| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Частично интегральные операторы на пространствах Банаха–Канторовича А. Д. Арзиевab, К. К. Кудайбергеновac, П. Р. Орынбаевa, А. К. Танирбергенd a Институт математики им. В. И. Романовского АН Республики Узбекистан, г. Ташкент b Каракалпакский государственный университет им. Бердаха, г. Нукус, Узбекистан c Региональный научно-образовательный математический центр «Северо-Кавказский центр математических исследований» Владикавказского научного центра Российской академии наук d Актюбинский региональный государственный университет им. К. Жубанова, Казахстан
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623070027 
Реферативные базы данных:
  1. Введение и постановка задачиОдним из важных инструментов исследования некоторых классов операторов является спектральная теорема, которая дает ответы на многие вопросы, связанные с этими операторами. С развитием теории пространств Банаха–Канторовича естественно возник вопрос о варианте этой теоремы для операторов, определенных в таких пространствах. Одним их плодотворных методов исследования пространств Банаха–Канторовича наряду с методом булевозначного анализа оказался метод измеримых банаховых расслоений, разработанный Гутманом (см. [1]). В частности, пользуясь этим методом, было показано, что модульно ограниченный оператор в пространстве Банаха–Канторовича представляется в виде измеримого расслоения ограниченных операторов в банаховом пространстве (см. [2]). Спектральная теория достаточна хорошо развита для класса компактных операторов и имеет различные приложения. К сожалению компактность в общепринятом топологическом смысле не обеспечивает тех свойств в пространстве Банаха–Канторовича, которые были бы аналогичны соответствующим свойствам в банаховых пространств. Это послужило причиной введения нового класса множеств – циклических множеств. Понятие циклически компактного множества, а также циклически компактного оператора было введено Кусраевым в [3] (см. также [4; с. 191], [5; с. 515]). В этих работах была найдена общая форма циклического компактного оператора в модулях Капланского–Гильберта, и доказана альтернатива Фредгольма для этих операторов. В [6] было установлено, что произвольный циклически компактный оператор, действующий в модулях Капланского–Гильберта над кольцом измеримых функций, представляется в виде измеримого расслоения компактных операторов, действующих в банаховом пространстве. В работе [7] была доказана спектральная теорема для самосопряженных циклически компактных операторов в модулях Капланского–Гильберта над кольцом ограниченных измеримых функций и полученный результат был применен к частично интегральным операторам на пространстве измеримых функций со смешанной нормой. Теория интегральных и частично интегральных операторов имеет многочисленные применения в различных направлениях математики, особенно в функциональном анализе, являясь богатым источником нетривиальных примеров (см. [8]–[11]). В работе [12] Романовский при описании задач теории цепи Маркова рассмотрел линейные операторы следующего вида:
$$
\begin{equation}
Rx(t,s)=\int_a^b m(t,s,\sigma)x(\sigma,t)\, d\sigma,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
который содержит некоторую непрерывную или измеримую функцию ядра $m \colon D\times [a,b] \to \mathbb{R}$. Особенностью оператора (1.1) является то, что сначала две переменные в неизвестном подынтегральном выражении $x$ переставляются, после чего интегрирование ведется по первой переменной. На сегодняшний день операторы вида (1.1) называются частично интегральными операторами, поскольку интегрирование в (1.1) ведется только по одной переменной, а остальные переменные “заморожены”. Если записать интеграл в (1.1) без замены аргументов, т.е.
$$
\begin{equation}
Mx(t,s)=\int_a^b m(t,s,\sigma)x(t, \sigma)\, d\sigma,
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
то получается оператор с совершенно другими свойствами. В частности, в отличие от оператора (1.2), квадрат $R^2$ оператора (1.1) является компактным в пространстве $C(D)$ – всех непрерывных вещественных функций на $D$ или в пространстве Лебега $L_p(D)$ – всех $p$-интегрируемых (при $1 \leqslant p <\infty$) и существенно ограниченных (при $p=\infty$), соответственно, вещественных функций на $D$. Следовательно, оператор $I-R$ фредгольмов в этих пространствах, а оператор $I-M$ не фредгольмов даже в самом тривиальном случае, когда функция ядра $m$ постоянна. Отметим, что если $D=[0,1]\times [0,1]$, то пространство $L_p(D)$ является модулем над $L_\infty[0,1]$, т.е. $ax, xa \in L_p(D)$ для всех $x\in L_p(D)$ и $a\in L_\infty[0,1]$. При этом оператор $M$, определенный по правилу (1.2), является $L_\infty[0,1]$-однородным, т.е. $M(ax)=aM(x)$ для всех $x\in L_p(D)$ и $a\in L_\infty[0,1]$. Поэтому естественно возникает вопрос исследования таких операторов с точки зрения модулей Банаха–Канторовича над кольцом измеримых функций. Так, например, в [13; следствие 5.2] был исследован циклический модульный спектр частично интегральных операторов, действующих в пространстве Банаха–Канторовича, и было доказано, что спектр такого оператора является непустым циклически компактным множеством. В работе [14] были изучены частично интегральные операторы типа Фредгольма на модулях Капланского–Гильберта $L_0[L_2]$ над кольцом измеримых функций $L_0$. Было показано, что для самосопряженного частично интегрального оператора существуют ненулевые $L_0$-собственные значения, и этот оператор имеет счетное число действительных $L_0$-собственных значений. В данной работе мы исследуем интегральные операторы на пространстве Банаха–Канторовича над кольцом измеримых функций. Эти пространства восходят к работам одного из основателей теории частично упорядоченных векторных пространств Канторовича, предложившего наряду с классическим понятием нормы изучать обобщенные векторнозначные нормы, принимающие значения в положительном конусе некоторой векторной решетки [15]. Возникающие при этом полные “нормированные” пространства получили название пространств Банаха-Канторовича. Многие свойства линейных операторов в классических функциональных пространствах могут быть выражены в терминах векторных норм на подходящих пространствах Банаха–Канторовича [5]. Стоит отметить, что проблематика теории пространств Банаха–Канторовича богата и нетривиальна, ею занимаются исследовательские коллективы из разных стран [16]–[21]. Во втором разделе приводятся основные понятия и сведения из теории пространств Банаха–Канторовича, необходимые для изложения результатов работы. Циклический модульный спектр $L_0$-ограниченного линейного оператора, определенного в пространстве Банаха–Канторовича над кольцом измеримых функций, изучен в третьем разделе. Доказывается, что циклический модульный спектр $L_0$-ограниченного линейного оператора представляется как измеримое расслоение спектра ограниченных операторов в банаховом пространстве и показывается, что циклический модульный спектр непрерывен, т.е. не содержит собственных значений. В четвертом разделе рассматривается $L_{p,q}(\Omega\times S)$, $1\leqslant p,q<\infty$, – множество всех комплексных измеримых функций на $\Omega\times S$ таких, что $\int_{S}|f(\omega,s)|^p\,dm(s)\in L_q(\Omega)$, где $(\Omega,\Sigma,\mu)$, $(S, \mathcal{F},m)$ – измеримые пространства с конечными мерами, $L_0=L_0(\Omega)$ алгебра всех комплексных измеримых функций на $(\Omega,\Sigma,\mu)$ (равные почти всюду функции отождествляются). Пусть $k(\omega,t,s)$ измеримая функция на $\Omega\times S^{2}$ такая, что $\int_{S}\int_{S}|f(\omega,s)|^p\,dm(s)\in L_q(\Omega)$. Рассматривается компактный интегральный оператор $T\colon L_{p,q}(\Omega\times S)\to L_{p,q}(\Omega\times S)$, определенный формулой
$$
\begin{equation*}
T(f)=\int_{S}k(\omega,t,s)f(\omega,s)\,dm(s), \qquad f\in L_{p,q}(\Omega\times S),
\end{equation*}
\notag
$$
а также семейство $\{T_{\omega}\colon\omega\in\Omega\}$ интегральных операторов вида
$$
\begin{equation*}
T_{\omega}(f_{\omega})=\int_{S}k_{\omega}(t,s)f_{\omega}(s)\,dm(s), \qquad f_{\omega}\in L_{p}(S),
\end{equation*}
\notag
$$
где $k_{\omega}(t, s) = k(\omega,t, s)$. Если пространство с мерой $(\Omega,\Sigma,\mu)$ не имеет атомов, то даже в случае, когда $k(\omega,t, s) \equiv1$, оператор $T$ не является компактным, но при фиксированном $\omega$ оператор $T_{\omega}$ будет действовать в $L_p(S)$ и является компактным, т.е. $T$ можно рассматривать как измеримое расслоение компактных операторов. Это позволяет для изучения таких операторов применять метод измеримых банаховых расслоений, развитый в работах [1], [5], и результаты теории модулей Банаха–Канторовича из [1], [4], [5].
