| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Краткие сообщения О производной категории грассманиана Кэли Л. А. Гусева Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Москва
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623010169 
Реферативные базы данных:
  В работе строится полный исключительный набор в ограниченной производной категории когерентных пучков на грассманиане Кэли $\mathbf{CG}$. Геометрические свойства грассманиана Кэли были изучены в [1]. В работе [2] были подсчитаны малые квантовые когомологии грассманиана Кэли, в частности, доказана их полупростота. Таким образом, основной результат этой работы подтверждает в случае грассманиана Кэли гипотезу Дубровина, которая говорит о том, что из полупростоты малых квантовых когомологий должно следовать существование полного исключительного набора. Известно, что из существования полного исключительного набора не следует полупростота малых квантовых когомологий. В работе [3] было дано уточнение гипотезы Дубровина для многообразий Фано с одномерной группой Пикара, а именно была сформулирована гипотеза о том, что из полупростоты малых квантовых когомологий многообразия следует существование полного лефшецева набора, вычетная категория которого порождается полностью ортогональными исключительными объектами, определение лефшецева набора и его вычетной категории см. в определении 3. В работе мы доказываем, что эта гипотеза также выполнена для грассманиана Кэли. Фиксируем алгебраически замкнутое поле $\Bbbk$ характеристики $0$. Определим грассманиан Кэли $\mathbf{CG}$. Для этого рассмотрим грассманиан $\mathrm{Gr}(3,V)$, параметризующий 3-мерные подпространства в $7$-мерном векторном пространстве $V$. Будем обозначать $\mathscr U\subset V\otimes\mathscr O$ и $\mathscr U^\perp\subset V^\vee\otimes\mathscr O$ тавтологические векторные расслоения на $\mathrm{Gr}(3,V)$ рангов $3$ и $4$ соответственно. Тавтологическое фактор-расслоение будем обозначать как $\mathscr Q:=(\mathscr U^\perp)^\vee$, плюккерово линейное расслоение – как $\mathscr O(1)$. По определению на $\mathrm{Gr}(3,V)$ имеем точные последовательности расслоений:
$$
\begin{equation}
0 \to\mathscr U\to V\otimes\mathscr O\to\mathscr Q\to 0,
\end{equation}
\tag{1}
$$
$$
\begin{equation}
0 \to\mathscr U^\perp\to V^\vee\otimes\mathscr O\to\mathscr U^\vee\to 0.
\end{equation}
\tag{2}
$$
По теореме Бореля–Ботта–Вейля $\mathrm H^0(\mathrm{Gr}(3,V),\mathscr U^\perp(1))\simeq\Lambda^4V^\vee$. Фиксируем общее глобальное сечение расслоения $\mathscr U^\perp(1)$, т.е. общую $4$-форму $\lambda\in\Lambda^4V^\vee$. Грассманиан Кэли $\mathbf{CG}$ определяется как локус нулей глобального сечения $\lambda\in\mathrm H^0(\mathrm{Gr}(3,V),\mathscr U^\perp(1))$. Иначе говоря, $\mathbf{CG}$ парметризует такие $3$-мерные векторные подпространства $U\subset V$, что $\lambda(u_1,u_2,u_3,-)=0$ для всех $u_1,u_2,u_3\in U$. Из определения сразу следует, что $\mathbf{CG}$ является гладким многообразием Фано размерности $8$ и что канонический класс $\omega_{\mathbf{CG}}$ грассманиана Кэли изоморфен $\mathscr O(-4)$.
Напомним определение полного исключительного набора в $\Bbbk$-линейной триангулированной категории $\mathscr T$. Определение 1. Объект $E$ в $\mathscr T$ называется исключительным, если $\operatorname{Ext}^\bullet(E,E)=\Bbbk$. Определение 2. Последовательность объектов $E_1,\dots,E_m$ в $\mathscr T$ называется исключительным набором, если все $E_i$ являются исключительными и $\operatorname{Ext}^\bullet(E_i,E_j)=0$ для всех $i>j$. Набор $(E_1,E_2,\dots,E_m)$ называется полным, если минимальная триангулированная подкатегория в $\mathscr T$, содержащая $(E_1,E_2,\dots,E_m)$, совпадает с $\mathscr T$. Для исключительного объекта $E\in\mathscr T$ мы будем обозначать за $\mathbb L_E$ функтор левой перестройки через $E$, который переводит объект $G\in\mathscr T$ в
$$
\begin{equation}
\mathbb L_E(G):=\operatorname{Cone}(\operatorname{Ext}^\bullet(E,G)\otimes E\to G),
\end{equation}
\tag{3}
$$
где морфизм – это морфизм вычисления. Если $(E,E')$ – исключительной пара, то пара $(\mathbb L_E(E'),E)$ также является исключительной, причем $(\mathbb L_E(E'),E)$ и $(E,E')$ порождают одну и ту же подкатегорию в $\mathscr T$, см. [4]. Для исключительного набора $(E_1,\dots,E_m)$ произвольной длины мы определяем левую перестройку через подкатегорию $\langle E_1,\dots,E_n\rangle$ как композицию
$$
\begin{equation}
\mathbb L_{\langle E_1,\dots,E_m\rangle} =\mathbb L_{E_1}\circ\dotsb\circ\mathbb L_{E_m}.
