| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Краткие сообщения Классы Райдемайстера в некоторых группах типа ламповых Е. В. Троицкийab a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623030343 
Реферативные базы данных:
  Число Райдемайстера $R(\varphi)$ автоморфизма $\varphi\colon\Gamma\to\Gamma$ определяется как число его классов Райдемайстера (классов скрученной сопряженности, т.е. классов по отношению эквивалентности $x\sim gx\varphi(g^{-1})$). Мы изучаем проблему нахождения класса групп со свойством $R_\infty$ (т.е. каждый автоморфизм такой группы имеет бесконечное число Райдемайстера) среди ограниченных сплетений вида $G\wr\mathbb Z^k$, где $G$ – конечная абелева группа. Мы докажем следующие две теоремы, которые дадут ответ почти во всех случаях. Часть случаев в первой из теорем была разобрана в [1]. Теорема 1. Пусть примарное разложение $G$ имеет вид $\bigoplus_i(\mathbb Z_{(p_i)^{r_i}})^{d_i}$. Тогда при выполнении любого из следующих условий соответствующее сплетение $G\wr\mathbb Z^k$ допускает автоморфизм $\varphi$ с $R(\varphi)<\infty$, т.е. не имеет свойства $R_\infty$: Теорема 2. В тех же обозначениях предположим, что имеется слагаемое $\mathbb Z_{p^i}$ кратности один, где $p=2$, а $k$ произвольно, или $p=3$, а $k$ нечетно. Тогда $G\wr\mathbb Z^k$ обладает свойством $R_\infty$. Попутно мы исправляем неточность в [2] (см. замечание 1). Предыдущие продвижения в решении данной проблемы можно найти в [1]–[5], а общий взгляд на нее и описание ее роли и приложений – в [6]. Напомним некоторые факты, которые понадобятся в доказательствах. По определению $G\wr\mathbb Z^k=\Sigma\rtimes_\alpha\mathbb Z^k$, где через $\Sigma$ обозначено $\bigoplus_{x\in\mathbb Z^k}G_x$, а $\alpha(x)(g_y)=g_{x+y}$. Здесь $g_x$ обозначает $g\in G\cong G_x$. Обозначим через $C(\varphi):=\{g\in\Gamma\colon\varphi(g)=g\}$ подгруппу $\Gamma$, образованную $\varphi$-неподвижными элементами. Для внутреннего автоморфизма, равно как и для его ограничения на нормальную подгруппу, будем использовать обозначение $\tau_g(x)=gxg^{-1}$. Лемма 1 [7; предложение 3.4]. Пусть $\Gamma$ – конечно порожденная конечно-аппроксимируемая группа, $\varphi\colon\Gamma\to\Gamma$ – автоморфизм и $R(\varphi)<\infty$. Тогда $|C(\varphi)|<\infty$. Лемма 2 ([8], [9], см. также [10], [11]). Пусть $\varphi\colon\Gamma\to\Gamma$ – автоморфизм дискретной группы, $H$ – нормальная $\varphi$-инвариантная подгруппа $\Gamma$, так что $\varphi$ индуцирует автоморфизмы $\varphi'\colon H\to H$ и $\widetilde\varphi\colon\Gamma/H\to\Gamma/H$. Тогда Для полупрямого произведения $\Sigma\rtimes_\alpha\mathbb Z^k$ имеем в силу [12], что автоморфизмы $\varphi'\colon\Sigma\to\Sigma$ и $\overline\varphi\colon\Sigma \rtimes_\alpha\mathbb Z^k/\Sigma \cong\mathbb Z^k\to\mathbb Z^k\cong\Sigma\rtimes_\alpha\mathbb Z^k/\Sigma$ определяют автоморфизм $\varphi$ группы $\Sigma\rtimes_\alpha\mathbb Z^k$ (вообще говоря, не единственный) тогда и только тогда, когда
$$
\begin{equation}
\varphi'(\alpha(m)(h))=\alpha(\overline\varphi(g))(\varphi'(h)),\qquad h\in\Sigma,\quad m\in\mathbb Z^k.