2. Пространство Банаха–Канторовича над кольцом измеримых функцийВ связи с задачами прикладного характера было введено понятие абстрактно нормированного пространства, т.е. векторного пространства, нормированного элементами $K$-пространства. Полные по абстрактной норме пространства впоследствии были названы пространствами Банаха–Канторовича. Одним из замечательных свойств этого пространства является наличие в нем векторной нормы, которая позволяет получать более подробную информацию по сравнению с числовыми нормами. Рассмотрим некоторые понятия из теории пространств Банаха–Канторовича и измеримых банаховых расслоений, которые мы будем использовать при изложении результатов статьи. Пусть $(\Omega, \Sigma, \mu)$ – измеримое пространство с полной конечной мерой $\mu$, а $L_{0}=L_{0}(\Omega, \Sigma,\mu)$ – алгебра всех комплексных измеримых функций на $(\Omega, \Sigma, \mu)$ (равные почти всюду функции отождествляются). Рассмотрим векторное пространство $E$ над полем $\mathbb{C}$ комплексных чисел. Отображение $\|\cdot\|\colon E \to L_{0}$ называется $L_{0}$-значной нормой на $E$, если для любых $x, y \in E$, $\lambda \in \mathbb{C}$ имеют место соотношения: 1) $\|x\| \geqslant 0$, $\|x\|=0 \Leftrightarrow x=0$; 2) $\|\lambda x\|=|\lambda|\,\|x\|$; 3) $\|x+y\| \leqslant\|x\|+\|y\|$. Пара $(E,\|\cdot\|)$ называется решеточно нормированным пространством над $L_{0}$. Говорят, что решеточно нормированное пространство $E$ $d$-разложимо, если для любого $x \in E$ и для любого разложения $\|x\|=\lambda_{1}+\lambda_{2}$ в сумму неотрицательных дизъюнктных элементов найдутся такие $x_{1}, x_{2} \in E$, что $x=x_{1}+x_{2}$ и $\|x_{1}\|=\lambda_{1}$, $\|x_{2}\|=\lambda_{2}$. Сеть $(x_{\alpha})_{\alpha \in A}$ элементов из $E$ называется $(bo)$-сходящейся к $x \in E$, если сеть $(\|x_{\alpha}-x\|)_{\alpha \in A}$ $(o)$-сходится к нулю в $L_{0}$ (напомним, что $(o)$-сходимость сети из $L_{0}$ равносильна ее сходимости почти всюду). Пространством Банаха–Канторовича над $L_{0}$ называется $(bo)$-полное $d$-разложимое решеточно нормированное пространство над $L_{0}$ (см. [4], [5]). Известно, что всякое пространство Банаха–Канторовича $E$ над $L_{0}$ является модулем над $L_{0}$ и $\|\lambda u\|=|\lambda|\,\|u\|$ при всех $\lambda \in L_{0}$, $u \in E$ (см. [2]). Гутманом была введена и развита теория непрерывных и измеримых банаховых расслоений, которые как оказалось весьма эффективны для исследования пространств Банаха–Канторовича. Приведем основные понятия из теории измеримых банаховых расслоений (см. [1; с. 140]). Пусть $X$ – отображение, ставящее в соответствие каждой точке $\omega \in \Omega$ некоторое банахово пространство $(X(\omega),\|\cdot\|_{X(\omega)})$, где $X(\omega) \neq\{0\}$ для всех $\omega \in \Omega$. Сечением $X$ называется функция $u$, определенная почти всюду в $\Omega$ и принимающая значения $u(\omega) \in X(\omega)$ для всех $\omega \in \operatorname{dom}(u)$, где $\operatorname{dom}(u)$ есть область определения $u$. Пусть $L$ – некоторое множество сечений. Пара $(X, L)$ называется измеримым банаховым расслоением над $\Omega$, если
Вместо $(X, L)$ будем писать просто $X$. Сечение $s$ называется ступенчатым, если $s(\omega)=\sum_{i=1}^{n} \chi_{A_{i}}(\omega) c_{i}(\omega)$, где $c_{i} \in L$, $A_{i} \in \Sigma$, $i=1, \dots, n $. Сечение $u$ называется измеримым, если найдется такая последовательность $(s_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ ступенчатых сечений, что $\|s_{n}(\omega)-u(\omega)\|_{X(\omega)} \to 0$ для почти всех $\omega \in \Omega $. Пусть $\mathcal{M}(\Omega, X)$ – множество всех измеримых сечений. Символом $L_{0}(\Omega, X)$ обозначим факторизацию $\mathcal{M}(\Omega, X)$ по отношению равенства почти всюду. Через $\widehat{u}$ обозначим класс из $L_{0}(\Omega, X)$, содержащий сечение $u \in \mathcal{M}(\Omega, X) $. Отметим, что функция $\omega \mapsto\|u(\omega)\|_{X(\omega)}$ измерима для любого $u \in \mathcal{M}(\Omega, X)$. Класс эквивалентности, содержащий функцию $\|u(\omega)\|_{X(\omega)}$, обозначим через $\|\widehat{u}\| $. Известно [1; с. 144], что если $X$ – измеримое банахово расслоение, то $(L_{0}(\Omega, X), \|\cdot \|)$ – пространство Банаха–Канторовича над $L_{0}$. Пусть $\mathcal{L}_{\infty}(\Omega)$ – множество всех комплексных ограниченных измеримых функций на $(\Omega, \Sigma, \mu)$ и
$$
\begin{equation*}
L_{\infty}(\Omega)=\bigl\{f \in L_{0}\colon \exists\, \lambda \in \mathbb{R},\, \lambda>0,\,|f| \leqslant \lambda \mathbf{1}\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Элементами пространства $L_{\infty}(\Omega)$ служат классы эквивалентности измеримых функций, а не сами функции. Обычно при работе с $L_{\infty}(\Omega)$ этим обстоятельством пренебрегают, выбирая в каждом классе индивидуальный представитель и отождествляя функции, совпадающие почти всюду. Такой подход наталкивается на трудности, когда приходится оперировать с несчетным множеством элементов из $L_{\infty}(\Omega)$. Эти трудности можно преодолеть с помощью лифтинга, т.е. отображения $\rho\colon L_{\infty}(\Omega) \to \mathcal{L}_{\infty}(\Omega)$, позволяющего выбрать по представителю из каждого класса таким образом, что получается реализация $L_{\infty}(\Omega)$ в виде пространства, всюду определенных ограниченных измеримых функций с поточечными алгебраическими операциями и поточечным отношением порядка (см. [22]). Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathcal{L}_{\infty}(\Omega, X)=\bigl\{u \in \mathcal{M}(\Omega, X)\colon \|u(\omega)\|_{X(\omega)} \in \mathcal{L}_{\infty}(\Omega)\bigr\}, \\ L_{\infty}(\Omega, X)=\bigl\{\widehat{u} \in L_{0}(\Omega, X)\colon \|\widehat{u}\| \in L_{\infty}(\Omega)\bigr\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В работе [1; теорема 4.3.1] было введено понятие векторнозначного лифтинга в фактор пространстве измеримых сечений, измеримых банаховых расслоений, обобщающее понятие лифтинга. Отображение $\ell_{X}\colon L_{\infty}(\Omega, X) \to \mathcal{L}_{\infty}(\Omega, X)$ называется векторнозначным лифтингом (ассоциированным с лифтингом $\rho$), если для вcex $\widehat{u}, \widehat{v} \in L_{\infty}(\Omega, X)$ и $\lambda \in L_{\infty}(\Omega)$ имеют место следующие соотношения: 1) $\ell_{X}(\widehat{u}) \in \widehat{u}$, $\operatorname{dom}(\ell_{X}(\widehat{u}))=\Omega$; 2) $\|\ell_{X}(\widehat{u})(\omega)\|_{X(\omega)}=\rho(\|\widehat{u}\|)(\omega)$; 3) $\ell_{X}(\widehat{u}+\widehat{v})=\ell_{X}(\widehat{u})+\ell_{X}(\widehat{v})$; 4) $\ell_{X}(\lambda \widehat{u})=\rho(\lambda) \ell_{X}(\widehat{u})$; 5) множество $\bigl\{\ell_{X}(\widehat{u})(\omega)\colon \widehat{u} \in L_{\infty}(\Omega, X)\bigr\}$ плотно в $X(\omega)$ для всех $\omega \in \Omega$. Известно [1; теорема 4.4.1 и теорема 4.4.8], что для всякого пространства Банаха–Канторовича $E$ над $L_0$ существует измеримое банахово расслоение $(X, L)$ такое, что $E$ изометрически изоморфно $L_0(\Omega, X)$, и на $L_{\infty}(\Omega, X)$ существует векторнозначный лифтинг, для которого $\bigl\{\ell_X(\widehat{u})(\omega)\colon \widehat{u}\in L_{\infty}(\Omega, X)\bigr\}=X(\omega)$ для всех $\omega\in\Omega$. Для случая пространств Банаха–Канторовича понятие компактного множества не обладает в достаточной мере теми свойствами, которые справедливы для классических банаховых пространств, в связи с чем Кусраевым было введено понятие циклически компактного множества [4; с. 191] (см. также [5; с. 515]). Пусть $\nabla $ – булева алгебра всех идемпотентов в $L_{0}$. Если $(u_{\alpha})_{\alpha \in A} $ сеть в $L_{0} (\Omega ,X)$ и $(\pi _{\alpha})_{\alpha \in A} $ – разбиение единицы в $\nabla $, то ряд $\sum _{\alpha \in A}\pi _{\alpha } u_{\alpha } $ $(bo)$-сходится в $L_{0} (\Omega ,X)$ и сумма этого ряда называется перемешиванием $(u_{\alpha})_{\alpha \in A} $ относительно $(\pi _{\alpha})_{\alpha \in A} $. Это сумма обозначается через $\operatorname{mix}(\pi _{\alpha } u_{\alpha})$. Для $K\subset L_{0} (\Omega ,X)$ через $\operatorname{mix}K$ обозначается множество всех перемешиваний произвольных семейств элементов из $K$. Множество $K$ называется циклическим, если $\operatorname{mix}K=K$. Для направленного множества $A$ через $\nabla (A)$ обозначается множество всех разбиений единицы в $\nabla $, заиндексированных элементами $A$. Отношение порядка на $\nabla (A)$ определяется следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\nu _{1} \leqslant \nu _{2} \quad\Longleftrightarrow\quad \forall\, \alpha ,\beta \in A, \quad (\nu _{1} (\alpha )\wedge \nu _{2} (\beta )\ne 0\ \Rightarrow\ \alpha \leqslant \beta ) \qquad \nu _{1} ,\nu _{2} \in \nabla (A).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $(u_{\alpha})_{\alpha \in A} $ – сеть в $L_{0} (\Omega ,X)$. Положим $u_{\nu } =\operatorname{mix}(\nu (\alpha )u_{\alpha})$ для каждого $\nu \in \nabla (A)$ и получим новую сеть $(u_{\nu})_{\nu \in \nabla (A)} $. Произвольная подсеть сети $(u_{\nu})_{\nu \in \nabla (A)} $ называется циклической подсетью сети $(u_{\alpha})_{\alpha \in A} $. Подмножество $K\subset L_{0} (\Omega ,X)$ называется циклически компактным, если оно циклично и всякая сеть в $K$ имеет циклическую подсеть, сходящуюся к некоторой точке из $K$. Циклическое множество называется относительно циклически компактным, если оно содержится в некотором циклически компактном множестве. Примером циклически компактного множества является порядковый отрезок в $L_0$ в стандартной топологии $L_0$ и опорное множество субаддитивного функционала из $L_0(\Omega, X )$ в $L_0$, в $\ast$-слабой топологии $L_0(\Omega, X )^\ast$ [4; теорема 1.3.7 и 1.3.8]. Рассмотрим теперь понятие $L_0$-ограниченного $L_0$-линейного оператора. Пусть $L_0(\Omega, X )$ и $L_0(\Omega, Y )$ – пространство Банаха–Канторовича над $L_0$. Оператор $T\colon L_0(\Omega, X )\to L_0(\Omega, Y)$ называется $L_0$-линейным, если $T(\alpha x+\beta y)=\alpha T(x)+\beta T(y)$ для всех $\alpha,\beta\in L_0$ и $x,y \in L_0(\Omega, X )$. Напомним, что множество $B\subset L_0(\Omega, X )$ называется ограниченным, если множество $\{\|x\|\colon x\in B\}$ порядково ограничено в $L_0$ (см. [1; теорема 1.6.1]). $L_0$-линейный оператор $T$ называется $L_0$-ограниченным (циклически компактным), если для всякого ограниченного множества $B$ в $L_0(\Omega,X)$ множество $T(B)$ ограничено в $L_0(\Omega, Y )$ (относительно циклически компактно). Для $L_0$-ограниченного $L_0$-линейного оператора $T$ положим
$$
\begin{equation*}
\|T\|=\sup\{\|T(x)\|\colon \|x\|\leqslant \mathbf{1}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Известно [2], [6], что для всякого ограниченного (циклически компактного) $L_0$-линейного оператора $T\colon L_0(\Omega, X )\to L_0(\Omega, Y)$ существует семейство ограниченных (компактных) операторов $\{T_{\omega}\colon X(\omega)\to Y(\omega)\}$ такое, что для всякого $x\in L_0(\Omega, X )$ верно $((T(x))(\omega)=T_{\omega}(x(\omega))$ почти для всех $\omega\in \Omega$, при этом если $\|T\|\in L_{\infty}(\Omega)$, то $\ell_Y((T(x))(\omega)=T_{\omega}(\ell_X(x)(\omega))$ для всех $x\in L_{\infty}(\Omega, X )$, где $\ell_X$ и $\ell_Y$ векторнозначные лифтинги на $L_{\infty}(\Omega, X )$ и $L_{\infty}(\Omega, Y )$ соответственно, ассоциированные с лифтингом $\rho\colon L_{\infty}(\Omega)\to \mathcal{L}_{\infty}(\Omega)$. Обратно, если $\{T_{\omega}\colon X(\omega)\to Y(\omega),\,\omega\in\Omega\}$ такое семейство ограниченных (компактных операторов), т.е. $T_{\omega}(x(\omega))\in\mathcal{M}(\Omega,Y)$ для любого $x\in\mathcal{M}(\Omega,X)$ и $\|T\|\in L_0(\Omega)$, то линейный оператор $\widehat{T}\colon L_0(\Omega, X )\to L_0(\Omega, Y)$, определенный равенством $\widehat{T}(\widehat{u})=\widehat{T_{\omega}(u(\omega))}$, является $L_0$-ограниченным (циклически компактным). Оператор $\widehat{T}$ назовем “склейкой” семейства операторов $\{T_{\omega}\colon \omega\in \Omega\}$. 3. Разложение циклического модульного спектраПонятие спектра элемента алгебры Банаха–Канторовича было исследовано в работе [13], где было введено понятие спектра как множества $\operatorname{sp}(x)$ – всех $\lambda \in L_{0}$ таких, что элемент $\lambda e-x$ не обратим в алгебре Банаха–Канторовича, где $e$ – единица алгебры. Было установлено, что множества $\operatorname{sp}(x)$ непусто. Но это множество не обладало свойствами спектра, присущими спектру элемента банаховой алгебры; в частности, множество $\operatorname{sp}(x)$ не $(o)$-замкнуто, порядково ограничено и циклично. В связи с этим было введено понятие циклического модульного спектра элемента алгебры, являющегося непустым, циклически компактным множеством. Последнее утверждение дает возможность представить циклически компактное множество как измеримое расслоение компактных множеств, тем самым получить свойства циклического модульного спектра элемента алгебры Банаха–Канторовича, “склеивая” соответствующие свойства спектра элемента банаховой алгебры. В данном разделе мы изучим спектр $L_0$-ограниченного линейного оператора $T$ в пространстве Банаха–Канторовича над $L_{0}$. Пусть $T\colon L_0(\Omega, X) \to {L}_0(\Omega, X)$ и $\nabla$ – булева алгебра всех идемпотентов в $L_{0}$, т.е. $\nabla=\{\chi_A\colon A\in\Sigma\}$, где $\chi_A$ – характеристическая функция множества $A$. Через $B(L_0(\Omega, X))$ обозначим множество всех $L_0$-ограниченных линейных операторов, определенных на пространстве Банаха–Канторовича $L_0(\Omega, X)$. Для каждого ненулевого $\pi\in \nabla$ положим
$$
\begin{equation*}
\pi L_0(\Omega, X)=\bigl\{\pi x\colon x\in L_0(\Omega, X)\bigr\}, \qquad \pi B(L_0(\Omega, X))=\bigl\{\pi T\colon T\in B(L_0(\Omega, X))\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что алгебра $\pi B(L_0(\Omega, X))$ изоморфна алгебре $B(\pi L_0(\Omega, X))$, при этом изоморфизм задается следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\pi T \in \pi B(L_0(\Omega, X)) \mapsto T|_{\pi L_0(\Omega, X)}\in B(\pi L_0(\Omega, X)).
