| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Обвертывание значений аналитической функции, связанной с числом А. Б. Костинa, В. Б. Шерстюковbc a Национальный исследовательский ядерный университет "МИФИ", г. Москва b Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова c Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623030069 
Реферативные базы данных:
  1. Введение и постановка задачиВ связи со специальными эффектами аппроксимации числа $\pi$ и его четных степеней (более общо – значений дзета-функции Римана) частичными суммами числовых рядов (см. [1]–[3]) у авторов возник интерес к родственной задаче о характере приближения числа $e$ элементами последовательности $(1+1/m)^m$, где $m\in\mathbb{N}$. Эта задача и смежные вопросы традиционно привлекают внимание математиков (см., например, [4]–[7]). Так, в классическом сборнике [4; отдел первый, гл. 4, § 2] и недавней заметке [7] приводятся соответственно неравенства
$$
\begin{equation}
\frac{e}{2m+2}<e-\biggl(1+\frac{1}{m}\biggr)^m< \frac{e}{2m+1}\,, \qquad m\in\mathbb{N},
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
$$
\begin{equation}
e-\biggl(1+\frac{1}{m}\biggr)^m<\frac{e}{2m+2}+ \frac{1}{4(m+1)(2m+1)}, \qquad m\in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Оценка (1.1) убеждает в справедливости асимптотической формулы
$$
\begin{equation}
e-\biggl(1+\frac{1}{m}\biggr)^m=\frac{e}{2m}+ O\biggl(\frac{1}{m^2}\biggr),\qquad m\to \infty,
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
но не позволяет ее продолжить. Оценка (1.2), как легко проверить, при любом $m\in\mathbb{N}$ усиливает правую часть (1.1). Тем не менее, используя (1.1), (1.2), не удастся уточнить (1.3) и записать даже простейший правильный результат, состоящий в том, что
$$
\begin{equation}
e-\biggl(1+\frac{1}{m}\biggr)^m=\frac{e}{2m}-\frac{11e}{24m^2}+ O\biggl(\frac{1}{m^3}\biggr),\qquad m\to \infty.
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Соотношение (1.4) при необходимости может быть развернуто до нужного числа членов. Например,
$$
\begin{equation}
e-\biggl(1+\frac{1}{m}\biggr)^m=\frac{e}{2m}-\frac{11e}{24m^2}+ \frac{7e}{16m^3}-\frac{2447e}{5760m^4}+\frac{959e}{2304m^5}+ O\biggl(\frac{1}{m^6}\biggr)
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
при $m\to \infty$. Более того, в недавней статье авторов [8] получена серия асимптотически точных двусторонних оценок вида
$$
\begin{equation}
e\,\sum^{2M}_{n=1}(-1)^{n-1}a_n x^n<e-(1+x)^{1/x}< e\sum^{2M-1}_{n=1}(-1)^{n-1} a_n x^n,
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
верных при всех $x\in(0,1)$ и любом $M\in\mathbb{N}$. В той же работе [8] предложено несколько альтернативных способов для вычисления коэффициентов $a_n$ из формулы (1.6). Например, справедлива рекуррентная формула
$$
\begin{equation}
a_0=1,\qquad a_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{k+1} a_{n-k},\quad n\in\mathbb{N},
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
показывающая, что все числа $a_n$ рациональны и положительны. Несколько первых значений, найденных по правилу (1.7), выглядят так
$$
\begin{equation*}
a_1=\frac{1}{2}\,,\qquad a_2=\frac{11}{24}\,,\qquad a_3=\frac{7}{16}\,,\qquad a_4=\frac{2447}{5760}\,,\qquad a_5=\frac{959}{2304}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Разумеется, именно эти коэффициенты фигурируют в разложении (1.5). Для нахождения коэффициентов $a_n$ помимо рекуррентной формулы (1.7) имеется явное интегральное представление
$$
\begin{equation}
a_n=\frac{1}{e}\biggl(1+\int^1_0\varphi(\tau)\tau^n\,d\tau\biggr), \qquad n\in\mathbb{N},
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
с положительной функцией
$$
\begin{equation}
\varphi(\tau) \equiv \frac{1}{\pi}\, \frac{\sin(\pi\tau)}{\tau^{1-\tau}(1-\tau)^{\tau}}\,,\qquad \tau\in(0,1).
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
При естественном соглашении
$$
\begin{equation*}
\varphi(0)\equiv\lim_{\tau\to 0+}\varphi(\tau)=1,\qquad \varphi(1)\equiv\lim_{\tau\to 1-0}\varphi(\tau)=1
\end{equation*}
\notag
$$
эта функция непрерывна на $[0,1]$, бесконечно дифференцируема на $(0,1)$ и обладает свойствами
$$
\begin{equation}
\frac{1}{e}\biggl(1+\frac{2}{\pi(n+1)}\biggr)<a_n< \frac{1}{e}\biggl(1+\frac{1}{n+1}\biggr),\qquad n\in\mathbb{N},
\end{equation}
\tag{1.11}
$$
содержащая в себе порядковое соотношение
$$
\begin{equation}
a_n-\frac{1}{e}\asymp\frac{1}{n}\,,\qquad n\to \infty.