\end{equation}
\tag{1}
$$
Поскольку $\Sigma$ является абелевой, по [12; с. 207] отображение $\varphi_1$, определенное как $\varphi'$ на $\Sigma$ и как $\overline\varphi$ на $\mathbb Z^k\subset\Sigma\rtimes\mathbb Z^k$, также является автоморфизмом. Поэтому, как доказано в [1], можно считать, что
$$
\begin{equation}
\mathbb Z^k\subset A\wr\mathbb Z^k\quad \text{является }\varphi\text{-инвариантным}\qquad \text{и}\qquad \varphi|_{\mathbb Z^k}=\overline\varphi.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Лемма 3 [1; лемма 2.4]. Автоморфизм $\varphi\colon G\wr\mathbb Z^k\to G\wr\mathbb Z^k$ имеет $R(\varphi)<\infty$ тогда и только тогда, когда (на самом деле, достаточно это проверить для представителей классов Райдемастера $\overline\varphi$). Лемма 4 [1; лемма 2.5]. Пусть $\overline\varphi\colon\mathbb Z^k\to\mathbb Z^k$ и $F\colon G\to G$ – автоморфизмы. Определим $\varphi'$ по формулам Ясно, что подгруппы $\bigoplus G_x$, где $x$ пробегает орбиту $\overline\varphi$, являются $\varphi'$-инвариантными прямыми слагаемыми $\Sigma$. Также можно проверить (см. [13]), что для $\overline\varphi\colon\mathbb Z^k\to\mathbb Z^k$, заданного матрицей $M$, выполнено
$$
\begin{equation}
R(\overline\varphi)=\#\operatorname{Coker}(\mathrm{Id}-\overline\varphi) =|\det(E-M)|,
\end{equation}
\tag{4}
$$
если $R(\overline\varphi)<\infty$, и $|\det(E-M)|=0$ в противном случае. Хорошо известно, что в случае автоморфизма $\varphi\colon A\to A$ конечной абелевой группы $A$ имеем
Доказательство теоремы 1. В каждом из случаев, определяемых условиями 4), 5), мы рассмотрим конкретный автоморфизм $\overline\varphi\colon\mathbb Z^k\to\mathbb Z^k$ с $R(\overline\varphi)<\infty$ и определим $\varphi'\colon\Sigma\to\Sigma$ в соответствии с леммами 3 и 4. Точнее, у нас будет $R(\varphi')=1$. Случай 4): имеем $d_i>2$ при $p_i=2$, а $k=2 t$. В этом случае мы начинаем строить автоморфизм, как в [4]: берем в качестве $\overline\varphi\colon\mathbb Z^{2t}\to\mathbb Z^{2t}$ прямую сумму $t$ экземпляров
$$
\begin{equation*}
\mathbb Z^2\to\mathbb Z^2,\qquad \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}\mapsto M \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}, \qquad M=\begin{pmatrix} 0 &1 \\ -1 &-1 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $M$ порождает подгруппу $\operatorname{GL}(2,\mathbb Z)$, изоморфную $\mathbb Z_3$ (см. [14; с. 179]). Все орбиты $M$ (за исключением тривиальной) имеют длину $3$ и соответствующее число Райдемайстера $=\det(E-M)=3$ (по (4)). Аналогично для $\overline\varphi$: длина любой орбиты равна $1$ или $3$, а $R(\overline\varphi)=3^t$. Теперь определим $\varphi'$ как прямую сумму действий для $\mathbb Z_q$, $q=(p_i)^{r_i}$, $p_i\geqslant 3$, и для $(\mathbb Z_{2^{r_i}})^2$, $(\mathbb Z_{2^{r_i}})^3$. Именно, для $p_i\geqslant 3$ выберем такое $m=m_i$, что
$$
\begin{equation}
m^3\quad \text{и}\quad 1-m^3\qquad \text{обратимы в}\quad \mathbb Z_q.
