| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) О числах, не представимых в виде суммы П. А. Кучерявый Факультет математики, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», г. Москва
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623030070 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеПусть $w(n)$ – аддитивная неотрицательная целочисленная арифметическая функция, равная $1$ на простых числах. Например, в качестве $w(n)$ можно взять $\omega(n)$ – количество различных простых делителей числа $n$ или $\Omega(n)$ – количество простых делителей числа $n$ с учетом кратности. Пусть $E$ – множество натуральных чисел, не представимых в виде $n+w(n)$. Дополнение к $E$ будем обозначать $E^c$. Нас будут интересовать нижние оценки величины Удается доказать справедливость следующего утверждения. Главная идея заключается в рассмотрении $n+w(n)$ по модулю простого числа. Для простого числа $p$ и $r \in \mathbb{Z}/p \mathbb{Z}$ обозначим
$$
\begin{equation*}
a(r):=\sum_{\substack{n \leqslant N \\ n+w(n) \equiv r \,(\operatorname{mod} p)}} 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 1. Пусть $p$ – произвольное простое число, $R$ – любое подмножество в $\mathbb{Z}/ p \mathbb{Z}$. Тогда Доказательство. Положим В работе М. Е. Чанги [1] изучается распределение $w(n)$ в кольце вычетов по модулю натурального числа. Используя те же методы, можно исследовать асимптотическое поведение функции $a(r)$. Оказывается, что для фиксированного простого $p$ Поэтому не удается доказать предположение гипотезы, используя соображение из леммы 1. Тем не менее, удается найти второй член в асимптотическом разложении $a(r)$ и теорема 1 следует из леммы 1 после аккуратного выбора $p$ и $R$. 2. ЛеммыВ этом разделе приведены вспомогательные утверждения, необходимые для доказательства основной теоремы. Лемма 2 (формула Перрона). Пусть причем ряд абсолютно сходится при $\operatorname{Re} s > a \geqslant 0$, и пусть при $\sigma \to a+0$ Лемма 3 (М. Е. Чанга). Пусть $f(n)$ – комплекснозначная арифметическая функция с условием $|f(n)| \leqslant 1$ и при $\operatorname{Re} s > 1$ имеет место равенство где $\alpha \in \mathbb{C}$, $|\alpha| \leqslant 1$, а функция $H(s)$, $s=\sigma+it$, при любом достаточно большом $T$ аналитична в области $\sigma > 1-c_1/\log T$, $|t| \leqslant T$, причем в этой области справедлива оценка $H(s) \ll \log^{c_2} T$. Тогда имеет место асимптотическая формула Доказательство. См. [1; лемма 3.1]. Лемма 4. Пусть $T \geqslant 3$. Если $\chi$ – комплексный характер по модулю $k$, $s=\sigma+it$, то функция $L(s, \chi)$ не имеет нулей в области Если же $\chi$ – действительный характер по модулю $k$, $s=\sigma+i t$, то $L(s,\chi)$ не имеет нулей в области Доказательство. См. [3; теорема 2, с. 139]. Лемма 5. Пусть $3 \leqslant X$. Существует не более одного $3 \leqslant k \leqslant X$ и не более одного действительного примитивного характера $\chi_1$ по модулю $k$, для которого $L(s,\chi_1)$ имеет однократный действительный нуль $\beta_1$ такой, что Доказательство. См. [3; следствие 2, с. 146]. Будем называть простое число $p < X$ неисключительным, если $L(s,\chi)$ не имеет вещественных нулей в интервале
$$
\begin{equation*}
\biggl[1-\frac{\min(c_3,c_4)}{\log X}\,,+\infty\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
