| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Отрицательное уравнение Пелля и статические конфигурации точечных вихрей на плоскости А. Д. Вишневская, М. В. Демина Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Москва
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623070040 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеДвижение $M$ бесконечно тонких прямолинейных параллельных вихревых нитей с интенсивностями $\Gamma_1, \dots , \Gamma_M \in\mathbb{R}$ в безграничной идеальной жидкости описывается системой уравнений Гельмгольца [1]:
$$
\begin{equation}
\frac{d z_k^*}{dt}=\frac{1}{2 \pi i} \sum_{m=1,\,m \neq k}^{M} \frac{\Gamma_m}{z_k-z_m}, \qquad k=1, \dots, M.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Положения точечных вихрей на плоскости определяются комплекснозначными функциями $z_1 (t), \dots, z_M (t)$, символ $*$ означает комплексное сопряжение. Величины $\Gamma_1, \dots, \Gamma_M\in\mathbb{R}$ называют интенсивностями точечных вихрей. Хорошо известно, что система (1.1) не интегрируема для четырех и более точечных вихрей при произвольных значениях их интенсивностей [2]. Движение точечных вихрей в неинтегрируемых случаях, вообще говоря, хаотическое. Однако среди хаотических траекторий существуют регулярные, к которым относят, в частности, статические, равномерно движущиеся и равномерно вращательные равновесия. В статическом равновесии все точечные вихри имеют нулевую скорость. Нахождению и исследованию свойств статических равновесных конфигураций посвящено большое количество работ [2]–[9]. Удобным и наглядным методом построения равновесных конфигураций является полиномиальный метод, согласно которому в фокусе внимания оказываются многочлены с нулями в мгновенных позициях точечных вихрей [2], [3], [10], [11]. Данный метод получил свое развитие в работах [12]–[14]. Хорошо известно, что для нерезонансных значений интенсивностей число статических конфигураций ограничено сверху величиной $(M-2)!$ Этот результат получен О’Нейлом [11]. В резонансных случаях число статических конфигураций может быть бесконечным. Нули последовательных многочленов Адлера–Мозера [15] и Луценко [16] являются примерами таких конфигураций. Заметим, что в случае многочленов Адлера–Мозера интенсивности точечных вихрей равны $\Gamma$ и $-\Gamma$, а в случае многочленов Луценко интенсивности принимают значения $\Gamma$ и $-2\Gamma$. Некоторые другие примеры бесконечного числа статических конфигураций приводятся в работах [4], [7], [17]. Резонансные значения интенсивностей до настоящего времени систематически не исследовались. В настоящей работе рассматривается задача классификации статических конфигураций в резонансном случае для точечных вихрей с интенсивностями $\Gamma$ и $-\beta\Gamma$, где $\beta\in\mathbb{R}$. Мы показываем, что множество значений параметра $\beta$, при которых существует бесконечное число статических конфигураций, бесконечно. Совершенно неожиданно, соответствующие значения параметра $\beta$ определяются решениями квадратичного диофантова уравнения, известного как отрицательное уравнение Пелля. 2. Однопараметрические семейства статических конфигурацийПредположим, что все точечные вихри в системе имеют нулевую скорость. Набор попарно различных комплексных чисел ($z_1,\dots,z_M$) определяет статическое равновесие точечных вихрей на плоскости, если выполнены следующие соотношения [1]:
$$
\begin{equation}
\sum_{m=1, m \neq k}^{M} \frac{\Gamma_m}{z_k-z_m}=0, \qquad k= 1, \dots, M.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Статической конфигурацией [4] будем называть класс эквивалентностей относительно преобразований вращения, подобия и параллельного переноса. Каждой конфигурации соответствует точка $[z_1,\dots,z_M]$ в комплексном проективном пространстве $\mathbb{C}P^{M-1}$, удовлетворяющая системе (2.1) и уравнению вида $\alpha_1z_1+\dots+ \alpha_Mz_M= 0$, где $\alpha_1+\dots +\alpha_M\neq0$. Далее кратко опишем полиномиальный метод построения статических конфигураций [3]–[5], [14], [18]. Разобъем систему из $M$ точечных вихрей на группы в соответствии со значениями интенсивностей. В этой работе мы ограничиваемся случаем двух групп точечных вихрей. Обозначим через $a_1^{(j)}, a_2^{(j)}, \dots, a_{l_j}^{(j)}$ позиции точечных вихрей с интенсивностью $\Gamma_j$, где $l_j$ – количество таких вихрей, $l_1+l_2=M$ и $j=1,2$. Тогда для описания конфигураций можно ввести характеристические многочлены, не имеющие кратных и совпадающих нулей:
$$
\begin{equation*}
P_j (z)=\prod_{k=1}^{l_j}(z-a_k^{(j)}), \qquad j=1, 2.
