М. Б. Карманова, “Мера образов контактных отображений на двухступенчатых сублоренцевых структурах”, Матем. заметки, 113:1 (2023), 149–153; Math. Notes, 113:1 (2023), 154

Финансовая поддержка	Номер гранта
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации	FWNF-2022-0006
Работа выполнена в рамках государственного задания Института математики СО РАН (проект № FWNF-2022-0006).

В сообщении исследуется модельный случай задачи нахождения меры поверхности, являющейся подмножеством сублоренцевой структуры и параметризованной некоторым открытым множеством двухступенчатой группы Карно с помощью контактного отображения. Глубина образа также равна двум. Сублоренцевы структуры являются неголономным обобщением геометрии Минковского (см., например, [1] и список цитируемых источников); исследования как самих структур, так и их приложений в физике начались относительно недавно [2]–[5]. Мы будем рассматривать и “классический” случай с одной временно́й переменной, и общий случай, где таких переменных несколько (такие структуры также изучаются с недавнего времени; см., например, [6]).

Ранее автором исследовались классы поверхностей-графиков на сублоренцевых структурах [7]; кроме того, выводились и метрические свойства поверхностей уровня [8]. Особенность решаемой в данной заметке задачи состоит в том, что впервые рассматривается общий случай (контактных) отображений, образ которых лежит на сублоренцевой структуре; кроме того, так как субриманов дифференциал отображения может вырождаться, задача не может быть сведена напрямую к случаю графиков. В сообщении содержатся два основных результата: аналитический вид условия пространственноподобия поверхности-образа и формула сублоренцевой площади в терминах субриманова аналога дифференциала. Подчеркнем также, что определение якобиана нового типа использует те же идеи, что и вывод выражения коэффициента коплощади для отображений сублоренцевых структур [8].

Напомним необходимые термины и свойства исследуемых объектов.

Определение 1 [9]. Двухступенчатой группой Карно называется связная односвязная стратифицированная группа Ли $\mathbb G$, алгебра Ли $V$ которой представима в виде $V=V_1\oplus V_2$, $[V_1,V_1]=V_2$, $[V_1,V_2]=\{0\}$. Если базисное поле $X_l$ принадлежит $V_k$, то его степень $\operatorname{deg}X_l$ равна $k$, $l=1,\dots,N$, $k=1,2$.

Подчеркнем, что базисные поля на группе Карно выбираются таким образом, что каждое из них принадлежит только одному из множеств $V_1$ или $V_2$.

Обозначим топологическую размерность группы $\mathbb G$ символом $N$. Групповая операция определяется формулой Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа.

Опишем субриманов аналог расстояния между точками.

Определение 2. Пусть $w=\exp(\sum_{i=1}^Nw_iX_i)(v)$, $v,w\in\mathbb G$. Положим

$$ \begin{equation*} d_2(v,w)=\max\biggl\{\biggl(\,\sum_{j:\operatorname{deg}X_j=1}w_j^2\biggr)^{1/2}, \biggl(\,\sum_{j:\operatorname{deg}X_j=2}w_j^2\biggr)^{1/4}\biggr\}. \end{equation*} \notag $$

Множество $\{w\in\mathbb G:d_2(v,w)<r\}$ называется шаром относительно $d_2$ радиуса $r>0$ с центром в точке $v$ и обозначается символом $\operatorname{Box}_2(v,r)$.

Хаусдорфова размерность $\mathbb G$ относительно $d_2$ равна $\sum_{k=1}^2k\dim V_k$, и обозначается $\nu$.

Определение 3. Значение субримановой меры для $A\subset\mathbb G$ равно

$$ \begin{equation*} \mathscr H^\nu(A)=\omega_N\cdot\lim_{\delta\to 0} \inf\biggl\{\sum_{i\in\mathbb N}r_i^\nu:\bigcup_{i\in\mathbb N} \operatorname{Box}_2(x_i,r_i)\supset A,\,x_i\in A,\,r_i<\delta\biggr\}, \end{equation*} \notag $$

где точная нижняя грань берется по всем покрытиям множества $A$.

