| Математические заметки |
|
|
|
|
|
О степенных рядах, связанных с многомерными рекордами А. В. Лебедев Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, механико-математический факультет
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623030082 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеРекордами обычно называют события, когда значения некоторого процесса превосходят все его предыдущие значения. Классической монографией по рекордам случайных последовательностей является [1]. Из недавних работ отметим [2]. Многомерные рекорды в последовательностях независимых одинаково распределенных случайных векторов изучаются со времен работы [3]. По этой тематике отметим также ряд дальнейших работ [4]–[8]. Изучаются как слабые или простые рекорды (хотя бы по одной компоненте вектора), сильные или полные (по всем компонентам), так и промежуточные (по какому-то числу или заданному подмножеству компонент). Далее мы будем иметь в виду только рекорды по всем компонентам (полные рекорды). Многомерные рекорды изучались автором в [9], где речь идет о последовательности многомерных экстремумов признаков частиц по поколениям, которые не только по-разному распределены (в силу роста численности частиц из поколения в поколение), но и зависимы (в силу наследственности). Далее мы ограничимся лишь более простым, классическим случаем. Пусть задана последовательность независимых одинаково распределенных векторов $X_n$, $n\geqslant 1$, с распределением $F$ в $\mathbb{R}^d$, $d\geqslant 1$, имеющим непрерывные компоненты. Пусть $M_n=\max\{X_1,\dots, X_n\}$, где максимум берется покомпонентно. Будем считать, что рекорд происходит в момент $n\geqslant 2$, если $M_n>M_{n-1}$ (или, что то же самое, $X_n>M_{n-1}$) по всем компонентам. Кроме того, считаем, что рекорд происходит в момент $n=1$. Для этого удобно положить $M_0=(-\infty,\dots,-\infty)$. Пусть $r_n$ – вероятность рекорда в момент $n\geqslant 1$. Тогда
$$
\begin{equation}
r_n=\int_{-\infty}^{+\infty}\dotsb\int_{-\infty}^{+\infty}F^{n-1}(x_1,\dots,x_d)\, dF(x_1,\dots,x_d).
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Определим степенной ряд Понятно, что этот ряд сходится при $0\leqslant s<1$, а при $s=1$ он может как сходиться, так и расходиться (к $+\infty$). В одномерном случае, согласно [1; лемма 13.1], имеем $r_n=1/n$, поэтому при любом непрерывном $F$ получаем
$$
\begin{equation}
R(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{s^n}{n}=-\ln(1-s), \qquad 0\leqslant s<1,
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
и эту функцию нам будет удобно обозначить как частный случай полилогарифма: $\operatorname{Li}_1(s)=-\ln(1-s)$. Однако в многомерном случае возникает большое разнообразие возможных функций. Таким образом, ряд (1.2) позволяет характеризовать и сравнивать многомерные распределения относительно поведения рекордов соответствующих случайных последовательностей. Отметим также, что в одномерном случае рекордов происходит бесконечно много за все время, а во многомерном случае их может происходить конечное число (почти наверное), и даже не происходить вообще, кроме самого первого. Необходимо отметить, что вероятности $r_n$, $n\geqslant 1$, на самом деле не зависят от частных распределений многомерного распределения $F$, а определяются только его копулой. Копулой $C$ называется функция многомерного распределения на $[0,1]^d$, $d\geqslant 2$, если все частные распределения являются равномерными на $[0,1]$. Согласно знаменитой теореме Скляра любая функция многомерного распределения в $\mathbb{R}^d$ представима в виде где $F_i$, $1\leqslant i\leqslant d$, – функции частных распределений. Таким образом, всякому многомерному распределению можно поставить в соответствие его копулу. Если частные распределения непрерывны, то такое представление единственно.В качестве основных источников по копулам укажем [10], [11; гл. 5]. С помощью разложения (1.4) и замены $u_i=F_i(x_i)$, $1\leqslant i\leqslant d$, из (1.1) получаем
$$
\begin{equation}
r_n=\int_0^1\dotsb\int_0^1C^{n-1}(u_1,\dots,u_d)\,dC(u_1,\dots,u_d).