\end{equation}
\tag{1.12}
$$
Здесь символ $\asymp$ означает, что $0<c\leqslant n(a_n-1/e)\leqslant C<+\infty$ при всех $n\in \mathbb{N}$. Подробные доказательства утверждений (1.5)–(1.12) и отмеченных свойств функции $\varphi(\tau)$ см. в [8]. Неравенства (1.6) по сути означают, что функция $(1+x)^{1/x}$ обвертывается на интервале $(0,1)$ своим рядом Маклорена1. В данной работе этот результат распространяется на полуось $(0,+\infty)$, а также – на комплексные значения переменной. Используя главную ветвь логарифма, введем в рассмотрение функцию
$$
\begin{equation}
f(z)\equiv\exp\biggl\{\frac{\ln(1+z)}{z}-1\biggr\},\qquad z\in D\equiv\mathbb{C}\setminus(-\infty,-1],
\end{equation}
\tag{1.13}
$$
очевидно совпадающую при вещественных $z=x>-1$ с функцией $(1/e)(1+x)^{1/x}$. Функция (1.13), доопределенная по непрерывности при $z=0$ значением $f(0)=1$, является аналитической в единичном круге и допускает там представление
$$
\begin{equation}
f(z)=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}z^n=1+ \sum^{\infty}_{n=1}(-1)^n a_n z^n,\qquad |z|<1.
\end{equation}
\tag{1.14}
$$
В частности, при вещественных значениях переменной имеем
$$
\begin{equation}
f(x)=e^{-1}(1+x)^{1/x}=1+\sum^{\infty}_{n=1}(-1)^n a_n x^n,\qquad -1<x<1.
\end{equation}
\tag{1.15}
$$
Как следует из (1.7) или (1.8), (1.9), все $a_n>0$. Этим объясняется форма записи коэффициентов в (1.14), (1.15), подчеркивающая их знакочередование. Кратко опишем структуру работы. Основной материал, следующий за вводной частью, изложен в четырех разделах. Первый из них посвящен дополнительному изучению последовательности коэффициентов $a_n$. Установлена ее логарифмическая выпуклость. Показано также, что такая последовательность является вполне монотонной. Как известно, числовые последовательности с подобными структурными свойствами востребованы во многих разделах анализа (см., например, [9; § 4.5], [10]–[13] и, соответственно, [14], [15]). Для $n\geqslant17$ улучшена нижняя граница в (1.11), благодаря чему теперь известны два первых члена в асимптотике $a_n$ при $n\to \infty$ и оценка остаточного члена. В заключение раздела обсуждается асимптотическое поведения разностей конечного порядка, взятых от изучаемой последовательности. В разделе 2 получено интегральное представление аналитической функции $f(z)$ из (1.13) при всех $z\in D$. Этот ключевой результат работы доказан двумя способами – подстановкой в (1.14) выражений (1.8) для коэффициентов, а также путем интегрирования первой из предварительно установленных формул для производных $f^{(n)}(z)$, где $n\in\mathbb{N}$. Завершают статью два раздела, содержащие теоремы об обвертывании функции $f(z)$ при $z=x>0$, а также – при комплексных $z$ из правой полуплоскости. Часть материала представлена авторами в 2022 году на уфимской конференции по теории функций и комплексному анализу, посвященной 105-летию члена-корреспондента АН СССР А. Ф. Леонтьева, а также на конференциях “Вещественный, комплексный и функциональный анализ и связанные темы” (Курск) и “Многомерная аппроксимация и дискретизация” (Сочи, “Сириус”). 2. Последовательность коэффициентовНаличие удобного интегрального представления (1.8) позволяет глубже изучить устройство последовательности $a_n$ с нумерацией $n\in \mathbb{N}$. Конечные разности порядка $s\in\mathbb{N}$, ассоциированные с этой последовательностью, обозначим через
$$
\begin{equation}
\Delta^s a_n\equiv\sum^s_{j=0}(-1)^j C^j_s a_{n+j},\qquad n\in\mathbb{N},
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где $C^j_s$ – стандартные биномиальные коэффициенты. В частности, первые и вторые разности образуют соответственно последовательности
$$