Рассмотрим теперь еще одну двухступенчатую группу Карно $\widetilde{\mathbb G}$ с алгеброй Ли $\widetilde V=\widetilde V_1\oplus\widetilde V_2$ и базисными полями $\widetilde X_1,\dots,\widetilde X_{\widetilde N}$ такую, что $\dim\widetilde V_1>\dim V_1$ и $\dim\widetilde V_2\geqslant\dim V_2$. Тогда и топологическая размерность $\widetilde N$ группы $\widetilde{\mathbb G}$ строго больше, чем $N$. Построим сублоренцеву структуру на $\widetilde{\mathbb G}$. Положим для исследуемого модельного случая $\dim\widetilde V_k^-=\dim\widetilde V_k-\dim V_k$, $k=1,2$. Квазиметрику, построенную на $\widetilde{\mathbb G}$ так же, как описано в определении 2, обозначим символом $\widetilde d_2$.

Определение 4. Пусть $w=\exp(\sum_{i=1}^{\widetilde N}w_i\widetilde X_i)(v)$, $v,w\in\widetilde{\mathbb G}$. Положим величину $\mathfrak d_2^2(v,w)$ равной

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \max\biggl\{&\operatorname{sgn} \biggl(\,\sum_{j=\dim\widetilde V_1^-+1}^{\dim\widetilde V_1}w_j^2 -\sum_{j=1}^{\dim\widetilde V_1^-}w_j^2\biggr) \biggl|\sum_{j=\dim\widetilde V_1^-+1}^{\dim\widetilde V_1}w_j^2 -\sum_{j=1}^{\dim\widetilde V_1^-}w_j^2\biggr|, \\ &\qquad\operatorname{sgn} \biggl(\,\sum_{j=\dim\widetilde V_1+\dim\widetilde V_2^-+1}^{\widetilde N}w_j^2 -\sum_{j=\dim\widetilde V_1+1}^{\dim\widetilde V_1+\dim\widetilde V_2^-}w_j^2\biggr) \\ &\qquad\qquad\times \biggr|\sum_{j=\dim\widetilde V_1+\dim\widetilde V_2^-+1}^{\widetilde N}w_j^2 -\sum_{j=\dim\widetilde V_1+1}^{\dim\widetilde V_1+\dim\widetilde V_2^-}w_j^2\biggr|^{1/2}\biggr\}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Множество $\{w\in\widetilde{\mathbb G}:\mathfrak d_2^2(v,w)<r^2\}$ называется шаром относительно $\mathfrak d_2^2$ радиуса $r>0$ с центром в точке $v$ и обозначается символом $\operatorname{Box}_{\mathfrak d}(v,r)$.

Заметим, что для исследования метрических свойств достаточно рассматривать приведенный выше аналог квадрата расстояния $\mathfrak d_2^2$, без перехода к корням из участвующих в определении величин. Опишем меру на образе, построенную с помощью такой системы шаров.

Определение 5. Пусть $B\subset\widetilde{\mathbb G}$. Тогда ее сублоренцева мера $\mathscr H^\mu_{\mathfrak d}$ равна

$$ \begin{equation*} \omega_{\mathfrak d}\cdot\lim_{\delta\to 0} \inf\biggl\{\sum_{i\in\mathbb N}r_i^\mu:\bigcup_{i\in\mathbb N} (\operatorname{Box}_{\mathfrak d}(x_i,r_i)\cap^{x_i}B)\supset B,\, x_i\in B,\,r_i<\delta\biggr\}, \end{equation*} \notag $$

где точная нижняя грань берется по всем покрытиям множества $B$, $\omega_{\mathfrak d}$ – заранее выбранный нормировочный коэффициент, кроме того, символ $\operatorname{Box}_{\mathfrak d}(x_i,r_i)\cap^{x_i}B$ означает компоненту связности множества $\operatorname{Box}_{\mathfrak d}(x_i,r_i)\cap B$, содержащую точку $x_i$.