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
Заметим, что далеко не для всех копул можно найти вероятности $r_n$, $n\geqslant 1$, в явном виде. Например, в [7] рассматривалась копула Фарли–Гумбеля–Моргенштерна, для которой результаты удалось получить только численно. Далее нам понадобятся еще некоторые понятия. Распределением Кендалла копулы $C$ называется распределение случайной величины где случайный вектор $(U_1,\dots U_d)$ имеет в качестве совместной функции распределения копулу $C$. Функцию распределения Кендалла будем обозначать через $K_C(t)$, $t\in [0,1]$, а его плотность через $\kappa_C(t)$, $t\in [0,1]$.Важные результаты о распределении Кендалла получены в работах [12], [13], на которые мы будем ссылаться. Коэффициент корреляции Кендалла $\tau$ случайных величин $X$ и $Y$ определяется как где $(X_1,Y_1)$, $(X_2,Y_2)$ – независимые случайные вектора, распределенные как $(X,Y)$.Коэффициент корреляции Кендалла полностью определяется копулой случайного вектора $(X,Y)$ (в предположении непрерывности компонент). А именно, имеет место формула [10; теорема 5.1.3]:
$$
\begin{equation*}
\tau=4\int_0^1\int_0^1C(u_1,u_2)\,dC(u_1,u_2)-1=3-4\int_0^1 K_C(t)\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Архимедовой копулой называется копула вида
$$
\begin{equation*}
C(u_1,\dots,u_d)=\varphi^{-1}(\varphi(u_1)+\dots+\varphi(u_d)),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\varphi(u)$ – функция на $[0,1]$, называемая генератором копулы, непрерывная, выпуклая и строго убывающая, $\varphi(1)=0$ и $\varphi(0)=+\infty$ (строго архимедова копула) или $0<\varphi(0)<\infty$ (нестрого архимедова копула), $\varphi^{-1}$ – обратная функция. В случае нестрого архимедовой копулы используют псевдо-обратную функцию $\varphi^{[-1]}$, полагая $\varphi^{[-1]}(u)=0$, $u\geqslant\varphi(0)$. Для двумерных архимедовых копул известна формула [10; теорема 4.3.4], связывающая функцию распределения Кендалла с генератором:
$$
\begin{equation}
K_C(t)=t-\frac{\varphi(t)}{\varphi'(t)}, \qquad t\in (0,1].
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
Копулой экстремальных значений называется копула многомерного распределения экстремальных значений (максимум-устойчивого распределения). Класс таких копул определяется условием
$$
\begin{equation*}
C(u_1^s,\dots,u_d^s)=C^s(u_1,\dots u_d) \quad \forall\, s>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Для двумерных копул экстремальных значений имеет место формула [13; p. 189]: где $\tau$ – коэффициент корреляции Кендалла для копулы $C$. Соответственно, плотность распределения Кендалла имеет вид При этом необходимо отметить, что для копул экстремальных значений $\tau\in [0,1]$.Заметим, что $R(s)$ является производящей функцией для набора вероятностей $r_n$, $n\geqslant 1$, но не является производящей функцией какого-либо распределения. Однако при $R(1)<\infty$ нормированная функция ${\tilde R}(s)=R(s)/R(1)$ является функцией некоторого распределения на $\mathbb{N}$, которое можно интерпретировать как распределение рекордного момента (без учета очередности), а его математическое ожидание – как средний рекордный момент (без учета очередности), который обозначим через ${\tilde L}$, тогда ${\tilde L}=R'(1)/R(1)$. Величину ${\tilde N}=R(1)$ назовем средним числом рекордов. Подобным образом в демографии рассматриваются и изучаются такие характеристики населения, как среднее число детей или суммарный коэфициент рождаемости (без учета смертности матерей) и средний возраст матери в момент рождения ребенка (без учета очередности ребенка) [14; гл. 3]. Вероятностям $r_n$, $n\geqslant 1$, в этой аналогии соответствуют вероятности родить ребенка, будучи в заданном возрасте. Статистически данный подход заключается в следующем. Мы рассматриваем много независимых случайных последовательностей