для любого характера $\chi$ по модулю $p$. Иначе будем называть $p$ исключительным. Заметим, что простое число $p$ может быть исключительным или неисключительным в зависимости от $X$. Из леммы 5 следует, что для данного $X$ существует не более одного исключительного простого числа $p < X$. Лемма 7 (теорема Бореля–Каратеодори). Пусть $R > 0$, и функция $f(s)$ аналитична в круге $|s-s_0| \leqslant R$, причем $\operatorname{Re}f(s) \leqslant M$ на окружности $|s-s_0|=R$. Тогда в круге $|s-s_0| \leqslant r < R$ Доказательство. См., например, [3; лемма 4, с. 45]. Лемма 8. Пусть $\chi$ – неглавный характер по модулю $k$. Тогда в области $|\sigma-1| \leqslant c_5 / \log k T$, $|t| \leqslant T$ справедлива оценка Доказательство. Обозначим $S(t)=\sum_{n \leqslant t} \chi(n)$. Имеем Лемма 9. Пусть $T \geqslant 3$ и $\chi$ неглавный характер по модулю $k$. Пусть $L(s,\chi)$ не имеет нулей в области Тогда на границе области выполнено неравенство $\log L(s,\chi) \ll \log \log k T$. Доказательство. Если $\sigma \geqslant 1+c/\log k T$, то Из леммы 8 получаем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Re}\log L(s,\chi)=\log |L(s,\chi)| \leqslant C_1 \log \log k T
\end{equation*}
\notag
$$
при $|\sigma-1| \leqslant 3c/\log{k T}$, $|t| \leqslant 2 T$. Следовательно, при $s_0=1+c/\log k T+i t$, $R=3 c / \log k T$, $r=2c / \log k T$ из леммы 7 получаем, что
$$
\begin{equation*}
|\log L(s,\chi)-\log L(s_0, \chi)| \leqslant 2(C_1 \log \log k T-O(\log \log k T)) \ll \log \log k T
\end{equation*}
\notag
$$
для $|s-s_0|=r$. Лемма 9 доказана. Лемма 10. Пусть $\chi$ – неглавный характер по модулю $k$ и $\log k=o(\sqrt{\log x}\,)$. Предположим, что $L(s,\chi)$ не имеет нулей в области $\sigma \geqslant 1-3c_6/\log kT$, $|t| \leqslant 2T$ при $T > C_2$. Пусть $\alpha \in \mathbb{C}$, $|\alpha| \leqslant 1$, и пусть $f(n)$ – комплекснозначная арифметическая функция, такая что $|f(n)| \leqslant 1$. Кроме того, пусть при $\operatorname{Re} s > 1$, а функция $H(s)$, $s=\sigma+it$ аналитична в области $\sigma > 1-3c_6/\log kT$, $|t| \leqslant T$ для каждого $T > C$. Наконец, пусть $H(s) \ll \log^{c_7} T$ в этой области. Тогда Здесь константа в знаке Виноградова зависит только от $c_6$, $c_7$, $C_2$ и не зависит от $\chi$. Доказательство. Подставив $b=1+1/\log{x}$, $\log T=\sqrt{\log{x}}$ в формулу Перрона (лемма 2), получим где Положим $\beta:=1-c_6 /\log k T$ и рассмотрим контур $\Gamma$, состоящий из отрезков, последовательно соединяющий точки $\beta+iT$, $\beta-iT$, $b-iT$, $b+iT$, $\beta+iT$. Заметим, что $(L(s,\chi))^\alpha H(s) x^s/s$ однозначно определена и голоморфна внутри и на границе $\Gamma$. В силу леммы 9, на сторонах $\Gamma$ имеем
$$
\begin{equation*}
|(L(s,\chi))^\alpha|=|e^{\alpha\log L(s,\chi)}| \leqslant e^{|\log L(s,\chi)|} \ll \log^{c_8} k T.
\end{equation*}
\notag
$$
По теореме Коши о вычетах
$$
\begin{equation*}
\int_{\Gamma}(L(s, \chi))^\alpha H(s)\frac{x^s}{s}\,ds=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим интегралы по сторонам $\Gamma$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\beta+iT}^{b+iT}(L(s,\chi))^\alpha H(s)\frac{x^s}{s}\,ds &\ll \frac{\log^{c_{10}} x}{T}\int_{\beta+iT}^{b+i T}|x^s|\,ds \ll x \exp(-c_8 \sqrt{\log x}\,), \\ \int_{\beta-iT}^{\beta+i T}(L(s,\chi))^\alpha H(s)\frac{x^s}{s}\,ds &\ll x^{\beta}(\log^{c_{10}} x)(1+\log{T}) \ll x\exp(-c_8\sqrt{\log x}\,). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом
$$
\begin{equation*}
\int_{b-iT}^{b+iT}(L(s,\chi))^\alpha H(s)\frac{x^s}{s}\,ds \ll x\exp(-c_8 \sqrt{\log x}\,).
