx\,dt \nonumber \\ &\qquad{}+2\int_{D_\tau}(Cu,u_t)\,dx\,dt +2\int_{D_\tau}(f,u_t)\,dx\,dt=2\int_{D_\tau}(F,u_t)\,dx\,dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Положим $\omega_\tau\colon t=\tau$, $0\leqslant x\leqslant l$, $0\leqslant\tau \leqslant T$; $\Gamma:=\Gamma_1\cup\omega_0\cup\Gamma_2$, где $\Gamma_1\colon x=0$, $0\leqslant t\leqslant T$; $\Gamma_2\colon x=l$, $0\leqslant t\leqslant T$. Пусть $\nu:=(\nu_x,\nu_t)$ – единичный вектор внешней нормали к $\partial D_\tau$. Легко видеть, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nu_x|_{\omega_\tau} &=0,\qquad 0\leqslant\tau\leqslant T,\qquad \nu_x|_{\Gamma_1}=-1,\qquad \nu_x|_{\Gamma_2}=1, \\ \nu_t|_{\Gamma_1\cup\Gamma_2} &=0,\qquad \nu_t|_{\omega_0}=-1,\qquad \nu_t|_{\omega_\tau }=1,\qquad 0<\tau\leqslant T. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Применяя интегрирование по частям, с учетом (1.2), (3.1) будем иметь
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{D_\tau}(u_t,u_t)_t\,dx\,dt =\int_{\partial D_\tau}(u_t,u_t)\nu_t\,ds =\int_{\omega_\tau}(u_t,u_t)\,dx-\int_{\omega_0}(\psi,\psi)\,dx, \\ &-2\int_{D_\tau}(u_{xx},u_t)\,dx\,dt =2\int_{D_\tau}[(u_x,u_{tx})-(u_x,u_t)_x]\,dx\,dt \\ &\qquad =\int_{D_\tau}(u_x,u_x)_t\,dx\,dt -2\int_{\partial D_\tau}(u_x,u_t)\nu_x\,ds \\ &\qquad =\int_{\partial D_\tau}(u_x,u_x)\nu_t\,ds +2\int_{\Gamma_{1,\tau}}(u_x,u_t)\,dt-2\int_{\Gamma_{2,\tau}}(u_x,u_t)\,dt \\ &\qquad=\int_{\omega_\tau }(u_x,u_x)\,dx -\int_{\omega_0}(\varphi',\varphi')\,dx +2\int_{\Gamma_{1,\tau}}(u_x,u_t)\,dt, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
где $\Gamma_{i,\tau}:=\Gamma_i\cap\{t\leqslant\tau\}$, $i=1,2$.
В силу (1.2), (1.3), (3.1), (3.4)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 2\int_{\Gamma_{1,\tau}}(u_x,u_t)\,dt &=-2\int_{\Gamma_{1,\tau}}(M^{-1}Nu_t,u_t)\,dt -2\int_{\Gamma_{1,\tau}}(M^{-1}Su,u_t)\,dt \nonumber \\ &\geqslant-2\int_{\Gamma_{1,\tau}}(M^{-1}Su,u_t)\,dt =-\int_{\Gamma_{1,\tau}}(M^{-1}Su,u)_t\,dt \nonumber \\ &=(M^{-1}S\varphi,\varphi)(0)-(M^{-1}Su,u)(0,\tau) \geqslant(M^{-1}S\varphi,\varphi)(0). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Пусть $E$ – квадратная матрица порядка $n$ и $u,v\in\mathbb R^n$. Если то
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 2|(Eu,v)| &\leqslant 2m_0\biggl(\sum_{i=1}^n|u_i|\biggr)\biggl(\sum_{i=1}^n|v_i|\biggr) \leqslant m_0\biggl\{\biggl(\sum_{i=1}^n|u_i|\biggr)^2 +\biggl(\sum_{i=1}^n|v_i|\biggr)^2\biggr\} \nonumber \\ &\leqslant nm_0\sum_{i=1}^n(u_i^2+v_i^2). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
В силу (3.11) будем иметь
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &2|(Au_x,u_t)+(Bu_t,u_t)+(Cu,u_t)| \notag \\ &\qquad \leqslant nM_0\biggl\{\sum_{i=1}^n(u_{ix}^2+u_{it}^2) +2\sum_{i=1}^nu_{it}^2+\sum_{i=1}^n(u_i^2+u_{it}^2)\biggr\} \leqslant 4nM_0\sum_{i=1}^n(u_i^2+u_{ix}^2+u_{it}^2), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
где величина $M_0$ определена из (3.2).