\begin{equation*}
\Delta^1 a_n \equiv a_n-a_{n+1}, \quad \Delta^2 a_n \equiv a_n-2a_{n+1}+a_{n+2}, \qquad n\in\mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
На языке определения (2.1) строгое убывание (1.10) выражается положительностью всех первых разностей $\Delta^1 a_n$. Кстати, это свойство, очевидное ввиду положительности функции (1.9), не так просто вывести из рекуррентной формулы (1.7) (см. [8]). Отметим также, что изучаемая последовательность будет строго выпуклой. Это означает выполнение при каждом $n\in\mathbb{N}$ неравенства $\Delta^2a_n>0$. Зафиксируем общее наблюдение. Фигурирующее в нем свойство числовой последовательности вошло в математический обиход благодаря критерию Хаусдорфа разрешимости степенной проблемы моментов [14; гл. I, теорема 1.5; гл. III, § 6], [15; гл. II, § 6, теорема 2.6.4]. Предложение 1. Для последовательности коэффициентов из тейлоровского разложения (1.14) справедливо соотношение Доказательство. При $s=1$ по формуле (1.8) для любого $n\in\mathbb{N}$ запишем Поясним связь с проблемой моментов. Нетрудно проверить, что
$$
\begin{equation*}
\int^1_0\tau^n\,d\sigma(\tau)=a_n, \qquad n\in\mathbb{N}\cup\{0\},
\end{equation*}
\notag
$$
со строго возрастающей функцией ограниченной вариации
$$
\begin{equation*}
\sigma(\tau)=\begin{cases} -\dfrac 1e, & \tau=0, \\ \displaystyle \dfrac 1e\int^{\tau}_0\varphi(t)\,dt, & \tau\in(0,1), \\ \dfrac{e-1}e, & \tau=1. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
После этого, сославшись на теорему Хаусдорфа, заключаем, что последовательность $a_n$ с нумерацией $n\in\mathbb{N}\cup\{0\}$ вполне монотонна. Для полноты изложения мы все же решили дать прямое доказательство предложения 1. Остается открытым вопрос о том, будут ли положительны все разности вида (2.1), составленные по последовательности логарифмов Впрочем, кое-что по этому поводу сказать можно. Первые разности
$$
\begin{equation*}
\Delta^1 b_n\equiv b_n-b_{n+1}=\ln\frac{a_n}{a_{n+1}}>0
\end{equation*}
\notag
$$
при всех $n\in\mathbb{N}$ в силу (1.10). Покажем также, что и все вторые разности
$$
\begin{equation*}
\Delta^2\,b_n=\Delta^1\,\biggl(\ln\frac{a_n}{a_{n+1}}\biggr)= \ln\frac{a_n}{a_{n+1}}-\ln\frac{a_{n+1}}{a_{n+2}}= \ln\frac{a_n a_{n+2}}{a_{n+1}^2}
\end{equation*}
\notag
$$
положительны, или, другими словами, что значения $b_n$ образуют строго выпуклую последовательность. Результат дадим в терминах исходной последовательности $a_n$. Предложение 2. Последовательность модулей коэффициентов степенного ряда (1.14) обладает свойством т.е. является строго логарифмически выпуклой. Доказательство. Запишем (1.8) в компактной форме Конкретизируем теперь порядковое соотношение (1.12) в виде двучленной асимптотической формулы. Для этого потребуется дополнительная информация о поведении производной функции (1.9). Прямой подсчет дает выражение
$$
\begin{equation}
\varphi'(\tau)=\varphi(\tau)\biggl(\pi \operatorname{ctg} (\pi\tau)+ \ln\tau-\ln(1-\tau)+\frac{1}{1-\tau}-\frac{1}{\tau}\biggr),\qquad \tau\in(0,1).
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
При приближении к концам интервала производная (2.9) стремится к бесконечности с логарифмической скоростью:
$$
\begin{equation*}
\varphi'(\tau)\sim\ln\tau,\quad \tau\to 0+,\qquad \varphi'(\tau)\sim -\ln(1-\tau),\quad \tau\to 1-0.
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что $\varphi'\in L_p(0,1)$ для любого $p\geqslant1$. Учитывая верные при всех $\tau\in(0,1)$ оценки $\varphi(\tau)<1$ и $\ln\tau-1/\tau<-1$, из (2.9) получим
$$
\begin{equation}
\varphi'(\tau)+\ln(1-\tau)<\pi \operatorname{ctg} (\pi\tau)+ \frac{\tau}{1-\tau}, \qquad \tau\in\biggl(\frac12,1\biggr).
