| Математические заметки |
|
|
|
|
|
О некоторых факторгруппах гиперболических групп О. В. Куликоваab a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623070106 
Реферативные базы данных:
  ВведениеКак и свободные группы, гиперболические группы обладают множеством самых разных гомоморфных образов. А. Ю. Ольшанский в статье [1] отметил, что построения в [1] открывают возможность обобщить многие результаты, изложенные в его книге [2], на случай гиперболических групп без кручения. В данной работе описываются некоторые такие обобщения для теорем 31.1–31.4, 31.7, 31.8 из [2]. Например, в [3; теорема 2] (или [2; теорема 31.4]) Ашманов и Ольшанский усилили пример Адяна [4], [5] и доказали существование неабелевой группы без кручения, все собственные подгруппы которой являются циклическими, а пересечение любых двух из них отлично от единицы. Используя предельную группу, построенную в [6], [7], в данной работе доказывается, что для всякой нециклической гиперболической группы без кручения существует неабелева факторгруппа без кручения, у которой все собственные подгруппы являются циклическими, а пересечение любых двух из них отлично от единицы. Используя эту факторгруппу, получаем обобщение теоремы 31.7 из [2]: для всякого простого $p$ для всякой нециклической гиперболической группы без кручения существует неабелева факторгруппа $K$ конечного периода, у которой все собственные подгруппы циклические, а силовская $p$-подгруппа $P$ центральна, но не является прямым множителем групп $K$. В [8] для любой нециклической гиперболической группы без кручения Ольшанским была построена неабелева факторгруппа без кручения, все собственные подгруппы которой являются циклическими, а любые две различные максимальные собственные подгруппы имеют тривиальное пересечение. Используя эту факторгруппу, в данной работе доказывается, что для всякой нециклической гиперболической группы без кручения и всякого $k\in \mathbb{N}$ существует неабелева факторгруппа $\mathbf{A}$ без кручения, у которой все максимальные собственные подгруппы являются свободными абелевыми группами ранга $k$ и любые две различные максимальные собственные подгруппы пересекаются по ее центру, который есть свободная абелева группа ранга $k-1$, и никакая нетривиальная подгруппа центра не является прямым множителем группы $\mathbf{A}$. Доказательства в настоящей статье в значительной степени опираются на доказательства и результаты из [1]–[3], [6]–[8]. Автор благодарит А. Ю. Ольшанского за постановку задачи, предложенный метод решения и полезные обсуждения во время написания этой статьи. 1. ОбозначенияПусть $G$ – некоторая группа с порождающим множеством $\mathcal{A}$, а $\mathcal{O}$ – множество всех соотношений группы $G$. И пусть $\mathcal{R}=\bigcup_{i=1}^{\infty}\mathcal{R}_i$, где $\mathcal{R}_i$ – симметризованные множества слов в алфавите $\mathcal{A}^{\pm 1}$, $\mathcal{R}_i\cap\mathcal{R}_j=\varnothing$ при $i\neq j$, некоторые $\mathcal{R}_i$ могут быть пустыми, и $\mathcal{R}\cap\mathcal{O}=\varnothing$. Для каждого $k=1,2,\dots$ определим группу $G_k=\langle \mathcal{A}\,\|\,\mathcal{O}\cup \bigcup_{i=1}^{k}\mathcal{R}_i\rangle$. Копредставление
$$
\begin{equation}
G(\infty)=\biggl\langle \mathcal{A}\,\|\,\mathcal{O}\cup \bigcup_{i=1}^{\infty}\mathcal{R}_i\biggr\rangle
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
группы $G(\infty)$ с таким разбиением множества определяющих соотношений будем называть $G$-градуированным. Через $\Phi$ обозначим канонический гомоморфизм из свободной группы $F=F(\mathcal{A})$ на группу $G=\langle \mathcal{A} \,\|\, \mathcal{O} \rangle$ с ядром $N$. Тогда где $\overline N_{\mathcal{R}}$ – образ нормального замыкания $N_{\mathcal{R}}$ множества $\mathcal{R}$ в $F$ при гомоморфизме $\Phi$.Будем говорить, что $\mathcal{R}_i$ удовлетворяет условию $(*)$, если никакой $R\in \mathcal{R}_i$ не сопряжен в группе $G_{i-1}$ с $R^{-1}$. 2. Асферичность и аторичностьМы будем рассматривать диаграммы над $G(\infty)=\langle \mathcal{A}\,\|\,\mathcal{O}\cup \bigcup_{i=1}^{\infty}\mathcal{R}_i\rangle$ с градуировкой подобно как в [1] (см. определение диаграммы и сопутствующих понятий в [8]). Клетки диаграммы разбиваются на $0$-клетки (с метками из $\mathcal{O}$) и $\mathcal{R}$-клетки (с метками из $\mathcal{R}=\bigcup_{i=1}^{\infty}\mathcal{R}_i$). $\mathcal{R}$-клетки разбиваются на $\mathcal{R}_i$-клетки (с метками из $\mathcal{R}_i$). Ранг $\mathcal{O}$-клетки равен $0$, ранг $\mathcal{R}_i$-клетки равен $i$. Так как любая диаграмма состоит из конечного числа клеток, определен максимум рангов ее клеток, который будем называть рангом диаграммы. Если в диаграмме нет клеток, то считаем, что ее ранг равен нулю. Следуя определению из [8], пару различных $\mathcal{R}_i$-клеток $\Pi_1$ и $\Pi_2$ в диаграмме над $G$-градуированным копредставлением (1.1) будем называть противоположными $\mathcal{R}_i$-клетками, если для их граничных меток $R_1$ и $R_2$, читаемых по часовой стрелке, начиная с вершин $o_1$ и $o_2$, в диаграмме найдется (после некой серии элементарных преобразований) простой путь $s$ такой, что $s_{-}=o_1$, $s_{+}=o_2$ и
$$
\begin{equation*}