Аналогично, с учетом (3.3) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 2|(f,u_t)| &\leqslant 2(M_1+M_2\|u\|_{\mathbb R^n})\sum_{i=1}^n|u_{it}| \leqslant(M_1+M_2\|u\|_{\mathbb R^n})^2 \nonumber \\ &\qquad{}+\biggl(\sum_{i=1}^n|u_{it}|\biggr)^2 \leqslant 2M_1^2+2M_2^2\biggl(\sum_{i=1}^n|u_i|\biggr)^2 +\biggl(\sum_{i=1}^n|u_{it}|\biggr)^2 \nonumber \\ &\leqslant 2M_1^2+2M_2^2n\sum_{i=1}^nu_i^2+n\sum_{i=1}^nu_{it}^2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
Принимая во внимание неравенства (3.12) и (3.13), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &2\biggl|\int_{D_\tau}(Au_x,u_t)\,dx\,dt+\int_{D_\tau}(Bu_t,u_t)\,dx\,dt +\int_{D_\tau}(Cu,u_t)\,dx\,dt+\int_{D_\tau}(f,u_t)\,dx\,dt\biggr| \nonumber \\ &\qquad\leqslant 4nM_0\int_{D_\tau}\sum_{i=1}^n(u_i^2+u_{ix}^2+u_{it}^2)\,dx\,dt +2M_1^2\operatorname{mes} D_\tau+2M_2^2n\int_{D_\tau}\sum_{i=1}^nu_i^2\,dx\,dt \nonumber \\ &\qquad\qquad{}+n\int_{D_\tau}\sum_{i=1}^nu_{it}^2\,dx\,dt \leqslant M_3+M_4\int_{D_\tau}\sum_{i=1}^n(u_i^2+u_{ix}^2+u_{it}^2)\,dx\,dt, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
где
$$
\begin{equation}
M_3:=2M_1^2\operatorname{mes} D_T=2M_1^2Tl,\qquad M_4:=4nM_0+2M_2^2n+n.
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
Следовательно, в силу (3.7), (3.9), (3.10), (3.14) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 2\int_{D_\tau}(F,u_t)\,dx\,dt &\geqslant\int_{\omega_\tau}[(u_t,u_t)+(u_x,u_x)]\,dx -\int_{\omega_0}[(\varphi',\varphi')+(\psi,\psi)]\,dx \\ &\qquad{}+(M^{-1}S\varphi,\varphi)(0)-M_3 -M_4\int_{D_\tau }\sum_{i=1}^n(u_i^2+u_{ix}^2+u_{it}^2)\,dx\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда с учетом известного неравенства
$$
\begin{equation*}
2|(F,u_t)|\leqslant\sum_{i=1}^nF_i^2+\sum_{i=1}^nu_{it}^2
\end{equation*}
\notag
$$
следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \int_{\omega_\tau}\sum_{i=1}^n(u_{ix}^2+u_{it}^2)\,dx &\leqslant(M_4+1)\int_{D_\tau}\sum_{i=1}^n(u_i^2+u_{ix}^2+u_{it}^2)\,dx\,dt +\int_{D_T}\sum_{i=1}^nF_i^2\,dx\,dt \nonumber \\ &\qquad{}+\int_{\omega_0}[(\varphi',\varphi')+(\psi,\psi)]\,dx +|(M^{-1}S\varphi,\varphi)(0)|+M_3. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
Далее, поскольку в силу (1.2)
$$
\begin{equation*}
u_i(x,\tau)=\varphi_i(x)+\int_0^\tau u_{it}(x,t)\,dt,
\end{equation*}
\notag
$$
то
$$
\begin{equation*}
u_i^2(x,\tau)\leqslant 2\varphi_i^2(x) +2\biggl(\int_0^\tau u_{it}(x,t)\,dt\biggr)^2 \leqslant 2\varphi_i^2(x)+2\tau\int_0^\tau u_{it}^2(x,t)\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем
$$
\begin{equation}
\int_{\omega_\tau}\sum_{i=1}^nu_i^2\,dx \leqslant 2\int_{\omega_0}(\varphi,\varphi)\,dx +2T\int_{D_\tau}\sum_{i=1}^nu_{it}^2\,dx\,dt.