\end{equation*}
\notag
$$
Модульным спектром оператора $T \in B(L_0(\Omega, X))$ (обозначение $\mathrm{sp}(T)$) – называется множество всех $\lambda \in L_{0}$, для которых оператор $T-\lambda I$ необратим в алгебре $B(L_0(\Omega, X))$. Определение 1. Множество $\operatorname{spm}(T)$ элементов $\lambda \in \mathrm{sp}(T)$, для которых необратим оператор $\pi(T-\lambda I)$ для любого $0\neq\pi\in\nabla$ в $\pi B(L_0(\Omega, X))$, называется циклическим модульным спектром оператора $T\in B(L_0(\Omega, X))$. Напомним, что для $T\in B(L_0(\Omega, X))$ через $\operatorname{Im}(T)$ обозначается область значений оператора $T$. Множество всех $\lambda\in L_0$ таких, что $\pi \ker(T-\lambda I) \neq 0$ для всех ненулевых $\pi \in \nabla$, назовем точечным модульным спектром оператора $T \in B(L_0(\Omega, X))$ (обозначение $\mathrm{spm}_p(T)$). Непрерывным модульным спектром оператора $T \in B(L_0(\Omega, X))$ (обозначение $\mathrm{spm}_c(T)$) назовем множество всех $\lambda\in L_0$ таких, что $\ker(T-\lambda I) =0$ и
$$
\begin{equation*}
\pi \operatorname{Im}(T-\lambda I) \neq \pi \overline{\operatorname{Im}(T-\lambda I)}=\pi L_0(\Omega, X)
\end{equation*}
\notag
$$
для всех ненулевых $\pi \in \nabla$. Остаточным модульным спектром оператора $T \in B(L_0(\Omega, X))$ (обозначение $\mathrm{spm}_r(T)$) назовем множество всех $\lambda\in L_0$ таких, что $\ker(T-\lambda I) =0$ и
$$
\begin{equation*}
\pi \overline{\operatorname{Im}(T-\lambda I)}\neq \pi L_0(\Omega, X)
\end{equation*}
\notag
$$
для всех ненулевых $\pi \in \nabla$. Модульное резольвентное множество оператора $T \in B(L_0(\Omega, X))$ (обозначение $\mathrm{res}(T)$) состоит из всех $\lambda\in L_0$ таких, что $T-\lambda I$ обратим в алгебре $B(L_0(\Omega, X))$. Отметим, что из модульного варианта теоремы Банаха об обратном операторе [23; теорема 2] вытекает, что $\lambda \in L_0$ принадлежит $\operatorname{res}(T)$ тогда и только тогда, когда
$$
\begin{equation*}
\ker(T-\lambda I)=0, \qquad \operatorname{Im}(T-\lambda I)=L_0(\Omega, X).
\end{equation*}
\notag
$$
Имеет место следующее важное свойство. Предложение 1. Для каждого $\lambda\in L_0$ существует разбиение единицы $\{\pi_p, \pi_c, \pi_r, \pi_\rho\}$ в булевой алгебре $\nabla$ такое, что: $\bullet$ $\pi_p\lambda$ лежит в точечном модульном спектре оператора $\pi_p T\in B(\pi_p L_0(\Omega, X))$; $\bullet$ $\pi_c\lambda$ лежит в непрерывном модульном спектре оператора $\pi_c T\in B(\pi_c L_0(\Omega, X))$; $\bullet$ $\pi_r\lambda$ лежит в остаточном модульном спектре оператора $\pi_r T\in B(\pi_r L_0(\Omega, X))$; $\bullet$ $\pi_\rho\lambda$ лежит в модульном резольвентном множестве оператора $\pi_\rho T\in B(\pi_\rho L_0(\Omega, X))$. Доказательство. Пусть $\lambda\in L_0$. Положим Так как $0\in\nabla_p$, то $\nabla_p$ не пусто, и поэтому существует. Если $\pi_p=0$, то точечный модульный спектр оператора $T$ является пустым множеством.
Предположим, что $\pi_p\neq 0$. Возьмем ненулевой $\pi \leqslant \pi_p$. Тогда найдется $\pi_1\in \nabla_p$ такое, что $\pi \pi_1\neq 0$. Действительно, предположим, что $\pi\pi_1=0$ для всех $\pi_1\in\nabla_\pi$. Тогда
$$
\begin{equation*}
0=\bigvee_{\pi_1\in\nabla_p}\pi\pi_1 =\pi\bigvee_{\pi_1\in\nabla_p}\pi_1=\pi\pi_p,
\end{equation*}
\notag
$$
что противоречит $0\neq\pi\leqslant\pi_p$.
Пусть $x_1\in L_0(\Omega, X)$ такой элемент, что $\|x_1\|=\pi_1$, $T(x_1)=\lambda x_1$. Тогда $\pi (\pi_1 x_1)\in \pi \ker(T-\lambda I)$, и поэтому $\pi \ker(T-\lambda I)\neq 0$. Это означает, что $\pi_p\lambda$ лежит в точечном модульном спектре оператора $\pi_p T\in B(\pi_p L_0(\Omega, X))$. По построению идемпотента $\pi_p$ вытекает, что $(\mathbf{1}-\pi_p)\ker(T-\lambda I)=0$. Теперь положим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \pi_\rho & =\vee\bigl\{\pi \in \nabla\colon \pi \leqslant \mathbf{1}-\pi_p,\, \pi \operatorname{Im}(T-\lambda I)=\pi L_0(\Omega, X)\bigr\}, \\ \pi_c & =\vee\bigl\{\pi\in \nabla\colon \pi \leqslant \mathbf{1}-\pi_p-\pi_\rho,\, \pi \overline{\operatorname{Im}(T-\lambda I)}=\pi L_0(\Omega, X)\bigr\}, \\ \pi_r & =\mathbf{1}-\pi_p-\pi_c-\pi_\rho. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично случаю идемпотента $\pi_p$ проверяется, что $\pi_c$, $\pi_r$, $\pi_\rho$ нужные нам идемпотенты. Предложение доказано. Замечание 1. Ясно, что $\lambda \in \operatorname{spm}(T)$ в том и только в том случае, если $\pi_\rho=0$. Следующая теорема является вариантом теоремы Гельфанда для модульного спектра $L_0$-ограниченного линейного оператора $T$ в пространстве Банаха–Канторовича над $L_{0}$. Теорема 1. Пусть $L_{0}(\Omega, X)$ – пространство Банаха–Канторовича над $L_{0}$ и $T\colon L_0(\Omega, X)\to L_0(\Omega, X)$ – $L_0$-ограниченный линейный оператор. Тогда Доказательство. Заменив оператор $T$ оператором $(\mathbf{1}/(\mathbf{1}+\|T\|))T$ при необходимости, мы можем считать, что $\|T\|\in L_{\infty}(\Omega)$. При этом $T$ отображает $L_{\infty}(\Omega,X)$ в себя и $\mathrm{spm}(T)\subset L_{\infty}(\Omega)$.