\end{equation}
\tag{6}
$$
Это может быть сделано для $p_i\geqslant 3$: можно взять $m=3$ для $p_i=7$ и $m=2$ в остальных случаях (и это невозможно для $p_i=2$). Определим $\varphi'(\delta_0)=m\delta_0$, где $\delta_0$ – $1\in(\mathbb Z_q)_0$. Тогда для выполнения (1) нужно определить $\varphi'(\delta_g)=m\delta_{\overline\varphi(g)}$, где $\delta_g$ обозначает $1\in(\mathbb Z_q)_g$, как в лемме 4. Таким образом, соответствующая подгруппа $\bigoplus_{g\in\mathbb Z^k}(\mathbb Z_q)_g\subset\Sigma$ является $\varphi'$-инвариантной и разложена в бесконечную прямую сумму инвариантных слагаемых
$$
\begin{equation*}
(\mathbb Z_q)_g\oplus(\mathbb Z_q)_{\overline\varphi(g)} \oplus(\mathbb Z_q)_{\overline\varphi^2(g)},
\end{equation*}
\notag
$$
изоморфных $(\mathbb Z_q)^3$ (над орбитами $\overline\varphi$ общего вида) и имеется еще одно слагаемое $(\mathbb Z_q)_0$ (над тривиальной орбитой). Тогда ограничения $\varphi'$ и $1-\varphi'$ на них могут быть описаны как умножения на
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} 0 &0 &m \\ m &0 &0 \\ 0 &m &0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 &0 &-m \\ -m &1 &0 \\ 0 &-m &1 \end{pmatrix}, \qquad \text{и}\qquad m, \quad 1-m
\end{equation*}
\notag
$$
соответственно. Трехмерные отображения являются изоморфизмами по (6). Поскольку элемент $\ell$ не обратим в $\mathbb Z_{(p_i)^{r_i}}$ тогда и только тогда, когда $\ell=u\cdot p_i$, обратимость одномерных отображений следует из (6) и представления $1-m^3=(1-m)(1+m+m^2)$. (Эта конструкция дает более явное описание для части доказательства [4; теорема 4.1].) Перейдем к $2$-подгруппе. Определим $F_j\colon(\mathbb Z_q)^j\to(\mathbb Z_q)^j$, $j=2,\dots,5$, следующим образом:
$$
\begin{equation}
F_2=\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1 &1 \end{pmatrix},\ \ F_3=\begin{pmatrix} 0 &0 &1 \\ 0 &1 &1 \\ 1 &1 &1 \end{pmatrix},\ \ F_4=\begin{pmatrix} 0 &0 &0 &1 \\ 1 &0 &0 &1 \\ 0 &1 &0 &1 \\ 0 &0 &1 &1 \end{pmatrix},\ \ F_5=\begin{pmatrix} 0 &0 &0 &0 &1 \\ 0 &0 &0 &1 &1 \\ 0 &0 &1 &1 &1 \\ 0 &1 &1 &1 &1 \\ 1 &1 &1 &1 &1 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{7}
$$
Для компонент $(\mathbb Z_{2^{r_i}})^3$, $(\mathbb Z_{2^{r_i}})^4$ и $(\mathbb Z_{2^{r_i}})^5$ (в соответствии с леммой 4) определим $\varphi'$ условиями
$$
\begin{equation}
a_0\mapsto F_3a_0,\qquad a_0\mapsto F_4a_0,\qquad a_0\mapsto F_5a_0
\end{equation}
\tag{8}
$$
соответственно. Тогда для любой орбиты $\overline\varphi$ длины $\gamma$ хотим проверить, что $(F_5)^\gamma$ как гомоморфизм $(\mathbb Z_{2^i})^5\to(\mathbb Z_{2^i})^5$ не имеет нетривиальных неподвижных элементов (имея в виду применение (5)). Можно проверить (лучше написать небольшую программу), что порядок $F_5\ \operatorname{mod}2$ равен $31$, а у меньших степеней нет нетривиальных неподвижных элементов (здесь $\gamma=1$ или $3$, и мы интересуемся только степенями $1$ и $3$). Более легкое вычисление показывает то же