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Правая часть в (2.10) равна $1$ при $\tau=1/2$ и строго убывает на $(1/2,1)$, так как имеет там отрицательную производную
$$
\begin{equation*}
\biggl(\pi \operatorname{ctg} (\pi\tau)+\frac{\tau}{1-\tau}\biggr)'= \frac{1}{(1-\tau)^2}-\frac{\pi^2}{\sin^2(\pi\tau)}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
В свою очередь, $\varphi(\tau)$ строго возрастает на $(1/2,1)$. Следовательно,
$$
\begin{equation}
0<\varphi'(\tau)<1-\ln(1-\tau), \qquad \tau\in\biggl(\frac{1}{2},1\biggr),
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
что позволяет усилить оценку снизу в (1.11) при достаточно больших номерах. Предложение 3. Для коэффициентов $a_n$, входящих в разложение (1.14), верна двусторонняя оценка Доказательство. Нужно проверить только оценку снизу в (2.12). Связь (2.5) показывает, что для этого требуется установить соотношение В результате выяснили, что
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{n+1}-c_n= \frac{1}{n+1}\int^1_0\varphi'(\tau)\tau^{n+1}\,d\tau< \frac{1}{n+1}\,\frac{3}{2\sqrt{n+1}}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех номеров $n$. Вывод оценки (2.14) завершен. Тем самым, справедливо двойное неравенство (2.12), влекущее асимптотику (2.13). Предложение 3 доказано. Непосредственно проверяется, что миноранта для $a_n$ из (2.12) положительна при всех $n\in\mathbb{N}$, и, начиная с $n=17$, новая оценка снизу в (2.12) лучше оценки снизу в (1.11). Соотношение (2.13), как и любой результат подобного рода, допускает дальнейшие усиления. Так, более тонкий анализ представления (2.6) дает четырехчленный асимптотический закон
$$
\begin{equation}
a_n=\frac{1}{e}\biggl(1+\frac{1}{n}-\frac{\ln n}{n^2}- \frac{\gamma}{n^2}\biggr)+O\biggl(\frac{\ln^2 n}{n^3}\biggr),\qquad n\to \infty,
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
где $\gamma=0.57721\dots$ – константа Эйлера–Маскерони. Формула (2.17) раскрывает правильный вид остаточного члена в (2.13) и будет доказана в другой работе. Обсудим вопрос о поведении конечных разностей (2.1). В последующих рассуждениях возникает неполная бета-функция
$$
\begin{equation}
B(\tau;n+1,s+1)\equiv\int_0^{\tau}t^n(1-t)^s\,dt, \qquad \tau\in[0,1],
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
с параметрами $n,s\in\mathbb{N}$. В точке $\tau=1$ выражение (2.18) дает значение стандартной бета-функции
$$
\begin{equation}
B(n+1,s+1)\equiv\int_0^1t^n(1-t)^s\,dt= \frac{n!\,s!}{(n+s+1)!}=\frac{1}{(n+s+1)C_{n+s}^s}
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
с асимптотикой
$$
\begin{equation}
B(n+1,s+1)=\frac{s!}{n^{s+1}}+O\biggl(\frac{1}{n^{s+2}}\biggr)
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
при заданном $s\in\mathbb{N}$ и $n\to \infty$. Предложение 4. Конечные разности (2.1) фиксированного порядка $s\in\mathbb{N}$ образуют строго убывающую последовательность, подчиненную двусторонней оценке Доказательство. Зафиксируем $s\in\mathbb{N}$. Строгое убывание последовательности значений $\Delta^s a_n$ при увеличении номера $n\in\mathbb{N}$ заложено в условии (2.3). Представления (2.2) и (2.19) показывают, что величина записывается в виде интеграла
$$
\begin{equation}
\frac{1}{e}\int^1_0(1-\varphi(\tau))\tau^n(1-\tau)^s\,d\tau.
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
Положительность интеграла (2.23) очевидна и равносильна правой части (2.21). Для доказательства левой части (2.21) проинтегрируем (2.23) по частям, а затем применим (2.11) и неравенство Коши–Буняковского. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \int^1_0\,(1-\varphi(\tau))\tau^n(1-\tau)^s\,d\tau= \int^1_0\varphi'(\tau)B(\tau;n+1,s+1)\,d\tau \\ &\qquad<\int^1_{1/2}(1-\ln(1-\tau))B(\tau;n+1,s+1)\,d\tau \\ &\qquad< A\biggl(\int_0^1B^2(\tau;n+1,s+1)\,d\tau\biggr)^{1/2} \equiv e D(n,s). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Двусторонняя оценка (2.21) получена. Предложение 4 доказано. Укажем без подробностей, что дает (2.21) в случаях $s=1$ и $s=2$. Проведя громоздкие вычисления и несколько огрубив результат, имеем двустороннюю оценку
$$
\begin{equation}
\frac{1}{(n+1)(n+2)}\biggl(\frac{1}{e}- \frac{21}{25\sqrt{n+2}}\biggr)<\Delta^1a_n< \frac{1}{e(n+1)(n+2)}\,, \qquad n\in\mathbb{N},
\end{equation}
\tag{2.24}
$$
и асимптотику
$$
\begin{equation}
\Delta^1 a_n=\frac{1}{e n^2}+ O\biggl(\frac{1}{n^{5/2}}\biggr),\qquad n\to \infty.
\end{equation}
\tag{2.25}
$$
Правая часть в (2.24) улучшает “пристрелочную” оценку
$$
\begin{equation*}
\Delta^1 a_n<\frac{1}{2(n+1)(n+2)}\,,\qquad n\in\mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
$$
доказанную ранее на основе рекуррентной формулы (1.7) (см. [8]). Отметим еще, что левая часть в (2.24) содержательна при $n\geqslant4$. В случае $s=2$ из соотношений (2.20)–(2.22) извлекается асимптотика
$$
\begin{equation}
\Delta^2a_n=\frac{2}{en^3}+O\biggl(\frac{1}{n^{7/2}}\biggr),\qquad n\to \infty.