\varphi(s)^{-1}R_1\varphi(s)R_2=1 \qquad\text{в}\quad G_{i-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если все $\mathcal{R}_i$ удовлетворяют условию $(*)$ и тому, что для любых слов $R,R'\in \mathcal{R}_i$, не являющихся циклическими перестановками друг друга, $R'$ не сопряжено в группе $G_{i-1}$ с $R$, то слово $R_1$ является циклической перестановкой $R_2^{-1}$. Назовем $G$-градуированное копредставление (1.1) $G$-асферическим ($G$-аторическим), если всякая диаграмма на сфере (на торе) положительного ранга над копредставлением (1.1) содержит противоположные $\mathcal{R}_i$-клетки для некоторого $i>0$. Отметим, что в [2] используются $i$-пары клеток, которые удовлетворяют более жестким требованиям по сравнению с противоположными $\mathcal{R}_i$-клетками (в обозначениях выше): 1) $R_1$ и $R_2$ – взаимно обратные слова в свободной группе; 2) $\varphi(s)=1$ в $G_{i-1}$. По аналогии с [2] $G$-градуированное копредставление (1.1) назовем асферическим (аторическим), если всякая диаграмма на сфере (на торе) положительного ранга над копредставлением (1.1) содержит $i$-пару клеток для некоторого $i>0$. Отметим, что если $G$-градуированное копредставление является асферическим, то все $\mathcal{R}_i$ удовлетворяют условию $(*)$ и тому, что для любых слов $R,R'\in \mathcal{R}_i$, не являющихся циклическими перестановками друг друга, $R'$ не сопряжено в группе $G_{i-1}$ с $R$. Очевидно, что асферичность влечет $G$-асферичность, а аторичность влечет $G$-аторичность. Как и в [1], назовем $\tau(\Delta)=(\tau_1,\tau_2,\dots)$ типом диаграммы $\Delta$, где $\tau_i$ – число клеток ранга $i$ в диаграмме $\Delta$, т.е. в отличии от [2] тип не учитывает количество $0$-клеток в $\Delta$. Типы упорядочены лексикографически, как в [2]. 3. Соотношения из $[N_{\mathcal{R}}, F]N$В этом разделе рассмотрим группу $G(\infty)$ c копредставлением (1.1) в предположении, что все $\mathcal{R}_i$ удовлетворяют условию $(*)$. Группа $H\cong G/[\overline N_{\mathcal{R}}, G]$ является центральным расширением группы $G(\infty)$. Исследуем строение центральной подгруппы $\overline N_R/[\overline N_{\mathcal{R}}, G]$ группы $H$. Симметризованное множество $\mathcal{R}_i\subset\mathcal{R}$ разбивается на непересекающиеся подмножества слов, сопряженных друг с другом в группе $G_{i-1}$:
$$
\begin{equation*}
\mathcal{R}_i=\bigsqcup_{j} (\mathcal{R}_{i,j}^+\sqcup \mathcal{R}_{i,j}^-),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathcal{R}_{i,j}^-=(\mathcal{R}_{i,j}^+)^{-1}$. Отметим, что $\mathcal{R}_{i,j}^-\neq \mathcal{R}_{i,j}^+$ в силу условия $(*)$. В каждом из множеств $\mathcal{R}_{i,j}^+$ зафиксируем по представителю ${r_{i,j}^+}$. Обозначим множество всех представителей $r_{i,j}^+$ через $\mathcal{R}_i^{+}$, а $\mathcal{R}^{+}=\bigcup_{i=1}^{\infty}\mathcal{R}_i^+$. Группа $G_k$, $k=1,2,\dots$, имеет копредставление $\langle \mathcal{A}\,\|\,\mathcal{O}\cup \bigcup_{i=1}^{k}\mathcal{R}_i^+\rangle$. Копредставление
$$
\begin{equation}
G(\infty)=\biggl\langle \mathcal{A}\,\|\,\mathcal{O}\cup \bigcup_{i=1}^{\infty}\mathcal{R}_i^+\biggr\rangle
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
группы $G(\infty)$ назовем редуцированным. Рассмотрим произвольную диаграмму $\Delta$ над редуцированным копредставлением (3.1) (что то же самое, что диаграмма над копредставлением $\langle \mathcal{A}\,\|\,\mathcal{O}\cup \bigcup_{i=1}^{\infty}\mathcal{R}_i^*\rangle$, где $\mathcal{R}_i^*$ – множество, содержащее все элементы из $\mathcal{R}_i^{+}$, обратные им и все их циклические перестановки). Для каждого $r_{i,j}^+\in \mathcal{R}_i^{+}$ обозначим через $\sigma_{+}(r_{i,j}^+)$ число клеток в $\Delta$ с метками, равными циклическим перестановкам слова $r_{i,j}^+$, а через $\sigma_{-}(r_{i,j}^+)$ обозначим число клеток с метками, равными циклическим перестановкам слова $(r_{i,j}^+)^{-1}$, $\sigma_{\Delta}(r_{i,j}^+)=\sigma_{+}(r_{i,j}^+) - \sigma_{-}(r_{i,j}^+)$. Далее ход рассуждений в лемме 1, лемме 3 и теореме 1 совпадает с [2; леммы 31.1, 31.2 и теорема 31.1] (см. также [9]). Основное отличие от [2] – в наличии $\mathcal{O}$-клеток в диаграммах и множителей из $N$ в словах. Лемма 1. Если в дисковой диаграмме $\Delta$ над $G$-градуированном редуцированном копредставлением (3.1) группы $G(\infty)$ $\sigma_{\Delta}(R)=0$ для любого $R\in \mathcal{R}^+$, то граничная метка диаграммы $\Delta$ принадлежит $[N_{\mathcal{R}}, F]N$. Доказательство. Стандартным образом, делая разрезы в диаграмме $\Delta$, получим букет диаграмм, каждая из которых содержит не более одной клетки. Поскольку разрезы не меняют граничную метку как элемент свободной группы $F$, граничная метка диаграммы $\Delta$ равна в $F$ где $R_k \in \mathcal{O}\cup\mathcal{R}^+$, $S_k\in F$. Каждый из этих сомножителей принадлежит $N_{\mathcal{R}}$ или $N$; следовательно, их можно переставлять между собой по модулю $[N_{\mathcal{R}},F]N$. Кроме того, элемент $SRS^{-1}$ тривиален для $R\in \mathcal{O}$ и совпадает с $R$ для $R\in \mathcal{R}^+$ по модулю $[N_{\mathcal{R}},F]N$. Поэтому в силу условия леммы граничная метка тривиальна по модулю $[N_{\mathcal{R}},F]N$. Чтобы в случае $G$-асферичности и $G$-аторичности применить индукцию и доказать аналог леммы 31.2 из [2], нам потребуется дополнительная лемма. Лемма 2. Пусть $G$-градуированное редуцированное копредставление (3.1) группы $G(\infty)=G/\overline N_{\mathcal{R}}$ является $G$-аторическим. Тогда Доказательство. Утверждения 1) и 2) доказываются совместной индукцией по рангу $i$.