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 10 доказана. Положим $e(z):=\exp(2\pi iz)$. Через $\mathbb{P}$ будем обозначать множество простых чисел. Лемма 11. Пусть $u(n)$ – вполне мультипликативная функция такая, что для всех натуральных $n$ верно $|u(n)| \leqslant 1$. Положим Тогда при $\operatorname{Re}s > 1$ и для любого $\tau \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ имеет место равенство Здесь $F_{\tau,p,u}(s)$ голоморфна при $\operatorname{Re}(s)>1/2$. Кроме того, для любого $\epsilon > 0$ существуют постоянные $0 < b_{1,\epsilon} < b_{2,\epsilon}$, такие что в полуплоскости $\operatorname{Re}(s) > 1/2+\epsilon$ выполнены неравенства Также $b_{1,\epsilon}$ и $b_{2,\epsilon}$ не зависят от $p$, $\tau$, $u$. В частности, существуют константы $0 < b_1 < b_2$, такие что для всех $p$, $\tau$, $u$. Доказательство. Положим Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \log F_{\tau,p,u}(s)&= \sum_{q \in \mathbb{P}} e(\tau/p) \log(1-u(q) q^{-s}) \\ &\qquad+\log \biggl(1+\frac{e(\tau/p)u(q)}{q^s}+ \frac{e(w(q^2)\tau/p)u(q)^2}{q^{2s}}+\dotsb\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Введем обозначение:
$$
\begin{equation*}
h_{q,\tau,p,u}(s):=\sum_{j \geqslant 2} \frac{e(w(q^j)\tau/p)u(q)^j}{q^{j s}}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Этот ряд сходится равномерно в области $\operatorname{Re}(s) > 1/2+\epsilon$. Поэтому $h_{q,\tau,p,u}(s)$ аналитична в полуплоскости $\operatorname{Re}(s) > 1/2$ и, кроме того, $h_{q,\tau,p,u}(s)=O(q^{-2\sigma})$. При $\operatorname{Re}s > 1$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \log F_{\tau,p,u}(s) &=\sum_{q \in \mathbb{P}} e\biggl(\frac{\tau}{p}\biggr)\biggl(-u(q)q^{-s}- u(q)^2 \frac{q^{-2s}}{2}-\dotsb\biggr) \\ &\qquad +\biggl(e\biggl(\frac{\tau}{p}\biggr) u(q) q^{-s}+ h_{q, \tau, p, u}(s)\biggr) \\ &\qquad+\sum_{j \geqslant 2} \frac{(-1)^{j+1}}{j}\biggl(e\biggl(\frac{\tau}{p}\biggr)u(q) q^{-s}+ h_{q,\tau,p,u}(s)\biggr)^{j}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\operatorname{Re} s \geqslant 1/2+\epsilon$, то
$$
\begin{equation*}
|\log F_{\tau,p,u}(s)| \ll \sum_{q \in \mathbb{P}} q^{-2 \sigma} \ll_{\epsilon} 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому $|\log F_{\tau, p, u}(s)| \leqslant C_{\epsilon}$ и
$$
\begin{equation*}
e^{-C_\epsilon} \leqslant |F_{\tau,p,u}(s)| \leqslant e^{C_\epsilon}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 11 доказана. 3. Основные утвержденияЗафиксируем достаточно большое $N$. Параметр $X=X(N)$ выберем позднее. Будем считать, что Возьмем неисключительное простое $p$ в интервале $[X-X^{4/5},X]$. По леммам 5 и 6 такое $p$ существует. Теорема 2. В предыдущих обозначениях Доказательство. Применяя дискретное преобразование Фурье, получаем Тогда
$$
\begin{equation*}
a(r)=\frac{1}{p}\sum_{\tau,k \in \mathbb{Z}/p \mathbb{Z}} e\biggl(\frac{(k-r)\tau}{p}\biggr) S_{k,\tau}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, S_{k,0}=\frac{N}{p}+O(1), \qquad S_{0,\tau}=S_{\tau}-S_{\tau,\chi_0}, \\ S_{k,\tau}=\frac{1}{p-1} \sum_{\chi} \overline{\chi(k)} \, S_{\tau, \chi} \qquad\text{при}\quad k,t \ne 0, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\chi_0$ – главный характер по модулю $p$. Полагая $u \equiv 1$ в лемме 11, получаем
$$
\begin{equation*}
\sum_{n \geqslant 1}\frac{e(w(n)\tau/p)}{n^s}= (\zeta(s))^{e(\tau/p)} F_{\tau, p}(s).