\end{equation}
\tag{2.26}
$$
Формулы (2.25), (2.26) подсказывают, что общий результат может быть записан так:
$$
\begin{equation*}
\Delta^s a_n=\frac{s!}{e n^{s+1}}+ O\biggl(\frac{1}{n^{s+3/2}}\biggr), \qquad s\in\mathbb{N},\quad n\to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Впрочем, обоснование такого соотношения и, тем более, выяснение точного асимптотичеcкого характера остаточного члена $O(n^{-s-3/2})$ требует особого анализа и будет дано в отдельной работе. Завершим на этом обсуждение возникающей серии задач о структурных свойствах тейлоровских коэффициентов функции (1.13) и вернемся к главному для нас вопросу – о поведении самой функции. 3. Интегральное представление функцииРассмотрим функцию (1.13). Ей удобно придать cейчас “ненормированный” вид:
$$
\begin{equation}
h(z)\equiv e f(z)=\exp\biggl\{\frac{\ln(1+z)}{z}\biggr\},\qquad z\in D=\mathbb{C}\setminus(-\infty,-1],
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где, как и в (1.13), под логарифмом понимаем его главную ветвь. Функция $h(z)$ будет аналитической в области $D$, и $h(0)=e$. Ясно, что переход от $f$ к $h$ и наоборот носит исключительно технический характер. Следующий результат является основным в этом разделе. Теорема 1. При всех $z\in D$ функция (3.1) и ее производные допускают соответственно интегральные представления Доказательство. Согласно (1.15), (2.5) при всех $x\in(-1,1)$ запишем Упростим формулу (3.7), заменив в ней первый из интегралов точным значением Результат (3.8) возникает после предельного перехода $z=x\to +\infty$ в (3.7), ибо в таком случае имеем
$$
\begin{equation*}
h(x)=\exp\frac{\ln(1+x)}{x}\to 1,\qquad \frac{1}{1+x}\to 0,\qquad \int^1_0\frac{\varphi(\tau)}{1+x\tau}\,d\tau\to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставим (3.8) в (3.7) и придем к (3.2). При вещественных $z=x\in(-1,+\infty)$ представление (3.2) принимает вид (3.4). Дифференцируя (3.2), получаем (3.3). Очевидным следствием (3.3) является условие (3.5). Теорема 1 доказана. Отметим, что в случае $n=0$ формула (3.3) неприменима – ее заменяет (3.2). В связи со свойством (3.5) напомним, что понятие вполне монотонной функции восходит к С. Н. Бернштейну. Особая роль таких функций раскрыта в классических монографиях [14; гл. III, §§ 6, 7], [15; гл. V, § 5] и статье [16]. Утверждение о том, что функция $h(x)=(1+x)^{1/x}$ вполне монотонна при $x>0$ содержится в [16; следствие теоремы 3]. Предложенное доказательство теоремы 1 содержит в себе вывод общего соотношения (3.3) из частного результата (1.8). Возникает мысль об альтернативном обосновании интегрального представления (3.2) – ключевой формулы в теореме 1. Идея состоит в том, чтобы дать самостоятельный вывод формул дифференцирования (3.3), не прибегая к (1.8). Реализация основана на формуле Коши для вычисления производных аналитической функции через контурный интеграл. Зафиксируем произвольную точку $z_0\in D$ и выберем числа $r$, $R$ так, чтобы выполнялись неравенства В плоскости $\mathbb{C}$ сделаем разрез по лучу $(-\infty,-1]$ и построим контур $\Gamma_{r,R}$, состоящий из следующих четырех частей, выписанных в порядке их обхода:
$$
\begin{equation}
h^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\int_{\Gamma_{r,R}} \frac{h(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{n+1}}\,d\zeta,\qquad n\in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Именно так в работе [8] при выборе $z_0=0$ была доказана формула (1.8). Технические усложнения, возникающие в нашем случае, не носят принципиального характера, поэтому дальнейшие рассуждения приводим схематично, отсылая за подробностями к [8]. При заданном $n\in\mathbb{N}$ интеграл в (3.9) разобьем на сумму
$$
\begin{equation}
\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma_{r,R}} \frac{h(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{n+1}}\,d\zeta= I_{1,n}(R)+I_{2,n}(r,R)+I_{3,n}(r)+I_{4,n}(r,R)
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
со слагаемыми
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} I_{1,n}(R)&\equiv\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma_R} \frac{h(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{n+1}}\,d\zeta,&\qquad I_{2,n}(r,R)&\equiv\frac{1}{2\pi i}\int_{l_{r,R}} \frac{h(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{n+1}}\,d\zeta, \\ I_{3,n}(r)&\equiv\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma^{-}_r} \frac{h(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{n+1}}\,d\zeta,&\qquad I_{4,n}(r,R)&\equiv\frac{1}{2\pi i}\int_{l^{-}_{r,\,R}} \frac{h(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{n+1}}\,d\zeta. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Интеграл по окружности $\gamma_R$ запишем в виде
$$
\begin{equation*}
I_{1,n}(R)=\frac{R}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{e^{i\theta} h(Re^{i\theta})}{(Re^{i\theta}-z_0)^{n+1}}\,d\theta.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как при всех $\theta\in[-\pi,\pi]$ верна оценка $|h(Re^{i\theta})|\leqslant\exp\{(\ln(1+R)+\pi)/R\}$, то
$$
\begin{equation*}
\frac{R}{2\pi}\biggl|\int_{-\pi}^{\pi}\frac{e^{i\theta} h(Re^{i\theta})}{(Re^{i\theta}-z_0)^{n+1}}\,d\theta\biggr|\leqslant \frac{R}{2\pi(R-|z_0|)^{n+1}}\int_{-\pi}^{\pi} |h(Re^{i\theta})|\,d\theta \leqslant\frac{e^{\pi/R}(1+R)^{1/R}}{(R-|z_0|)^n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому Похожими рассуждениями для интеграла по окружности $\gamma^{-}_r$ выводим соотношение
$$
\begin{equation}
I_{3,n}(r)\to \frac{(-1)^n}{(1+z_0)^{n+1}}\,,\qquad r\to 0+.