векторов, записываем все рекордные моменты в них, затем объединяем данные и смотрим общую статистику, определяющую распределение рекордного момента (без учета очередности) и его среднее. Будем говорить, что копула $C_2$ является более благоприятной для рекордов, чем копула $C_1$, если для соответствующих функций верно $R_1(s)<R_2(s)$, $\forall\, s\in (0,1)$ (кроме, может быть, множества точек меры ноль). Если для какого-то семейства или класса копул из соотношения между значениями некоторого параметра или характеристики копулы $\theta_1<\theta_2$ следует, что копула $C_2$ оказывается более благоприятной для рекордов, чем $C_1$, будем говорить, что благоприятность для рекордов возрастает по $\theta$. Аналогично определим и убывание. Функция (1.3) имеет место не только в одномерном случае, но и для $d$-мерной копулы комонотонности (совершенной положительной зависимости) соответствующей случаю, когда все компоненты выражаются непрерывными строго возрастающими функциями от одной случайной величины (или друг от друга).В случае, когда $R(1)=\infty$, можно ввести предельную относительную благоприятность (по сравнению с копулой комонотонности) как
$$
\begin{equation*}
R_{\lim}=\lim_{s\to 1-0}\frac{R(s)}{\operatorname{Li}_1(s)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее мы установим вероятностный смысл функции $R(s)$ и ее производных, получим удобные формулы для расчета, установим достаточные условия конечности ${\tilde N}$ и ${\tilde L}$, разберем ряд примеров. 2. Основные результатыПрежде всего, установим вероятностный смысл ряда (1.2). Введем обозначения для индикаторов рекордов: $\xi_n=\mathbf I(X_n>M_{n-1})$, $n\geqslant 1$. Обозначим через $N(n)$ число рекордов до момента $n\geqslant 1$ включительно, а также определим $N(\infty)$ как число рекордов (конечное или бесконечное) за все время. Обозначим через $L(k)$ момент $k$-го рекорда, $k\geqslant 1$. При этом удобно будет положить $L(k)=0$, если $k$-й рекорд никогда не наступает. Теорема 1. Пусть $\nu$ имеет геометрическое распределение и не зависит от $X_n$, $n\geqslant 1$. Тогда $R(p)=\mathbf EN(\nu)$, и $R(1)=\mathbf EN(\infty)$. Доказательство. Имеем Здесь и далее мы по умолчанию допускаем возможность значений $+\infty$ в случае расходимости рядов или интегралов (от неотрицательных слагаемых или функций) в точке $s=1$. Следствие 1. Для любого $m\geqslant 1$ верно где $A^m_n=n!/(n-m)!$ при $n\geqslant m$ и $0$ иначе. В частности, Укажем теперь краткий способ вычисления $R(s)$ по известному распределению Кендалла $K_C$. Теорема 2. Функция $R(s)$ однозначно определяется распределением Кендалла $K_C$ по формуле: в частности, Доказательство. Из (1.5) следует, что откуда Следствие 2. Производные функции $R(s)$ однозначно определяются распределением Кендалла $K_C$ по формулам в частности, Следствие доказывается дифференцированием под знаком интеграла. Изучим более подробно случай двумерных архимедовых копул. Введем подкласс $\mathcal{A}_m$ двумерных архимедовых копул c генераторами $\varphi\in C^m[u_0,1]$, для некоторых $u_0\in (0,1)$, где под производными в точке $u=1$ имеются в виду левые производные, при $u\to 1-0$. В силу формулы (1.6), если $C\in \mathcal{A}_m$, $m\geqslant 2$, то $\kappa_C\in C^{m-2}[u_0,1]$. Теорема 3. В случае архимедовой копулы $C$ с генератором $\varphi$ имеют место следующие достаточные условия конечности среднего числа рекордов и среднего рекордного момента: 1) если $C\in \mathcal{A}_3$ и $\varphi'(1)\neq 0$, то ${\tilde N}<\infty$; 2) если $C\in \mathcal{A}_4$, $\varphi'(1)\neq 0$ и $\varphi''(1)=0$, то ${\tilde L}<\infty$. Доказательство. Из (1.6) можно получить выражения для плотности $\kappa_C(t)$ и ее производных через $\varphi$: Отметим, что из условий на генератор следует $\varphi'(t)\leqslant 0$, $\varphi''(t)\geqslant 0$ при $t\in (0,1]$. При $\varphi''(1)=0$ отсюда следует также $\varphi'''(1)\leqslant 0$. Из (2.3) при $\varphi'(1)\neq 0$ получаем