1) Пусть $\Delta$ – диаграмма ранга $i$ на торе. Доказательство проведем индукцией по типу $\tau(\Delta)$. Утверждение очевидно, если в $\Delta$ нет $\mathcal{R}$-клеток. В противном случае, как следует из определения $G$-аторичности, в $\Delta$ найдется пара различных $\mathcal{R}_j$-клеток $\Pi_1$ и $\Pi_2$ ($j\leqslant i$) с граничными метками $R_1$ и $R_2$, читаемыми по часовой стрелке, начиная с вершин $o_1$ и $o_2$, и (после некой серии элементарных преобразований) простой путь $s$ такой, что $s_{-}=o_1$, $s_{+}=o_2$ и $\varphi(s)^{-1}R_1\varphi(s)R_2=1$ в $G_{j-1}$, причем в силу условия $(*)$ и редуцированности копредставления можно считать, что $R_1$ и $R_2$ – взаимно обратные слова в свободной группе. Для дисковой поддиаграммы $\Gamma$ с граничной меткой $\varphi(s)^{-1}R_1\varphi(s)R_2$, содержащей только $\Pi_1$ и $\Pi_2$, очевидно, что $\sigma_{\Gamma}(R)=0$ для любого $R\in\mathcal{R}^+$. К слову $\varphi(s)^{-1}R_1\varphi(s)R_2$ можно по предположению индукции применить утверждение 2) и найти дисковую диаграмму $\Gamma'$ ранга $\leqslant j-1$ над копредставлением (3.1) с граничной меткой $\varphi(s)^{-1}R_1\varphi(s)R_2$, для которой $\sigma_{\Gamma'}(R)=0$ для любого $R\in\mathcal{R}^+$. После удаления $\Gamma$ из $\Delta$ и вклеивания $\Gamma'$ получаем диаграмму $\Delta'$, для которой $\tau(\Delta')<\tau(\Delta)$. По предположению индукции $\sigma_{\Delta'}(R)=0$ для любого $R\in\mathcal{R}^+$. Значит, и $\sigma_{\Delta}(R)=\sigma_{\Delta'}(R) - \sigma_{\Gamma'}(R)+\sigma_{\Gamma}(R)=0$ для любого $R\in\mathcal{R}^+$. 2) Если $X^{-1}Y^{-1}XY=1$ в $G_i$, то по лемме ван Кампена найдется дисковая диаграмма $\Delta$ ранга $j\leqslant i$ над копредставлением (3.1) с граничной меткой, равной $X^{-1}Y^{-1}XY$. Если $j=0$, то очевидно $\sigma_{\Delta}(R)=0$ для любого $R\in\mathcal{R}^+$. Если $j>0$, то по дисковой диаграмме $\Delta$ стандартным образом строим диаграмму $\overline{\Delta}$ на торе, склеивая граничный подпуть с меткой $X$ с граничным подпутем с меткой $X^{-1}$, а граничный подпуть с меткой $Y$ с граничным подпутем с меткой $Y^{-1}$. В силу утверждения 1) $\sigma_{\overline \Delta}(R)=0$ для любого $R\in\mathcal{R}^+$. Значит, и $\sigma_{\Delta}(R)=0$ для любого $R\in\mathcal{R}^+$. Лемма 3. Пусть $G$-градуированное редуцированное копредставление (3.1) группы $G(\infty)=G/\overline N_R$ является $G$-асферическим и $G$-аторическим. Тогда Доказательство. 1) Пусть $\Delta$ – диаграмма ранга $i$ на сфере. Доказательство проведем индукцией по типу $\tau(\Delta)$. Утверждение очевидно, если в $\Delta$ нет $\mathcal{R}$-клеток. В противном случае, как следует из определения $G$-асферичности, в $\Delta$ найдутся пара различных $\mathcal{R}_j$-клеток $\Pi_1$ и $\Pi_2$ ($j\leqslant i$) с граничными метками $R_1$ и $R_2$, читаемыми по часовой стрелке, начиная с вершин $o_1$ и $o_2$, и (после некой серии элементарных преобразований) простой путь $s$ такой, что $s_{-}=o_1$, $s_{+}=o_2$ и $\varphi(s)^{-1}R_1\varphi(s)R_2=1$ в $G_{j-1}$, причем в силу условия $(*)$ и редуцированности копредставления можно считать, что $R_1$ и $R_2$ – взаимно обратные слова в свободной группе. Для дисковой поддиаграммы $\Gamma$ с граничной меткой $\varphi(s)^{-1}R_1\varphi(s)R_2$, содержащей только $\Pi_1$ и $\Pi_2$, очевидно, что $\sigma_{\Gamma}(R)=0$ для любого $R\in\mathcal{R}^+$. По утверждению 2) леммы 2 существует дисковая диаграмма $\Gamma'$ ранга $\leqslant j-1$ над копредставлением (3.1) с граничной меткой $\varphi(s)^{-1}R_1\varphi(s)R_2$, для которой $\sigma_{\Gamma'}(R)=0$ для любого $R\in\mathcal{R}^+$. После удаления $\Gamma$ из $\Delta$ и вклеивания $\Gamma'$ получаем сферическую диаграмму $\Delta'$, для которой $\tau(\Delta')<\tau(\Delta)$. По предположению индукции $\sigma_{\Delta'}(R)=0$ для любого $R\in\mathcal{R}^+$. Значит, и $\sigma_{\Delta}(R)=\sigma_{\Delta'}(R) - \sigma_{\Gamma'}(R)+ \sigma_{\Gamma}(R)=0$ для любого $R\in\mathcal{R}^+$.