Возьмем произвольный $\lambda \in \operatorname{spm}(T)$, и пусть $\{\pi_p, \pi_c, \pi_r, \pi_\rho\}$ определенное в предложении 1 разбиение единицы для $\lambda$. Тогда, как уже было отмечено выше, $\pi_\rho=0$ (см. замечание 1). Сначала рассмотрим “срезанный” идемпотентом $\pi_p+\pi_c$ оператор $(\pi_p+\pi_c)T$. Из определений точечного и непрерывного модульного спектра оператора получим, что
$$
\begin{equation*}
\inf\bigl\{\|\lambda x-T(x)\|\colon x\in (\pi_p+\pi_c)L_0(\Omega, X),\, \|x\|=\pi_p+\pi_c\bigr\}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда существует последовательность $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}\subset L_0(\Omega, X)$ такая, что $\|x_n\|=\pi_p+\pi_c$ и $\|\lambda x_n -T(x_n)\|\to 0$ при $n \to\infty$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\|\lambda(\omega) x_n(\omega) -T_\omega(x_n(\omega))\|_{X(\omega)}\to 0
\end{equation*}
\notag
$$
для почти всех $\omega \in \Omega_0$, где $\Omega_0=\bigl\{\omega \in \Omega\colon \rho(\pi_p+\pi_c)(\omega)=1\bigr\}$ и $\rho$ – числовой лифтинг на $L_\infty(\Omega)$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\inf_{\|x(\omega)\|_{X(\omega)}=1}\|\lambda(\omega) x(\omega) -T_\omega(x_n(\omega))\|_{X(\omega)}=0
\end{equation*}
\notag
$$
для почти всех $\omega \in \Omega_0$. Это означает, что $\lambda(\omega) \in \operatorname{sp}(T_\omega)$ для почти всех $\omega \in \Omega_0$.
Теперь рассмотрим “срезанный” оператор $\pi_rT$. По определению остаточного модульного спектра найдется $y\in \pi_r L_\infty(\Omega, X)$ такое, что для всех $x\in \pi_r L_\infty(\Omega, X)$, где $c\in L_\infty(\Omega)$ такой элемент, что $c(\omega)>0$ для почти всех $\omega \in \Omega_1$, где $\Omega_1=\bigl\{\omega \in \Omega\colon \rho(\pi_r)(\omega)=1\bigr\}$. Применяя числовой лифтинг $\rho$ к последному неравенству и используя свойство 2) векторнозначного лифтинга, получим
$$
\begin{equation*}
\bigl\|\ell_X(y)(\omega)-T_\omega(\ell_X(x)(\omega)) +\rho(\lambda)(\omega)\ell_X(x)(\omega)\bigr\|_{X(\omega)}\geqslant \rho(c)(\omega)>0
\end{equation*}
\notag
$$
для почти всех $\omega \in \Omega_1$. Отсюда $\overline{\operatorname{Im}(T_\omega-\rho(\lambda)(\omega)I_\omega)}\neq X(\omega)$ для почти всех $\omega \in \Omega_1$. Это означает, что $\lambda(\omega)$ принадлежит остаточному спектру оператора $T_\omega$ для почти всех $\omega \in \Omega_1$. Так как $\{\pi_p, \pi_c, \pi_r\}$ – разбиение единицы в $\nabla$, то $\mu(\Omega\setminus (\Omega_0\cup\Omega_1))=0$, и поэтому $\lambda(\omega) \in \operatorname{sp}(T_\omega)$ для почти всех $\omega \in \Omega$.
Пусть теперь $\lambda \notin \operatorname{spm}(T)$. Тогда $\pi_\rho\neq 0$. Так как оператор $\pi_\rho T$ обратим в алгебре $\pi_\rho B(L_0(\Omega, X))\cong B(\pi_\rho L_0(\Omega, X))$, то Поэтому существует $\varepsilon>0$ и подмножество $\Omega_\lambda \subset \Omega$ такие, что $\mu(\Omega_\lambda)>0$ и
$$
\begin{equation*}
\chi_{\Omega_\lambda}\|\lambda x -T(x)\| \geqslant \varepsilon \chi_{\Omega_\lambda}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $x$ с $\|x\|=\pi_\rho$. Следовательно, для всех $x(\omega)\in X(\omega)$ с $\|x(\omega)\|_{X(\omega)}=1$ и для почти всех $\omega \in \Omega_\lambda$. Таким образом, для почти всех $\omega \in \Omega_\lambda$. Это означает, что $\lambda(\omega) \notin \operatorname{sp}(T_\omega)$ для почти всех $\omega \in \Omega_\lambda$. Теорема доказана. Данная теорема дает возможность представить циклический модульный спектр $L_0$-ограниченного линейного оператора в пространстве Банаха–Канторовича как измеримое расслоение спектров ограниченных операторов в банаховом пространстве [13]. Естественно возникает вопрос, возможно ли представить модульный дискретный спектр $L_0$-ограниченного линейного оператора в пространстве Банаха–Канторовича как измеримое расслоение дискретных спектров ограниченных операторов в банаховом пространстве. Элементы ${x_{1},x_{2},\dots,x_{n}}\subset L_{0}(\Omega,X)$ называют $\nabla$-линейно независимыми, если для любых $\pi\in\nabla$ и $\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}\in L_{0}$ из $\pi \sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}x_{k}=0$ вытекает $\pi\alpha_{1}=\pi\alpha_{2}=\dots=\pi\alpha_{n}=0$. Говорят, что модуль $E$ над $L_{0}$ конечнопорожденный, если в $E$ существует конечное число элементов $x_{1},x_{2},\dots,x_{n}$ таких, что любое $x\in E$ можно представить в виде $x=\alpha_{1}x_{1}+\alpha_{2}x_{2}+\dots+\alpha_{n}x_{n}$, где $\alpha_{i}\in L_{0}$, $i=1,\dots,n$. Модуль $E$ над $L_{0}$ называется $\sigma$-конечномерным, если существует такое разбиение $(\pi_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ единицы в $\nabla$, что каждый модуль $\pi_{n}E$ конечнопорожденный (см. [24]). Циклическим модульным дискретным спектром оператора $T$ называется множество $\operatorname{spm}_{\mathrm{disc}}(T)$ всех элементов $\lambda\in L_0$, для которых множество всех решений уравнения $Tx=\lambda x$, $x\in L_0(\Omega, X)$, образует конечно-порожденный модуль над $L_0$. Теперь, возвращаясь к поставленному вопросу, можно утверждать, что в общем случае ответ отрицателен, что отражено в следующем примере. Пример 1. Пусть $\Omega=[0,1]$ – измеримое пространство с лебеговой мерой $\mu$, $S=[0,1]$ также измеримое пространство с считающей мерой $\nu$, т.е. $\nu(A)=|A|$ для всех $A\subset S$. Рассмотрим пространство $L_{2,0}(\Omega,S)$, определенное следующим образом: оно состоит из классов измеримых функций $x(\omega, s)$ на $\Omega \times S$ таких, что как функция от $\omega$ принадлежит $L_0(\mu)$. Векторную норму на этом пространстве определим следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\|x\|=\biggl(\int_{S}|x(\omega,s)|^2\,d\nu(s)\biggr)^{1/2}\in L_0(\mu).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $(L_{2,0}(\Omega,S),\|\cdot\|)$ является пространством Банаха–Канторовича над $L_0(\mu)$ (см. [1; с. 144]). Отметим, что элементами этого пространства являются сети вида такие, что
$$
\begin{equation*}
\int_{S}|x_s(\omega)|^2\,d\mu(s)=\sum_{s\in[0,1]}|x_s(\omega)|^2\in L_2(\nu).
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, ряд содержит не более чем счетное число отличных от нуля членов. Определим оператор $T\colon L_{2,0}(\Omega,S)\to L_{2,0}(\Omega,S)$ как
$$
\begin{equation}
T(x)(\omega,s)=a(\omega,s)x(\omega,s), \qquad x\in L_{2,0}(\Omega, S),
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где
$$
\begin{equation}
a(\omega,s)=\begin{cases} 1-\dfrac{s}{\omega},& 0\leqslant s\leqslant \omega, \\ \dfrac{s-\omega}{1-\omega} ,&\omega\leqslant s\leqslant1. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Нетрудно показать, что оператор $T$, определенный равенством (3.1), является $L_0$-ограниченным линейным оператором. Для каждого фиксированного $\omega \in \Omega$ положим
$$
\begin{equation*}
T_{\omega}(x)(s)=a(\omega,s)x(s), \qquad x\in L_{2}(S).
\end{equation*}
\notag
$$
Из (3.2) для каждого $\omega\in\Omega$ имеем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{sp}(T_{\omega})=\overline{E(a(\omega,s))}=[0,1],
\end{equation*}
\notag
$$
где $E(a(\omega,s))$ – множество значений функции $a(\omega,s)$. Более того,
$$
\begin{equation*}
\operatorname{sp}_{\mathrm{disc}}(T_{\omega}) =\operatorname{sp}(T_{\omega}).