Требование использовать $\operatorname{Box}_{\mathfrak d}(x_i,r_i)\cap^{x_i}B$ вместо $\operatorname{Box}_{\mathfrak d}(x_i,r_i)\cap B$ связано со спецификой структуры, а именно, с неограниченностью шаров. Мы будем рассматривать случай $\mu=\nu$ и $\omega_{\mathfrak d}=\omega_{\dim V_1}\cdot\omega_{\dim V_2}$. А в качестве $B$ мы исследуем образы класса отображений $\varphi\colon\Omega\to\widetilde{\mathbb G}$, где $\Omega\subset\mathbb G$ – открытое множество. В заметке будут, во-первых, описаны условия, при которых рассматриваемая компонента связности пересечения образа $\varphi(\Omega)$ с шарами $\operatorname{Box}_{\mathfrak d}(x,r)$, $x\in\varphi(\Omega)$, ограничено, и, во-вторых, вычислена формула площади для таких поверхностей в явном виде. Пример неограниченного пересечения с поверхности с таким шаром приведен в [10]. В качестве приложения будет приведена формула площади для образов отображений, непрерывно дифференцируемых только вдоль полей из $V_1$, таких, что $V_1\varphi\subseteq\widetilde V_1$. Здесь и далее символ $V_1\varphi$ обозначает множество $\operatorname{span}\{X_1\varphi,\dots,X_{\dim V_1}\varphi\}$.

Начнем с определения аналога дифференцируемости, согласованного со структурой полей на образе и прообразе, а также, с квазиметриками $d_2$ и $\widetilde d_2$.

Определение 6 [11], [12]. Отображение $\varphi\colon U\to\widetilde{\mathbb G}$, $U\subset\mathbb G$, где $\mathbb G$ и $\widetilde{\mathbb G}$ – группы Карно, $hc$-дифференцируемо в точке $x\in U$, если существует горизонтальный гомоморфизм $\mathscr L_x\colon\mathbb G\to\widetilde{\mathbb G}$ такой, что $\widetilde d_2(\varphi(w),\mathscr L_x\langle w\rangle)=o(d_2(x,w))$, $U\ni w\to x$.

Для дальнейших рассуждений нам потребуется следующее свойство классов отображений групп Карно, описывающее их дифференциальные с субримановой точки зрения свойства.

Теорема 1 [12]. Если $\varphi\colon\Omega\to\widetilde{\mathbb G}$, где $\Omega\subset\mathbb G$ – открытое множество, принадлежит классу $C^1_H$, т.е., оно непрерывно дифференцируемо вдоль полей $X_1,\dots,X_{\dim V_1}$ и $V_1\varphi\subseteq\widetilde V_1$, то оно непрерывно $hc$-дифференцируемо всюду на $\Omega$. Если, дополнительно, $\varphi$ принадлежит классу $C^1$, то матрица его $hc$-дифференциала (или, субриманова дифференциала) $\widehat D\varphi$ состоит из “диагональных” $(\dim\widetilde V_k\times\dim V_k)$-блоков матрицы классического дифференциала $D\varphi$ всюду на $\Omega$, а остальные элементы нулевые, тогда как матрица классического дифференциала имеет блочно-верхнетреугольный вид.

Здесь и далее под “диагональными” блоками понимаются блоки, состоящие из элементов, номер строки которых соответствует полям из $\widetilde V_k$, а номер столбца – полям из $V_k$, $k=1,2$. Таким образом, размерность этих блоков равна $\dim\widetilde V_k\times\dim V_k$. Обозначим “диагональные” $(\dim\widetilde V_k\times\dim V_k)$-блоки матрицы классического дифференциала $D\varphi$, из которых составлена матрица $\widehat D\varphi$, символами $\widehat D_k\varphi$, $k=1,2$.

Рассмотрим сначала отображения класса $C^1$, удовлетворяющие условиям теоремы 1, $hc$-дифференциал которых невырожден. Из теоремы 1 следует, что и классический дифференциал также невырожден.

Фиксируем точку $y\in\Omega$ и рассмотрим дифференциал и $hc$-дифференциал отображения $\varphi$. Чтобы компонента связности множества $\operatorname{Box}_{\mathfrak d}(x,r)\cap\varphi(\Omega)$, где $x=\varphi(y)$, содержащая $x$, была ограниченной, нужно, чтобы касательная плоскость в $x$ к этой компоненте связности локально лежала вне множества