2) Слово $X$ можно записать в $F$ в виде где $S_k,Y_k\in F$, $R_{k}\in \mathcal{R}^+$, $Z\in N$, так как в $F$ тождественно соотношение $[w,uv]=[w,u][uwu^{-1},uvu^{-1}]$. При геометрической интерпретации равенства $X=1$ в $G(\infty)$ получается дисковая диаграмма $\Delta_0$ с $\sigma_{\Delta_0}(R)=0$ для любого $R\in\mathcal{R}^+$. Если $\Delta$ – другая дисковая диаграмма с граничной меткой, равной $X$, то $\Delta$ вместе с зеркальной копией $\Delta^0$ диаграммы $\Delta_0$ дают сферическую диаграмму $\overline \Delta$. В силу утверждения 1) $\sigma_{\overline \Delta}(R)=0$ для любого $R\in\mathcal{R}^+$. Значит, и $\sigma_{\Delta}(R)=\sigma_{\overline \Delta}(R) - \sigma_{\Delta^0}(R)=0$ для любого $R\in\mathcal{R}^+$. Теорема 1. Пусть $G$-градуированное редуцированное копредставление (3.1) группы $G(\infty)=G/\overline N_\mathcal{R}$ является $G$-асферическим и $G$-аторическим. Тогда Доказательство. 1) Условие б) эквивалентно тому, что для дисковой диаграммы $\Delta$, построенной по записи $Z\prod_k {S_k}R^{\pm 1}_k{S_k^{-1}}$, для любого $R\in\mathcal{R}^+$ выполняется $\sigma_{\Delta}(R)=0$. Поэтому условие б) следует из а) по утверждению 2) леммы 3, а условие а) следует из б) по лемме 1.
2) Группа $N_{\mathcal{R}}N$ порождается всеми $R\in \mathcal{R}^+$ вместе с сопряженными им в $F$ словами и им обратными, а также всеми $Z\in N$. Но слова из $N_{\mathcal{R}}$, сопряженные в $F$, имеют одинаковые в $N_{\mathcal{R}}N/[N_{\mathcal{R}}, F]N$ образы, а образы слов $Z\in N$ равны единице в $N_{\mathcal{R}}N/[N_{\mathcal{R}}, F]N$. Значит, абелева группа $N_{\mathcal{R}}N/[N_{\mathcal{R}}, F]N$ порождается элементами $\{\overline R\}_{R\in \mathcal{R}^+}$. Докажем, что множество $\{\overline R\}_{R\in \mathcal{R}^+}$ свободно порождает $N_{\mathcal{R}}N/[N_{\mathcal{R}}, F]N$. Достаточно убедиться, что для различных $R_1,\dots,R_k\in \mathcal{R}^+$ из равенства $\overline{R}_1^{m_1}\dotsb \overline{R}_k^{m_k}=1$ в $N_{\mathcal{R}}N/[N_{\mathcal{R}}, F]N$ следуют равенства $m_1=\dots= m_k=0$. Действительно, имеем равенство в свободной группе $R_1^{m_1}\dotsb R_k^{m_k}=X\in [N_{\mathcal{R}}, F]N$. Отсюда, $W \equiv R_1^{m_1}\dotsb R_k^{m_k}X^{-1}=1$ в $F$. Применяя утверждение 1) теоремы к $X$ и к $W$, получаем $m_1=\dots=m_k=0$. Отметим, что по модулю $N$ полный аналог леммы 31.2 из [2], в котором требуется только асферичность $G$-градуированного приведенного копредставления, можно доказать дословно как в [2]. Поэтому и в теореме 1 достаточно, чтобы $G$-градуированное приведенное копредставление было только асферичным. 4. Использование предельных групп из [1] и [6]Используя предельную группу, построенную в [1], получаем аналоги теорем 31.2, 31.3 из [2] для нециклических гиперболических групп без кручения. Как и в [1], через $G^n$ будем обозначать подгруппу, порожденную всеми $n$-ми степенями элементов группы $G$. Теорема 2. Для всякой нециклической гиперболической группы $G$ без кручения существует целое $n_0(G)$ такое, что для всякого нечетного $n>n_0(G)$ группа $H=G/[G^n, G]$ не имеет кручения, а подгруппа $H^n$ является свободной абелевой группой. Доказательство. Рассмотрим группу $G(\infty)=G/G^n$, построенную в [1]. Тогда $H^n\cong G^n/[G^n, G]$, а $H/H^n$ – это группа $G/G^n$. Как доказано в [1; с. 565], для $G(\infty)$ верен аналог леммы 18.2 из [2], т.е. есть асферичность и аторичность, а значит, применима теорема 1, т.е. аналог теоремы 31.1 из [2]. Кроме того, как доказано в [1; с. 565], для $G(\infty)$ верен аналог леммы 18.3 из [2], т.е. любое слово сопряжено в $H/H^n$ со степенью периода какого-то ранга. С учетом наличия этих аналогов доказательство теоремы 2 повторяет доказательство теоремы 31.2 из [2]. Теорема 3. Для всякой нециклической гиперболической группы без кручения существует неабелева факторгруппа без кручения, у которой любые две неединичные подгруппы имеют неединичное пересечение. Доказательство. Для группы $H$ из теоремы 2 повторяются рассуждения из [2; доказательство теоремы 31.3], только ссылку на теорему 31.2 в [2] надо заменить ссылкой на ее аналог – на теорему 2. Используя предельную группу, построенную в [6], [7], получим обобщения теорем 31.4, 31.7 и 31.8 из [2]. Теорема 4. Для всякой нециклической гиперболической группы без кручения существует неабелева факторгруппа без кручения, у которой любые две неединичные подгруппы имеют неединичное пересечение и все собственные подгруппы являются циклическими. Доказательство. Рассмотрим произвольную нециклическую гиперболическую группу $G_0$ без кручения. Так как группа $G_0$ не является элементарной, то ее коммутант $G_0'$ не является элементарным. Так как $G_0$ – нециклическая гиперболическая группа без кручения, то по [8; предложение 1, теоремы 1, 2] существует гомоморфизм из группы $G_0$ на нециклическую гиперболическую группу $G$ без кручения, сюръективный на $G_0'$.