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
Складывая неравенства (3.16) и (3.17), будем иметь
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{\omega_\tau}\sum_{i=1}^n(u_i^2+u_{ix}^2+u_{it}^2)\,dx \leqslant(M_4+2T+1)\int_{D_\tau}\sum_{i=1}^n(u_i^2+u_{ix}^2+u_{it}^2)\,dx\,dt \nonumber \\ &\qquad{}+\int_{D_T}\sum_{i=1}^nF_i^2\,dx\,dt +\int_{\omega_0}[2(\varphi,\varphi)+(\varphi',\varphi')+(\psi,\psi)]\,dx +|(M^{-1}S\varphi,\varphi)(0)|+M_3. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
Принимая во внимание известную двойную оценку
$$
\begin{equation}
\biggl(\sum_{i=1}^na_i^2\biggr)^{1/2} \leqslant\sum_{i=1}^n|a_i|\leqslant n^{1/2}\biggl(\sum_{i=1}^na_i^2\biggr)^{1/2}
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
и (3.6) имеем
$$
\begin{equation}
\int_{\omega_0}[2(\varphi,\varphi)+(\varphi',\varphi')+(\psi,\psi)]\,dx \leqslant 3l\|\varphi\|_{C^1(\omega_0)}^2+l\|\psi\|_{C(\omega_0)}^2.
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
Далее, вводя обозначение
$$
\begin{equation}
w(\tau):=\int_{\omega_\tau}\sum_{i=1}^n(u_i^2+u_{ix}^2+u_{it}^2)\,dx
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
и учитывая, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \int_{D_\tau}\sum_{i=1}^n(u_i^2+u_{ix}^2+u_{it}^2)\,dx\,dt =\int_0^\tau w(\sigma)\,d\sigma, \\ \int_{D_T}\sum_{i=1}^nF_i^2\,dx\,dt \leqslant\operatorname{mes}D_T\sum_{i=1}^n\|F_i\|^2_{C(\overline D_T)}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
из (3.18) с учетом (3.20) и (3.21) будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, w(\tau) &\leqslant M_5\int_0^\tau w(\sigma)\,d\sigma +M_6\sum_{i=1}^n\|F_i\|^2_{C(\overline D_T)} +3l\|\varphi\|_{C^1(\omega_0)}^2+l\|\psi\|_{C(\omega_0)}^2 \\ &\qquad{}+|(M^{-1}S\varphi,\varphi)(0)|+M_3, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
Отсюда в силу леммы Гронуолла имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, w(\tau) &\leqslant\biggl[M_6\sum_{i=1}^n\|F_i\|^2_{C(\overline D_T)} +3l\|\varphi\|_{C^1(\omega_0)}^2+l\|\psi\|_{C(\omega_0)}^2 \nonumber \\ &\qquad{}+|(M^{-1}S\varphi,\varphi)(0)|+M_3\biggr]\exp(M_5T),\qquad 0<\tau\leqslant T. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.23}
$$
Из (1.4) с учетом (3.1) следует, что откуда в силу неравенства Коши имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u_i^2(x,\tau) &\leqslant\biggl(\int_x^l1^2\,d\sigma\biggr) \biggl(\int_x^lu_{ix}^2(\sigma,\tau)\,d\sigma\biggr) =(l-x)\int_x^lu_{ix}^2(\sigma,\tau)\,d\sigma \nonumber \\ &\leqslant l\int_0^lu_{ix}^2(\sigma,\tau)\,d\sigma=l\int_{\omega_\tau}u_{ix}^2\,dx. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.24}
$$
Далее, с учетом (3.21), (3.23) и (3.24) получаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, u_i^2(x,\tau) &\leqslant l\int_{\omega_\tau}\sum_{i=1}^nu_{ix}^2\,dx\leqslant lw(\tau) \leqslant l\biggl[M_6\sum_{i=1}^n\|F_i\|^2_{C(\overline D_T)} \\ &\qquad +3l\|\varphi\|_{C^1(\omega_0)}^2+l\|\psi\|_{C(\omega_0)}^2 +|(M^{-1}S\varphi,\varphi)(0)|+M_3\biggr]\exp(M_5T). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из этого неравенства с учетом (3.6) и (3.19) будем иметь
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|u\|_{C(\overline D_T)} &\leqslant n^{1/2}\biggl(\sum_{i=1}^n\|u_i\|_{C(\overline D_T)}^2\biggr)^{1/2} \leqslant nl^{1/2}\biggl[M_6\sum_{i=1}^n\|F_i\|^2_{C(\overline D_T)} +3l\|\varphi\|_{C^1(\omega_0)}^2 \nonumber \\ &\qquad{}+l\|\psi\|_{C(\omega_0)}^2 +|(M^{-1}S\varphi,\varphi)(0)|+M_3\biggr]^{1/2}\exp(2^{-1}M_5T) \nonumber \\ &\leqslant n^{1/2}l^{1/2}\biggl\{M_6^{1/2}\sum_{i=1}^n\|F_i\|_{C(\overline D_T)} +(3l)^{1/2}\|\varphi\|_{C^1(\omega_0)} \nonumber \\ &\qquad{}+l^{1/2}\|\psi\|_{C(\omega_0)} +|(M^{-1}S\varphi,\varphi)(0)|^{1/2}+M_3^{1/2}\biggr\} \exp(2^{-1}M_5T). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.25}
$$
С учетом (3.6) и неравенства Коши–Буняковского будем иметь
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |(M^{-1}S\varphi,\varphi)(0)| &\leqslant\|M^{-1}S\varphi(0)\|_0\,\|\varphi(0)\|_0 \leqslant\|M^{-1}S\|\,\|\varphi(0)\|_0^2 \nonumber \\ &=\|M^{-1}S\|\sum_{i=1}^n\varphi_i^2(0) \leqslant\|M^{-1}S\|\biggl(\sum_{i=1}^n|\varphi_i(0)|\biggr)^2 \leqslant\|M^{-1}S\|\,\|\varphi\|_{C^1(\omega_0)}^2, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.26}
$$
где $\|M^{-1}S\|$ – норма матричного оператора $M^{-1}S\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^n$ в евклидовом пространстве $\mathbb R^n$.