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $F_{\tau, p}(s):=F_{\tau, p, u}(s)$. Применив лемму 3, находим
$$
\begin{equation*}
S_{\tau}=\frac{F_{\tau,p}(1)}{\Gamma(e(\tau/p))} N\log^{e(\tau/p)-1}N+O(N\log^{\operatorname{cos}(2\pi\tau /p)-2}N).
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 11 дает
$$
\begin{equation*}
\sum_{n \geqslant 1}\frac{e(w(n)\tau/p)\chi(n)}{n^s}= (L(s,\chi))^{e(\tau/p)} F_{\tau, p, \chi}(s).
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\chi$ – неглавный характер, то из леммы 10 получаем Заметим, что $c_8$ и константа в знаке $O$ не зависят от $\chi$. Следовательно, если $k,\tau \ne 0$, то
$$
\begin{equation*}
S_{k,\tau}=\frac{S_{\tau,\chi_0}}{p-1}+ O(N\exp(-c_8\sqrt{\log N}\,)).
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим
$$
\begin{equation*}
d_{\tau,p}(s):=\biggl(1+\frac{e(\tau/p)}{p^s}+ \frac{e(w(p^2)\tau/p)}{p^{2s}}+\dotsb\biggr)^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем
$$
\begin{equation*}
\sum_{n \geqslant 1}\frac{e(w(n)\tau/p)\chi_0(n)}{n^s}= d_{\tau,p}(s)\sum_{n \geqslant 1}\frac{e(w(n)\tau/p)}{n^s}= (\zeta(s))^{e(\tau/p)}F_{\tau, p}(s)d_{\tau, p}(s).
\end{equation*}
\notag
$$
Из леммы 3 получаем
$$
\begin{equation*}
S_{\tau,\chi_0}=\frac{F_{\tau,p}(1)d_{\tau,p}(1)}{\Gamma(e(\tau/p))} N\log^{e(\tau/p)-1}N+O(N\log^{\operatorname{cos}(2\pi\tau/p)-2}N).
\end{equation*}
\notag
$$
Собирая все вместе, находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, a(r)&=\frac{N}{p}+\frac{1}{p}\sum_{\tau \not\equiv 0\, (\operatorname{mod} p)} e (-r\tau /p) S_{0,\tau} \\ &\qquad+\frac{1}{p(p-1)} \sum_{\tau \not\equiv 0 \,(\operatorname{mod} p)} S_{\tau,\chi_0}\sum_{k \not\equiv 0\, (\operatorname{mod} p)} e\biggl(\frac{(k-r)\tau}{p}\biggr)+B_1(r). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, a(r)&=\frac{N}{p}+\frac{1}{p} \sum_{\tau \not\equiv 0 \,(\operatorname{mod} p)} e\biggl(\frac{-r\tau}{p}\biggr)\biggl(S_{\tau}-S_{\tau,\chi_0}- \frac{S_{\tau,\chi_0}}{(p-1)}\biggr)+B_1(r) \\ &=\frac{N}{p}+\frac{1}{p}\sum_{\tau \not\equiv 0 \,(\operatorname{mod} p)} \biggl(S_{\tau}-\frac{p}{p-1} S_{\tau,\chi_0}\biggr) e\biggl(\frac{-r\tau}{p}\biggr)+B_1(r). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, a(r)&=\frac{N}{p}+\frac{N}{p} \sum_{\tau \not\equiv 0\, (\operatorname{mod} p)} \frac{e(-r \tau /p) F_{\tau, p}(1)(1-(p/(p-1))d_{\tau, p}(1))} {\Gamma(e(\tau /p))} \log^{e(\tau /p)-1} N \\ &\qquad+B_1(r)+B_2(r), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где Обозначим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, A_{\tau}:=\frac{F_{\tau,p}(1)(1-(p/(p-1))d_{\tau,p}(1))} {\Gamma(e(\tau / p))} \log^{e(\tau/p)-1}N, \\ B_3(r)=\frac{N}{p} \sum_{\tau=2}^{p-2} e\biggl(\frac{-r \tau}{p}\biggr) A_{\tau}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
a(r)=\frac{N}{p}+2\frac{N}{p} \operatorname{Re} \biggl(e\biggl(\frac{-r}{p}\biggr)A_{1}\biggr)+B_1(r)+B_2(r)+B_3(r).