\end{equation*}
\notag
$$
Система уравнений (2.1) принимает вид
$$
\begin{equation*}
\sum_{j=1}^2\sum_{k=1}^{l_j} \frac{\Gamma_j}{a_{k_0}^{(j_0)}- a_k^{(j)}}=0, \qquad k_0=1, \dots , l_{j_0}, \quad j_0=1, 2,
\end{equation*}
\notag
$$
где в сумме необходимо исключить случай $(j_0, k_0)=(j, k)$. Несложно убедиться в справедливости равенств
$$
\begin{equation}
P_{j,z} (z)=P_j \sum_{k=1}^{l_j} \frac{1}{z-a_k^{(j)}}, \qquad P_{j, zz} (z)=2 P_j \sum_{k=1}^{l_j}\sum_{m=1}^{l_j} \frac{1}{(a_{k}^{(j)}-a_m^{(j)})(z-a_k^{(j)})}.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Устремляя $z$ к одному из нулей многочлена $P_{j_0} (z)$, находим
$$
\begin{equation}
P_{j_0, zz}(a_{k_0}^{(j_0)})=2P_{j_0, z}(a_{k_0}^{(j_0)}) \sum_{k=1,\, k \neq k_0}^{l_{j_0}} \frac{1}{a_{k_0}^{(j_0)}-a_k^{(j_0)}}.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Далее, используя (2.2) и (2.3), получим, что для каждого корня $a_{k_0}^{(j_0)}$ многочлена $P_{j_0} (z)$ справедливо уравнение
$$
\begin{equation}
\Gamma_{j_0} \frac{P_{j_0, zz}(a_{k_0}^{(j_0)})}{P_{j_0, z}(a_{k_0}^{(j_0)})}=-2 \sum_{j=1,\, j \neq j_0}^2 \Gamma_j \frac{P_{j,z}(a_{k_0}^{(j_0)})}{P_j(a_{k_0}^{(j_0)})}, \qquad k_0=1,\dots ,l_{j_0}, \quad j_0=1,2.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Рассмотрим многочлен $W(z)=\Gamma_1^2P_{1,zz}P_2+\Gamma_2^2P_1P_{2,zz}$ $+2\Gamma_1\Gamma_2P_{1,z}P_{2,z}$. Анализируя систему (2.4), мы замечаем, что многочлен $W(z)$ степени $M-2$ имеет $M$ попарно различных нулей. Следовательно, этот многочлен тождественно равен нулю. Таким образом, статические конфигурации для точечных вихрей интенсивностей $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ могут быть описаны с помощью дифференциального соотношения для многочленов $P_1(z)$ и $P_2(z)$. Это соотношение представляется в виде
$$
\begin{equation}
\Gamma_1^2P_{1,zz}P_2+\Gamma_2^2P_1P_{2,zz} +2\Gamma_1\Gamma_2P_{1,z}P_{2,z}=0.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Найдем необходимое условие существования конфигураций. Подставляя $P_1(z)=z^{l_1}$ и $P_2(z)=z^{l_2}$ в уравнение (2.5) и приравнивая нулю коэффициент при $z^{l_1+l_2-2}$, получим
$$
\begin{equation}
l_1(l_1-1)\Gamma_1^2+l_2(l_2-1)\Gamma_2^2+2l_1l_2\Gamma_1\Gamma_2=0.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Предположим, что первая группа содержит два точечных вихря: $l_1=2$. Без ограничения общности разместим эти точечные вихри в точки $a_{1}^{(1)}=0$ и $a_{2}^{(1)}=1$ комплексной плоскости. Тогда многочлен $P_1(z)$ принимает вид $P_1(z)=z(z-1)$. Для удобства введем параметр $\beta\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ по правилу $\Gamma_1=-\beta \Gamma$ и $ \Gamma_2=\Gamma$, где $\Gamma \neq0$. Анализируя необходимое условие (2.6), получаем неравенство $\beta>0$. Также положим $P_2(z)=y(z)$ и $l_2=N\in\mathbb{N}$. В результате придем к обыкновенному дифференциальному уравнению являющемуся уравнением гипергеометрического типа и имеющему три регулярные особые точки: $z=0$, $z=1$ и $z=\infty$. Нас будут интересовать приведенные полиномиальные решения этого уравнения, не имеющие кратных нулей, а также нулей в точках $z=0$ и $z=1$. Если уравнение (2.7) имеет ровно одно линейно независимое полиномиальное решение, то оно единственным образом определяет соответствующую конфигурацию при выполнении указанных выше ограничений на нули. Общее решение