| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Спектральный признак экспоненциальной устойчивости И. Д. Коструб, А. И. Перов Воронежский государственный университет
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623030203 
Реферативные базы данных:
  1. Основные обозначенияПусть $\mathbb{B}$ – комплексная банахова алгебра [1], [2] и $n$ – натуральное число. Обозначим через $\mathbb{B}^n$ банахово пространство, являющееся прямым произведением $\mathbb{B}\times\mathbb{B}\times\dots\times\mathbb{B}$ ($n$ раз), состоящим из столбцов $\mathbf{X}$ с компонентами $\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\dots,\mathbf{x}_n$ из $\mathbb{B}$ и нормой $\|\mathbf{X}\|=\max\{\|\mathbf{x}_j\|\colon 1\leqslant j\leqslant n\}$. Введем еще банахову алгебру $\mathbb{B}^{n\times n}$, состоящую из $(n\times n)$-матриц $\mathbf{A}=(\mathbf{a}_{jk})$, где $\mathbf{a}_{jk}\in\mathbb{B}$ при $1\leqslant j,k\leqslant n$. Каждая такая матрица определяет линейный ограниченный оператор в $\mathbb{B}^n$, $\mathbf{Y}=\mathbf{A}\mathbf{X}$, обозначаемый той же буквой и действующий по правилу $\mathbf{y}_j=\mathbf{a}_{j1}\mathbf{x}_1+ \mathbf{a}_{j2}\mathbf{x}_2+\cdots+\mathbf{a}_{jn}\mathbf{x}_n$ при $1\leqslant j\leqslant n$. Норма матрицы $\mathbf{A}$ определяется как операторная: $\|\mathbf{A}\|=\sup\{\|\mathbf{AX}\|\colon \mathbf{X}\in \mathbb{B}^n,\, \|\mathbf{X}\|\leqslant 1\}$. Мы записываем скалярные величины (комплексные числа) обычным шрифтом, а элементы банаховой алгебры $\mathbb{B}$ – полужирным шрифтом. Выражение $\lambda \mathbf{1}$, где $\lambda$ – комплексное число, а $\mathbf{1}$ – единица алгебры, следуя Като [3], мы будем записывать в виде $\lambda$. 2. Дифференциальное уравнение $n$-го порядкаВ комплексной банаховой алгебре $\mathbb{B}$ рассмотрим линейное дифференциальное уравнение $n$-го порядка
$$
\begin{equation}
\mathbf{a}_{0}\mathbf{x}^{(n)}+\mathbf{a}_1\mathbf{x}^{(n-1)}+ \cdots+\mathbf{a}_{n-1}\dot{\mathbf{x}}+\mathbf{a}_n\mathbf{x}= \mathbf{0}
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
с постоянными коэффициентами, причем $\mathbf{a}_0$ обратим. Здесь $\mathbf{x}^{(k)}=d^k\mathbf{x}/dt^k$ для $0\leqslant k\leqslant n$. Такого вида матричные дифференциальные уравнения возникают, например, в теории колебаний [4], а операторные дифференциальные уравнения можно встретить в [5]. Нас интересуют условия, при выполнении которых изучаемое дифференциальное уравнение асимптотически устойчиво по Ляпунову. Если по методу Эйлера искать решение уравнения (2.1) в виде $\mathbf{x}(t)=\exp(t\mathbf{z})$, где $\mathbf{z}$ из $\mathbb{B}$, то мы придем к алгебраическому уравнению $n$-й степени
$$
\begin{equation}
\mathbf{a}_0\mathbf{z}^{n}+\mathbf{a}_1\mathbf{z}^{n-1}+\cdots+ \mathbf{a}_{n-1}\mathbf{z}+\mathbf{a}_n=\mathbf{0},
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
которое естественно назвать характеристическим. Однако в развиваемой нами теории важную роль играет не этот характеристический многочлен, а другой многочлен, который мы за неимением лучшего назовем скалярным характеристическим многочленом (пучком),
$$
\begin{equation}