самое для $F_3$ и $F_4$ (порядок $\operatorname{mod}2$ равен $7$ для обоих). Чтобы завершить конструкцию, остается заметить, что любое число $\geqslant 3$ представляется как линейная комбинация $3$, $4$ и $5$ с натуральными коэффициентами. Что касается $\tau_g\circ\varphi'$, то заметим следующее достаточно общее свойство автоморфизмов, построенных рассматриваемым образом. Мы имеем $\overline\varphi^3(x)=x$ и можем легко проверить, что $\overline\varphi^2z+\overline\varphi z+z=0$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (\tau_z\circ\varphi')(g_x)=(m g)_{\overline\varphi(x)+z},\qquad (\tau_z\circ\varphi')(g_{\overline\varphi(x)+z}) =(mg)_{\overline\varphi^2(x)+\overline\varphi z+z}, \\ (\tau_z\circ\varphi')g_{\overline\varphi^2(x)+\overline\varphi z+z} =(mg)_{\overline\varphi^3(x)+\overline\varphi^2z+\overline\varphi z+z}=(mg)_x. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, $\tau_z\circ\varphi'$ определено теми же матрицами, что и $\varphi'$, но на новых инвариантных слагаемых
$$
\begin{equation*}
(\mathbb Z_q)_x\oplus(\mathbb Z_q)_{\overline\varphi(x)+z} \oplus(\mathbb Z_q)_{\overline\varphi^2(x)+\overline\varphi z+z}.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, для тривиальной орбиты и для $2$-подгруппы. Свойства $m$ и $F_j$ обеспечивают отсутствие нетривиальных неподвижных элементов. Поэтому $R(\varphi')=1$ по (5). Случай 4) доказан. Случай 5): здесь $d_i>1$, $d_i\ne 3$ для $p_i=2$ и четное $k\geqslant 4$ (т.е. мы исключаем из рассмотрения случай $k=2$). Используя круговой многочлен, мы можем определить элемент порядка $5$ в $\operatorname{GL}(4,\mathbb Z)$:
$$
\begin{equation*}
M_4=\begin{pmatrix} 0 &0 &0 &-1 \\ 1 &0 &0 &-1 \\ 0 &1 &0 &-1 \\ 0 &0 &1 &-1 \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
и, аналогично $M_4$, элемент $M_6$ порядка $7$ в $\operatorname{GL}(6,\mathbb Z)$. Для любого четного $k\geqslant 4$ определим $M\in \operatorname{GL}(k,\mathbb Z)$ как прямую сумму подходящего количества $s$ экземпляров $M_4$ и, может быть, одного $M_6$. Пусть $\overline\varphi\colon\mathbb Z^k\to\mathbb Z^k$ определено $M$. Можно вычислить
$$
\begin{equation*}
\det(M_4-E)=5,\qquad \det(M_6-E)=7,\qquad \det(M-E)=5^s\qquad \text{или}\qquad 5^s7.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому по (4) $R(\overline\varphi)=5^s$ или $5^s 7<\infty$. Длина любой орбиты является некоторым делителем $5$ или $35$, а значит, нечетным числом. Для компонент $\mathbb Z_{p^i}$, отвечающих степеням $p$ при $p>2$, определим $\varphi'$ условием $a_0\mapsto (p-1)a_0$. Тогда для орбиты $u,\overline\varphi u,\dots,\overline\varphi^\gamma u$ нужно проверить (для конечности $R(\varphi')$), что $(p-1)^\gamma$ как гомоморфизм $\mathbb Z_{p^i}\to\mathbb Z_{p^i}$ не имеет нетривиальных неподвижных элементов, т.е. Это выполнено, поскольку при нечетном $\gamma$ имеем
$$
\begin{equation*}
(p-1)^\gamma-1\equiv -2\not\equiv 0\ \operatorname{mod} p.