\end{equation*}
\notag
$$
В частности для всех $\omega\in\Omega$. Теперь покажем, что $0\notin \operatorname{spm}_{\mathrm{disc}}(T)$. Предположим, что $0\in \operatorname{spm}_{\mathrm{disc}}(T)$. Это означает, что найдется $x\in L_0(\Omega,X)$ такой, что $\|x\|=\mathbf{1}$ и $Tx=0$. Из (3.1) имеем, что $a(\omega,s)x(\omega,s)=0$. Так как $a(\omega,s)\neq 0$ для почти всех $(\omega,s)\in (\Omega,S)$, то $x(\omega,s)=0$ для почти всех $(\omega,s)\in (\Omega,S)$ т.е. $x=\mathbf{0}$, что противоречит $\|x\|=\mathbf{1}$. Из полученного противоречия вытекает, что $\mathbf{0}\notin \operatorname{spm}_{\mathrm{disc}}(T)$. 4. Измеримое расслоение компактных интегральных операторовБулевозначная интерпретация компактных множеств дала возможность введения нового класса множеств в пространстве Банаха–Канторовича – циклически компактных множеств. Понятие циклической компактности немедленно приводит к классу циклически компактных операторов. Для этого класса операторов естественно формулируются и решаются многие вопросы, свойственные компактным операторам в банаховых пространствах. Одним из плодотворных методов исследования таких операторов наряду с булевозначным анализом является метод измеримых банаховых расслоений. Применение этого метода позволило показать, что всякий линейный циклически компактный оператор в пространстве Банаха–Канторовича над кольцом измеримых функций может быть представлен как измеримое расслоение линейных компактных операторов [6]. Кроме того, применение метода измеримых банаховых расслоений позволило сформулировать условия разрешимости уравнений с частично интегральными операторами с самосопряженным ядром, определенными на пространстве измеримых функций со смешанной нормой (см. [7]). Используя вышеупомянутый метод, мы покажем, что оператор $T$, определенный на пространстве Банаха–Канторовича $L_{p,q}(\Omega\times S)$, $1\leqslant p,q<\infty$, является циклически компактным, и установим альтернативу Фредгольма для этого оператора. Пусть $(\Omega,\Sigma,\mu)$, $(S, \mathcal{F},m)$ – измеримые пространства с конечными мерами. Рассмотрим $L_{p,q}(\Omega\times S)$, $1\leqslant p,q<\infty$, – множество всех (классов эквивалентности) комплексных измеримых функций на $\Omega\times S$, таких, что $\int_{S}|f(\omega,s)|^p\,dm(s)\in L_q(\Omega)$. Для $f\in L_{p,q}(\Omega\times S)$ положим
$$
\begin{equation*}
\|f\|_p=\biggl(\int_S|f(\omega,s)|^p\,dm(s)\biggr)^{1/p}\in L_q(\Omega).
\end{equation*}
\notag
$$
Известно [5; предложение 2.3.9, (1)], что $(L_{p,q}(\Omega\times S),\,\|\cdot\|)$ является пространством Банаха–Канторовича над $L_{q}(\Omega)$. На пространстве $L_{p,q}(\Omega\times S)$ смешанная числовая норма определяется следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{p,q}=\biggl(\int_{\Omega}\biggl(\int_{S}|f(\omega,s)|^p\, dm(s)\biggr)^{q/p}\,d\mu(\omega)\biggr)^{1/q}, \qquad f\in L_{p,q}(\Omega\times S).
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{p,q}=\biggl(\int_{\Omega}\|f\|_p^q(\omega)\,d\mu(\omega)\biggr)^{1/q}.
\end{equation*}
\notag
$$
Через $\Gamma$ обозначим множество всех функций из $L_{p,q}(\Omega\times S)$ вида $\sum_{k=1}^n\varphi_k\times\psi_k$, где $\varphi_k\in L_p(S)$, $\psi_k\in L_{\infty}(\Omega)$, $k=1,\dots, n$, $n\in\mathbb{N}$. Доказательство. Известно [25; лемма 2, с. 409], что множество $\Gamma$ плотно в $L_{p,q}(\Omega\times S)$ по $\|\cdot\|_{p,q}$-норме. Пусть $f\in L_p(\Omega\times S)$. Возьмем последовательность $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\subset \Gamma$ такую, что $\|f_n-f\|_{p,q}\to 0$ при $n\to\infty$. Имеем Поэтому существует подпоследовательность $(f_{n_k})$ такая, что $\|f_{n_k}-f\|(\omega)\to 0$ почти для всех $\omega\in \Omega$. Это означает, что $\Gamma$ $(bo)$-плотно в $L_{p,q}(\Omega\times S)$.
С другой стороны, множество $(bo)$-плотно в $L_{p,q}(\Omega\times S)$. Ясно, что $\Gamma\subset L_{p,\infty}(\Omega\times S)\subset L_{p}(\Omega\times S)$. Следовательно, $\Gamma$ $(bo)$-плотно в $L_{p,q}(\Omega\times S)$. Предложение доказано.Для каждого $\omega\in \Omega$ положим
$$
\begin{equation*}
\gamma_{\omega}(f)(s)=\sum_{k=1}^n\varphi_k(s)\rho(\psi_k)(\omega), \qquad f=\sum_{k=1}^n\varphi_k\times\psi_k\in\Gamma,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\rho$ – некоторый фиксированный лифтинг на $L_{\infty}(\Omega)$. Ясно, что $\gamma_{\omega}(f)(m)$ измеримая функция на $S$ для каждого $\omega\in \Omega$. Пусть $X$ – отображение, ставящее в соответствие каждой точке $\omega\in \Omega$ банахово пространство $L_p(S)$ и $L = \{\gamma(f ) \colon f \in \Gamma\}$ , где $\gamma(f)$ – сечение $X$, ставящее в соответствие каждой $\omega\in \Omega$ функцию $\gamma_{\omega}(f)\in L_p(S)$. Теорема 2. Пара $(X,L)$ есть измеримое банахово расслоение и $L_0(\Omega,X)$ изометрически изоморфна $L_{p,q}(\Omega\times S)$. Доказательство. Так как лифтинг $\rho$ линейное отображение, то $L$ – линейное множество.
Для $f\in \Gamma$ имеем
$$
\begin{equation*}
\|\gamma_{\omega}(f)\|_{L_p(S)}^p =\int_S|\gamma_{\omega}(f)(s)|^p\,dm(s)\in L^1(\Omega).
\end{equation*}
\notag
$$
Это показывает, что $\omega\to\|\gamma_{\omega}(f)\|_{L_p(S)}$ измеримая функция.
Пусть $g\in L_p(S)$. Положим $f(\omega,s)=g(s)$, $\omega\in\Omega$. Тогда $f\in \Gamma$ и $\gamma_{\omega}(f)=g$ для всех $\omega\in\Omega$. Поэтому множество $\{\gamma_{\omega}(f)\colon f\in\Gamma\}$ совпадает с $L_p(S)$ для всех $\omega\in\Omega$. Пусть теперь $L_0(\Omega, X)$ – пространство Банаха–Канторовича над $L_q(\Omega)$, построенное по $(X,L)$. Так как по построению для $f\in \Gamma$ имеет место $\|f\|=\|\widehat{\gamma(f)}\|$, то соответствие $\gamma\colon f\to\widehat{\gamma(f)}$ есть изометрия из $\Gamma$ в $L_0(\Omega,X)$. Так как множество $\{\gamma(f ) \colon f \in \Gamma\}$ содержит множество всех ступенчатых сечений, $\{\widehat{\gamma(f )} \colon f \in \Gamma\}$ $(bo)$-плотно в пространстве $L_0(\Omega, X )$. Согласно предложению 2 множество $\Gamma$ $(bo)$-плотно в $L_{p,q}(\Omega\times S)$, и поэтому $\gamma$ продолжается до изометрического изоморфизма из $L_0(\Omega, X )$ на $L_{p,q}(\Omega\times S)$. Теорема доказана. Теперь рассмотрим на пространстве $L_{p,q}(\Omega\times S)$ частично интегральные операторы и, применяя метод измеримых банаховых расслоений, установим некоторые его свойства. Пусть $k(\omega,t,s) $ – измеримая функция на $\Omega\times S^2$ такая, что
$$
\begin{equation}
\int_S\int_S|k(\omega,t,s)|^p\,dm(t)\,dm(s)\in L_q(\Omega).