уравнения (2.7) выражается через гипергеометрическую функцию. В научной литературе нет исчерпывающей информации о вырождении общих решений уравнений гипергеометрического типа в многочлены. Целью настоящей работы является вывод необходимых и достаточных условий, обеспечивающих существование двух линейно независимых полиномиальных решений уравнения (2.7). Линейная комбинация таких решений порождает бесконечное число различных статических конфигураций. Два линейно независимых решения $y_1(z)$, $y_2(z)$ уравнения (2.7) связаны соотношением [19]
$$
\begin{equation}
y_2(z)=y_1(z) \int \frac{(z \{z-1\})^{2 \beta}}{y_1^2 (z)} \,dz.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Далее символами $y_1 (z)$ и $y_2 (z)$ обозначаем линейно независимые решения уравнения (2.7), характеристические показатели Фробениуса которых в точке $z=\infty$ равны $N_1$ и $N_2$ соответственно. Заметим, что уравнение (2.7) не имеет постоянного решения, отличного от нуля. Если $N_1,N_2\in\mathbb{N}$ и решения Фробениуса $y_1 (z)$ и $y_2 (z)$ для точки $z=\infty$ являются рядами Лорана, которые обрываются на нулевых членах, то $y_1 (z)$ и $y_2 (z)$ – многочлены степеней $N_1$ и $N_2$ соответственно. Известно, что при выполнении условия $N_1=N_2$ в одном из решений Фробениуса появляются логарифмические члены [19], что противоречит существованию двух линейно независимых полиномиальных решений. Без ограничения общности далее считаем, что $N_1,N_2\in\mathbb{N}$ и выполнено неравенство $N_1 < N_2$. Одним из основных результатов работы является следующая теорема. Теорема 1. Дифференциальное уравнение (2.7) имеет два линейно независимых полиномиальных решения при таких и только таких значениях параметра $\beta$, что $\beta\in\mathbb{N}$ и существуют два различных натуральных числа $N_1$ и $N_2$, удовлетворяющих квадратному уравнению При этом числа $N_1$ и $N_2$ являются степенями упомянутых полиномиальных решений дифференциального уравнения (2.7). Заметим, что при доказательстве теоремы 1 мы не будем использовать условие $\beta>0$, возникающее из физической постановки задачи. Проведем анализ решений дифференциального уравнения (2.7) при произвольных комплексных значениях параметра $\beta$. Далее нам потребуются некоторые вспомогательные утверждения. Лемма 1. Дифференциальное уравнение (2.7) имеет нетривиальное полиномиальное решение тогда и только тогда, когда при фиксированном $\beta$ найдется натуральное число, являющееся решением уравнения (2.9). Доказательство. Покажем, что условие необходимо. Предположим, что уравнение (2.7) имеет полиномиальное решение степени $N\in\mathbb{N}$. Подставим $y(z)=z^N$ в уравнение (2.7) и приравняем к нулю коэффициент при старшей степени. В результате получим соотношение (2.9), являющееся характеристическим уравнением для точки $z=\infty$. Теперь установим достаточность. Пусть $N\in\mathbb{N}$ удовлетворяет уравнению (2.9) при фиксированном $\beta$ и является наименьшим из двух натуральных решений этого уравнения, если такое решение не единственно. Подставляя ряд Лорана в окрестности точки $z=\infty$ в уравнение (2.7), находим рекуррентное соотношение для его коэффициентов
$$
\begin{equation*}
b_k=\frac{(N-k-2\beta)(N-k + 1) }{2\beta^2-4 \beta (N-k) + (N-k)(N-k- 1)} b_{k-1}, \qquad k\in\mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
$$