Итак априорная оценка (3.5) доказана, притом $c_i>0$, $1=1,2,3$, а в случае, когда система (1.1) линейна, т.е. $f=0$ будем иметь $c_4=0$. Таким образом при условиях леммы 3.1 в линейном случае имеет место единственность решения задачи (1.1)–(1.4). В уравнение (2.53) при $\mu_i=0$, $i=1,2$, введем параметр $\tau\in[0,1]$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
u=K[\tau\widetilde C_1u-\tau f(u)]+K\tau F+K_1(\tau\varphi,\tau\psi,0,0).
\end{equation}
\tag{3.28}
$$
Принимая во внимание соответствие между задачей (1.1)–(1.4) и нелинейной системой интегральных уравнений типа Вольтерра (2.53), системе (3.28) будет соответствовать следующая смешанная задача:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, u_{tt}-u_{xx}+Au_x+Bu_t+\widetilde Cu=\tau[F+\widetilde C_1u-f(u)], \\ u(x,0)=\tau\varphi(x),\quad u_t(x,0)=\tau\psi(x),\qquad 0\leqslant x \leqslant l, \\ Mu_x(0,t)+Nu_t(0,t)+Su(0,t)=0,\quad u(l,t)=0,\qquad 0\leqslant t \leqslant T. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.29}
$$
При этом в случае выполнения условий гладкости (1.5) и согласования второго порядка (1.6) соответствующие задаче (1.1)–(1.4) аналогичные условия будут выполнены для задачи (3.29) и согласно замечанию 2.5 непрерывное решение $u=u_\tau$ системы (3.28) принадлежит классу $C^2(\overline D_l)$ и является классическим решением задачи (1.1)–(1.4). Поскольку для задачи (3.29) выполнены условия леммы 3.1, для решения $u_\tau$ задачи (3.29), как легко проверить, справедлива априорная оценка (3.5) с теми же постоянными $c_i$, $i=1,\dots,4$, из (3.27) для любого $\tau\in[0,1]$. Пoэтому с учетом того, что оператор
$$
\begin{equation*}
K\widetilde C_1\colon C(\overline D_l)\to C(\overline D_l)
\end{equation*}
\notag
$$
из (3.28) является непрерывным и компактным, в силу теоремы Лере–Шаудера (см., например, [15]) уравнение (3.28) при $\tau=1$, т.е. уравнение (2.53) при $\mu_i=0$, $i=1,2$, имеет хотя бы одно решение $u\in C^2(\overline D_l)$, которое в то же время является классическим решением задачи (1.1)–(1.4). Таким образом справедлива следующая Теорема 3.1. Пусть выполнены условия (1.5), (1.6), (2.30), (3.1), (3.3) и (3.4). Тогда существует хотя бы одно классическое решение $u\,{\in}\, C^2(\overline D_l)$ задачи (1.1)–(1.4). Замечание 3.1. При получении априорной оценки (3.5) мы потребовали выполнение условия (3.3), т.е. когда рост нелинейности вектор-функции $f$ не превосходит единицы. Ниже мы выделим один класс вектор-функций $f$ с произвольным показателем роста нелинейности, для которых останется в силе априорная оценка (3.5). Пусть, вектор-функция $f$ представима в виде
$$
\begin{equation}
f(\theta)=(\nabla g)(\theta),\qquad \nabla:=\biggl(\frac{\partial}{\partial\theta_1},\dots, \frac{\partial}{\partial\theta_n}\biggr),\qquad g\in C^1(\mathbb R^n),\qquad g(\theta)\geqslant 0\qquad \forall\mspace{1mu}\theta\in\mathbb R^n.