\end{equation}
\tag{4}
$$
Предложение 1 [1]. Функтор левой перестройки через исключительный набор индуцирует эквивалентность Перестройка полного исключительного набора является полным исключительным набором. Полный исключительный набор в ограниченной производной категории когерентных пучков $\mathrm D^b(\mathbf{CG})$ на грассманиане Кэли $\mathbf{CG}$, который мы собираемся описать, является лефшецевым. Дадим определение лефшецева набора и его вычетной категории в производной категории гладкого проективного многообразия $X$. Определение 3 [3]. Пусть $\mathscr O_X(1)$ – обильное линейное расслоение на $X$. 1) Лефшецев набор в $\mathrm D^b(X)$ относительно $\mathscr O_X(1)$ – это исключительный набор в $\mathrm D^b(X)$, состоящий из нескольких блоков
$$
\begin{equation*}
\underbrace{E_1,E_2,\dots,E_{\vartheta_0}}_{\text{блок }1}, \underbrace{E_1(1),E_2(1),\dots,E_{\vartheta_1}(1)}_{\text{блок }2},\dots, \underbrace{E_1(i-1),E_2(i-1),\dots,E_{\vartheta_{i-1}}(i-1)}_{\text{блок }i},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\vartheta=(\vartheta_0\geqslant\vartheta_1\geqslant\dotsb\geqslant\vartheta_{i-1}>0)$ – невозрастающая последовательность целых положительных чисел. 2) Прямоугольной частью лефшецева набора называется поднабор
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\underbrace{E_1,E_2,\dots,E_{\vartheta_{i-1}}}_{\text{блок }1}, \underbrace{E_1(1),E_2(1),\dots,E_{\vartheta_{i-1}}(1)}_{\text{блок }2},\dots, \nonumber \\ &\qquad\underbrace{E_1(i-1),E_2( i-1),\dots,E_{\vartheta_{i-1}}(i-1)}_{\text{блок }i}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6}
$$
3) Подкатегория в $\mathrm D^b(X)$ ортогональная прямоугольной части лефшецева набора называется вычетной категорией Построенный набор в $\mathrm D^b(\mathbf{CG})$ состоит из четырех блоков. Общая часть этих четырех блоков состоит из трех расслоений $(\mathscr O,\mathscr U^\vee,\Lambda^2\mathscr U^\vee)$. Будем обозначать за $\mathfrak E(i)$ набор из трех расслоений:
$$
\begin{equation}
\mathfrak E(i):=(\mathscr O(i),\mathscr U^\vee(i),\Lambda^2\mathscr U^\vee(i)).
\end{equation}
\tag{8}
$$
Для того, чтобы описать оставшуюся часть набора, нам нужно определить два дополнительных векторных расслоения на $\mathbf{CG}$. Первое расслоение определяется следующим образом:
$$
\begin{equation}
\Sigma^{2,1}\mathscr U^\vee :=(\mathscr U^\vee\otimes\Lambda^2\mathscr U^\vee)/\Lambda^3\mathscr U^\vee.
\end{equation}
\tag{9}
$$
Опишем второе расслоение.
Лемма 1. На грассманиане Кэли $\mathbf{CG}$ имеется вложение векторных расслоений заданное $4$-формой $\lambda$. В частности, на $\mathbf{CG}$ мы можем определить фактор-расслоение $\Lambda^2\mathscr U^\perp/\Lambda^2\mathscr U$. В исключительном наборе мы будем использовать двойственное к нему расслоение
$$
\begin{equation}
\mathscr R:=(\Lambda^2\mathscr U^\perp/\Lambda^2\mathscr U)^\vee.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Таким образом, по определению $\mathscr R$, на $\mathbf{CG}$ имеется следующая точная последовательность
$$
\begin{equation}
0\to\mathscr R\to\Lambda^2\mathscr Q\to\Lambda^2\mathscr U^\vee\to 0.