$$
\begin{equation*}
\kappa_C(1)=0, \qquad -\kappa'_C(1)=-\frac{\varphi''(1)}{\varphi'(1)}\in [0,+\infty),
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation*}
\kappa_C(t)=-\kappa'_C(1)(1-t)(1+o(1)), \qquad t\to 1-0,
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому интеграл (2.1) сходится в точке $t=1$ и ${\tilde N}<\infty$. Далее, при дополнительном условии $\varphi''(1)=0$ получаем
$$
\begin{equation*}
\kappa'_C(1)=0, \qquad \kappa''_C(1)=\frac{2\varphi'''(1)}{\varphi'(1)}\in [0,+\infty),
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation*}
\kappa_C(t)=\frac{1}{2}\kappa''_C(1)(1-t)^2(1+o(1)), \qquad t\to 1-0,
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому интеграл (2.2) сходится в точке $t=1$ и ${\tilde L}<\infty$. Теорема 4. Если функция распределения Кендалла $K_C$ абсолютно непрерывна на некотором отрезке $[t_0,1]$, $t_0\in (0,1)$, то $R_{\lim}=\kappa_C(1)$. Доказательство. Для любого $\varepsilon>0$ существует $\delta\in (0,1-t_0)$ такое, что $|\kappa_C(t)-\kappa_C(1)|<\varepsilon$ при $t\in [1-\delta,1]$. Тогда 3. ПримерыПример 1. Пусть $d\geqslant 2$ и компоненты векторов независимы. Тогда $r_n=1/n^d$. Получаем где $\operatorname{Li}_d(s)$ – полилогарифм порядка $d$ (по определению). При всех $d\geqslant 2$ имеем $R(1)<\infty$. В частности, при $d=2$ получаем $R(1)=\pi^2/6$, но $R'(1)=+\infty$. Отметим также, что для полилогарифма имеет место представление
$$
\begin{equation}
\operatorname{Li}_d(s)=\frac{1}{(d-1)!}\int_0^1\frac{s(-\ln t)^{d-1}}{1-st}\,dt.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
В общем случае из (3.1) получаем ${\tilde N}=\zeta(d)$, $d\geqslant 2$, ${\tilde L}=\zeta(d-1)/\zeta(d)$, $d\geqslant 3$, где $\zeta(z)$ – дзета-функция. При независимости компонент благоприятность для рекордов, а также ${\tilde N}$ и ${\tilde L}$ убывают по $d$. Пример 2. Пусть $d=2$. Для копул экстремальных значений в силу теоремы 2 и формул (1.7), (3.2) получаем В частности, для двумерной копулы Гумбеля
$$
\begin{equation*}
C(u_1, u_2)=\exp\{-((-\ln u_1)^\delta+(-\ln u_2)^\delta)^{1/\delta}\}, \qquad \delta\geqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
коэффициент корреляции Кендалла выражается по формуле $\tau=1-1/\delta$, откуда
$$
\begin{equation*}
R(s)=\frac{1}{\delta}\bigl((\delta-1)\operatorname{Li}_1(s)+\operatorname{Li}_2(s)\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
При $\tau>0$ имеем ${\tilde N}=\infty$, ${\tilde L}=\infty$, $R_{\lim}=\tau$. В классе двумерных экстремальных копул благоприятность для рекордов возрастает по $\tau$. Пример 3. Копула Гумбеля произвольной размерности При $\tau>0$ имеем ${\tilde N}=\infty$, ${\tilde L}=\infty$, $R_{\lim}=\tau(1+\tau)/2$. В семействе трехмерных копул Гумбеля благоприятность для рекордов возрастает по $\tau$ (см. рис. 1). Пример 4. Копула Клейтона имеет вид В частности, при $d=2$ имеем откуда
$$
\begin{equation*}
R(s)=\frac{1+\theta}{\theta}\int_0^1\frac{s(1-t^\theta)}{1-st}\,dt= \frac{1+\theta}{\theta}\biggl(\operatorname{Li}_1(s) -\frac{B_s(1+\theta,0)}{s^\theta}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $B_x(a,b)$ – неполная гамма-функция. В семействе двумерных копул Клейтона благоприятность для рекордов возрастает по $\theta$ (см. рис. 2). Далее, получаем
$$
\begin{equation*}
{\tilde N}=R(1)=\frac{1+\theta}{\theta}\int_0^1\frac{1-t^\theta}{1-t}\,dt= \frac{1+\theta}{\theta}(\psi(\theta+1)-\psi(1))<\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\psi(u)$ – дигамма-функция (пси-функция Эйлера). Для копулы Клейтона имеет место следующая связь параметра $\theta$ с коэффициентом корреляции Кендалла:
$$
\begin{equation*}
\tau=\frac{\theta}{\theta+2}, \qquad \theta=\frac{2\tau}{1-\tau}.