\end{equation*}
\notag
$$
Для компонент $\mathbb Z_{2^i}\oplus\mathbb Z_{2^i}$, отвечающих степеням $2$, определим $\varphi'$ условием $a_0\mapsto F_2a_0$, а для компонент $(\mathbb Z_{2^i})^5$ определим $\varphi'$ условием $a_0\mapsto F_5a_0$. Тогда для любой орбиты $\overline\varphi$ длины $\gamma$ нужно проверить, что $(F_5)^\gamma$ как гомоморфизм $(\mathbb Z_{2^i})^5\to(\mathbb Z_{2^i})^5$ не имеет нетривиальных неподвижных элементов. Завершение доказательства случая 5) вполне аналогично случаю 4). Доказательство теоремы 2. Обозначим через $A_p$ $p$-подгруппу $G$. Предположим, что $R(\varphi)<\infty$ и придем к противоречию. Для этого рассмотрим характеристическую подгруппу $\Sigma'=\bigoplus A'\subset\Sigma$, где $A'\subset A$ образована элементами порядка $p^{i-1}$ из $A_p$ и всеми элементами других $A_q$, $q\ne p$. Тогда $(A\wr\mathbb Z^k)/\Sigma'\cong B\wr\mathbb Z^k$, где $B=B'\oplus\mathbb Z_p$ и $B'=\bigoplus_j(\mathbb Z_{p^j})^{d_j}$, $j\geqslant 2$, $d_j\geqslant 1$. Сохраним обозначения $\varphi$, $\overline\varphi$ и т.д. для индуцированных автоморфизмов. По лемме 2 $R(\varphi_B)\leqslant R(\varphi)<\infty$, где $\varphi_B\colon B\wr\mathbb Z^k\to B\wr \mathbb Z^k$ – индуцированный автоморфизм. Рассмотрим подгруппу $D=B''\oplus\mathbb Z_p\subseteq B$, образованную всеми элементами порядка $p$ в $B$, где $B''$ образована всеми элементами порядка $p$ в $B'$. Тогда $D\subseteq B$ и $\Sigma_D=\bigoplus D\subseteq\Sigma'$ являются характеристическими подгруппами, а $D\wr\mathbb Z^k$ – подгруппой $B\wr\mathbb Z^k$ (вообще говоря, не нормальной). По (2) подгруппа $D\wr\mathbb Z^k$ является $\varphi$-инвариантной, и мы хотим доказать, что $R(\varphi_D)<\infty$, где $\varphi_D\colon D\wr\mathbb Z^k\to D\wr\mathbb Z^k$ – ограничение $\varphi_B$. Для этого рассмотрим $\Sigma_{B/D}=\bigoplus B/D$ и автоморфизм $\varphi'_*\colon\Sigma_{B/D}\to\Sigma_{B/D}$, индуцированный очевидным образом. Мы утверждаем, что $\varphi'_*$ имеет $|C({\varphi'_*})|<\infty$. Чтобы это доказать, рассмотрим следующую коммутативную диаграмму: Тогда $\Sigma_{B/D}\rtimes\mathbb Z^k$ – конечно порожденная конечно аппроксимируемая группа и $R(\varphi_*)<\infty$. Значит, по лемме 1 мы имеем $|C({\varphi'_*})|<\infty$. Тогда по лемме 2 мы получаем
$$
\begin{equation*}
R(\varphi'_D)\leqslant R(\varphi'_B)\cdot|C({\varphi'_*})|<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Это же верно и для $\tau_g\circ\varphi$. Значит, по лемме 2 поскольку $C(\overline\varphi)=\{0\}$, из коммутативной диаграммы (и аналогичных диаграмм для $\tau_g\circ\varphi$) мы получаем, что $R(\varphi_D)<\infty$, как мы и хотели. Теперь заметим, что $B''$ является инвариантным в $D$ относительно автоморфизмов, приходящих с $B$ (путем ограничения), поскольку $(b,0)$ является $p$-делимым в $B$, в то время как $(b',k)$ не является $p$-делимым, где $b\in B''$, $b'\in B''$, $k\in\mathbb Z_p$, $k\ne 0$. Это же верно для $\Sigma_{B''}=\bigoplus B''$. В частности, эта подгруппа инвариантна относительно $\tau_g$, т.е. является нормальной в $\Sigma_D\rtimes\mathbb Z^k$. Поэтому можно рассмотреть диаграмму Тогда из $R(\varphi_D)<\infty$ следует $R(\varphi_p)<\infty$ (лемма 2). Но в рассматриваемых случаях $R(\varphi_p)=\infty$ по [4]. Противоречие.Замечание 1. Заметим, что в доказательстве теоремы 3.6 в [2] имеется неточность в рассуждениях после (3.3), поскольку $(G\wr\mathbb Z)/(L\wr\mathbb Z)$ равно не $G/L$, а $\bigoplus_iG/L$, которая не конечна и даже не конечно порождена. Доказательство может быть подправлено в духе последней теоремы. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Tro23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|