По [7; теорема 2.6] (или [6; теорема 1]) для группы $G$ и для любого нечетного $n$, большего некоторого достаточно большого числа $n_0=n_0(G)$, существует бесконечная факторгруппа $G(\infty)=G/\overline N_{\mathcal{R}}$, все собственные подгруппы которой являются циклическими группами порядка, делящего $n$. По [7; лемма 54 и теорема 2.4] для $G(\infty)$ верны аналоги леммы 25.1 и теоремы 26.4 из [2]. Поэтому проходят рассуждения из доказательства теоремы 31.3 [2]. Рассмотрим группу $H=G/[\overline N_{\mathcal{R}}, G]\simeq F/[N_{\mathcal{R}}, F]N$ (здесь и далее обозначения из разделов 1 и 3). Так как есть асферичность и аторичность [7; лемма 54], то применима теорема 1. Следовательно, абелева группа $\overline N_{\mathcal{R}}/[\overline N_{\mathcal{R}}, G]\simeq N_{\mathcal{R}}N/[N_{\mathcal{R}}, F]N$ свободно порождается элементами $\{\overline{R}\}_{R\in \mathcal{R}^+}$. Рассмотрим в $H$ подгруппу $L$, составленную из произведений $\prod_k \overline{R}_k^{s_k}$, где $\sum_ks_k=0$. Поскольку $\overline{R}$ лежат в центре группы $H$, подгруппа $L$ является нормальной в $H$. В факторгруппе $\mathbb{A}=H/L$ смежный класс $\overline{R}_1L=\overline{R}_2L=\dots=C$ имеет бесконечный порядок. Группа $\mathbb{A}$ является расширением группы $G(\infty)$ с помощью бесконечной циклической центральной подгруппы $\langle C\rangle$. Так как $G(\infty)$ не является абелевой и бесконечна, то $\mathbb{A}$ тоже не является абелевой и бесконечна. Чтобы доказать, что в $\mathbb{A}$ нет элементов конечного порядка, предположим противное. Для всякого неединичного элемента $X$ конечного порядка в $\mathbb{A}$ имеем $X\notin \langle C\rangle$, т.е. $X\neq 1$ в $G(\infty)$, и существует $j\geqslant 1$ такое, что $X$ имеет конечный порядок в $G_j$. По [7; теорема 2.4] $X$ сопряжен в $G_j$ со степенью периода $A$ первого типа, т.е. $A^n\in\mathcal{R}$. Значит, заменяя $X$ сопряженным, можно считать, что $X=A^kC^l$ в группе $\mathbb{A}$. Следовательно $X^n=A^{kn}C^{ln}=C^kC^{ln}$. Так как элемент $C$ имеет бесконечный порядок в $\mathbb{A}$, получаем, что $n$ делит $k$, что противоречит условию $X\notin \langle C\rangle$. Так как в $\mathbb{A}$ нет нетривиальных элементов конечного порядка, а в $\mathbb{A}/\langle C\rangle$ все элементы имеют конечный порядок, любой элемент группы $\mathbb{A}$ в некоторой степени лежит в $\langle C\rangle$. Поэтому пересечение любых двух нетривиальных подгрупп группы $\mathbb{A}$ нетривиально. Рассмотрим произвольную собственную подгруппу $K$ группы $\mathbb{A}$. Она отображается на подгруппу $\widehat{K}$ группы $G(\infty)$. Подгруппа $\widehat{K}$ либо является конечной, либо совпадает с $G(\infty)$. В первом случае $K$ является элементарной, а значит, циклической. Во втором случае $\mathbb{A}=K\langle C\rangle$, а значит, $K$ является нормальной подгруппой группы $\mathbb{A}$. Так как $\mathbb{A}/K$ – абелева группа, коммутант группы $\mathbb{A}$ содержится в $K$. Так как коммутант группы $G$ совпадает с $G$, коммутант группы $\mathbb{A}$ совпадает с $\mathbb{A}$. Следовательно, $K=\mathbb{A}$, т.е. все собственные подгруппы группы $\mathbb{A}$ являются циклическими. Теорема доказана. Если порядки всех элементов некоторой группы ограничены в совокупности, наименьшее общее кратное порядков всех ее элементов будем называть периодом группы. Периодическую группу будем называть $p$-группой, если порядок каждого ее элемента является некоторой степенью простого числа $p$. Силовской $p$-подгруппой произвольной группы будем называть такую ее $p$-подгруппу, которая не содержится в большей $p$-подгруппе этой группы. Теорема 5. Для всякого простого $p$, для всякой нециклической гиперболической группы без кручения существует неабелева факторгруппа $K$ конечного периода, у которой все собственные подгруппы циклические, а силовская $p$-подгруппа $P$ центральна, но не является прямым множителем группы $K$. Доказательство. Рассмотрим группу $\mathbb{A}$ из теоремы 4 для достаточно большого нечетного числа $n$, не делящегося на $p$. Так как бесконечная циклическая подгруппа $\langle C\rangle$ центральна, подгруппа $\langle C^p\rangle$ является нормальной в $\mathbb{A}$. Положим $K=\mathbb{A}/\langle C^p\rangle$. Так как группа $G(\infty)$ проста [7; замечание 2 к теореме 2.6], центр группы $K$ совпадает с подгруппой $P=\langle C\rangle/\langle C^p\rangle$. Так как порядки элементов группы $G(\infty)=K/P$ конечны и делят $n$, то $P$ – силовская $p$-подгруппа в $K$, а порядки элементов группы $K$ конечны и делят $np$. Так как полный прообраз любой подгруппы группы $K$ – это подгруппа в $\mathbb{A}$, все собственные подгруппы группы $K$ – циклические. В частности, отсюда следует, что $P$ не является прямым множителем группы $K$. Отметим, что в теореме 5 любая собственная подгруппа группы $K$ либо тривиально пересекается с $P$, либо совпадает с $P$, либо содержит $P$ в качестве прямого множителя. Также дополнительно (по сравнению с [2; теорема 31.7]) в $K$ есть цикличность всех собственных подгрупп. Теорема 6. Для всякой нециклической гиперболической группы без кручения, для всякого достаточно большого простого числа $p$ и любого целого $k\geqslant 0$ существует неабелева факторгруппа $K$ периода $p^{k+1}$, которая содержит центральную циклическую подгруппу $D$ порядка $p^k$ такую, что любая подгруппа группы $K$ циклична (кроме $K$) и либо содержит $D$, либо содержится в $D$. Доказательство. Аналогично [2; доказательство теоремы 31.8]. В качестве группы $S$ из доказательства теоремы 31.8 [2] надо взять группу $\mathbb{A}$ из теоремы 4 для $n=p$. Вместо ссылки на теорему 26.4 из [2], надо сослаться на ее аналог – на теорему 2.4 из [7].
5. Использование предельной группы из [8]В [8] (и впоследствии другим способом в [6]) для любой нециклической гиперболической группы без кручения А. Ю. Ольшанским была построена неабелева факторгруппа $\overline{G}$ без кручения, все собственные подгруппы которой являются циклическими, а любые две различные максимальные собственные подгруппы имеют тривиальное пересечение. (Последнее следует из [1; лемма 10] и того, что $\overline{G}$ есть предел гиперболических групп без кручения.) Чтобы получить некоторые примеры центральных расширений группы $\overline{G}$, нам потребуется следующая теорема. Для полноты сформулируем и докажем ее не только для группы $\overline{G}$ из [8; следствие 1], но и для $\widehat{G}$ из [8; следствие 4], и $\widetilde{G}$ из [8; следствие 2]. Теорема 7. Пусть $G$ – произвольная нециклическая гиперболическая группа без кручения, $G/\overline{N}_{\mathcal{R}}$ – группа $\widehat{G}$, построенная в [8; следствие 4], или $\overline{G}$ из [8; следствие 1], или $\widetilde{G}$ из [8; следствие 2] (считаем, что при построении $\overline{G}$ и $\widetilde{G}$ использовалась [8; теорема 4], а не [8; теорема 2] или [8; теорема 3]). Тогда $H=G/[\overline N_{\mathcal{R}}, G]$ не имеет кручения, а $\overline N_{\mathcal{R}}/[\overline N_{\mathcal{R}}, G]$ является свободной абелевой группой с счетным базисом из элементов $\{\overline R\}_{R\in \mathcal{R}^+}$, где $\overline{R}=R[N_{\mathcal{R}}, F]N$. Доказательство. Рассмотрим группу $\widehat{G}$ (для $\overline{G}$ и $\widetilde{G}$ все аналогично, даже проще).
Напомним, что в [8; следствие 4] $\widehat{G}$ – бесконечная неабелева группа такая, что все ее собственные подгруппы конечны. При построении $\widehat{G}=G(\infty)=\lim_{\to}G_i$ рассматриваются все элементы $g_1,g_2,\dots$ группы $G$ и все конечно порожденные неэлементарные ее подгруппы $H_1, H_2,\dots$, и по [8; теорема 4] находится последовательность эпиморфизмов $G_0=G\to G_1\to G_2\to\dots$ такая, что каждый элемент $g_i$ имеет конечный порядок в $G_{2i-1}$ (как в [8; следствие 2]) и образ подгруппы $H_i$ является элементарной подгруппой в $G_{2i}$ или совпадает с $G_{2i}$ (как в [8; следствие 1]). Для достаточно больших чисел $m_{i,0}$ числа $m_i$ выбираются произвольно так, чтобы $m_i\geqslant m_{i,0}$, а числа $m_{2i-1}$ были нечетными. Множества $\mathcal{R}_{2i}$ – это множества $\mathcal{R}_{k_{2i},l_{2i},m_{2i}}$ из [8; доказательство теоремы 2] или пустые множества, если $H_i$ являлась элементарной в $G_{2i-1}$. Если элемент $g_i$ имеет конечный порядок в $G_{2i-2}$, то $G_{2i-2}\to G_{2i-1}$ – тождественный гомоморфизм и $\mathcal{R}_{2i-1}=\varnothing$. Иначе рассматривается максимальная элементарная подгруппа $E_{i,0}$, содержащая $g_i$, и ее максимальная бесконечная циклическая нормальная подгруппа $\langle \overline{g}_i\rangle$, и $G_{2i-1}=G_{2i-2}/\langle \overline{g}_i^{m_{2i-1}} \rangle^{G_{2i-2}}$, а множество $\mathcal{R}_{2i-1}$ задается как множество всех циклических перестановок слова $W_i^{\pm m_{2i-1}}$, где $W_i$ – слово, представляющее элемент $\overline{g}_i$. Так как $G$ – нециклическая гиперболическая группа без кручения, то, как показано в [8; доказательство следствия 4], $G$ является неэлементарной и удовлетворяет квазитождественному соотношению
$$
\begin{equation*}
(\forall\, x,y\in G)\quad x^2y=yx^2 \qquad\Longrightarrow\qquad xy=yx.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, по построению [8; теорема 4] все $G_i$ получаются неэлементарными гиперболическими группами, удовлетворяющими квазитождественному соотношению (для этого числа $m_{2i-1}$ выбираются нечетными).