\mathbf{l}_n(\lambda)\equiv \mathbf{a}_0 \lambda^{n}+ \mathbf{a}_1\lambda^{n-1}+\cdots+\mathbf{a}_{n-1}\lambda+ \mathbf{a}_n\colon\mathbb{C}\to\mathbb{B}.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Те $\lambda$ из $\mathbb{C}$, для которых элемент $\mathbf{l}_n(\lambda)$ не имеет обратного, образуют по определению спектр $S$ скалярного характеристического многочлена. Это есть непустое ограниченное замкнутое множество в $\mathbb{C}$. Дополнение к нему называется резольвентным множеством $R$ скалярного характеристического многочлена. Оно состоит из тех $\lambda$ из $\mathbb{C}$, для которых $\mathbf{l}_n(\lambda)$ обратим, и является непустым неограниченным открытым множеством в $\mathbb{C}$. От одного дифференциального уравнения $n$-го порядка (2.1), положив $\mathbf{x}_j=\mathbf{x}^{(j-1)}$ при $1\leqslant j\leqslant n$, перейдем к системе $n$ дифференциальных уравнений первого порядка
$$
\begin{equation}
\dot{\mathbf{x}}_1=\mathbf{x}_2,\qquad \dot{\mathbf{x}}_2=\mathbf{x}_3,\qquad \dots,\qquad \dot{\mathbf{x}}_{n-1}=\mathbf{x}_n,\qquad \dot{\mathbf{x}}_n= -\mathbf{p}_n\mathbf{x}_1-\cdots-\mathbf{p}_1\mathbf{x}_n,
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
где $\mathbf{p}_j=\mathbf{a}_0^{-1}\mathbf{a}_j$ при $1\leqslant j\leqslant n$. Обозначим через $\mathbf{X}$ из $\mathbb{B}^n$ столбец с компонентами $\mathbf{x}_j$, через $\dot{\mathbf{X}}$ из $\mathbb{B}^n$ – столбец с компонентами $\dot{\mathbf{x}}_j$ для $1\leqslant j\leqslant n$, через $\mathbf{A}$ из $\mathbb{B}^{n\times n}$ – матрицу $(\mathbf{a}_{jk})$, $1\leqslant j,k\leqslant n$,
$$
\begin{equation}
\mathbf{A}=\begin{pmatrix} \mathbf{0}&\mathbf{1}&\mathbf{0}&\dots&\mathbf{0} &\mathbf{0} \\ \mathbf{0}&\mathbf{0}&\mathbf{1}&\dots&\mathbf{0} &\mathbf{0} \\ \dots&\dots&\dots&\dots&\dots &\dots \\ \mathbf{0}&\dots&\dots&\dots&\mathbf{0} & \mathbf{1} \\ -\mathbf{p}_n&\dots&\dots&\dots&-\mathbf{p}_2 &-\mathbf{p}_1 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Эта матрица называется сопровождающей (скалярный характеристический многочлен (2.3)) матрицей Фробениуса. Запишем систему (2.4) в виде одного дифференциального уравнения в банаховом пространстве $\mathbb{B}^n$ Интегрируя, получаем $\mathbf{X}(t)=\exp(t\mathbf{A})\mathbf{X}(0)$, $-\infty<t<\infty$, откуда вытекает оценка
$$
\begin{equation*}
\|\mathbf{X}(t)\|\leqslant\|\exp(t\mathbf{A})\|\,\|\mathbf{X}(0)\|, \qquad 0\leqslant t<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть
$$
\begin{equation}
\alpha=\max\{\operatorname{Re}\lambda\colon \lambda\in S\}.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Теорема 1. Для любого $\varepsilon>0$ можно указать такую постоянную $C(\varepsilon)> 0$, что для каждого решения $\mathbf{x}(t)$ дифференциального уравнения (2.1) справедлива оценка Как вытекает из [6], спектр $S$ скалярного характеристического многочлена $\mathbf{l}_n(\lambda)$ совпадает со спектром $S(\mathbf{A})$ оператора $\mathbf{A}\colon S=S(\mathbf{A})$. Поэтому $\alpha$ является спектральной абсциссой оператора $\mathbf{A}$
$$
\begin{equation}
\alpha=\max\bigl\{\operatorname{Re}\lambda\colon \lambda\in S(\mathbf{A})\bigr\}.