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Интеграл по отрезку $l_{r,R}$ преобразуем к виду
$$
\begin{equation*}
I_{2,n}(r,R)=\frac{(-1)^{n+1}}{2\pi i}\int^{R}_{1+r} \frac{(t-1)^{-1/t}}{(t+z_0)^{n+1}}\,e^{-\pi i/t}\,dt,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует, что
$$
\begin{equation}
I_{2,n}(r,R)\to \frac{(-1)^{n+1}}{2\pi i}\int^{+\infty}_{1} \frac{(t-1)^{-1/t}}{(t+z_0)^{n+1}}e^{-\pi i/t}\,dt,\qquad r\to 0+,\quad R\to +\infty.
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
Наконец, интеграл по отрезку $l^{-}_{r,R}$ запишем в форме
$$
\begin{equation*}
I_{4,n}(r,R)=\frac{(-1)^{n}}{2\pi i}\int^{R}_{1+r} \frac{(t-1)^{-1/t}}{(t+z_0)^{n+1}}e^{\pi i/t}\,dt
\end{equation*}
\notag
$$
и получим, что
$$
\begin{equation}
I_{4,n}(r,R) \to \frac{(-1)^{n+1}}{2\pi i}\int^{+\infty}_{1} \frac{(t-1)^{-1/t}}{(t+z_0)^{n+1}}e^{\pi i/t}\,dt,\qquad r\to 0+,\quad R\to +\infty.
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
Применив в (3.10) предельные соотношения (3.11)–(3.14), убедимся в том, что для произвольно заданного $n\in\mathbb{N}$ интеграл
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma_{r,R}} \frac{h(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{n+1}}\,d\zeta
\end{equation*}
\notag
$$
при $r\to 0+$ и $R\to +\infty$ стремится к величине
$$
\begin{equation*}
\frac {(-1)^{n+1}}{2\pi i}\int^{+\infty}_{1} \frac{(t-1)^{-1/t}}{(t+z_0)^{n+1}}e^{-\pi i/t}\,dt+ \frac{(-1)^n}{(1+z_0)^{n+1}} +\frac{(-1)^{n}}{2\pi i}\int^{+\infty}_{1} \frac{(t-1)^{-1/t}}{(t+z_0)^{n+1}}e^{\pi i/t}\,dt,
\end{equation*}
\notag
$$
очевидно равной
$$
\begin{equation*}
(-1)^n\biggl(\frac{1}{(1+z_0)^{n+1}}+\frac{1}{\pi}\int^{+\infty}_{1} \frac{(t-1)^{-1/t}}{(t+z_0)^{n+1}}\sin\frac{\pi}{t}\,dt\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Осуществив такой предельный переход в (3.9), придем к формуле
$$
\begin{equation*}
h^{(n)}(z_0)=(-1)^nn!\biggl(\frac{1}{(1+z_0)^{n+1}}+ \frac{1}{\pi}\int_1^{+\infty} \frac{\sin(\pi/t)}{(t-1)^{1/t}(t+z_0)^{n+1}}\,dt\biggr),\qquad n\in\mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и возникает запись (3.3). Нужно лишь сделать в интеграле замену $t=1/\tau$, привлечь (1.9) и вспомнить, что точка $z_0$ выбиралась в области $D$ произвольно. Выведем (3.2) из (3.3). В (3.3) подставим $n=1$ и переобозначим $z$ на $\xi$. Тогда
$$
\begin{equation*}
h'(\xi)=-\frac{1}{(1+\xi)^2}- \int^1_0\frac{\varphi(\tau)\tau}{(1+\xi\tau)^2}\,d\tau.
\end{equation*}
\notag
$$
Возьмем $z\in D$ и проинтегрируем выражение для производной по отрезку, соединяющему точки $\xi=0$ и $\xi=z$. При этом требуется изменить порядок интегрирования, аккуратно обосновав это действие стандартными средствами комплексного анализа (см., например, [17; гл. 1, § 6, теорема 6.2]). В результате получим, что
$$
\begin{equation*}
h(z)-h(0)=\frac{1}{1+z}-1+ \int^1_0\biggl(\frac{1}{1+z\tau}-1\biggr)\varphi(\tau)\,d\tau.