Так как из $xyx^{-1}=y^{-1}$ следует $x^2yx^{-2}=y$, при выполнении квазитождественного соотношения получаем $y^2=1$, что невозможно для элемента бесконечного порядка. Так как все элементы из $\mathcal{R}_i$ имеют бесконечный порядок в $G_{i-1}$ [8; леммы 4.1, (1), 4.2, 7.2], для любого $R\in \mathcal{R}_i$ $R^{-1}$ не сопряжено в группе $G_{i-1}$ с $R$. Таким образом, $\mathcal{R}_i$ удовлетворяют $C_2(\epsilon_i,\mu_i,\lambda_i,c_i,\rho_i)$-условию по [8; лемма 4.1, (2)] для нечетных $i$ и $C_1(\epsilon_i,\mu_i,\lambda_i,c_i,\rho_i)$-условию по [8; лемма 4.2] для четных $i$ (существуют подходящие числа $\lambda_i>0$, $l_i>0$, $c_i\geqslant 0$, $\mu_i>0$, $\epsilon_i\geqslant 0$, $\rho_i>0$, $m_{i,0}>0$). Следовательно, по [8; лемма 6.6] копредставление (1.1) группы $\widehat{G}=G(\infty)$ является $G$-асферическим, а также, как отмечено в [8; доказательство теоремы 4], $G$-аторическим. Рассмотрим группу $H=G/[\overline N_{\mathcal{R}}, G]\simeq F/[N_{\mathcal{R}}, F]N$ (обозначения из разделов 1 и 3). По теореме 1 абелева группа $M=\overline N_{\mathcal{R}}/[\overline N_{\mathcal{R}}, G]\simeq N_{\mathcal{R}}N/[N_{\mathcal{R}}, F]N$ свободно порождается элементами $\{\overline{R}\}_{R\in \mathcal{R}^+}$, где $\overline{R}=R[N_{\mathcal{R}}, F]N$. Так как $\widehat{G}$ не является гиперболической, $\mathcal{R}^+\neq\cup_{i=1}^{k}\mathcal{R}_i^+$ для всякого $k$ и множество $\mathcal{R}^+=\cup_{i=1}^{\infty}\mathcal{R}_i^+$ бесконечно. Группа $H$ является расширением группы $\widehat{G}$ с помощью центральной подгруппы $M$. Докажем, что в $H$ нет кручения. Предположим противное. Для всякого неединичного элемента $X$ конечного порядка в $H$ имеем $X\notin M$, т.е. $X\neq 1$ в $\widehat{G}$, и существует наименьшее $j$ такое, что $X$ имеет конечный порядок в $G_j$, и $j\geqslant 1$. Среди всех таких элементов выберем элемент $X\in H$ с наименьшим $j$. По [8; лемма 7.2] $X$ сопряжен в $G_j$ с некоторым элементом, представленным словом $A$, которое задает элемент из централизатора $C_{G_{i-1}}(R_i)$ для некоторого $R_i\in \mathcal{R}_i^+$, $i\leqslant j$. Следовательно, так как $G_{i-1}$ – гиперболическая группа, существует натуральное $s$ такое, что $A^s=R_i^l$ в $G_{i-1}$, а значит, $A^s=R_i^l\prod S_kR_{i_k}^{\delta_k}S_k^{-1}$ в группе $G$, где $\delta_k=\pm 1$, $R_{i_k}\in \bigcup_{\nu=1}^{i-1}\mathcal{R}_{\nu}^+$. В группе $H$ имеем где $R_{k_{\nu}}\in \mathcal{R}_{\nu}^+$ – различные для различных ${k_{\nu}}$, $l_{k_{\nu}}$ – целые числа. Заменяя $X$ сопряженным, можно считать, что $X=AZ$ в группе $H$, где $Z\in M$. Поскольку $Z$ принадлежит центру, в группе $H$ имеем Так как $\overline{R}_i$, $\overline{R}_{k_{\nu}}$ (для всех $k_{\nu}$ по всем $\nu=1,\dots,i-1$) – различные базисные элементы в $M$, и в $M$ нет элементов конечного порядка, то $X^s=1$ в $H$ и $l=sd$, $l_{k_{\nu}}=sd_{k_{\nu}}$ для всех $k_{\nu}$. Следовательно, $(A(\overline{R}_i^{d}\prod_{\nu=1}^{i-1} \prod_{k_{\nu}}\overline{R}_{k_{\nu}}^{d_{k_{\nu}}})^{-1})^s=1$ в $H$, причем $A(\overline{R}_i^{d}\prod_{\nu=1}^{i-1} \prod_{k_{\nu}}\overline{R}_{k_{\nu}}^{d_{k_{\nu}}})^{-1}\neq 1$ в $H$ (иначе бы $A\in M$, а значит, и $X\in M$). Так как $A\in C_{G_{i-1}}(R_i)$, то в $G_{i-1}$ имеем $(A(\overline{R}_i^{d}\prod_{\nu=1}^{i-1} \prod_{k_{\nu}}\overline{R}_{k_{\nu}}^{d_{k_{\nu}}})^{-1})^s=1$. Так как $i-1<j$, приходим к противоречию с выбором $X$.Доказательство отсутствия кручения для $H$ из теоремы 7 несколько отличается от доказательства для $H$ из [2; теорема 31.2], так как $l$ здесь не обязано равняться 1. Теорема 8. Для всякой нециклической гиперболической группы без кручения и всякого $k\in \mathbb{N}$ существует неабелева факторгруппа $\mathbf{A}$ без кручения, у которой все максимальные собственные подгруппы изоморфны $\mathbb{Z}^k$ и пересечение любых двух различных максимальных собственных подгрупп совпадает с центром группы $\mathbf{A}$, который изоморфен $\mathbb{Z}^{k-1}$, причем никакая нетривиальная подгруппа центра не является прямым множителем группы $\mathbf{A}$. Доказательство. Рассмотрим произвольную нециклическую гиперболическую группу без кручения. Как и в доказательстве теоремы 4, она сюръективно отображается на нециклическую гиперболическую группу $G$ без кручения, коммутант которой совпадает с $G$.