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Пусть $K$ – замкнутая выпуклая оболочка компактного множества $S(\mathbf{A})$. Это множество лежит в замкнутой полуплоскости $\operatorname{Re}\lambda\leqslant \alpha$, причем прямая $\operatorname{Re}\lambda=\alpha$ является опорной к нему. По заданному $\varepsilon>0$ построим в полуплоскости $\operatorname{Re}\lambda\leqslant\alpha+\varepsilon$ замкнутый контур $\partial\sigma({\varepsilon})$, лежащий в резольвентном множестве $R$ и охватывающий множество $K$ (содержащее спектр $S(\mathbf{A})$ оператора $\mathbf{A}$). Так как
$$
\begin{equation}
e^{t\mathbf{A}}=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial\sigma({\varepsilon})} e^{t\lambda}(\lambda\mathbf{E}-\mathbf{A})^{-1}\,d\lambda,
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
то
$$
\begin{equation*}
\|e^{t\mathbf{A}}\|\leqslant e^{t(\alpha+\varepsilon)}\frac{1}{2\pi} \int_{\partial\sigma({\varepsilon})}\|(\lambda\mathbf{E}- \mathbf{A})^{-1}\|\,d|\lambda|,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation}
\|e^{t\mathbf{A}}\|\leqslant C(\varepsilon) e^{t(\alpha+\varepsilon)}\qquad\text{при}\quad 0\leqslant t<\infty.
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Из (2.11) непосредственно вытекает оценка (2.8). Наряду с дифференциальным уравнением (2.1) рассмотрим обыкновенное линейное дифференциальное уравнение $n$-го порядка
$$
\begin{equation}
a_{0}{x}^{(n)}+a_1{x}^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}{\dot{x}}+a_n{x}={0},
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
где
$$
\begin{equation}
a_0\in S(\mathbf{a}_0),\qquad a_1\in S(\mathbf{a}_1),\qquad\dots,\qquad a_n\in S(\mathbf{a}_n).
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Здесь $S(\mathbf{x})$ – это спектр элемента $\mathbf{x}$ из $\mathbb{B}$ (непустое ограниченное замкнутое множество в $\mathbb{C}$). Так как по определению элемент $\mathbf{a}_0$ обратим, то всегда $a_0\ne 0$. Выпишем для уравнения (2.12) соответствующее характеристическое уравнение
$$
\begin{equation}
a_{0}\lambda^{n}+a_1\lambda^{n-1}+\cdots+a_{n-1}\lambda+a_n={0}.
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
Оно вполне определяется своими коэффициентами $a_0,a_1,\dots,a_n$, представляющими точку в $(n+1)$-мерном пространстве $\mathbb{C}^{n+1}$. Множество всех получившихся таким образом точек обозначим $\mathfrak{F}$. Это множество является компактным. Каждое алгебраическое уравнение (2.14) имеет $n$ корней, считая каждый корень столько раз, какова его кратность. Обозначим через $S(a_{0},a_1,\dots,a_n)$ совокупность всех попарно различных корней рассматриваемого уравнения. Пусть
$$
\begin{equation}
\beta=\max\bigl\{\operatorname{Re}\lambda\colon \lambda\in S(a_{0},a_1,\dots,a_n),\,(a_{0}, a_1,\dots,a_n)\in \mathfrak{F}\bigr\}.
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
Обозначим через $\Lambda$ множество всех корней, стоящих под знаком фигурных скобок в (2.15). Это есть компактное множество в $\mathbb{C}$. Ясно, что $\beta=\max\{\operatorname{Re}\lambda\colon \lambda\in \Lambda\}$. Для нас важно, что величина $\beta$ может быть найдена элементарными средствами. Полноты ради проведем теорему Теорема 2. Для любого $\varepsilon>0$ можно указать такую постоянную $D(\varepsilon)>0$, что для произвольного решения $x(t)$ дифференциального уравнения (2.12) справедлива оценка Аналогичные оценки для матричного дифференциального уравнения по другому поводу установлены в [7]. Теорема 3. Пусть комплексная банахова алгебра $\mathbb{B}$ является коммутативной [8]. Тогда справедливо неравенство где постоянная $\alpha$ определяется формулой (2.7), а постоянная $\beta$ взята из (2.15). Эта теорема представляет один из центральных результатов статьи. Неравенство (2.17) немедленно вытекает из включения $S\subseteq\Lambda$, к доказательству которого мы и переходим. Пусть $\lambda\in S$. Тогда Так как многозначное отображение $\mathbf{x}\to S(\mathbf{x})$, сопоставляющее элементу $\mathbf{x}$ из $\mathbb{B}$ его спектр $S(\mathbf{x})$ в $\mathbb{C}$, обладает в силу коммутативности алгебры свойствами $S(\mathbf{x}+\mathbf{y})\subseteq S(\mathbf{x})+S(\mathbf{y})$ и $S(\mathbf{x}\mathbf{y})\subseteq S(\mathbf{x})S(\mathbf{y})$ (для любых $\mathbf{x}$ и $\mathbf{y}$), то
$$
\begin{equation*}
S(\mathbf{a}_{0}\lambda^{n}+\mathbf{a}_1\lambda^{n-1}+\cdots+ \mathbf{a}_{n-1}\lambda+\mathbf{a}_n)\subseteq S(\mathbf{a}_0) \lambda^{n}+S(\mathbf{a}_1)\lambda^{n-1}+\cdots+ S(\mathbf{a}_{n-1})\lambda+S(\mathbf{a}_n)
\end{equation*}
\notag
$$
откуда согласно (2.18) получаем
$$
\begin{equation}
0\in S(\mathbf{a}_0) \lambda^{n}+S(\mathbf{a}_1)\lambda^{n-1}+ \cdots+S(\mathbf{a}_{n-1})\lambda+S(\mathbf{a}_n).