\end{equation*}
\notag
$$
Фактически это и есть представление (3.2), ведь $h(0)=e$ и $\int^1_0\,\varphi(\tau)\,d\tau=e-2$ (см. (3.1), (3.8)). Тем самым, дан другой способ доказательства теоремы 1. Может показаться, что для этой цели удобнее было вместо (3.9) сразу работать с интегральной формулой Коши
$$
\begin{equation*}
h(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma_{r,R}} \frac{h(\zeta)}{\zeta-z_0}\,d\zeta,
\end{equation*}
\notag
$$
записанной для самой функции, а не ее производных. Но здесь, в отличие от (3.11), интеграл по окружности $\gamma_R$, равный
$$
\begin{equation*}
\frac{R}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{e^{i\theta}h\bigl(Re^{i\theta}\bigr)}{Re^{i\theta}-z_0} \,d\theta,
\end{equation*}
\notag
$$
уже не стремится к нулю при $R\to +\infty$, а требует вычисления. Вернемся к основной линии. Для формулировки следующего результата введем обозначение
$$
\begin{equation}
r_N(z)\equiv h(z)-e\sum^{N-1}_{n=0}(-1)^n a_n z^n,\qquad N\in\mathbb{N},\quad z\in D,
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
где коэффициенты $a_n$ – те же, что и в формуле (1.7). В единичном круге $|z|<1$ величина уклонения (3.15) является остатком ряда Тейлора функции (3.1). Теорема 2. При любом $N\in\mathbb{N}$ уклонение (3.15) допускает интегральное представление Доказательство. Привлекая (1.8), несложно получить соотношение Отметим другой возможный способ вывода представления (3.16), исходящий из разложения остатка
$$
\begin{equation*}
r_N(x)=e \sum^{\infty}_{n=N}(-1)^n a_n x^n,\qquad N\in\mathbb{N},\quad x\in(-1,1),
\end{equation*}
\notag
$$
с последующим применением схемы доказательства теоремы 1. Заметим, что в соотношении (3.17) заложено поведение частичных сумм степенного ряда (1.14) не только внутри, но и на границе и даже во внешности круга сходимости $|z|<1$. Например, из (3.17) следуют при $M\to \infty$ соотношения
$$
\begin{equation*}
\sum^{2M-1}_{n=0}(-1)^n a_n\to \frac{3}{2e}\,, \qquad \sum^{2M}_{n=0}(-1)^n a_n\to \frac{5}{2e}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
характеризующие поведение расходящегося числового ряда $\sum^{\infty}_{n=0}(-1)^n a_n$. На этом пути открываются интересные возможности для дальнейшего исследования, что выходит за рамки данной работы.
4. Вещественное обвертываниеНапомним одно определение. Пусть функциональный ряд $\sum^{\infty}_{n=0}u_n(x)$ составлен из вещественнозначных функций $u_n(x)$, заданных на множестве $X\subseteq\mathbb{R}$. Говорят, что этот ряд обвертывает в узком смысле функцию $u(x)$ на $X$, если при любом $N\in\mathbb{N}$ и для всех $x\in X$ выполнено равенство где величина $\theta_N(x)\in(0,1)$. Из условия (4.1) видно, что в каждой точке $x\in X$ значение функции $u(x)$ заключено между любыми двумя последовательными частичными суммами такого ряда, взятыми в этой точке. Сам функциональный ряд, обвертывающий $u(x)$ на множестве $X$, не обязательно сходится на этом множестве. Разнообразная информация об обвертывающих рядах содержится в [4; гл. 4, § 1], [18], [19; гл. 12, § 6]; см. также [1]. Близкое понятие использовал еще Коши [20].Покажем, что двусторонние оценки (1.6) действуют не только на интервале $(0,1)$, но и на всем положительном луче. Теорема 3. Функция $h(x)=(1+x)^{1/x}$ на луче $x>0$ обвертывается в узком смысле своим рядом Маклорена. Тем самым, для любого $M\in\mathbb{N}$ справедливы неравенства Доказательство. На множестве $X=(0,+\infty)$ рассмотрим два объекта – функцию $u(x)$ и функциональный (точнее, степенной) ряд $\sum^{\infty}_{n=0} u_n(x)$, полагая Представление (3.16) для уклонения $r_N(x)$ облегчает вывод неравенств (4.2). Возможен другой путь: взять за основу формулу (3.4) и применить известные неравенства, реализующие обвертывание при $x>0$ функции вида $(1+x)^{-1}$ ее рядом Маклорена. Последующая подстановка выражений для интегралов (2.5), (3.8) даст неравенства (4.2) из теоремы 3. Для наглядности развернем первое из них, выбрав $M=1$. Тогда
$$
\begin{equation}
\frac{e}{2}x-\frac{11e}{24} x^2<e-(1+x)^{1/x}<\frac{e}{2}x,\qquad x>0.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Если же в (4.2) взять $M=2$, то возникнет верное на всей положительной полуоси и еще более точное при малых $x>0$ усложненное неравенство
$$
\begin{equation}
\frac{e}{2}x-\frac{11e}{24}x^2+\frac{7e}{16}x^3- \frac{2447e}{5760}x^4<e-(1+x)^{1/x}< \frac{e}{2}x-\frac{11e}{24}x^2+\frac{7e}{16}x^3.