\end{equation}
\tag{11}
$$
Сформулируем основной результат работы.
Теорема 1. Набор из $15$ векторных расслоений на грассманиане Кэли $\mathbf{CG}$ является полным лефшецевым набором относительно $\mathscr O(1)$. Используя резольвенту Кошуля для структурного пучка $\varrho_*\mathscr O_{\mathbf{CG}}$:
$$
\begin{equation}
0\to\mathscr O(-3)\to\Lambda^3\mathscr Q(-3) \to\Lambda^2\mathscr Q(-2) \to\mathscr Q(-1)\to\mathscr O \to\varrho_*\mathscr O_{\mathbf{CG}}\to 0,
\end{equation}
\tag{13}
$$
где $\varrho\colon\mathbf{CG}\hookrightarrow\mathrm{Gr}(3,V)$ – вложение $\mathbf{CG}$ в $\mathrm{Gr}(3,V)$, доказательство исключительности набора (14) сводится к вычислениям когомологий на $\mathrm{Gr}(3,V)$, которые можно проделать, используя теорему Бореля–Ботта–Вейля.
Опишем идею доказательства полноты набора (14). Немного удобнее доказывать полноту набора
$$
\begin{equation}
(\mathscr U,\mathfrak E,\mathscr R,\Sigma^{2,1}\mathscr U^\vee, \mathfrak E(1),\mathscr R(1),\mathfrak E(2); \mathscr O(3),\mathscr U^\vee(3)),
\end{equation}
\tag{14}
$$
полученного из (12) удалением последнего объекта $\Lambda^2\mathscr U^\vee(3)$ и добавлением вместо него в начало $\mathscr U\simeq\Lambda^2\mathscr U^\vee(3) \otimes\omega_{\mathbf{CG}}$. По теореме 4.1 в [4] полнота набора (12) эквивалентна полноте (14).
Можно показать, что $\mathbf{CG}$ покрывается семейством подмногообразий $\mathbf{CG}_f\overset{i_f}{\hookrightarrow}\mathbf{CG}$, которые определяются как нули достаточно общих глобальных сечений $f\in\mathrm H^0(\mathbf{CG},\mathscr U^\vee)$. Нетрудно показать, что подмногообразия $\mathbf{CG}_f$ изоморфны гладкому гиперплоскому сечению изотропного грассманиана $\mathrm{IGr}(3,6)$, так что по [5; теорема 2.3] в $\mathrm D^b(\mathbf{CG}_f)$ имеется полный исключительный набор. Используя стандарные аргументы из [6], мы сводим задачу к следующей проверке включений для пяти векторных расслоений:
$$
\begin{equation}
S^2\mathscr U^\vee(m)\in\mathscr D,\quad m=0,1,2,\qquad \qquad \Sigma^{2,1}\mathscr U^\vee(1),\Sigma^{2,1}\mathscr U^\vee(2)\in\mathscr D,
\end{equation}
\tag{15}
$$
где $\mathscr D\subset\mathrm D^b(\mathbf{CG})$ подкатегория, порожденная (14). Более точно, используя (15), резольвенту Кошуля пучка $i_{f*}\mathscr O_{\mathbf{CG}_f}$ на $\mathbf{CG}$ и полный исключительный набор на $\mathbf{CG}_f$, можно проверить, что обратный образ $i_f^*F$ любого объекта $F\in\mathscr D^\perp$ равен $0$. Из этого следует зануление $F=0$, так что мы получаем $\mathscr D^\perp=0$ и $\mathscr D=\mathrm D^b(\mathbf{CG})$.