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
Каждый элемент стоящей справа суммы имеет вид $a_{0}\lambda^{n}+a_1\lambda^{n-1}+\cdots+a_{n-1}\lambda+a_n$ при некоторых $a_j$ из $S(\mathbf{a}_j)$ для $0\leqslant j\leqslant n$. Включение (2.19) означает, что $0=a_{0}\lambda^{n}+a_1\lambda^{n-1}+\cdots+a_{n-1}\lambda+a_n$ при некоторых $a_j$ из $S(\mathbf{a}_j)$ при $0\leqslant j\leqslant n$, т.е. $\lambda\in \Lambda$. Требуемое включение доказано. Теорема 4. Пусть комплексная банахова алгебра $\mathbb{B}$ является коммутативной. Тогда для любого $\varepsilon>0$ можно указать такую постоянную $C(\varepsilon)>0$, что для решения $\mathbf{x}(t)$ дифференциального уравнения (2.11) справедлива оценка Теорема 4 немедленно вытекает из теорем 1 и 3; она является основной в первой части статьи. Отметим, что условие (2.21) выполнено тогда и только тогда, когда каждое алгебраическое уравнение (2.14) является гурвицевым. Для проверки гурвицевости уравнения (2.14) с вещественными коэффициентами можно воспользоваться критерием Рауса–Гурвица [9]; если же коэффициенты являются комплексными, то на помощь приходит [10]. Для проверки гурвицевости семейства многочленов могут оказаться полезными результаты работ Фаэдо [11] и Харитонова [12]. 3. Система дифференциальных уравненийРассмотрим линейную систему, состоящую из $n$ дифференциальных уравнений первого порядка
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \dot{\mathbf{x}}_1 =\mathbf{a}_{11}\mathbf{x}_1+ \mathbf{a}_{12}\mathbf{x}_2+\cdots+\mathbf{a}_{1n}\mathbf{x}_n, \\ \dot{\mathbf{x}}_2 =\mathbf{a}_{21}\mathbf{x}_1+ \mathbf{a}_{22}\mathbf{x}_2+\cdots+\mathbf{a}_{2n}\mathbf{x}_n, \\ \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots. \\ \dot{\mathbf{x}}_n=\mathbf{a}_{n1}\mathbf{x}_1+ \mathbf{a}_{n2}\mathbf{x}_2+\cdots+\mathbf{a}_{nn}\mathbf{x}_n. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Здесь $\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\dots,\mathbf{x}_n$ из $\mathbb{B}$, точка означает дифференцирование по времени $t$ и $\mathbf{a}_{jk}$ – элементы $(n\times n)$-матрицы из $\mathbb{B}^{n\times n}$, $1\leqslant j,k\leqslant n$. Нас интересуют условия, при выполнении которых дифференциальная система (3.1) асимптотически устойчива по Ляпунову. Рассмотрим систему (3.1) в векторно-матричном виде где $\mathbf{X}$ из $\mathbb{B}^{n}$ – вектор с компонентами $\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\dots,\mathbf{x}_n$, а $\mathbf{A}$ из $\mathbb{B}^{n\times n}$ – матрица с элементами $\mathbf{a}_{jk}$, $1\leqslant j,k\leqslant n$. Рассматривая это уравнение в банаховом пространстве $\mathbb{B}^{n}$, получаем $\|\mathbf{X}(t)\|\leqslant\|e^{t\mathbf{A}}\|\,\|\mathbf{X}(0)\|$ при $0\leqslant t<\infty$.Обозначим через $S(\mathbf{A})$ спектр линейного ограниченного оператора $\mathbf{A}$. Пусть $\alpha$ есть спектральная абсцисса оператора $\mathbf{A}$, т.е.