\end{equation*}
\notag
$$
Исходя из этого,
$$
\begin{equation*}
{\tilde N}=\frac{1+\tau}{2\tau}\biggl(\psi\biggl(\frac{1+\tau}{1-\tau}\biggr)-\psi(1)\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Двумерная копула Клейтона обобщается в область $\theta\in (-1,0)$, где она хотя и является нестрого архимедовой, но сохраняет абсолютную непрерывность и все приведенные формулы, поэтому можно рассмотреть поведение ${\tilde N}$ при $\tau\in (-1,1)$ (см. рис. 3). При $\theta\to -1$ копула Клейтона стремится к копуле контрамонотонности (см. пример 5). В семействе двумерных копул Клейтона ${\tilde N}$ возрастает по $\tau$. При этом ${\tilde L}=\infty$. Полученные результаты согласуются с теоремой 3, поскольку в данном случае $\varphi(u)=u^{-\theta}-1$ и условие $\varphi'(1)\neq 0$ выполняется, а $\varphi''(1)=0$ нет. Из (3.3) ясно, что при $d\geqslant 3$ будут возникать аналогичные, но более сложные линейные комбинации специальных функций, при этом сохранится $R(1)<\infty$ и появится $R'(1)<\infty$. При $d=3$ вычислим
$$
\begin{equation*}
{\tilde L}=\biggl.\int_0^1\frac{(1-t^\theta)^2}{(1-t)^2}\,dt\biggr/ \int_0^1\frac{(1-t^\theta)^2}{1-t}\,dt= \frac{2\theta(\psi(2\theta)-\psi(\theta))-1}{2\psi(\theta+1)-\psi(2\theta+1)-\psi(1)}.
\end{equation*}
\notag
$$
В семействе трехмерных копул Клейтона ${\tilde L}$ возрастает по $\tau$ (см. рис. 4). Формулы при всех $d\geqslant 3$ упрощаются, если $\theta=1$, тогда ${\tilde L}=(d-1)/(d-2)$, так что среднее число рекордов убывает от 2 до 1 с ростом размерности. Пример 5. При $d=2$ для копулы контрамонотонности (совершенной отрицательной зависимости) которая является функцией распределения вектора $(U,1-U)$, где $U$ равномерно распределено на $[0,1]$, легко получить $\zeta_C=0$ п.н. В этом случае происходит только первый рекорд (по определению), а далее рекордов не происходит, и $R(s)=s$. Пример 6. Формула (1.6) может работать в обратную сторону, а именно, по заданному распределению Кендалла можно построить потенциальный генератор и проверить, удовлетворяет ли он предъявляемым к генератору требованиям. А именно, получаем в общем случае где константу $c$ можно выбирать произвольным удобным образом, так что $\varphi(c)=1$. Например, можем взять Тогда и с учетом удобного выбора константы получаем
$$
\begin{equation}
\varphi(u)=((1-u)^{-\alpha}-1)^{-1/\alpha}=\frac{1-u}{(1-(1-u)^\alpha)^{1/\alpha}}, \qquad u\in (0,1],
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
свойства генератора проверяются. Таким образом, существует двумерная архимедова копула с генератором (3.4). Тогда легко получить
$$
\begin{equation*}
{\tilde N}=\frac{\alpha+1}{\alpha}, \quad \alpha>0, \qquad {\tilde L}=\frac{\alpha}{\alpha-1}, \quad \alpha>1.
\end{equation*}
\notag
$$
Полученные результаты согласуются с теоремой 3, поскольку в данном случае условие $\varphi'(1)\neq 0$ выполняется при всех $\alpha>0$, а $\varphi''(1)=0$ – при $\alpha>1$. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Leb23} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|