где знаменатель дроби, стоящей справа, не обращается в нуль при $1 \leqslant k \leqslant N$. Анализируя это соотношение, получаем $b_k=0$ при $k>N$. Таким образом, ряд (2.7) обрывается на нулевом члене и становится многочленом. При доказательстве леммы 1 мы также установили, что если уравнение (2.9) при фиксированном $\beta$ имеет два различных натуральных решения $N_1$ и $N_2$, где $N_1< N_2$, то всегда существует многочлен степени $N_1$, удовлетворяющий дифференциальному уравнению (2.7). Лемма 2. Если ненулевое полиномиальное решение $y(z)$ дифференциального уравнения (2.7) имеет нуль в неособой точке $z_0 \in\mathbb{C}$, то этот нуль простой. Доказательство этой леммы можно найти в книге [19]. Лемма 3. Пусть натуральное число $N_1$ удовлетворяет уравнению (2.9) при фиксированном $\beta$ и является наименьшим из двух натуральных решений, если такое решение не единственно. Тогда полиномиальное решение $y_1 (z)$ дифференциального уравнения (2.7) степени $N_1$ не имеет нулей в точках $z=0$ и $z=1$. Доказательство. По лемме 1 дифференциальное уравнение (2.7) в условиях настоящей леммы имеет полиномиальное решение $y_1 (z)$ степени $N_1$. Символом $N_2$ обозначим второе решение уравнения (2.9). Показатели Фробениуса как особой точки $z=0$, так и особой точки $z=1$ равны $p_1=0$ и $p_2=2\beta + 1$. Используя теорему Виета, находим равенство $N_1+N_2=4\beta+1$. Сначала предположим, что $N_2\not \in \mathbb{N}$. Тогда получим $4\beta\not \in \mathbb{N}$ и, следовательно, $2\beta\not \in \mathbb{N}$. Полиномиальное решение $y_1 (z)$ можно рассматривать как решение Фробениуса дифференциального уравнения (2.7) как в точке $z=0$, так и в точке $z=1$. Поскольку показатель Фробениуса $p_2$ не является натуральным числом, мы заключаем, что поведение в особых точках решения $y_1 (z)$ характеризуется показателем $p_1=0$. Значит, многочлен $y_1 (z)$ не обращается в нуль в точках $z=0$ и $z=1$. Пусть теперь выполнено $N_2\in \mathbb{N}$. Учитывая неравенство $N_1 \leqslant N_2$, получаем Используя эти равенства, находим неравенство $N_1 < 2\beta + 1$. Следовательно, поведение в особых точках $z=0$ и $z=1$ решения $y_1(z)$ опять характеризуется показателем $p_1=0$. Следствие 1. В условиях леммы 3 нули многочлена $y_1 (z)$, удовлетворяющего дифференциальному уравнению (2.7) при $\beta>0$, всегда определяют конфигурацию точечных вихрей интенсивности $\Gamma$ в статическом равновесии с точечными вихрями интенсивности $-\beta\Gamma$, расположенными в точках $z=0$ и $z=1$. Доказательство теоремы 1. Пусть дифференциальное уравнение (2.7) имеет два полиномиальных решения $y_1(z)$ и $y_2(z)$ степеней $N_1$ и $N_2$ соответственно. Действуя как и при доказательстве леммы 1, убеждаемся, что натуральные числа $N_1$ и $N_2$ удовлетворяют уравнению (2.9) при фиксированном $\beta$. Опять отметим, что (2.9) представляет собой характеристическое уравнение особой точки $z=\infty$. Далее покажем, что $\beta$ является натуральным числом. С помощью теоремы Виета находим равенства Мы видим, что справедливы представления $4\beta=l$ и $2\beta^2=m$, где $l,m\in\mathbb{N}$. Избавляясь от $\beta$, приходим к соотношению $l^2=8m$. Следовательно, $l$ делится нацело на 4. Тогда из равенства $4\beta=l$ следует, что $\beta$ – натуральное число. Дискриминант уравнения (2.9) относительно $N$ отличен от нуля при $\beta\in\mathbb{N}$, поэтому числа $N_1$ и $N_2$ различны.