$$
\begin{equation}
\alpha=\max\bigl\{\operatorname{Re}\lambda\colon \lambda\in S(\mathbf{A})\bigr\}.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Теорема 5. Для любого $\varepsilon>0$ можно указать такую постоянную $C(\varepsilon)>0$, что для каждого решения системы (3.1) справедлива оценка Рассмотрим линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \dot{{x}}_1={a}_{11}{x}_1+{a}_{12}{x}_2+\cdots+{a}_{1n}{x}_n, \\ \dot{{x}}_2={a}_{21}{x}_1+{a}_{22}{x}_2+\cdots+{a}_{2n}{x}_n, \\ \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots. \\ \dot{{x}}_n={a}_{n1}{x}_1+{a}_{n2}{x}_2+\cdots+{a}_{nn}{x}_n. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Здесь ${x}_1,{x}_2,\dots,{x}_n$ из $\mathbb{C}$, точка означает дифференцирование по времени $t$ и ${a}_{jk}$ из $\mathbb{C}$ при $1\leqslant j,k\leqslant n$. Такого рода системы хорошо изучены. Основное предположение
$$
\begin{equation}
{a}_{jk}\in S(\mathbf{a}_{jk})\qquad\text{при}\quad 1\leqslant j,k\leqslant n.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Совокупность таких матриц ${A}=({a}_{jk})$ образует в пространстве $\mathbb{C}^{n\times n}$ компактное множество $\mathfrak{F}$. Запишем систему (3.5) в векторно-матричном виде где ${X}$ из $\mathbb{C}^{n}$ – вектор с компонентами ${x}_1,{x}_2,\dots,{x}_n$, а ${A}$ из $\mathbb{C}^{n\times n}$ – матрица с элементами ${a}_{jk}$, $1\leqslant j,k\leqslant n$. Получаем $\|{X}(t)\|\leqslant \|e^{t{A}}\|\,\|{X}(0)\|$ при $0\leqslant t<\infty$. Пусть
$$
\begin{equation}
\beta=\max\bigl\{\operatorname{Re}\lambda\colon \lambda\in S({A}),\, A\in\mathfrak{F}\bigr\}.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Теорема 6. Для любого $\varepsilon>0$ можно указать такую постоянную $D(\varepsilon)>0$, что для произвольного решения системы (3.5) справедлива оценка Для получения нужной оценки воспользуемся интегралом типа Коши
$$
\begin{equation}
e^{tA}=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial\sigma} e^{t\lambda} (\lambda I-A)^{-1}\,d\lambda,
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
где контур $\partial\sigma$ лежит в резольвентном множестве $R(A)$ матрицы $A$ и охватывает спектр $S(A)$ этой матрицы. Поясним, как нужно выбирать $\partial\sigma$, чтобы он был пригоден для всех матриц семейства $\mathfrak{F}$. Спектр $S(A)$ любой матрицы $A$ семейства $\mathfrak{F}$ лежит в полуплоскости $\operatorname{Re}\lambda\leqslant\beta$ (согласно (2.20)). Объединение всех спектров $S(A)$ семейства $\mathfrak{F}$ является компактным множеством и также лежит в полуплоскости $\operatorname{Re}\lambda\leqslant\beta$. Пусть $K$ есть замкнутая выпуклая оболочка этого объединения. Тогда $K$ есть компактное выпуклое множество, лежащее в полуплоскости $\operatorname{Re}\lambda\leqslant\beta$, причем прямая $\operatorname{Re}\lambda=\beta$ является опорной для него. Пусть задано $\varepsilon>0$. В полуплоскости $\operatorname{Re}\lambda\leqslant\beta+\varepsilon$ построим контур $\partial\sigma(\varepsilon)$, охватывающий множество $K$. Этот контур охватывает спектр $S(A)$ матрицы $A$ семейства $\mathfrak{F}$. Из (3.10) получаем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \|e^{tA}\|\leqslant e^{t(\beta+\varepsilon)}\frac{1}{2\pi} \int_{\partial\sigma(\varepsilon)}\|(\lambda I-A)^{-1}\|\,d|\lambda| \leqslant D(\varepsilon)e^{t(\beta+\varepsilon)} \\ \nonumber \text{для}\qquad 0\leqslant t<\infty \qquad\text{и} \qquad A\in\mathfrak{F}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