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Положим $x=1/m$ и перепишем последнее неравенство в форме двусторонней оценки числа $e$. Получим аппроксимацию для $e$ рациональными числами
$$
\begin{equation*}
\frac{5760m^4(1+1/m)^m}{5760m^4-2880m^3+2640m^2-2520m+2447}<e< \frac{48m^3(1+1/m)^m}{48m^3-24m^2+22m-21}
\end{equation*}
\notag
$$
при всех $m\in\mathbb{N}$. Например, при $m=100$ мажоранта $2.718281839\dots$ дает семь верных цифр после запятой в десятичной записи числа $e$, миноранта $2.71828182834\dots$ – девять, а классическая дробь $(101/100)^{100}=2.7048\dots$ – всего один. Как видим на этом примере, добавление специальных рациональных множителей улучшает сходимость последовательности $(1+1/m)^m$ к числу $e$. Неравенства типа (4.4), (4.5) из общей серии (4.2) хороши при $x\in(0,1)$. Если $x>1$, то эти неравенства формально верны, но менее информативны. Для таких значений $x$ поведение уклонения $r_N(x)$ лучше описывается оценками
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{x^{2M}}{1+x}&<(1+x)^{1/x}-e \sum^{2M-1}_{n=0}(-1)^n a_n x^n< x^{2M}\biggl(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{2M+1}\biggr), \\ \frac{x^{2M+1}}{1+x}&< e \sum^{2M}_{n=0}(-1)^n a_n x^n-(1+x)^{1/x}< x^{2M+1}\biggl(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{2M+2}\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
с параметром $M\in\mathbb{N}$. Сами оценки следуют из представления (3.16) и подкрепляют асимптотику (3.17). Рассмотрим теперь картину приближения функции (3.1) частичными суммами ее ряда Маклорена при комплексных значениях переменной. 5. Комплексное обвертываниеПусть функциональный ряд $\sum^{\infty}_{n=0}u_n(z)$ образован комплекснозначными функциями $u_n(z)$, которые определены на множестве $\Omega\subseteq \mathbb{C}$. Следуя [4; гл. 4, § 1], будем говорить, что данный ряд обвертывает функцию $u(z)$ на $\Omega$, если при любом $N\in\mathbb{N}$ и для всех $z\in\Omega$ выполнено неравенство Введем обозначение
$$
\begin{equation*}
\overline{\Pi}_+^{\circ}\equiv \{z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}\colon \operatorname{Re} z\geqslant 0\}
\end{equation*}
\notag
$$
для замкнутой правой полуплоскости с исключенной точкой $z=0$. Теорема 4. Функция $h(z)=\exp\{z^{-1}\ln(1+z)\}$ обвертывается своим рядом Маклорена на множестве $\overline{\Pi}_+^{\circ}$. Другими словами, при любом $N\in\mathbb{N}$ справедливо неравенство Доказательство. Из (3.15), (3.16) заключаем, что для обоснования (5.1) требуется установить неравенство Обозначим через $E$ множество всех тех $z\in D$, в которых ряд Маклорена функции $h(z)=\exp\{z^{-1}\ln(1+z)\}$ является для нее обвертывающим. Речь идет о множестве точек области $D$, для которых соотношение (5.2) выполнено при всех $N\in\mathbb{N}$. Нетрудно проверить, что $(-1,0]\cap E=\varnothing$. С другой стороны, множество $E$ содержит открытую правую полуплоскость, ибо по теореме 4 имеем $\overline{\Pi}_+^{\circ}\subset E$. Такое вложение оказывается строгим, так как в $E$ входит некоторое подмножество точек из левой полуплоскости. Например, точки вида $z=-1+iy$, где $y\in\mathbb{R}$, удовлетворяют соотношениям
$$
\begin{equation}
|1+z|=|y|, \qquad |1+z\tau|\geqslant\frac{|y|}{\sqrt{1+y^2}}
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
при всех $\tau\in[0,1]$. Применив к левой части (5.2) неравенство треугольника, с учетом (5.3) и оценки
$$
\begin{equation*}
\int^1_0\varphi(\tau)\tau^N\,d\tau\leqslant \int^1_0\varphi(\tau)\tau\,d\tau=\frac{e-2}{2}\,,\qquad N\in\mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
$$
получим, что множеству $E$ заведомо принадлежит объединение двух лучей
$$
\begin{equation*}
z=-1+iy,\qquad |y|>\frac{2\sqrt{e}+e}{2(\sqrt{e}+1)}=1.13559\dots\,,
\end{equation*}
\notag
$$
расположенных на прямой $\operatorname{Re}z=-1$. Вопрос о явном аналитическом описании множества $E$, по-видимому, является трудным. Для решения подобных задач эффективным представляется путь, основанный на численных методах. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KosShe23} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|