\end{equation}
\tag{3.30}
$$
Имеет место следующая Теорема 3.2. Пусть выполнены условия (1.5), (1.6), (2.30), (3.1), (3.4) и (3.30). Тогда существует хотя бы одно классическое решение $u\,{\in}\, C^2(\overline D_l)$ задачи (1.1)–(1.4). Доказательство. Повторив рассуждения, которые привели нас к (3.5), а рассуждения, которые относились к нелинейной вектор-функции $f$ с учетом (3.30), заменив следующими:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{D_\tau }(f,u_t)\,dx\,dt &=\int_{D_\tau}\biggl[\sum_{i=1}^n\,\frac{\partial g(u)}{\partial u_i}\, \frac{\partial u_i}{\partial t}\biggr]\,dx\,dt =\int_{D_\tau}\,\frac{dg(u)}{dt}\,dx\,dt=\int_{\partial D_\tau}g(u)\nu_t\,ds \\ &=\int_{\omega_\tau}g(u)\,dx-\int_{\omega_0}g(\varphi)\,dx \geqslant-\int_{\omega_0}g(\varphi)\,dx, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
то получим априорную оценку
$$
\begin{equation*}
\|u\|_{C(\overline D_T)} \leqslant\widetilde c_1\|F\|_{C(\overline D_T)} +\widetilde c_2\|\varphi\|_{C^1(\omega_0)} +\widetilde c_3\|\psi\|_{C(\omega_0)} +\widetilde c_4\|g(\varphi)\|_{C^1(\omega_0)}^{1/2},
\end{equation*}
\notag
$$
где положительные постоянные $\widetilde c_i$, $i=1,\dots,4$, не зависят от величины $u$, $F$, $\varphi$ и $\psi$. Отсюда, как при доказательстве теоремы 3.1, следует теорема 3.2. 4. Единственность решения задачи (1.1)–(1.4) класса $C^2(\overline D_T)$Будем говорить, что вектор-функция $f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^n$ удовлетворяет локальному условию Липшица, если
$$
\begin{equation}
\|f(v_2)-f(v_1)\|_{\mathbb R^n}\leqslant M(R)\|v_2-v_1\|_{\mathbb R^n}\qquad \forall\mspace{1mu}v_i\in\mathbb R^n\colon\|v_i\|_{\mathbb R^n}\leqslant R,\qquad i=1,2,
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
где $M=M(R)=\mathrm{const}\geqslant 0$. Заметим, что если $f\in C^1(\mathbb R^n)$, то условие (4.1) выполнено. Лемма 4.1. Если вектор-функция $f\in C(\mathbb R^n)$ удовлетворяет условию (4.1), а матрицы $M$, $N$ и $S$ – условию (3.4), то задача (1.1)–(1.4) не может иметь более одного решения класса $C^2(\overline D_T)$. Доказательство. Допустим, что задача (1.1)–(1.4) имеет два возможных различных решения $u_1$ и $u_2$ класса $C^2(\overline D_T)$. Тогда разность $v:=u_2-u_1$ удовлетворяет системе уравнений
$$
\begin{equation}
v_{tt}-v_{xx}+Av_x+Bv_t+Cv+f(u_2)-f(u_1)=0,\qquad (x,t)\in D_T,
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
начальным и краевым условиям.
Очевидно, найдется такое положительное число $R\,{=}\,\mathrm{const}>0$, что Отсюда в силу (4.1) будем иметь
$$
\begin{equation}
\|f(u_2)-f(u_1)\|_{\mathbb R^n} \leqslant M(R)\|u_2-u_1\|_{\mathbb R^n}=M(R)\|v\|_{\mathbb R^n}.
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Если теперь для решения $v$ задачи (4.2)–(4.4) проведем те же рассуждения, которые привели к априорной оценке (3.5) для решения $u$ задачи (1.1)–(1.4), то в этом случае в силу (4.5) в аналогичном (3.3) неравенстве постоянная $M_1=0$ и, следовательно, с учетом (3.15) и (3.27) в полученной оценке для $v$ величина $c_4=0$. Отсюда при $F=\varphi=\psi=0$ будем иметь
$$
\begin{equation*}
\|u_2-u_1\|_{C(\overline D_T)}=\|v\|_{C(\overline D_T)}\leqslant 0,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $u_1=u_2$, что противоречит нашему допущению. Лемма 4.1 доказана. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{DzhKhaSha23} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|