4. Центральная теоремаТеорема 7. Если $\mathbb{B}$ – коммутативная комплексная банахова алгебра, то справедливо неравенство где постоянная $\alpha$ взята из формулы (3.3), а постоянная $\beta$ определяется формулой (3.8). Пусть $M=\{\mathbf{m}\}$ – множество максимальных идеалов (комплексных гомоморфизмов) коммутативной комплексной алгебры $\mathbb{B}$. Каждый элемент $\mathbf{m}$ является линейным ограниченным функционалом на банаховом пространстве $\mathbb{B}$, обладающим мультипликативным свойством, т.е. наряду с $\mathbf{m}(\mathbf{x}+\mathbf{y})= \mathbf{m}(\mathbf{x})+\mathbf{m}(\mathbf{y})$, $\mathbf{m}(\lambda\mathbf{x})=\lambda\mathbf{m}(\mathbf{x})$, $\|\mathbf{m}\|=1$, имеет место $\mathbf{m}(\mathbf{x}\mathbf{y})= \mathbf{m}(\mathbf{x})\mathbf{m}(\mathbf{y})$. Множество $M$ – компактное хаусдорфово пространство и $x(M)=S(\mathbf{x})$. Здесь $x(\mathbf{m})$ – преобразование Гельфанда элемента $\mathbf{x}$, определяемое как $\mathbf{m}(\mathbf{x})=x(\mathbf{m})$, $\mathbf{m}\in M$, а $S(\mathbf{x})$ – спектр элемента $\mathbf{x}$ из $\mathbb{B}$. Наряду с матрицей $\mathbf{A}$ из $\mathbb{B}^{n\times n}$ рассмотрим ее преобразование Гельфанда
$$
\begin{equation}
A(\mathbf{m})=({a}_{jk}(\mathbf{m}))=\begin{pmatrix} a_{11}(\mathbf{m})& a_{12}(\mathbf{m})&\dots& a_{1n}(\mathbf{m}) \\ a_{21}(\mathbf{m})& a_{22}(\mathbf{m})&\dots& a_{2n}(\mathbf{m}) \\ \dots&\dots&\dots&\dots \\ a_{1n}(\mathbf{m})& a_{n2}(\mathbf{m})&\dots& a_{nn}(\mathbf{m}) \end{pmatrix}\in\mathbb{C}^{n\times n}.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
$A(\mathbf{m})$ из $\mathbb{C}^{n\times n}$ – обычная числовая матрица. Проверим формулу
$$
\begin{equation}
S(\mathbf{A})=\bigcup_{\mathbf{m}\in M} S[A(\mathbf{m})].
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Ее справедливость вытекает из двойственной формулы
$$
\begin{equation}
R(\mathbf{A})=\bigcap_{\mathbf{m}\in M} R[{ A}(\mathbf{m})],
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
которую мы и будем доказывать. Пусть $\lambda$ из $R(\mathbf{A})$. Тогда $(\lambda\mathbf{E}-\mathbf{A})(\lambda\mathbf{E}- \mathbf{A})^{-1}=\mathbf{E}$. Так как $(AB)(\mathbf{m})= A(\mathbf{m})B(\mathbf{m})$ для любых $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ из $\mathbb{B}^{n\times n}$ и $\mathbf{m}\in M$, то
$$
\begin{equation*}
(\lambda E-A(m))((\lambda\mathbf{E}-\mathbf{A})^{-1})(m)=E,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда вытекает обратимость матрицы $\lambda E-A(\mathbf{m})$, т.е. $\lambda$ из $R[A(m)]$. Мы получаем, что
$$
\begin{equation}
R(\mathbf{A})\subseteq\bigcap_{\mathbf{m}\in M}R[A(\mathbf{m})].