Доказательство включений (15) – самая важная часть доказательства полноты набора (14). Чтобы доказать (15), нам понадобится операция склейки двух расслоений на квадрики с изоморфными коядрами. Опишем ее. Напомним, что расслоение на квадрики $\mathbf Q\to S$ над схемой $S$ – это собственный морфизм, который можно представить как композицию $\mathbf Q\hookrightarrow\mathbb P_S(\mathscr F)\to S$, где $\mathscr F$ – векторное расслоение на $S$, а $\mathbf Q\hookrightarrow\mathbb P_S(\mathscr F)$ – дивизориальныое вложение относительной степени $2$ над $S$. Расслоение на квадрики определяется самодвойственным морфизмом
$$
\begin{equation}
\mathscr F\overset{f}{\to}\mathscr F^\vee\otimes\mathscr L,
\end{equation}
\tag{16}
$$
где $\mathscr L$ – линейное расслоение. С расслоением на квадрики $\mathbf Q\to S$ можно ассоциировать когерентный пучок $\operatorname{Coker}(f)$, который называется коядром расслоения на квадрики. Точное описание нужной нам операции склейки следующее.
Предложение 2. Существует биекция между множеством классов изоморфизма троек где $f_1$ и $f_2$ самодвойственные морфизмы, и множеством классов изоморфизма пар где $f$ самодвойственный морфизм. Теперь опишем, каким образом предложение 2 позволяет доказать включения (15). Вначале опишем доказательство включений $\Sigma^{2,1}\mathscr U^\vee(1),\Sigma^{2,1}\mathscr U^\vee(2)\in\mathscr D$. Используя результаты [1], в проективизациях векторных расслоений $\mathbb P_{\mathbf{CG}}(\mathscr U^\perp\otimes\Lambda^2\mathscr U^\vee)$ и $\mathbb P_{\mathbf{CG}}(\mathscr U^\vee\oplus\mathscr O)$ можно построить расслоения на квадрики с изоморфными коядрами. Таким образом по предложению 2 мы получаем, что существует расширение
$$
\begin{equation}
0\to\mathscr U^\perp\otimes\Lambda^2\mathscr U^\vee \to\mathscr E_{16}\to\Lambda^2\mathscr U^\vee\oplus\mathscr O(1)\to 0,
\end{equation}
\tag{17}
$$
такое что расслоение $\mathscr E_{16}$ является самодвойственным, т.е. $\mathscr E_{16}\simeq\mathscr E^\vee_{16}(1)$. Легко показать, что $\mathscr E_{16}$ является ядром морфизма вычисления на $\mathbf{CG}$:
$$
\begin{equation*}
ev\colon\operatorname{Hom}_{\mathbf{CG}} (\Lambda^2\mathscr U^\vee,\Sigma^{2,1}\mathscr U^\vee) \otimes\Lambda^2\mathscr U^\vee\to\Sigma^{2,1}\mathscr U^\vee,
\end{equation*}
\notag
$$
причем $\operatorname{Hom}_{\mathbf{CG}} (\Lambda^2\mathscr U^\vee,\Sigma^{2,1}\mathscr U^\vee) \simeq V^\vee\oplus\Bbbk$. Таким образом, используя самодвойственность $\mathscr E_{16}$, можно получить следующую самодвойственную точную последовательность на $\mathbf{CG}$:
$$
\begin{equation}
0\to\Sigma^{2,1}\mathscr U^\vee(-1) \overset{ev^\vee}{\longrightarrow}(V\oplus\Bbbk) \otimes\mathscr U^\vee\to(V^\vee\oplus\Bbbk) \otimes\Lambda^2\mathscr U^\vee \overset{ev}{\longrightarrow}\Sigma^{2,1}\mathscr U^\vee\to 0,
\end{equation}
\tag{18}
$$
где $ev^\vee$ – двойственный к $ev$ морфизм. Включение $\Sigma^{2,1}\mathscr U^\vee(1),\Sigma^{2,1}\mathscr U^\vee(2)\in\mathscr D$ сразу следует из существования (18).
Включения $S^2\mathscr U^\vee(1),S^2\mathscr U^\vee(2)\in\mathscr D$ следуют из стандартных точных последовательностей на $\mathbf{CG}$. Более точно, из последовательности (11) получаем $\Lambda^2\mathscr Q,\Lambda^2\mathscr Q(1)\in\mathscr D$, так что, используя (двойственный) комплекс Кошуля
$$
\begin{equation}
0\to\Lambda^2\mathscr Q(n-1)\to\Lambda^2V^\vee \otimes\mathscr O(n)\to V^\vee\otimes\mathscr U^\vee(n) \to S^2\mathscr U^\vee(n)\to 0
\end{equation}
\tag{19}
$$
для $n=1,2$, получаем требуемое включение.