Далее докажем обратное утверждение. Пусть уравнение (2.9) при фиксированном $\beta\in\mathbb{N}$ имеет два различных решения $N_1$ и $N_2$, где $N_1,N_2\in\mathbb{N}$ и $N_1<N_2$. Из лемм 1–3 следует, что существует многочлен $y_1(z)$, который удовлетворяет дифференциальному уравнению (2.7) и не имеет кратных нулей и нулей в точках $z=0$ и $z=1$. Линейно независимые решения дифференциального уравнения (2.7) связаны соотношением (2.8). Покажем, что $y_2(z)$ из этого соотношения является многочленом. Рассмотрим подынтегральную функцию Пусть точка $z_0\in\mathbb{C}$ является нулем многочлена $y_1 (z)$. По лемме 2 этот нуль простой. Следовательно, в точке $z_0$ функция $F(z)$ имеет полюс второго порядка. Нам нужно установить, что вычет подынтегральной функции в каждом нуле многочлена $y_1 (z)$ равен нулю. Представим $y_1(z)$ в виде $y_1 (z)=(z-z_0)g(z)$, где $g(z)$ – многочлен, не обращающийся в нуль в точке $z_0$. В результате получим равенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname*{res}_{z \to z_0} F(z) &=\lim_{z \to z_0} \frac{\mathrm d}{\mathrm dz}\,\frac{(z \{z-1\})^{2 \beta} (z-z_0)^2}{y_1^2 (z)} \\ & =\frac{2(z_0 \{z_0-1\})^{2 \beta-1}}{g^3(z_0)} \bigl(\beta(2z_0-1)g(z_0)-z_0(z_0-1)g_z(z_0)\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя представление $y_1 (z)=(z-z_0)g(z)$ в дифференциальное уравнение (2.7) и полагая в получившемся равенстве $z=z_0$, находим Следовательно, вычет рациональной функции $F(z)$ в точке $z_0$ равен нулю. Следствие 2. В условиях теоремы 1 многочлен является общим решением дифференциального уравнения (2.7). Положим $b=1$ и выберем параметр $c$ таким образом, чтобы многочлен $y(z)$ не имел кратных нулей и нулей в точках $z=0$ и $z=1$. Тогда нули многочлена $y (z)$ определяют конфигурацию точечных вихрей интенсивности $\Gamma$ в статическом равновесии с точечными вихрями интенсивности $-\beta\Gamma$, расположенными в точках $z=0$ и $z=1$. 3. Разрешимость диофантова уравнения (2.9)Уравнение (2.9) относительно неизвестных $\beta,N\in\mathbb{N}$ можно рассматривать как диофантово уравнение. Решения этого уравнения, согласно результатам предыдущего раздела, определяют модуль отношения интенсивностей точечных вихрей и количество точечных вихрей второй группы в семействах однопараметрических конфигураций. Будем исследовать вопрос существования решений уравнения (2.9). Нас интересуют случаи, когда уравнение (2.9) имеет два различных решения ($\beta,N_1$) и ($\beta,N_2$), где $\beta,N_1,N_2\in\mathbb{N}$ и $N_1<N_2$. Напомним, что число точечных вихрей второй группы в однопараметрическом семействе статических конфигураций равно $N_2$. Соотношения (2.10) позволяют получить еще одно диофантово уравнение: Методом подбора несложно найти несколько решений этого уравнения:
$$
\begin{equation*}
N_1=1, \quad N_2=8, \quad \beta=2, \qquad N_1=8, \quad N_2=49, \quad \beta=14.