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Пусть $\lambda$ из $\bigcap_{m\in M} R[{ A}({ m})]$. Тогда $\lambda\in R[{A}({m})]$ для любых $\mathbf{m}$ из $M$. Это означает, что $(\lambda E-{A}(\mathbf{m}))(\lambda{E}-{A}(\mathbf{m}))^{-1}=E$, $\mathbf{m}\in M$. Мы получаем, что $\det(\lambda{E}-{A}({m}))\ne 0$ при $\mathbf{m}\in M$. Далее, так как $\det(\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A})(\mathbf{m})= \det(\lambda E-\mathbf{A}(\mathbf{m}))\ne 0$ при всех $\mathbf{m}$ из $M$, то $\det(\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A})$ обратим, откуда вытекает обратимость матрицы $\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}$ из $\mathbb{B}^{n\times n}$. Поэтому $\lambda \in R(\mathbf{A})$. Итак,
$$
\begin{equation}
\bigcap_{\mathbf{m}\in M} R[A(\mathbf{m})]\subseteq R(\mathbf{A}).
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Из включений (4.5) и (4.6) вытекает требуемое равенство (4.4). (В коммутативной алгебре $\mathbb{B}$ любой матрице $\mathbf{A}$ из $\mathbb{B}^{n\times n}$ может быть сопоставлен естественным образом $\det\mathbf{A}$. При этом матрица $\mathbf{A}$ обратима тогда и только тогда, когда обратим $\det\mathbf{A}$.) Пусть $\mathfrak{J}$ есть совокупность матриц ${A}(\mathbf{m})$, $\mathbf{m}\in M$. Тогда $\mathfrak{J}\subset \mathfrak{F}$. Так как согласно (4.3) $\operatorname{spa}A(\mathbf{m})\leqslant \alpha$ для всех $\mathbf{m}\in M$ и $\operatorname{spa}A(\mathbf{m})=\alpha$ для некоторого $\mathbf{m}$ из $M$, то $\alpha=\max\{\operatorname{Re}\lambda\colon \lambda\in S[A(\mathbf{m})], \mathbf{m}\in M\}$. (На последнем этапе рассуждений мы воспользовались компактностью семейства $\mathfrak{J}$). Теорема 8. Пусть комплексная банахова алгебра $\mathbb{B}$ является коммутативной. Тогда для любого $\varepsilon>0$ для каждого решения $\mathbf{x}_1(t),\mathbf{x}_2(t),\dots,\mathbf{x}_n(t)$ системы дифференциальных уравнений (3.1) справедлива оценка Справедливость первой части теоремы 8 непосредственно вытекает из теорем 5 и 7. 5. Признаки гурвицевостиПусть $\mathbf{A}=(\mathbf{a}_{jk})$, $1\leqslant j,k\leqslant n$, – матрица из $\mathbb{B}^{n\times n}$. Построим матрицы $C=(c_{jk})$ и $D=(d_{jk})$ из $\mathbb{R}^{n\times n}$, положив
$$
\begin{equation}
C=\begin{pmatrix} \|\mathbf{c}_{11}\|_{\log}&\|\mathbf{c}_{12}\|\phantom{_{\log}}& \dots&\|\mathbf{c}_{1n}\|\phantom{_{\log}} \\ \|\mathbf{c}_{21}\|\phantom{_{\log}}&\|\mathbf{c}_{22}\|_{\log}&\dots& \|\mathbf{c}_{2n}\|\phantom{_{\log}} \\ {}\!\!\!\!\!\!\!\dots&{}\!\!\!\!\!\!\!\dots&\dots&{}\!\!\!\!\!\!\!\dots \\ \|\mathbf{c}_{n1}\|\phantom{_{\log}}&\|\mathbf{c}_{n2}\|\phantom{_{\log}}&\dots& \|\mathbf{c}_{nn}\|_{\log} \end{pmatrix} \qquad D=\begin{pmatrix} \sigma(\mathbf{a}_{11})&\rho(\mathbf{a}_{12})&\dots& \rho(\mathbf{a}_{1n}) \\ \rho(\mathbf{a}_{21})&\sigma(\mathbf{a}_{22})&\dots& \rho(\mathbf{a}_{2n}) \\ \dots&\dots&\dots&\dots \\ \rho(\mathbf{a}_{1n})&(\mathbf{a}_{n2})&\dots& \sigma(\mathbf{a}_{nn}) \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Здесь $\|\mathbf{a}\|_{\log}=\lim_{0<t\to 0}(\|1+ta\|-\|1\|)/t$ – логарифмическая норма элемента $\mathbf{a}$ из $\mathbb{B}$, $\sigma(\mathbf{a})$ – спектральная абсцисса и $\rho(\mathbf{a})$ – спектральный радиус элемента $\mathbf{a}$ из $\mathbb{B}$: $\sigma(\mathbf{a})=\max\{\operatorname{Re}\lambda\colon \lambda\in S(\mathbf{a})\}$ и $\rho(\mathbf{a})=\max\{|\lambda|\colon \lambda\in S(\mathbf{a})\}$. Известно, что $\sigma(\mathbf{a})\leqslant \|\mathbf{a}\|_{\log}$ и $\rho(\mathbf{a})\leqslant \|\mathbf{a}\|$. Поэтому Матрицы $C$ и $D$ внедиагонально неотрицательные.Положим $\||\mathbf{B}\||=(\|\mathbf{b}_{jk}\|)$, $1\leqslant j,k\leqslant n$, для матрицы $\mathbf{B}=(\mathbf{b}_{jk})$ из $\mathbb{B}^{n\times n}$. Матрица $\||\mathbf{B}\||$ является неотрицательной $(n\times n)$-матрицей. Согласно [13]
$$
\begin{equation}
\||e^{t\mathbf{A}}\||\leqslant e^{t\mathbf{C}} \qquad\text{при}\quad 0\leqslant t<\infty.