Для доказательства включения $S^2\mathscr U^\vee\in\mathscr D$ снова требуется предложение 2. Используя результаты [1], в проективизациях векторных расслоений $\mathbb P_{\mathbf{CG}}(S^2\mathscr U)$ и $\mathbb P_{\mathbf{CG}}(\mathscr Q)$ можно построить расслоения на квадрики с изоморфными коядрами. Таким образом по предложению 2 мы получаем, что существует расширение
$$
\begin{equation}
0 \to S^2\mathscr{U} \to \mathscr E_{10} \to \mathscr U^\perp\to 0,
\end{equation}
\tag{20}
$$
такое что расслоение $\mathscr E_{10}$ является самодвойственным, т.е. $\mathscr E_{10}(1)\simeq\mathscr E^\vee_{10}$. Из (подкрученного) комлекса Кошуля
$$
\begin{equation}
0\to S^2\mathscr U(1)\to V\otimes\Lambda^2\mathscr U^\vee \to\Lambda^2V^\vee\otimes\mathscr O(1) \to\Lambda^2\mathscr Q(1)\to 0
\end{equation}
\tag{21}
$$
мы видим, что $S^2\mathscr U(1)\in\mathscr D$. Из точной последовательности (20) и точной последовательности (2), покрученных на $\mathscr O(1)$, мы получаем $\mathscr E_{10}(1)\in\mathscr D$, так что из самодвойственности следует, что $\mathscr E^\vee_{10}\in\mathscr D$. Используя двойственную к (20) точную последовательность
$$
\begin{equation}
0\to\mathscr Q\to\mathscr E^\vee_{10}\to S^2\mathscr U^\vee\to 0
\end{equation}
\tag{22}
$$
и (21), мы получаем требуемое включение $S^2\mathscr U^\vee\in\mathscr D$.
Докажем теперь, что вычетная категория (12) порождается полностью ортогональными объектами. Таким образом гипотеза из работы [3] выполнена для $\mathbf{CG}$. Теорема 2. Вычетная категория $\mathsf{Res}$ лефшецева набора (12) порождается тремя полностью ортогональными объектами Опишем идею доказательства этой теоремы. По определению
$$
\begin{equation}
\mathsf{Res}:=\langle\mathfrak E,\mathfrak E(1), \mathfrak E(2),\mathfrak E(3)\rangle^\perp.
\end{equation}
\tag{24}
$$
Таким образом, $\mathsf{Res}$ порождается набором $\langle\mathbb L_{\mathfrak E}\mathscr R, \mathbb L_{\mathfrak E}\Sigma^{2,1}\mathscr U^\vee, \mathbb L_{\mathfrak E,\mathfrak E(1)}(\mathscr R(1))\rangle$.
Изоморфизм $\mathbb L_{\mathfrak E}\Sigma^{2,1}\mathscr U^\vee \simeq\Sigma^{2,1}\mathscr U^\vee(-1)[2]$ следует из точной последовательности (18). Используя те же точные последовательности, что и в доказательстве $S^2\mathscr U^\vee\in\mathscr D$, можно показать включение $\mathscr R(-1)\in\langle\mathfrak E,\mathfrak E(1),\mathscr R(1)\rangle$. Таким образом, из исключительности набора (12) мы с точностью до сдвига получаем изоморфизм $\mathbb L_{\mathfrak E,\mathfrak E(1)}(\mathscr R(1))\simeq\mathscr R(-1)$. Мы доказали (23). Докажем полную ортогональност обектов, порождающих $\mathsf{Res}$. Напомним, см. теорему 2.8 в [3], что вычетная категория $\mathsf{Res}$ для лефшецева набора (12) обладает следующей автоэквивалентностью:
$$
\begin{equation}
\tau(-):=\mathbb L_{\mathfrak E}(-\otimes\mathscr O(1)).
\end{equation}
\tag{25}
$$
По определению, $\tau(\mathscr R(-1))=\mathbb L_{\mathfrak E}\mathscr R$. Из написанного выше с точностью до сдвига получаем
$$
\begin{equation}
\tau(\Sigma^{2,1}\mathscr U^\vee(-1)) =\Sigma^{2,1}\mathscr U^\vee(-1),\qquad \tau(\mathbb L_{\mathfrak E}\mathscr R)=\mathscr R(-1).
\end{equation}
\tag{26}
$$
Полуортгональность трех объектов, порождающих $\mathsf{Res}$, очевидна. Полная ортогональность следует из того, что $\tau$ является автоэквивалентностью. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Gus23} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|