\end{equation*}
\notag
$$
Для нумерации различных решений введем индекс $k$. В результате исследуемое уравнение примет вид Пусть натуральное число $n$ не является полным квадратом. Тогда диофантово уравнение относительно неизвестных $p$ и $q$ называют отрицательным уравнением Пелля.Используя связь уравнений (2.9) и (3.2), получим явные формулы для нахождения решений $(\beta_k, N_{1,k})$ и $(\beta_k, N_{2,k})$ уравнения (2.9). Теорема 2. Диофантово уравнение (2.9) имеет счетное множество решений $\{(\beta_k,N_{1,k}),\,(\beta_k, N_{2,k}),\, k\in\mathbb{N}\}$, которые можно вычислить с помощью формул Доказательство. Уравнение (3.1) принадлежит классу отрицательных уравнений Пелля с параметром $n=2$. Если у такого уравнения найдется хотя бы одно решение, то существуют и другие, и их бесконечно много [20]. Задача их поиска сводится к нахождению так называемого фундаментального (минимального) решения. Фундаментальное решение уравнения (3.2) при $n=2$ и, следовательно, уравнения (3.1) хорошо известно. Оно представляет собой пару $(\beta_0, N_{2,0}- N_{1,0})=(0, 1)$. Остальные пары можно найти, используя описание группы единиц вещественного квадратичного поля $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, см. [20]. В результате получаем соотношение
$$
\begin{equation*}
\sqrt{2}(2\beta_k + 1) + (N_{2,k}-N_{1,k})=(\sqrt{2} + 1)^{2 k+1}, \qquad k \in \mathbb{N}_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Формула бинома Ньютона позволяет прийти к равенству (3.4). С учетом соотношений (2.10) справедливость равенств (3.3) очевидна. Других решений изучаемое диофантово уравнение иметь не может в силу единственности фундаментальной единицы. Следствие 3. Пары $(\beta_k, N_{1,k})$ и $(\beta_k, N_{2,k})$, полученные в теореме 2, определяют соответствующие параметры однопараметрических семейств статических конфигураций точечных вихрей с интенсивностями $\Gamma$ и $-\beta \Gamma$. В таблице 1 приведены примеры таких пар. Таблица 1.Некоторые решения диофантова уравнения (2.9)
Замечание 1. Соотношение (3.4) может быть представлено в виде Также справедлива формула связывающая степени $N_{1,k}$ и $N_{2,k}$. 4. Примеры конфигурацийНа рис. 1–4 приведены примеры однопараметрических семейств статических вихревых конфигураций для $N=8$ и $N=49$. Здесь $N$ – это число точечных вихрей второй группы, имеющих интенсивность $\Gamma_2$. В обозначениях предыдущих разделов $N=N_2$. Точечные вихри с интенсивностью $\Gamma_1= -\beta \Gamma$ обозначены синими кругами, точечные вихри с интенсивностью $\Gamma_2=\Gamma$ – красными кругами. Значения параметра $c$ заданы произвольным образом. 5. ЗаключениеВ работе рассматривалась задача поиска однопараметрических семейств статических конфигураций для систем точечных вихрей на плоскости при условии, что два точечных вихря имеют интенсивность $\Gamma_1$, а остальные точечные вихри – интенсивность $\Gamma_2$. Найдены необходимые и достаточные условия существования таких конфигураций. Впервые обнаружена связь между отрицательным уравнением Пелля и статическими конфигурациями точечных вихрей на плоскости. Показано, что решения отрицательного уравнения Пелля задают степени многочленов и модули отношений интенсивностей, описывающих конфигурации. Как следствие, доказано существование счетного числа неэквивалентных значений интенсивностей, определяющих однопараметрические системы точечных вихрей в статическом равновесии. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{VisDem23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|