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Поэтому
$$
\begin{equation}
\alpha\equiv \operatorname{spa}\mathbf{A}\leqslant \operatorname{spa} C.
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Из (5.4) вытекает, что если матрица $C$ гурвицева, то и матрица $\mathbf{A}$ из $\mathbb{B}^{n\times n}$ гурвицева. Согласно критерию Севастьянова–Котелянского [10] внедиагонально неотрицательная матрица $C$ является гурвицевой, если и только если положительны последовательные главные миноры матрицы $-C$:
$$
\begin{equation}
-c_{11}>0,\qquad \begin{vmatrix} c_{11}&c_{12} \\ c_{21}&c_{22} \end{vmatrix}>0,\qquad\dots,\qquad (-1)^n\begin{vmatrix} c_{11}&c_{12}&\dots&c_{1n} \\ c_{21}&c_{22}&\dots&c_{2n} \\ \dots&\dots&\dots&\dots \\ c_{1n}&c_{n2}&\dots&c_{nn} \end{vmatrix}>0.
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
Таким образом (5.5) – это достаточное условие гурвицевости матрицы $\mathbf{A}$ из $\mathbb{B}^{n\times n}$. Эти условия предполагают, что $\|\mathbf{a}_{jj}\|_{\log}<0$ при $1\leqslant j\leqslant n$. Положим $|{ B}|=(|{b}_{jk}|)$, $1\leqslant j,k\leqslant n$, для матрицы ${B}$ из $\mathbb{C}^{n\times n}$. Матрица $|B|$ является неотрицательной $(n\times n)$-матрицей. Так как согласно [14]
$$
\begin{equation}
|(e^{t{A}})(\mathbf{m})|=|e^{t{A}(\mathbf{m})}|\leqslant e^{t{D}} \qquad\text{при}\quad 0\leqslant t<\infty \qquad\text{для}\quad \mathbf{m}\in M,
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
то
$$
\begin{equation}
\alpha=\operatorname{spa}\mathbf{A}\leqslant\operatorname{spa}D.
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
Из (5.7) вытекает, что если матрица $D$ гурвицева, то и матрица $\mathbf{A}$ из $\mathbb{B}^{n\times n}$ также гурвицева. Согласно критерию Севастьянова–Котелянского [10] внедиагонально неотрицательная матрица $D$ гурвицева в том и только том случае, если положительны последовательные главные миноры матрицы $-D$:
$$
\begin{equation}
-d_{11}>0,\qquad \begin{vmatrix} d_{11}&d_{12} \\ d_{21}&d_{22} \end{vmatrix}>0,\qquad\dots,\qquad (-1)^n\begin{vmatrix} d_{11}&d_{12}&\dots&d_{1n} \\ d_{21}&d_{22}&\dots&d_{2n} \\ \dots&\dots&\dots&\dots \\ d_{1n}&d_{n2}&\dots&d_{nn} \end{vmatrix}>0.
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
Таким образом, (5.8) – это достаточное условие гурвицевости матрицы $\mathbf{A}$ из $\mathbb{B}^{n\times n}$. Эти условия предполагают, что $\sigma(\mathbf{a}_{jj})<0$ при $1\leqslant j\leqslant n$. В этом пункте дополнительно предполагалось, что $\mathbb{B}$ является коммутативной.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KosPer23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|