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Оператор $T\colon L_{p,q}(\Omega\times S)\to L_{p,q}(\Omega\times S)$ определим формулой
$$
\begin{equation}
T(f)=\int_Sk(\omega,t,s)f(\omega,s)\,dm(s), \qquad f\in L_{p,q}(\Omega\times S).
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Пусть $f\in L_{p,q}(\Omega\times S)$ и $g=T(f)$. Покажем, что $g\in L_{p,q}(\Omega\times S)$. Пусть сначала $f\in L_{p,\infty}(\Omega\times S)$, где
$$
\begin{equation*}
L_{p,\infty}(\Omega\times S)=\{h\in L_p(\Omega\times S)\colon \|h\|\in L_{\infty}(\Omega)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя неравенство Гёльдера, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |g|^k &=\biggl|\int_Sk(\omega,t,s)f(\omega,s)\,dm(s)\biggr|^k \\ &\leqslant\int_S|k(\omega,t,s)|^k\,dm(s) \int_S|f(\omega,s)|^k\,dm(s)\leqslant\|f\|^kK(\omega), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. где $K(\omega)=\int_S|k(\omega,t,s)|^p\,dm(s)$. Так как
$$
\begin{equation*}
\biggl(\int_S|k(\omega,t,s)|^p\,dm(s)\biggr)^{1/p}\in L_{p,q}(\Omega\times S)
\end{equation*}
\notag
$$
и $\|f\|^{p}\in L_{\infty}(\Omega)$, то $g\in L_{p,q}(\Omega\times S)$. Интегрируя (4.3) по $t$, получим
$$
\begin{equation*}
\|g\|^{p}=\int_{S}\|g(\omega,t)\|^{p}\,dm(t)\leqslant C^{p}\|f\|^{p},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
C^{p}=\int_{S}\int_{S}\|k(\omega,t,s)\|^{p}\,dm(s)\,dm(t).
\end{equation*}
\notag
$$
Это означает, что $T$ является $L_{q}(\Omega)$-ограниченным оператором на $L_{p,\infty}(\Omega\times S)$. Так как $L_{p,\infty}(\Omega\times S)$ $(bo)$-плотно в $L_{p,q}(\Omega\times S)$, то $T$ также $L_{q}(\Omega)$-ограничен на $L_{p,q}(\Omega\times S)$, при этом $\|T\|\leqslant C$. Непосредственно из (4.2) вытекает, что $T$ является $L_{q}(\Omega)$-линейным оператором. Предложение 3. Пусть $(\Omega,\Sigma,\mu)$ не имеет атомов и предположим, что Доказательство. Пусть сначала Предположим, что $k(\omega,t,s)\neq 0$. Так как $k(\omega,t,s)=\overline{k(\omega,t,s})$, оператор $U\neq 0$ эрмитов и поэтому спектральный радиус оператора $U$ равен норме $U$. Следовательно, спектр $\sigma(U)$ содержит ненулевой элемент $\lambda\in \mathbb{R}$. Из компактности $U$ следует, что $\lambda$ собственное значение оператора $U$ и поэтому $\operatorname{ker}(\lambda I-U)$ конечномерное линейное пространство над полем комплексных чисел $\mathbb{C}$.
С другой стороны, из $L_{\infty}(\Omega)$-линейности $T$ вытекает, что $\operatorname{ker}(\lambda I-U)$ есть ненулевой модуль над $L_{\infty}(\Omega)$. Так как $(\Omega,\Sigma,\mu)$ не имеет атомов, то всякий ненулевой модуль над $L_{\infty}(\Omega)$ есть бесконечномерное линейное пространство над $\mathbb{C}$. Из полученного противоречия следует $k(\omega,t,s)\equiv0$. В общем случае рассмотрим эрмитовы операторы вида (4.2) с ядрами
$$
\begin{equation*}
k(\omega,t,s)+\overline{k(\omega,t,s}), \qquad i(k(\omega,t,s)-\overline{k(\omega,t,s})).
\end{equation*}
\notag
$$
Из вышеприведенных рассуждений следует Отсюда $k(\omega,t,s)\equiv 0$. Предложение доказано.Теорема 3. Оператор $T$, определенный формулой (4.2), является циклическикомпактным. Доказательство. Пусть $k(\omega,t,s)$ ядро оператора $T$. Для каждого $\omega\in\Omega$ положим $k_{\omega}(t,s)=k(\omega,t,s)$. Из (4.1) получим, что функция $k_{\omega}(t,s)$ принадлежит $L_{p}(S^2)$ почти для всех $\omega\in\Omega$. Для $\omega\in\Omega$ интегральный оператор $T_{\omega}\colon L_{p}(S)\to L_{p}(S)$ определим формулой
Хорошо известно [26; теорема 5.2], что $T_{\omega}$ компактный оператор для почти всех $\omega\in\Omega$. Покажем, что $\{T_{\omega}\colon \omega\in\Omega\}$ является измеримым расслоением компактных операторов. Так как по теореме 2 пространство Банаха–Канторовича $L_{p,q}(\Omega\times S)$ представляется как измеримое расслоение банаховых пространств $L_{p}(S)$, то достаточно показать, что если $f\in L_{p,q}(\Omega\times S)$, то класс эквивалентности функции $(\omega,s)\to T_{\omega}(f_{\omega})(s)$ принадлежит $L_{p,q}(\Omega\times S)$, где $f_{\omega}=f(\omega,s)$. Для $f\in L_{p,q}(\Omega\times S)$ имеем
$$
\begin{equation*}
T_{\omega}(f_{\omega}(t))=\int_{S}k_{\omega}(t,s)f_{\omega}(s)\,dm(s)= \int_{S}k(\omega,t,s)f(\omega,s)\,dm(s)=T(f)(\omega,t)
\end{equation*}
\notag
$$
почти для всех $(\omega,t)\in \Omega\times S$, где $f_{\omega}(s)=f(\omega,s)$. Это показывает, что$\{T_{\omega}\colon \omega\in\Omega\}$ измеримое расслоение компактных операторов и склейка $\{T_{\omega}\colon \omega\in\Omega\}$ есть $T$. Поэтому из [6; теорема 3] вытекает, что $T$ циклически компактный оператор. Теорема доказана. Теперь напомним определение $\nabla$-альтернативы Фредгольма для операторов в пространстве Банаха–Канторовича, введенное Кусраевым в [4; теорема 4.3.10] (см. также [5; с. 520]). Пусть $L_{0}(\Omega,X)^{\ast}$ – сопряженное пространство к $L_{0}(\Omega,X)$ в смысле пространства Банаха–Канторовича, т.е. множество всех $L_{0}$-ограниченных линейных функционалов на $L_{0}(\Omega,X)$. Рассмотрим $L_{0}$-ограниченный линейный оператор $A\colon L_{0}(\Omega,X)\to L_{0}(\Omega,X)$, сопряженный оператор $A^{\ast}\colon L_{0}(\Omega,X)^{\ast}\to L_{0}(\Omega,X)^{\ast}$, однородные уравнения и соответствующее основное уравнение и сопряженное уравнение Говорят, что для оператора $A$ справедлива $\nabla$-альтернатива Фредгольма, если существует счетное разбиение $\{\pi_{n}\colon n\in \mathbb{N}\cup\{0\}\}$ единицы в $\nabla$ такое, что выполнены условия.1) Однородное уравнение $\pi_{0}A(x)=0$ (соответственно сопряженное однородное уравнение $\pi_{0}A^{\ast}(g)=0$) имеет единственное нулевое решение. Уравнение $\pi_{0}A(x)=\pi_{0}y$ (соответственно $\pi_{0}A^{\ast}(g)=\pi_{0}f$) разрешимо и имеет единственное решение для всякой $y\in L_{0}(\Omega,X)$ (соответственно $f\in L_{0}(\Omega,X)^{\ast})$. 2) Для любого $n\in \mathbb{N}$ однородные уравнения $\pi_{n}A(x)=0$ и $\pi_{n}A^{\ast}(g)=0$ имеют по $n$ $\nabla$-линейно независимых решений $x_{1,n},\dots,x_{n,n}$ и $g_{1,n},\dots,g_{n,n}$. 3) Основное уравнение (сопряженное уравнение) разрешимо в том и только в том случае, если $\pi_{n}g_{i,n}(y)=0$, $ n\in \mathbb{N}$, $i\leqslant n\,\,(\pi_{n}f_{i,n}(x)=0$, $n\in \mathbb{N}$, $i\leqslant n$ соответственно). 4) Общее решение основного уравнения имеет вид
$$
\begin{equation*}
x=\sum_{n=1}^{\infty}\pi_{n}\biggl(x_{n}^{\ast} +\sum_{i=1}^{n}c_{i,n}x_{i,n}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