По [8; следствие 1] для группы $G$ существует неабелева факторгруппа $G(\infty)=\overline{G}=G/\overline N_{\mathcal{R}}$ без кручения, все собственные подгруппы которой являются циклическими, любые две различные максимальные собственные подгруппы имеют тривиальное пересечение, а центр тривиален. Эта группа доказывает утверждение при $k=1$. Пусть $k>1$. Рассмотрим группу $H=G/[\overline N_{\mathcal{R}}, G]$. По теореме 7 абелева группа $\overline N_{\mathcal{R}}/[\overline N_{\mathcal{R}}, G]$ имеет счетный набор свободных порождающих $\{\overline{R}\}_{R\in \mathcal{R}^+}$. Перенумеруем элементы из $\{\overline{R}\}_{R\in \mathcal{R}^+}$ натуральными числами. Поскольку $\overline{R}$ лежат в центре группы $H$, подгруппа $L$, составленная из произведений $\prod_m \overline{R}_{i_m}^{s_m}$, где $\sum_ms_m=0$, $i_m\geqslant k-1$, является нормальной в $H$. Группа $\mathbf{A}=H/L$ является расширением группы $\overline{G}$ с помощью свободной абелевой центральной подгруппы $\mathbf{C}=\langle \overline{R}_1L\rangle\times\dots\times\langle \overline{R}_{k-1}L\rangle$. Так как $\overline{G}$ не является абелевой и бесконечна, то $\mathbf{A}$ тоже не является абелевой и бесконечна. Так как группа $\overline{G}$ не имеет кручения, то и группа $\mathbf{A}$ не имеет кручения. Так как центр группы $\overline{G}$ тривиален, то центр $Z(\mathbf{A})$ группы $\mathbf{A}$ совпадает с $\mathbf{C}$. Рассмотрим произвольную собственную подгруппу $K$ группы $\mathbf{A}$. Она отображается на подгруппу $\widehat{K}$ группы $\overline{G}$. Подгруппа $\widehat{K}$ либо совпадает с $\overline{G}$, либо является циклической, порожденной некоторым элементом $\widehat{g}$. В первом случае $\mathbf{A}=KZ(\mathbf{A})$, а значит, $K$ является нормальной подгруппой группы $\mathbf{A}$. Так как $\mathbf{A}/K$ – абелева группа, коммутант группы $\mathbf{A}$ содержится в $K$, а значит, $K=\mathbf{A}$ (из таких же рассуждений следует, что никакая нетривиальная подгруппа центра не выделяется прямым множителем в $\mathbf{A}$). Во втором случае, если $\widehat{g}$ не является единичным, то $K=\langle g\rangle\times (K\cap Z(\mathbf{A}))\leqslant\langle g\rangle\times Z(\mathbf{A})\neq \mathbf{A}$, где $g\in K$ – прообраз элемента $\widehat{g}$, иначе $K\leqslant Z(\mathbf{A})\leqslant\langle g\rangle\times Z(\mathbf{A})\neq \mathbf{A}$ для произвольного $g\notin Z(\mathbf{A})$. Теорема 9. Для всякой нециклической гиперболической группы без кручения существует неабелева факторгруппа $\mathbf{A}$ без кручения, у которой все максимальные собственные подгруппы являются свободными абелевыми счетного ранга и пересечение любых двух различных максимальных собственных подгрупп совпадает с центром группы $\mathbf{A}$, который есть свободная абелева группа с базисом $\{e_i\mid i\in \mathbb{N}\}$, а базис любой максимальной собственной подгруппы группы $\mathbf{A}$ можно получить, добавив к $\{e_i\mid i\in \mathbb{N}\}$ один элемент, причем никакая нетривиальная подгруппа центра не является прямым множителем группы $\mathbf{A}$. Доказательство. Аналогично доказательству теоремы 8 для тривиальной $L$ и $\mathbf{C}=\overline N_{\mathcal{R}}/[\overline N_{\mathcal{R}}, G]$. Отметим, что центр в $\mathbf{A}$ из теоремы 8 (из теоремы 9) является подгруппой Фраттини. Теорема 10. Для всякой нециклической гиперболической группы без кручения существует бесконечная неабелева факторгруппа $K$, у которой все элементы конечного порядка образуют подгруппу $P$, являющуюся центром, и $P$ не является прямым множителем группы $K$. Доказательство. Рассмотрим группу $\mathbf{A}$ из теоремы 8, например, при $k=2$. В этом случае ее центр $\mathbf{C}$ – бесконечная циклическая подгруппа $\langle C\rangle$. Для произвольного целого числа $s>1$ ее подгруппа $\langle C^s\rangle$ является нормальной в $\mathbf{A}$. Положим $K=\mathbf{A}/\langle C^s\rangle$. Так как группа $\overline{G}=K/P$ имеет тривиальный центр, центр группы $K$ совпадает с подгруппой $P=\langle C\rangle/\langle C^s\rangle$. Так как $\overline{G}$ не имеет кручения, все элементы конечного порядка группы $K$ лежат в $P$. Подгруппа $P$ не является прямым множителем группы $K$, так как полный прообраз любой собственной подгруппы группы $K$ – это собственная подгруппа в $\mathbf{A}$, а $K$ не абелева.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kul23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|