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем
$$
\begin{equation*}
B_3(r)=2\frac{N}{p}\sum_{\tau=2}^{(p-1)/2}\operatorname{Re} \biggl(e\biggl(\frac{-r\tau}{p}\biggr) A_{\tau}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl|1-\frac{p}{p-1}d_{\tau,p}(1)\biggr| &\asymp \biggl|(1-p^{-1})-\biggl(1-\frac{e(\tau/p)}{p}+ \frac{e(\tau / p)^2-e(w(p^2) \tau / p)}{p^2}+O(p^{-3})\biggr)\biggr| \\ &=\biggl|(1-p^{-1})-\biggl(1-\biggl(1+ \frac{2\pi i \tau}{p}+O\biggl(\frac{\tau^{2}}{p^2}\biggr)\biggr) p^{-1}+ \theta p^{-2}\biggr)\biggr| \\ &=\biggl| 2 \pi i \frac{\tau}{p^2}+2 \theta p^{-2}+ O\biggl( \frac{\tau^2}{p^3} \biggr)\biggr| \ll \frac{|\tau|}{p^2}\,, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $|\theta| \leqslant 1$. Если $\tau=1$, получаем
$$
\begin{equation*}
\biggl|1-\frac{p}{p-1} d_{\tau,p}(1) \biggr| \gg p^{-2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\Gamma(s)^{-1}$ – целая функция, а $|F_{\tau, p}(1)| \leqslant b_2$, получаем
$$
\begin{equation*}
|A_{\tau}| \ll \frac{\tau}{p^2}\log^{\cos(2\pi\tau/p)-1}N.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
B_3 \ll \frac{N}{p^3} \sum_{\tau=2}^{(p-1)/2} \tau\log^{\operatorname{cos}(2\pi \tau / p)-1} N.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $|e(1/p)-1| \ll p^{-1}$ и $\Gamma(1)=1$, имеет место оценка
$$
\begin{equation*}
\biggl|\Gamma\biggl(e\biggl(\frac{1}{p}\biggr)\biggr)^{-1}\biggr| >c_{11}
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторого $c_{11} > 0$ и достаточно большого $p$. Кроме того, $|F_{\tau,p}(1)| \geqslant b_1$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
|A_1| \gg p^{-2}\exp\biggl(\biggl(\cos\biggl(\frac{2\pi}{p}\biggr)- 1\biggr)\log\log N\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
что завершает доказательство теоремы 2. Доказательство теоремы 1. Будем считать, что $p > 100$. Определим $R$, как множество всех вычетов $r \in \mathbb{Z}/p \mathbb{Z}$, для которых выполнено условие Пусть $A_1=|A_1|e(\gamma)$. Тогда в $R$ вошли все такие вычеты $r \in \mathbb{Z}/p \mathbb{Z}$, для которых
$$
\begin{equation*}
\cos\biggl(\frac{-2\pi r}{p}+2\pi\gamma\biggr) \leqslant -\frac{1}{2}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому $|R| \geqslant p/3-4 \gg p$ и $|R| \asymp p$. При таком выборе $R$ из леммы 1 получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Xi(N) &\gg \sum_{r \in R} \frac{N}{p}-a(r)-1 \gg -\sum_{r \in R} \biggl( 2\frac{N}{p}\operatorname{Re} \biggl(e\biggl(\frac{-r}{p}\biggr)A_{1}\biggr)+ O(B_1+B_2+B_3+1) \biggr) \\ &\gg N|A_{1}|+p O(B_1+B_2+B_3+1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что Выберем $X=\alpha^{-1} \sqrt{\log \log N}$ . Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, N|A_1| &\gg N p^{-2}\exp\biggl(\biggl(\biggl(\cos \biggl(\frac{2\pi}{p}\biggr)\biggr)-1\biggr)\log\log N\biggr)\gg N p^{-2} \exp\biggl(-\frac{2\pi^2}{p^2} \log \log N \biggr) \\ &\gg N X^{-2}\exp\biggl(-\frac{2\pi^2}{X^2}(1+5 X^{-1/5}) \log \log N \biggr) \\ &\gg N X^{-2} \exp\biggl(-\frac{2\pi^2}{X^2} \log \log N \biggr) \gg \alpha^2 \exp (- 2\pi^2 \alpha^2) \frac{N}{\log \log N}\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Выберем $\alpha$, чтобы выполнялось неравенство $p B_3 \leqslant 0.1N|A_1|$. Для этого достаточно, чтобы для некоторого большого $C$ было выполнено условие
$$
\begin{equation*}
C\sum_{\tau=2}^{(p-1)/2} \tau \log^{\operatorname{cos}(2\pi \tau / p)-1} N \leqslant \exp(-2\pi^2 \alpha^2).
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем
$$
\begin{equation*}
\sum_{\tau=2}^{(p-1)/2} \tau \log^{\operatorname{cos}(2\pi\tau / p)-1} N= \sum_{2 \leqslant \tau < p/4}\tau \log^{\operatorname{cos}(2\pi\tau / p)-1}N+O(p^2\log^{-1}N).
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\frac{5\pi^2}{X^2} \leqslant \cos\frac{2\pi}{p}- \cos \frac{4\pi}{p} \leqslant \cos \frac{4\pi}{p}- \cos \frac{6\pi}{p} \leqslant \dotsb\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{2 \leqslant \tau < p/4} \tau \log^{\operatorname{cos}(2\pi \tau / p)-1} N &\leqslant \sum_{2\leqslant \tau < p/4} \tau\log^{-5\pi^2 (\tau-1)/X^2}N \\ &\leqslant 2\sum_{\tau=1}^{\infty}\tau\exp(-5\pi^2\alpha^2\tau)= \frac{2\exp(-5\pi^2\alpha^2)}{(1-\exp(-5 \pi^2 \alpha^2))^2}\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что для достаточно большого $\alpha$ выполнено
$$
\begin{equation*}
\frac{2\exp(-5\pi^2\alpha^2)}{(1-\exp(-5\pi^2\alpha^2))^2}\leqslant 0.5C^{-1}\exp(- 2\pi^2 \alpha^2).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как получим при достаточно большом $\alpha$. Заметим, что выбор $\alpha$ не зависит от $N$. Поэтому Очевидно, что $pB_1=o(N/ \log\log N)$ и $pB_2=o(N/ \log\log N)$. Поэтому Теорема 1 доказана. Положим
$$
\begin{equation*}
G(N):=|\{(n,m)\colon n+w(n)=m+w(m), \, n \leqslant N, \, m \leqslant N, \, n \ne m\}|.
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство. Имеем $w(n) \leqslant C_3 n^{\varepsilon}$ для некоторого $C_3$. Обозначим Заметим, что если $n \leqslant N-C_3 N^\varepsilon$, то $n+w(n) \leqslant N$. Следовательно, В работе [5] П. Эрдёш, А. Саркози и К. Померанс показали для случая $w(n)=\omega(n)$, что
$$
\begin{equation*}
G(N) \geqslant N \exp(-4000 (\log \log N) \log \log \log N)
\end{equation*}
\notag
$$
для достаточно большого $N$. Таким образом, теорема 1, ввиду теоремы 3, улучшает эту оценку и дает Выражаю благодарность В. В. Юделевичу за постановку задачи и А. Б. Калмынину за ценные замечания. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kuc23} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|