а общее решение сопряженного уравнения
$$
\begin{equation*}
g=\sum_{n=1}^{\infty}\pi_{n}\biggl(g_{n}^{\ast} +\sum_{i=1}^{n}c_{i,n}g_{i,n}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $x_{n}^{\ast}$ (соответственно $g_{n}^{\ast}$) – частное решение уравнения $\pi_{n}A(x)=y$ (соответственно $\pi_{n}A^{\ast}(g)=f$), где $c_{i,n}\in L_{0}$, $n\in \mathbb{N}$, $i\leqslant n$. Известно [4; теорема 4.3.12], что когда оператор $A$ циклически компактен, для оператора $I-A$ справедлива $\nabla$-альтернатива Фредгольма. Поэтому из теоремы 3 и теоремы 4.3.12 из [4] получим Теорема 4. Если $T$ – оператор, определенный формулой (4.2), то для оператора $I-T$ справедлива $\nabla$-альтернатива Фредгольма. Из теоремы 4 получим следующее: Следствие 1. Пусть $T$ – оператор, определенный формулой (4.2), и $\lambda\in L_{q}(\Omega)$, $\lambda(\omega)\neq0$ почти для всех $\omega\in\Omega$. Тогда есть $\sigma$-конечно-порожденный модуль над $L_{q}(\Omega)$. 5. Сравнение модульного и циклического модульного спектра частично интегрального оператораВ этом разделе приведем пример функции $k(\omega,t,s)\in L_{\infty}([0,1]^3)$ такой, что для частично интегрального оператора
$$
\begin{equation}
Tx(\omega,t)=\int_0^1k(\omega,t,s)x(\omega,s)\,ds, \qquad x=x(\omega,s)\in L_{2,\infty}([0,1]^2)
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
имеет место $\operatorname{sp}_{\mathrm{disc}}(T)\setminus \{0\}=\varnothing$ и $\operatorname{spm}_{\mathrm{disc}}(T)\setminus \{0\}\neq\varnothing$. Рассмотрим функцию $k(\omega,t,s)\in L_{\infty}([0,1]^3)$, определенную следующим образом:
$$
\begin{equation}
k(\omega,t,s)= \begin{cases} (\omega+1)(1-s)t,& 0\leqslant t\leqslant s, \\ (\omega+1)(1-t)s, & s\leqslant t\leqslant 1. \end{cases}
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Для каждого $\omega\in\Omega$ рассмотрим интегральный оператор $T_\omega$ с ядром
$$
\begin{equation}
k_\omega(t,s)=k(\omega,t,s)= \begin{cases} (1-s)t,& 0\leqslant t\leqslant s, \\ (1-t)s, &s\leqslant t\leqslant 1, \end{cases}
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
т.е.
$$
\begin{equation*}
T_{\omega}(x)=\int_0^1k_{\omega}(t,s)x(s)\,ds, \qquad x(s)\in L_{2}([0,1]).
\end{equation*}
\notag
$$
В частности,
$$
\begin{equation*}
T_{0}(x)=\int_0^1k_{0}(t,s)x(s)\,ds, \qquad x(s)\in L_{2}([0,1]).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда согласно [27; с. 113] собственными значениями оператора $T_{0}$ являются $\lambda_n=1/(\pi^2n^2)$, $n\in\mathbb{N}$. Так как $T_\omega=(1+\omega)T_0$, спектр оператора $T_\omega$ имеет следующий вид:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{sp}_{\mathrm{disc}}(T_{\omega}) =\biggl\{\frac{1+\omega}{\pi^2n^2}\colon n\in\mathbb{N}\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $\omega\in[0,1]$ Вернемся к уравнению (5.1). Зафиксируем $\omega_0\in(0,1)$. Возьмем $n\in \mathbb{N}$ и $m>1/(\min\{1-\omega_0,\,\omega_0\})$. Обозначим
$$
\begin{equation*}
\psi_{m,n}(\omega,t)=\chi_{[\omega_0-{1}/{m},\omega_0+{1}/{m}]} (\omega)\varphi_n(t),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\varphi_n(t)$ – собственные функции соответствующие собственным значениям $\lambda_n$ с $\|\varphi_n\|_{L_2}=1$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, T\psi_{m,n} &=\int_0^1k(\omega,t,s) \chi_{[\omega_0-1/m,\omega_0+1/m]}(\omega)\varphi_n(s)\,ds \\ &=\chi_{[\omega_0-1/m,\omega_0+1/m]}(\omega)(1+\omega) \int_0^1 k_0(t,s) \varphi_n(s)\,ds \\ &=\chi_{[\omega_0-1/m,\omega_0+1/m]}(\omega)(1+\omega) \frac{1}{\lambda_n}\varphi_n(t) =\frac{1+\omega}{\lambda_n}\psi_m(\omega,t). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl\|T\psi_{m,n}-\frac{1+\omega_0}{\lambda_n} \psi_{m,n}(\omega,t)\biggr\|_{L_2}= \biggl\|\frac{\omega-\omega_0}{\lambda_n}\cdot\psi_{m,n} (\omega,t)\biggr\|_{L_2} \\ &\qquad=\biggl\|\frac{\omega-\omega_0}{\lambda_n} \chi_{[\omega_0-1/m,\omega_0+1/m]}(\omega) \varphi_n(t)\biggr\|_{L_2} \\ &\qquad\leqslant \biggl\|\frac{\omega-\omega_0}{\lambda_n} \chi_{[\omega_0-1/m,\omega_0+1/m]}(\omega)\biggr\|_{L_{\infty}} \cdot \|\varphi_n(t)\|_{L_2}=\frac{1}{\lambda_nm}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда
$$
\begin{equation*}
\lim_{m\to\infty} \biggl\|T\psi_{m,n}-\frac{1+\omega_0}{\lambda_n}\psi_{m,n} (\omega,t)\biggr\|_{L_2}=0
\end{equation*}
\notag
$$
для каждого фиксированного $n$. По теореме Вейля (см. [28; теорема VII.12]) имеем $(1+\omega_0)/\lambda_n\in\operatorname{sp}(T)$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\operatorname{sp}(T)=\biggl\{\frac{1+\omega}{\lambda_n}, \, n\in\mathbb{N},\,\omega\in[0,1]\biggr\}\cup\{0\}= \bigcup_{n=1}^{\infty} \biggl[\frac{1}{\lambda_n},\frac{2}{\lambda_n}\biggr]\cup\{0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как ${2}/{\lambda_{n+1}}>{1}/{\lambda_{n}}$ для всех $n\geqslant3$, то
$$
\begin{equation*}
\operatorname{sp}(T)=\biggl[0,\frac{2}{9\pi^2}\biggr] \cup\biggl[\frac{1}{4\pi^2},\frac{1}{2\pi^2}\biggr] \cup\biggl[\frac{1}{\pi^2},\frac{2}{\pi^2}\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что все ненулевые числа из $\operatorname{sp}(T)$ являются элементами непрерывной части модульного спектра. Теперь определим циклический модульный спектр $\operatorname{spm}(T)$. Обозначим
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\lambda}_0=0, \qquad \widetilde{\lambda}_n(\omega) =\frac{1+\omega}{\pi^2n^2}, \quad \omega\in[0,1],
\end{equation*}
\notag
$$
где $n\in\mathbb{N}$. Тогда из теоремы 1 непосредственно получим, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{spm}(T)=\operatorname{mix} \biggl\{\sum_{n=0}^{\infty}\chi_{A_n}\widetilde{\lambda_n}\colon A_n\in\Sigma,\, A_n\cap A_m=\varnothing, \,m\neq n, \,n,m\in\mathbb{N}\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, частично интегральное уравнение $Tx=\lambda x$, где $0\neq\lambda\in \mathbb{C}$, имеет только тривиальное решение, а в то же время уравнение $Tx=\widetilde{\lambda }_nx$, где $0\neq\widetilde{\lambda}_n\in\operatorname{spm}(T)$, имеет нетривиальное решение.
БлагодарностьАвторы выражают благодарность рецензенту за ценные замечания и конструктивные предложения, которые помогли повысить качество представленного исследования и максимально структурировать статью согласно требованиям журнала. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{ArzKudOry23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|