Фиксируем $k\in\{1,2\}$. Обозначим часть $\widehat D_k\varphi$, состоящую из строк с номерами $\dim\widetilde V_k^-+1, \dots,\dim\widetilde V_k$ символом $\widehat D_k^+\varphi$, а матрицу, состоящую из оставшихся $\dim\widetilde V_k^-$ строк – символом $\widehat D_k^-\varphi$. Последовательно для $k=1,2$ нетрудно показать, что необходимым условием пересечения $\operatorname{Im}D\varphi(y)$ и (1) в единственной точке является невырожденность обеих матриц $\widehat D_k^+\varphi$, $k=1,2$. Действительно, в противном случае $\operatorname{Im}D\varphi(y)$ содержал бы поля из $\widetilde V_k^-$, $k=1,2$. Таким образом, далее мы можем свести рассмотрение задачи к рассмотрению отображений-графиков, где координаты с номерами

Теорема 2. Если длины столбцов $\widehat D_k^-\varphi(y)(\widehat D_k^+\varphi(y))^{-1}$ не превосходят $1/\dim V_k-c$ всюду на $\Omega$, где $c$ – некоторое положительное число, $k=1,2$, то пересечение (1) с содержащей точку $x$ компонентой связности множества $\operatorname{Box}_{\mathfrak d}(x,r)\cap\varphi(\Omega)$ будет состоять из единственной точки $x$, а сама эта компонента связности будет ограничена.

В частности, установлено в явном виде следующее свойство.

Из теоремы 2 следует, что все касательные векторы к $\varphi(\Omega)$ имеют положительную $\mathfrak d_2^2$-длину, т.е., они пространственноподобны; следовательно, и сама поверхность $\varphi(\Omega)$ пространственноподобна (ср. [1]). Первый основной результат статьи получен.

Так как объект исследования – отображения класса $C^1$, то естественная идея получения второго основного результата, сублоренцева аналога формулы площади, это вывод его из классического, риманова, вида. Очевидно, что основная сложность состоит в вычислении соотношения меры $\mathscr H^\nu_{\mathfrak d}$ и построенной по римановой метрике меры $\mathscr H^N$ на образе. В частности, для понимания особенностей поведения меры $\mathscr H^\nu_{\mathfrak d}$ на поверхности-образе необходимо точно оценить $\mathscr H^N$-меру пересечения образа и сублоренцева шара. Теоремы 2 и 3 позволяют линеаризовать эту задачу: т.е., перейти от изучения пересечений шара и поверхности-образа к исследованию пересечений шара и касательной плоскости. Для плоского случая применимы подходы работ [7] и [8], адаптированные под специфику задачи, которые позволяют вычислить искомую $\mathscr H^N$-меру в явном виде. Окончательно, этот результат вместе с методами [13] приводит, во-первых, к точной оценке $\mathscr H^\nu_{\mathfrak d}$-меры пересечения поверхности-образа и шара, и, во-вторых, к аналитическому выражению производной меры $\mathscr H^\nu_{\mathfrak d}$ по мере $\mathscr H^N$ на поверхности-образе. Отсюда вытекает формула сублоренцевой площади в явном виде.

Теорема 4. Пусть $\mathbb G$ и $\widetilde{\mathbb G}$ – двухступенчатые группы Карно, и $\Omega\subset\mathbb G$ – открытое множество. Пусть еще $\varphi\colon\Omega\to\widetilde{\mathbb G}$ – непрерывно дифференцируемое отображение класса $C^1_H$, $hc$-дифференциал которого невырожден. Тогда справедлива формула площади

$$ \begin{equation} \int_\Omega\prod_{k=1}^2\sqrt{\det(\widehat D_k^+\varphi(y)^*\widehat D_k^+\varphi(y) -\widehat D_k^-\varphi(y)^*\widehat D_k^-\varphi(y))}\,d\mathscr H^\nu(y) =\int_{\widetilde{\mathbb G}}\sum_{y:y\in\varphi^{-1}(x)}1\,d\mathscr H^\nu_{\mathfrak d}(x). \end{equation} \tag{2} $$

Предположим теперь, что множество $\Omega_0$, на котором ранг матрицы субриманова дифференциала не является максимальным, непусто. Тогда и ранг матриц $\widehat D_1\varphi$ и $\widehat D_1^\pm\varphi$ в точках этого множества не будет максимальным. Следовательно, значение подинтегрального выражения в левой части (2) будет нулевым (достаточно представить разность произведений соответствующих матриц в виде произведения $\widehat{D}_1\varphi^*$, диагональной матрицы с $-1$ и $1$ на диагонали и $\widehat{D}_1\varphi$). Рассмотрим субриманову меру, построенную по квазиметрике $\widetilde d_2$ на образе. Ее значение для множества $\varphi(\Omega_0)$ равно нулю в силу результатов [14]. Так как $\mathfrak d_2^2\leqslant(\widetilde d_2)^2$, то и $\mathscr H^\nu_{\mathfrak d}(\varphi(\Omega_0))=0$. Таким образом, множество вырождения не повлияет на обе части формулы площади, и ограничение на ранг матрицы субриманова дифференциала можно снять. В качестве приложения выводим формулу площади для $C^1_H$-отображений, которые, в общем случае, не принадлежат классу $C^1$ и даже могут не быть дифференцируемыми в классическом смысле на множестве положительной внешней меры. Основной идеей является применение результатов теоремы 4 для аналога касательного отображения $w\overset{\psi_y}\mapsto\widehat D\varphi(y)\langle w\rangle$, и дальнейшая аппроксимация прообразов сублоренцевых шаров при $\varphi$ прообразами при $\psi_y$, $y\in\Omega$ (ср. [14]).

Теорема 5. Пусть $\mathbb G$ и $\widetilde{\mathbb G}$ – двухступенчатые группы Карно, $\Omega\subset\mathbb G$ – открытое множество, а $\varphi\colon\Omega\to\widetilde{\mathbb G}$ – отображение класса $C^1_H$. Тогда, при выполнении условий теоремы 2 в точках, где субриманов дифференциал невырожден, справедлива формула (2).

Рассмотрим теперь новый случай, когда $\dim\widetilde V_1^-=\dim\widetilde V_1-\dim V_1$, а $\dim \widetilde V_2^-=0$, причем, $\dim V_2=\dim\widetilde V_2$ или $\dim V_2<\dim\widetilde V_2$. Тогда аналогичными рассуждениями получаем, что формула площади принимает вид

$$ \begin{equation*} \int_\Omega\sqrt{\det((\widehat D_1^+\varphi)^*\widehat D_1^+\varphi -(\widehat D_1^-\varphi)^*\widehat D_1^-\varphi)} \sqrt{\det((\widehat D_2\varphi)^*\widehat D_2\varphi)}\,d\mathscr H^\nu =\int_{\widetilde{\mathbb G}}\sum_{y\colon:y\in\varphi^{-1}(x)} 1\,d\mathscr H^\nu_{\mathfrak d}(x). \end{equation*} \notag $$

Если же $\mathbb G=\mathbb R$, $\dim\widetilde V_1^-=1$, а $\dim\widetilde V_2^-=0$, то верно

$$ \begin{equation*} \int_\Omega \sqrt{\langle(\varphi_2,\dots,\varphi_{\dim V_1}),(\varphi_2,\dots,\varphi_{\dim V_1})\rangle-\varphi_1^2}\, d\mathscr H^\nu(y) =\int_{\widetilde{\mathbb G}}\sum_{y\colon:y\in\varphi^{-1}(x)}1\,d\mathscr H^\nu_{\mathfrak d}(x). \end{equation*} \notag $$

В случае, когда $\varphi$ – непрерывно дифференцируемое отображение открытого подмножества евклидова пространства в структуру геометрии Минковского, полученный нами результат обобщает классический

Образец цитирования: М. Б. Карманова, “Мера образов контактных отображений на двухступенчатых сублоренцевых структурах”, Матем. заметки, 113:1 (2023), 149–153; Math. Notes, 113:1 (2023), 154–158

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Kar23}

\by М.~Б.~Карманова

\paper Мера образов контактных отображений на двухступенчатых

сублоренцевых структурах

\jour Матем. заметки

\yr 2023

\vol 113

\issue 1

\pages 149--153

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/mzm13695}

\crossref{https://doi.org/10.4213/mzm13695}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4563357}

\transl

\jour Math. Notes

\yr 2023

\vol 113

\issue 1

\pages 154--158

\crossref{https://doi.org/10.1134/S0001434623010170}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85149675660}

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